Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
NOSNÍKY NAMÁHANÉ OHYBOVÝM MOMENTEM
.1
Teorie ohybu
_-ormálová napětí v průřezu nosníku namáhaného ohybovým momentem se v teorii pružnosti
oví podle vztahu (4.1)
u y
(4.1)
(j=-.
I
navrhování železobetonových ohýbaných nosníků nelze teorii pružnosti použít, neboť
:::-acovní diagram betonu není lineární a pevnost betonu v tahu za ohybu je zlomkem tlakové
revnosti (viz kapitola 3.1). Proto už při poměrně malém zatížení vznikají na tažené straně
_:uřezů trhliny a po jejich vzniku přejímá tahové síly prakticky pouze výztuž.
_.0
_-a Obr. 4.1 je znázorněn železobetonový prostý nosník obdélníkového průřezu s průběžnou
:odélnou výztuží plochy As při dolním povrchu. Při postupném zvyšování intenzity zatížení
ami F vzrůstají normálová napětí od působících ohybových momentů. Napjatost průřezů
- sníku je možno charakterizovat následujícími stadii.
Stadium I - před vznikem trhlin (viz Obr. 4.1a)
-~ to stadium, kdy působí celý železobetonový průřez. Betou působí v tlačené i tažené
blasti a lze předpokládat lineárně pružné působení (napětí v betonu v tahové i tlakové oblasti
přímo úměrné vzdálenosti od neutrální osy; tj. platí lineární vztah mezi přetvořením
.z, napětím). výztuž
plně spolupůsobí s betonem, přetvoření výztuže e; je rovno přetvoření
_ tonu ces v úrovni výztuže. Napětí ve výztuži lze určit z pracovního diagramu oceli podle
dnoty přetvoření e; Platí výminky rovnováhy
_.3
Fee
(4.2)
= F« + F; ,
r.s.,
M=Fetze+
Fs
kde
(4.3)
je síla ve výztuži,
Fee,
Fet
výslednice napětí v tlačeném, taženém betonu,
Ze, z, ramena sil Fet, Fs vztažená k výslednici Fee .
_-apětí v krajních vláknech se vypočte podle vztahů (4.4) a (4.5)
M(h-xJ
(jet
=
(jec
Mx
= __
I,
(4.4)
,
(4.5)
I ,
I,
kde
(jet «(jee)
je napětí v krajních tažených (tlačených) vláknech průřezu,
x,
vzdálenost těžiště ideálního průřezu od krajních tlačených vláken (bývá
označováno též agD,
Ii
moment setrvačnosti ideálního průřezu.
-:ýpočet parametrů ideálního průřezu je uveden v kapitole 9.
101
---~--
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Při zvětšujícím se zatížení však přestává platit lineární rozdělení napětí v taženém beto nu,
průběh odpovídá zakřivení pracovního diagramu (viz Obr.4.tb). Neutrální osa se mírně
posouvá k tlačenému okraji průřezu. Stadium I trvá, dokud v krajních tažených vláknech není
dosaženo mezního přetvoření Betu a napětí nedosáhne pevnosti betonu v tahu Jet. Tažená část
betonu je těsně před vznikem ohybových trhlin, tento stav je označován jako mez vzniku
trhlin.
a)
l
b)
l
c)
l
d)
!
!
!
!
::
. .
,
l /:,:;;,
.
a
s
t.;
J
[JAs I
J
-#-
I
,~
Ire!
Cetu
E:
f
J
:~J
8eu
t-f
~
~
~CSy
e)
Cs>-CSy
l
_f)
l
{ Ú:blJllbb\~"\
:- :
.
I
I \
.
J
J
rret
«J
J
r:
CSU}
-..r---fEcu
y E?
-}}.
<Esy
Obr. 4.1 Stadia napjatosti ohýbaného nosníku:
a) stadium I - před vznikem trhlin,
b) mez vzniku trhlin,
c) stadium II - po vzniku trhlin,
d) až f) stadium III - mez porušení jednorázovým namáhánim,
d) tahové porušení drcením betonu po dosažení meze kluzu ve výztuži,
e) tahové porušení nadměrným protažením výztuže,
f) tlakové porušení drcením betonu bez předchozího dosažení meze kluzu ve výztuži
Při stanovení meze vzniku trhlin by se mělo přihlížet k pružnoplastickému chování taženého
betonu. Namáhání na mezi vzniku trhlin lze však dobře vystihnout i za předpokladu pružného
působení při uvažování fiktivní tahové pevnosti betonu Jet,fl = r f«. Součinitel r závisí
na výšce průřezu h, norma EN 1992-1-1 [9] uvádí vztah r= 1,6 - h /1000, kde h dosazujeme
v mm. Za těchto předpokladů lze pak využít pro výpočet meze vzniku trhlin i vztahů klasické
teorie pružnosti.
Pozn.: Prvky nevyztužené (prostý beton) a slabě vyztužené se poruší vzápětí po vzniku
trhlin křehkým lomem. Železobetonové prvky musí proto vždy splnit požadavky na
minimální vyztužení tahovou výztuží. Minimální plocha výztuže závisí na třídě betonu,
102
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
značce výztuže a průřezu nosníku. Minimální výztuž má spolehlivě převzít tahové síly, které
před vznikem trhlin přenášel tažený beton a prvek musí být schopen přenášet další zatížení.
Ustanovení normy [9] vychází např. u předpjatých prvků s nesoudržnou nebo vnější
předpínací výztuží z požadavku, že únosnost v ohybu vyztuženého průřezu musí být alespoň
o 15 % vyšší než průřezu nevyztuženého. Další stanovení evropské normy [9], týkaj ící se
požadavků na minimální vyztužení průřezů namáhaných ohybem, jsou uvedena v odst. 4.8.1.
Stadium Il- po vzniku trhlin (viz Obr. 4.1c)
Při dalším zvyšování zatížení po vzniku první trhliny vznikají další trhliny a nastává tzv. stav
stabilizace trhlin. Pokud je nosník vyztužen alespoň minimální výztuží, stabilizované trhliny
se postupně rozšiřují a prodlužují ve směru výšky průřezu, tím se ze spolupůsobení vylučuje
stále větší část průřezu. Tažený beton je prakticky vyloučen ze spolupůsobení, malá část
těsně pod neutrální osou se zanedbává, tahovou sílu přebírá výztuž. Spolupůsobení tahové
výztuže s betonem je zajištěno neporušeným betonem v tažené části nosníku mezi
jednotlivými trhlinami. V tlačeném betonu se napětí jen nepatrně odlišuje od lineárního
rozdělení, pokud v krajních tlačených vláknech napětí nepřekročí cca 45 % pevnosti betonu
v tlaku.
Stav napjatosti ve stadiu II lze tedy velmi dobře vyjádřit tzv. "klasickou teorií železobetonu".
Předpokládá se, že beton v tlačené oblasti působí pružně (lineární rozdělení napětí), v tažené
části beton nepůsobí. výztuž - za předpokladu její dokonalé soudržnosti s betonem - se
chová též pružně. Platí tedy
E
e, = Scs => O's = o.; _s
Ec
kde
O"cs
(4.6)
,
je fiktivní tahové napětí betonu v úrovni tahové výztuže.
Z těchto předpokladů lze tedy vycházet při vyšetřování nosníku v mezních stavech
použitelnosti (viz kapitola 9). Napětí v krajních vláknech tlačeného betonu a ve výztuži se
vypočte podle vztahů (4.7) a (4_8)
M
v; =t> ,
(4.7)
Ir
M
O's
(4.8)
=--,
kde
zA.
(J'cc
je napětí v krajních tlačených vláknech průřezu,
Xir
vzdálenost těžiště ideálního průřezu od krajních tlačených vláken,
hr
moment setrvačnosti
v tahu,
z
rameno vnitřních sil (pro obdélníkový průřez z
ideálního průřezu s vyloučeným
=d
-
Xir/
působením betonu
3).
Výpočet parametrů ideálního průřezu je uveden v kapitole 9.
Pozn.: Uvedené předpoklady o napjatosti můžeme uplatnit i při výpočtu meze porušení
mnohokrát opakovaným namáháním. O porušení rozhoduje bud' únava betonu (napětí
v krajních tlačených vláknech (J'cc dosáhne hodnoty meze únavy), anebo únava tažené výztuže
(napětí v tažené výztuži OS dosáhne meze únavy oceli).
