7. HAFTA
3.3. ÇEKİRDEK MODELLERİ
Çekirdeği anlamak için temel tanımlamamız şu şekilde özetlenebilir: çekirdeğin içerisinde
nükleonların nasıl hareket ettikleri ve nükleer kuvvetlerin nasıl davrandıklarıdır. Protonlar,
nötronlar, elektronlar ve atomların elektrodinamik ve kuantum mekanik kanunlarına nasıl
uyduklarını bilmekteyiz. Burada problem çekirdeği bir arada tutan kuvvetlerdir. Atomda
etkileşim kuvvetleri Coulomb kuvvetidir ve özellikleri çok iyi bilinmektedir. Coulomb
kuvveti elektron ve çekirdek arasındaki Coulomb etkileşimi hareketi hakkında önemli rol
oynar böylece problem rahatlıkla çözülebilir.
Fakat çekirdekte en etkin etkileşim kuvveti çekirdek kuvvetidir. Son bölümde tartıştığımız
üzere bu kuvvet hakkında bir çok şey bilmekteyiz fakat Coulomb kuvveti gibi kapalı bir form
yazamamaktayız. Çekirdek kuvvetlerini tamamen anlamış olsak bile hala başka problemlerle
karşılaşabiliriz. Atomda elektronların etkileşimleri küçük pertürbasyonlar şeklindedir.
Bununla birlikte çekirdek içerisinde bir çok nükleonun karşılıklı etkileşimleri çekirdeği bir
arada tutar dolayısıyla iki cisim Coulomb problemi gibi (elektron ve atom çekirdeği arasında )
bir çözüme ulaşmak mümkün olamamaktadır. Bir düşünce istatistiksel yaklaşımla bunun
yapılabileceğidir fakat istatistiksel metotları kullanabilmek için de yeterince nükleon sayısının
olmaması gibi bir problemle karşı karşıya gelinir. İşte bu problemler çekirdeği çok ilginç ve
araştırmaya değer sebepler şeklinde adlandırılabilir. Çekirdek çok cisim kuantum sistemidir
ve birçok parçacık birbirinden bağımsız etkileşim içinde olup bir kaç parçacık istatistiksel
metotlara uyar. Bu zorlukların sonucunda farklı çekirdek modelleri çekirdek içindeki
nükleonların hareketlerini tasvir eder ve çekirdek yapıları hakkında bilgi verir. Bazen özel bir
model sadece bir tek özelliğini açıklayabilir. Bununla birlikte teorik çalışmaların gelişmesi ve
büyük kapasiteye sahip bilgisayar teknolojileri kullanmakla mikroskobik çekirdek model
hesaplamaları çekirdek hakkında geliştirilmektedir. Nükleon-nükleon etkileşimlerinden
çekirdek özellikleri gözlemlenebilmektedir. Dikkat edilecek olursa iki nükleon arasındaki
kuvvete ilave olarak üç cisim etkileşimleri de hesaba alınmalıdır. Mikroskobik ve
makroskobik çekirdek modelleri ve yeni deneysel sonuçların arasındaki ilişki bugünkü
nükleer fizik çalışmalarında en güncel olan durumlardır.
1932 yılından beri birçok çekirdek modeli ortaya konmuştur. En erkeni daha önceden de
belirttiğimiz gibi sıvı damla modelidir. Bu modele göre nükleonlar çekirdek içerisinde
kolektif olarak hareket ederler bu yüzden kolektif model olarak ta adlandırılır. Bunun zıttı bir
model ise birbirinden bağımsız parçacık modelidir. Bu da fermi gaz modeli olarak
adlandırılır. Nükleonlar çekirdek içerisinde birbirinden bağımsız hareket ederler. Şimdi bu
modeli kısaca açıklayalım; daha sonra iki başarılı çekirdek modelini, küresel çekirdek kabuk
modeli ve çekirdek kollektif modeli ele alalım. Küresel çekirdek kabuk modeli 1949 yılında
M. G. Mayer ve J.H.D. Jensen ve arkadaşları tarafından ortaya konmuş ve 1963 yılında Nobel
fizik ödülünü almışlardır. Çekirdek kollektif model 1952 yılında A.Bohr ve B.Mottelson
tarafından ortaya konmuş ve 1975 yılında Nobel fizik ödülünü almıştır. Gerçekte çekirdekler
bu iki geniş kategoriye ayrılırlar. Şekil 11.5a’da görüleceği üzere 2+ ilk uyarılma enerjileri
şekil11.5b de bu uyarılma enerjisine ait elektrik kuadrupol geçiş olasılıkları görülmektedir.
