ÇEKİRDEĞİN ÖZELLİKLERİ
Atomun yarıçapı gibi,
gibi çekirdeğin yarıçapı da kesin olarak
tanımlanmış bir nicelik değildir.
Nükleon yoğunluğu ve nükleer potansiyel benzer uzay
dağılımına sahiptir: kısa bir mesafe boyunca sabit, bu
mesafenin ötesinde hızla sıfır olur.
Çekirdeğin biçimini iki parametre ile karakterize edebiliriz:
• Merkezi yoğunluğun yarıya düştüğü ortalama yarıçap
• Yoğunluğun merkezdeki değerinin % 90’ nından % 10’ una
dü üğü mesafe
düştüğü
f olarak
l k tanımlanan
l
‘‘ ü
‘‘yüzey
k l l ğ ’’ (t)
kalınlığı’’
()
 (r ) 
0
 rR 
1 exp 

 a 
a = 0,546 fm
t  4 ln 3 a  2, 4 fm
Ze  
0 dr
3
1 exp[(r  R )/ a ]
 40 

0
r 2 dr
1 exp[(r  R )/ a ]
Çekirdeğin Yük Dağılımı:
Bir cismin şeklini ve büyüklüğünü tayin etmede kullanılan
en y
yaygın
yg yyöntem, cisimden saçılan
ç
radyasyonu
y y
ölçmektir.
ç
Kullanılacak radyasyonun
y y
dalga
g boyu,
y incelenecek cismin
boyutundan daha küçük olmalıdır. Yaklaşık 10 fm
çapındaki
p
bir çekirdek için, kullanılması ggereken
radyasyonun dalga boyu  ≤ 10 fm ve momentumu
p ≥ 100 MeV/c değerine karşılık gelir.
Rutherford
f
 Saçılması:
Herhangi bir andaki toplam enerji,
sistemin
başlangıçtaki
toplam
enerjisine eşit olmalıdır:
2
2
1  dr   d    Ze  2e  1 2
m     r
 mv0
 
2  dt   dt   4 0 r
2
b
gelen 
b
v0
r

θ
+Ze
Çekirdeğe göre açısal momentumun korunumu için:
 d 
mv0b  mr 

 dt 
2
d v0b
 2
dt r
ve
yazılır.
dr dr d

dt d dt
ifadeleri
ade e ilk de
denklemde
e de kullanılırsa,
u a
sa,
2 2 2

 dr  v0 b v02b 2  2 Ze 2 1 2
1
m 
 2 
 mv0

4
2  d  r
r  4 0 r 2


mv02

2
 2Ze /4 b 
b / r  dr

d 
2

 dr  b 2 b 2 2b

 4  2  1
 d  r r  r

  b / r  1 
 0  sin 

 1 2 
0
2
2b b 2
1  2
r r
1
r  ' dan geliyorsa,   olmalıdır.
 1
0  sin 
 1 2
1

 1
1
    sin 

 1 2



1  b / r  1
 sin 


 1 2 
1 1 2

r
b
 
 1
1
sin
i  sin
i 
 1 2
 

 

1
 
  1 2





Saçılmadan sonra, r  ’ a giderken,

 1
1
sin  sin 
 1 2


 1
  22sin
i 
 1 2

1
1
 
sin   
 2  1 2

1
 
  1 2






1



Bu açı,
açı saçılma açısıyla aynıdır (  ).
)
 
cot   
2

 4 0 
 
cot   T0  2  b
2
 Ze 
Verilen bir T0 değeri için, b küçüldükçe saçılma açısı
bü ü b  0 durumunda,
büyür.
d
d  parçacıkları
kl hedef
h d f çekirdekle
ki d kl
kafa kafaya çarpışma yapar. b   durumunda ise, 
parçacıkları
kl saçılmaya
l
uğramazlar.
ğ
l
Rutherford diferansiyel tesir
tesir-kesiti
kesiti:
Ç
Çekirdeği
ğ merkez alan b y
yarıçaplı
ç p bir ççember
seçelim. Çemberin içinde kalacak şekilde
çekirdeğe doğru gelen  parçacıkları saçılmaya
uğrarlar.  ’ ya eşit ve büyük açılardaki
saçılmaların tesir-kesiti çemberin yüzey
alanıdır.
l d
2
2
 Ze 
2
2  
  b  
 cot  
2
 4 0T0 
db
b
Halka yyarıçapını
ç p db kadar artırırsak, b ve b+db arasında
kalan bölgeye düşen parçacıkların saçılma açısı da  ve
+d arasına düşer.
ş
b yyarıçaplı
ç p db kalınlığındaki
ğ
bu
yüzük halkası için:

 Ze
Z 2  1
d
d  2 bdb , d  2 sin  d , db 

 
2
4

T
2
sin

/2
  
0 0 


2 bdb
d
1


d  2 sin  d sin  d
2
d 1  Ze 
1
 

d  4  4 0T0  sin 4  /2 
2
2
 1

 Ze 
d


 cot  /2   
2
 2 sin  /2  
 4 0T0 
2
Belli bir saçılma açısında,
açısında
diferansiyel
tesir-kesiti,
şekilde gösterildiği gibi,
gibi 
parçacıklarının
kinetik
enerjisinin karesiyle ters
orantılıdır
(1/T02).
Bu
bağımlılık  parçacıklarının
bağımlılık,
enerjisi belli bir eşik değerini
aştığında bozulur.
bozulur
(1/T02) bağımlılığının
b ğ llğ
b ld ğ an,  parçacıkları
bozulduğu
kl
il
ile
hedef çekirdeğin etkileşmeye başladığı andır. Yani, 
parçacıkları,
kl
nükleer
ükl kuvvetin
k
ti menziline
ili girmiştir.
i i ti
60’ lik saçılma
ç
açısında
ç
bu eşik
ş enerjisi
j
27,5 MeV
civarındadır. Tam bu anda,  parçacığının kinetik enerjisi
ile sistemin Coulomb ppotansiyel
y enerjisi
j eşitlenirse,
ş
2Ze 2
E 
4 0 R
R
2Ze 2
R
4 0 E