103
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Stadium ID - mez porušení jednorázovým
namáháním
Při dalším zvyšování zatížení přestává mít průběh napětí v tlačeném betonu lineární charakter,
tlačený beton se začíná plastizovat.
Mez porušení ohybem nastane při dosažení mezního přetvoření alespoň v jednom z materiálů
(betonu v tlaku nebo oceli v tahu). Chování prvku před porušením a způsob porušení závisí
na množství tahové výztuže:
a) Běžně vyztužený prvek
Při postupném zvyšování zatížení dosáhne přetvoření ve výztuži hodnoty odpovídající mezi
kluzu (6s = 6sy) dříve, než přetvoření betonu v krajních tlačených vláknech dosáhne mezní
hodnoty Scu. Tahová výztuž se za mezí kluzu začne plasticky protahovat, objeví se široké
trhliny a zřetelný průhyb nosníku ještě před porušením. Přetvoření tlačeného betonu vzrůstá,
při dosažení mezního přetvoření betonu v tlaku se beton poruši. K porušení tlačeného betonu
dochází po předchozím plastickém protažení výztuže; iniciátorem porušení je tedy tahová
výztuž, proto toto porušení označujeme jako tahové porušení - viz Obr. 4.1d.
U prvků s menším vyztužením dochází při zatěžování dříve k dosažení mezního přetvoření
v tažené výztuži (obvykle se pro železobeton zavádí předpoklad 6su = 0,010), než je dosaženo
mezního přetvoření v tlačeném betonu. Příčinou porušení je tedy nadměrné protažení výztuže,
tlačený beton není plně využit - viz Obr. 4.1.e.
Při praktickém navrhování je však možno zavést zjednodušující předpoklad pracovního
diagramu výztuže s neomezeným přetvořením. Rozdíly ve vypočtených hodnotách momentu
únosnosti obdélníkového průřezu jsou velmi malé.
b) Silně vyztužený prvek - viz Obr. 4.lf
Příčinou porušení je dosažení mezního přetvoření v krajních vláknech tlačeného betonu
bez předchozího dosažení meze kluzu ve výztuži. K porušení dochází drcením tlačeného
betonu bez plastického protažení výztuže; konstrukce před kolapsem nevaruje výraznými
průhyby a trhlinami. Uvedený typ porušení označujeme jako tlakové porušení. Vzhledem
k tomu, že tahová výztuž není využita, je uvedený případ neekonomický.
M
. ~_----
KOLAPS
MEZ KLUZU OCElI
Obr. 4.2 Závislost křivosti tP na momentu M
Vliv postupného jednorázového zatěžování ohýbaného prvku až do jeho porušení vyjadřuje
i závislost působícího momentu a křivosti - viz Obr. 4.2. Do vzniku trhlin je závislost
prakticky lineární, po vzniku trhlin je patrný progresivnější nárůst křivosti (a tím
i např. průhybu nosníku). Po dosažení meze kluzu ve výztuži velmi rychle vzrůstá křivost
(i průhyb).
104
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
4.2
Základní předpoklady výpočtu mezní únosnosti
Základní předpoklady výpočtu mezní únosnosti železo betonového prurezu při namáhání
ohybovým momentem jsou definovány takto (konkrétní ustanovení jsou uvedena podle normy
EN 1992-1-1 [9]):
- Zachování rovinnosti průřezu před a po přetvoření (poměrné přetvoření je lineárně
závislé na vzdálenosti od neutrální osy).
- Beton a výztuž spolupůsobí (zajištěno soudržností); poměrné přetvoření výztuže je rovno
poměrnému přetvoření přilehlých vláken betonu.
- Působení betonu
nepůsobí).
v tahu
se zanedbává
(tj. je zaveden předpoklad,
že beton v tahu
- Napětí v tlačeném betonu se určí z návrhového pracovního diagramu (parabolic 0rektangulárního nebo bilineárního, nebo lze uvažovat rovnoměrné rozdělení napětí
v oblasti o výšce A. x - viz Obr. 3.14 v kapitole 3.1).
- Napětí ve výztuži se určí z návrhového pracovního diagramu (je možno volit pro o ID
diagram s vodorovnou nebo se stoupající větví po dosažení meze kluzu - viz Obr. 3.20
v kapitole 3.2).
- Při porušení
je dosaženo mezního poměrného
přetvoření
alespoň v iednom
z materiálů - tj. buď je v krajních tlačených vláknech betonu dosaženo hodnoty Gcu
(écu = écu,i , viz Tab. 3.1 v kap. 3.1; pro betony do třídy C50/60 včetně je &cu.i = -DoOO"" - o
nebo v tahové výztuži hodnoty ésu = &ud (viz odst. 3.2), pokud neuvažujeme neom zený
pracovní diagram oceli, kde ésu = 00.
Při volbě rozdělení napětí v tlačeném betonu je nejjednodušší
rovnoměrného rozdělení napětí o hodnotě '7lcd v oblasti o výšce A. x,
kde
'7
použít
předpo - ad
je součinitel tlakové pevnosti betonu (podle [9] '7 = 1,0 pro betony
.. :::;-O
MPa, pro betony vyšších tříd je '7 = 1,0 - (fck - 50) / 200; pokud se šířk
tlačené oblasti průřezu zmenšuje směrem ke krajním, nejvíce namáhaným
tlačeným vláknům, hodnota nť« má být snížena o 10 %,
součinitel definující efektivní výšku tlačené zóny (norma E
uvádí hodnotu A. = 0,8 pro betony Slck ~ 50 MPa, pro beton
Slck> 50 MPaje A. = 0,8 - (fck - 50) /400).
Pozn.: V dalším textu kapitoly 4 uvažujeme pro zjednodušení pouze hodnoty odpo ida"'cí
třídě betonu nejvýše C50/60 (A. = 0,8; '7 = 1,0; &cu = - 0,0035), pro prvky z betonů \~ šši
tříd je nutno dále uvedené postupy upravit.
Při volbě pracovního diagramu oceli dáváme přednost diagramu s vodorovnou
-ěni:
napětí ve výztuži za mezí kluzu je tedy rovno návrhové hodnotě fyd, což značně
~e
výpočty. Dalším zjednodušením je uplatnění předpokladu neomezeného přetvoření výztuže.
o
Aplikace uvedených předpokladů pro navrhování nejčastěji užívaných tvarů
a vyztužení jsou uvedeny v odst. 4.3, 4.4 a 4.5, postup výpočtu momentů únosno
obecného tvaru je v odst. 4.6 a 4.7.
zů
zů
~ ----
Navrhovárií betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
4.3
Obdélníkový průřez jednostranně vyztužený
4.3.1
Posouzení
Posuzujeme průřez (viz Obr. 4.3a) na účinky návrhového zatíženi. Jsou dány hodnoty:
- geometrie průřezu: šířka b, výška h, účinná výška d,
- plocha tahové výztuže As ,
- materiálové charakteristiky: pro beton/cd,
pro ocelfyd ,
- moment od návrhového zatížení MEd.
o)
&cu= -0,0035
TI ~
e
As
••••
J
b)
1
b
Obr. 4.3 Obdélníkový průřez jednostranně vyztužený:
a) přetvoření a rozdělení napětí v tlačené části betonu na mezi únosnosti,
b) omezení výšky tlačené oblasti (Xbal.l = ~bal.l d)
Nejprve je třeba zkontrolovat splnění konstrukčních zásad (krytí výztuže - viz kapitola 3.4,
vzdálenosti výztužných prutů, minimální a maximální vyztužení - viz kapitola 4.8).
Předpoklady průběhu poměrných přetvoření a možná rozdělení napětí v tlačeném betonu
na mezi únosnosti jsou znázorněny na Obr. 4.3a.
Pro jednostranně vyztužený průřez platí podmínky rovnováhy - silová a momentová
r; =F«,
(4.9)
MRd =Fs z=F, z .
(4.10)
Tlakovou sílu v betonu lze vyjádřit vztahem
F:
=j3
x b /cd ,
(4.11)
kde j3 je součinitel plnosti obrazce napětí závislý na uvažovaném průběhu napětí betonu
v tlačené oblasti (viz např. [23]).
Síla v tahové výztuži
Fs=As(Is,
kde
a,
(4.12)
je napětí ve výztuži při dosažení meze únosnosti průřezu.
Po dosazení vztahů (4.11) a (4.12) do (4.9)
j3 x b fed
106
= As
a, .