Şekil 11.5a da görüldüğü üzere 2+ enerji düzeyleri 0.5-4 MeV arasında oldukça büyük ve
geçiş olasılıkları oldukça küçüktür. Şekil 11b’de dikkat edilecek olursa A=120 ve 200
arasında geçiş olasılıkları oldukça büyük buna karşın 2+ enerji düzeyleri daha küçüktür. Bu
şekillerden anlaşılacağı üzere nadir toprak elementleri ve aktinitlerin enerjileri oldukça düşük
ve geçiş olasılıklarının ise oldukça büyük olduğudur.
Nükleonlar arasındaki etkileşimde kritik durum hem kabuk modelinde hem de kolektif
modelde çok önemli bir durumdur. Nükleon –nükleon etkileşimleri spin bağımlı olduğundan
proton ve nötron birleşerek deteryum çekirdeğini oluşturur ve deteryumun gözlenen toplam
spini S=J=1 şeklindedir. Buradan da anlaşılmaktadır ki çekirdek içerisinde çok güçlü bir
çiftlenim kuvveti vardır. Çekirdek içerisinde her bir proton diğer protonla ve her bir nötron
diğer nötronla çiftelenerek S=0 spininde birleşmektedir. Böylece çift Z ve çift N ye sahip
çekirdeklerin spinleri daima sıfırdır. M.Mayer bu kuralı kullanarak kendi kabuk modelinde
tek A çekirdeklerinin spinlerinin çiftlenmemiş son parçacıktan belirlenebileceğini açıkladı.
Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS teorisi) Süperiletkenlik teorisi çekirdeklerdeki çiftlenim
durumlarını anlamada önemli bir mihenk taşı olmuştur. Süperiletkenliğin kalbi olan bu fikir
zıt spine sahip olan iki elekron(S=0) çiftlenim oluşturarak malzeme içerisinde bir çeşit bağlı
düzey oluşturur. Cooper çiftleri bozon gibi davranır. A.Bohr,B.R.Notelson ve D.Pines ve
S.Belyaev nükleer fiziğe BCS teorisini uygulamıştır. Çift-çift çekirdeklerde nükleonların
çiftlenmesinden dolayı yasak bir enerji oluşmaktadır. Aynen süperiletkenlerde olduğu gibi
fakat burada bu enerji aralığı protonlar ve nötronlar arasında olmaktadır. Çiftlenim aralığının
altında yalnızca kolektif rotasyonel ve vibrasyonel uyarılmalar çift-çift çekirdeklerde
olmaktadır. Tek bir parçacığın bir yörüngeden diğer yörüngeye ulaşabilmesi için bu
çiftlenimi kıracak bir enerjiye ihtiyaç vardır. Kabuk modeli ve kolektif modeli ele aldığımızda
bu modellerin uzantılarını mikroskobik tanımlamalarda araştırmamız gerekir.
Bir çekirdek, diğer kuantum mekaniksel sistemler gibi, bir set karakteristik enerji,
veya uyarılmış durumalrı içerir. Bunların en önemlisi, stabil (durağan) bir durumdadır ki bu
da temel durum olarak adlandırılır. Çekirdekler normal olarak bu durumda bulunmazlar. Bir
nükleer modelin gayesi nükleer özellikleri açıklamak için bir pratik yöntem oluşturmaktır.