 1,1510
 27, 710 1, 610 
2Z 1,
1 610

4 8,8510
12
19
2
6
19
Z60 gibi ağır çekirdekler için : R  7 fm
Z9 gibi hafif çekirdekler için : R  1 fm
16
Z
m
D çaplı dairesel bir diskle oluşturulan kırınım deseni için
aydınlık
d l k ve karanlık
k
l k saçakların
kl
şiddeti,
idd i Fraunhofer Kırınımı
 2 J1  ka sin   
 2 J1  x  
I    I 0 
  I0 

ka
sin

x




2
2
;
x  ka sin 
a, diskin yarıçapı (D/2), J1 birinci tür Bessel fonksiyonu ve
k’ da dalga vektörünün büyüklüğüdür (2/).
Şiddeti sıfır yapan x değerleri, birinci Bessel fonksiyonunu da sıfır
yyapan
p değerlerdir
ğ
: x = 3,8317
,
; 7,0156
,
; .......
3,8317
ka sin 1.min
.



3,8317
sin 
1.min

.
  2 /   D /2  
1
1, 22 
1.min sin
i 

D


1
Enerjileri 400 MeV civarında olan elektronların kullanıldığı
saçılma deneyinin sonuçları şekilde verilmiştir.
verilmiştir
D çaplı dairesel bir diskteki
kırınım için birinci minimum,
 1.22 
1.min sin 

 D 
1
değerinde olmalıdır.
olmalıdır Buna
göre, 16O için nükleer
yarıçap 2,6
2 6 fm ve 12C için
nükleer yarıçap 2,3 fm
bulunmuştur.
bulunmuştur
Gelen ve saçılan elektronun momentumu ve dalga
f ki
fonksiyonu,
sırasıyla,
l
p i = k i
ve
p s = k s
ve
e
iki r
e
ik s r
ile verilir. V(r)
( ) etkileşmesi,
ş
ggelen dalgayı
g y saçılan
ç
dalgaya
g y
dönüştürür. Bu olasılık,

 
F ki k s = *sV ( r )  i dv
,
 
F q = eiqrV ( r ) dv
niceliğinin
i li i i karesi
k
i ile
il orantılıdır.
ld
q = k i  k s dersek ,
V(r)
( ) etkileşmesi
ş
Zee((r) ççekirdek y
yük
yoğunluğuna bağlıdır. r çekirdek
içindeki bir noktanın koordinatıdır ve
e(r) de çekirdek yük dağılımını temsil
etmektedir. r noktasındaki bir elektron,
r deki dQ yük elemanının oluşturduğu
potansiyelden etkilenecektir.
Ze e  r ' dv '
edQ
dV 

4 0 r  r '
4 0 r  r '
2
Ze 2
V 
4 0

 e  r ' dv '
r r '
Çekirdek
dQ
r
e
r
2
Ze
iqr 1 dv
F  q    eiqrV ( r ) dv 

 e  r '  dv ' e
r r '
4 0
Dirac-Delta fonksiyonundan, normalize edilmiş sonuç,
F  q =  eiqr' e  r '  dv
d '
e  r ' , 
 ve 
 ne bağlı
b l değilse,
d il
F  q =  e
iqr'cos
iqr
cos'
e  r ' r ' dr
d 'sin
' i  ' d ' d  '
2
4

i  qr''  e  r ' r ' dr
d '
 sin
q
elde edilir.
q’ nun büyüklüğünün bir fonsiyonudur ve form
F q , q
faktörü olarak adlandırılır. Saçılmanın elastik olduğunu
y ğ
, pi = p s , için
ç q yyalnızca pi ve ps arasındaki
varsaydığımız,
 saçılma açısına bağlı olacaktır.
pi
ps


1
q  ki  k s  pi  ps


p
2
2 1/2 2 p
 

q  1 cos   +  sin  
= sin  




2
q niceliğinin ’ ya bağlı olması, saçılma olasılığının da
’ ya bağlı olduğunu gösterir.

gösterir Form faktörü F(q)
F(q)’ nun
ters Fourier dönüşümü, e  r ' ’ nü verir.
Bu yöntemin farklı bir kaç
çekirdek
ki d k için
i i sonuçları
l
şekildeki
kild ki
gibidir. Merkezdeki çekirdek yük
yoğunluğunun tüm çekirdeklerde
yaklaşık aynı olduğu dikkat
çekicidir.
Bu da, nükleonların merkezden yüzeye kadar yaklaşık sabit bir
şekilde
kild dağıldığını
d ğ ld ğ gösterir.
i Aynı
A
sonuç, nükleer
kl madde
dd dağılımı
d ğl
i i
için
de söz konusudur. Birim hacimdeki nükleon sayısı hemen hemen
sabittir.
sabittir
A
4
3
 R 
3

 sabit
R0 orantı katsayısıdır.