(4.9a)
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Tahové porušení
Pokud uvažujeme návrhový pracovní diagram oceli s vodorovnou
řetvoření Es), mělo by při tahovém porušení průřezu platit
větví (bez omezení
(4.13)
(Js=hd.
Po dosazení (4.13) do vztahu (4.9a) obdržíme
(4.9b)
jJXb!cd=Ashd,
odkud můžeme vyjádřit výšku tlačené oblasti x
x
= ~ Iyd
(4.14)
fJ b led
V dalším výpočtu budeme uvažovat nejjednodušší alternativu rozdělení napětí v tlačeném
betonu, tj. rovnoměrné rozdělení napětí !cd v tlačené oblasti výšky 0,8 x (obecně napětí '7 led
oblasti výšky Ax - viz odst. 4.2). Výše uvedené vztahy nabývají v tom případě tvaru
(4.11a)
Fc=0,8bx!cd,
x=
As Iyd
0,8 b led
(4. 14a)
Po výpočtu výšky tlačené oblasti je nutná kontrola předpokladu o napětí ve výztuži.
Předpoklad podle vztahu (4.13) platí, pokud ocel dosáhla alespoň meze kluzu, tj. pokud platí
Es
2: &yd
( 4.15)
.
Z Obr. 4.3b je zřejmé, že podmínku lze vyjádřit i jako omezení výšky tlačené oblasti x, resp.
její poměrné hodnoty ~ = x I d
~ '5,
( 4.
~bal, I ,
16)
(4.17)
pro
&cu = -0,0035
a Es
=
200 GPaje
700
~bal,1
(4. 17a)
= 700 + /yd
ormy pro navrhování požadují, aby se výztuž po dosažení meze kluzu ještě plasticky
přetvořila před dosažením meze únosnosti průřezu, a proto uváděj í přísněj podmínku
ší
(4.18)
apř. přednorma ENV 1992-1-1 uváděla hodnotu ~max = 0,45 pro prvky s betonem do třídj
C50/60 a ~max = 0,35 pro vyšší třídy betonu; norma EN 1992-1-1 [9] již toto ustanovení
neobsahuje. Nicméně, pokud se používá redistribuce momentů nebo plastická analýza, musí
být hodnota ~ omezena.
Při užití redistribuce ohybových momentů je třeba kontrolovat omezující podmínku
poměrné výšky tlačené oblasti v závislosti na míře redistribuce ď, kde ď je poměr hodnoty
ohybového momentu po redistribuci a hodnoty ohybového momentu získané lineárním
výpočtem (viz 2.8).
107
Navrhovárií betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Ohybové momenty stanovené výpočtem staticky neurčité konstrukce za předpokladu
lineárního chování materiálu lze upravit (redistribuovat) a tím zjednodušit vyztužování
a dosáhnout i úspory výztuže. Na mezi únosnosti železo betonového ohýbaného nosníku jsou
v taženém betonu trhliny, materiál v nejvíce namáhaných oblastech se plastizuje. V důsledku
toho dochází u staticky neurčitých konstrukcí v nejvíce namáhaných oblastech k poklesu
tuhosti a tím k přesunu (redistribuci) vnitřních sil z těchto oblastí do oblastí méně
namáhaných. Např. pokud u spojitého nosníku ohybové momenty nad podporami dostoupí
meze únosnosti a momenty v poli ještě nedosahují meze únosnosti, stále ještě můžeme
zvětšovat zatížení nosníku. Lze předpokládat, že při přírůstku zatížení hodnoty ohybových
momentů nad podporami zůstávají konstantní a přírůstek zatížení zvětšuje moment v poli.
Aby to bylo možné, musí být umožněno v podporových oblastech plastické pootáčení. Při
výpočtech zavádíme zjednodušující předpoklad, že plastické po otáčení je soustředěno do tzv.
plastických kloubů; tento kloub tedy přenáší ohybový moment a umožňuje plastické
pootáčení.
Při redistribuci momentů musí být zachována rovnováha sil ve styční cích i na všech prutech
konstrukce a je nutné upravit odpovídajícím způsobem též posouvající síly. Nutným
předpokladem užití redistribuce momentů je dostatečná rotační kapacita v oblastech
plastických kloubů, schopnost plastického natočení Ppl po dosažení meze kluzu ve výztuži (viz
Obr. 4.4). Rotační kapacitu v oblastech plastických kloubů není nutné ověřovat výpočtem,
pokud jsou dodrženy omezující podmínky pro míru redistribuce <5,tj. poměr momentů
po a před redistribucí. Omezení poměru <5je uvedeno v normě [9] jako funkce poměrné výšky
tlačené oblasti (; lze tedy ověřovat hodnotu (V závislosti na míře redistribuce <5(viz též odst.
2.8.3 a [23]).
Ccu
{~~/-' O~X
H
pl ,
I
J
b
JJ
~
Obr. 4.4 Pružné natočení
Ilsy
Pel
a plastické natočení průřezu
J
Ppl
Csu
}
při tahovém porušení
Při splnění podmínek omezení výšky tlačené oblasti x, resp. poměrné hodnoty ~ lze rameno
vnitřních sil z stanovit ze vztahu
(4.19)
z=d-yx,
při uvažování rovnoměrného rozdělení napětí betonu v tlaku
z = d- 0,4x.
(4.19a)
Návrhová hodnota momentu únosnosti je pak dána vztahem
MRd
= Ashct
z.
(4. 10 a)
Pokud bychom uvažovali pracovní diagram oceli s vodorovnou větví s omezeným
přetvořením (např. &s ~ 0,01), museli bychom po výpočtu hodnoty x ještě kontrolovat, zda
platí &s ~ 0,010.
108
Navrhování
betonových
4 Nosníky namáhané
ko
"
I
1
ohybovým momentem
°
V případě, že by tato podmínka nebyla splněna, pak mezního stavu je dosaženo při Es = 010
:ričinou dosažení meze únosnosti je dosažení nadměrného
protažení výztuže a na mezi
osnosti je přetvoření
v krajních tlačených vláknech betonu
GC < 0,0035.
Nelze
ed
_ 'ažovat plný pracovní diagram betonu, výpočet je složitěj ši. Pro reálný výpočet b . b '10
::-eba uvažovat parabolicko-rektangulární
nebo bilineární rozdělení napětí v tlačeném beton .
a F; je pak funkcí poměrného přetvoření Gc a výšky tlačené oblasti x. Vztahy najdeme např.
:13]. Kromě součtové výminky rovnováhy je třeba sestavit geometrickou
výminku ( iz
I I
=
br. 4.5)
x
«.
'ýpočet
(.°
d
=----
O,OlO+Gc
z rovnic (4.9b)
a (4.20) je složitý, jednodušší
- 19) pak stanovíme rameno vnitřních sil z (součinitel
_ ::ále moment únosnosti podle vztahu (4.1 Oa).
je iterace
yurčíme
s volbou
opět s využitím
- _nI.: Hodnota
momentu únosnosti vypočtená uvedeným poměrně
_ :..iš neliší od hodnoty získané za předpokladu Gc = Gcu při uvažování
_ GŽujeme většinou neomezený pracovní diagram oceli.
J
x. Podle
-ztahu
např. [13]
pracným výpočtem
e
Gs> 0,010. Proto v praxi
-#-~
&su}'=O,010
li. =s Es
T.4.5 Dosažení meze únosnosti mezním
přetvořením výztuže
Obr. 4.6 Mez únosnosti silně vyztuženého
průřezu - tlakové porušení
ové porušení
-
aid neplatí vztah (4.15), resp. (4.16), v oceli není na mezi únosnosti
-- á se o tzv. tlakové porušenÍ.
= ýpočtu, přičemž platí
o-s
= Gs
Es
Napětí
ve výztuži
<J«.
výpočet potřebujeme
0,8 x b!cd
= As
sil F;
= Fi
, po dosazení
(4.22)
napětí
o-s .
_- bou rovnicí je geometrická
x
d
0,0035
o-s + 0,0035
---=-----
meze kluzu,
o-s je neznámou
tedy 2 rovnice:
ft x b!cd = As OS .
rozdělení
dosaženo
únosnosti
(4.21)
.ni rovnicí je rovnováha
rovnoměrné
na mezi
(4.22a)
výminka
(viz Obr. 4.6)
(4.23)
Es
109
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Výpočet je možný iterací s volbou x, výpočtem ~s z rovnice (4.23), výpočtem sil F; a F,
a postupnou opravou x až do získání rovnováhy sil s vyhovující přesností. Poté podle (4.19)
resp. (4. 19a) vypočteme rameno sil z a dále
(4.24)
Pozn.: Ohýbané nosníky s tlakovým porušením bez předchozího varování (bez vytvoření
širokých trhlin a zřetelných průhybů) se podle norem pro navrhování betonových konstrukcí
nedoporučuje navrhovat.
