Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme
- Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket
- Düzlemde Eğrisel Hareket
- Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde)
- Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme
- İş ve Enerji
- İmpuls ve Momentum
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
2
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
KİNEMATİK
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
2.4
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
Birbirine Bağlı Maddesel
Noktaların Hareketi
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.4. Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
Behcet DAĞHAN
Birbirine bağlı
maddesel noktaların hareketini nasıl inceleyeceğimizi bir örnek üzerinde açıklayalım.
Behcet
DAĞHAN
keyfi olarak seçilen
hareketli bir noktayı
referans alan doğrultu
A
1
Behcet DAĞHAN
keyfi olarak seçilen
sabit bir noktayı
referans alan doğrultu
x
Bu nokta
A maddesel noktası ile
aynı hareketi yapmaktadır.
B
Maddesel noktaları birbirine bağlayan iplerin toplam uzunlukları genellikle sabit kalır.
Fakat iplerin bazı kısımları boy değiştirebilir.
b
r1
A
sabit
Değişken uzunluğa sahip olan
kısımların boyu yönlü olarak
gösterilir. Daima sabit olandan
hareketliye doğru pozitiftir.
y
r2
B
hareketli
Bu nokta
B maddesel noktası ile
aynı hareketi yapmaktadır.
Boy değiştiren kısımlar, yukarıda verilen örnek problemde kırmızıya boyanmıştır.
İpin toplam boyu
genellikle sabittir.
Behcet DAĞHAN
π r1
L = x + –––– + y + πr2 + y + b
2
L = x + 2 y + sabit uzunluklar
!
Maddesel noktaların mutlak hareketini incelerken
referans doğrultularından birisinin mutlaka sabit olması gerekir.
değişken uzunluklar
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet DAĞHAN
hareketli
2.4. Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
Behcet DAĞHAN
2
Behcet DAĞHAN
Eksenlerin seçiminden bağımsız olarak daima:
sabit
vA sağa doğru ise vB aşağı doğrudur.
vA sola doğru ise vB yukarı doğrudur.
x
pozitif
taraf
A
vA
vA
vA
sabit
vB
vB
y
B
hareketli
vA + 2 v B = 0
pozitif
taraf
Eksenler yukarıdaki gibi seçilirse:
vB
{
Bu eşitliğin sağlanabilmesi için
hızlardan birisinin pozitif diğerinin
negatif olması gerekir.
vA + 2 v B = 0 →
Yön belirtir.
↓
vA = – 2 vB
}
L = x + 2 y + sabit uzunluklar
vA + 2 v B = 0
0=x+2y
→
aA + 2 a B = 0
hızlar arasındaki bağıntı
→
→
→
0
L=x+2y
vA negatif ise vB pozitiftir.
ivmeler arasındaki bağıntı
↑
Hareketler, doğrusal hareket olduğu için: a = v
vA < 0
aA + 2 a B = 0
vB > 0
vA pozitif ise vB negatiftir.
vA > 0
| Aynı şey bu eşitlik için de geçerlidir.
A nın hızı sadece bir değişkene, yani B nin hızına, B nin hızı da sadece bir değişkene, yani A nın hızına bağlı olduğu için
bu sisteme ve böyle sistemlere "tek serbestlik dereceli sistem" denir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
vB < 0
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet DAĞHAN
hareketli
pozitif
taraf
A
2.4. Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
Behcet DAĞHAN
3
Behcet DAĞHAN
Eksenlerin seçiminden bağımsız olarak daima:
vA sağa doğru ise vB aşağı doğrudur.
sabit
vA sola doğru ise vB yukarı doğrudur.
x
vA
B
pozitif
taraf hareketli
vB
vB
vB
h
{
y
vA
vA
sabit
Sabit referans ekseni keyfi olarak seçilebilir.
Eğer seçim yandaki gibi yapılırsa o zaman hız ve ivmeler arasındaki bağıntılar
aşağıdaki gibi elde edilir.
sabit
L = x + 2 (h – y) + sabit uzunluklar
0
L=x–2y
••
••
0=x–2y
vA negatif ise vB de negatiftir.