R  A1/3

R  R0 A1/3
Düzgün yük yoğunluğu  olan R yarıçaplı bir küre için,
2
R

2
r

dv
1
1
3 2

4
sin
 r 2 
  r 2  dv 




r
dr
d
d
R



5
4
3 0
0
0
  dv V
R



3

R  R0 A
1/3

 3
 1/3
  r   
 5  R0  A


2
1/2
sonucu elde edilir. Farklı çekirdeklerle
yapılan elektron saçılma deneylerinden
elde edilen verilerden hesaplanan
yarıçap değerlerinin
d ğ l i i A1/3 ile
il değişimleri
d ği i l i
şekildeki gibidir. Doğrunun eğiminden
R0 için 1,23 fm değeri bulunmuştur.
bulunmuştur
R0 değeri, atomik geçişlerin dikkatli bir şekilde incelenmesi ile de
bulunabilir Tek elektronlu bir atom için Schrödinger denkleminin
bulunabilir.
çözümünde, elektronun bir nokta çekirdeğin çekim alanında hareket
ettiği
ğ kabul edilir. Gerçekte
ç
ise ççekirdek noktasal bir pparçacık
ç
değildir. Elektron dalga fonksiyonu r < R bölgesine sızabilir ve
zamanın bir kısmını çekirdek yük dağılımı içinde geçirir. Çekirdeği
R yarıçaplı düzgün yüklü bir küre kabul edersek, çekirdek içinde ve
dışındaki bölgelerde elektrostatik potansiyel enerjisi,
2

Ze
3 1 r  
Viç (r ) 
    
4 0 R  2 2  R  
Ze 2
Vdış
d ( r ) 
4 0 r
2
ifadelerine sahiptir.
, rR
, rR
Bir nokta çekirdeğin Ψn durumundaki bir elektronunun E toplam
enerjisi potansiyel enerjinin beklenen değerine bağlıdır.
enerjisi,
bağlıdır
V    *nV  n dv
Nokta çekirdekten küresel bir çekirdeğe geçişte Ψn elektron dalga
fonksiyonundaki değişimin önemsiz olduğunu varsayarsak,
elektronun E
E enerjisi küre içinde ve dışındaki potansiyel enerjilerin
beklenen değerlerinin toplamına bağlı olur.
V '

rR
 *nViç  n dv 

 *nVdış  n dv
rR
Küresel çekirdeğin etkisi, elektronik durumların enerjisini
E = <V>
V
 <V>
V kadar değiştirmesidir. Elektron için 1s
hidrojenimsi dalga fonksiyonu kullanılırsa,
3/2
 Z   Zr /a0
 1s  2   e
 a0 
R

e 2 4 Z 4 2 Zr /a0
E 
e
3 
4 0 a0 0
1 3 1 r2  2
r dr
  
3
 r 2R 2 R 
4 0  2
10
0,53
10
m
a0 


2
me e
a0 : Bohr yarıçapı
R
 105
a0

e 2 Zr /a0  1

2 Z 4e2 R 2
E 
5 4 0 a03
E, nokta ççekirdekli bir atomun 1s durumunun enerjisi
j ile R
yarıçaplı düzgün yüklü bir çekirdeğe sahip atomun 1s durumunun
enerjisi arasındaki farktır.
A ve A kütle numaralı iki komşu izotopta, 2p  1s geçişinden
kaynaklanan K X-ışını
X ışını enerjilerini karşılaştıralım.
karşılaştıralım Gözlenen K
X-ışını enerjilerini EK(A) ve EK(A) ile gösterelim. Böylece,
EK  A   EK  A '   E2 p  A   E1s  A     E2 p  A '  E1s  A ' 
2 Z 4 e 2 1 2 2/3
2/3



R
A

A
'
0
3

5 4 0 a0
EK  A   EK  A ' niceliğine
K X-ışını
izotop kayması denir. Farklı A
i t l
izotoplarının
i t kaymalarının
izotop
k
l
A2/3 ’ e
göre grafiği çizgiseldir ve doğrunun
eğiminden R0 değeri belirlenebilir.
Bulunan değer 1,2 fm olup, elektron
saçılma deneylerinden elde edilen
sonuçla uyum içindedir.
r  0   0 
E2 p  A   E2 p  A ' 
E  E1s  Enokta
Nükleer yük yarıçapının belirlenmesinin bir diğer yolu da
çekirdeklerin Coulomb enerji farklarının doğrudan ölçülmesidir.
Örneğin, 13 H 2 ve 23 He1 çekirdeklerini göz önüne alalım. 3He’ den
3H
H’ yi elde etmek için bir protonu nötrona dönüştürmek gerekir.
gerekir
Nükleer kuvvet proton ve nötron arasında bir ayrım yapmadığı için,
nükleon sisteminin sadece Coulomb enerjisi
j değişir.
ğ ş İki ççekirdek
arasındaki bu enerji farkı, iki proton arasındaki uzaklığı içerir.
Buradan hareketle, çekirdek boyutu hesaplanabilir.
238
92
U146 ve
U147 çekirdekleri için durum çok farklıdır. Nötron ve
238
91
protonlar ayrı ayrı Pauli ilkesine uydukları için,
için 147.
147 nötronun
yörüngesi 92. protonun yörüngesinden çok farklı olacaktır. Bu etkiyi
Coulomb
Cou
o b eenerjisinden
e j s de yo
yola ççıkarak hesaplamak
es p
çok zordur.
ço
o du . Bunun
u u
için, yörünge değişikliği gerektirmeyecek çekirdekler seçilmelidir.
Birinci çekirdeğin Z’ si, ikinci çekirdeğin N’ sine eşit olmalıdır.
Böyle çekirdek çiftlerine “ayna çekirdekler” denir.
R yarıçaplı, Q düzgün yüküne sahip bir kürenin Coulomb potansiyel
enerjisi,
enerjisi
3 1 Q2
EC 
5 4 0 R
ifadesine sahiptir. Ayna çiftler arasındaki Coulomb enerji farkı,
3 e2
3 e2
2
2
 Z  ( Z 1)  
EC 
 2Z 1
5 4 0 R
5 4 0 R
ile verilir.
A Z  N  2 Z 1
ve
 3 e2
EC 
 5 4 0 R0
 2/3
A