4.3.2
Návrh
Návrh je obráceným postupem posudku, vycházejícím ze zvolených (odhadnutých) rozměrů
průřezu.
Uvažujeme-li obdélníkový průřez daných rozměrů b a h (popř. zvolených a v průběhu návrhu
korigovaných), máme určit plochu výztuže As pro danou hodnotu návrhového ohybového
momentu MEd. Dále musíme znát, popř. zvolit třídu betonu (tím je dána hodnota/cd) a oceli
(dána hodnota /yd). Pro předpokládanou hodnotu krytí podélné výztuže c (viz kap. 3.4)
a pro předpokládaný profil výztužného prutu d, stanovíme účinnou výšku průřezu
d
e
h+c= ds
2
(4.25)
.
U prutových prvků je třeba při stanovení hodnoty krycí vrstvy podélné výztuže přihlédnout
též k profilu příčné smykové výztuže (třmínků) a u podporových průřezů monolitické
konstrukce je třeba přihlédnout též k profilu výztuže desky, event. kolmých prutových prvků
(horní výztuž podporovaných trámů je umístěna nad podélnou výztuží průvlaků).
Uvažujme rovnoměrné rozdělení napětí v tlačeném betonu a pracovní diagram oceli
s neomezenou vodorovnou větví. Při tahovém porušení je napětí výztuže OS = /yd (návrh silně
vyztuženého průřezu s tlakovým porušením není vhodný), lze tedy psát
0,8 x b /cd = Asfyd ,
(4.26)
MRd = Asfyd (d - 0,4 x) .
(4.27)
Pro hospodárný návrh dosaďme za MRd hodnotu MEd, hledáme návrhovou plochu
Po úpravě z rovnice (4.26) vyjádříme x a dosadíme do (4.27)
MEd
= 4req
fYd(d - 0,4
,
4,req
fYd
0,8 b fed
J.
As,req
.
(4.27a)
Potřebnou plochu výztuže vypočteme tedy z kvadratické rovnice, odkud obdržíme
.&
~.req
=bdfed(1_
f
yd
1_2MEdJ.
bd2f
cd
(4.27b)
Snadno lze plochu výztuže navrhnout z odhadnutého ramene vnitřních sil z, kde pro běžné
nosníky volíme z = (0,85 -;-0,9) d. Nutnou plochu výztuže As,req pak určíme ze vztahu (4.28)
.&
_ MEd
~.req - ~
Z Jyd
110
.
(
4.28
)
Navrhování
betonových
4 Nosníky namáhané
~tr:JA~2L
;,
b
ohybovým momentem
s:.
-u
AS1
1
konstrukcí
.
L-u
JI
Tab. 4.1 Součinitele pro návrh - obdélníkový průřez, betony třídy ~ C50/60
}l
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0,100
0,110
0,120
0,130
0,140
0,150
0,160
0,170
0,180
0,190
0,200
0,210
0,220
0,230
0,240
0,250
0,260
0,270
0,280
0,290
0,300
0,310
0,320
0,330
0,340
0,350
0,360
0,370
0,380
0,390
0,400
0,410
0,420
0,430
0,440
0,450
0,460
0,470
0,480
ca
0,0101
0,0202
0,0305
0,0408
0,0513
0,0619
0,0726
0,0835
0,0945
0,1056
0,117
0,128
0,140
0,151
0,163
0,175
0,188
0,200
0,213
0,225
0,238
0,252
0,265
0,279
0,293
0,307
0,322
0,337
0,352
0,368
0,384
0,400
0,417
0,434
0,452
0,471
0,490
0,510
0,531
0,553
0,576
0,600
0,626
0,654
0,684
0,717
0,755
0,800
~
(
0,013
0,025
0,038
0,051
0,064
0,077
0,091
0,104
0,118
0,132
0,146
0,160
0,175
0,189
0,204
0,219
0,234
0,250
0,266
0,282
0,298
0,315
0,331
0,349
0,366
0,384
0,402
0,421
0,440
0,459
0,479
0,500
0,521
0,543
0,565
0,589
0,613
0,638
0,664
0,691
0,720
0,750
0,782
0,817
0,855
0,896
0,944
1,000
0,995
0,990
0,985
0,980
0,974
0,969
0,964
0,958
0,953
0,947
0,942
0,936
0,930
0,924
0,918
0,912
0,906
0,900
0,894
0,887
0,881
0,874
0,867
0,861
0,854
0,846
0,839
0,832
0,824
0,816
0,808
0,800
0,792
0,783
0,774
0,765
0,755
0,745
0,735
0,724
0,712
0,700
0,687
0,673
0,658
0,641
0,622
0,600
c••
275,093
135,086
88,412
65,071
51,063
41,722
35,047
30,039
26,142
23,022
20,468
18,337
16,533
14,985
13,642
12,465
11,426
10,500
9,670
8,922
8,244
7,626
7,060
6,540
6,060
5,615
5,202
4,817
4,456
4,118
3,800
3,500
3,216
2,947
2,691
2,447
2,213
1,989
1,773
1,565
1,363
1,167
0,974
0,784
0,595
0,404
0,208
0,000
Cs2
e;
0,05
-3,500
10,430
-3,500
3,429
-3,500
1,096
-3,500
-0,071
-0,772
-3,500
-3,500
-1,239
-3,500
-1,573
-3,500
-1,823
-3,500
-2,018
-2,174
-3,500
-2,302
-3,500
-3,500
-2,408
-3,500
-2,498
-3,500 . -2,576
-3,500
-2,643
-3,500
-2,702
-3,500
-2,754
-3,500
-2,800
-2,841
-3,500
-3,500
-2,879
-3,500
-2,913
-2,944
-3,500
-3,500
-2,972
-3,500
-2,998
-3,500
-3,022
-3,044
-3,500
-3,500
-3,065
-3,500
-3,084
-3,102
-3,500
-3,119
-3,500
-3,135
-3,500
-3,500
-3,150
-3,500
-3,164
-3,178
-3,500
-3,500
-3,190
-3,500
-3,203
-3,500
-3,214
-3,500
-3,226
-3,500
-3,236
-3,500
-3,247
-3,500
-3,257
-3,500
-3,267
-3,500
-3,276
-3,500
-3,286
-3,500
-3,295
-3,500
-3,305
-3,500
-3,315
-3,500
-3,325
I
pro dJd
0,1
24,359
10,359
5,691
3,357
1,956
1,022
0,355
-0,146
-0,536
-0,848
-1,103
-1,316
-1,497
-1,651
-1,786
-1,903
-2,007
-2,100
-2,183
-2,258
-2,326
-2,387
-2,444
-2,496
-2,544
-2,588
-2,630
-2,668
-2,704
-2,738
-2,770
-2,800
-2,828
-2,855
-2,881
-2,905
-2,929
-2,951
-2,973
-2,993
-3,014
-3,033
-3,053
-3,072
-3,091
-3,110
-3,129
-3,150
I
0,15
38,289
17,288
10,287
6,786
4,684
3,283
2,282
1,531
0,946
0,478
0,095
-0,224
-0,495
-0,727
-0,929
-1,105
-1,261
-1,400
-1,524
-1,637
-1,738
-1,831
-1,916
-1,994
-2,066
-2,133
-2,195
-2,253
-2,307
-2,357
-2,405
-2,450
-2,493
-2,533
-2,571
-2,608
-2,643
-2,677
-2,709
-2,740
-2,770
-2,800
-2,829
-2,857
-2,886
-2,914
-2,944
-2,975
I
0,2
52,219
24,217
14,882
10,214
7,413
5,544
4,209
3,208
2,428
1,804
1,294
0,867
0,507
0,197
-0,072
-0,307
-0,515
-0,700
-0,866
-1,016
-1,151
-1,275
-1,388
-1,492
-1,588
-1,677
-1,760
-1,837
-1,909
-1,976
-2,040
-2,100
-2,157
-2,211
-2,262
-2,311
-2,357
-2,402
-2,445
-2,487
-2,527
-2,567
-2,605
-2,643
-2,681
-2,719
-2,758
-2,800
111
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Pro návrh plochy výztuže je možné využít i tabulky, které jsou sestaveny pro navrhování
obdélníkových průřezů jednostranně i oboustranně vyztužených pro jednotlivé případy
návrhových pracovních diagramů betonu a oceli. Nutnou plochu výztuže As,req lze určit
ze vztahu (4.30) pomocí poměrné hodnoty ramene vnitřních sil (= z / d odečtené z tabulky
pro vypočtený poměrný moment /1
_
f.1. -
MEd
b d2
(4.29)
/"
Jed
(4.30)
V tabulce můžeme odečíst i hodnoty poměrné výšky tlačené oblasti ~ = x / d a porovnat
s omezujícími hodnotami (. Tabulky jsou uvedeny např. v publikaci [23]. Příklad tabulky
pro betony třídy :s;C50/60, stanovené za předpokladů rovnoměrného rozdělení napětí
v tlačeném betonu a neomezeného přetvoření výztuže, je Tab. 4.1.
