České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
PRUŽNOST A PEVNOST I
PODKLADY PRO
PŘEDNÁŠKY
Jan
Únor 2015
Řezníček
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE – FAKULTA STROJNÍ
ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY – ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI
přednáší
Jan Řezníček
akademický rok
2014/2015
Praha 5. února 2015
6. doplněná verze (pro LS akademického roku 2014/2015) - tex t neprošel jazykovou ani redakční úpravou
© Jan Řezníček, Fakulta strojní ČVUT v Praze 2010, 2011, 2012, 2013, 2014 a 2015.
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
3
KDO PSAL HISTORII PRUŽNOSTI A PEVNOSTI
1452 – 1519
1564 – 1642
1620 – 1684
1635 – 1703
1623 – 1662
1642 – 1727
1654 – 1705
1700 – 1782
1707 – 1783
1717 – 1783
1736 – 1806
1749 – 1827
1773 – 1829
1781 – 1840
1797 – 1886
1814 – 1885
1818 - 1889
1819 – 1914
1820 – 1872
1821 – 1891
1823 – 1892
1823 – 1892
1824 – 1887
1830 – 1903
1831 – 1879
1833 – 1872
1835 – 1888
1835 – 1918
1841 – 1912
1871 – 1945
1872 – 1950
1878 – 1972
1878 – 1909
1883 – 1953
1885 – 1951
1847 – 1884
1875 – 1953
1880 – 1942
1905 – 1956
1908 – 1968
1918 – 1991
1919 – 2000
1921 – 2009
Leonardo da Vinci
Galileo Galilei
Edme Mariotte
Robert Hooke
Blasie Pascal
Isaac Newton
Jakob Bernoulli
Daniel Bernoulli
Leonard Euler
Jean-Baptiste d'Alembert
Charles-Augustin de Coulomb
Piere Simon Laplace
Thomas Young
Simeon Denis Poisson
Adhémar Jean-Claude de Saint-Vénant
Henri Edouard Tresca
James Prescott Joule
August Wöhler
William John Macquorn Rankin
Dmitrij Ivanovič Žuravskij
Enrico Betti
Johann Wilhelm Schwedler
Gustav Robert Kirchhoff
Antonio Luigi Giuseppe Cremona
James Clerk Maxwell
Alfred Clebsch
Emil Winkler
Christian Otto Mohr
Josef Šolín
Boris Grigorgijevič Galerkin
Tytus Maksymilian Huber
Štěpán Prokofjevič Timošenko
Walther Ritz
Richard von Mises
Heinrich Hencky
Carlo Alberto Castigliano
Ludwig Prandtl
Viktor Felber
Ferdinand Budinský
Lev Davidovič Landau
Emanuel Hájek
Clifford Ambrose Truesdell
Olgierd (Oleg) Cecil Zienkiewicz
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
4
V
ážené kolegyně a vážení kolegové,
dostalo se mi té cti, že mohu vést na Fakultě strojní Českého vysokého učení technického v Praze
přednášky z předmětu Pružnost a pevnost IA pro studenty bakalářského studijního programu
„Teoretický základ strojního inženýrství“, kteří si zvolili náročnější – inženýrskou – cestu studiem.
Při přípravě podkladů pro tento předmět jsem vycházel ze zkušeností, které mám z minulých let s novou formou
výuky pružnosti a pevnosti na FS ČVUT v Praze. Text, který máte před sebou, jsou vlastně „slepé“ přednášky,
které vám studentům mají usnadnit práci při tvorbě vlastních zápisků z přednášek tak, aby vás při této činnosti
nic výrazně nerušilo. Tím mám na mysli zdlouhavé „obkreslování“ obrázků z tabule, kdy já mám představu, co
chci nakreslit, ale nepovede se mi to vždy úplně přesně. Vy si to obkreslujete jak s mojí nepřesností, tak si
k tomu často přidáte ještě své vlastní, a pak při učení ke zkoušce přemýšlíte, co že to vlastně ten obrázek
znamená. Zde máte všichni stejné podklady a je jen na vás, jak s nimi naložíte. Pokud alespoň jednomu z vás
tyto podklady usnadní učení a pomohou udělat zkoušku z pružnosti, tak to nebyla zbytečná práce. Najdete-li
v textu nebo ve vzorcích chyby, které jsem při autokorektuře přehlédl a za které se předem omlouvám, budu
vám vděčný, pokud mě na ně upozorníte, abych je mohl opravit.
Přednášky kromě slepých obrázků a hlavních nadpisů obsahují pro objasnění problematiky i řadu
komentářů, poznámek, doplňujících obrázků a také vzorových příkladů. Některé z nich jsou kompletně celé
vypočítané, u jiných je jen naznačeno řešení. Ne všechny z uváděných příkladů budu na přednáškách
počítat. Spíš jsem je do tohoto textu umístil pro vaše samostudium.
V celém textu pak budu používat pro zvýraznění jednotlivých částí tyto symboly:
M
O
P
T
Zásadní odvození
Vzorový příklad
Souhrnná tabulka
Intermezzo
důležité pro pochopení
a také se to zkouší!!!
je vhodné ho pochopit
nebo se hned zeptat!!!
srovnání důležitých
pojmů a hodnot
potřebné informace
z matematiky a fyziky
F
Většinu kapitol se pokusím uvést jednoduchými příklady z praxe, abych osvětlil jednak praktickou
aplikaci probírané problematiky a jednak abych ukázal cestu od reálné součásti k výpočtovému modelu.
Ještě bych vám všem chtěl popřát hodně úspěchů během celého vašeho studia. Pokud budete během
následujících let na fakultě cokoliv potřebovat – a to nejen z Pružnosti a pevnosti I – tak jsem vám
k dispozici, protože jednou jste MOJI STUDENTI, a to je pro mě závazek i do budoucna, kdy vás již
nebudu učit.
℡: 224352424 : 725351511
: [email protected]
: reznicek.jan ;
: 405137250
: www.facebook.com/Pruznost
V Praze v pondělí dne 5. února 2015
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
5
P R U Ž N O S T
A
P E V N O S T
Přednáší:
Jan Řezníček, studijní oddělení místnost 45 (místnost proděkana pro pedagogickou činnost)
Skripta:
Michalec, J. a kol.: Pružnost a pevnost I, skriptum FS ČVUT
Šubrt, L., Řezníček, J., Růžička, M.: Příklady z pružnosti a pevnosti I, skriptum FS ČVUT
Zdroje informací:
www.mechanika.fs.cvut.cz
www.facebook.com/Pruznost
www.pruznost.unas.cz
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
6
Zařazení pružnosti a pevnosti:
Pružnost a pevnost jako přírodní věda je součástí FYZIKY, resp. její části MECHANIKY
Klasická pružnost a pevnost vs. moderní výpočtové (numerické) metody
Historie pružnosti a pevnosti:
Pružnost a pevnost jako přírodní věda platí od vzniku světa, a tak historie v našem pojetí pojednává pouze o
úrovni poznání resp. vývoji pružnosti a pevnosti jako samostatného vědního oboru. Proto také seznam jmen
uvedený na začátku těchto přednášek je jen výběrem těch nejvýznamnějších vědců, kteří nejvíce ovlivnili
pružnost a pevnost.
Základní pojmy:
SÍLY
Vnější - zatěžující
Vnitřní
1) Síly povrchové
- osamělé × spojitě rozložené
2) Síly objemové
(tíhová síla tělesa v gravitačním poli)
Intenzita vnitřní síly = napětí
1) Zatížení statické/quazistatické
(žádné nebo velmi pomalé změny)
2) Zatížení dynamické
(děje s rychle se měnícím zatížením)
1) Zatížení místně stálé
(upevnění stroje k základu)
2) Zatížení pohyblivé
(pojezd mostového jeřábu)
Statická rovnováha vnějších sil (všech):
Všechna uvažovaná zatížení musí splňovat podmínku statické rovnováhy vnějších sil (včetně
sil reakčních vznikajících v uložení tělesa). Složité soustavy se převedou postupným
uvolňováním na jednoduché při zachování původních okrajových podmínek. V případě
nerovnoměrného pohybu tělesa nebo soustavy se do stavu rovnováhy zahrnují i setrvačné
síly (d´Alambertův princip).
VNITŘNÍ SÍLY:
Poddajné těleso se vlivem vnějších sil, které musí být podle předchozího předpokladu v rovnováze, deformuje a
tím vznikají v tělese VNITŘNÍ SÍLY.
t
F4
F2
dF
dT
n
F2
2
1
dN
1
F3
dA
F1
F1
4
r
∑F
i
i =1
=0
r r
r
F1 + F2 + ∫ dF = 0
( A)
Je-li v rovnováze celé těleso, je také v rovnováze i každá jeho odříznutá část. Musí tedy být v rovnováze i
samotná část . Rovnováhu v tomto případě zajišťují vnitřní účinky působící v místě řezu.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
7
Intenzita vnitřní síly ≡ napětí [N⋅m-2 ] ≡ [Pa] ... pascal resp. [N⋅mm-2 ] ≡ [MPa] ... megapascal
obecné
normálové
smykové
ν =
dF
dA
σ=
dN
dA
τ=
dT
dA
Poznámka:
Zejména v anglosaské odborné literatuře se zásadně uvádí mechanické napětí v základních jednotkách
N⋅m-2 resp. N⋅mm-2 (např. automobilky Ford nebo BMW uvádějí ve všech technických předpisech a
dílenských manuálech pevnosti šroubů v N⋅mm-2 ).
Jednotky Pa resp. MPa případně kPa jsou používány pro označování tlaků plynů a kapalin.
DEFORMACE TĚLESA:
ε
γ
[1]
zkos
(změna kolmosti hran elementu)
[1]
poměrné prodloužení (kladné)
poměrné zkrácení (záporné)
∆l
∆dx
ε=
resp. ε =
l0
dx
ve starších knihách se používá výraz „poměrné posunutí“
PRUŽNOST TĚLESA = schopnost tělesa vrátit se po odlehčení do původního stavu
TUHOST TĚLESA = odolnost tělesa proti deformaci
ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ÚLOH PP:
1. Předpoklad malých deformací (v relaci s ostatními rozměry)
2. Platnost lineární závislosti mezi napětím a deformací (Hookův zákon)
3. Platnost Saint-Vénantova principu (změna zatížení se roznese na „malé“ vzdálenosti do celého průřezu
součásti a ovlivní tak jen malou oblast, kterou zanedbáme)
4. Existence ideálního materiálu
- homogenní (bez vměstků, otvorů, ...)
- isotropní (ve všech směrech stejné vlastnosti)
Skutečná součást
Experiment velice často provádíme přímo na
skutečné součásti nebo na skutečném modelu,
který však nemusí být totožný s výpočtovým
modelem. Proto mohou být mezi experimentem
a výpočtem značné rozdíly
Výpočtový model
Pro výpočty v pružnosti a pevnosti využíváme tzv. výpočtový model, který vznikne za
použití různých zjednodušujících předpokladů
(čím větší je zjednodušení tím nepřesnější
jsou výsledky vzhledem ke skutečnosti)
F
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
8
Doplňující skripta s příklady:
Řezníčkovi, J. a J.: Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady I, skriptum FS ČVUT
Řezníčkovi, J. a J.: Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady III, skriptum FS ČVUT
Příkladů výpočtových modelů lze určitě najít celou řadu. Vždy však není úplně jednoduché sestavit ten model
tak, aby byl „rozumně“ řešitelný a přitom stále odpovídal skutečnosti. Řadu výpočtových modelů ke zcela
známým a v běžném životě používaným věcem jsme se pokusili sestavit ve skriptech Jan a Jitka
Řezníčkovi: „Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady I“ a „Příklady III“, Nakladatelství ČVUT
v Praze, 2005 a 2007. Jak se nám to povedlo, to již musíte posoudit vy sami.
(Poznámka: skripta „Pružnost a pevnost v technické praxi – Př íklady II“ jsou určena až pro předmět Pružnost a pevnost II.)
OBS AH P ŘE DN ÁŠ E K P P IA:
1. Prostý tah/tlak
2. Napětí a přetvoření
3. Deformační energie
4. Teorie (hypotézy) pevnosti/pružnosti
5. Krut
6. Ohyb
7. Kombinované namáhání
8. Namáhání při proměnlivém zatížení
9. Tenkostěnné nádoby
10. Úvod do experimentální pružnosti a pevnosti
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
9
Takto označené vsuvky nebo poznámky jsou vloženy do textu jaksi navíc a pokud by
vás jejich obsah urážel svojí jednoduchostí, tak je s klidným svědomím přelepte,
přeškrtejte, … . Moje zkušenosti ze zkoušek z pružnosti a pevnosti případně dalších
předmětů však ukazují, že nejjednodušší věci se nejrychleji zapomínají. A je smutné,
když dobře zahájený příklad nejste schopni dopočítat jen proto, že vám schází „nějaká
drobnost“ z matematiky nebo fyziky. Já pak musím tento příklad hodnotit jako
nedokončený nebo dokonce nevyřešený. Z tohoto důvodu se několikrát v těchto
přednáškových podkladech uchýlím k této formě připomenutí potřebných znalostí a
těm, které tím urážím, se předem omlouvám – PROMIŇTE!
M
MATEMATICKÉ INTERMEZZO
V průběhu výuky pružnosti a pevnosti stejně jako i jiných předmětů se budou používat
pojmy „malé deformace“, „malé úhly“ a spousta dalších „malých“ veličin. Připomeňme si
proto, co již o malých velikostech víme z matematiky:
1. Malý úhel (ϕ → 0): sin ϕ ≈ ϕ
; cos ϕ ≈ 1 ; tan ϕ ≈ ϕ
(někdy lze ale s výhodou použít i vztahy: sin ϕ ≈ 0 ; tan ϕ ≈ 0)
2. Délka skutečného oblouku: s[m] = R[m]⋅ϕ[1]
R
ϕ
s
3. Délka malého oblouku: ds[m] = R[m]⋅dϕ [1]
R
ds
dϕ
Protože platí:
tan dϕ = ds/R
A podle 1. platí:
tan dϕ ≈ dϕ
⇒ ds = R⋅dϕ
Není třeba uvažovat dráhu po kružnici, ale
stačí jí nahradit tečnou v původním místě
(kolmice k rameni R)
4. Malá deformace (u → 0): u << 1 ⇒ (1 – u) ≈ 1 ; u2 ≈ 0
5. Diferenciál: ds a dm
ds⋅dm
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
jsou malé veličiny prvního řádu avšak nenulové
(lze jimi například dělit rovnici)
součin dvou nebo více diferenciálů je diferenciální veličina
vyššího řádu, kterou lze zanedbat (ds⋅dm ≈ 0)
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
F
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
10
1. PROSTÝ TAH/TLAK
Vypočtěte statickou bezpečnost tažného lana lanovky na Petřín a stanovte deformační energii akumulovanou
v tomto ocelovém lanu. Pohotovostní hmotnost každého z vozů je mv = 12 360 kg a vzhledem k možnosti
přepravy až 100 cestujících plus obsluha je normované užitečné zatížení jednoho vozu mu = 8 080 kg.
Průměr DL
tažného lana je 35,3 mm (aktivní plocha průřezu použitého lana je cca 450 mm2). Lano je
vyrobeno z drátků o jmenovité pevnosti
Rm = 1 570 N⋅mm-2 (σPt ) a výrobcem udávaná
jmenovitá únosnost lana je přibližně
Fmax = 700 kN.
Šikmá délka
lanové dráhy je s = 510,4 m
při výškovém rozdílu horní a dolní
T1
stanice h = 130,45 m. Průměrná velikost
úhlu celé dráhy tedy bude β = 14,8°. Délka tažného lana
β
(včetně volných částí procházejících strojovnou v horní stanici
lanové dráhy) je pak l = 540 m.
N1
∅DL
T1
β
G1
Lopatkový kompresor se otáčí rychlostí n = 7 000 min-1 a za provozu se postupně ohřeje o ∆T = 100°C.
Stanovte prodloužení a maximální namáhání jeho lopatek, je-li průměr rotorového disku D = 300 mm a
vnější průměr obvodu lopatek DL = 1 000 mm. Lopatky jsou vyrobeny z oceli (hustota ρ = 7 800 kg⋅m-3,
lineární teplotní roztažnost α = 10,8⋅10-6 °C-1 a Youngův modul pružnosti E = 2,1⋅105 N⋅⋅mm-2). Změnu
poloměru vnitřního kotouče zanedbáme (∆D ≈ 0).
∅DL
∅D
Boeing 737-800
Prut: Je součást, která má jeden rozměr výrazně větší než zbývající dva (svorník, táhlo, ...).
Osa prutu: Je to spojnice těžišť jednotlivých příčných průřezů prutu
- přímka ⇒ přímý prut
- křivka ⇒ křivý prut (rovinný nebo i prostorový)
Přímý prut je namáhaný tahem/tlakem tehdy a jen tehdy, pokud výsledná síla působí v ose prutu a je kolmá
k průřezu. To obecně splňují jen svislé pruty, protože u ostatních vzniká v důsledku vlastní tíhy ještě ohyb ⇒
kombinované namáhání, které bude řešeno později.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
11
NORMÁLOVÁ SÍLA = výslednice sil kolmá k průřezu prutu
F
TAH „+“ – síla působí VEN z plochy
F
TLAK „–“– síla působí DO plochy
Saint-Vénantův princip:
Působení sil vlivem uložení ovlivňuje jen velmi malou část prutu ve svém
nejbližším okolí. Vliv místního působení sil zaniká ve vzdálenosti cca rovné
příčným rozměrům.
malé
F
JEDNOOSÁ NAPJATOST:
R=F
R
Rovnice rovnováhy:
F −R =0
1 rovnice o 1 neznámé
úloha je STATICKY URČITÁ
(statické rovnice stačí k určení
všech neznámých sil – zde se
jedná o reakci R)
x
A0
N(x)
N(x)
F
F
F
Řešení METODOU ŘEZU (zavedl Leonard Euler):
F − N (x ) = 0
odkud
N ( x ) = F = konst.
N(x)
σ (x)
F
F/A0
Napětí v místě řezu:
σ ( x) =
dN ( x)
dA( x )
zde ale platí:
σ ( x) =
F
N (x ) F
=
= konst.
A( x) A0
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
12
Změ na zatížení:
R = F1 +F2
N(x)
σ (x)
F1 + F2
(F1 + F2 )/A0
N2
F2
F2
F2
F2
x2
F2 /A0
N1
x1
A0
F1
F1
F1
F1 /A0
F1
F1
Změ na průřezu:
R=F
N(x)
σ (x)
F
F/A2
N2
x2
A2
N1
x1
A1
F
F
F
F
F/A1
F
Protože A1 < A2 , musí platit pro N1 = N2 = F: σ1 = F/A1 > F/A2 = σ2
Změ na zatížení i průřezu:
R = F1 + F2
A2
F2
F2
N2
N(x)
σ (x)
F1 + F2
(F1 + F2 )/A2
F2
F2
x2
N1
x1
A1
F1
F1
F1
F1
F1 /A1
F1
Průběh vnitřní síly N(x) je jednoznačně dán. Průběh napětí σ(x) ale
záleží na konkrétních poměrech F1 a F2 a poměrech A1 a A2 . Ideální je
stav, kdy přírůstek síly je stejný jako přírůstek plochy, tedy:
F1 + F2 F1
=
A2
A1
⇒
A1
F1
=
A2 F + F21
V tom případě bude po celé délce prutu konstantní napětí σ(x ) = konst .
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
σ(x)
(F1 + F2 )/A2
F2
F1
F1 /A1
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
13
PŘETVOŘENÍ (deformace) PŘI TAHU/TLAKU:
před
po
TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (běžná konstrukční ocel)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
14
TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (litina)
TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (slitinové oceli)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
15
HOOKŮV ZÁKON (popis lineární části tahového diagramu)
E ... MODUL PRUŽNOSTI – zavedl později Thomas Young
(někdy nazýván Youngův modul)
TABULKA (HODNOTY MODULU PRUŽNOSTI OCELI 17 021):
T
Teplota T [°C]
20
150
300
500
Modul pružnosti E [N⋅mm-2 ]
2,1⋅105
2,0⋅105
1,9⋅105
1,7⋅105
DEFORMACE – VYUŽITÍ HOOKOVA ZÁKONA
PODDAJNOST (deformace vyvolaná silou 1 N)
TUHOST (síla způsobující deformaci 1 mm)
Deformace vyvolaná změnou teploty (lineární teplotní roztažnost)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
16
PŘÍKLAD (napětí a deformace prutu od síly):
P
Dáno: a = 10 mm; l = 1 m; F = 1⋅104 N; E = 2⋅105 N⋅mm–2
Určit: σ(x); u(x); u ; u (bod leží ve 3/5 délky l od dolního kraje)
N(x)
σ (x)
ε (x)
u(x)
u(l) =0
x
2 F ⋅l
u (3 ⋅ l 5) = − ⋅
5 E⋅ A
F
u (x ) =
⋅ ( x − l)
E⋅A
F
F
F
A
F
E⋅A
u (0) = −
F ⋅l
E⋅A
x
Metoda řezu: Odřízneme část prutu v místě x a odstraněnou část nahradíme vnitřní
silou N(x). Musí platit princip statické rovnováhy:
Je-li v rovnováze těleso jako celek, musí být v rovnováze každá jeho odříznutá část. Tuto
rovnováhu zaručuje právě náhradní vnitřní účinek v místě řezu.
Statická rovnice rovnováhy bude mít tvar:
N(x)
∑ x: F – N(x) = 0 ⇒ N(x) = F = konst. ⇒ N(3⋅l/5) = F a N(l) = F = R .
Napětí vyjádříme ze známého vztahu jako podíl síly ku ploše, na kterou působí:
N (x ) F
σ ( x) =
= = konst.
A( x ) A
Deformaci (prodloužení) vyjádříme za pomoci Hookova zákona:
F
σ (x )
F
ε (x ) =
=
= konst.
E
E⋅ A
Posunutí obecného bodu vyjádříme pomocí integrálu deformace:
F
F
du = ε ( x ) ⋅ dx ⇒ u ( x ) = ∫ ε ( x) ⋅ dx = ∫
⋅ dx =
⋅x +C .
E⋅A
E⋅A
Velikost integrační konstanty C určíme z okrajové podmínky (ve vetknutí se prut neprodlouží):
F
F ⋅l
u (l) = 0 ⇒ 0 =
⋅l +C ⇒ C = −
.
E⋅A
E⋅ A
Výsledná rovnice posuvu bude mít tvar:
F
F ⋅l
u (0) =
⋅ ( 0 − l) = −
E⋅ A
E⋅A
F
F  3⋅ l
2 F ⋅l