→
vA – 2 vB = 0
→
aA – 2 aB = 0
Behcet DAĞHAN
→
vA = 2 v B
www.makina.selcuk.edu.tr
vA < 0
vB < 0
vA pozitif ise vB de pozitiftir.
vA > 0
vB > 0
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet
DAĞHAN sabit
sabit
4
Behcet DAĞHAN
Eksenlerin seçiminden bağımsız olarak daima:
l
x
2.4. Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
Behcet DAĞHAN
vA sağa doğru ise vB aşağı doğrudur.
hareketli
pozitif
taraf vA
A
pozitif
taraf hareketli
vB
vB
vB
h
{
y
vA
vA
sabit
B
vA sola doğru ise vB yukarı doğrudur.
Sabit referans ekseni keyfi olarak seçilebilir.
Eğer seçim yandaki gibi yapılırsa o zaman hız ve ivmeler arasındaki bağıntılar
aşağıdaki gibi elde edilir.
sabit
L = (l – x) + 2 (h – y) + sabit uzunluklar
vA pozitif ise vB negatiftir.
0
L=–x–2y
→
– vA – 2 vB = 0
0=–x–2y
→
– aA – 2 aB = 0
Behcet DAĞHAN
→
– vA = 2 v B
www.makina.selcuk.edu.tr
vA > 0
vB < 0
vA negatif ise vB pozitiftir.
vA < 0
vB > 0
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.4. Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
İki serbestlik dereceli bir sistem
5
Behcet DAĞHAN
LA = yA + 2 yD + sabit uzunluklar
LB = yB + yC + (yC – yD) + sabit uzunluklar
sabit
sabit
+
2/
0
LA = y A + 2 y D
0
L B = y B + 2 y C – yD
vA + 2 v B + 4 v C = 0
hareketli
hızlar arasındaki bağıntı
hareketli
Hareketler,
doğrusal hareket olduğu için: a = v
→
aA + 2 aB + 4 aC = 0
ivmeler arasındaki bağıntı
Maddesel noktalardan birisinin hızı diğer ikisinin hızına bağlı olduğu için
yani iki değişkene bağlı olduğu için bu sisteme ve böyle sistemlere
iki serbestlik dereceli sistem denir.
!
Maddesel noktaların mutlak hareketini incelemek için
her iki ucu da hareketli olan
böyle bir referans seçimi yapmak
doğru değildir.
Ama bağıl hareketini incelemek için böyle bir seçim yapılabilir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.4. Birbirine Bagli Maddesel Noktaların Hareketi
6
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/25
Örnek
2/25
A nın yukarı doğru olan hızını B nin aşağı doğru olan hızına ve y ye bağlı olarak bulunuz.
Makaraların boyutlarını ihmal ediniz.
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
}
vB aşağı
v >0
y aşağı B
b
b
sabit
sabit
x
y
hareketli
A
vA
vA yukarı
x aşağı
hareketli
B
vB
}v <0
A nın hızının şiddeti
2y
vA = ––––––––– vB
√ b2 + y2
İstenenler:
İstenenler:
L = x + 2 (b 2 + y 2)1/2
vA = ? yukarı
0
L = x + 2 y y (b 2 + y 2)–1/2
0 = vA + 2 y vB (b 2 + y 2)–1/2
2y
vA = − ––––––––– vB
√ b2 + y2
yön gösterir
Behcet DAĞHAN
B nin hızının şiddeti
A
www.makina.selcuk.edu.tr
yukarı
yönde
Yönlerden kaynaklanan
işaretleri çıkarıp sadece
hızların şiddetleri arasındaki
bağıntıyı yazarız.
Hızın yönünü
yanına yazarız
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.4. Birbirine Bagli Maddesel Noktaların Hareketi
7
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/26
Örnek
2/26
Cam yıkama vincinin motorları şekilde görülen yönde dönerken vinci yukarı doğru kaldırmaktadırlar.
Vincin motorlarına bağlı olan tamburların her birinin çapı 200 mm ve devir sayısı 40 rev/min olduğuna göre
vincin yukarı doğru olan hızını bulunuz.
