KUANTUM MEKANİĞİNİN
ÖĞELERİ
Nükleonların dalga davranışı, çekirdeğin özelliklerini belirler. Bu
davranışı incelenmesi için kuantum mekaniğinin matematiksel
teknikleri kullanılır.
kullanılır
Ç
Çekirdek
içindeki
ç
nükleonların kinetik enerjilerinin
j
10 MeV
mertebesinde olduğu çeşitli saçılma deneylerinden bilinmektedir ve
nükleonun durgun kütle enerjisi olan 1000 MeV yanında çok
küçüktür. Bu nedenle göreceli olmayan kuantum mekaniğini
kullanabiliriz.
Kuantumlu davranış:
Kuantum mekaniği, boyutu atomik ölçülere yakın, molekül, atom,
çekirdek ve diğer atom altı parçacıkların mekaniğini konu alan bir
dizi kurallar içeren bilimsel bir yöntemdir.
1900 yılından önce ışığın bir dalga olduğu düşünülüyordu. 1900
yılında Planck’ ın siyah cisim ışıması ve Einstein’ ın fotoelektrik
olay çalışmaları,
çalışmaları ışığın enerjisinin bir dalga gibi sürekli ve düzgün
değil, yoğunlaşmış paketler veya ‘‘kuanta’’ (ışık parçacıkları)
şşeklinde yyayıldığını
y ğ fikrinin doğmasına
ğ
neden oldu.
1924 yılında de Broglie, dalga olarak kabul edilen ışığın parçacık
yapısında
d olması,
l
parçacıkların
kl
bil i i d oluşan
bileşiminden
l
maddenin
dd i de
d bir
bi
dalga görünüşüne sahip olması gerektiğini ortaya attı. Işık ile
benzerlik kurarak,
kurarak p momentumu ile hareket eden bir parçacığa
=ħ/p dalgaboyuna sahip bir dalganın eşlik ettiğini varsaydı.
de Broglie hipotezi, 1927 yılında Thomson ve Davisson Germer
tarafından deneysel olarak doğrulandı. Yaptıkları çalışmalarla,
elektronların de Broglie dalgaboylu dalgalar gibi kırınıma
uğradıklarını gösterdiler.
gösterdiler
Bir parçacığın momentumundaki herhangi bir değişim,
değişim ona eşlik eden
dalganın dalgaboyunun da değişmesi anlamına gelir. Çoğu örnekte
başarılı sonuçlar verse de, de Broglie bağıntısı dalgaların dinamik
davranışlarını hesaplamada yetersiz kalmıştır. 1925 yılında
Schrödinger, bu davranışların anlaşılması için gelişmiş bir
matematiksel
t
tik l teori
t i ileri
il i sürdü.
ü dü
Klasik bir parçacık uzayda belirli bir konuma sahiptir. Ancak, de
Broglie’ ye göre yerelleşmiş bir parçacık, tüm uzaya yayılan yani
konumu kolayca belirlenemeyen saf bir dalga ile temsil edilebilir.
Klasik parçacığın büyüklüğü yaptığımız her deneyde aynıdır, bir
kuantum parçacığının büyüklüğü ise gerçekleştirdiğimiz deneyle
değişir. Yani, bir parçacık Δx boyutlu bir uzayda yerelleşmiştir.
Δx boyutu yapacağımız deneye göre değişir. Beta bozunumunu
inceliyorsak Δx bir çekirdeğin boyutu olabilir. Parçacığı temsil eden
d l Δx
dalga
Δ bölgesinde
böl i d büyük
bü ük diğer
diğ yerlerde
l d küçük
kü ük genliğe
liğ sahiptir.
hi ti
Parçacığın px momentumu hakkındaki bilgimizi azaltarak Δx
hakkındaki bilgimizi artırabiliriz. Parçacığı Δx’ e hapsetme işi px
hakkındaki bilgimizi azaltır ve bir Δpx değer aralığı belirler. Konum
(x) ve momentumu (p) eş-zamanlı ölçmek istersek her biri sırasıyla
Δx ve Δpx belirsizliğine sahip olur. Bu belirsizlikler Heisenberg
belirsi lik ilkesi ile verilir:
belirsizlik
erilir:

x p 
2
;

E t 
2
;

l  
2
Kuantum Mekaniğinin İlkeleri:
Göreceli olmayan kuantum mekaniğinin matematiksel görünüşü
Schrödinger denkleminin çözümleri ile belirlenir. V(x) potansiyel
enerjili
jili ve m kütleli
kü l li hareketli
h k li bir
bi parçacığın
ğ zamandan
d bağımsız
b ğ
bi
bir
boyutlu Schrödinger denklemi,
2
2 d   x 