u (x ) =
⋅ ( x − l) ⇒ u (3 ⋅ l 5) =
⋅
−l = − ⋅
E⋅A
E⋅A  5
5 E⋅A

F
u (l) =
⋅ ( l − l) = 0
E⋅A
Výsledek u (0) < 0 resp. u (3 ⋅ l 5) < 0 znamená, že výsledná deformace je proti kladnému směru
souřadnice x . Prodloužení prutu pak můžeme vyjádřit jako:
∆ l = u ( 0) =
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
F ⋅l
.
E⋅A
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
17
POISSONOVO ČÍSLO:
Součinitel příčného zúžení – POISSONOVO ČÍSLO
ZÁKLADNÍ ELASTICKÉ CHARAKTERISTIKY KAŽDÉHO MATERIÁLU:
ODVOZENÍ:
POMĚRNÁ ZMĚNA OBJEMU (při tahu/tlaku):
O
Θ [1]
Jednoosá napjatost (platí Hookův zákon a Poissonův vztah):
K … modul objemové pružnosti [N⋅mm–2 ]
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
18
ZÁKON O SUPERPOZICI NAPĚTÍ A POSUVŮ:
Superpozice napětí:
Superpozice posuvů (přetvoření)
σ
ε
PŘÍKLAD (vliv vlastní tíhy):
P
Dáno: A; l; E; ρ
Určit: N(x); σ(x); ε (x); u(x) a ∆l
B
x
l
V tomto případě si ukážeme oba přístupy – metodou řezu i metodou přes
diferenciál objemu:
1. METODA ŘEZU:
∑ x: G(x) – N(x) = 0 ⇒ N(x) = G(x) = ρ⋅g⋅V(x) = ρ⋅g⋅A⋅x
Odkud vyplývá že: N(l) = ρ⋅A⋅l = ρ ⋅g⋅V = m⋅g = RB.
N ( x) ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ x
Dále bude: σ ( x) =
=
= ρ ⋅ g ⋅ x ⇒ σ max = σ ( l) = ρ ⋅ g ⋅ l .
A( x)
A
Z Hookova zákona platí: ε ( x ) =
σ ( x)
=
ρ⋅g⋅x
⇒ u (x ) = ∫
ρ ⋅g⋅x
⋅ dx =
E
E
E
Integrační konstantu C určíme opět z okrajové podmínky pro vetknutí:
ρ ⋅ g ⋅ l2
ρ ⋅ g ⋅ l2
u (l) = 0 ⇒ 0 =
+C ⇒ C =−
.
2⋅ E
2⋅ E
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
ρ ⋅ g ⋅ x2
2⋅ E
+C .
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
19
Výsledný průběh deformace u(x) bude mít tvar:
u (x ) =
ρ⋅g
2⋅ E
(
⋅ x2 − l 2
)
u (0) =
⇒
ρ⋅g
( )
⋅ −l2 = −
ρ ⋅ g ⋅ l2
2⋅E
2⋅E
ρ⋅g 2 2
u (l) =
⋅ l −l = 0
2⋅ E
(
.
)
Znaménko „–“ ve výsledku opět znamená, že deformace jde proti zvolenému smyslu x .
2. METODA DIFERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice) :
V obecném místě popsaném souřadnicí x vyjmeme element o délce dx .
Předpokládáme proměnné napětí σ, a proto v místě x působí napětí σ(x)
B
kdežto v místě (x + dx) působí již napětí σ(x) + dσ. I tento element musí
být ve stavu statické rovnováhy, a tak musí platit:
x dx
l
∑ y: N H − ND − dG = 0 ,
σ (ξ ) + dσ
NH
kde: N H = [σ ( x ) + dσ ] ⋅ A , N D = σ ( x ) ⋅ A
a dG = ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ dx .
Výsledná rovnice rovnováhy po dosazení bude:
[σ ( x) + dσ ]⋅ A − σ ( x) ⋅ A − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ dx = 0
dσ = ρ ⋅ g ⋅ dx .
⇒
dξ
To je obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, kterou
můžeme řešit integrací levé a pravé strany při dodržení okrajové podmínky:
σ ( x) = ρ ⋅ g ⋅ x + C1 .
dG
σ (ξ )
ND
Okrajová podmínka musí zaručit, že na volném nezatíženém konci není prut
namáhán: σ (0) = 0 .
Odtud vychází:
0 = 0 + C1
⇒
C1 = 0 .
σ ( x) = ρ ⋅ g ⋅ x .
A výsledný tvar bude:
Další postup je stejný jako v případě použití metody řezu:
Z Hookova zákona platí: ε ( x ) =
σ ( x)
E
=
ρ⋅g⋅x
E
⇒ u (x ) = ∫
ρ ⋅g⋅ x
E
⋅ dx =
ρ ⋅ g ⋅ x2
+ C2 .
2⋅ E
Integrační konstantu C 2 určíme opět z okrajové podmínky pro vetknutí:
u (l) = 0
⇒
0=
ρ ⋅ g ⋅ l2
+ C2
2⋅ E
Výsledný průběh deformace u(x) bude mít tvar:
u (x ) =
ρ⋅g 2 2
⋅ (x − l ) ⇒
2⋅ E
u (0) =
⇒
ρ⋅g
C2 = −
ρ ⋅ g ⋅ l2
.
2⋅ E
⋅ (− l 2 ) = −
ρ ⋅ g ⋅ l2
2⋅E
2⋅E
ρ⋅g 2 2
u (l) =
⋅ (l − l ) = 0
2⋅ E
.
Znaménko „–“ ve výsledku opět znamená, že deformace jde proti zvolenému smyslu x .
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
20
PROMĚNNÝ PRŮŘEZ:
∅d
Dáno: D1 ; D2 l; E; F
Určit: N(x); σ(x) a ε (x)
F
F
P
∅D
PŘÍKLAD (prut proměnného průřezu):
l
1. METODA ŘEZU:
a
F
∅D
F
∅d
V
∅d(x)
V tomto případě je výhodné dopočítat vzdálenost vrcholu kužele V:
x
a a+l
d ⋅l
=
⇒ a=
.
d
D
D−d
Souřadnici x pak budeme vyjadřovat od vrcholu V:
x ∈< a ; a + l > .
Proměnný průřez d(x) pak můžeme vyjádřit jako:
d ( x) =
l
d
⋅x
a
⇒ A( x) =
π ⋅ d ( x)
π⋅d2 2
=
⋅x .
4
4⋅ a2
2
Metodou řezu určíme velikost vnitřní síly v místě popsaném souřadnicí x :
x
V
F
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
N(x)
Σ x:
N(x) – F = 0 ⇒
N(x) = F
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
21
Napětí v obecném řezu pak bude:
N (x )
F
K
=
= 2 . Napětí má tvar polytropy (x → 0 ⇒ σ(0) → ∞ a x → ∞ ⇒ σ(∞) → 0).
2
A( x) π ⋅ d
x
⋅ x2
2
4⋅a
4⋅ F
4⋅F
Krajní hodnoty jsou: σ ( a ) =
a σ ( a + l) =
2
2
π⋅d
π⋅ D
σ ( x) =
Deformaci tohoto komolého kužele pak určíme pomocí
σ ( x)
Hookova zákona: ε ( x) =
.
E
K 1
4⋅ F ⋅ a2
ε ( x ) = ⋅ 2 , kde konstanta K bude: K =
.
E x
π⋅d2
σ (a)
σ (a+l)
a+ l
K a + l dx K  1
1 
Celkové prodloužení ∆l musíme určit pomocí integrálu: ∆l = ∫ ε ( x ) ⋅ dx = ⋅ ∫ 2 = ⋅  −
.
E a x
E a a + l
a
2. METODA DIFERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice):
x
dx
F
F
σ (x)+dσ
σ (x)
N L(x)
A(x)
N P(x)
dx
A(x) + dA
V místě popsaném souřadnicí x vyjmeme element délky dx .
Na tento element připojíme působící účinky (jen napětí σ).
Pro sestavení silové rovnováhy do směru x vyjádříme jednotlivé
silové účinky vyvolané napětím:
N L ( x ) = σ ( x) ⋅ A( x ) a N P ( x ) = [σ ( x) + dσ ] ⋅ [A( x ) + dA] .
Z rovnice rovnováhy musí platit: NL(x ) = NP(x ).
Po dosazení dostáváme:
σ ( x) ⋅ A( x ) = σ ( x) ⋅ A( x ) + dσ ⋅ A( x ) + σ ( x ) ⋅ dA + d1σ2⋅ dA
3
≈0
Odkud již vychází: dσ ⋅ A( x ) + σ ( x ) ⋅ dA = d (σ ( x ) ⋅ A( x) ) = 0 .
Z této rovnice dostáváme: σ ( x) ⋅ A( x ) = N ( x ) = C = konst. .
Současně víme, že N(x) = F po celé délce prutu a odtud vychází:
C
F
K
C = F ⇒ σ ( x) =
=
= ... = 2 (shodné s met. řezu).
2
A( x) π ⋅ d
x
⋅ x2
2
4⋅a
VLIV SETRVAČNÝCH ÚČINKŮ:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
22
ω
PŘÍKLAD (rotující rameno stálého průřezu A):
Dáno: r1 ; r2 ρ; A; E; ω
Určit: σ(x) a ∆r2
r1
1. METODA ŘEZU:
ω
x
r2
Metodou řezu oddělíme v místě x část ramene o délce: l(x) = (r2 – x).
Tato odříznutá část bude mít těžiště vzdálené od osy rotace: xT = (r2 + x)/2.
Odstředivá síla působící na odříznutou část bude:
r +x 2
O ( x ) = m ( x ) ⋅ xT ⋅ ω 2 = ρ ⋅ V ( x) ⋅ xT ⋅ ω 2 = ρ ⋅ A ⋅ ( r2 − x ) ⋅ 2
⋅ω .
2
ρ ⋅ A⋅ω 2 2
Po úpravě je působící odstředivá síla: O ( x ) =
⋅ ( r2 − x 2 ) .
2
Z rovnováhy vychází: Σ x: N(x) – O(x) = 0 ⇒
N(x) = O(x).
r2 – x
O(x)
N(x)
P
A
x
(r2 + x)/2
N ( x) ρ ⋅ ω 2 2
=
⋅ ( r2 − x 2 ) .
2
A
2
Změnu vnějšího poloměru určíme pomocí Hookova zákona integrací po celé délce ramene:
Vnitřní síla je: N ( x ) =
ρ ⋅ A⋅ω2
r2
r2
∆r2 = ∫ ε ( x) ⋅ dx = ∫
r1
⋅ (r22 − x 2 ) ⇒ napětí v rameni bude: σ ( x ) =
σ ( x)
r1
E
⋅ dx =
ρ ⋅ ω2
2⋅ E
r2
⋅ ∫ ( r22 − x2 ) ⋅ dx =
r1
ρ ⋅ ω2
6⋅ E
(
)
⋅ r13 − 3 ⋅ r1 ⋅ r22 + 2r23 .
2. METODA DIFERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice) :
ω
x
σ(x)
σ(x)+dσ
NP(x)
NL(x)
x
dx
dx
dO
V místě popsaném souřadnicí x vyjmeme element délky dx .
Na tento element připojíme působící účinky (napětí a odstř. síla).
Pro sestavení silové rovnováhy do x vyjádříme jednotlivé účinky od napětí:
N L ( x) = σ ( x) ⋅ A a N P ( x) = [σ ( x) + dσ ] ⋅ A
a následně odstředivou sílu (xT = x + dx/2 ≈ x ):
dO = dm ⋅ xT ⋅ ω 2 = ρ ⋅ dV ⋅ x ⋅ ω 2 = ρ ⋅ A ⋅ x ⋅ dx ⋅ ω 2 .
Z rovnice rovnováhy musí platit: Σ x: NL(x) – NP(x) – dO = 0 .
Po dosazení dostáváme:
σ ( x) ⋅ A − σ ( x) ⋅ A − dσ ⋅ A − ρ ⋅ A ⋅ ω 2 ⋅ x ⋅ dx = 0
dσ = −
ρ ⋅ A⋅ ω2
⋅ x ⋅ dx = − ρ ⋅ ω 2 ⋅ x ⋅ dx .
A
Jedná se o diferenciální rovnici prvního řádu se separovanými proměnnými, kterou řešíme integrací:
2
2 x
σ ( x) = −ρ ⋅ ω ⋅ + C .
2
Konstantu C určíme z okrajové podmínky na volném konci lopatky: σ(r2 ) = 0 odkud dostáváme:
r2
r2
x2
r2 ρ ⋅ ω 2 2
0 = − ρ ⋅ ω 2 ⋅ 2 + C ⇒ C = ρ ⋅ ω 2 ⋅ 2 ⇒ σ ( x) = −ρ ⋅ ω 2 ⋅ + ρ ⋅ ω 2 ⋅ 2 =
⋅ r2 − x 2 .
2
2
2
2
2
2
ρ ⋅ω
Průběh napětí je parabola 2° s maximem v připojení (x = r1 ): σ max = σ ( r1 ) =
⋅ r22 − r12 .
2
Odkud již vychází:
(
(
)
ω
σmax
σ(r2 ) = 0
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
2°
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
)
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
23
PODMÍNKA PEVNOSTI A PODMÍNKA TUHOSTI
Pevnostní podmínka:
TABULKA (VYBRANÉ HODNOTY BEZPEČNOSTI DLE NOREM):
Součást
Díl
Materiál
Bezpečnost kK
Bezpečnost kP
Tlakové nádoby
válcový plášť
kulové dno
ocel
dural
ocel
1,6
2,6
4,0
1,5
2,4
T
dural
Elektrický výtah
lano
ocel
3,5
(podle uspořádání)
8 ÷ 26
Tuhostní podmínka:
P
PŘÍKLAD (I-profil):
4
4
Dáno: F1 = 4⋅10 N; F2 = 7⋅10 N; l1 = 300 mm; l2 = 100 mm; materiál: ocel
11 370 (E ≈ 2⋅105 N⋅mm–2 ; σPt = 370 N⋅mm–2 a σKt = 200 N⋅mm–2 );
k Kmin = 1,5 a ∆lD = 0,2 mm (vlastní tíhu tyče neuvažujte!).
Určit: Navrhněte vhodný normalizovaný I-profil, který vyhoví pevnostní i
tuhostní podmínce.
Prut rozdělíme na dvě části:
I: x ∈ <0 ; l1 >
NI(x) = F1 = 4⋅104 N = konst.
II:
F1 + F2
x ∈ <l1 ; l1 +l2 > NII(x) = F1 + F2 = 11⋅104 N = konst.
Nejprve určíme průřez pomocí pevnostní podmínky: σ max ≤ σ D ⇒ σ max ≤
F2
F2
σ Kt
k K min
F1
F1
Nmax
σ
NII
σ
k
⋅N
1,5 ⋅ 11 ⋅10 4
≤ Kt ⇒
≤ Kt ⇒ Aσ ≥ K min II =
= 825 mm 2 .
Aσ
k K min
Aσ k K min
σ Kt
200
Dále určíme potřebný průřez z tuhostní podmínky: ∆l celk. ≤ ∆l D ⇒ ∆l 1 + ∆l 2 ≤ ∆l D
NI ⋅ l 1 N II ⋅ l 2
+
≤ ∆l D
E ⋅ A∆
E ⋅ A∆
⇒
A∆ ≥
N I ⋅ l 1 + N II ⋅ l 2 4 ⋅ 104 ⋅ 300 + 11 ⋅10 4 ⋅ 100
=
= 575 mm 2 .
E ⋅ ∆l D
2 ⋅ 105 ⋅ 0,2
Aby byly současně splněny obě podmínky, musí platit:
AI D ≥ max ( Aσ ; A∆ ) = max (825 ; 575) = 825 mm 2 ⇒ volíme profil I100 (AI100 = 1 060 mm2 ).
Poznámka:
Profil I80 by vyhověl tuhostní podmínce, ale nevyhověl by pevnostní podmínce, protože AI80 = 757 mm2
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
24
PRUTY STÁLÉ PEVNOSTI (stanovení proměnného průřezu prutu):
PŘÍKLAD (rotující rameno stálé pevnosti – stanovení proměnného průřezu ramene):
P
Dáno: r1 ; r2 ρ; A; E; ω ; σD; m (např. h motnost bandáže lopatkového věnce)
Určit: A(x) tak, aby σ(x) = σD = konst.
Nyní je výhodné zavádět souřadnici x od vnějšího konce lopatky.
V místě popsaném souřadnicí x vyjmeme element délky dx.
Na tento element připojíme působící účinky (napětí a odstř. síla).
Pro sestavení silové rovnováhy do x vyjádříme jednotlivé účinky od napětí:
m
N P ( x ) = σ D ⋅ A( x ) a N L ( x) = σ D ⋅ [ A( x) + dA]
σD
a následně odstředivou sílu (xT = () + dx/2 ≈ r2 – x):
σD
dO = dm ⋅ xT ⋅ ω 2 = ρ ⋅ dV ⋅ (r2 − x ) ⋅ ω 2 = ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅ (r2 − x ) ⋅ ω 2 .
NP(x) Z rovnice rovnováhy musí platit: Σ x: N (x) – N (x) + dO = 0 .
NL(x)
P
L
Po dosazení dostáváme:
σ D ⋅ A( x ) − σ D ⋅ A( x) − σ D ⋅ dA + ρ ⋅ A ⋅ ω 2 ⋅ (r2 − x ) ⋅ dx = 0
dO
dx
r2 – x
dA
Odkud již vychází:
= −ρ ⋅ A ⋅ ω 2 ⋅ (r2 − x ) ⋅ dx .
A
Jedná se o diferenciální rovnici prvního řádu se separovanými proměnnými, kterou řešíme integrací:

x2 
ln A( x ) = − ρ ⋅ ω 2 ⋅  r2 ⋅ x −  + C .
2

ω
dx
x
e
= A( x ) = e
−
ρ ⋅ω
2
(
)
⋅ 2⋅ r2 ⋅x − x 2 +C
−
ρ ⋅ω
2
(
⋅ 2⋅ r2 ⋅x − x2
)
−
ρ ⋅ω
2
(
⋅ 2⋅ r2 ⋅ x − x2
= e ⋅e
= K ⋅e
m
m
Konstantu K určíme z okrajové podmínky na konci lopatky: σ ( 0) =
= σ D ⇒ A( 0) =
A( 0)
σD
Celou rovnici „exponujeme“:
ln A ( x )
odkud dostáváme: A( 0) = K ⋅ e = K =
0
m
⇒
2
A( x) =
m
σD
σD
Průřez lopatky stálé pevnosti by měl být exponenciální funkcí.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
C
−
⋅e
ρ ⋅ω 2
2
2
(
2
⋅ 2 ⋅r2 ⋅ x − x
2
)
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
)
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
25
Poznámka:
Některé úlohy tahu a tlaku lze řešit snadno, některé obtížněji a některé přímo řešit nejde!
1. prut bez uvažování vlastní tíhy zatí žený na konci osamělou silou
Řešitelné
Řešitelné
A2
F
A0
σ ( x) =
x
x
x
l
A2
Neřešitelné!!!
F
A1
F
= konst.
A0
σ ( x) =
x = 0:
x = l:
F ⋅l
∆l =
E ⋅ A0
l
∆l = ∫
0
F
A( x)
→∞
A1 → 0
F
σ ( x) =
F
A( x)
F
A1
F
σ ( l) =
A2
x → 0: σ(0) → ∞
F
⋅ dx
E ⋅ A( x)
∆l → ∞
σ ( 0) =
σ ( l) =
x = l:
F
A2
2. prut s uvažováním vlastní tíhy bez zatížení osamělou silou
Řešitelné
Řešitelné
A2
ρ
x
x
ρ
A1 → 0
A0
G( x) ρ ⋅ g ⋅ A0 ⋅ x
σ ( x) =
=
= ρ⋅g⋅x
A0
A0
σ max = σ (l ) = ρ ⋅ g ⋅ l
l
∆l = ∫
0
ρ ⋅g⋅x
E
⋅ dx =
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
ρ ⋅ g ⋅ l2
2⋅ E
G( x)
σ ( x) =
=
A( x )
1
3
A( x )
ρ ⋅ g ⋅ ⋅ A( x) ⋅ x
1
= ⋅ ρ ⋅g ⋅ x
3
1
3
σ max = σ (l) = ⋅ ρ ⋅ g ⋅ l
1 ρ⋅g⋅x
ρ ⋅ g ⋅ l2
∆l = ∫ ⋅
⋅ dx =
.
3
E
6⋅E
0
l
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
26
MATEMATICKÉ ÚPRAVY – ZJEDNODUŠENÍ ODVOZENÝCH VZTAHŮ
Nyní si ještě ukážeme „vhodnou“ úpravu vzorců pro prodloužení od vlastní tíhy:
A0
l
A0
ρ
l/2
∆l =
ρ=0
ρ ⋅ g ⋅ l2
2⋅E
1
3
∆l =
=
6⋅E
E ⋅ A0
l
l
ρ ⋅ g ⋅ VK ⋅
GK ⋅
2 =
2
=
E ⋅ A0
E ⋅ A0
ρ ⋅ g ⋅ l2
A0
l/2
ρ=0
l
ρ
E ⋅ A0
l
2=
.
l
l
ρ ⋅ g ⋅ VV ⋅
GV ⋅
2=
2
=
E ⋅ A0
E ⋅ A0
GV
A0
=
ρ ⋅ g ⋅ l ⋅ A0 ⋅
GK
ρ ⋅ g ⋅ l ⋅ ⋅ A0 ⋅
l
2 =
.
Jediný rozdíl tedy je ve velikosti tíhové síly, kterou umístíme na válec poloviční délky:
1
1
Tíhová síla původního válce je GV = ρ ⋅ g ⋅ A0 a původního kužele je: G K = ⋅ ρ ⋅ g ⋅ A0 = ⋅ GV .
3
3
Předchozí výsledky s výhodou využíváme při řešení referátů, kdy je soustava tvořena několika hmotnými
válečky uspořádanými za sebou:
l3
∆l celk . = ∆l 1 + ∆l 2 + ∆l 3
ρ3
l2
ρ2
l2
G ⋅l
2
= 1 2 +
E 2 ⋅ A2 E2 ⋅ A2
G2 ⋅
∆l 2 = ∆l 2G1 + ∆l 2G2
l1
A3
∆l 1 = ∆l 1G1
l1
2
=
E1 ⋅ A1
G1 ⋅
l3
G ⋅l
G ⋅l
2
∆l 3 = ∆l 3G1 + ∆l 3G2 + ∆l 3G3 = 1 3 + 2 3 +
E3 ⋅ A3 E3 ⋅ A3 E3 ⋅ A3
l
l
l
G1 ⋅ 1
G2 ⋅ 2
G3 ⋅ 3
2 + G1 ⋅ l 2 +
2 + G1 ⋅ l 3 + G2 ⋅ l 3 +
2 .
∆l celk . =
E1 ⋅ A1 E2 ⋅ A2 E 2 ⋅ A2 E3 ⋅ A3 E3 ⋅ A3 E3 ⋅ A3
G3 ⋅
A2
ρ1
A1
 ρ ⋅ l2
ρ ⋅l ⋅l
ρ ⋅l ⋅l
ρ ⋅ l2
ρ ⋅l ⋅l
ρ 3 ⋅ l 23 
 .
∆l celk . = g ⋅  1 1 + 1 1 2 + 1 1 3 + 2 2 + 2 2 3 +
E 2 ⋅ A2
E3 ⋅ A3
2 ⋅ E2 ⋅ A2
E3 ⋅ A3
2 ⋅ E3 ⋅ A3 
 2 ⋅ E1 ⋅ A1
Celkové prodloužení můžeme vyjádřit také jako součet deformací od jednotlivých zatížení:
 l1

l2
l3 
l2
l3 
l3
 + G2 ⋅ 
 + G3 ⋅
∆l celk . = G1 ⋅ 
+
+
+
.
2 ⋅ E3 ⋅ A3
 2 ⋅ E1 ⋅ A1 E2 ⋅ A2 E3 ⋅ A3 
 2 ⋅ E2 ⋅ A2 E3 ⋅ A3 
Z výsledku je patrné, že tíha části
působí jak na část
a . Tíha části
působí již jen na část .
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
, tak i
a
. Tíha části
působí na části
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
27
O
O
DVOZENÍ:
DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI TAHU/TLAKU
Hustota deformační energie (dříve měrná deformační energie)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
28
PŘÍKLAD (deformační energie):
P
l2
Určit: Celkovou deformační energii U akumulovanou v tyči.
l1
Dáno: F1 ; F2 ; l1 ; l2 ; A a E (vlastní tíhu tyče neuvažujte!)
Řešení:
Při výpočtu použijeme předchozí výpočty:
Součást rozdělíme na dvě pole:
1: x 1 ∈<0 ; l1 >
x1
x2
F2
N1 (x) = F1
F1
2: x 2 ∈<0 ; l1 + l2 >
N2 (x) = F1 + F2
Deformační energie akumulovaná v části
od síly F1 řešeného prutu bude:
U1 =
A deformační energie akumulovaná v části
U2 =
1 N12l 1 1 F12l 1
⋅
= ⋅
.
2 E ⋅ A1 2 E ⋅ A
od sil F1 a F2 řešeného prutu bude:
1 N22l 2 1 (F1 + F2 ) ⋅ l 2
⋅
= ⋅
.
2 E ⋅ A2 2
E⋅A
2
Celkovou energii soustavy U určíme jako součet energií všech (dvou) částí:
1 F 2l
1 ( F + F2 ) ⋅ l 2
1
U = U1 + U 2 = ⋅ 1 1 + ⋅ 1
=
⋅ F12 ⋅ (l 1 + l 2 ) + F22 ⋅ l 2 + 2 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ l 2 .
2 E⋅ A 2
E⋅A
2⋅E ⋅ A
[
2
]
PŘÍKLAD (deformač ní energie):
P
Dáno: rotující rameno r1 ; r2 ; ρ; A a E
ω
Určit: Celkovou deformač ní energii U akumulovanou v rotujícím
rameni.
N(x)
r1
Řešení:
Opět použijeme vztah pro výpočet vnitřní síly v rotujícím rameni:
r2
N ( x ) = O ( x) =
ρ ⋅ ω2
2
(
)
⋅ b ⋅ h ⋅ r22 − x 2 .
Celkovou deformační energii akumulovanou v rotujícím rameni U dostaneme jako integrál po celé jeho
délce l, tedy v intervalu (r1 ÷ r2 ):
2
 ρ ⋅ω2

⋅ b ⋅ h ⋅ r22 − x 2 
2
r2 
r
2
1
N (x )
1  2
b ⋅ h 2  ρ ⋅ω 2 2

2 
U= ⋅∫
⋅ dx = ⋅ ∫
⋅ dx =
⋅
⋅ r2 − x  ⋅ dx = ... .
2 ( l) E ⋅ A( x )
2 r1
E⋅b⋅h
2 ⋅ E ∫r1  2

(
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
)
(
)
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
29
O
O
DVOZENÍ:
CASTIGLIANOVA*) VĚTA
VYUŽITÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI ŘEŠENÍ DYNAMICKÉHO NAMÁHÁNÍ
*)
Carlo Alberto Castigliano (1847 – 1884) až do roku 1865 chodil na základní školu a pak za rok absolvoval
průmyslovku v Terini. V roce 1870 nastoupil na universitu v Turíně a v roce 1873 napsal diplomovou práci o
energii ve staticky určitých soustavách. V roce 1875 rozšířil svoje tvrzení i na staticky neurčité soustavy (2.
Castiglianova věta). Již od roku 1874 pracoval jako hlavní inženýr Severoitalské železnice v Turíně. Zemřel na
zápal plic ve věku 37 let.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
30
O
O
DVOZENÍ:
MOHRŮV INTEGRÁL PRO TAH/TLAK
Využití Castiglianovy věty (řešení deformace prutové soustavy):
Dáno: prutová soustava (pruty a
), h, α , F a E⋅A = konst.
Určit: Vodorovný a svislý posuv styčníku B: uB a v B.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
31
Možnost využití metody „slepé“ síly:
I s pevností si člověk užije – ulomit se může všechno.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
32
STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY – TAH/TLAK
staticky určité:
Úlohy
staticky neurčité:
Statická neurčitost:
Prutové konstrukce (viz mechanika/statika):
i = 2 ⋅ κ − (n + 2 ⋅ p + h )
κ ...
n ...
p ...
h ...
i>0
i=0
i<0
úloha má i-stupňů volnosti ⇒ jedná se o mechanizmus (neřešíme!!!)
úloha nemá žádný stupeň volnosti ⇒ jedná se o staticky určitou úlohu (SUÚ) a k jejímu
řešení stačí statické rovnice rovnováhy
součásti je odebíráno více stupňů volnosti než sama má ⇒ jedná se i-krát staticky
neurčitou úlohu (SNÚ), kde se vyskytuje o i více neznámých než je nezávislých
statických rovnic rovnováhy
1. SILOVÁ METODA
Obecný postup řešení:
0. rozhodnutí
1. uvolnění
2. nahrazení
3. doplnění
4. řešení
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
33
Postup řešení staticky neurčité úlohy (tah/tlak):
Dáno: prut (část
a část ), a, b, l, F a E⋅A = konst. (obě vetknutí
jsou dokonale tuhá)
Určit: Reakce ve vetknutích B a C: RB a RC.
UVOLNĚNÍ
NAHRAZENÍ
DOPLNĚNÍ
Fyzikální rovnice = Hookův zákon
Statická rovnice:
2. CASTIGLIANOVA VĚTA (Méneabréova věta):
Má-li být funkce MINIMEM, musí být druhá derivace KLADNÁ
Q.E.D.*)
zkratka pocházející z latinského quod erat demonstrandum (což bylo dokázati, či což mělo býti dokázáno nebo prostě
zkratkou c. b. d).
*) Je
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
34
TABULKA (VOLBA ZNAMÉNEK VE FYZIKÁLNÍ ROVNICI ± ∆l = ± EF ⋅⋅ Al ):
připojená síla F
předpokládaná
deformace ∆l
PRODLOUŽENÍ
ZKRÁCENÍ
TAH
„+“
T
TLAK
„−
−“
„+“
„−
−“
Zahrnutí vlivu teploty:
PŘÍKLAD (staticky neurčitý tah/tlak s vlivem teploty):
P
Dáno: l, β , ∆t, α , E⋅A = konst. (všechny tři pruty jsou
vyrobeny ze stejného polotovaru).
Určit: Síly v prutech N1 , N2 a N3 .
C
C
≡
C
C´
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
35
PŘÍKLAD (staticky neurčitý tah/tlak s vlivem teploty):
P
Dáno: l1 , l2 , D1 , D2 ∆t, α , E = konst. (obě části jsou
vyrobeny ze stejného materiálu).
Určit: Napětí v jednotlivých částech prutu σ1 a σ2 .
UVOLNĚNÍ
NAHRAZENÍ
DOPLNĚNÍ
Fyzikální rovnice = Hookův zákon
P
PŘÍKLAD (staticky neurčitý tah/tlak):
Dáno: l, a, ∆t, α , E⋅A = konst. (všechny pruty jsou vyrobeny ze stejného polotovaru).
Určit: Síly v jednotlivých prutech N1 , N2 a N3 .
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
36
Fyzikální rovnice = Hookův zákon
MONTÁŽNÍ VŮLE m:
PŘÍKLAD (staticky neurčitý tah/tlak s vůlí):
P
Dáno:a, b, m (m << a, b), F a E⋅A = konst. (vetknutí jsou dokonale tuhá)
Určit: Provést diskusi a reakce ve vetknutích B a C: RB a RC.
Diskuse: 1)
2)
3)
UVOLNĚNÍ
NAHRAZENÍ
DOPLNĚNÍ
Fyzikální rovnice = Hookův zákon
Kontrola výsledků (diskuse na závěr):
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
37
2. NAPĚTÍ A PŘETVOŘENÍ
h
h
Lepení je dnes považováno za velice moderní, progresivní a relativně levnou metodu spojování strojních
součástí. Porovnejte únosnosti čtyř lepených spojů kovových součástí obdélníkového průřezu o rozměrech
b×h = 40 × 20 mm.
K−Akryl 32
βI = 90°
Ve variantě I se jedná o lepení „na tupo“ pod úhlem
β I = 90°, ve variantě II svírají lepené plochy s vodorovnou I F
F
osou úhel β II = 45°, ve variantě III svírají lepené plochy
K−Akryl 32
s vodorovnou osou úhel β III = 15° a ve variantě IV je spoj
βII = 45°
přesazen na délce a = 100 mm. Spoj je vždy zatížen
II F
F
vodorovnými silami F, které působí v ose součásti.
K−Akryl 32
h
βIII = 15°
F
F
K−Akryl 32
h
Použité lepidlo K-Akryl 32 je metylkyanoakrylát vytvrzovaný
vzdušnou vlhkostí, který má mani-pulační pevnost po necelé
minutě a po 12 hodinách vykazuje pevnost v tahu III
σN = 16 ÷ 20 MPa a pev-nost ve střihu τT = 25 ÷ 32 MPa
(pro další výpočet pak budeme používat minimální hodnoty):
σN min = 16 MPa a τT min = 25 MPa.
IV
F
F
a
Druhy napjatosti:
Napjatost v bodě:
Rozklad napětí:
Každé ze tří obecných napětí ν x, ν y a ν z rozložíme na tři složky (jedno normálové napětí σ a dvě napětí
smyková τ). Vzniklých devět složek napětí můžeme zapsat do tenzoru napětí:
σ x τ xy τ xz 