Verilenler:
Verilenler:
Tambur
d = 200 mm
R
n = 40 rev/min
+
Çözüm
Çözüm
ω
vm
1
ω = n (2π/60)
2
h
ω = 4.19 rad/s
vA
vm = R ω
vm = 418.9 mm/s
+
x
L2 = – 2 y
2 nolu ipin boyunda
birim zamanda
meydana gelen değişme:
L2 = – 4 x
L2 = − R ω
4 vA = R ω
•
vA = x
ipin boyu kısalıyor
vA = 104.7 mm/s
vA > 0
vA = v
Behcet DAĞHAN
(değişken)
↓
v=?
Tamburun dış yüzeyinde
bulunan bir noktanın
tamburun dönmesinden
kaynaklanan hızı,
2 nolu ipin
tambura sarılma hızı
L2 = 2 (h – y) + h + sabit uzunluklar
↓
İstenenler:
İstenenler:
(sabit)
0
2/ L1 = – 2 x + y
y
A
L1 = (h – x) + (y – x) + sabit uzunluklar
v = 104.7 mm/s
www.makina.selcuk.edu.tr
yukarı
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.4. Birbirine Bagli Maddesel Noktaların Hareketi
8
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/27
Örnek
2/27
Cam yıkama vincinin motorları şekilde görülen yönde dönerken vinci yukarı doğru kaldırmaktadırlar.
Vincin motorlarına bağlı olan tamburların her birinin çapı 200 mm ve devir sayısı 40 rev/min olduğuna göre
vincin yukarı doğru olan hızını bulunuz.
Verilenler:
Verilenler:
Tambur
d = 200 mm
R
+
ω
y 1
vm
ω = n (2π/60)
ω = 4.19 rad/s
vm = R ω
vm = 418.9 mm/s
v=?
Tamburun dış yüzeyinde
bulunan bir noktanın
tamburun dönmesinden
kaynaklanan hızı,
2 nolu ipin
tambura sarılma hızı
x+b
x
vA
B
+
•
vA = v B = x
vA < 0
(sabit)
L2 = 2 y + (x + b) + sabit uzunluklar
(değişken)
0
2/ L1 = 2 x – y
vB
b
A
L1 = x + (x − y) + sabit uzunluklar
2 nolu ipin boyunda
birim zamanda
meydana gelen değişme:
L2 = 2 y + x
•
L2 = − R ω
L2 = 5 x
↓
İstenenler:
İstenenler:
2
↓
n = 40 rev/min
Çözüm
Çözüm
vB < 0
| vA | = | v B | = v
vA = − 83.8 mm/s
yön belirtir
vA = 83.8 mm/s, yukarı
Behcet DAĞHAN
ipin boyu kısalıyor
5 vA = − R ω
www.makina.selcuk.edu.tr
→
v = 83.8 mm/s
yukarı
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.4. Birbirine Bagli Maddesel Noktaların Hareketi
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/28
Örnek
2/28
9
Behcet DAĞHAN
Birbirine L uzunluğunda bir iple bağlanmış olan A ve B kızakları, birbiri ile dik açı yapan kollar üzerinde kaymaktadır.
Eğer B kızağının yukarı doğru olan hızı vB sabit ise A kızağının ivmesini y ye bağlı olarak bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
vB
(sabit)
vB
(sabit)
→
y
•
vB
vB = 0
aB = 0
aB = 0
B
L
y
O
0
2LL =2xx+2yy
x vA + y v B = 0
İstenenler:
İstenenler:
y
vA = − –– vB
aA = ?
x
→
•
•
•
aA
x
x
•
x vA + x v A + y v B + y v B = 0
0
vA 2 + x a A + v B 2 + y a B = 0
vA 2 + v B 2
aA = − ––––––––
x
y2
1
aA = − (–––
+ ––) vB2
3
x
x
Behcet DAĞHAN
vA
A
L2 = x 2 + y 2
www.makina.selcuk.edu.tr
L2
aA = − ––––––––– vB2
(L2 – y2)3/2
yön belirtir
L2
aA = ––––––––– vB2
(L2 – y2)3/2
sola
Behcet DAĞHAN
Download

2_4_Birbirine_Bagli_Hareket