České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
PRUŽNOST A PEVNOST II
PŘEDNÁŠKY
(technická plasticita)
Jan Řezníček
Praha 2012
Text neprošel jazykovou ani redakční úpravou
© Jan Řezníček, Fakulta strojní ČVUT v Praze 2012
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE – FAKULTA STROJNÍ
ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY – ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI
V BAKALÁŘSKÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH
TEORETICKÝ ZÁKLAD STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ
A STROJÍRENSTVÍ
A V MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH
STROJNÍ INŽENÝRSTVÍ, INTELIGENTNÍ BUDOVY
A JADERNÁ ENERGETICKÁ ZAŘÍZENÍ
přednáší
Jan Řezníček
akad emi cký ro k
2012/2013
Praha prosinec 2012
4
6. TECHNICKÁ PLASTICITA
Úvod:
Během celé dosavadní pružnosti jsme předpokládali „lineární“ chování materiálu – tedy že
všechny probíhající děje jsou „vratné“ (po ukončení působení silových účinků se těleso vrátí do
původního stavu).
Poznámka:
V celé této kapitole budeme používat „staré“ označení meze kluzu σK, i když podle „nové“
normy bychom měli používat pro mez kluzu označení Re .
V případě tahu/tlaku resp. ohybu musela být splněna podmínka: |σ| ≤ σK resp. |σo max| ≤ σK .
V případě krutu musela být splněna podmínka: τ max ≤ τK , kde τ K =σK/α (α = 2 nebo 3 ).
V případě ztráty stability podle Eulera byla podmínka ještě přísnější: σ krit. ≤ σu (mez
úměrnosti zaručuje ideální lineární závislost mezi napětím a deformací popsanou Hookovým
zákonem).
Tahový diagram běžné konstrukční oceli (budeme z něho dále vycházet):
σ
ideální přímka
σK
σu
Eulerův vzpěr
Celá PP I a dosavadní PP II
(tah/tlak, ohyb a krut,
nádoby, kotouče a desky)
σPt
≈E
0
εu εK
ε K´
Dosavadní PP (bez plasticity)
Rozšíření PP (s plasticitou)
Základní předpoklady úloh v technické plasticitě:
1. Zůstává v platnosti předpoklad malých deformací
(systém je i v plasticitě stále geometricky lineární),
2. Materiál v plasticitě zůstává stále ideální
(izotropní bez vnitřních imperfekcí, ...),
3. Tahový diagram aproximujeme ideálně elasticko-plastickým modelem
(u tohoto modelu neuvažujeme po dosažení meze kluzu „zpevnění“).
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002)
Zimní semestr akademického roku 2012/2013
ε
5
Nelineární chování materiálu – vznik trvalých deformací (při jednoosé napjatosti):
σ
εel
elastické chování
σ
≈E
0
≈E
εpl
εel
ε
ε
Po překročení meze kluzu (u materiálů bez výrazné meze kluzu po překročení smluvní meze
kluzu) se po odlehčení již soustava nevrátí do původní polohy. Odlehčení probíhá po přímce,
která je rovnoběžná s přímkou elastického chování materiálu. Dosažená deformace ε se tak po
odlehčení neztratí celá, ale pouze její elastická (vratná) část. Zbývající část deformace je již
„trvalá“ a představuje plastickou (nevratnou) část deformace:
ε = ε el + ε pl .
Elastická složka deformace odpovídá deformaci, která by v soustavě nastala, pokud by se tato
bez omezení chovala elasticky (viz zobrazení εel v horní části předchozího obrázku).
Nás bude s ohledem na další výpočty spíše zajímat plastická složka deformace, kterou určíme
jako:
ε pl = ε − ε el .
Věta o zbytkových napětích (deformacích):
Zbytková napětí (deformace) v součásti vzniklá po odlehčení lze vypočítat jako rozdíl
výsledných napětí (deformací) a hodnot napětí (deformací) stanovených pro ideální elastické
těleso v celém rozsahu zatěžování. Tuto větu můžeme např. pro napětí zapsat formálně ve
tvaru:
σ zb = σ skut . − σ elfikt. . .
Poznámky:
1. Předchozí věta funguje i v elastické oblasti, kde bude skutečná a fiktivní elastická hodnota
napětí stejná, a tak zbytková napětí zde nebudou vznikat (odpovídá skutečnosti)
2. Připomeňme si jeden rozdíl: „Technik uvažuje skutečný stav a od něho odečítá fiktivní, který
nemůže reálně nastat, zatímco ekonom počítá s fiktivními penězi, ze kterých se snaží
financovat reálné věci.
Model skutečného materiálu:
Protože závislost mezi napětím a deformací získáváme z tahových
zkoušek experimentálně, je snaha tuto závislost popsat matematicky.
Nejčastěji se používá parabolická náhrada:
ε = K ⋅σ m .
σ
Konstanty K a m se stanoví na základě experimentů.
0
ε
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
6
Náhrada skutečného pracovního diagramu:
V technické praxi se velice často spokojíme s náhradou pracovního diagramu lomenou čarou.
Protože předpokládáme zachování podmínky malých deformací, není třeba popisovat celý
tahový diagram, kdy již deformace dosahují takových velikostí, že by bylo třeba uvažovat
geometrickou nelinearitu v chování součásti. Lomená náhrada tak popisuje jen počáteční část
tahového diagramu, kdy jsou deformace ještě malé, a proto nás tato oblast nejvíce zajímá.
σ
σ
σK
σK
σ
≈E
≈E
≈E
ε
εK
ε
εK
ε
Materiál s lineárním zpevněním
(elasticko-plastický model se zpevněním)
Materiál bez zpevnění
(ideální elasticko-plastický model)
Pokud je σ ≤ σK (elastické chování) platí u obou modelů pro stanovení modulu pružnosti E
vztah:
E=
σ
ε
resp.
E=
σK
.
εK
Modul zpevnění druhé části náhradního
Tento diagram nepředpokládá zpevnění.
diagramu můžeme určit ze vztahu:
E =0 .
E=
σ −σ K
ε −εK
(dále budeme uvažovat tento diagram)
.
Mezní stav plasticity:
Mezní stav plasticity nastane tehdy, dojde-li v důsledku zatížení ke kvalitativní změně
v chování součásti – vznikne plastický mechanizmus.
Mezní stav plasticity představuje možnou limitní hodnotu při dimenzování součástí, pokud
pro provoz jsou přípustné malé plastické deformace. Protože zatížení při mezním stavu
plasticity může být i výrazně vyšší než zatížení při mezním stavu pružnosti, umožňuje nám
tento způsob dimenzování dosahovat vyšších dovolených zatížení nebo menších potřebných
rozměrů.
Poznámka:
Povšimněte si, že na rozdíl od definice většiny předchozích mezních stavů (pružnosti,
pevnosti, ...) není mezní stav plasticity vázán přímo na konkrétní napětí, ale na určitý typ
změny v chování součásti. Obdobnou úvahu jsme již prováděli v PP I při popisu mezního
stavu ztráty stability, kde také nebylo rozhodující napětí, ale změna v chování součásti
(prutu).
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002)
Zimní semestr akademického roku 2012/2013
7
Použití ideálně elasticko-plastického náhradního materiálového modelu:
Elastická oblast
(malá)
Elastická oblast
(malá)
Plastická oblast
(mnohonásobně větší)
σ
Plastická oblast
(mnohonásobně větší)
σ
„∞“
Oblast „velkých“ deformací, které již
neodpovídají základnímu předpokladu
≈E
≈E
ε
ε
Teoreticky se ideální elasticko-plastický model může „nekonečně“ deformovat, ale toto
„nekonečno“ musí zůstat v oblasti „malých“ deformací, což je základní předpoklad celé
pružnosti a pevnosti.
6.1 TAH A TLAK V PLASTICITĚ
Tento nejjednodušší typ namáhání se i v plasticitě nejjednodušeji řeší. Napětí v celém průřezu
je totiž konstantní a je dáno jednoduchým vztahem (v elasticitě i v plasticitě):
σ=
N
,
A
kde N je osová síla (tahová – ven z plochy nebo tlaková – do plochy),