Tσ = τ yx σ y τ yz 
τ zx τ zy σ z 


Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
σ xx

občas se užívá zápis
Tσ = σ yx
výhodný pro počítačové zpracování
σ zx

σ xy
σ yy
σ zy
σ xz 

τ yz 
σ zz 
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
38
Z devíti složek napětí je jen 6 nezávislých, protože platí zákon o
sdružených smykových napětích (bude odvozeno později), kde při
použití jednoindexového zápisu dostáváme:
τxy = τyx = τz
τyz = τzy = τx
τzx = τxz = τy
σ x τ z τ y 
⇒ Tσ =  τ z σ y τ x 
τ y τ x σ z 
JEDNOOSÁ/PŘÍMKOVÁ NAPJATOST:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
39
Šikmý řez:
SDRUŽENÁ SMYKOVÁ NAPĚTÍ:
Spojení řezů ρ , ρ a ψ , ψ do jednoho obrázku dostaneme:
Znaménka smykových napětí:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
40
ROVINNÁ NAPJATOST
všechna napětí MUSÍ ležet v jedné rovině:
ODVOZENÍ:
O
ROVINNÁ NAPJATOST – MOHRŮVA KRUŽNICE
Řešení v rovině x-y:
M
MATEMATICKÉ INTERMEZZO:
sin 2 α =
1 − cos 2 ⋅ α
2
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
;
cos 2 α =
1 + cos 2 ⋅ α
2
;
sin α ⋅ cos α =
sin 2 ⋅ α
.
2
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
F
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
41
Grafická interpretace = MOHROVA KRUŽNICE
Střed Mohrovy kružnice: S
Poloměr Mohrovy kružnice: r
Obecná konstrukce Mohrovy kružnice pro α = 0 (bude tedy rovina ξ totožná s rovinou ρ ).
Konstrukce skutečné roviny ρ
v Mohrově kružnici:
Pravidlo vynášení smykových napětí:
MOHROVA KRUŽNICE:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
42
PŘÍKLAD (ROVINNÁ NAPJATOST – Mohrova kružnice):
Dáno: σx = 50 N⋅mm , σy = –30 N⋅mm , τz = –30 N⋅mm ,
α = 30° (od roviny ξ proti směru hodinových ručiček)
Určit: Napětí v rovině ρ : normálové σρ a smykové τρ ) – početně i graficky.
–2
–2
–2
Pokud bychom omylem otáčeli v Mohrově kružnici opačným směrem, řešili bychom zcela jinou
úlohu!!!
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
43
EXTRÉM Y MOHROVY KRUŽNICE:
– hlavní napětí (σ1 a σ2 )
– maximální smykové napětí (τmax ).
Hlavní napětí
Maximální smykové napětí:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
44
MOHRŮV DIAGRAM PROSTOROVÉ NAPJATOSTI
PŘÍKLAD (ROVINNÁ NAPJATOST – HLAVNÍ NAPĚTÍ):
P
Dáno: σx = 100 N⋅mm , σy = 60 N⋅mm , σz = –20 N⋅mm , τx = –30 N⋅mm (τy = τz = 0).
–2
–2
–2
–2
Určit: Hlavní napětí σ1,2,3 , polohu hlavních rovin a maximální smykové napětí τmax .
(početně i graficky)
Transformace Mohrových vztahů:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
45
Grafické řešení:
JEDNOOSÁ A DVOJOSÁ NAPJATOST:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
46
PROSTÝ SM YK:
Existuje pouze jedno smykové napětí τz = τ (σx = σy = σz = τy = τz = 0)
TABULKA (MODULY PRUŽNOSTI VE SMYKU VYBRANYCH MATERIÁLŮ):
Materiál
Modul G [N⋅mm-2 ]
ocel
měď
hliník
(7,8 ÷ 8,5)⋅104
4,5⋅104
2,7⋅104
Mohrův diagram čistého smyku:
PŘETVOŘENÍ (DEFORMACE) PŘI TROJOSÉ (PROSTOROVÉ) NAPJATOSTI
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
T
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
47
ROZŠÍŘENÝ HOOKŮV ZÁKON:
Mohrova kružnice pro deformace – Mohrův diagram přetvoření:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
48
3. DEFORMAČNÍ ENERGIE
při jednoosé, dvojosé a trojosé napjatosti
PROSTÝ TAH/TLAK
VÍCEOSÁ NAPJATOST (rovinná, prostorová)
A) jen normálová napětí
1) dvojosá (rovinná) napjatost:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
49
2) trojosá (prostorová) napjatost − analogicky
B) jen čistý smyk
C) obecná napjatost – působí vše
Využití poměrné změny objemu Θ = (ε x + εx + εx):
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
50
Zvláštní případ (budeme využívat při kombinovaném namáhání, např. ohyb + krut, …):
ODVOZENÍ:
O
POMĚR MODULŮ PRUŽNOSTI (E/G) POMOCÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE
Čistý smyk
(σx = σy = σz = τx = τy = 0 ; τz = τ)
Hlavní napětí při čistém smyku
(σ1 = +τ ; σ2 = 0 ; σ3 = −τ)
HUSTOTA DEFORMAČNÍ ENERGIE NA ZM ĚNU OBJEMU A ZMĚNU TVARU
Změna objemu –
Změna tvaru –
1. Normálová napětí:
=
+
Poměrná změna objemu:
Rozšířený Hookův zákon (zatím stačí jen vztah mezi σ a ε ):
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
Θ
=
Θ
ZMĚNA OBJEMU
51
⇒
Θ=0
ZMĚNA TVARU
2. Smyková napětí:
Poměrná změna objemu:
Rozšířený Hookův zákon (nyní stačí jen vztah mezi τ a γ):
Čistý smyk (σx = σy = σz = τx = τy = 0 ; τz = τ
⇒
σ1 = +τ ; σ2 = 0 ; σ3 = −τ):
VÝSLEDEK:
Hustota deformační energie na změnu objemu (jen od tahových napětí):
Hustota deformační energie na změnu tvaru (jak od tahových tak i od smykových napětí):
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
52
4. TEORIE (HYPOTÉZY) PEVNOSTI/PRUŽNOSTI
Podle vhodných teorií (hypotéz) pružnosti a pevnosti stanovte bezpečnosti k prostorové napjatosti, která vzniká
v temeni hlavy kolejnice v místě styku kola dvojkolí lokomotivy s kolejnicí. Mez kluzu oceli, ze které je kolejnice
vyrobena, uvažujte Re = 400 N⋅mm-2.
Lokomotiva 230 081-2
Z numerické analýzy pomocí metody konečných prvků (MKP) této kontaktní úlohy vyplývá, že jednotlivé složky
napětí jsou: σ1 = − 800 N⋅mm-2 , σ2 = − 900 N⋅mm-2 a σ3 = − 1 100 N⋅mm-2 .
MEZNÍ STAV -
Rozeznáváme mezní stav:
1.
2.
3.
4.
Chování materiálu:
TVÁRNÝ STAV
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
KŘEHKÝ STAV
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
53
Haighův prostor:
Rovinná napjatost - zobrazení v rovině (σ3 = 0):
Zatěžovací křivka
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Prosté zatěžování
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
54
MÍRA BEZPEČNOSTI:
PODMÍNKY PEVNOSTI
Mezní stav pružnosti:
Mezní stav pevnosti:
Jednoosá tahová zkouška:
a) houževnaté materiály:
b) křehké materiály:
JEDNOOSÁ NAPJATOST:
Pevnostní podmínka (již u tahu a tlaku):
Houževnaté materiály
0
Křehké materiály
0
PROSTOROVÁ NAPJATOST:
Mezní stav pružnosti:
Mezní stav pevnosti:
Určení mezního stavu:
1) FYZIKÁLNĚ:
2) EXPERIMENTÁLNĚ:
3) HYPOTETICKY (teoreticky):
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
55
PRINCIP VŠECH HYPOTÉZ (TEORIÍ) PRUŽNOSTI A PEVNOSTI JE REDUKCE
Obecný stav napjatosti v bodě:
σx , σy , σz , τx , τy a τz
Výsledek tahové zkoušky materiálu
σ x ⇒ σ U, σ K a σ P
HOUŽEVNATÉ MATERIÁLY
1) Hypotéza maximálního s mykového napětí (ττ MAX):
Naznačeno již roku 1773 Charles-Augustinem de Coulombem (1736 – 1806), zavedeno v roce
1868 Henri Edouardem Trescou (1814 – 1885) a okolo roku 1900 upraveno ještě Jamesem J.
Guestem.
TAH:
TLAK:
PROSTOROVÁ NAPJATOST:
Pozor!!!
Pro rovinnou napjatost platí σ3 = 0!!!
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
56
Užití teorie τMAX :
výhody
nevýhody
Haighova plocha pro teorii τMAX:
2) Hypotéza energetická (H.M.H.):
Formulováno nejprve Jamesem Clerkem Maxwellem (1831 – 1879) a pak počátkem XX.
stol. třemi vědci současně: Maksymilianem Huberem (1872 - 1950), Richardem von Misesem
(1883 – 1953) a Heinrichem Henckym (1885 – 1951)
TAH/TLAK:
PROSTOROVÁ NAPJATOST:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
57
Užití energetické teorie (H.M.H.):
výhody
nevýhody
Haighova plocha pro energetickou teorii (H.M.H.):
Srovnání teorií τMAX a energetické (H.M.H.):
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
58
KŘEHKÉ MATERIÁLY
1) Hypotéza maximálního normálového napětí (σ
σ MAX):
Nejstarší pevnostní hypotéza formulována již okolo 1840 Williamem J. Macquornem Rankinem (1820 – 1872).
TAH:
TLAK:
PROSTOROVÁ NAPJATOST:
Pozor:
Pro rovinnou napjatost platí σ3 = 0!!!
Haighova plocha pro teorii σMAX:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
59
2) Hypotéza Mohrova (σ
σ MAX):
Formulována okolo 1880 Christianem Ottem Mohrem (1835 – 1918).
Použití:
Mezní bod:
Mezní čára:
Coulombova aproximace – nahrazení obecné mezní čáry přímkou
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
60
Haighova plocha pro teorii Mohrovu:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
61
PŘÍKLAD (TEORIE PEVNOSTI):
Dáno: σx = 100 N⋅mm , σy = 60 N⋅mm , σz = –20 N⋅mm , τx = –30 N⋅mm (τy = τz = 0).
1) materiál je konstrukční ocel - σK = 240 MPa
2) materiál je litina - σPt = 280 N⋅mm–2 a σPd = 420 N⋅mm–2
–2
–2
–2
–2
Určit: V případě 1) bezpečnost k mezi kluzu k K
2) výslednou bezpečnost vůči mezi pevnosti k P
Řešení: Využijeme řešení příkladu u Mohrových kružnic, kde jsme určili hlavní napětí:
σ 1 = σ x = 100 N ⋅ mm
a σ 2, 3 =
-2
σz +σy
 σ z −σ y
± 
 2
2
2
+ 70 N ⋅ mm - 2


2
 + (− τ x ) = 20 ± 50 = 

− 30 N ⋅ mm - 2
1a) Teorie τ MAX:
σ τred = σ max − σ min = σ 1 − σ 3 = 100 − ( −30) = 130 N ⋅ mm -2
MAX
⇒
k Kτ MAX =
σK
240
=
≈ 1,85
τ
σ red
130
MAX
1b) Teorie energetická (H.M.H.):
H.M.H.
σ red
=
2
⋅
2
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2
=
2
2
2
2
=
⋅ (100 − 70) + (70 − (−30) ) + ((−30) − 100 ) ≈ 118 N ⋅ mm -2
2
⇒ k KH.M.H. =
σK
σ
H.M.H.
red
=
240
118
≈ 2,03
K výpočtu redukovaného napětí podle energetické teorie lze použít přímo zadaná napětí σ a τ:
H.M.H.
σ red
=
2
2
⋅
(σ
) (
−σ y + σ y −σz
2
x
) + (σ
2
(
)
− σ x ) + 6 ⋅ τ x2 + τ y2 + τ z2 = K ≈ 118 N ⋅ mm - 2 (souhlasí!)
2
z
Pokud bude součást vyrobena z konstrukční oceli, bude její výsledná bezpečnost:
- podle teorie τMAX:
k K = 1,85
- podle teorie energetické (H.M.H.): kH.M.H. = 2,03
2a) Teorie σ MAX:
σ max = σ 1 = 100 N ⋅ mm -2 ⇒ k t =
σ
σ red
MAX
=
σ min = σ 3 = 30 N ⋅ mm - 2 ⇒ kd =
σ Pt 280
=
= 2,8
σ max 100
420
σ Pd
=
= 14
σ min
30
⇒ kσ
MAX
= min( k t ; k d ) = 2,80
V rámci jedné teorie je třeba
uvažovat menší z obou bezp.
2b) Teorie Mohrova
σ Pt 280
σ Pt
280
⋅ σ 3 = 100−
(−30) = 120 N ⋅ mm -2 ⇒ kMohr = Mohr
=
≈ 2,33
σ Pd
420
σ red 120
Pokud bude součást vyrobena z litiny, bude její výsledná bezpečnost:
- podle teorie σ MAX: k σMAX = 2,80
- podle teorie Mohrovy: k Mohr = 2,33
Mohr
σ red
= σ max − ρ ⋅ σ min = σ 1 −
V obou případech jsou oba výsledky správné a každý má „svou pravdu“ a záleží na podmínkách nebo na
předpisech nebo normách, pro kterou z teorií se rozhodneme.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
62
5. KRUT
Vypočtěte statickou bezpečnost spojovacího hřídele přední brzdy závodního vozu Lotus 72C, který tvoří trubka
s vnějším průměrem ∅D = 40 mm a tloušťce stěny t = 10 mm vyrobená z vysokopevnostní oceli s mezí kluzu
Re = 380 N⋅mm-2. Hřídel spojuje kolo s brzdovým kotoučem umístěným pro snížení
neodpružených hmot uvnitř rámu karoserie. Hmotnost vozu Lotus 72 připraveného na trénink budeme uvažovat m = 700 kg a
vnější průměr předních kol DP = 600 mm. Ve
výpočtu budeme předpokládat při intenzivním
brzdění rozložení brzdného účinku 70% a
30% na přední a zadní nápravě.
Poznámka:
Při tréninku na Velkou cenu Itálie na okruhu v Monze dne 5. září 1970 byl
pro dosažení maximální možné rychlosti nasazen vůz Lotus bez
přítlačných ploch. Pravděpodobně defekt přední brzdy nebo zavěšení
předního kola byl během intenzivního brzdění při nájezdu do Parabolické
zatáčky příčinou nehody, kdy rakouský pilot Jochen Rindt utrpěl zranění,
kterým později podlehl.
Monza 1970
Stanovte základní charakteristiky pružícího členu podvozku železničního vagónu typu Eas-u, který se v ČD
používá k přepravě zejména sypkých materiálů. Každé ze čtyř dvoukolí tohoto vagónu je uloženo pomocí
dvou pružících členů, které tvoří dvě v sobě zasunuté pružiny – viz obrázek. Dále stanovte maximální
statické namáhání pružin pro zcela naplněný vagón (vliv příčných sil na pružiny neuvažujte a
předpokládejte pružinu jako tenkou, těsně vinutou).
Vagón ČD Eas-u
Celková váha rámu a prázdné korby vagónu je mV ≈ 16 250 kg a podle tabulky je maximální přípustná
hmotnost nákladu mN = 57 500 kg. Celková tíha, kterou podvozek vagónu přenáší na kolejový svršek je
tedy: G = (mV + mN )⋅g = (16 250 + 57 500)⋅9,81 = 723 487 N.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
63
Krut je vyvolán dvojicemi sil – KROUTICÍMI MOMENTY MK [N⋅m] resp. [N⋅mm] a [kN⋅m].
ROZDĚLENÍ KRUTU:
a) podle typu průřezu:
b) podle zachycení deformací:
DEPLANACE =
Platí Saint-Vénantův princip – řešíme řezy v dostatečné vzdálenosti od působišť
momentů.
ODVOZENÍ:
O
KRUT PRUTŮ KRUHOVÉHO A MEZIKRUHOVÉHO PRŮŘEZU (nedeplanují se)
VZTAH SMYKOVÉHO NAPĚTÍ τ A KROUTICÍHO MOMENTU MK :
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
64
Zákon o sdružených smykových napětí platí i při krutu:
Výpočet konstanty „c“:
POLÁRNÍ KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU:
(je aditivní)
Maximální smykové napětí:
PRŮŘEZOVÝ MODUL V KROUCENÍ:
(!!! NENÍ aditivní !!!)
PEVNOSTNÍ PODMÍNKA PŘI KRUTU:
Určení τD musí vycházet z některé teorie pružnosti (rovinná napjatost):
TRESCOVA TEORIE
(τMAX)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
ENERGETICKÁ TEORIE
(H.M.H.)
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
65
VZTAH NATOČENÍ KONCŮ HŘÍDELE ϕ A KROUTICÍHO MOMENTU MK :
TUHOSTNÍ PODMÍNKA PŘI KRUTU:
Výpočet polárního kvadratického momentu průřezu JP a průře zového modulu průřezu
v kroucení pro kruhový a me zikruhový průřez:
KRUH:
MEZIKRUH:
Poznámka: Tenkostěnná trubka je zvláštním případem mezikruhového průřezu
(zjednodušení díky s << r; R)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
66
O
O
DVOZENÍ:
DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI KRUTU:
Užití Castiglianovy věty při krutu:
STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY:
Řešení je obdobné jako u TAHU/TLAKU
OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ:
0. rozhodnutí
1. uvolnění
2. nahrazení
3. doplnění
4. řešení
FYZIKÁLNÍ INTERMEZZO:
M
Vztah mezi výkonem P [kW], otáčkami n [min ], krouticím momentem M K [N⋅mm] a natočením ϕ [rad] resp. [°]
je často uváděn pro hřídel délky l, o průřezovém momentu JP , vyrobeného z materiálu o modulu pružnosti G ve tvaru:
P=
n⋅ M K
9,55 ⋅10 6
odkud
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
-1
M K = 9 ,55 ⋅ 10 6 ⋅
P , a tedy
9,55 ⋅10 6 P ⋅ l
ϕ [ rad ] =
n
G ⋅ JP ⋅ n
5
, resp. ϕ [° ] = 1,67 ⋅10 P ⋅ l .
G ⋅ JP ⋅ n
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
F
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
67
PŘÍKLAD (KRUT):
P
Dáno: MK1 , MK2 , a, b, c, (l), D, G
Určit: maximální smykové napětí po
celé délce prutu (hřídele)τmax (x)
UVOLNĚNÍ
NAHRAZENÍ
DOPLNĚNÍ
Fyzikální rovnice (Hookův zákon pro krut):
Maximální smyková napětí v jednotlivých úsecích budou:
Ze statické rovnice MŮŽEME dopočítat druhý reakční moment:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
68
O
O
DVOZENÍ:
TĚSNĚ VINUTÉ VÁLCOVÉ PRUŽINY:
Rozklad síly
Rozklad momentu
Napětí v těsně vinutých válcových pružinách:
Poznámka:
Pro D/d ≤ 10 a pro „velké“ stoupání α již nelze použít tuto teorii, a tak někteří autoři uvádějí vztah pro
maximální smykové napětí τi (interní) zahrnující vliv jak ohybu tak i posouvající síly:
τi
τi
τ i = κ ⋅ τ nom = κ ⋅
8⋅ F ⋅ D
,
π ⋅d3
resp.
τ i = κ ⋅τ nom ≈ κ ⋅ 2,5 ⋅ F ⋅
TABULKA (HODNOTY SOUČINITELE κ PODLE GEOMETRIE PRUŽINY):
D/d
3
4
6
8
10
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
α ≈ 0°
1,514
1,367
1,233
1,170
1,134
α = 15°
1,441
1,306
1,182
1,124
1,091
α = 30°
1,241
1,136
1,039
0,993
0,966
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
D
.
d3
T
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
69
Deformace těsně vinutých válcových pružin:
Castiglianova věta:
Deformační energie akumulovaná v celé válcové pružině (pouze od krutu – zbytek zanedbáme):
Zjednodušíme výraz protože vše je podle předpokladu po celé délce konstantní:
Tuhost těsně vinuté válcové pružiny:
Poznámky:
1. Při uvažování všech vnitřních účinků je v literatuře uváděn vztah pro výpočet skutečné deformace vinuté
válcové pružiny y jako funkce deformace vypočtené podle teorie těsně vinutých válcových pružin y0 a
součinitele ξ , který zahrnuje vliv reálné geometrie pružiny:
y = y0 ⋅ξ ,
2
2