 V  x    x   E  x 
2
2m dx
olarak verilir. Burada (x) Schrödinger dalga denklemidir ve dalga
paketinin matematiksel ifadesidir.
ifadesidir Bu denklemin çözümü E
enerjisinin belirli değerlerinde mümkündür. (x) dalga fonksiyonuna
sınır koşulları uygulanarak
yg
elde edilen bu enerji
j değerleri
ğ
enerji
j
öz-değerleri olarak bilinir. Zamana bağlılığı da içeren çözüm,
  x, t     x  e   t
olur.
l Burada
B d  = E/ħ’ di
dir.
Herhangi bir sınırda  dalga fonksiyonu ve türevi d/dx sürekli
olmalıdır.
l l d Örneğin
Ö ği x = a iki ortamı ayıran sınır ise,
i
lim    a       a      0
 0
ve
 d  

 d 
lim 

0



 0
d  x  a   ddx  x  a  
 dx
olmalıdır.
l l d  dalga
d l fonksiyonu
f ki
sonludur
l d ve Schrödinger
S h di
d kl i i
denkleminin
’ nin sonsuz olmasına izin veren çözümü geçerli değildir.
Bir sistemin (x,t) dalga fonksiyonu, sistemin bir çok özelliğini
hesaplamamızı sağlar. Örneğin, bir parçacığı x ve x+x arasında
bulma olasılığı,
P  x  dx   *  x, t    x, t  dx
ile verilir. *(x,t), (x,t)
(x,t)’ nin kompleks eşleniğidir. * niceliği
olasılık yoğunluğu olarak bilinir.
Parçacığın x1 ve x2 arasında bulunma
olasılığı, tüm sonsuz küçük olasılıkların
integrali alınarak bulunur:
Parçacığın toplam bulunma olasılığı ‘‘1’’
ş ‘‘normalizasyon
y koşulu’’
olmalıdır. Bu koşul
olarak bilinir ve ’ nin normalizasyon
sabitini bulmamızı sağlar.
x2
P    dx
*
x1



 *dx  1
x’ in fonksiyonu
y
olan bir f(
f(x)) niceliği
ğ için
ç ölçtüğümüz
ç ğ
değerler,
ğ
,
olasılık yoğunluğu ile belirlenir ve f(x)’ in ortalama değeri, x’ in her
değeri için fonksiyonun ortalamaya katkısının integrali alınarak
b l
bulunur:
 f    * f  dx
Bu şekilde hesaplanan ortalama değerlere kuantum mekaniği
terminolojisinde
j
‘‘beklenen değer’’
ğ
denir.
Her klasik değişkene
ğş
kuantum mekaniğinde
ğ
bir işlemci
ş
karşılık
ş
gelir. Örneğin, exp, sin, cos, d/dx,  ,  birer işlemcidir. Aksi
belirtilmedikçe, bir değişken veya fonksiyona soldan etki ederler.
Kuantum mekaniğinde çok sık karşılaşılan iki işlemci, momentum
ve enerji
ji işlemcileridir:
il
il idi

p x  i 
x
ve

E  i
t
Momentumun
M
t
x bileşeninin
bil
i i beklenen
b kl
d ğ i i hesaplayacak
değerini
h
l
k
olursak,
 

* 
dx
 p x     i   dx  i  
x 
x

*
sonucu bulunur. (x,t), kompleks eşleniği ile çarpıldığında zamana
bağlılık ortadan kalkar ve sistemin gözlenebilir özellikleri zamana
bağlılık göstermez. Böyle durumlara kararlı durumlar deriz ve tüm
değişkenler hareket sabitleridir.
sabitleridir
 dalga fonksiyonu ile ilişkili j parçacık akım yoğunluğu,
  * d
d * 
j



2mi 
2mi
dx
dx 
olarak verilir. Bu nicelik, elektrik akımına benzer ve herhangi bir x
noktasından
k
d saniyede
i d geçen parçacıkk sayısını verir.
i Üç
Ü boyutta
b
Schrödinger dalga denkleminin formu, seçeceğimiz koordinat
sistemine bağlıdır.
bağlıdır Kartezyen koordinatlarda potansiyel enerji
(x,y,z)’ nin fonksiyonudur. Schrödinger denklemi ve zamana bağlı
ççözümü aşağıdaki
ş ğ
ggibidir:
2
2 
2   2
 2  2    x, y , z   V  x, y , z    x, y , z   E   x, y , z 