A je plocha příčného průřezu kolmo k ose prutu a zatížení.
Dosáhne-li tedy napětí v určitém průřezu meze kluzu σK, může se od tohoto okamžiku tento
průřez libovolně („nekonečně“) deformovat a záleží na zbývajících částech konstrukce, do
jaké míry mu v tom dokážou zabránit a převzít na sebe část rostoucího zatížení, které již
zplastizovaný průřez není schopen přenést.
Pak mohou nastat dva stavy:
1. Pokud zbývající části konstrukce jsou schopny „nekonečné“ deformaci zabránit, dochází
k přerozdělení namáhání v konstrukci a zatěžování může pokračovat (konstrukce se dostala
do elasticko-plastického stavu, kdy jsou některé části již na mezi kluzu, ale zbývající se
ještě chovají elasticky).
2. Pokud zbývající části konstrukce nejsou schopny „nekonečné“ deformaci zabránit, dochází
ke vzniku mechanizmu a daný stav je považován za mezní stav plasticity a zatížení, které
ho vyvolalo za mezní zatížení.
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
8
6.2 KRUT V PLASTICITĚ
Rozložení napětí:
Tento druhý nejjednodušší typ namáhání se i v plasticitě řeší poměrně jednoduše, a to
zejména pro kruhový nebo mezikruhový profil. Smykové napětí v celém průřezu lze totiž
popsat v elastickém stavu jedinou rovnicí:
τ (ρ ) =
kde: MK [N⋅mm]
JP [mm4]
ρ [mm]
WK [mm3]
MK
⋅ρ
JP
τ max =
resp.
MK
,
WK
je vnirřní krouticí moment působící v daném místě,
je polární kvadratický moment průřezu,
je vzdálenost místa průřezu od pólu průřezu,
je průřezový modul v krutu.
Rozložení smykových napětí podle tohoto vztahu známe z PP I.
Přechod z elastického do elasticko-plastického a plně plastického stavu:
MK
MK 2 = MK pl.
τK
τK
τK
τmax
∅D
MK el.-pl.
MK 1 = MK el.
∅a
∅D
∅D
∅D
elastický
stav
konec elastického
stav
elasticko-plastický
stav
plastický
stav
Pokud napětí v krajním vlákně dosáhne meze kluzu ve smyku (τmax = τK) končí elastický stav
průřezu a krouticí moment, který tento stav vyvolá značíme: MK 1 = MK el.:
M K el . = τ K ⋅ WK el . = τ K ⋅
π ⋅ D3
= MK1 .
16
Elasticko-plastický a plastický stav kruhového průřezu
Při dalším růstu zatížení (MK > MK el.) již další nárůst napětí v krajních vláknech není podle
předpokladu možný, a tak jsou vlákna průřezu na poloměru D/2 namáhána pouze napětím τK a
postupně průřez od kraje ke středu plastizuje. Průřez se dostává do elasticko-plastického stavu
(má ještě pružné jádro o průměru a a plastický obal na mezikruží a ÷ D). Matematicky
můžeme tento stav popsat vztahem:
M K = τ K ⋅ WK el .− pl . ,
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002)
Zimní semestr akademického roku 2012/2013
9
Elasticko-plastický modul v krutu kruhového průřezu:
O
M K el .− pl . = M K el . jádra + M K pl .obalu
Moment přenášený elastickým jádrem MK el.jádra určíme jednoduše pomocí vztahů známých z PPI:
M K el . jádra = τ K ⋅ WK el . jádra
π ⋅ a3
=τK ⋅
.
16
MK el.-pl.
τK
dT
Moment přenášený plastickým obalem MK pl.obalu určíme integrací
přes celou zplastizovanou oblast:
D
2
ρ3
M K pl .obalu = ∫ ρ ⋅τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dρ = τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅
14243
3
a
dA
1
4
424
4
3
2
144
42dT444
3
D
2
=τK ⋅
a
2
(
ρ
)
π
⋅ D3 − a3 .
12
dρ
dA
∅a
∅D
dM K
Sečtením obou částí dostáváme hledaný elasticko-plastický moment:
M K el .− pl . = τ K ⋅
π 3
π
π
π ⋅ D3
⋅ a + τ K ⋅ ⋅ D3 − a3 = τ K ⋅ ⋅ 4 ⋅ D3 − a3 = τ K ⋅
16
12
48
12
(
)
(
)
 1  a 3 
⋅ 1 − ⋅    .
 4  D  
A odtud již dostáváme hledaný modul průřezu v krutu včetně jeho diskuse:
WK el .− pl . =
π ⋅ D3  1  a 
⋅ 1 − ⋅  
12  4  D 
3
a = D ⇒ WK el . =