sin 2 α 
d
d
2
kde:
a
⋅ 0,25 ⋅   − µ  .
ξ = 1 + 0,6 ⋅   ⋅ cos α +
1 + µ 
 D
D

2. U dlouhých pružin nebo pružin s velkým stoupáním také může v průběhu zatěžování dojít ke ztrátě
stability a vybočení celé pružiny – komplikovaný výpočet (NEŘEŠÍME!).
8 ⋅ F ⋅ D 3 ⋅i
y0 =
G⋅d 4
3. V literatuře lze najít i vztahy pro řešení jiných typů vinutých pružin (spirálné, kuželové, ...).
PŘÍKLAD (PRUŽINY):
Dáno: D1 , d1 , i1 , D2 , d2 , i2 , G1 = G2 = G a m.
Určit: τ1 a τ2 (napětí v pružinách po jejich spojení).
Řešení:
Statická rovnice rovnováhy:
Deformační podmínka:
před
po
před
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
70
Fyzikální rovnice (základní rovnice deformace těsně vinutých válcových pružin):
Výsledná napětí po spojení obou pružin:
Číselný výpočet pro:
D1 = 30 mm, d1 = 2,5 mm, i1 = 9,
D2 = 20 mm, d2 = 1,5 mm, i2 = 12,
G = 0,81⋅105 N⋅mm–2 (ocel), m = 3 mm
Nejprve vypočteme číselně velikosti tuhostí jednotlivých pružin v soustavě:
První pružina:
k1 =
0,81⋅ 105 ⋅ 2,5 4
= 1,63 N ⋅ mm −1 .
3
8 ⋅ 30 ⋅ 9
Druhá pružina:
k2 =
0,81⋅ 105 ⋅1,5 4
= 0,53 N ⋅ mm −1 .
3
8 ⋅ 20 ⋅12
Síla působící na pružiny po jejich spojení bude:
F=
1,63 ⋅ 0,53
⋅ 3 ≈ 1,2 N .
1,63 + 0,53
Známe-li síly působící na pružiny, můžeme vypočítat napětí, které v nich vyvolají:
První pružina:
τ1 =
8 ⋅1,2 ⋅ 30
= 5,9 N ⋅ mm − 2 .
3
π ⋅ 2,5
Druhá pružina:
τ2 =
8 ⋅1,2 ⋅ 20
= 18,1 N ⋅ mm −2 .
3
π ⋅1,5
Na závěr můžeme provést pro F = 1,2 N výpočet deformací jednotlivých pružin a s jejich pomocí
zkontrolovat správnost celého výpočtu:
První pružina:
y1 =
F 1,2
=
= 0,74 mm .
k1 1,63
Druhá pružina:
y2 =
F
1,2
=
= 2,26 mm .
k 2 0,53
Kontrolní součet obou deformací y1 a y2 MUSÍ být roven velikosti původní vůle m :
y1 + y2 = 0,74 + 2,26 = 3,0 mm = m .
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
71
KRUT PRUTŮ NEKRUHOVÉHO PRŮŘEZU
(dochází k deplanaci průřezů)
(JEN PRO INFORMACI – BUDE SOUČÁSTÍ PRUŽNOSTI A PEVNOSTI II)
Teorie řešící kroucení prutů nekruhových profilů přesahuje rozsah tohoto základního kurzu pružnosti, a
proto se více dovíte až v předmětu Pružnost a pevnost II, který je součástí studijních programů TZSI
(verze A) a STR (verze B). Tato partie je podrobně probírána i v některých oborech navazujícího
magisterského studia.
Obecné nekruhové profily se řeší pomocí základních rovnic matematické teorie pružnosti:
15 rovnic o 15 neznámých
Jednodušeji řešitelné jsou tenkostěnné nekruhové profily, a to jak otevřené tak i uzavřené.
Otevřené tenkostěnné profily:
Základem výpočtu je TENKÝ DLOUHÝ OBDÉLNÍK (t << h)
⇒
=
+
+
+
+
Nutná je kontrola v rohu, který může být kritickým místem.
Uzavřené tenkostěnné profily:
Základem výpočtu je STŘEDNICE UZAVŘENÉHO PROFILU (s):
Opět může být nebezpečným místem roh, kde je třeba provádět kontrolu a dále je třeba přepočítat
napětí na vnějším povrchu průřezu.
SROVNÁNÍ UZAVŘENÉHO A OTEVŘENÉHO TENKOSTĚNNÉHO PRŮŘEZU:
(JEN PRO INFORMACI – BUDE SOUČÁSTÍ PRUŽNOSTI A PEVNOSTI II)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
72
6. OHYB
6.1 GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRŮŘEZU
Posuďte, kolikrát se zvětší ohybová tuhost ocelového nosníku I 200, jestliže jeho stojina bude rozříznuta
v podélném směru (viz obrázek), oba díly vůči sobě budou posunuty (ve stojině vzniknou šestiúhelníkové otvory) a
nosník bude v dotykových místech svařen (výška pásnice nosníku se tak výrazně zvětší). Stanovte, jak se úpravou
změní maximální ohybové napětí v profilu, je-li délka pole l = 10 m a zatížení je uprostřed pole osamělou silou
F = 15 kN. Možnou ztrátu stability ohýbaného profilu nebudeme ve výpočtu uvažovat.
rozříznuto
y
y
z
x
svařeno
A
B
A
B
z
x
Tah/tlak:
Krut:
Ohyb:
(OSOVÉ) KVADRATICKÉ MOMENTY PRŮŘEZU:
DEVIAČNÍ MOMENT PRŮŘEZU:
(OSOVÉ) KVADRATICKÉ POLOMĚRY PRŮŘEZU:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
73
Základní definice:
0
0
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI:
1) Aditivnost:
0
0
2) Poloha souřadnicových os:
a) CENTRÁLNÍ KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU:
b) OSA SYMERTIE PRŮŘEZU (musí procházet těžištěm T):
0
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
74
3) Vztah osových a polárního kvadratického mome ntu průřezu:
0
4) Posunutí souřadnicového systému (Steinerova věta):
ODVOZENÍ:
O
STEINEROVA VĚTA
(Huygens–Steinerův teorém podle Christiaana Huygense and Jakoba Steinera)
0´
T≡0
5) Pootočení souřadnicového systému:
T≡0
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
75
6) Hlavní kvadratické momenty průře zu:
T
TABULKA (PRAVIDLO VYNÁŠENÍ ÚHLU ϑ ):
tg 2ϑ =
2 ⋅ Dyz
Jz − J y
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
76
ŘÍKLAD (PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY):
Dáno: b, h.
Určit: Jz, Jy a j z, j y (kvadratické momenty a kvadratické poloměry)
P
P
PŘÍKLAD (PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY):
P
Dáno: ∅D.
Určit: Jz, Jy a j z, j y (kvadratické momenty a kvadratické poloměry)
ρ⋅sin ϕ
dϕ
D/2
Řešení:
ϕ
Jz =
⋅ dA a
y = ρ⋅sinϕ
dA
dρ
2
( A)
z
ρ
∫y
a
jz =
∅D
Jz
A
dA = ρ ⋅dϕ ⋅dρ
meze integrálů jsou: ρ ∈〈0 ; D/2〉
a
ϕ ∈〈0 ; 2⋅π 〉.
Po dosazení tak dostáváme:
Jz =
D / 2 2⋅ π
∫ ∫ (ρ ⋅ sin ϕ )
2
0
⋅ ρ ⋅ dϕ ⋅ dρ =
0
D/2
∫
0
2 ⋅π
D4 1
π ⋅ D4
ρ ⋅ dρ ⋅ ∫ sin ϕ ⋅ dϕ =
⋅ ⋅2⋅ π =
64 2
64
0
3
2
Protože profil je „nekonečněkrát“ symetrický, bude Dzy = 0, Mohrova kružnice degeneruje v bod a osový
kvadratický moment průřezu Jy bude stejný jako Jz. Kvadratické poloměry j z a jy budou také stejné:
π ⋅ D4
jz = j y =
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
64 =
π ⋅ D2
4
D2 D
=
16
4
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
77
Obecný postup výpočtu hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu:
T1
T2
T
T
T
T3
0
0
Dáno:
Řešení:
Rozměry průřezu a 1. Rozdělíme průřez na
původní poloha
i jednoduchých
souřadnicových os.
obdélníků (i = 3),
2. Pomocí statických
momentů určíme
polohu těžiště
celého průřezu
T (zT , yT )
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
0
5. Pomocí Mohrovy
kružnice (vzorce)
určíme velikosti
hlavních centrálních
kvadratických mo4. Přepočteme osové
mentů (J1 a J2 ) a
kvadra-tické momenty a
polohu hlavních
deviač-ní moment pomocí
centrálních os (ϑ).
Stei-nerovy věty
6. Vše zakreslíme do
k těžištním o-sám a
původního průřezu.
získáme:
JzT, Jy T a Dy TzT
3. Vypočteme jednotlivé
osové kvadratické momenty jednotlivých částí
(z definice),
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
78
6.2 NOSNÍK A JEHO VLASTNOSTI
Stanovte namáhání listového pera podvozku dvounápravového železničního vagónu typu Eu. Dvoukolí je
uloženo pomocí dvou listových per – viz obrázek. Základní rozměry tohoto listového pera jsou: vzdálenost
čepů (podpěr) l = 1 200 mm, šířka jednoho listu b = 140 mm a výška uprostřed pera h = 160 mm
(h0 ≈ 20 mm).
Vagón ČD Eu
Podle tabulkových hodnot na vagónu je jeho celková
hmotnost mV ≈ 12 840 kg a maximální přípustná hmotnost
nákladu mN = 27 000 kg. Celková tíha, kterou podvozek vagónu
přenáší na kolejový svršek je tedy:
G = (mV + mN )⋅g = (12 840 + 27 000)⋅9,81 = 390 830 N.
Při uvažování rovnoměrného rozložení síly (což je jen teoretický
předpoklad) bude: F = G/4
F
Nosník =
Zatížení nosníku:
1)
2)
3)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
79
Nosník MUSÍ být uložený ⇒ uložení nosníku – základní typy:
1)
2)
3)
Zvláštní případy (např. ve stavitelství, ...)
Podle uložení dělíme nosníky na:
STATICKY URČITÉ
STATICKY NEURČITÉ
Nosník:
Ohyb:
Stopa ohybového mome ntu:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
80
POSOUVAJÍCÍ SÍLA T(x) A OHYBOVÝ MOMENT MO(x):
Metoda řezu (zavedl Euler):
POSOUVAJÍCÍ SÍLA:
OHYBOVÝ MOMENT:
Statické rovnice odříznuté části:
Posouvající síla:
Ohybový moment:
Princip akce a reakce:
POSTUP ZLEVA:
POSTUP ZPRAVA:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
81
Zavedení kladných s měrů jednotlivých účinků:
PŘÍKLAD (PRŮBĚH T(x) A Mo(x) METODOU ŘEZU):
P
Dáno: qo a l.
Určit: T(x), Mo (x) a Mo max .
T(x)
Mo (x)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
82
PŘÍKLAD (PRŮBĚH T(x) A Mo(x) METODOU ŘEZU):
P
Dáno: F a l.
Určit: T(x), Mo (x) a Mo max .
T(x)
Mo (x)
Vztah mezi Mo (x), T(x) a q(x) (Schwedlerova věta):
O
ODVOZENÍ:
SCHWEDLEROVA VĚTA
Výhody:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Nevýhody:
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
83
PŘÍKLAD (PRŮBĚH T(x) A Mo(x) SCHWEDLEROVOU VĚTOU):
Dáno: qo a l.
Určit: T(x), Mo (x) a Mo max .
T(x)
Mo (x)
DŮSLEDKY PLATNOSTI SCHWEDLEROVY VĚTY:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
84
TABULKA (ZÁKLADNÍ TYPY NOSNÍKŮ – 3×3):
Osamělá síla F
T
Osamělý moment M
l=a+b
Spojité zatížení qo
l=a+b
F
M
a
b
a
qo
l
b
+q o ⋅l/2
+F⋅b/l
+M/l
+F⋅a ⋅b/l
+q o ⋅l 2 /8
–F⋅a/l
–q o ⋅l/2
+M⋅a/l
–M⋅b/l
M
F
qo
l
l
l
0
–q o ⋅l
–M
–q o ⋅l 2 /2
–F
–F⋅l
M
F
l
l
a
qo
l
a
+q o ⋅a
+F
–F⋅a/l
–M/l
–F⋅a
a
–q o ⋅a2 /(2⋅l)
–M
–q o ⋅a2 /2
Poznámka:
Jako jste se zhruba ve třetí tř ídě naučili vyjmenovaná slova po B, F, L, M, P, S, V a Z (a těch je podstatně v íc než 9), je velice
výhodné se naučit těchto devět případů „vyjmenovaných“ nosníků s jejichž pomocí lze sestavit prakticky jakékoliv běžné zatížení
nosníku. Vzpomeňte na zákon o superpozici defor mací v elastickém stavu, který jsme zavedli na začátku jako jeden ze
základních principů řešení úloh v pružnosti a pevnosti (výsledný průběh posouvající síly T(x) resp. ohybového momentu Mo (x)
lze získat součtem průběhů určených od jednotlivých silových účinků).
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
85
NAPĚTÍ PŘI OHYBU:
Prostý ohyb – platí Bernoulliho hypotéza
ODVOZENÍ:
O
BERNOULLIHO HYPOTÉZA ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ PŘI OHYBU
Poloha neutrálné osy on :
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
86
Sklon neutrální osy on :
Rozdělení ohybových napětí = co to je „c“:
Extrémy ohybových napětí:
PEVNOSTNÍ PODMÍNKA PŘI OHYBU:
Průřezový modul v ohybu [m3 ] resp. [mm3 ] – !!!NENÍ ADITIVNÍ!!!
Nevýhodné profily
Výhodné profily
PRŮŘEZOVÉ MODULY V OHYBU Woz :
∅D
h
∅d/∅ D
b
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
87
Nosník stálé pevnosti:
ODVOZENÍ:
O
DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI OHYBU:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
88
ODVOZENÍ:
O
VLIV POSOUVAJÍCÍ SÍLY T(x) – Žuravského vzorec
Vliv T(x) je většinou malý a ve výpočtech ho zanedbáváme, ale musíme být schopni ho
popsat, abychom mohli rozhodnout, kdy ho skutečně můžeme zanedbat.
Rozložení smykových napětí po průřezu (Žuravskij) – řešíme obdélník h ≥ 2⋅b:
Předpoklady:
1)
2)
Odvození vychází z rovnováhy odříznuté části průřezu:
Aplikace na obdélník b × h:
Obdobné výpočty i pro jiné profily:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
89
Důsledky uvažování smykových napětí:
SMYKOVÉ ČÁRY:
ODVOZENÍ:
O
DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI SMYKU OD T(x) – pro obdélník b × h:
Další profily (bez odvození):
y
y
∅D
Kruhový profil : β =
z
30
≈ 1, 1
27
Rozměry dle
normy
z
I-profily: β = 2,4 ÷ 3,8
Obecný vzorec pro nosníky neproměnného průřezu o ploše A:
β=
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
A
S2
⋅
⋅ dA
J z2 ( ∫A) b( y ) 2
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
90
VSUVKA
DEFORMAČNÍ ENERGIE - SHRNUTÍ
Probrány všechny základní způsoby namáhání:
Základem výpočtu je hustota deformační energie, která vychází (za použití Hookova zákona) ve tvaru:
1 σ2 1
= ⋅ E ⋅ε 2
2 E 2
1
2
λσ = ⋅ σ ⋅ ε = ⋅
1
2
λτ = ⋅ τ ⋅ γ =
resp.
1 τ2 1
⋅ = ⋅G⋅γ2 .
2 G 2
TABULKA (DEFORMAČNÍ ENERGIE OD JEDNOTLIVÝCH ÚČINKŮ):
T
DEFORMAČNÍ ENERGIE OD ZÁKLADNÍCH TYPŮ NAMÁHÁNÍ PRUTU DÉLKY l
Namáhání
Zatížení
Tah/tlak
N(x)
Modul pružnosti
Průřezová charakteristika
∫ dA
A=
1
N 2 (x )
UN = ⋅ ∫
⋅ dx
2 (l ) E ⋅ A( x)
( A)
síla
plocha
E
modul v tahu
Ohyb
Celková deformační energie
Jz =
Mo (x )
∫y
2
⋅ dA
2
UMo =
( A)
moment
osový kvadratický moment
Krut
Jp =
MK(x )
2
⋅ dA
2
UMK
( A)
moment
polární kvadratický moment
G
modul ve smyku
Smyk
∫ρ
A=
T(x )
∫ dA
1
M ( x)
= ⋅∫ K
⋅ dx
2 ( l )G ⋅ J p ( x)
β
T 2 (x )
UT = ⋅ ∫
⋅ dx
2 ( l )G ⋅ A( x)
( A)
síla
1
M (x )
⋅∫ o
⋅ dx
2 ( l ) E ⋅ J z ( x)
plocha
Pozor při sčítání jednotlivých energií
V případě shodného typu napětí (např. při kombinaci tahu a ohybu) musí pro výslednou energii U platit:
U celk . = U N + U Mo + U N , Mo ,
protože výsledné napětí je dáno jako součet a energie závisí na kvadrátu tohoto součtu:
(σ
N
+ σMo
)
2
= σ N2 + σ M2 o + 2 ⋅ σ N ⋅ σ M o .
!!!POZOR!!! Celková energie není prostým součtem dílčích energií:
)
U celk. ≠ U N + U Mo .
Naopak při kombinaci různých typů napětí (např. při kombinaci tahu s krutem nebo kombinaci ohybu se
smykem) můžeme energie U od jednotlivých účinků sčítat, protože normálová napětí a smyková napětí
nejsou spolu vázána:
U celk . = U N + U M K
resp. U celk . = U Mo + U T
POHÁDKOVÉ A MATEMATICKÉ INTERMEZZO
)
M
Zde si opět připomeňte pohádku o dědkovi, bábě, vnučce, psovi, kočce a myši, jak tahali řepu!
A nebo si vzpomeňte na součtové vzorce: (a + b)2 = a2 + 2⋅a⋅b + b2 a (a – b)2 = a2 – 2⋅a⋅b + b2 .
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
F
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
91
DEFORMACE NOSNÍKŮ:
Deformace:
1) ANALYTICKÝ
DVA PŘÍSTUPY ŘEŠENÍ:
2) ENERGETICKÝ
1a) DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (Bernoulli):
ODVOZENÍ:
O
(BERNOULLIHO) DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY
(nebudeme již uvažovat vliv posouvající síly resp. smyku)
Vztah pro napětí:
Hookův zákon:
Definice osové deformace:
Definice křivosti (z analytické matematiky):
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
92
Tato rovnice (Bernoulliova) vyhovuje většině nosníků „normálních“ rozměrů. Pokud však bude nosník
extrémně dlouhý (l >> h) jako jsou např. planžety, budou i deformace velké, křivka již nebude plochá a
k řešení těchto případů bude třeba použít složité eliptické integrály, což zjevně překračuje rozsah tohoto
předmětu i možnosti aplikace matematických nástrojů z 1. ročníku.
Postup řešení:
1.
2.
3.
4.
1b) ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (spojení Bernoulliho rovnice
průhybové čáry se Schwedlwrovou větou jako první provedl Euler):
ODVOZENÍ:
O
ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY
Schwedlerova věta:
Bernoulliho diferenciální rovnice průhybové čáry:
Postup:
1.
2.
3.
4.
V obou případech je jedním z nejdůležitějších okamžiků výpočtu sestavení „správných“ okrajových
podmínek, které odpovídají jednak způsobu uložení a jednak způsobu zatížení řešeného nosníku.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
93
TABULKA (ZÁVĚRY MATEMATICKÉ ANALYZY DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE):
Veličina
[rozměr]
T
Proč?
Je rovna nebo odpovídá
v(x)
[mm]
v I(x)
[1] ≡ [rad]
v II(x)
[mm–1 ]
v III(x)
[mm–2 ]
v IV(x)
[mm–3 ]
PŘÍKLAD (ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ DEFORMACÍ NOSNÍKU):
Dáno: qo , l, E⋅Jz = konst.
Určit: v(x) a ϕ(x)
Bernoulliho diferenciální rovnice
Úplná diferenciální rovnice
průhybové čáry přímého nosníku
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
(pro v nebo ϕ)
94
Okrajové podmínky:
1.
1.
2.
2.
Odkud vychází:
3.
(pro v, ϕ, Mo nebo T)
4.
Odkud vychází:
Hledané funkce jsou:
Hledané funkce jsou:
Mám-li hotové analytické řešení v(x), ϕ(x), Mo (x) nebo T(x), stačí do rovnic pouze dosadit souřadnici
x ∈〈0 ; l〉 a je to! Dostáváme přímo velikost hledané veličiny v místě „x“.
Např. uprostřed nosníku, kde x = l/2 vychází:
3
 l 4