Po návrhu plochy As,req kterýmkoliv z výše uvedených postupů je nutno určit skutečnou
plochu výztužných prutů As ~ As,req , zkontrolovat předpoklady, konstrukční zásady a provést
posouzení.
Pokud neplatí předpoklad O"s =/yd, resp. výška tlačené oblasti nesplňuje omezující
předpoklady norem (tj. neplatí podmínka (4.18) a omezení při užití redistribuce), je obvykle
nejlepším řešením navrhnout větší průřez. Pokud to není možné, navrhneme do průřezu
oboustrannou výztuž (viz odst. 4.4).
4.4
Obdélníkový průřez oboustranně vyztužený
4.4.1
Uplatnění oboustranně vyztužených průřezů namáhaných ohybovým
momentem
Oboustranně vyztuženým průřezem rozumíme průřez s podélnou tahovou výztuží plochy AsI
a tlakovou výztuží plochy As2 . Uvedené průřezy navrhujeme zejména tam, kde jsou rozměry
průřezu omezené a při návrhu jednostranného vyztužení pro daný účinek zatížení MEd není
splněna podmínka omezení výšky tlačené oblasti, takže prvek by nesplnil podmínku
požadované duktility. Při splnění podmínky (4.18), tj. ~ = ~max, by průřez vyztužený pouze
tahovou výztuží, vykazoval moment únosnosti menší než je daná hodnota MEd.
o)
b)
3 __
y p-Fc
[0
~
••••
A" ~
~F.
sl
Obr. 4.7 Porovnání únosnosti v ohybu obdélníkových průřezů
a) jednostranně vyztužený průřez
b) oboustranně vyztužený průřez
112
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Použití t1akové výztuže zvysuje hodnotu momentu únosnosti průřezu. Porovnejme
. osnost v ohybu identických průřezů (stejné rozměry, materiály, plocha tahové výztuže AsI),
• řičemž jeden je bez tlakové výztuže (Obr.4.7a),
druhý má tlakovou výztuž plochy As2
"Obr, 4.7b). Platí rovnováha sil, tj. výslednice tlakové síly je rovna tahové síle ve výztuži
řičernž v obou případech uvažujeme stejnou sílu v tahové výztuži FsI .
Ilakovou sílu v průřezu bez tlakové výztuže přenáší jen beton. U oboustranně vyztuženého
růřezu část tlakové síly přenáší výztuž, proto síla v betonu je menší než v předchozim
připadě, a tedy i výška tlačené oblasti je menší. Pokud u jednostranně vyztuženého průřezu
.ychází výška tlačené oblasti x> Xbal,1 , jedná se o průřez s tlakovým porušením (viz odst.
,.3.1). Přidáním tlakové výztuže dosáhneme změny způsobu porušení z tlakového na taho é,
eboť po přidání tlakové výztuže vychází x < Xbal,l. Z uvedeného příkladu je zřejmé
že přidáním tlakové výztuže do silně vyztuženého průřezu můžeme vlivem zmenšeni
výšky tlačené oblasti x změnit způsob porušení z tlakového na tahové (viz též Obr. 4.10b).
Ccu= -0,0035
v
1
t'
cy
cs2
Obr. 4.8 Oboustranně vyztužený průřez
- využití tlakové výztuže
činnost tlakové výztuže závisí na jejím přetvoření a napětí na mezi únosnosti průřezu. Plně
~e tato výztuž využita, pokud platí:
(4.31)
Hodnota přetvoření Gs2 závisí na vzdálenosti d2 tlačené výztuže od krajních tlačených láken
průřezu a výšce tlačené oblasti x. Podmínku (4.31) lze vyjádřit vztahem (4.32) - viz Obr. 4.8
(4.3 )
de pro Es
=
200GPa je
=x
d
2.bal
(0,0035 - Gyd)
00035
,
=x
700 - fYd
700'
Označme výraz (700 - fyd) / 700 součinitelem
~
~ ~bal.2
~bal,2
.
Po úpravě dostaneme vztah
d.
'"
.~
Pokud je podmínka (4.34) splněna, je tlaková výztuž na mezi únosnosti plně využita, na e í
as2 = /yd. Pokud podmínka neplatí, výztuž je jen částečně využita, napětí závisí lineár e
na přetvoření Gs2 .
Užití tlakové výztuže v ohýbaných
přednosti:
nosnících
má kromě výše uvedených
důvod
další
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
- zmenšuje průhyby nosníku od dotvarování a smršťování. Vliv množství tlakové výztuže
na velikost průhybu od dotvarování je patrný z Obr. 4.9;
rn
>I
.::>
~
o,
~-----------------As2=O
_----------As2=O,5Asl
=------------------A
PRŮHYB
52
OD DOTVAROVÁNf
POCÁTECNi
ELASTICKÝ
= As 1
PRŮHYB
tos
Obr. 4.9 Vliv množství tlakové výztuže na průhyb nosníku od dotvarování
- zvyšuje přetvárnost (duktilitu); nosníky vyztužené tlakovou výztuží mají vyšší schopnost
plastického přetvoření před porušením, efekt se projeví zřetelněji při větším stupni
vyztužení tahovou výztuží - viz Obr. 4.10a,b; zvýšení přetvárnosti je důsledkem snížení
výšky tlačené oblasti x při přidání tlakové výztuže do průřezu;
- slouží jako konstrukční
fixaci třmínků.
výztuž k vytvoření prostorově tuhé výztužné kostry nosníku,
a)
N
L
.D
As2=As1
~-====As::;2:-;:;=7iO.5As 1
jlO.2
<,
~
0.1
As2:O
'"
MEZKLU2U
AS1
P:bd=O.Ol
OCELI
4--~--~--~----~
b)
2
4
pf.h[?]
6
N
L
.D
"O
••..
°0.4
<,
~
0.3
0.2
As2=O
Asl
P='1)d=O.03
0.1
2
Obr.
4.4.2
4
6
pf.h[%]
4.10 Vliv množství tlakové výztuže na duktilitu pro různé stupně tahového vyztužení
Posouzení
Před posouzením daného obdélníkového prurezu je třeba nejprve zkontrolovat splnění
konstrukčních zásad pro ohýbané prvky (krytí výztuže - viz odst. 3.4, vzdálenosti výztuže,
minimální a maximální stupně vyztužení - viz odst. 4.8). Pro zajištění tlačené výztuže proti
vybočení musí vzdálenosti třmínků splňovat kriteria pro tlačené prvky - viz odst. 6.7.
Platí rovnováha sil
FsI = F; + Fs2
kde
FsI = AsI
(4.35)
,
OšI ,
Fs2 = As2
Oš2 ,
F« = 0,8 b X.fcd (při uvažování rovnoměrného rozdělení napětí v tlačeném betonu
na mezi únosnosti).
114
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Předpokládejme plné využití tahové i tlakové výztuže na mezi únosnosti, tj.
Z rovnice (4.35) po dosazení a úpravě vypočteme hodnotu
x
= (Asi
- A.,2) fYd
0,8 b led
O"sl
=
.
Oš2
= J;ů .
(4.36)
Splnění předpokladů o využití výztuže zjistíme kontrolou platnosti vztahů (4.16), resp. (4.18)
a (4.34). Pokud jsou splněny, vypočteme moment únosnosti Ařn, podle (4.37) - viz Obr. 4.
MRd
= As2fyd(d
- d2)
+ 0,8 b X/cd (d - 0,4 x).