 ⇒

π
⋅ D 3 elastický stav
16
.
a = 0 ⇒ WK pl . =
π
⋅ D 3 plastický stav
12
Tento výraz lze tedy považovat za „univerzální“, protože s jeho pomocí jsme schopni popsat
jak elastický stav, tak také elasticko-plastický stav a i stav plně plastický (vznik tzv. plastické
spojky).
Platnost vztahu i pro plastický stav si můžeme ověřit jednoduchým výpočtem momentu MK 2:
D
2
ρ
D
3 2
M K 2 = M K pl . = ∫ ρ ⋅ τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dρ = τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅
14243
3
0
1442dA
44
3
144
42dT444
3
=τK ⋅
0
π
⋅ D 3 ⇒ WK
12
pl .
=
π
⋅ D3 .
12
dM K
Poznámka:
MK pl.
τK
D
2
ρ
D
3 2
M K pl . = ∫ ρ ⋅τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dρ = τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅
14243
3
d
dA
1
4
424
43
2
144
42dT444
3
dM K
d
2
=τ K ⋅
(
)
π
⋅ D3 − d 3 .
12
∅D
Pokud budeme stejným způsobem řešit trubku D/d - mezikruhový
průřez namáhaný krutem, dostali bychom obdobný vztah:
∅d
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
10
Zbytková napětí při krutu:
Stanovení zbytkových napětí při odlehčení prutu kruhového průřezu (∅D) z elasticko-plastického
stavu při zatížení momentem MK el.-pl. znamená nejprve popsat skutečná napětí v elastickoplastickém stavu τskut. a následně napětí fiktivní τ fikt., která by v průřezu vznikla při elastickém
chování materiálu po celou dobu zatěžování.
MK el.-pl.
τ skut.
τ fikt.
τK
τ zb.
31
⋅τ K
24
plast.obal
nebo
−
τ zb.
7
⋅σ K
24
∅D
elast.
jádro
r1
∅a
Předpokládejme např. zplastizování právě poloviny průměru kruhového průřezu (a = ½⋅D).
Nejprve tedy vypočteme velikost elasticko-plastického momentu MK el.-pl., který tento stav
způsobuje, jako:
M K el .− pl . = τ K ⋅
3
3
π ⋅ D3  1  a  
π ⋅ D3  1  1  
31 ⋅ π ⋅ D 3
⋅ 1 − ⋅    = τ K ⋅
⋅ 1 − ⋅    = τ K ⋅
.
12  4  D  
384
12  4  2  
Tento moment vyvolá skutečný průběh napětí τ skut. odpovídající elasticko-plastickému
rozložení – kruhová část průřezu od osy až do vzdálenosti D/4 je ještě v elastickém stavu
(elastické jádro) a rozložení se řídí Saint-Vénantovou teorií. Zbývající mezikruhová část
průřezu od D/4 do D/2 je již plně zplastizovaná a smykové napětí je v nich konstantní
rovnající se mezi kluzu (plastický obal).
Extrémní hodnotu fiktivního napětí τ extfikt. . na vnějším okraji hřídele vypočteme pomocí
elastického průřezového modulu v kroucení WK el., jako by se materiál choval elasticky během
celého zatěžování:
τ extfikt. . =
M K el .− pl .
WK el .
31⋅ π ⋅ D 3
31
= τ K ⋅ 3842 = ⋅τ K .
π⋅D
24
16
Poznámka:
Povšimněte si, že maximální fiktivní napětí τ extfikt. . musí vyjít vyšší než mez kluzu τK, což je
opravdu pouze fiktivní stav, protože základní předpoklad technické plasticity je ideální
elasticko-plastický model, který při dosažení meze kluzu τK předpokládá „nekonečné“ zkosy a
mez kluzu τK již dále nepřekračuje.
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002)
Zimní semestr akademického roku 2012/2013
11
Zbytkové napětí τ zb. vypočteme jako rozdíl skutečného napětí τ skut. a fiktivního napětí τ
fikt .
.
1. Zbytkové napětí vznikající v krajních vláknech průřezu je:
31
7
.
fikt .
τ zb. okraj = τ skut
⋅τ K = − ⋅τ K .
. − τ ext . = τ K −
24
24
2. Další lokální extrém vzniká na hraně elastického jádra, kde je skutečné napětí stále rovno
mezi kluzu (τskut. = τK), ale fiktivní napětí τ fikt . je třeba dopočítat podle Saint-Vénantovy
teorie za použití kvadratického momentu průřezu jako:
31⋅ π ⋅ D 3
M K el .− pl . D
D 31
.
τ elfikt. jádra
=
⋅ = τ K ⋅ 3844 ⋅ = ⋅τ K .
π⋅D
J p el .
4
4 48
32
Výsledné zbytkové napětí v tomto místě bude:
31
17
.
fikt .
τ zb. el . jádra = τ skut
⋅τ K = + ⋅τ K .
. − τ el . jádra = τ K −
48
48
3. Místo, kde budou zbytková napětí nulová (τzb. = 0), kromě středu profilu a které popíšeme
souřadnicí r1, určíme z jednoduché podmínky:
τ skut . − τ fikt . ( r1 ) = 0 .
Odkud dostáváme:
0 =τ K −
M K el .− pl .
J p el .
31