 l
3 l
l
⋅






l
⋅
4
q
2
2
2  = 5 ⋅ qo ⋅ l
v(l / 2) = o ⋅    −   +
E ⋅ J z  24
12
24  384 E ⋅ J z




a pro kontrolu:
[N ⋅ m−1 ⋅ m4 ]
= [m]
[N ⋅ m− 2 ⋅ m4 ]
2
  l 3

 l
l
⋅
 
 
3
q
l
q ⋅ l3
2
2
ϕ(l / 2) = o ⋅    −   +  = 0 ⋅ o = 0
E ⋅ Jz  6
4
24
E ⋅ Jz




a pro kontrolu:
  l   l 2 
l⋅    
q ⋅ l2
2
2
M o (l / 2) = qo ⋅    −    = o
 2
2 
8




a pro kontrolu:
[ N ⋅ m −1 ] ⋅ [m 2 ] = [N ⋅ m ]
 l  l 
T ( l / 2) = qo ⋅  −   = 0 ⋅ qo ⋅ l
 2  2 
a pro kontrolu:
[ N ⋅ m −1 ] ⋅ [m] = [N]
[N ⋅ m−1 ⋅ m3 ]
= [1]
[N ⋅ m − 2 ⋅ m4 ]
[1] ≡ [rad]
Řešením úplné diferenciální rovnice dostávám úplně všechno, ale je to úplně nejpracnější způsob!!
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
95
PŘÍKLAD (ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PR. ČÁRY):
Dáno: qo , l, E⋅Jz = konst.
Určit: v(x) a ϕ(x)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
96
PŘÍKLAD (ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PR. ČÁRY):
x
P
Dáno: qo , l, E⋅Jz = konst.
q o Určit: v(x) a ϕ(x) a dále maximální průhyb tohoto nosníku
Řešení:
Rovnice popisující spojité zatížení bude shodná s předchozím příkladem:
l
q
q ( x) = o ⋅ x ,
l
a tedy i úplná diferenciální rovnice včetně řešení postupnou integrací bude shodná s předchozím příkladem:
1
q
⋅ o ⋅x
E⋅ Jz l
M
.
1
qo x 5
x3
x2
v (x ) =
⋅ ⋅
+ K1 ⋅ + K 2 ⋅ + K 3 ⋅ x + K4
E ⋅ J z l 120
6
2
vIV ( x) =
Řešení se začne odlišovat až při sestavování okrajových podmínek, které musí popsat rozdílný způsob
uložení tohoto nosníku od nosníku z předchozího příkladu:
Okrajové podmínky:
1. v(0) = 0,
2. Mo (0) = 0,
3. v(l) = 0
4. Mo (l) = 0
Řešením těchto okrajových podmínek dostáváme:
Z 1. okrajové podmínky: K4 = 0 .
Z 2. okrajové podmínky: K2 = 0 .
qo
l
⋅ .
E⋅Jz 6
Ze 4. okrajové podmínky:
K1 = −
Ze 3. okrajové podmínky:
7 ⋅ l3
K3 = +
⋅
.
E ⋅ J z 360
qo
Výsledné funkce tedy jsou:
v (x ) =
qo
360 ⋅ E ⋅ J z
3⋅ x5

⋅
− 10 ⋅ l ⋅ x 3 + 7 ⋅ l 3 ⋅ x 
 l

.
qo
15 ⋅ x

⋅
− 30 ⋅ l ⋅ x 2 + 7 ⋅ l3 
360 ⋅ E ⋅ J z  l

Maximální průhyb vmax - extrém funkce v(x) – musí nastat tam, kde je první derivace rovna nule:
ϕ ( x) = v I ( x) =
qo
v ( xextr. ) = 0 ⇒ 0 =
360 ⋅ E ⋅ J z
I
4
4
15 ⋅ xextr
2
3
.
⋅
− 30 ⋅ l ⋅ xextr
. + 7 ⋅l 
 l

⇒
xextr. I, II = l ⋅ 1 ± 0,7303 .
První řešení x extr. = 1,3154⋅l nemá smysl, protože je mimo nosník: x extr. ∉〈 0 ; l〉.
Možné je tedy jen druhé řešení x extr. = 0,5193⋅l, které splňuje podmínku: xextr. ∈〈 0 ; l〉.
Maximální průhyb tohoto nosníku tedy bude ve vzdálenosti 0,5193⋅l od levé podpěry jeho velikost je:
vmax = v ( xextr ) =
[
]
qo ⋅ l 4
q ⋅l4
⋅ 3 ⋅ 0,51935 −10 ⋅ 0,51933 + 7 ⋅ 0,5193 ≈ 0,006522767 ⋅ o
.
360 ⋅ E ⋅ J z
E⋅ Jz
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
97
PŘÍKLAD (BERNOULLIHO DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PR. ČÁRY):
Dáno: F, (l), a, b, E⋅Jz = konst.
Určit: v(x) a ϕ(x).
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
98
Deformační energie a průhyb a natočení nosníků
(vektorový – Newtonský – přístup je nahrazen skalárním)
2a) MOHRŮV INTEGRÁL
(aplikace Castiglianovy věty na energii při ohybu):
Castiglianova věta:
Deformační energie při ohybu:
PŘÍKLAD (MOHRŮV INTEGRÁL):
P
Dáno: F, l, E⋅Jz = konst.
Určit: v F a ϕF (průhyb a natočení pod silou F)
Pro určení v F by šlo přímo použít Castiglianovu větu:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
99
PŘÍKLAD (MOHRŮV INTEGRÁL):
P
Dáno: M, l, E⋅Jz = konst.
Určit: ϕA (natočení v podpěře A)
P
PŘÍKLAD (MOHRŮV INTEGRÁL):
A
C
B
l
l/2
x
x
I
(I)
RA
vc
qo
Mo (x)
II
Dáno: qo , l, E⋅Jz = konst.
Určit: v c (natočení v krajním bodě C)
Řešení:
Vzhledem k rozdílným funkcím popisujícím jak Mo tak i
mo v levé a pravé části nosníku musíme také řešení pomocí
Mohrova integrálu provést ve dvou polích I a II.
Pro popis momentu v I. poli zleva nám stačí znát jen RA:
I. x ∈ 〈0 ; l〉 :
RB
Mo (II)(x)
"1"
mo(I)(x)
Mo (I)(x) = RA⋅x – qo ⋅x2 /2 = qo ⋅(l ⋅x – x2 )/2
mo(I)(x) = – "1"⋅x/2
II. x ∈ 〈0 ; l/2〉 : Mo (II)(x) = 0
mo (II)(x) = – "1"⋅x
mo(II)(x) Nyní již tyto funkce dosadíme do Mohrova integrálu:
1
vC =
E⋅ Jz
 l  q
⋅ ∫  o ⋅ l ⋅ x − x 2
 0  2
(
)
=−
x
 
 ⋅ −"1"⋅ 2  ⋅ dx +
∫ [0] ⋅ [−"1"⋅x ]⋅ d x  =
l 2

0

..... qo ⋅ l
⋅
..... E ⋅ J z
4
Znaménko „–“ ve výsledku znamená, že skutečný směr deformace v c bude právě opačný než byl zvolený
směr jednotkové síly – deformace tedy nebude dolů ale nahoru (je v souladu s logikou deformace tohoto
nosníku, kterou jsme předpokládali na začátku).
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
100
PŘÍKLAD (MOHRŮV INTEGRÁL):
P
Dáno: qo , l, E⋅Jz = konst.
Určit: v C ϕA (průhyb uprostřed nosníku a natočení v podpěře A)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
101
2b) GRAFICKO ANALYTICKÁ METODA
(Vereščaginova metoda výpočtu Mohrova integrálu):
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
102
MATEMATICKÉ INTERMEZZO
M
TABULKA (PŘÍKLADY NĚKTERÝCH TVARŮ – OBSAHY A POLOHY TĚŽIŠTĚ):
T
Tvar
xT
xT
T
xT
b
b
xT
xT
b
T
xT
T
2°
xT
b
V
T
xT
n°
xT
V
V
b T
xT
n°
a
a
a
a
a
Plocha
a ⋅b
1
⋅a ⋅b
2
1
⋅a ⋅b
3
1
⋅a⋅b
n +1
n
⋅a⋅b
n +1
xT
1
⋅a
2
1
⋅a
3
1
⋅a
4
1
⋅a
n+2
n +1
⋅a
2 ⋅ (n + 2 )
xT
1
⋅a
2
2
⋅a
3
3
⋅a
4
n +1
⋅a
n+2
n +3
⋅a
2 ⋅ (n + 2 )
PŘÍKLAD (VEREŠČ AGINOVO PRAVIDLO):
P
Dáno: F, l, E⋅Jz = konst.
Určit: v F a ϕF (průhyb a natoč ení pod silou F)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
F
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
103
PŘÍKLAD (VEREŠČAGINOVO PRAVIDLO):
P
Dáno: M, l, E⋅Jz = konst.
Určit: ϕA (natočení v podpěře A)
PŘÍKLAD (VEREŠČAGINOVO PRAVIDLO):
P
Dáno: qo , l, E⋅Jz = konst.
Určit: v Ca ϕC (průhyb a natočení v místě C).
Tabulka výpočtu průhybu v C:
i
AMi
mTi vC
AMi ⋅ mTi vC
1
2
3
vC =
1
⋅
E ⋅ Jz
Tabulka výpo čtu natočení ϕ C:
i
AMi
mTiϕC
AMi ⋅ mTi ϕC
1
2
3
ϕC =
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
1
⋅
E ⋅ Jz
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
104
PŘÍKLAD (VEREŠČAGINOVO PRAVIDLO):
P
Dáno: qo , l, E⋅J1 , E⋅J2
Určit: v C a ϕC (průhyb a natočení v místě C).
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
105
SOUČINITELE PODDAJNOSTI PŘI OHYBU (příčinkové činitele):
Vzájemnost prací ) = základní princip P&P
ODVOZENÍ:
BETTIHO VĚTA
1. nejprve F v bodě M a pak Q v bodě N
O
2. nejprve Q v bodě N a pak F v bodě M
PRO DVA OBECNÉ SILOVÉ SYSTÉMY F A Q PLATÍ PRINCIP VZÁJEMNOSTI PRACÍ
DVOU SYSTÉMŮ SIL PŘI PŘETVÁŘENÍ PRUŽNÉHO TĚLESA:
Výpočet pomocí PODDAJNOSTÍ δ ij:
MAXWELLOVA VĚTA O VZÁJEMNOSTI POSUVŮ:
Výhodné využití při řešení nosníků (poddajnosti nahrazujeme „příčinkovými činiteli“):
mm 
η ij 
...

 N 
1
ψ ij  
...
N
mm 
η ij 
 ...
 N ⋅ mm 
1 
ψ ij 
 ...
 N ⋅ mm 
v roce 1864 odvodil tento princip pro dvě síly James Clerk Maxwell (1831 – 1879) a následně ho v roce 1872 zobecnil
Enrico Betti (1823 – 1892).
) Již
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
106
Využití a výpočty příčinkových činitelů:
1. systém představuje jednotkový účinek v místě hledané deformace
2. systém představuje soustava ostatních sil F1 ... Fn
Skutečný nosník:
Výpočet např. ηC1
x2
x
K výpočtu ηC1 užijeme Mohrův integrál:
x1
1
A
B
C
Mo (x)
Mo (x) Mo (x2 ) Mo (x 1 )
"1"

 l/ 2  1
 1 

 ∫  ⋅1 ⋅ x1  ⋅  ⋅ x1  ⋅ d x1 +
 2 

 0 3
2 ⋅l / 3


1 
l
 
1
 1

η C1 =
⋅ + ∫  ⋅1⋅ x2  ⋅  ⋅ x2 − 1⋅  x 2 −  ⋅ d x2  + = ...
E ⋅ J z  l/ 2  3
2
 2

 
 l/ 3 2

1
+  ⋅ 1⋅ x  ⋅  ⋅ x  ⋅ dx

 ∫0  3

 2 
Odkud vychází:
mo (x)
mo (x) mo (x2 ) mo (x 1 )
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
η C1 =
25
l3
⋅
.
1944 E ⋅ J z
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
107
STATICKY NEURČITÉ NOSNÍKY ):
Přímý nosník zatížený rovinným ohybem = ROVINNÉ TĚLESO ⇒ má TŘI stupně volnosti (třetím stupněm
volnosti je posun u(x) ve vodorovném směru x, který je tak malý, že ho nebudeme uvažovat).
Pro nosník lze ale napsat pouze DVĚ NEZÁVISLÉ statické rovnice, protože složková rovnice do směru x je
splněna automaticky ΣFx: 0 = 0 (většinou používáme složkovou rovnici do směru y a jednu momentovou
nebo používáme dvě momentové rovnice).
neuvažujeme
Volný
konec:
Kloubová
podpěra:
neuvažujeme
Posuvná
podpěra:
Pevné
vetknutí:
OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ:
0. rozhodnutí
1. uvolnění
2. nahrazení
3. doplnění
4. řešení
Silové účinky nahrazující odebrané vazby a deformační podmínky:
- bez uvažování horizontálních sil (ΣFx : 0 = 0)
Posuvná podpěra:
Kloubová podpěra:
Vetknutí:
) Někteř í autoři používají u
všech staticky neurčitých úloh univerzální definici: „Ve staticky neurčité úloze je v íce neznámých
silových účinků než kolik jsme schopni sestavit nezávislých statických rovnic“.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
108
PŘÍKLAD (STATICKY NEURČITÝ NOSNÍK):
P
Dáno: qo , l, E⋅Jz = konst.
Určit: Mo (x) (průběh momentu po celé délce prutu).
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
109
Nyní vyřešíme tentýž příklad, ale při použití „vhodnějšího“ uvolnění.
Tímto uvolněním sice porušíme původní symetrii, ale vzniklé plochy budou jednodušší.
Uvolnění v podpěře C – nahrazení reakcí RC – doplnění deformační podmínky v C = 0.
qo
A
vC =
C
B
5
1
⋅ ∑ AMi ⋅ mTviC = 0 (dle Věreščagina)
E ⋅ J z i=1
AMi
mTi vB
2
q ⋅ l2
⋅ l ⋅ (+ o
)
3
8
1
q ⋅ l2
⋅ l ⋅ (− o
)
3
2
1
q ⋅ l2
⋅ l ⋅ (− o
)
2
2
1
⋅ l ⋅ ( + R C ⋅ l)
2
1
⋅ l ⋅ ( + R C ⋅ l)
2
1
⋅ ( +"1"⋅l)
2
3
⋅ (+"1"⋅l)
4
2
⋅ (+"1"⋅l)
3
2
⋅ ( +"1"⋅l)
3
2
⋅ (+ "1"⋅l)
3
i
RC
+q o ⋅l /8
2
1
2
– q o ⋅l /2
2
3
+RC⋅l
4
5
"1"
+"1"⋅l
AMi ⋅ mTi vB
1
⋅ qo ⋅ l 4
24
1
− ⋅ qo ⋅ l 4
8
1
− ⋅ qo ⋅ l4
6
1
+ ⋅ RC ⋅ l 3
3
1
+ ⋅ RC ⋅ l 3
3
+
Výsledný tvar deformační podmínky po dosazení z tabulky bude:
vC =
1
2
 6