sonucu elde edilir.
R  R0 A1/3
denirse,
Bu enerji farkı iki yolla ölçülür.
Birincisi; çiftlerden biri diğerine
nükleer  bozunumu ile dönüşebilir.
Bu bozunmada bir pproton,, ppozitron
yayınlayarak
nötrona
dönüşür.
Pozitronun maksimum enerjisi, iki
çekirdek arasındaki enerji farkının
bir ölçüsüdür. İkincisi; nükleer
reaksiyon yoluyladır.
yoluyladır Örneğin,
Örneğin 11B
gibi bir çekirdek protonlarla
ğ
bazen bir
bombardıman edildiğinde
nötron yayınlayarak 11C çekirdeği
meydana gelir. Bu reaksiyonun oluşması için gerekli minimum
proton enerjisi, iki çekirdek arasındaki enerji farkının bir ölçüsüdür.
Ayna çekirdekler için ölçülen enerji farkının, A2/3 ’ e göre değişimi
çizgiseldir ve doğrunun eğiminden hesaplanan R0 değeri 1,22
1 22 fm
olarak bulunmuştur.
İki çekirdek arasındaki nükleer kuvvet ile ilgili bir deneyle nükleer
yarıçap ölçülebilir.
ölçülebilir Çekirdekler arasındaki kuvvetin uzaysal
dağılımından nükleer yarıçap tespit edilebilir. Bu durumda nükleer
yyarıçap
ç p Coulomb kuvvetinden ççok nükleer kuvvet ile ilgilidir.
g
Dolayısıyla, bu yarıçaplar tüm nükleonların dağılımıyla ilgilidir.
Nükleer madde yarıçapları için de benzer hesaplamalar yapılmış ve
nükleer yük yarıçapları için bulunan sonuçlarla hemen hemen eşit
(0 1 fm farkla) bulunmuştur.
(0,1
bulunmuştur Her ikisi de R0=1,2
=1 2 fm olmak üzere
R=R0A1/3 bağımlılığı gösterir.
Proton itmesi protonların dışarı doğru itilmesine ve nötron-proton
kuvveti, nötronların içeri doğru çekilmesine neden olur. Böylece,
nötron ve proton karışımı, nükleer yük ve madde yarıçapları yaklaşık
eşit olacak şekilde bir dağılım oluştururlar.
Çekirdeklerin Kütlesi ve Bolluk Oranları:
Çekirdekte proton ve nötronları bir arada tutan kuvvet nükleer
kuvvettir. Nükleonlar bir araya gelerek çekirdeği oluşturduklarında,
oluşan çekirdeğin kütlesi bunu oluşturan nükleonların toplam
kütlesinden küçüktür. Bu fark, E = Mc2 ile verilen bir enerjiye
karşılık gelir.
gelir Bu
B enerji nükleonların bir araya
ara a gelmesi sırasında
açığa çıkan enerjidir ve ‘‘bağlanma enerjisi’’ olarak adlandırılır.
Diğer bir deyişle, bağlanma enerjisi nükleonları bir araya getirmek
için gerekli olan enerjidir.
Herhangi bir malzeme içindeki çekirdek kütlelerini ve bağıl
miktarlarını belirlemeye yarayan ve günümüzde 106 duyarlılıkla
ölçüm yapabilen cihazlar ‘‘kütle spektrometresi’’ olarak adlandırılır.
adlandırılır
Bütün kütle spektrometreleri, iyonlaşmış atom veya molekül demeti
üreten bir iyon kaynağına sahiptir. Kaynaktan yayılan farklı
kütlelerdeki iyonlar geniş bir hız dağılımına sahiptir.
Kütle spektrometresinin
p
diğer
ğ bir bölümü de,, birbirine dik elektrik ve
manyetik alanların bulunduğu ‘‘hız seçici’’ bölümdür. Bu bölümden
geçen iyonlar, diğer bir manyetik alan bölgesine dik olarak girerler
ve farklı
f kl yarıçapta yörüngeler
l izleyerek
i l
k fotoğrafik
f ğ fik bir
bi plakaya
l k
çarparak iz oluştururlar. Bu bölge ‘‘momentum seçici’ bölge olarak
adlandırılır Tipik bir kütle spektrometresinin şematik gösterimi
adlandırılır.
şekildeki gibidir.
E
qE  qvB  v 
B
v2
qvB  m
r
qrB 2
m
E
mv
 r
qB
Kütleleri 106 duyarlıkla belirlemek için, ifadedeki tüm nicelikleri de
aynı duyarlıkta
d
l k bilmemizi
bil
i i gerektirir.
k i i Bunun
B
i i spektrometre
için,
k
bilinen bir kütleye göre ayarlanır (referans kütle) ve tüm diğer
kütleler bağıl olarak belirlenir.
belirlenir Atomik kütle ölçeğinde bu referans,
referans
kütle değeri tam olarak 12 u olan 12C atomu alınır. 1H gibi bir atomun
kütlesi, birbirine çok yakın iki kütle arasında fark ölçülerek
hesaplanır.
Örneğin,128
Örneğin,
128 kütle numaralı C10 H 8 ve C9 H 20 kütleleri arasındaki fark,
 0, 09390032  0, 00000012 olarak ölçülür.
   C
 m  C9 H 20   m  C10 H 8  12m 1H  m
 