⋅ r1 = τ K ⋅ 1 −
⋅ r1  .
 12 ⋅ D 
Za předpokladu τK ≠ 0 musí platit:
31


0 = 1 −
⋅ r1 
 12 ⋅ D 
12
⋅D .
31
r1 =
⇒
Pokud bychom prováděli odlehčení z plně zplastizovaného stavu průřezu (stav odpovídající
existenci plastické spojky), budou zbytková napětí na okraji a ve středu průřezu:
.
fikt .
τ zb. okraj = τ skut
. − τ max = τ K −
M K pl .
WK el .
=τK −
π ⋅ D3
12 = τ − 4 ⋅τ = − 1 ⋅τ ,
K
K
K
π ⋅ D3
3
3
16
τK ⋅
fikt .
τ zb. stř . = τ skut . −τ osa
=τ K − 0 =τ K .
MK pl.
τ skut.
τ fikt.
τK
pln
plast.
stav
τ zb.
τ zb.
nebo
1
− ⋅τ K
3
4
⋅τ K
3
+τK
1
− ⋅τ K
3
+τK
3
⋅D
8
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
12
Využití vlastností funkce napětí F(y,z) pro řešení krutu v plasticitě:
Při řešení krutu v plasticitě lze s výhodou využít některé vlastnosti, které byly zavedeny
v kapitole „Krut nekruhových profilů“ a které jsou obecně platné pro jakýkoliv profil (kruh je
„zvláštním“ případem nekruhového profilu). Z těchto vlastností využijeme zejména dvě:
1. Spád vrchlíku napětí je úměrný velikosti smykového napětí:
dF
=τ ,
dn
2. Dvojnásobný objem vrchlíku napětí je roven velikosti krouticího momentu: 2 ⋅ ∫ dF = M K .
( A)
ϕ = konst.
ϕ
Z první podmínky pro plastickou spojku, kdy je
v celém průřezu smykové napětí rovno mezi kluzu
ve smyku τK, vyplývá, že spád vrchlíku napětí musí
být konstantní a musí platit: tgϕ = τ K .
Podle druhé podmínky stačí vypočítat objem tělesa
MK = 2⋅V
sestrojeného nad příčným průřezem řešeného profilu
Prandtlův
Nádaiův
za předpokladu konstantního spádu površek.
vrchlík
vrchlík
Podle této teorie bude mít u kruhu vrchlík tvar kužele, u mezikruhu tvar komolého kužele, u
čtverce tvar jehlanu a u dutého čtverce (jekl) bude mít tvar komolého jehlanu.
MK
kruhový
profil
MK
MK
čtvercový
profil
mezikruhový
profil
MK
dutý čtvercový
profil
6.3 OHYB V PLASTICITĚ
Rozložení napětí:
Tento typ namáhání se i v plasticitě řeší poměrně jednoduše. Ohybové napětí v celém průřezu
lze totiž popsat v elastickém stavu jedinou rovnicí:
σ (η ) =
Mo
⋅η
Jz
resp.
σ o max =
Mo
,
Woz
kde Mo je ohybový moment působící v daném místě,
Jz je osový kvadratický moment průřezu k ose z,
η je vzdálenost místa průřezu od neutrální osy průřezu (předpokládáme rovinný ohy on ≡
z),
Woz je průřezový modul v ohybu k ose z.
Rozložení ohybových napětí podle tohoto vztahu odvodil Bernoulli a známe ho z PP I a např.
pro obdélník b×h bude podle prvního obrázku. Další postup plastizace je patrný z dalších
obrázků:
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002)
Zimní semestr akademického roku 2012/2013
13
Přechod z elastického do elasticko-plastického a plně plastického stavu:
y
Mo 2 = Mo pl.
Mo el.-pl.
Mo 1 = Mo el.
h
a
Mo
z
elastický
stav
σK
σK
σo max
b
konec
elastického stavu
σK
elasticko-plastický
stav
plastický
stav
Pokud napětí v krajním vlákně dosáhne meze kluzu (σo max = σK) končí elastický stav průřezu
a ohybový moment, který tento stav vyvolá značíme: Mo1 = Mo el.
M o el . = σ K ⋅ Woz el . = σ K ⋅
b ⋅ h2
.
6
Při dalším růstu zatížení (Mo > Mo el.) již další nárůst napětí není podle předpokladu možný, a tak
vnější vlákna průřezu jsou namáhána pouze napětím σK a postupně plastizují. Průřez se dostává