2
2m  x
y
z 
  x, y , z , t     x, y , z  e  t
Üç boyutta * olasılık yoğunluğu, birim hacim başına olasılığı
verir Parçacığın (x,y,z)
verir.
(x y z) noktasındaki bir dv = dxdydz hacim
elemanı içinde bulunma olasılığı ve bir V hacmindeki toplam
olasılık,,
Pdv   *dv

P    *dv
dir.
V
Çekirdekler yaklaşık küre olduklarından küresel koordinatlarda
çalışmak daha uygundur.
1
 
 
1
2 
 2   2  2 


 2
 sin 
 2 2

2
2m  r
r r r sin   
  r sin   2 
 V  r, ,     r , ,    E   r, ,  
Bir Boyutta Problemler:
Serbest Parçacık:
Bu durumda parçacığa etkiyen kuvvet olmadığından, her yerde
V(x) = 0’ dır.
2 d 2

 E
2
2m dx
2mE
k  2

2

d 2  2m
 2 E  0
2
dx

olmak üzere çözüm :
  x   Aeikx  Be  ikx
veya
y
  x   A 'sin kx  B 'cos kx
Zamana bağlı dalga fonksiyonu,
  x   Ae
i  kx  t 
 Be
 i  kx  t 
şeklindedir. İlk terim +x ve ikinci terim x yönünde ilerleyen
dalgaları temsil eder.
eder Dalgaların şiddetleri genliklerinin karesi ile
verilir. Sınır koşulları olmadığından E’ nin tüm değerleri denklemin
çözümüdür.
Tüm parçacıkların +x yönünde gittiğini varsayalım. Bu durumda
B = 0 olacaktır.
olacaktır Buna göre parçacık akımı,
akımı
  * d
d * 
j



2mi 
dx
dx 
olarak bulunur.

k 2
j
A
m
Basamak Potansiyeli (E > V0):
0

V  x  
V
 0
x0
(1. bölge)
x0
k1 
2mE
2
k2 
2m  E  V0 
2
E
((2. bölge)
g )
V0
x=0
1  x   Aeik1x  Be  ik1x
;
;
x = 0’ da sınır koşullarından
 2  x   Ceik2 x  De  ik2 x
A B  C  D
k1  A  B   k2  C  D 
A : engele gelen dalganın genliği
B : engelden yansıyan dalganın genliği
C : engelden geçen dalganın genliği
+’ dan orijine doğru gelen dalga olmadığından D = 0 alınmalıdır.
Gelen dalganın
g
ggenliği
ğ cinsinden yyansıyan
y ve ggeçen
ç dalgaların
g
genlikleri, yansıma ve geçme katsayıları: :
 1  k2 / k1 
B
A
 1  k2 / k1 
R
T
j yansıyan
jgelen
l
jgeçen
jgelen
ve


2
C 
A
 1  k2 / k1 
 1  k2 / k1 
B
 2 

A  1  k2 / k1 
2
4  k2 / k1 
k2C


2
2
k1 A
k
k
1

/
 2 1
2
2
R T 1
Basamak Potansiyeli (E < V0):
0

V  x  
V
 0
x0
(1. bölge)
V0
E
x0
k1 
2mE
2
k2 
2m V0  E 
2

(2. bölge)
x=0
1  x   Aeik1x  Be  ik1x
;
;
 2  x   Ce k2 x  De  k2 x
E > V0 ise 2 ççözümü salınıcı,, E < V0 ise 2 ççözümü üsteldir.
x   için 2 sonlu olmalıdır. Bunun için C = 0’ dır. D katsayısı,
dalga fonksiyonunun yasak bölgeye geçişini gösterir. Ancak bu
bölgede kısa bir mesafe ilerleyebilir. E < V0 olduğundan, klasik
parçacıkk bu
b bölgede
böl d gözlenemez.
ö l
Sınır koşulları burada da uygulanarak B ve D genlikleri, buradan
da R yansıma katsayısı ve T geçme katsayısı belirlenebilir.
P
Potansiyel
i l Engeli
E
li (E > V0):
)
0