Ideal olarak nükleer yapıların hesaplanması, nükleer içerikteki kuvvetlerle ilgili yasaların
bilinmesini gerektirir. En basit çekirdek için bu yönde bir geşilme kaydedilmiştir. Fakat daha
büyük çekirdekler için bir model uygulaması gerekmektedir. Çok erken ortaya konan
modeller çeşitli şekillerde başarızısız olmuştur. Faydalı bazı modeller şu şekilde özetlenebilir.
a-)Fermi Gaz Modeli
Bu modelde nötronlar ve protonlar bağımsız olarak bulunurlar ve çiftler halinde nükleer
hacime eşit bir hacim içerisinde bulunurlar ve düzlem dalgalarla açıklanırlar. Bir R nükleer
boyutu ve kütleleri M olan A tane parçacık için de Broglie dalga boyu
λ ≈ R/ A
1
3
ve buna karşılık gelen momentum
1
hA 3
P=
R
Parçacık kinetik enerjisi:
2
P2
A 3
T≈
≈
2 M MR 2
ve tüm çekirdekler için ∼ A5/3/MR2 dir. Potansiyel enerji ise etkileşen çiftlerin sayısı ile
A( A − 1)
orantılıdır. Yani
. A yeterli büyüklükte ise potansiyel enerji temel terimlerdir. Bu
2
modele göre çekirdek yıkılacağından nötron –proton etkileşiminin bunu önliyecek şekilde
açıklanması gerekir. Bu model büyük çekirdeklere iyi uygulanabilir. Bu model yüksek enerji
çarpışma problemlerinde çok faydalı açıklamalar getirmiştir.
Bu modelin temeli birbirinden bağımsız parçacık modeline dayanmaktadır. Çekirdeğin
içerisindeki nükleonlar bir potansiyel kutusu içerisinde birer gaz molekülü gibi birbiriyle
etkileşim içerisinde olmadan hareket ederler. Nükleonlar fermionlar olduğundan dolayı
çekirdek fermi-gaz olarak ele alınabilir. Nükleonların hareketlerini belirleyen en önemli faktör
onların Pauli dışarlama ilkesidir. Nükleonlar birbirinden bağımsız olarak çekirdek içerisinde
etkileşmeden hareket edebilirler çünkü bütün izinli temel düzeyler doludur. Fermi düzeyi ve
bu düzeyin üzerinde ki durumlar daha alt fermi düzeyi altında bulunan nükleonlar tarafından
ulaşılamaz enerji değerindedir. Bunu açıklamak için şöyle bir şey söylenebilir iki protonun
çarpıştığını düşünelim bir proton fermi düzeyinin altında ki daha yüksek enerji düzeyine
gidebilir. Diğer proton daha düşük bir enerji düzeyinde enerjinin korunumu gereği daha düşük
bir enerji düzeyine gitmelidir. Fakat bütün düşük enerji düzeyleri doludur dolayısıyla iki
parçacık birbirleriyle etkileşim içine girmezle ve enerji değişimi yapmazlar.
n ve p lar farklı yüklere sahip olduklarından potansiyelin derinliği ve şekli şekil11.6 da
görüldüğü üzre aynı değildir. Burada B deneysel bağlanma enerjsi ve Ec coulomb enerjisidir.
P kuyusunun tabanı n kuyusun tabanından Ec kadar daha yüksektedir. p kuyusunun üst kısmı
coulomb bariyerine sahip olup içte bulunan parçacıkların dışarı çıkmasını dışarıda
bulunanlarında içeri girmesini engeller. Eğer dışarıdan bir p gelip çekirdek içine girmek
isterse enerjisi bu bariyeri aşabilecek boyutta olamlıdır. Bu bariyerin daha düşük enerjili
parçacıkları tünelleme etkisi ile delinme ihtimali vardır.