do elasticko-plastického stavu - má pružné jádro o výšce a a plastický obal na v oblasti od
a/2 ÷ h/2 v horní i dolní části průřezu. Matematicky můžeme tento stav popsat vztahem:
M o = σ K ⋅ Woz el .− pl . .
O
Elasticko-plastický modul průřezu v ohybu obdélníkového průřezu:
Celkový elasticko-plastický moment je součtem momentu, který přenáší elastické jádro a
momentu, který přenáší plastický obal řešeného obdélníkového průřezu:
M o el .− pl . = M o el . jádra + M o pl .obalu ,
Moment přenášený elastickým jádrem Mo el.jádra určíme jednoduše pomocí vztahů známých z PPI:
M o el.jádra = σ K ⋅ Woz el.jádra = σ K ⋅
b ⋅ a2
.
6
Moment přenášený plastickým obalem Mo pl.obalu určíme integrací
přes celou zplastizovanou oblast:
σ
K
Mo el.-pl.
a
M o pl .obalu = 2 ⋅ ∫ y ⋅ σ K ⋅ b{
⋅ dy =
a
dA
1424
3
2
dN
14243
h
dN
h
2
dA
dM o
y2
=σ K ⋅2⋅b⋅
2
h
2
a
2
(
)
b
= σ K ⋅ ⋅ h2 − a2 .
4
b
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
14
Sečtením obou částí dostáváme hledaný celkový elasticko-plastický moment přenášený průřezem:
b ⋅ a2
b
b
b ⋅ h2
+ σ K ⋅ ⋅ h2 − a 2 = σ K ⋅ ⋅ 3 ⋅ h2 − a2 = σ K ⋅
M o el .− pl . = σ K ⋅
6
4
12
4
(
)
(
)
 1  a 2 
⋅ 1 − ⋅    .
 3  h  
A odtud již dostáváme hledaný modul průřezu v krutu včetně jeho diskuse:
b ⋅ h2
a = h ⇒ Wo el . =
elastický stav
2
6
b ⋅ h2  1  a  
.
Wo el .− pl . =
⋅ 1 − ⋅    ⇒
4  3  h  
2
b⋅h
a = 0 ⇒ Wo pl . =
plastický stav
4
Tento výraz lze tedy považovat za „univerzální“, protože s jeho pomocí jsme schopni popsat
jak elastický stav, tak také elasticko-plastický stav a i stav plně plastický.
Platnost vztahu i pro plastický stav si můžeme ověřit jednoduchým výpočtem momentu MK 2:
h
2
M o 2 = M o pl . = 2 ⋅ ∫ y ⋅σ K ⋅ b ⋅ dy = σ K ⋅ 2 ⋅ b ⋅
0
h
2 2
y
2
0
b
b ⋅ h2
.
= σ K ⋅ ⋅ h 2 ⇒ Wo pl . =
4
4
Výpočty pro jiné průřezy bychom prováděli obdobně.
Obecně platí, že plastický průřezový modul v ohybu Wo pl. stanovíme jako dvojnásobek statického
momentu poloviny řešeného průřezu k neutrální ose v plasticitě on pl.. Protože musí platit silová
rovnováha do osy prutu x i v plastickém stavu (∫dN = 0), nemusí nutně tato osa procházet těžištěm
profilu T. Neutrální osa v plasticitě on pl. dělí průřez na dvě stejné části (Ahor. = Adol.), aby výsledná
síla působící nad on pl. byla stejně velká jako výsledná síla působící pod on pl.:
σK⋅Ahor. = Fhor. = Fdol. = σK⋅Adol. .
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002)
Zimní semestr akademického roku 2012/2013
15
Plastický průřezový modul v ohybu Wo pl.
Přehled plastických průřezových modulů v ohybu Wo pl. a z nich plynoucí velikosti plastických
momentů Mo pl., které způsobí vznik plastického kloubu je pro vybrané profily v následující
tabulce:
h
on pl.
h h b ⋅ h2
Wo pl . = 2 ⋅ b ⋅ ⋅ =
2 4
4
⇒
M o pl . = σ K ⋅
b ⋅ h2
4
on pl.
a a a3
Wo pl . = 2 ⋅ a ⋅ ⋅ =
2 4 4
⇒
M o pl . = σ K ⋅
a3
4
⇒
M o pl . = σ K ⋅
b
a
a
on pl.
Wo pl . = 2 ⋅
a2 1
2
2 ⋅ a3
⋅ ⋅a⋅
=
2 3
2
6
a
a
Vzdálenost těžiště půlkruhu od průměru je:
on pl.
∅D
π ⋅ D 2 4 D D3
Wo pl . = 2 ⋅
⋅
⋅ =
8
3⋅ π 2
6
on pl.
a
t
Wo pl . = a ⋅ t ⋅
h t
1
4 D
⋅ .
3⋅ π 2
M o pl . = σ K ⋅
⇒
h je výška
celého
profilu
t
t
on pl.
a ⋅t
⋅ (a + t )
2
Ahor . = Adol . = t ⋅ a .
h