V  x    V0
0

x0
(1.
(1 böl
bölge))
0 xa
(2. bölge)
xa
(3. bölge)
E
V0
x=0
x=a
1  x   Aeik1x  Be  ik1x
 2  x   Ce
 3  x   Fe
ik2 x
ik3 x
 De
 Ge
 ik2 x
 ik3 x
2mE
k1  k3 
2
2m  E  V0 
2m
k2 
2

Parçacıkların ’ dan geldiği ve +’ dan orijine doğru parçacık
gelmediği varsayılarak 3 ’ teki G sabiti sıfır alınır.
alınır x = 0 ve x = a’
daki sınır koşulları kullanılarak B, C, D ve F katsayıları A
cinsinden bulunabilir. Böyle bir hesaplama sonucunda T geçme
katsayısı,
 V sin k2 a 
T  1 

4 E  E  V0  
 4E
2
0
2
1
olarak bulunur.
Potansiyel
y Engeli
g ((E < V0)):
0

V  x    V0
0

k1  k3 
k2 
x0
0 xa
xa
2mE
2
2m V0  E 
2m
2
( bölge)
(1.
g )
(2. bölge)
V0
E
(3.
(3 bölge)
1  x   Ae
ik1 x
 2  x   Ce
 3  x   Fe
k2 x
ik3 x
x=0
x=a
 Be
 ik1 x
 De
 k2 x
 Ge
 ik3 x
Parçacıkların ’ dan geldiği ve +’ dan orijine doğru parçacık
gelmediği varsayılarak 3 ’ teki G sabiti sıfır alınır. x = 0 ve x = a’
daki sınır koşulları kullanılarak B, C, D ve F katsayıları A
cinsinden bulunabilir.
bulunabilir Böyle bir hesaplama sonucunda T geçme
katsayısı,
 V sinh k2 a 
T  1 

4 E V0  E  
 4E
2
0
2
1
olarak bulunur.
Kinetik enerjinin negatif olduğu yasak bölgeye parçacığın
girmesine izin verilmediğinden T = 0 olması beklenir. Ancak, dalga
paketi
k ti engeli
li deler
d l ve parçacığın
ğ yasakk bölgede
böl d bulunma
b l
olasılığını
l lğ
sıfırdan farklı yapar. Engelin delinmesi, kuantum mekaniksel dilde
tünelleme olarak adlandırılır.
“tünelleme”
Sonsuz Kuyu:


V  x  
0
x  0 ve x  a

V0=0
0 xa
x=0
x=a
x < 0 ve x > a bölgelerinde
böl l i d parçacıkk bulunamaz.
b l
B nedenle
Bu
d l bu
b
bölgelerde  = 0’ dır. Kuyunun içinde ise
  x   A sin kx  B cos kx , k  2mE /  2
bbulunur.
l
x = 0’ daki
d ki süreklilik
ü klilik koşulu
k l gereği
ği B = 0 olmalıdır.
l ld x=a’
daki süreklilik koşulundan da
A sin ka  0

ka  n
 2 k 2  2 2 2
En 

n
2
2m 2ma
;
 n  1, 2,3,...
b l
bulunur.
Enerji belirli değerler almaktadır. Bu durumlara bağlı durumlar
denir ve bu durumlarda potansiyel,
potansiyel parçacığı uzayın belli bir
bölgesine hapseder. Bağlı durumlara karşılık gelen normalize
edilmiş dalga fonksiyonları da,
n  x 
2
 n x 
sin 

a
 a 
ile verilir.
Sonlu Potansiyel
y Kuyusu
y
((E < V0)):
V0
V  x  
 0
2m V0  E 
k1 
2
x a/2
x a/2
;
2mE
k2 
2
V0=00
E
x=0
olmak üzere,
x=a
1  x   Ae k1x  Be  k1x
,
 2  x   Ceik2 x  De  ik2 x
,  a / 2  x  a / 2
 3  x   Fe k1x  Ge  k1x
,
x  a / 2
x  a / 2
: 1. Bölge
g
: 2. Bölge
: 3. Bölge
x   ve x  +’ da dalga fonksiyonunun sonlu kalması için
B = 0 ve F = 0 olmalıdır. x = a/2 ve x = +a/2’ deki süreklilik
koşulları uygulanarak,
uygulanarak
 k2 a 
k2 tan 
  k1
 2 
ve
 k2 a 
k2 cot 
   k1
 2 
bulunur. Ancak, bu denklemler nümerik yolla çözülebilir.
Aşağıdaki kısaltmalarla bu iki denklem daha basit bir hale
gelebilir:

2
2 1/2

 tan    P   



2
2 1/2
mV
V0 a 2 
 cot    P   
2 2 
k2 a

2
P
Bu denklemlerin sağ tarafı P
yarıçaplı bir çemberi tanımlar.
Eşitliğin
solundaki
ifadenin
t
tanımladığı
l d ğ eğri
ğ i ile
il çemberlerin
b l i
kesim noktaları bu eşitliklerin
çözüm kümesidir.
Basit Harmonik Salınıcı:
Herhangi bir V(x) potansiyeli x0 civarında Taylor serisine açılabilir:
1  d 2V 
2
 dV 
V  x   V  x0   
  x  x0    2   x  x0   ...
2  dx  x  x
 dx  x  x0
0
x0 , potansiyelin minimum olduğu nokta ise serideki ikinci terim
sıfır olur.
olur Birinci terimin potansiyele katkısı sabit ancak,
ancak üçüncü
terimin katkısı ilginçtir. Sistem minimum civarında (1/2)k(xx0)2
ppotansiyeline
y
sahipp bir harmonik salınıcı ggibi davranır.
Sistemin potansiyel enerjisini (1/2)kx2 seçersek, Schrödinger
d kl i i çözümünden,
denkleminin
ö ü ü d

  km /  olmak üzere,
üzere   x   2 n ! 
2
n

1/2
H  x  e
 2 x 2 /2
bulunur. H(x) fonksiyonu xx’ in basit bir
bulunur
polinomudur ve Hermite polinomları
olarak adlandırılır. Polinomun derecesi,,
enerji seviyelerini etkileyen n kuantum
sayısı ile belirlenir. İlk bir kaç polinom
yanda listelenmiştir.
H 0 ( x )  1
H1 ( x )  2 x
H 2 ( x )  4  x   2
2
H 3 ( x )  8  x   12 x
3
Schrödinger denkleminin çözümünden bulunan enerji seviyeleri de,
de
1

En   0  n  
2

,
0  k / m
şeklindedir. Burada 0 salınıcının doğal frekansıdır. Enerji
seviyeleri birbirlerinden eşit aralıklarla ayrılmışlardır.
ayrılmışlardır
Özet:
• Kuantum dalgaları bir potansiyel engeli ile karşılaştıklarında, klasik
dalgalarda olduğu gibi engeli geçebilir veya yansımaya uğrarlar.
uğrarlar
• Bir dalga
g ppaketi ppotansiyel
y engelini
g
aşacak
ş
enerjiye
j y sahipp olmasa
da, engeli delerek yasak bölgeye geçebilir.
• E > V(x) ise dalga fonksiyonu salınımlı, E < V(x) ise üstel olarak
bozunur.
• Potansiyel bir parçacığı uzayın belli bir bölgesine hapsettiğinde,
bağlı-durum
ğ
dalga
g fonksiyonları
y
ortaya
y ççıkar. Parçacık
ç
sadece
kesikli enerji değerlerinin bir kümesine sahip olabilir. İzinli enerji
değerlerinin sayısı, potansiyel kuyusunun derinliği ile belirlenir.
Üç Boyutta Problemler:
Sonsuz Kartezyen Kuyu:
0
V  x  

0  x, y , z  a
x, y, z  0 ve x, y, z  a
Bu durumda parçacık a boyutlu kübik bir kutuya kapatılmıştır.
Kutu dışındaki bölgelerde  = 0’ dır.
dır Schrödinger denklemi,
denklemi
2  d 2 d 2 d 2 


 E
 2 
2
2 
2m  dx
dx
dx 
şeklindedir. (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) şeklinde bir çözüm önerilerek
yukarıdaki diferansiyel denklem değişkenlerine ayrılır.
ayrılır
Buradan elde edilecek çözüm,
a
 nx , n y , nz  x , y , z    
2
En x , n y , n z
2/3
 n x a   n y  a   n z  a 
sin 
 sin 