(4.37)
Pokud tlaková výztuž není plně využita, je třeba napětí Oš2 zavést do výpočtu jako neznámou
přičemž O"s2 = Gs2 Es, O"s2~ /yd . Z rovnice rovnováhy sil a geometrické výminky vyplývající
z Obr. 4.8 vypočteme přímo neznámé x a O"s2 ze dvou rovnic (nebo lze též použít iteraci)
a následně pak vyjádříme moment únosnosti
MRd
= As2 as2 (d - d2) + 0,8 b X/cd
(d -
(4.38)
0,4 x) .
Návrh
4.4.3
Oboustranné vyztužení navrhujeme zejména tehdy, pokud průřez s maximální jednostrannou
plně využitou výztuží (O"s = /yd) nemá dostatečnou únosnost a rozměry průřezu nelze zvětšit.
V tomto případě je možné při návrhu výztuže vycházet z průřezu jednostranně vyztuženého
s maximální únosností MRd,max při splnění normových požadavků na výšku tlačené oblasti. Pro
obdélníkový průřez s maximální jednostrannou plně využitou výztuží platí c; = c;bal.l , popř. při
použití redistribuce momentů x = ~nax d odpovídající plochu této výztuže As stanovíme
z rovnice rovnováhy sil (Obr. 4.11a)
As =
0,8
c;bal,1
db f.«,
(4.39)
z momentové podmínky pak vypočteme
MRd,max
= 0,8
c;bal,l
a)
-o
~1
• •
•
d b /cd (d - 0,4
tf
(4.40)
d) .
b)
Q,8q'ol"db{,
d(1-0,4?bOI,1)
As
c;bal,l
As
fyd
DJA'
•
•
LlAs
[
eAs2
O
e ••••
As1
Obr. 4.11 Návrh výztuže oboustranně vyztuženého průřezu
Přidáme-li do uvedeného průřezu tahovou i tlakovou výztuž o stejné ploše Ms (viz Obr.
4.llb), tahová výztuž bude stále plně využita (o-s = fyd) neboť se nezmění výška tlačené
oblasti (stále platí C; = c;bal,l) a moment únosnosti vzroste na
MRd
= MRd,max + LlMRd ,
(4.41)
115
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Potřebnou plochu přídavné výztuže Ms stanovíme ze vztahů (4.40) a (4.41) při dosazení
hodnoty ohybového momentu od zatížení MEd za MRd; následně navrhneme tahovou
a tlakovou výztuž o ploše AsI a As2 , kde
ASI2As + Ms,
(4.42)
AS22Ms.
(4.43)
4.5
T-průřez
4.5.1
Statické působení
Trámy a průvlaky monolitických železobetonových stropních konstrukcí jsou spojeny se
stropní deskou, jedná se o tzv. deskové trámy (trámy s deskou). Železobetonová deska
umístěná při horním líci trámu - viz Obr. 4.12 je monoliticky spojena s trámovými prvky.
Při namáhání kladnými ohybovými momenty (tj. obvykle v polích spojitých trámů) je
namáhán tlakem nejen trám, ale i spolupůsobící část desky. Při výpočtech můžeme uvažovat
vliv spolupůsobící desky na ohybovou únosnost trámu, řešíme tzv. T-průřez. V oblastech
záporných momentů (tj. obvykle v okolí podpor spojitých trámů) je deska v tažené části
průřezu, proto při výpočtech se uvažuje obdélníkový průřez šířky b; .
Obr. 4.12 T-průřez deskového trámu
Pokud tlačená oblast má tvar obdélníka nebo "T", můžeme použít dále uvedeného řešení
i u železobetonových prvků jiných průřezů - viz Obr. 4.13 (mimo tlačenou oblast může mít
průřez prakticky libovolný tvar, neboť při výpočtu únosnosti v ohybu se s taženým betonem
nepočítá). Jinak princip spolupůsobení tlačených oblastí různých tvarů (lichoběžníkových
apod.) platí obecně.
r.ó::cs::o:m
Obr. 4.13 Průřezy zobecněného tvaru T
116
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
.5.2
Spolupůsobící šířka
?TI namáhání T-průřezu
oblasti trámu i přilehlé
::esky od trámu se napětí
- cy působící mezi deskou
ohybem působí normálová tlaková napětí při tlačeném okraji
desce. Rozdělení napětí je nerovnoměrné, s rostoucí vzdáleností
zmenšuje, viz Obr. 4.14 (v obrázku jsou naznačeny též smykové
a přilehlým trámem).
P~iC:NÝ TLAK
Obr. 4.14 Působení nosníku průřezu T
Při navrhování
se zjednodušeně předpokládá rovnoměrné tlakové napětí voblasti tzv.
_ olupůsobící šířky beff - viz Obr. 4.15. Spolupůsobící šířka deskových trámů beff závisí
šířce stojiny T-průřezu, osových vzdálenostech
a rozpětí trámů, druhu zatížení,
z: dmínkách uložení a příčné výztuži (zachycení smykových sil).
b
Obr. 4.15 Spolupůsobící šířka beff
Hodnota be« může být určena podle EN 1992-1-1 [9] na základě vzdálenosti prurezů
s nulovými ohybovými momenty 10 podle Obr. 4.16a. Uvedené hodnoty 10 lze užít, pokud
délka převislého konce je menší než polovina rozpětí přilehlého pole a poměr rozpětí
s usedních polí je v rozmezí 2/3 až 1,5. Spolupůsobící šířka se určí podle vztahů (2.33, 2.34a
~ 2.34b) - viz Obr. 2.8 a 2.9, tedy:
beff
= 'l)eff,i
kde
beff,i
+ »; < b ,
= 0,2
b, + 0,110 ~ 0,2 10 ,
vedené vztahy lze užít i pro trám průřezu "L" se spolupůsobící deskou pouze z jedné strany
trámu.
117
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané
4.5.3
ohybovým momentem
Posouzení T-průřezu
Při vyšetřování ohybové únosnosti T-průřezu je třeba určit, zda neutrální osa na mezi
únosnosti leží v desce (x :::;hr) nebo ve stojině T-průřezu (x > ht).
U běžných trámů obvykle vychází tlačená oblast obdélníková (tj. x:::; hf). Uvažujeme-li
rovnoměrné rozdělení napětí betonu v tlačené oblasti výšky 0,8 x, pak tuto oblast můžeme
považovat za obdélníkovou, pokud platí 0,8 x :::;ht . V tomto případě vyšetřujeme T-průřez
jako obdélníkový průřez šířky b = bes . Při ověřování kritérií omezujících plochu výztuže
(As,min, As,max - viz odst. 4.8.1) dosazujeme však za šířku průřezu b = bw .
Pro průřezy více vyztužené má tlačená oblast má tvar T. Pro jednoduchost je možné
u jednostranně vyztuženého T-průřezu při výpočtu momentu únosnosti rozdělit tlačenou
oblast na část 1 (části desky mimo trám, šířky b-« - bw) a část 2 (tlačená část trámu šířky bw) viz Obr. 4.16.
Hodnotu x vypočteme z rovnováhy sil:
+ Fe2
Fel
kde
(4.44)
= Fs,
Fel =
(beff- bw) hf fed ,
Fe2 = 0,8 x i; .led,
F, = As fyd (za předpokladu
beft
O"s =fyd)
.
f~
--:s
{~
-1
-í
s:
- - -
.r. x
8eu
L0.
~
-
-
6-
F.
cI
Fc2
N
N
~
r;
~
Obr. 4.16 T-průřez, neutrální osa prochází stojinou průřezu
Po vyčíslení x zkontrolujeme předpoklad využití výztuže (O"s = fyd) ověřením ~::; ~bal,l , resp.
podle požadavku ~::; ~max . Pokud omezující podmínky nejsou splněny, je třeba zvětšit průřez
nebo navrhnout tlakovou výztuž (viz odst. 4.4).
Při splnění podmínek vyčíslíme hodnoty ramen
Zel =
Zel
d - 0,5 he ,
(4.45)
ze2=d-O,4x,
MRd
=
(beff- bw) ht fed
a Ze2 a dále moment únosnosti průřezu
(4.46)
Zel
+ 0,8 x bw.led
Ze2 .
(4.47)
Pokud platí MRd 2: MEd , průřez vyhovuje.