⋅  − ⋅ q o ⋅ l 4 + ⋅ RC ⋅ l 3  = 0 .
E ⋅ J z  24
3

Pro reálný pružný nosník musí platit E⋅Jz ≠∞ , a proto bude:
−
6
2
⋅ qo ⋅ l 4 + ⋅ R C ⋅ l 3 = 0
24
3
x
⇒
3
RC = + ⋅ qo ⋅ l .
8
Pro vyjádření momentu budeme postupovat zprava od známého RC. I
když bychom mohli znovu „oprášit“ symetrii a říci, že svislá reakce RA
v bodě A musí být stejná jako RC.
M o ( x ) = + RC ⋅ x − qo ⋅
x2
 3
x2 
= qo ⋅  + ⋅ l ⋅ x −  .
2
2 
 8
Pozici extrému Mo max určíme pomocí derivace:
dM o ( x )
x
 3
= 0 ⇒ qo ⋅  + ⋅ l − 2 ⋅  = 0
dx
2
 8
3
8
⇒ xextr. = ⋅ l ⇒ M o ( xextr. ) =
1
⋅ qo ⋅ l 2 .
128
A ještě dopočítáme místo nulového momentu:
M o ( x1 ) = 0
⇒
 3
x12 

qo ⋅  + ⋅ l ⋅ x1 −  = 0
2 
 8
⇒
x1 =
3
⋅l .
4
A také velikost momentu ve střední podpěře:
 3 2 l2 
1
M o ( l) = qo ⋅  + ⋅ l −  = − ⋅ qo ⋅ l 2 .
2
8
 8
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
110
PŘÍKLAD (STATICKY NEURČITÝ NOSNÍK):
P
Dáno: qo , l, E⋅Jz = konst.
Určit: vhodně uvolněte, napište deformační podmínku
a nakreslete momentové plochy.
PŘÍKLAD (STATICKY NEURČITÉ NOSNÍKY):
qo
F
l
l
a
a
P
Dáno: qo ,(F, M), l, a, E⋅Jz = konst.
Určit: uvolněte, napište deformační podmínku
a nakreslete momentové plochy.
M
l
a
qo
+RB⋅l
RB
Všechny tři příklady je vhodné uvolnit odebráním kloubové podpěry,
jejím nahrazením osamělou silou RB a připojením deformační podmínky vB = 0, která zaručí shodné chování uvolněné i původní soustavy.
F
M
vB = 0
vB = 0
vB = 0
RB
RB
+RB⋅l
+RB⋅l
–qo ⋅a⋅(a/2+l)
–F⋅(a+l)
–M
+qo ⋅a2 /4
+F⋅a/2
+M/2
–qo ⋅a2 /2
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
–F⋅a
–M
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
111
Zde si předvedeme různá řešení první varianty – vždy ale s použitím jiného způsobu uvolnění:
1. uvolnění v podpěře B – nahrazení reakcí RB – doplnění deformační
qo
podmínky vB = 0.
B
A
RB
3
+RB ⋅l
1
vB =
⋅ ∑ AM i ⋅ mTviB = 0 .
E ⋅ J z i =1
a
q ⋅a2
– q o ⋅a⋅( /2+l)
–
/2
o
Při dosazení podle tabulky bude:
"1"
+"1"⋅l
1 1
1
1
1

⋅  ⋅ RB ⋅ l 3 − ⋅ qo ⋅ a 2 ⋅ l 2 − ⋅ a 2 ⋅ l2 − ⋅ a ⋅ l 3  = 0 .
E ⋅ Jz  3
12
6
3

i
AMi
mTi vB
AMi ⋅ mTi vB
1
1
⋅ l ⋅ (+ RB ⋅ l)
2
2
⋅ ( +"1"⋅l)
3
1
2
⋅ l ⋅ ( + RB ⋅ l) ⋅ ⋅ (+ "1"⋅l)
2
3
2
1

a2 
⋅ l ⋅  − qo ⋅ 
2
2

1
⋅ ( +"1"⋅l)
3
1

a2  1
 ⋅ ⋅ ( + "1"⋅l )
⋅ l ⋅  − qo ⋅
2
2  3

3
1 
a

⋅  − qo ⋅ a ⋅  + l  ⋅ l
2 
2

2
⋅ (+"1"⋅l)
3
1 
2
a

⋅  − qo ⋅ a ⋅  + l   ⋅ l ⋅ ⋅ (+"1"⋅l)
2 
3
2

Pro
E⋅Jz ≠∞
1
1
1
⋅ R B ⋅ l 3 = ⋅ qo ⋅ a 2 ⋅ l 2 + ⋅ qo ⋅ a ⋅ l 3 ⇒
3
4
3
bude:
 3 a
RB = qo ⋅ a ⋅ 1 + ⋅  .
 4 l
3 2 1 2
1
a



2
M A = + R B ⋅ l − qo ⋅ a ⋅  + l  = qo ⋅  a ⋅ l + ⋅ a − ⋅ a − a ⋅ l  = + ⋅ qo ⋅ a .
4
2
4
2



2. uvolnění v podpěře A – nahrazení momentem MA – doplnění
deformační podmínky ϕA = 0.
qo
MA
B
A
+MA
ϕA =
– q o ⋅a /2
2
1
⋅ ∑ AMi ⋅ mTϕi A = 0 .
E ⋅ J z i=1
2
"1"
Při dosazení podle tabulky bude:
1 1
1

⋅  ⋅ M A ⋅ l − ⋅ qo ⋅ a 2 ⋅ l  = 0 .
E ⋅ Jz  3
12

+"1"
AMi
mTiϕA
AMi ⋅ mTi ϕA
1
⋅ l ⋅ (+ M A )
2
1

a2 
⋅ l ⋅  − qo ⋅ 
2
2

2
⋅ (+"1")
3
1
⋅ (+"1")
3
1
2
⋅ l ⋅ (+M A ) ⋅ ⋅ (+"1")
2
3
2
1

a  1
⋅ l ⋅  − qo ⋅  ⋅ ⋅ (+"1" )
2
2  3

i
1
2
Pro
E⋅Jz ≠∞
bude:
RB =
1
1
⋅ M A ⋅ l = ⋅ qo ⋅ a 2 ⋅ l
3
12
⇒
1
M A = + ⋅ qo ⋅ a 2 .
4
 1 a2 1 a 
MA
a a

 3 a
+ qo ⋅ ⋅  + l  = qo ⋅ a ⋅  ⋅ + ⋅ + 1 = qo ⋅ a ⋅  1 + ⋅  .
l
l 2

 4 l
4 l 2 l 
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
112
7. KOMBINOVANÉ NAMÁHÁNÍ
Určete všechna zatížení a popište všechna namáhání, která působí na střední hřídel převodovky.
F O2
z
x
y
FR2
FT2
FR1
F O1
FT1
Šroubem se šestihrannou hlavou jsou spojena dvě přírubová hrdla. Vypočtěte, kolikrát se zvětší maximální
napětí ve šroubu σmax oproti nominálnímu napětí σnom, nebude-li při dotahování dodržena rovinnost
dosedacích ploch hlavy šroubu a matice – viz obrázek.
varianta I
varianta II
Tah/tlak (σ)
Krut (τ)
Ohyb (σ)
Smyk od T ( τ)
Předpoklady: 1.
2.
3.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
113
Rozdělení vnitřních účinků:
SÍLY:
MOMENTY:
Fx
Mx
Fy
My
Fz
Mz
Obvykle značíme: Fx = N ; Fy = Tz ; Fz = Tz ; Mx = MK ; My = Moy a Mz = Moz.
Normálová napětí σ :
Smyková napětí τ :
Kombinace:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
114
PROSTOROVÝ/ŠIKMÝ OHYB (OHYB + OHYB):
a) Stopa ohybového momentu St Mo NENÍ totožná ani s jednou z hlavních os setrvačnosti.
b) Neutrální osa on NEMUSÍ být kolmá ke stopě St Mo .
− OHYB −
Maximální napětí při šikmém ohybu/dimenzování:
Poloha neutrální osy:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
115
Grafická (skalární) konstrukce neutrální osy:
Pevnostní podmínka/podmínky při šikmém ohybu:
1. HOUŽEVNATÝ MATERIÁL
2. KŘEHKÝ MATERIÁL
Postup řešení:
1.
2.
a)
TAH+TAH
b)
3.
4.
TLAK+TLAK
5.
6.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
116
PŘÍKLAD (ŠIKMÝ OHYB):
P
Dáno: σD = 120 N⋅mm–2 , E = 2,1⋅105 N⋅mm–2 ,
l = 0,3 m, b = 30 mm; h = 60 mm; F = 1 000 N.
Určit: σred (a provést pevnostní kontrolu).
Deformace při šikmém ohybu:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
117
EXCENTRICKÝ TAH/TLAK (OHYB + TAH/TLAK):
a) Síla F působí kolmo k průřezu
b) Síla F nepůsobí v těžišti průřezu − působí- li na hlavní centrální ose ⇒ ROVINNÝ OHYB
− nepůsobí- li na hlavní centrální ose ⇒ ŠIKMÝ OHYB
POZOR! Neutrální osa on se posouvá mimo těžiště.
PŘÍKLAD (EXCENTRICKÝ TLAK):
Dáno: σDt = 150 N⋅mm , σDd = 200 c, a = 20 mm; F = 10 000 N.
F
z
Určit: k (bezpečnost vzhledem k dovoleným hodnotám).
y
a
Nejnamáhanější je
celá tato stěna
a
a
tlak
N
P
–2
Řešení:
1. TLAK:
N = F = 10 000 N
σt = –N/A = –F/a2 = –10 000/202 = –25 N⋅mm–2
2. OHYB (zde vzhledem k ose y):
F
ohyb
M oy = F⋅a/2 = 10 000⋅20/2 = 1⋅105 N⋅mm
σo max/min = ±Moy/Woy = ±6⋅Moy/a3 = ±75 N⋅mm–2
F
3. REDUKOVANÉ NAPĚTÍ:
(tlak): σt + σo = –25 – 75 = 100 N⋅mm–2
σred =
(tah): σt – σo = –25 –(–75) = +50 N⋅mm–2
TLAK
St Mo
TAH
4. PEVNOSTNÍ KONTROLA:
Tah: k t = σDt/σred (tah) = 150/50 = 3,0
Tlak: k d = σDd /σred (tlak) = 200/100 = 2,0
⇒ k = min(k t ; k d) = 2,0
on
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
118
OHYB + KRUT
Budeme řešit jen kruhový nebo mezikruhový průřez, kde jsou poměrně jednoduché vztahy pro
výpočet smykových napětí τ.
TLAK+SMYK
TAH+SMYK
Rovinná napjatost:
Teorie (hypotézy) pevnosti:
σ MAX:
MOHR:
τ MAX:
Energetická (H.M.H.):
Houževnatý materiál – úprava vztahů pro kruhový a mezikruhový průřez:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
119
TAH/TLAK + KRUT
Budeme opět řešit jen kruhový nebo mezikruhový průřez, kde jsou poměrně jednoduché vztahy
pro výpočet smykových napětí τ.
TAH+SMYK
Rovinná napjatost:
Teorie (hypotézy) pevnosti (jen pro houževnatý materiál):
τ MAX:
Energetická (H.M.H.):
Úprava vztahů pro kruhový a mezikruhový průřez:
Praktický postup:
1.
2.
3.
4.
a)
b)
c)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
120
PŘÍKLAD (OHYB A KRUT):
P
Dáno: σD = 200 N⋅mm , F = 1 000 N, a = 500 mm;
l = 1 000 mm.
–2
Určit: ∅dD (dovolený – vyhovující – průměr hřídele).
PŘÍKLAD (TAH A KRUT):
P
Dáno: σD = 70 N⋅mm , m = 500 kg, MK = 6 000 N⋅mm.
–2
Určit: ∅dD (dovolený – vyhovující – průměr hřídele).
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
121
8. NAMÁHÁNÍ PŘI PROMĚNLIVÉM ZATÍŽENÍ
(tvarová pevnost, únava, …)
Vypočtěte bezpečnost ramena stěrače čelního skla osobního automobilu s ohledem na jeho
cyklické namáhání. Rameno je vyrobené z oceli o
mezi kluzu σKo = 240 MPa a mezi únavy
σco = 120 MPa. Rozměry jsou patrné z obrázku.
Přítlačná síla vyvolaná pružinou mechanismu
stěrače je P = 12 N a součinitel tření v kontaktu
stírátka a čelního skla je f = 0,9.
P
T
10
6
240
FIAT Miltipla 2006 / 1956
Drážkovaný převodový hřídel s přímými boky je vyroben soustružením a broušením z oceli 11 550 (Rm ≈ 550 MPa a
Re ≈ 300 MPa). Určete výslednou bezpečnost na únavu (vůči „nekonečné“ životnosti) tohoto hřídele, jsou-li rozměry:
osazení d = 25 mm; D = 35 mm; r = 1 mm a drážkování dP = 28 mm. Hřídel je zatížen cyklickým krouticím
momentem, který má horní hodnotu Mkh = 2⋅105 N⋅mm a dolní hodnotu Mkn = 0,8⋅105 N⋅mm.
drážkování
osazení
Únavový lom:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
122
MIKROSKOPICKÉ TRHLINY:
Fyzika kovů:
Praktické zkoušky:
August Wöhler )
Dosavadní předpoklady řešení příkladů P&P:
1. STATICKÉ (quazistatické) ZATEŽOVÁNÍ
2. STÁLÝ PRŮŘEZ SOUČÁSTI bez náhlých změn
3. IDEÁLNÍ MATERIÁL (homogenní se známými vlastnostmi)
Cyklické zatěžování:
Opakující se zatížení nahrazujeme ekvivalentním HARMONICKÝM zatěžováním.
Součinitel nesouměrnosti cyklu:
) Německý technik August Wöhler (1819 – 1914) pracující pro německé dráhy a byl synem známého
chemika Friedricha Wöhlera. Svoji teorii únavového poškození poprvé představil v roce 1858.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
123
Typy zatížení:
R=1
R ∈(1 ; 0)
R=0
STATICKÉ
(quazistatické)
PULZUJÍCÍ
MÍJIVÉ
R ∈(0 ; −1)
R = −1
STŘÍDAVÉ
nesymetrické
STŘÍDAVÉ
symetrické
Dva zvláštní případy:
MÍJIVÝ
STŘÍDAVÝ SYMETRICKÝ
(tento cyklus zkoušel Wöhler)
Základní data pro výpočty jsou získávány z materiálových zkoušek, které jsou normalizovány obdobně jako
zkoušky statické. Jejich výsledky se využívají ke konstrukci DIAGRAMŮ, ze kterých se pak odečítají
hodnoty pro výpočty součástí podrobených cyklickému zatížení.
DIAGRAMY:
STŘÍDAVÉ SYMETRICKÉ ZATÍŽENÍ
1. Wöhlerův diagram ≡ Wöhlerovy křivka
např. dural
Poznámka:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
Co vlastně znamená 1⋅⋅107 cyklů?
124
u osobního automobilu při předpokládané životnosti 15 let musíme zavřít 1 825krát denně dveře
u osobního automobilu při průměrných otáčkách motoru n = 4 000 ot⋅min-1 to je
asi 3 300 min ≈ 55 hodin provozu
u závodního motocyklu Yamaha YZR M1 nebo závodního vozu Ferrari
F 2012 při průměrné zátěži motoru během závodu n = 14 000 ot⋅min -1 to je
jen cca 12 hodin provozu
u podvozku dopravního letadla při průměrných 10- ti přistáních za jeden den to
je neuvěřitelných 2 738 let(?!)
u stěrače čelního skla při frekvenci 1 cyklus/sekundu to je 115 dnů
nepřetržitého provozu nebo při běžně ujeté vzdálenosti 20 tis km/rok
průměrnou rychlostí 60 km⋅hod-1 a cca 1/3 v dešti to je přibližně 25 let
PULZUJÍCÍ ZATÍŽENÍ: (vše se sestavuje pro trvalou životnost N → ∞)
Upravený Wöhlerův diagram ≡ upravená Wöhlerovy křivka
R = 0,5
R = −1
Tento diagram se k praktickým výpočtům využívá minimálně!
2. Haighův diagram – závislost mezní amplitudy σA na středním napětí σm :
σA = f(σm )
1) HOUŽEVNATÝ MAT.:
2) KŘEHKÝ MATERIÁL.:
3) LITINA (vyhovující):
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
125
Střídavé symetrické
Míjivé
Střídavé nesymetrické
Pulzující
Statické
Upravený Haighův diagram pro jednodušší konstrukci:
R = −1
R ∈(-1 ; 0)
R=0
R ∈(0 ; 1)
R=1
Pokud neznám součinitel ψ, tak mohu použít přibližné hodnoty podle pevnosti materiálu typu namáhání.
T
TABULKA (PŘIBLIŽNÉ HODNOTY SOUČINITELE ψ = tgα):
Pevnost v tahu σPt [N⋅mm–2 ]
tah/tlak, ohyb
krut
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
350 - 550
0,10
0,05
550 - 750
0,15
0,10
750 – 1 000
0,20
0,10
1 000 – 1 200
0,25 ÷ 0,30
0,10 ÷ 0,15
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
126
3. Smithův diagram
– závislost mezní amplitudy σA na středním napětí σM : σA = f(σM)
(podle Philips Hagara Smitha)
Zjednodušený Smithův diagram pro jednodušší konstrukci:
Pokud neznám součinitel ψ, tak mohu použít přibližné hodnoty podle pevnosti materiálu typu namáhání.
TABULKA (PŘIBLIŽNÉ HODNOTY SOUČINITELE ψ ):
Materiál
tah/tlak, ohyb
krut
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Uhlíková ocel
nízkopevná
vysokopevná
0,15
0,10
0,20
0,10
T
Chromová ocel
Legovaná ocel
0,25 ÷ 0,30
0,10
0,30
0,15 ÷ 0,20
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
127
Vliv přetížení – zohledníme ve Wöhlerově diagramu tzv. FRENCHOVOU ČÁROU
Frenchova čára je čára dovoleného přetížení při zachování původní meze únavy σ c.
KONCENTRÁTORY NAPĚTÍ (VRUBY):
Rozdělení:
1. KONSTRUKČNÍ
2. TECHNOLOGICKÉ
3. METALURGICKÉ
Součinitel tvaru α (v místě vrubu vzniká lokální změna napjatosti – napětí místně roste)
− popisuje geometrii vrubu
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
128
příznivé
⇒
Ovlivnění vrubů:
superpozice
nepříznivé
Součinitel vrubu β (v místě vrubu vzniká prostorová napjatost – okolí brání vzniku krčku)
− popisuje materiál vrubu
Při určování β zavedl A. Thum
)
pojem VRUBOVÁ CITLIVOST
Tento stav výrazně ovlivní HAIGHŮV DIAGRAM:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
129
Součinitel velikosti ε v (velikost součásti ovlivňuje „únavové“ vlastnosti součásti)
- STATISTICKY
- TECHNOLOGICKY
- ROZDĚLENÍ NAPĚTÍ
) Pojem
součinitel vrubu a vrubová citlivost zavedl jako první německý fyzik A. Thum v roce 1935.
Při výpočtu součinitele velikosti εv se využívá jak teorie tak výsledků experimentů ⇒ diagram ε V - D
Příklad srovnání obdélníkového a kruhového průřezu pomocí exponovaného objemu Vexpon ..
Vexpon. =
π ⋅ D2
4
−
π ⋅ ( 0,95 ⋅ D) 2
4
= 0,0766 ⋅ D2
Vexpon. = b ⋅ h − b ⋅ (0,95 ⋅ h ) = 0,05 ⋅ b ⋅ h
⇒ D ekv. =
0,05 ⋅ b ⋅ h
= 0,808 ⋅ b ⋅ h
0,0766
Součinitel jakosti povrchu η P (povrchová vrstva a její stav je d ůležitý pro nukleaci defektu)
Únavové zkoušky – LEŠTĚNÝ POVRCH.
ÚPRAVY POVRCHU
Pro zlepšení únavových vlastností používáme:
- MECHANICKÉ ÚPRAVY
- CHEMICKÉ ZPRACOVÁNÍ
- NAPĚŤOVÉ TESTY
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
130
Vliv koroze:
Vliv teploty:
Výpočet me ze únavy reálné součásti:
(počítáno pro neomezenou životnost N = 1⋅107 a více cyklů).
Všechny vlivy:
MÍRA BEZPEČNOSTI – trvalá pevnost součásti (neomezený život)
Minimální míra bezpečnosti:
1)
2)
3)
4)
STŘÍDAVÉ SYMETRICKÉ ZATÍŽENÍ (nejjednodušší)
PULZUJÍCÍ ZATÍŽENÍ – využijeme Haighova diagramu
3
2
1
Neznáme- li skutečný charakter zatěžování σa = f(σm ), pomáháme si ve výpočtech náhradním
PROSTÝM ZATĚŽOVÁNÍM (spojnice O – P ⇒ obě veličiny σa i σm se mění proporcionálně).
Průsečík čáry prostého zatěžování s mezní čarou je pak mezní bod M.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
131
DVOZENÍ:
BEZPEČNOST k PŘI PROSTÉM ZATĚŽOVÁNÍ V HAIGHOVĚ DIAGRAMU
O
O
ODVOZENÍ:
O
BEZPEČNOST k PŘI KOMBINOVANÉM NAMÁHÁNÍ
Nejjednodušší je střídavý symetrický ohyb + střídavý symetrický krut a prosté zatěžování:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
132
Poznámka:
Bude-li některá ze složek konstantní (např. při působení stálého ohybu Mo resp. stálého krutu MK), vzniknou v součásti pouze
napětí σom resp. τm odpovídající střední hodnotě a amplitudy σa resp. τa jsou nulové. V tomto případě nahradíme mez únavy σc×
resp. τc× mezí kluzu σK resp. τK.
2
1  σ om   τ a 
 + 
=
k 2  σ Ko   τ c× 
2
2
2
1  σ oa   τ m  .
 + 
=
k 2  σ co×   τ K 
resp.
Pokud budou obě složky statické, dostáváme známý vztah pro redukované napětí v houževnatých materiálech:
2
σ red = σ om
+ (α ⋅ τ m )2
2
2
1  σ om   τ m 
1
1
 +  = 2 + 2 .
=
k 2  σ Ko   τ K 
ko kt
⇒
PŘÍKLAD (PULZUJÍCÍ TAH):
P
Dáno: materiál – ocel, opracování, rozměry (B, b, ρ, s), Fh a R.
Určit: k (výslednou bezpečnost na únavu – nekonečný život).
Řešení:
Výpočet provedeme postupně v celkem 4 krocích.
1. KROK:
Popis zatížení: Fh ; R ⇒ Fm = Fh ⋅(1 + R)/2
Popis namáhání: σm = Fm /A = Fm /(b⋅s) a
Fa = Fh ⋅(1 – R)/2.
σa = Fa /A = Fa /(b⋅s).
a
2. KROK:
Popis materiálu: σPt ⇒ σKt ⇒ σc
Odhad pro tah/tlak: ψ = 0,2 ⇒ σF = σc/ψ.
σH
σKt
σPt
σc
TAH/TLAK
3. KROK:
Popis součásti: a) součinitel tvaru (z geometrie): α
σM
α
ρ /b
ρ /(B-b)
σPt
b) vrubová citlivost (z geometrie a podle materiálu): q
q
ρ
c) součinitel vrubu (ze součinitele tvaru a vrubové citlivosti):
β = 1+q⋅(α − 1)
d) součinitel jakosti povrchu
(ze způsobu opracování a podle materiálu): ηP
ηP
opracov ání
σPt
e) součinitel velikosti
(z ekvivalentního průměru podle exponovaného objemu): ε v
TAH/TLAK
εv
Dekv.
×
Výpočet meze únavy skutečné součásti: σc = σc⋅ηP ⋅εv /β .
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
133
4. KROK:
Výsledná bezpečnost jako menší ze dvou možných (podle dynamické čáry a podle statické čáry):
1 1
1
=
+ =
k km k a
σ m σa
+
⇒ k1
σ F σ c×
k = min (k1; k2 )
σ m σa
+
⇒ k2
σ Kt σ Kt
PŘÍKLAD (PULZUJÍCÍ OHYB A STŘÍDAVÝ SYMETRICKÝ KRUT):
Dáno: materiál – ocel 11 550, soustruženo
∅d = 100 mm; ∅ D = 120 mm; ρ = 2 mm,
MKa = 5⋅106 N⋅mm,
Mom = 5⋅106 N⋅mm a Moa = 2⋅106 N⋅mm.
Určit: k (výslednou bezpečnost na únavu – nekonečný život).
Řešení:
1. POPIS NAMÁHÁNÍ:
σH [N⋅mm –2]
2. POPIS MATERIÁLU:
1 300
–2
1 200
1 600 N⋅mm
–2
1 500 N⋅mm
–2
1 150 N⋅mm
–2
1 000 N⋅mm
1100
1 000
850 N⋅mm
900
750 N⋅mm
800
700
600
650 N⋅mm
–2
550 N⋅mm
slitinové
oceli
–2
–2
–2
uhlíkové
oceli
500
400
300
450 N⋅mm
–2
σPt = 370 N⋅mm
–2
200
100
OHYB
0
σM [N⋅mm –2]
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
134
3. POPIS SOUČÁSTI:
Součinitel tvaru α )
0
krut
αt
∞
∞
3
5
2,5
4
0
ohyb
αo
0,1
0,01
2
0,2
0,3
3
1,9
2,8
1,8
2,6
1,7
2,4
1,6
2,2
1,5
2,0
0,02
0,03
0,4
0,5
ρ
D −d
0,04
0,6
0,05
1,9
0,8
1,4
1,0
ρ
d
0,06
1,8
1,7
0,08
1,5
1,3
2,0
q [1]
Vrubová citlivost q:
1,0
σPt [N⋅mm –2 ]
0,9
1 400
0,8
700
0,7
350
1,6
0,10
1,5
3,0
4,0
5,0
1,2
1,4
1,3
1,1
0,15
0,20
1,2
0,6
0,5
0,4
odhad 550 N⋅mm –2
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
ρ [mm]
Součinitel tvaru β :
některých příručkách lze pro výpočet součinitele tvaru α najít empirické vzorce, které také využívá nástroj:
www.fatiguecalculator.com.
Z těchto výpočtů vychází: αo = 2,59 a αt = 1,94. Rozdíl oproti nomogramu tak je cca -11,5% u ohybu a cca -1,5% u krutu.
)V
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
135
ηP [1]
Součinitel jakosti povrchu ηp :
1,0
0 ... leštěný povrch
0,9
1 ... broušený povrch
0,8
2 ... jemně soustružený povrch
0,7
3 ... hrubovaný povrch
0,6
0,5
0,4
4 ... opracování s ostrými zářezy
0,3
5 ... povrch po válcování
0,2
6 ... povrch korodovaný obyčejnou vodou
0,1
7 ... povrch korodovaný mořskou vodou
300
500
700
900
1 100
1 300
1500
σPt [N⋅mm –2]
εvo, εvt [1]
Součinitel velikosti ε v:
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0
50
100
150
∅D
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
[mm]
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
136
4. VÝPOČET BEZPEČNOSTI
TABULKA (KONEČNÉ HODNOTY VŠECH KROKŮ):
krok
ohyb
T
krut
1.
2.
3.
4.
Poznámka:
Jedná se o jeden z nejrozsáhlejších výpočtů, který lze v rámci zkoušky „stihnout“. Ze zkušenosti ale v ím, že již dlouhou dobu
takto rozsáhlý příklad nebyl zadáván. Většinou jsou voleny př íklady jen na jeden způsob namáhání, a i tak jsou dost pracné a
zaberou nemalou část zkouškové písemky!!!
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
137
9. TENKOSTĚNNÉ NÁDOBY
(skořepiny)
Určete dovolený přetlak pD , který přenese plášť tenkostěnné kulové
tlakové nádoby, která má tloušťku stěny t, střední poloměr R a dovolené
namáhání σD .
Kladruby
p DHMH ≤ 2 ⋅ σ D ⋅
t
.
R
Stanovte minimální tloušťku stěny válcové části
tlakového zásobníku stlačeného vzduchu. Maximální
provozní tlak uvnitř válce je pmax = 2 MPa, střední
poloměr válcové části je rs = 300 mm.
Nádoba je vyrobena z konstrukční oceli o mezi kluzu
Re = 350 MPa. Nádoba má být navržená s bezpečností
kk = 5 vůči mezi kluzu.
Lokomotiva 163 006-0
část ov liv něná
tuhostí dna
neov liv něná
válcov á část
část ov liv něná
tuhostí dna
MEMBRÁNOVÝ STAV:
Podmínky zajištění membránového stavu:
1)
2)
3)
4)
Porušení membránového stavu:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
138
TABULKA (KONSTRUKČNÍ ŘEŠENÍ TENKOSTĚNNYCH NÁDOB):
Spojení
Vhodné řešení
Nevhodné řešení
Uložení
ROTAČNĚ SYMETRICKÉ SKOŘEPINY:
Hlavní poloměry křivosti -
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
T
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
139
NAPJATOST ROTAČNĚ SYMETRICKÉ MEMBRÁNY:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
O
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
140
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
141
PŘÍKLAD (TENKOSTĚNNÁ KULOVÁ NÁDOBA):
P
Dáno: p, R, s, E a µ
s
Určit: σ1 a σ2 (hlavní napětí vznikající v plášti nádoby)
pD (dovolený tlak podle teorie τMAX)
∆R a ∆s (změny hlavních rozměrů nádoby)
U (celkovou def. energii akumulovanou v plášti této nádoby).
R
2
Řešení:
Základem řešení je Laplaceova rovnice upravená pro předpoklady:
σ2
σ1
σ2
3
1
⇒
R1 = R2 = R
σ1
σ1 = σ2 = σ
(σ3 = 0).
(u kulové nádoby nelze rozhodnout, který směr je tečný a který směr je osový,
protože tyto podmínky kterékoliv dva navzájem kolmé směry v tečné rovině
k povrchu kulového pláště).
Po dosazení dostáváme:
σ
R
+
σ
R
=
p
s
odkud vychází σ 1 = σ 2 = σ =
p⋅R
.
2⋅s
Pevnostní podmínka podle hypotézy τMAX bude mít tvar:
σ red = σ max − σ min = σ 1 − σ 3 =
p⋅ R
p⋅R
−0=
≤σD
2⋅ s
2 ⋅s
⇒
pD ≤
2 ⋅σ D ⋅ s
.
R
(nejmenším – minimálním – napětím je v tomto případě třetí – nulové – napětí σ3 ).
Pro výpočet změn hlavních rozměrů nádoby použijeme rozšířený Hookův zákon pro rovinnou napjatost:
∆R = R ⋅ ε t =
R
p ⋅ R2
s
p⋅R
⋅ (σ1 − µ ⋅σ 2 ) =
⋅ (1 − µ ) a ∆s = s ⋅ ε r = ⋅ [− µ ⋅ (σ1 + σ 2 ) ] = −µ ⋅
.
E
2⋅ E⋅s
E
E
Celkovou deformační energii U určíme pomocí hustoty deformační energie λ a objemu V pláště nádoby
(objem pláště tenkostěnné kulové nádoby vypočteme jako V ≈ S⋅s, kde S je povrch koule a s je tloušťka):
U=
1
∫ λ ⋅ dV = λ ⋅ V =  2 ⋅ σ
(V )
1
1