− t2 

h
t
h




Wo pl. = 2 ⋅ b ⋅ t2 ⋅  − 2  + t1 ⋅  − t2  ⋅ 2  =
2
2
2



 2 



t2
b
b
eT =
Profil je volen tak, aby pásnice měla stejnou plochu jako stojina:
on pl.
h
⇒
a
t a ⋅t
+t ⋅a⋅ =
⋅ (a + t )
2
2
2
2
⋅a .
6
D3
M o pl . = σ K ⋅
6
Vzdálenost těžiště půlky čtverce od úhlopříčky je:
a
t
eT =
2 ⋅ a3
6
h 
= b ⋅ t2 ⋅ (h − t2 ) + t1 ⋅  − t2 
2 
2
⇒
2

h  
Mo pl. = σ K ⋅ b⋅ t2 ⋅ (h − t2 ) + t1 ⋅  − t2  
 2  


h
h h
h2 

Wo pl. = 2 ⋅ b ⋅ t ⋅ + t ⋅ ⋅  = t ⋅  b ⋅ h + 
2
2 4
4


⇒

h2 
M o pl . = σ K ⋅ t ⋅  b ⋅ h + 
4

h je výška celého profilu
tloušťka t << h, b
Všechny předchozí výpočty využívají fakt, že plastický průřezový modul v ohybu Wo pl. je
dvojnásobným statickým momentem poloviny plochy průřezu Son k neutrální ose v ohybu
v plasticitě on pl., která nemusí procházet těžištěm ale musí dělit profil na dvě shodné
plochy:
Ahor. = Adol. (Ahor. + Adol. = A).
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
16
Zbytková napětí při ohybu:
Stanovení zbytkových napětí při odlehčení prutu obdélníkového průřezu (b×h) z elastickoplastického stavu při zatížení momentem Mo el.-pl. znamená nejprve popsat skutečná napětí
v elasticko-plastickém stavu σo skut. a následně napětí fiktivní σofikt., která by v průřezu vznikla při
elastickém chování materiálu po celou dobu zatěžování.
σo skut.
σofikt.
σo zb.
σo zb.
nebo
elast.jádro
+
plast.obal
σK
b
11
⋅σ K
8
5
⋅σ K
16
x1
e
a
h
plast.obal
3
− ⋅σ K
8
Předpokládejme např. zplastizování právě poloviny obdélníkového průřezu (a = ½⋅h). Nejprve
tedy vypočteme velikost elasticko-plastického momentu Mo el.-pl., který tento stav způsobuje, jako:
M o el .− pl . = σ K ⋅
2
b ⋅ h2  1  1  
11 ⋅ b ⋅ h 2
⋅ 1 − ⋅    = σ K ⋅
.
4  3  2  
48
Tento moment vyvolá skutečný průběh napětí σo skut. odpovídající elasticko-plastickému
rozložení – od osy až do vzdálenosti ±h/4 je průřez ještě v elastickém stavu (elastické jádro) a
rozložení se řídí Bernoulliho teorií. Zbývající části průřezu od ±h/4 do ±h/2 jsou již plně
zplastizovány a ohybové napětí je v nich konstantní rovnající se mezi kluzu (plastický obal).
Další výpočty všech napětí provedeme pro spodní – tedy tahovou – polovinu řešeného
průřezu.
Maximální fiktivní napětí σ ofiktmax. vypočteme pomocí elastického průřezového modulu v ohybu
Wo el., jako by se materiál choval elasticky během celého zatěžování:
σ ofiktmax. =
M o el .− pl .
Wo el .
11 ⋅ b ⋅ h 2
11
= σ K ⋅ 48 2 = ⋅ σ K .
b⋅h
8
6
Poznámka:
Povšimněte si, že maximální fiktivní napětí σ ofiktmax. musí být vyšší než mez kluzu σK, což je
opravdu pouze fiktivní stav, protože základní předpoklad technické plasticity je ideální
elasticko-plastický model, který při dosažení meze kluzu σK předpokládá „nekonečné“
deformace a mez kluzu σK již dále nepřekračuje.
Zbytkové napětí σ o zb. vypočteme jako rozdíl skutečného napětí σo skut. a fiktivního napětí σ ofikt . .
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002)
Zimní semestr akademického roku 2012/2013
17
Zbytkové napětí vznikající v krajních vláknech průřezu je:
σ o zb. okraj = σ o. skut . − σ ofiktmax. = +σ K −
11
3
⋅σ K = − ⋅σ K .
8
8
Další lokální extrém vzniká na hraně elastického jádra, kde je skutečné napětí stále rovno
mezi kluzu (σo skut. = σK), ale fiktivní napětí σ ofikt . je třeba dopočítat podle Bernoulliho teorie
za použití kvadratického momentu průřezu jako:
11 ⋅ b ⋅ h 2
M o el .− pl . a
h 11
.
σ ofikt
⋅ = σ K ⋅ 48 3 ⋅ = ⋅ σ K .
el . jádra =
J z el . 2
b⋅h
4 16
12
Výsledné zbytkové napětí v tomto místě bude:
σ o zb. el . jádra = σ o. skut . − σ ofiktel .. jádra = σ K −
11
5
⋅σ K = + ⋅σ K .
16
16
Místo, kde budou zbytková napětí nulová (σo zb. = 0), kromě neutrální osy procházející
těžištěm průřezu, určíme z jednoduché podmínky:
σ o skut . − σ ofikt . ( x1 ) = 0 .
Odkud dostáváme:
0 =σ K −
M o el .− pl .
J z el .
11