Potansiyel kuyusunda kesikli enerji düzeyleri bulunmaktadır. Çekirdek temel düzeyde
iken Pauli dışarlama ilkesinin izin verdiği ölçüde nükleonlar en düşük enerji düzeyindedir. n
kuyusu içinde her bir enerji düzeyi iki n , p kuyusu içinde ise iki tane p bulunmaktadır.
Bunların spinleri yukarı ve aşağı şeklindedir. Çekirdek temel düzeyde bulunduğunda
nükleonların doldurduğu en yüksek düzey fermi enerji düzeyi olarak adlandırılır.
Bir boyutta kare kuyu potansiyel içerisinde bulunan bir parçacığın enerji düzeyleri
=
11.4
Burada m parçacık kütlesi ve d potansiyel derinlkği şeklindedir. Bunu üç boyuta genişletirsek
ℏ
=
( + + )
11.5
= 1,2,3, ….
= 1,2,3, ….
= 1,2,3 …
Bir boyuttaki durumun aksine enerji dejenelerliği artar. Bir tek temel düzey bulunmaktadır.
(n1,n2,n3) =(1,1,1) fakat üç tane aynı enerjide uyarılmış düzey vardır.(2,1,1), (1,2,1),(1,1,2,)
Fermi enerji düzeyi ve onun altında kaç tane düzey olduğunu bilmek zorundayız. Kaç
tane (n1,n2,n3) kombinasyonu bu şartı sağlar
+
+
≤
11.6
≡
+
11.7
+
≤
11.8
Eğer n1,n2,n3 kartezyen koordinat sisteminin üç ana ekseni olduğu kabul edilirse R kürenin
çapı olacaktır. Aynı enerjiye sahip düzeyler kürenin yüzeyinde R yarıçapsında olacaktır. Her
bir (n1,n2,n3) kristal örgüye karşılık gelir. En yüksek enerji , en büyük küresel yüzeye , en
büyük kristal örgüye ve en yüksek dejenereye sahiptir. Kaç tane n1,n2,n3 grubu eşitlik 11.6 yı
sağlar? Bu soru kaç tane kristal örgü R yarıçaplı küre yüzeyinde bulunabilir? Demeye eşittir.
Bütün pozitif n1,n2,n3 ler için kürenin 1/8 lik kısmının hacmi
= "
#
$
⁄
11.9
Şimdi n ları düşünelim her bir enerji düzeyinde iki tane n vardır(pauli dışarlama ilkesinden
dolayı) d3 lük bir hacimde n sayısı
⁄
& = " # ,# $
Çekirdek hacmi aşağısdaki şekilde yazılır
' =
)( *
( =
11.10
11.11
Böylece n un max kinetik enerjisi elde edilmiş olur yani fermi enerji düzeyi
ℏ
=
+,
# ,-
"
. /
0
⁄
$
11.12
Şeklinededir. Aynı benzer yolla p max kinetik enerjiyi de hesaplayabiliriz
ℏ
=
+,1
# ,-
"
. 2
0
$
⁄
11.13
Burada ro çekirdek çapıdır(1.20f). p ve n un max momentumlarının aşağıdaki eşitlikle
yazabiliriz.
3 =
ℏ
"
ℏ
"
,-
34 =
,-
. /
0
$
0
$
. 2
⁄
11.14
⁄
Yukarıdaki eşitliği elde etmek için göreceli olmayan enerji ve momentum bağıntılaraı
kullanıldı
+
=
5
11.15
Buna göre ortalam kinetik enerjiyi hesaplayacak olursak
〈 〉=
9
8-
9
8-
1
1
= :"
5
$
11.16
Çekirdeğin toplam kinetik enerjisi
〈 (;, &)〉 = &〈
=
(
/〉 +
ℏ
,-
.