4.5.4
Návrh výztuže
Pro méně namáhané T-průřezy s tlačenou spolupůsobící deskou, u nichž lze předpokládat,
že tlačená oblast na mezi únosnosti bude obdélníková, tj. bude se nacházet v desce,
postupujeme při návrhu tahové výztuže podle odst. 4.3, a to při uvažování obdélníkového
118
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
crůřezu šířky be«. Ovšem pro kritéria omezení plochy tahové výztuže je třeba uvažovat šířku
~ jiny T-průřezu, tj. b.; .
více namáhané T průřezy stanovíme hraniční moment únosnosti, pro který uvažujeme
élníkový tvar tlačené oblasti tj. 0,8 x = hs , tedy
MRd,f
=
b hf !cd ( d - 0,5 hf)
(4.48)
.
okud platí MEd::; MRd,f, pak bude tlačená oblast na mezi únosnosti obdélníková. Pro případ
_fEd> MRd,f, je možné zjednodušeně stanovit plochu výztuže bezpečně jako pro obdélníkový
rrůřez šířky b«, nebo přesněji jako součet plochy výztuže Asf, odpovídající síle v tlačeném
_ tonu desky a plochy výztuže Asb pro zbývající moment
(4.49)
(4.50)
kde
_lochu Asb navrhneme postupem podle odst. 4.3.2 pro obdélníkový průřez šířky b ; na účinek
hybového momentu M = MEd- MRd,f.
.5.5
Smyk mezi stěnou a přilehlými deskami průřezu tvaru T
Smykovou únosnost příruby lze vypočítat při uvažování příruby jako soustavy tlakových
-·agonál kombinovaných s táhly tvořenými tahovou betonářskou výztuží. Podélné smykové
- pětí VEd ve spojení příruby se stěnou je určeno změnou normálové (podélné) síl
uvažované části příruby; je dáno vztahem:
VEd= ÓFd/(hf·
kde
(4.51a)
Ax)
hf
je tloušťka příruby v místě připojení;
ÓX
uvažovaná délka viz Obr. 4.17 ;
Md
změna normálové síly v přírubě na délce Ar.
_Iaximální hodnota, kterou lze pro óx předpokládat, je polovina vzdálenosti mezi průřezem
.: nulovým momentem a průřezem s maximálním momentem. Pokud působí osamělá
cřemena, nemá délka óx přestoupit vzdálenost mezi osamělými břemeny.
Plochu příčné betonářské výztuže na jednotku délky připojení Asdsf lze stanovit následovně:
(Asrhd/sf) ~ VEd· hd cot Bf
Aby se zabránilo
dmínka:
rozdrcení
(4.51b)
tlakových
diagonál
v přírubě,
má být splněna
VEd:S;V!cd sinBf cos Bf
následující
(4.51c)
Doporučené hodnoty Bf uvedené v EN 1992-1-1 [9] jsou:
1,0:S;cot Bf:S; 2,0
pro tlačené příruby (45° ~Bf~
1,0 :S;cot B f:S;1,25
pro tažené příruby (45° ~ B f ~ 38,6°)
26,5°)
Pokud je VEdmenší nebo rovno hodnotě kfctd, nepožaduje se větší vyztuž nez Je nutná
ro příčný ohybový moment. Doporučená hodnota uvedená v EN 1992-1-1 [9] je k = 0,4.
119
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
~ - tlakové diagonály
[1!] -podélný
prut kotvený za průsečík s tlakovou diagonálou
Obr. 4.17 Označení pro spojení příruby se stěnou
4.5.6
Průřez s připojenou deskou v tažené oblasti
Deska v tažené oblasti nemá na hodnotu momentu únosnosti vliv, posouzení i návrh
provedeme postupem podle odst. 4.3 pro průřez šířky bw• Část tažené výztuže můžeme
případně umístit mimo oblast stojiny T-průřezu. Norma EN 1992-1-1 [9] dovoluje umístit
požadovanou taženou výztuž do celé oblasti šířky bee , ovšem pro zajištění dobrého
spolupůsobení lze doporučit umístit mimo oblast stojiny trámu max. 50 % navržené výztuže,
a to do vzdálenosti poloviny šířky trámu.
4.6
Průřez obecného tvaru (souměrný k rovině ohybu)
Pro průřezy obecného tvaru, souměrného k rovině ohybu, jednostranně i oboustranně
vyztužené (viz Obr. 4.18) lze aplikovat pro posouzení i návrh postupy uvedené v odst. 4.3
a 4.4. Pro vyjádření hodnoty síly F; v tlačené části betonu a její umístění (pro vyčíslení
ramene síly), je však třeba aplikovat příslušné funkční závislosti na výšce tlačené oblasti x.
Pokud se šířka tlačené oblasti průřezu zmenšuje směrem k nejvíce tlačeným vláknům, pak
při uvažování rovnoměrného napětí !cd v tlačené oblasti o výšce 0,8 x (resp. obecně Yf!cd
v oblasti o výšce A. x - viz odst. 3.1), má být podle [9] hodnota tohoto napětí snížena o 10 %.
Obr. 4.18 Tvary souměrných průřezů
Při posouzení průřezu složitějšího tvaru je lépe postupovat iterací při volbě x. Iterační postup
volíme i pro průřezy s více vrstvami působící výztuže. Pro zvolenou výšku tlačené oblasti x
120
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
v iteračním kroku (číslo iteračního kroku zde není pro lepší přehlednost uváděno) určíme
průběh poměrných přetvoření v průřezu na mezi únosnosti. Určíme hodnoty poměrných
přetvoření Csi v jednotlivých vrstvách výztuže a následně odpovídající sílu v i-té vrstvě
výztuže Fsi .
Fsi
= Asi
kde
(4.52)
O"si ,
Asi
je plocha i-té vrstvy výztuže,
OSi
=
b'si
Es ~ /yd .
As5
A 54
--",<~uc.L.<.~
~~'--
3
J---~
[52
/----+[5'
Obr. 4.19 Posouzení souměrného průřezu
_ a Obr. 4.19 je uveden příklad, kde rozhodující je mezní přetvoření v krajních tlačen' ch
'láknech betonu (ceu = -0,0035). Při posouzení je uplatněn předpoklad rovnoměrného napetí
· etonu v tlačené oblasti výšky 0,8 x a pracovní diagram oceli s vodorovnou větví.
právnost volby výšky tlačené oblasti x ověříme z rovnice rovnováhy sil
(4. 3)
Pro další krok hodnotu x upravíme a postup opakujeme, až rovnice rovnováhy (4.53) platí
- vyhovující přesností. Dále stanovíme ramena Ze a Zsi jednotlivých sil (hodnoty mohou b'
·ztaženy např. k neutrální ose) a moment únosnosti
(4.- )
ozn.: Při posouzení průřezu, tj. ověření podmínky spolehlivosti MRd? MEd, lze Uf irý h
· řípadech stanovit moment únosnosti průřezu se zanedbáním méně využitých vrste výztuže
popř. u vícevrstvé výztuže při uvažování jejího působení v těžišti těchto vrstev. Zanedbáním
méně využitých vrstev výztuže se výpočet může značně zjednodušit, vypočtená ho o a
momentu únosnosti bude na straně bezpečnosti. Např. u průřezu na Obr. 4.19 lze zanedba
-ý"ztužve vrstvách 3 a 4 a zavést předpoklad plného využití zbývající výztuže (OS = hli). Dále
· ak po stanovení hodnoty x ověříme platnost předpokladu využití výztuže, tj. v uvede ém
případě ověříme pro rozhodující vrstvy výztuže 2 a 5 platnost podmínky Icsl ? Cyd . Pokud jsou
_ o podmínky ve vrstvách 2 a 5 splněny, další postup je stejný, jak je výše uvedeno.
~.7
Šikmý ohyb
we
ymetrické průřezy zatížené ohybem v rovině symetrie mají neutrální osu kolmou kro
ohybu, tedy i k rovině symetrie. U průřezů, které nejsou souměrné k rovině ohybu., je třeba
1 1
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
při vyšetřování mezního stavu únosnosti určit polohu neutrální osy, a to včetně jejího předem
neznámého sklonu.
Postupujeme iterací, kdy pro zvolený sklon neutrální osy (úhel a na Obr. 4.20) určujeme
iterací hodnotu x. Postup této vnitřní iterace je analogický postupu popsanému v odst. 4.6.
Po splnění podmínky rovnováhy sil určíme polohu výslednice všech tlakových sil C
a výslednice tahových sil T (viz Obr. 4.20). Pro správný sklon neutrální osy musí platit,
že spojnice C - T (tj. rovina momentů vnitřních sil) je rovnoběžná s rovinou ohybu od
zatíženi (rovina ohybu je kolmá k ose, kolem níž otáčí ohybový moment). Pokud není tato
podmínka splněna, v dalším iteračním běhu opravíme úhel a a postup opakujeme. Pro
správnou polohu neutrální osy stanovíme hodnoty ramen jednotlivých sil a moment únosnosti.