 sin 
 2   2   2 
 2 2 2
2
2

n

n

n
y
z 
2  x
2ma
şeklindedir. Burada nx, ny ve nz ‘ ler sıfırdan büyük tamsayılardır.
şeklindedir
tamsayılardır
En düşük durum olan taban durum (nx,ny,nz)=(1,1,1) kuantum
sayılarına
say
a a sa
sahiptir.
pt . Taban
aba du
durumun
u u oolasılık
as
dağılımı kutunun
dağ
utu u
merkezinde maksimumdur ve sin2 azalarak duvarlarda sıfır olur.
Birinci uyarılmış durum (2,1,1); (1,2,1) ve (1,1,2) gibi üç mümkün
kuantum sayıları kümesine sahiptir. Aynı enerjiye sahip olan bu
durum üç kez dejeneredir denir.
denir
Sonsuz Küresel Kuyu:
Potansiyelin sadece r’ ye bağlı olduğu bir potansiyel seçer ve
küresel koordinatlarda Schrödinger denklemini çözersek önemli
bilgilere ulaşırız. (r,,)=R(r)()() şeklinde bir çözümle
Schrödinger denklemini değişkenlerine ayırırsak () için denklem,
ml2 
d  
1 d 
 sin 
  l  l  1  2    0
sin
i  d 
d  
sin
i 
 l  0,1, 2,3,...
şeklindedir () için çözüm,
şeklindedir.
çözüm
d 2
2

m
  ml 
l  0
2
d
şeklindedir.
1 ml
e
2
,
 ml  0, 1, 2,...  l 
lml   çözümü, sin ya da cos ’ nın l dereceli bir polinomu
olarak
l k ifade
if d edilir.
dili lml   ve  ml   , birlikte
bi lik ve normalize
li
edilmiş olarak Ylm  ,   küresel harmoniklerini verir. Bunlardan
l
bazıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
verilmiştir Bunlar,
Bunlar genel çözümün açısal
kısımlarını verir. Bu fonksiyonlar, moleküler bağlardan sorumlu
atom yörüngelerinin uzaysal özelliklerini verir.
l
ml
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
Ylml  ,    lml    lml  
1/ 4 
1/ 2
 3 / 4  cos 
1/ 2
  3 / 8  sin   e  i
1/ 2
3 2   1
 5 /16   3cos
1/2
 15 / 8  sin  cos   e  i
1/2
15 / 32  sin 2   e2i
1/2
Her V(r) potansiyeli için denklem:
l  l  1  2 
 2  d 2 R 2 dR  

 R  ER
 2 
  V  r  
2
2m  dr
d
r ddr  
2mr 
şeklindedir.
Basit Harmonik Salınıcı:
Bir merkezi salınıcı potansiyeli göz önüne alalım.
1 2
V  r   kr
2
Tüm merkezi potansiyeller için Schrödinger denkleminin açısal
kısmının çözümü Ylm
dir
l l  ,   ’ dir.
Enerji düzeyleri,
düzeyleri
3

En  0  n  
2

,
 n  0,1, 2,3,...
ile verilir. Enerji l’ ye bağlı değildir ancak, tüm değerleri izinli
değildir l,
değildir.
l en fazla n’’ ye eşit olabilir.
olabilir n’’ nin tek veya çift oluşuna
göre sadece tek veya çift sayılar alabilir. Örneğin, n = 5 için l’ nin
alabileceği izinli değerler 1, 3 ve 55’ tir. n = 4 için ll’ nin alabileceği
izinli değerler ise 0, 2 ve 4’ tür.
Her l değeri için 2l+1 dejenerelik vardır. Böylece n = 5 için 21,
n = 4 için 15 dejenerelik vardır.
Coulomb Potansiyeli:
Atom numarası Z olan
At
l
atomdaki
t d ki bir
bi tek
t k elektron
l kt
d
durumunda
d
olduğu gibi, e ile +Ze yükleri arasındaki etkileşme için çekici
Coulomb potansiyel enerjisi de,
de
Ze 2
V r   
4 0 r
şeklinde masit merkezi biçime sahiptir. Dalga fonksiyonunun açısal
kısmı yine Ylm  ,   ile verilir. Enerji seviyeleri,
l
mZ
Z 2e4
En  
32 2 02  2 n 2
ifadesi ile verilir.
Her n düzeyi için l’ nin izinli değerleri 0, 1, 2, ..., n1 ‘ dir. Her
düzeyin toplam dejenereliği, içerdiği her l için 2l+1’ lerin toplamı
veya n2 kadardır.
Dalga fonksiyonunun radyal kısmı tablodaki gibidir.
n
l
1
0
2
0
2
1
3
0
3
1
3
2
R r 
2  Z / a0 
3/2
e  Zr / a0
 Z / a0   2  Zr / a0  e Zr /2 a
3/2