m H 
1
 m
 C  1, 00000000 
12
12
12
1,
1 00782503 00, 00000001 u
12
1
H için bulunan bu kesin değer ile, cihaz 28 numaralı kütle için
ayarlanırsa,
l
C2 H 4 ve N 2 kütleleri
kü l l i arasındaki
d ki fark,
f k
 0, 025152196  0, 000000030 olarak ölçülür.
     N

m  N   m  C   2m  H   14, 00307396  0, 00000002 u
2
 m  C2 H 4   m  N 2   2m
14
12
C  4m 1H  2m
12
14
1
bulunur. Birbirine çok yakın kütleler arasındaki küçük farkları ölçen
bu sistem, ‘‘kütle ikilisi’’ (mass doublet) yöntemi olarak bilinir.
Çekirdek reaksiyonlarında parçacıkların enerjilerini ölçerek de kütle
farkını belirlemek mümkündür. xx+X
X  yy+Y
Y çekirdek reaksiyonunu
göz önüne alalım. Bu reaksiyonda, x gelen parçacığı X hedef
çekirdeği üzerine gelmekte ve reaksiyon sonucunda y parçacığı ve Y
çekirdeği oluşmaktadır.
Enerjinin korunumu prensibinden,
mx c 2  K x  mX c 2  K X  m y c 2  K y  mY c 2  KY
 m m
x
2


 K y  KY  K x  K X
m
m
c

X
y
Y
Q  K son  K ilk
Q  mx  mX  m y  mY  c 2
Reaksiyona giren ve çıkan birimlerin kinetik enerjileri ölçülerek
reaksiyonun Q değeri belirlenebilir ve buradan da kütleye geçilebilir.
Örneğin, 1H + 14N  12N + 3H reaksiyonunu göz önüne alalım. Bu
reaksiyonun
ki
öl ül Q değeri
ölçülen
d ğ i 22,1355
22 13550,0010
0 0010 MeV’
M V’ dir.
di
 
 
 
 m 1H 1, 00782503 u 
m


 3

m
H

3,
02347509
u


m
 14

 m N 14, 00307396 u 


12
12
Q
N m H  2
c
      
N  12, 018613 0, 000001 u
N m H  m
1
14
3
Kütle spektrometresi, bir elementin çeşitli izotoplarının bağıl
miktarlarını ölçme olanağı da sağlar.
sağlar Fotoğrafik plaka yerine dar bir
yarık açılırsa, E ve B değiştirilerek kütle aralığı taranabilir ve yarık
üzerine düşen
ş
iyonların
y
oluşturduğu
ş
ğ akım ölçülebilir.
ç
Kripton
p
elementi için böyle bir ölçümün sonucu şekilde verilmiştir.
Piklerin
bağıl
alanlarından
alanlarından,
Kripton’ un kararlı izotoplarının
bağıl
ğ miktarları:
78
Kr % 0,356
83
Kr
80
Kr % 2,
2 270
84
Kr % 57
57, 00
82
Kr
86
Kr
% 11, 60
% 11,50
% 17,30
bulunur. Taramada görülmeyen kütleler (78Kr’ nin altı, 79Kr, 81Kr,
85Kr ve 86Kr’ nin üstü) radyoaktiftir ve doğal kriptonda bulunmazlar.
Kütle numaraları bağıl miktarlarla çarpılıp toplanırsa, kriptonun
kütlesi 83,8 u olarak bulunur.
Çekirdeklerin Bağlanma Enerjisi:
Bir çekirdeğin mÇc2 kütle enerjisi, mAc2 atomik kütle enerjisinden Z
tane elektronun toplam kütle enerjisini çıkarıp, toplam elektron
bağlanma enerjisini eklemekle bulunur:
Z
mÇ c  mAc  Zme c   Bi
2
2
2
i1
Bi , i. elektronun bağlanma enerjisidir. Ağır atomlarda atomik kütle
enerjisi
ji i A
A 1000 MeV ve elektronların
l k
l
b l
bağlanma
enerjisi
ji i ise
i 10-100
10 100
keV mertebesindedir. Bu nedenle yukarıdaki denklemde son terim
ihmal edilebilir.
edilebilir
Bir çekirdeğin B bağlanma enerjisi, ZA X N çekirdeği ile bunu oluşturan
Z proton
t ve N nötronun
öt
kütl enerjilerinin
kütle
jil i i toplamı
t l
arasındaki
d ki farka
f k
eşittir:

B  Zm p  NmN   m
 X  Zm  c
A
e
2
Bir elektron ve bir proton nötr bir hidrojen atomu oluştururlar.
Böylece
l
b l
bağlanma
enerjisi,
ji i
 