Krajní trám monolitického trámového stropu (viz Obr. 4.21) není souměrný k rovině ohybu
a neutrální osa není vodorovná. Její polohu je možno stanovit jednoduše podle výše uvedené
podmínky o rovnoběžnosti spojnice výslednic tlakových a tahových sil C - T na mezi
únosnosti s rovinou ohybu. Pokud pro výpočet únosnosti uvažujeme rovnoměrné rozdělení
napětí v tlačené oblasti výšky 0,8 x, bude mít tato oblast tvar trojúhelníka; z Obr. 4.21
zřejmé, že vodorovná odvěsna uvedeného trojúhelníka bude mít délku rovnou 1,5 b; .
Působící síla v tlačeném betonu je
(4.54a)
Síla ve výztuži stanovená za předpokladu
O"s
= fyd pro všechny pruty tažené výztuže je
(4.55)
Z rovnice rovnováhy F; = F« lze určit hodnotu Xv a z přetvoření výztuže ověřit předpoklad
o"s = fyd (ověřujeme pro prut výztuže s nejmenším přetvořením - viz Obr. 4.21).
Moment únosnosti je tedy
(4.56)
kde
1
z =d --(O 8 X )
3 ' v
(4.57)
Pozn.: Zjednodušeně lze u krajních trámů běžně zatížených stropních konstrukcí uvažovat
při určení momentu únosnosti vodorovnou polohu neutrální osy a při stanovení výšky tlačené
oblasti počítat se spolupůsobící šířkou beff podle vztahu (4.44).
a
Obr. 4.20 Průřez namáhaný šikmým ohybem
122
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
1.5bw
l'
f
Obr. 4.21 Krajní trám monolitické stropní konstrukce
s.s
Zásady vyztužení
4.8.1
Omezení množství tahové výztuže
Množství podélné tahové výztuže vohýbaných prvcích omezují předpisy zdola i shora.
_linimální plocha tahové výztuže zajišťuje dostatečnou únosnost po vzniku tahových trhlin
tak, aby nemohlo dojít ke křehkému lomu, tj. náhlému porušení bez varování (viz odst. 4.1).
orma EN 1992-1-1 [9] doporučuje pro desky a trámy splnění podmínky (4.58)
_
T
(4.58)
As ~As,min,
kde
As,min
= 0,26.fctm b, dl hk
2: 0,0013 ht d,
kde
b,
je průměrná šířka tažené části betonu;
opř. u prvků, u nichž lze připustit křehké porušení, lze uvažovat As,min = 1,2 As,req
utná plocha výztuže stanovená při návrhu v mezním stavu únosnosti).
(As,req
je
Maximální plocha tahové výztuže, doporučená v EN 1992-1-1 [9] s ohledem na hospodáraost návrhu a možnost dobrého probetonování, je dána vztahem
As,max = 0,04
kde
Ac
Ac,
(4.59)
je průřezová plocha betonu.
Plocha tahové výztuže je omezena též kritériem, omezujícím výšku tlačené oblasti v MSÚ iz odst. 4.1, vztahy (4.16) až (4.18), v případě užití redistribuce při stanovení účinků
zatížení, též omezujícím kritériem v závislosti na míře redistribuce r5. Uvedené podmínky
zamezují návrhu silně vyztužených ohýbaných prvků s tlakovým porušením.
4.8.2
Vzdálenosti výztužných prutů
Dodržení kritérií pro maximální vzdálenosti prutů železobetonových
z podmínek zabezpečujících řádné spolupůsobení betonu a výztuže prvku.
prvků je jednou
U desek plného průřezu nosných v jednom směru je podle EN 1992-1-1 [9] maximální osová
vzdálenost výztužných prutů hlavní nosné výztuže Smax,slabs dána vztahem
123
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
Smax,slabs
=
(4.60)
3 h (2 h) ,
~ 400 mm (250 mm) ,
hodnoty v závorkách platí pro oblast s možností působení osamělého
maximálních momentů.
břemene a oblasti
Podle národní přílohy ČR se pro hlavní nosnou výztuž uvažuje jednotně
Smax,slabs
(4.60a)
= 2 h ~300 mm,
S ohledem na pracnost při vyztužování se v desce doporučuje volit maximálně 10 fjJ/m
Plocha rozdělovací výztuže musí být nejméně 20 % plochy hlavní výztuže,
vzdálenost výztužných prutů rozdělovací výztuže Smax,slabs je dána vztahem
Smax,slabs
přičemž
= 3,5 h (3 h) ,
(4.61)
~ 450 mm (400 mm) .
Podle národní přílohy ČR se pro rozdělovací výztuž uvažuje jednotně
Smax,slabs
=
(4.61a)
3 h ~ 400 mm,
a)
__ e__
e
e
Ws
e_
J
b)
o
S mox, slobs
s
2': Smin
Obr. 4.22 Vzdálenosti výztužných prutů
Zásady minimální
vzdálenosti
prutů je nutno dodržet pro zabezpečení řádného
probetonování prvků a zajištění soudržnosti výztuže s betonem. Norma ČSN EN 1992-1-1 [9]
uvádí pro minimální světlé vzdálenosti výztužných prutů železo betonových desek a trámů
Smin
kde
= max (kl fjJ; dg + k2; 20 mm),
dg
(4.61)
je maximální průměr zrn kameniva,
pro k, a k2 doporučuje Národní příloha ČR uvažovat kl = 1,2 a k2 = 5 mm.
U horních vrstev výztuže trámů je třeba přihlédnout ke způsobu ukládání a zhutňování
betonu.
4.8.3
Uspořádání
výztuže
U prostě uložených desek musí být nejméně polovina výztuže v poli dovedena do' podpor
a zde příslušně zakotvena. Pokud v krajních podporách desek byl ve výpočtu zanedbán
moment od částečného vetknutí, je třeba v těchto podporách navrhnout výztuž na moment
rovný nejméně 25 % maximálního momentu v přilehlém poli; tato výztuž se zatáhne od líce
podpory do pole na vzdálenost nejméně 0,2 rozpětí tohoto pole.
Podél volného (nepodepřeného) okraje desek musí být desky opatřeny podélnou a příčnou
výztuží. Příčná výztuž u okraje se uspořádá podle Obr. 4.23.
124
Navrhování betonových konstrukcí 1
4 Nosníky namáhané ohybovým momentem
{f---=~~I
I~
.1
> 2h
Obr. 4.23 Okrajová výztuž desky
Pokud je konstrukčním uspořádáním v uložení desky zabráněno zvedání jejího rohu, je třeba
zde navrhnout vhodnou výztuž.
krajních podporách monolitických nosníků často vzniká ohybový moment z dů odu
částečného vetknutí, i když ve výpočtu je předpokládáno prosté uloženÍ. Průřezy u podpor b .
měly být vyztuženy podélnou výztuží tak, aby přenesly nejméně ftl násobek oh bo ého
momentu v poli (EN 1992-1-1 [9] doporučuje volit j31 = 0,15, podle Národní přílohy se v ČR
važuje zi, = 0,25), přičemž výztuž by měla splňovat podmínku minimálního vyztužení (4.58).
_ T ad středními
podporami by měla být tahová výztuž rozmístěna v oblasti spolupůsobící
-ÍrKYb-« (viz Obr. 4.15).
Tlaková výztuž uvažovaná ve výpočtu ohýbaných prvků musí být opatřena třmínky, které
se podle doporučení EN 1992-1-1 [9] umísťují ve vzdálenostech rovných nejmenší hodnotě z:
5 násobku nejmenšího průměru tlačeného prutu, nejmenšího rozměru průřezů, 300 mm.
Podle Národní přílohy ČR se třmínky umísťují ve vzdálenostech rovných nejmenší hodnote z:
5 násobku nejmenšího průměru tlačeného prutu, nejmenšího rozměru průřezu sloupu. 300
mm.
Ikončení podélné tahové výztuže v podporách i poli nosníků je ovlivněno též působením
smykových sil. Proto jsou zásady uvedeny až v kapitole 5 této publikace, odst. 5.5.2.
L
Download

NOSNÍKY NAMÁHANÉ OHYBOVÝM MOMENTEM .1 Teorie ohybu