;〈
" $
2 〉 = ( <&5
⁄
/ >⁄ ?2 >⁄
"
0 ⁄
+ ;5 4 =
11.17
$
Burada heriki p ve n kütleleri m olarak ele aldık aynı zamanda potansiyel kuyu genişliğini p
ve n için aynı değer aldık. Elbetteki başlangıçta heriki p ve n un birbirinden bağımsız hareket
ettiği varsayımını yaptık. Eşitlik 11.17 de Z=N, 〈 (;, &)〉 değeri minimumdur. Z-N=δ, alırsak
ve Z+N=A olarak tanımlarsak
A
& = * "1 − 0$
Eğer δ/A ≪ 1
A
; = * "1 + 0$
ise binom açılımını kullanırsak;
(1 + F) = 1 + F +
( − 1)
F +⋯
2
O halde N=Z olursa (11.17) eşitliği
〈 (;, &)〉 =
(
ℏ
,-
.
" $
⁄
"* +
: (2H/)
.
0
+… $
11.18
İlk terim A ile doğru orantılıdır ve hacim enerjisine katkıda bulunur. İkinci terim
IJK
(2H/)
11.19
0
Burada
.
IJK = " $
⁄
ℏ
,-
11.20
Eşitlik 11.18 den açıkça görüleceği üzere aynı A ya sahip çekirdeklerde Z=N olduğunda
çekirdek enerjisi minimum olmakta dır. Yani Z=N çekirdekler en kararlı çekirdeklerdir.
b-) Sıvı Damlası Modeli
N.Bohr ve F. Kalckan)
Bu model çok parçacık sisteminde nötronlar ve protonlar arasında güçlü etkileşimi ele alan
ve nükleer maddenin sürekliliğinden başlayan bir modeldir. Deneyde bulunan yakın aralıklı
pek çok düzeyin varlığına işaret eder. Bu modelle Bohr’un birleşik çekirdek teorisi tabii
açıklamasını bulur. Bu model aynı zamanda nükleer bağlanma enerjilerini ve yarı amprik
nükleer bağlanma formülü için temel teşkil eder. Büyük çekirdekler için geçerlidir.
c-) Yarı atomik kabuk Modeli:
Burada küresel simetrik bir potansiyelde hareket eden parçacık dalga fonksiyonları kullanılır.
Bu model spektroskopik sınıflandırma ve gözlenen periyodik özelliklerin açıklanmasında
faydalıdır.
3.4. NÜKLEER ÖZELLİKLERDEKİ DÜZENLİLİĞİN DENEYSEL KANITLARI
Bilhassa kabuk modelinin temelini oluşturan nükleer özellikler;
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Nükleon bağlanma enerjisindeki süreksizlikler , özellikle (n,γ) ve (d,p)
reaksiyonlarında yapılan nötron bağlanma enerjilerinin ölçümlerinden elde edilen
sonuçlar.
N ve Z’ye bağlı toplam ve rölatif izotop ve izotan bollukları
Özellikle çift N ve çift Z çekirdeklerde ilk uyarılmış çekirdek düzeyinin uyarma
enerjisi;
α- ve β- bozunum enerjileri
Nükleer reaksiyon tesir kesitleri ve düzey yoğunlukları.
Bunlar sıvı damlası modeline göre elde edilen kütle formülündeki kabuk kapanmalarına
bağlı düzensizliklerle bağlantılı özelliklerdir. Bunlara ek olarak kabuk dolumları ile
ilişkili düzenli yörünge dizinlerine bağlı özellikler vardır.
(vi)
Stabil ve stabil olmayan çekirdeklerin temel düzey spinleri.
(vii) Nükleer temel düzeylerin paritesi
(viii) Nükleer durumların manyetik dipol ve bir miktar elektrik kuadrupol momentleri.
(ix)
(x)
β-yayıcıların karşılaştırmalı yarı ömürleri
Nükleer izomerizm.
İlk 5 özellik , 2,8,20,50,82,126 nötron veya proton içeren çekirdeklerin özellikle stabil
olduğunu önerir. Bazı özellikler 28 sayısının da eklenmesini önerir.
Bu sihirli sayılar Mayer, Hakel, Jensen ve Suess öne sürmişlerdir.
Download

7. HAFTA