0

1/ 3  Z / a0 
 2 / 3 Z / a0 

2
3/2


 Zr / a0  e Zr /2 a
0

3  Zr / a0  2  Zr / 3a0  e  Zr /3a0
4 2 / 9  Z / 3a0 

3/2
2
3/2
 Zr / a0 1  Zr / 6a0  e Zr /3a
2 / 27 5  Z / 3a0 
0
3/2
 Zr / a0  e Zr /3a0
2
Açısal Momentum:
Üç boyutlu problemler için Schrödinger denkleminin çözümünde
yörüngesel açısal momentum kuantum sayısı l önemli rol oynar.
oynar
Klasik fizikte, bir referans noktasından r uzaklığında p çizgisel
momentumuyla
y hareket eden bir pparçacığın
ç ğ açısal
ç
momentumu,,
l  r p
ifadesine sahiptir. Kuantum mekaniğinde açısal momentumun
hesaplamak için momentum bileşenlerine karşılık gelen
işlemciler kullanılmalıdır. Vektörel çarpımdan elde edilen ifade
lx=yp
ypzzppy ggibi terimler içerir. Buradan da,
l 
 l  l  1 
2
2
sonucunu verir. Verilen bir l değerine sahip atom alt durumları
spektroskopik gösterimler kullanılarak etiketlendirilir.
etiketlendirilir Aynı
spektroskopik gösterimler çekirdek fiziğinde de kullanılır:
l değeri
0
1
2
3
4
5
6
Sembol
s
p
d
f
g
h
i
Kuantum mekaniği, verilen bir anda l’ nin yalnız bir bileşeni tam
olarak bilmemize olanak verir. Ölçülecek bileşen olarak genellikle
l’ nin z-bileşeni seçilir. Bu büyüklük,
 lz  ml
ile verilir. Bir atomda, bir elektronik durumu tanımlamak için
özgün açısal momentum veya spin denilen yeni bir kuantum
sayısına gerek vardır.
Elektronun spin kuantum sayısı s = 1/2’ dir ve spin açısal
momentumu olarak kabul edilebilir.
edilebilir Böylece,
Böylece
 s  s  s  1 
2
2
 sz  ms
yazılabilir. Genellikle spini, mümkün z-bileşenleri ħ/2 olan bir s
vektörü olarak düşünebiliriz.
düşünebiliriz
Elektronlar gibi nükleonlar da, spini 1/2 spin kuantum sayılarına
sahiptirler. Merkezi bir potansiyelde l açısal momentumu ve s spini
ile hareket eden bir nükleonun toplam açısal momentumu aşağıdaki
gibi
ibi verilir.
ili
jls
Toplam açısal momentum için, l ve s’ ye benzer olarak:
 j  j  j  1 
2
2
 jz  m j
yazılır. Burada, mj = j, j+1, , j1, j olup toplam açısal
momentum kuantum sayısıdır.
sayısıdır mj = ml + ms = ml 1/2 ve ml bir
tamsayı olduğundan, mj’ ler buçuklu sayılardır. l-s bağlaşımına
göre, ml +1/2
1/2 ve ml 1/2
1/2 olmak üzere iki j değeri vardır.
Spektroskopik gösterimde j bir alt indis olarak kullanılır. Örneğin,
n=3 başkuantum sayılı, l = 1 (p durumları) için j’ nin alabileceği
değerler 3/2 ve 1/2’ dir. Bu durumlar, 3p3/2 ve 3p1/2 şeklinde
gösterilir.
gösterilir
Parite:
Parite işlemi, bütün koordinatların başlangıç noktasına göre
yyansımasına neden olur ((r  r).
) Parite işlemi
ş
soncunda,, kartezyen
y
koordinatlarda, (x, y, z)  (x, y, z) ; küresel koordinatlarda ise
(r, , )  (r, , +) olur. Eğer bir sistem parite işlemi
sonucunda değişmez kalmışsa, sistemin gözlenebilir özelliklerinden
hiç birisi değişmez. Gözlenebilir nicelikler için ölçtüğümüz değerler
2 ’ye
ye bağlı olduğu için,
için
V  r   V  r 