B   Zm 1H  NmN  m
 X  c
A
2
biçiminde yazılabilir. Kütleler genellikle atomik kütle birimi
cinsinden verildiği için, c2 = 931,502 MeV/u şeklinde vermek daha
uygundur.
Bir çekirdekten bir nötron ayırmak için gerekli enerji miktarına Sn
‘‘nötron ayrılma enerjisi’’ denir ve ilk çekirdekle son çekirdeğin
bağlanma enerjileri arasındaki farka eşittir:
ilk çekirdek 
  Sn  B
A1
Z X N 1 son çekirdek 

S n   m AZ1 X N 1  m ZA X N  mn  c 2
A
Z
XN


 

A
Z
 
X N B
A1
Z
X N 1

Benzer şekilde, bir çekirdekten bir proton ayırmak için gerekli enerji
miktarına Sp ‘‘proton ayrılma enerjisi’’ denir ve ilk çekirdekle son
çekirdeğin bağlanma enerjileri arasındaki farka eşittir:
A
Z
XN
A1
Z 1
XN
S p   m
ilk çekirdek 
  S p B
son çekirdek 

A1
Z 1
 
X N m
A
Z

A
Z
 
X N B
A1
Z 1
XN
  
X N  m 1H  c 2
Nötron ve p
proton ayrılma
y
enerjileri,
j
atom
fiziğindeki iyonlaşma enerjilerine benzer.
En dıştaki nükleonların bağlanmaları
h kk d bilgi
hakkında
bil i verir.
i Ayrılma
A l
enerjileri,
jil i
atom iyonlaşma enerjileri gibi, çekirdekte
kabuk yapısına benzer bir yapının
olduğunu gösterir. Kütle eksiği ise
aşağıdaki
ğ
bağıntı
ğ
ile verilir:
  m  A X  A c 2

Bağlanma enerjisi, A ile hemen hemen lineer arttığı için, B/A
nükleon başına bağlanma enerjisini A’ nın fonksiyonu olarak
çizmek genel bir uygulamadır. Bu değişim şekildeki gibidir. Grafik
dikkatle incelendiğinde
ğ
önemli bir kaçç özellik hemen ggöze ççarpar.
p
• Eğri
ğ A60’ ta maksimumdur. Burada ççekirdekler ççok sıkı
bağlıdır.
• Ç
Çekirdeklerin
ki d kl i
nükleon
ükl
b
başına
b ğl
bağlanma
enerjileri,
jil i ağır
ğ
çekirdekler için, yaklaşık sabittir. Bu enerji A=60 için 8,7 MeV
ve A=240
240 için 7,5
7 5 MeV civarındadır.
civarındadır
• A < 60 olan çekirdekler birleştirilerek daha ağır çekirdekler elde
edilerek bu enerji kazanılabilir (nükleer füzyon). A > 60 olan
çekirdekler bölünerek daha hafif çekirdekler elde edilerek bu
enerji
ji kazanılabilir
k
l bili (nükleer
ükl
fi
fizyon
)
).
• Nükleon başına bağlanma enerjisinin sabit oluşu,
oluşu nükleonların
sadece komşu nükleonlarla etkileştiğini göstermektedir. Bu ise
nükleer kuvvetin menzilinin neden çok kısa olduğunu açıklar.
Yarı-ampirik kütle formülü:
Hacim Terimi: Elektron saçılma deneylerinden çekirdek
yoğunluğunun yaklaşık sabit olduğunu ve böylece her nükleonun
aynı sayıda
d komşuya
k
sahip
hi olduğunu
ld ğ
bili
biliyoruz.
D l
Dolayısıyla
l her
h
nükleon bağlanma enerjisine aynı miktarda katkıda bulunur. Böylece
hacim terimi,
terimi
Bh
 ah
A
veya
y
Bh  ah A
ifadesine sahip
p olur.
Yüzey Terimi: Çekirdek yüzeyinde bulunan nükleonlar, az sayıda
nükleonla komşu olduklarından çekirdeğe daha zayıf bağlıdırlar.
Çekirdeğin yüzey alanı R2 ile orantılı olduğundan, bu terim de A2/3
il orantılı
ile
t l olmalıdır.
l ld
Bö l
Böylece
yüzey
ü
nükleonların
ükl l
b ğl
bağlanma
enerjisine katkısı,
By  a y A
2/3
şeklinde verilir.
Coulomb Terimi: Coulomb itme kuvveti çekirdeğin daha zayıf
bağlanmasına yol açar.
açar Her proton diğer tüm protonları ittiğinden,
ittiğinden
bu terim Z(Z-1) ile orantılıdır. Çekirdeği düzgün yüklü bir küre
kabul ederek tam bir hesap yapılırsa,
3  e 2  Z ( Z 1)
BC  

5  4 0 R0  A1/3
bulunur. Sabit terim aC alınırsa Columb terimi,
BC  aC Z ( Z 1) A1/3
şeklinde verilir.
Simetri Terimi: Z = N şartını sağlayan çekirdekler kararlıdır. Z  N
durumundaki çekirdekler ise kararsızdır dolayısıyla, nükleonların
b ğl
bağlanma
enerjileri
jil i zayıftır.
ft Bu
B nedenle,
d l bağlanma
b ğl
enerjisiinden
ji ii d
uygun bir terimin çıkarılması gerekir. 12 proton ve 12 nötron içeren
kararlı bir çekirdek olsun. Her ikiside ayrı ayrı Pauli dışarlama
ilkesine uyarlar ve şekil gösterildiği gibi tüm enerji düzeyleri doludur.
Düzeyler arasındaki enerji farkı E’ dir ve A büyüdükçe azalır.
Şimdi sırayla
Ş
y p
protonları kaldırıp,
p, y
yerlerine nötron yyerleştirelim
ş
ve
bu iş için harcamamız gereken enerjiyi hesaplayalım
( proton ;  nötron):
E
Z=12
N=12
Z=10
E1=2E
N=14
Z=8
N=16
E2=23E
Z=6
N=18
E3=25E
ET  E1  E2  E3  2E 1 3 5  2n 1 
;
N Z
n
4
n2
1
N  A Z ; E 
A
ve Bsim.  ET