⋅ x1 = σ K ⋅ 1 −
⋅ x1 
 4⋅h

11


⋅ x1 
0 = 1 −
 4⋅h 
⇒
⇒
x1 =
4
⋅h .
11
Pokud bychom prováděli odlehčení z plně zplastizovaného stavu průřezu (stav odpovídající
existenci plastického kloubu), budou zbytková napětí na okraji a ve středu průřezu:
.
σ o zb. okraj = σ o. skut . − σ ofikt
max = σ K −
M o pl .
Wo el .
=σK −
b⋅h2
4 = σ − 3 ⋅ σ = − 1 ⋅σ ,
K
K
K
2
b⋅h
2
2
6
σK ⋅
.
σ o zb. stř . = σ o skut . − σ ofikt
stř . = σ K − 0 = σ K .
σofikt.
σo zb.
+σK
plast.kloub
σK
3
⋅σ K
2
nebo
σo zb.
2⋅h/3
σo skut.
1
− ⋅σ K
2
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
18
6.4 PLASTICITA PŘI VÍCEOSÉ NAPJATOSTI
Všechny předchozí úvahy se týkaly jednoosé napjatosti při známé mezi kluzu v tahu/tlaku
resp. napjatosti čistého smyku při volném krutu a známé mezi kluzu ve smyku. Za počátek
plastizace byl považován stav, kdy jednoosá napjatost resp. napjatost čistého smyku dosáhne
meze kluzu v tahu/tlaku σK (Re) resp. meze kluzu ve smyku τK.
V případě víceosé napjatosti je třeba uvažovat „interakci“ jednotlivých složek a jejich podíl na
celkovém stavu napjatosti řešeného místa. V těchto případech je třeba počátek plastického
stavu určit pomocí PODMÍNKY PLASTICITY (obdoba teorie/hypotézy pružnosti). Stejně
jako v elastickém stavu existuje i v plasticitě celá řada teorií, ale nejjednodušší a
nejpoužívanější jsou dnes dvě hlavní.
Podmínky plasticity:
1. Saint-Vénantova podmínka
Tato podmínka odpovídá známé Trescově hypotéze resp. hypotéze τMAX.
Počátek plastického stavu nastává tehdy, je-li průměr největší Mohrovy kružnice roven mezi
kluzu:
σ max − σ min = σ K .
Pokud známe pořadí velikostí hlavních napětí σ1 > σ2 > σ3, můžeme Saint-Vénantovu
podmínku psát:
σ1 − σ 3 = σ K .
Opět si povšimněte faktu, že o počátku plastizace rozhodují jen dvě ze tří hlavních napětí –
největší σ1 a nejmenší σ3. Prostřední napětí σ2 ve vztazích vůbec nevystupuje. Výhodou této
podmínky je její jednoduchost, která nekomplikuje výpočty.
2. Energetická podmínka
Tato podmínka je také nazývána podle svých autorů (Huber-Mieses-Hencky) a odpovídá
známé energetické hypotéze resp. hypotéze H.M.H.
Počátek plastického stavu nastává tehdy, je-li intenzita napětí σi rovna mezi kluzu:
σi = σK .
Tento výraz můžeme zapsat podle známých vztahů z PP I ve tvaru:
(
)
2
⋅ (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6 ⋅ τ x2 + τ y2 + τ z2 = σ K .
2
Známe-li velikostí hlavních napětí σ1,2,3 (na pořadí nezáleží), můžeme energetickou podmínku
psát:
2
⋅ (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = σ K .
2
V tomto případě o počátku plastizace rozhodují všechna tři hlavní napětí – σ1, σ2 a σ3. Ovšem
vzhledem ke komplikovanému tvaru se s touto podmínkou obtížněji počítá.
Rozdíl mezi oběma teoriemi je obdobně jako v elastickém stavu cca 15% (St-Vénant je
„konzervativnější“).
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002)
Zimní semestr akademického roku 2012/2013
19
Protože však v plastické oblasti neplatí Hookův zákon, je třeba ho při výpočtech nahradit
něčím jiným – TEORIÍ PLASTICITY. Nejčastěji se používá Hencky-Nádayova teorie
plasticity.
Hencky-Nádayova teorie plasticity
Tato teorie mezi sebou váže hlavní napětí σ1,2,3 a hlavní přetvoření ε1,2,3 (obdobně jako Hookův
zákon):
ε1 =
εi
σi
ε
1


⋅ σ 1 − ⋅ (σ 2 + σ 3 ) , ε 2 = i
2
σi


ε
1


⋅ σ 2 − ⋅ (σ 3 + σ 1 ) a ε 3 = i
2
σi


1


⋅ σ 3 − ⋅ (σ 1 + σ 2 ) .
2


Obdoba s rozšířeným Hookovým zákonem je patrná. Modul pružnosti E je nahrazen podílem
εi/σi a Poissonovo číslo µ je nahrazeno konstantou ½ (ideální hodnota součinitele příčné
kontrakce při platnosti zákona zachování objemu, který ideální plasticita předpokládá).
σi =
2
⋅ (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 .
2
Intenzita deformací je: ε i =
2
⋅ (ε 1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε 1 ) 2 .
3
Intenzita napětí je:
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
Jan Řezníček
PRUŽNOST A PEVNOST II – TECHNICKÁ PLASTICITA
Podklad pro přednášky v bakalářských
bakalářských studijních
studijních programech:
programech: „Teoretický
„Teoretický základ strojního
inženýrství“
inženýrství“ a „Strojírenství“ a pro navazující magisterské studijní programy: „Strojní
inženýrství“, „Jaderná energetická zařízení“
zařízení“ a „Inteligentní budovy“.
Fakulta strojní České vysoké učení technické v Praze, Technická 4, 166 07 Praha 6,
Vystaveno dne 4. PPROSINCE 2012 na:
http://www.pruznost.unas.cz
na:
Vydání první
20 stran, 23 obrázky.
obrázky.
Download

PŘEDNÁŠKY