  r     r 
2
2
y
yazılabilir.
Buradan,, (r)
( ) = +(r)
( ) durumu ppozitif veya
y ççift pparite,,
(r) = (r) durumu ise negatif veya tek paritedir. Parite işlemi
sonucunda, V(r) potansiyeli değişmeden kalıyorsa, sonuç kararlıdurum dalga fonksiyonları ya tek ya da çift pariteli olmalıdır.
Çok parçacıklı bir sistemin dalga fonksiyonu, her parçacığın dalga
fonksiyonlarının çarpımıyla verilir. Dolayısıyla parite, dalga
fonksiyonu çift pariteli herhangi bir sayıdaki parçacık veya tekpariteli çift sayıda parcacık varsa çifttir. Tek-pariteli tek sayıda
parçacık durumunda, sonuç parite tektir. Bir durumun paritesi, o
durumun toplam açısal momentumuyla birlikte belirtilir; j+ veya j
gibi.
Bir sistem için (r)2 (r)2 ise, V(r)  V( r) anlamına gelir.
Sistem pparite işlemine
ş
ggöre değişmez
ğş
değildir.
ğ
1957’ de bazı
çekirdek reaksiyonlarında ( bozunumu), parite simetrisine
uymayan niceliklerin olduğu gözlendi. Bu duruma kuvvetli
çekirdek etkileşmelerinin mi yoksa elektromanyetik etkileşmenin
mi sebep olduğu hala bilinmemektedir.
Durumlar Arasında Geçişler:
Gerçek bir kararlı durumun ömrü sonsuzdur. Gözlenebilir fiziksel
niceliklerin
i likl i beklenen
b kl
d
değerleri,
l i bir
bi kararlı
k
l durumun
d
d l
dalga
fonksiyonu ile hesaplanır ve zamanla değişmez. Özellikle enerjinin
beklenen değeri sabittir.
sabittir Dolayısıyla,
Dolayısıyla enerjideki
E   E 2    E  2
belirsizliği, < E2 > = < E >2 olduğundan,
belirsizliği
olduğundan sıfırdır.
sıfırdır Et  ħ/2
Heisenberg belirsizlik ilkesine göre t = ’ dur. Enerjisi kesin olan
bir durum sonsuza dek yyaşar.
ş Yani, böyle
y bir durumun bozunma
ömrü sonsuzdur.
Sistemimizin orjinal V potansiyeline ek olarak,
olarak zayıf bir bozucu V
V
potansiyeline sahip olduğunu varsayalım. Bu zayıf ek potansiyel,
sistemin yyaklaşık
ş n öz-durumları arasında ggeçişler
çş
yyapılmasına
p
izin verir. Örneğin, bir hidrojen atomu, zayıf bir elektromanyetik
alan ile etkileşirse 2p1s veya 3d2p gibi geçişler yapabilir.
Bir sistem, Ei ilk enerji durumundan Es son enerji durumuna geçiş
yaptığında
ğ d enerji
ji korunmalıdır.
k
l d Es son enerji
ji durumu
d
Ei ilk enerji
ji
durumundan küçükse, EiEs enerji farkı bozunmada yayınlanan
ışıma enerjisi olarak ortaya çıkar.
çıkar Atom veya çekirdeğin uyarılmış
durumları arasındaki geçişlerde, EiEs enerji farkı yayınlanan
j
eşittir.
ş
fotonun enerjisine
Kararlı olmayan
y
bir durum,, sıfırdan farklı bir E enerji
j
belirsizliğine sahiptir. Bu niceliğe durumun “genişliği” denir ve 
ile gösterilir. Bu durumun ömrü () belirsizlik ilkesi ile
b li l bili Durumun
belirlenebilir.
D
enerjisini
ji i i ölçmek
l
k için
i i gerekli
kli süre t’
 ’ yii ’
ya eşit alırsak, belirsizlik ilkesine göre ħ/ olur. Bozunma
olasılığı veya geçiş olasılığı ,
 durumun ömrüne =1/ eşitliği ile
bağlıdır.
i ve s , ilk ve son durumun dalga fonksiyonları olsun. Durumlar
arasında geçişe izin veren potansiyel de Vis olsun. Bozunma
olasılığı, ayrıntısına girilmeden, Fermi’ nin altın kuralı olarak
bilinen bağıntı ile verilir:
2 ' 2

Vis   Es 

(Es) son durumların enerji
yoğunluğu
yoğunluğu.
(Es) son durumların enerji yoğunluğudur ve Es ’ deki birim
enerji aralığı başına düşen durumların sayısıdır.
Vis niceliğinin beklenen değeri,
V    V  i dv
'
is

s
'
ile verilir ve kuantum mekaniğinde, V geçiş işlemcisinin matris
elemanı olarak adlandırılır.
Ders notlarının hazırlanmasında
kullanılan temel kaynak:
Kenneth S. Krane
Introductory Nuclear Physics
John Wiley & Sons,
Sons New York,
York 1988.
1988
Download