Bsim.  asim.
 A 2 Z 
A
2
Eşleşme Terimi: Aynı tür nükleonlar, spinleri zıt yönde olacak
şekilde çiftler oluşturarak sıkıca bağlanırlar.
bağlanırlar Çift
Çift-Z ve çift-N’
N li
çekirdeklerde, bu terimin bağlanma enerjisine katkısı pozitif, tek-Z
ve tek-N’ li çekirdeklerde ise bağlanma enerjisine katkısı negatiftir.
Çift-Z;tek-N veya tek-Z;çift-N’ li çekirdeklerde bu terimin katkısı
sıfırdır. Deneysel verilerle uyumlu eşleşme teriminin,
Bçift  açift A3/4
ifadesine sahip olduğu bulunmuştur. Bu beş terim birleştirilerek
toplam
p
bağlanma
ğ
enerjisi
j için,
ç ,
B  ah A a y A2/3  aC Z ( Z 1) A1/3  asim.
 A 2 Z 
A
2
 açift A3/4
ifadesi elde edilir. B için bu ifade kullanılarak yarı-ampirik kütle
f
formülü
ülü elde
ld edilir.
dili
 
M ( Z , A)  Zm 1H  NmN  B ( Z , A)/ c 2
Nükleon başına bağlanma enerjisi eğrisi bu fonksiyona fit edilirse,
ah=15,5
, MeV;
V; ay=16,8
, MeV;
V; aC=0,72
,
MeV;
V; asim.
V;
sim =23 MeV;
açift.=34 MeV değerleri bulunur.
Yarı-ampirik
Y
i ik kütle
kü l formülü,
f
ülü sabit
bi bir
bi A için
i i M’ nin
i Z’ ye göre
ö bir
bi
parabolünü verir. Parabolün tepe noktası, M’ nin minimum olduğu
noktadır.
noktadır
M
0
Z

 
 mn  m 1H  c 2  aC A1/3  4asim.

Z min  
2aC A1/3 8asim. A1
Elde edilir. aC=0,72 MeV ve asim.=23 MeV değerleri için pay
kısmındaki ilk iki terim ihmal edileblir ve böylece,




A
1

Z min 
2  1 2/3/  aC  
1 A 

 4
 asim.  
bulunur. Küçük A değerleri için
Z  A/2, büyük A değerleri için
Z < A/2 olur. Ağır çekirdekler için bu
denklem Z/A  0,4
0 4 değerini verir ve
gözlenen değerlerle uyumludur.
Nükleer Açısal Momentum ve Parite:
Çekirdekteki her nükleon l (yörüngesel açısal momentum), s (spin
açısal momentum) ve j (toplam açısal momentum) ile temsil edilir. A
nükleonlu bir çekirdeğin toplam açısal momentumu, tüm
nükleonların açısal momentumlarının vektörel toplamıdır. Bu toplam
açısal momentuma nükleer spin denir ve I ile gösterilir.
gösterilir Kuantum
mekaniksel momentum vektörlerinin tüm özelliklerine sahiptir:
I 2   2 I ( I 1) ve I z  m , ( m  I ,  I 1,...., I 1, I )
I’ nın izinli değerleri üzerinde önemli bir kısıtlama, tek tek
nükleonların toplam açısal momentumlarının z-bileşenlerinin göz
önüne alınmasından kaynaklanır. j buçuklu değerler aldığından
(1/2, 3/2, 5/2, ….), mümkün z-bileşenleri de buçuklu değerler alır
(±ћ/2,
/2 ±3ћ/2,
/2 ±5ћ/2,
/2 ….).
) Nükleon sayısı çift ise I’ nın z-bileşeni
bileşeni
tamsayı, tek ise I’ nın z-bileşeni buçuklu sayılar olur.
Bilinen çiftçift Z ve çiftçift N’ li çekirdeklerin hepsi 0 spinli taban
durumuna sahiptir. Yani, nükleonlar toplam I sıfır olacak şekilde
bağlaşırlar. tek
tek-A’
A lı bir çekirdeğin taban durum spini, tek proton
veya tek nötronun j’ sine eşit olur.
Nükleer spin yanında,
yanında parite () de nükleer durumları belirlemede
kullanılır. Parite + (çift) veya  (tek) değerler alabilir. Her nükleonun
dalga fonksiyonu bilinirse, A nükleonun her birisinin paritelerini
birbiriyle çarparak nükleer pariteyi bulabiliriz. Sonuç + veya 
olacaktır. Pratikte bu mümkün değildir ancak, nükleer bozunma ve
reaksiyon
ki
t k ikl i kullanılarak
teknikleri
k ll l k doğrudan
d ğ d ölçülebilir.
öl ül bili Parite,
P it nükleer
ükl
spine üst indis olarak konulan + veya  işareti ile (I) ifade edilir.
Nükleer Manyetik Momentler:
Elektrik yük ve akım dağılımları uzaklıkla değişen elektrik ve
manyetik
y
alan oluştururlar:
ş
1/r2 ile değişen
ğ ş elektrik alan terimi
monopol, 1/r3 ile değişen elektrik alan terimi dipol, 1/r4 ile değişen
elektrik alan terimi kuadropol, …. Manyetik alan ise, monopol
terimi hariç benzer şekilde ifade edilir.
Monopol elektrik moment tam olarak Ze net nükleer yüktür. Bir
sonraki sıfırdan farklı moment  manyetik dipol momentidir. i
akımı taşıyan ve sınırladığı alan A olan dairesel bir akım halkası, iA
bü üklüğü d bir
büyüklüğünde
bi manyetik
tik dipol
di l momente
t sahiptir.
hi ti Akımı
Ak
oluşturan, r yarıçaplı dairesel bir yörüngede v sabit hızıyla hareket
eden bir e yükü ise,
e
e
2 evr

r 

l
2 2m
 2 r / v 
olur.
Burada l klasik açısal momentum (mvr)’ dur. Kuntum
mekaniğinde
k iği d l’ nin
i en büyük
bü ük bileşeninin
bil
i i doğrultusuna
d ğ l
k lk
karşılık
gelen manyetik moment, gözlenebilir manyetik moment olarak
tanımlanır lmax= mlћ ve ml = +l olduğundan,
tanımlanır.
olduğundan
e

l
2m
dir. Buradaki l yörüngenin açısal momentum kuantum sayısıdır.
eћ/2m niceliğine ‘‘manyeton’’ denir. Atomik hareket için elektron
kütlesi kullanılır ve Bohr manyetonu için B = 5,7884105 eV/T
elde edilir. Proton kütlesi kullanılırsa nükleer manyeton için
N = 3,15254
3 15254108 eV/T değeri elde edilir.
edilir Elektron ve proton
kütleleri arasındaki farktan dolayı N<<B olduğuna dikkat ediniz.
Manyetik moment, gl , l yörünge açısal momentumuna karşılık
gelen
l g çarpanı olmak
l k üzere,
ü
  gl l  N
ifadesi ile de verilebilir. Protonlar için gl = 1 ve nötronlar yüksüz
olduğu
ld ğ için
i i gl = 0’ dır.
d
P
Proton
ve nötronun
ö
yörüngesel
öü
l
hareketlerinin yanı sıra, klasik fizikte karşılığı olmayan ve
aşağıdaki şekilde yazabileceğimiz spin manyetik momentleri de
vardır:
  g s s N
Proton, nötron ve elektronlar için s = 1/2’ dir. gs niceliği spin g
çarpanı olarak bilinir ve göreceli kuantum mekaniksel
denklemlerin çözümünden hesaplanır.
hesaplanır
Elektron gibi 1/2 spinli bir nokta parçacık için Dirac denklemi
gs = 2 değerini verir ve ölçümlerden bulunan 2,0023
2 0023 sonucu
bununla
uyumludur.
Aradaki
küçük
fark,
kuantum
elektrodinamiğinin
ğ
yüksek
y
mertebeli
düzeltmelerinin
kullanılmasıyla giderilebilir. Serbest nükleonlar için ölçülen
deneysel değerler, nokta parçacıklar için beklenen değerlerden
oldukça
ld k farklıdır:
f kl d
Proton:
g s 
5,5856912
5 5856912  0,
0 0000022
Nötron:
g s 3,8260837  0, 0000018
Protonun değeri nokta parçacık için beklenen 2 değerinden oldukça
farklıdır ve yüksüz nötron da sıfırdan farklı bir manyetik momente
sahiptir. Bu farklılığın nedeni, nükleonların üç kuarktan meydana
geliyor olmasıdır. Kuarkların manyetik momentlerinin toplamı
doğrudan nükleon manyetik momentini verir.
Bir sonraki sıfır olmayan moment elektrik kuadropol momenttir.
Bir klasik nokta yük e’ nin eQ kuadropol momenti, e(3z2r2)
şeklindedir. Parçacık küresel simetriyle hareket ediyorsa,
z2 = x2 = y2 = r2/3 ve kuadropol moment sıfır olur.
olur Parçacık bir
düzlemde hareket ediyorsa, örneğin xy-düzleminde z = 0 ve
Q = rr2 olur.
Kuantum mekaniğinde kuadropol moment bir tek proton için,


eQ  e   * 3 z 2  r 2  dv
ve bir yörüngesel nötron için Q = 0’ dır. 2 küresel simetrik ise
Q = 0’ dır. Eğer 2 xy-düzleminde yoğunlaşmışsa (z = 0),
Q= <r2>, eğer z-ekseni boyunca yoğunlaşmışsa (z = r) Q = +2<r2>
olur Burada <r2>,
olur.
> yörüngenin karesinin ortalamasıdır.
ortalamasıdır
Kuuadropol momenti, yüzeye yakın yörüngede hareket ettiğini
varsaydığımız
değerlik
nükleonundan
hesaplanabilir.
eQe(R0A1/3)2 mertebesinde olacaktır. Bu değer hafif
çekirdeklerde 61030 m2, ağır çekirdeklerde 501030 m2
civarındadır. Nükleer fizikte tesir kesitleri için çok kullanılan
1028 m2 birimi barn (b) olarak bilinir.
Ders notlarının hazırlanmasında
kullanılan temel kaynak:
Kenneth S. Krane
Introductory Nuclear Physics
John Wiley & Sons,
Sons New York,
York 1988.
1988
Download