⋅ ε 1 + ⋅ σ1 ⋅ ε 1  ⋅ S ⋅ s .
2

Po dosazení dostáváme:
U=
σ2
E
⋅ (1 − µ ) ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ s = 2 ⋅ π ⋅
p 2 ⋅ R4
⋅ (1 − µ ) .
E⋅ s
Na závěr provedeme rozměrovou kontrolu výsledku:
2
N
4
 m 2  ⋅ [m ]
U = [1]⋅
⋅ [1] = [N ⋅ m ] ... a je to tedy OK!
 N  ⋅ [m ]
 m 2 
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
142
PŘÍKLAD (TENKOSTĚNNÁ VÁLCOVÁ NÁDOBA):
Dáno: p, R, s, E a µ
s
Určit: a) pro otevřenou nádobu
σ1 a σ2 (hlavní napětí v plášti nádoby)
∆R a ∆s (změny hlavních rozměrů)
b) pro uzavřenou nádobu
σ1 a σ2 (hlavní napětí v plášti nádoby)
∆R a ∆s (změny hlavních rozměrů)
R
1
σ1
σ1
1
σ2
σ2
σ1
3
3
σ1
P
2
2
Řešení:
Základem řešení obou případů je Laplaceova rovnice,
Pro kterou musí platit:
R1 = R a
R2 → ∞
(σ3 = 0).
Dosazením do Laplaceovy rovnice dostáváme:
σ1
R
+
σ2
∞
=
p
s
odkud vychází v obou případech první hlavní napětí: σ 1 =
p⋅ R
.
s
Druhé hlavní napětí bude v případě otevřeného válce (př. a) nulové: σ 2 = 0 (ve stěně otevřené válcové
nádoby tak vzniká pouze jednoosá napjatost).
R
σ2
s
V případě uzavřené válcové nádoby (př. b) vypočteme druhé hlavní napětí σ2 z podmínky silové rovnováhy
do osového směru:
σ 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ s = Fp = p ⋅ π ⋅ R 2 a odtud již dostáváme: σ 2 =
p
Fp
p⋅ R
.
2⋅s
(ve stěně uzavřené válcové nádoby vzniká rovinná napjatost, kdy první hlavní napětí
je dvakrát větší než druhé: σ1 = 2⋅σ2 ).
Pro výpočet změn hlavních rozměrů nádoby použijeme rozšířený Hookův zákon pro jednoosou resp.
rovinnou napjatost:
a) otevřená nádoba:
∆Rot. = R ⋅ ε t =
R
p ⋅ R2
⋅ σ1 =
E
E ⋅s
a ∆sot. = s ⋅ ε r =
s
p⋅R
⋅ [− µ ⋅ σ 1] = −µ ⋅
.
E
E
b) uzavřená nádoba:
∆Ruz. =
R
p ⋅ R2
⋅ (σ1 − µ ⋅ σ 2 ) =
E
E⋅ s
 µ
⋅ 1 − 
 2
a ∆suz. =
s
3 p⋅ R
⋅ [− µ ⋅ (σ1 + σ 2 ) ] = −µ ⋅ ⋅
.
E
2 E
Poznámka:
Pro Poissonovo číslo µ = 0,3 vychází:
Změna poloměru uzavřené nádoby je o 15% menší než u nádoby uzavřené: ∆Ruz. ≈ 0,85⋅∆Rot ..
Stěna uzavřené nádoby se zeslabí o 50% více než stěna otevřené nádoby: ∆suz. ≈ 1,5⋅∆sot ..
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
143
PŘÍKLAD (TENKOSTĚNNÁ KUŽELOVÁ NÁDOBA):
P
D 2

 ϕ = arctg

h 

Dáno:
ρ, D, h a s
Určit:
σ1 a σ2 (hlavní napětí v plášti nádoby)
∅D
h
Řešení:
Základem řešení je opět Laplaceova rovnice, jen musíme věnovat
pozornost správnému určení hlavních poloměrů křivosti R1 a R2 :
2⋅ϕ
První hlavní poloměr křivosti R1 této kuželové nádoby se stejně jako u
válcové nádoby blíží nekonečnu:
R1 → ∞
Druhý hlavní poloměr křivosti R2 vyjádříme podle obrázku jako:
R2 =
r ( y)
, když současně platí
cos ϕ
r ( y ) = y ⋅ tgϕ
.
Spojením obou vztahů dostáváme výsledný výraz pro určení druhého
hlavního poloměru křivosti:
R2
y ⋅ tgϕ
sin ϕ
R1 =
= y⋅
.
cos α
cos 2 ϕ
σ1
R1
+
σ2
R2
=
p
, když
s
h
r
y
Poloměry R1 a R2 dosadíme do Laplaceovy rovnice
ϕ
ϕ
víme, že hydrostatický tlak závisí na hloubce: p ( y ) = ρ ⋅ g ⋅ ( h − y ) a
dostaneme výsledný vztah pro hlavní napětí σ2 (ve směru tečném):
σ1 ( y )
∞
+
σ 2 ( y)
ρ ⋅ g ⋅ ( h − y)
=
sin ϕ
s
r⋅
2
cos ϕ
⇒ σ 2 ( y) =
ρ⋅g
s
⋅ (h − y) ⋅ y ⋅
sin ϕ
cos 2 ϕ
.
Zbývající hlavní napětí σ1 (ve směru meridiánu) určíme z rovnováhy odříznuté části podle vztahu:
Q ( y)
.
2 ⋅ π ⋅ r ( y ) ⋅ s ⋅ cos ϕ
σ1
π ⋅r2 ⋅ y

2 
2 
Q( y ) = ρ ⋅ g ⋅ 
+ π ⋅ r 2 ⋅ ( h − y )  = ... = ρ ⋅ g ⋅ ( y ⋅ tgϕ ) ⋅  h − ⋅ y  .
3 

 3

σ1
h
Tíhová síla kapaliny Q, která působí v místě řezu je podle obrázku:
y
σ 1( y) =
Výsledný vztah pak je:
σ 1( y) =
2 

3 

⇒ σ 1 ( y) = ρ ⋅ g ⋅  h − 2 ⋅ y  ⋅ y ⋅ sin 2ϕ .
2 ⋅ π ⋅ y ⋅ tgϕ ⋅ s ⋅ cos ϕ
2⋅ s 
3 
cos ϕ
ρ ⋅ g ⋅ ( y ⋅ tgϕ )2 ⋅  h − ⋅ y 
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Q(y)
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
144
10. ÚVOD DO EXPERIMENTÁLNÍ P&P
Při tlakové zkoušce zkušebního tělesa (viz dolní obrázek) o středním průměru Ds = 816 mm s nominální
tloušťkou stěny tnom = 12 mm o délce l ≈ 7 m vyrobeného z oceli označené X60 (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2 a
ν = 0,3) byl pro přesné stanovení nominálního stavu napjatosti ve stěně potrubí ve střední části
zkušebního tělesa nainstalován tenzometrický kříž HBM 6/120 XY91 orientovaný do hlavních směrů.
SNÍMAČ TLAKU
Číslo
měř.
1
2
3
4
5
Tlak
p
[MPa]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
Deformace
εt
εo
[1⋅10-6]
0
0
152
37
269
50
425
99
527
115
Toto je kapitola, která doplňuje základní znalosti pružnosti a pevnosti o část experimentální, protože ne
všechno lze spočítat. Zde se budeme věnována zejména odporové tenzometrii a optickým metodám
stanovení napětí resp. deformací tělesa.
Část věnovaná odporové tenzometrii je přehledem toho nejdůležitějšího, co je třeba o této oblasti vědět.
Podrobně se tenzometrii věnuje předmět „Experimentální analýza napětí“, který je součástí výuky oboru
Aplikovaná mechanika.
Část věnovanou optickým metodám čerpá ze starších skript Pružnost a pevnost – Laboratorní cvičení a je
doplněna o moderní poznatky z různých zdrojů a pracovišť zabývajících se optickými metodami.
10.1 ODPOROVÁ TENZOMETRIE
Historie tenzometrie:
Máme-li hovořit o odporové tenzometrii, je třeba vrátit se hodně do minulosti. Musíme si při té příležitosti
připomenout jednotlivá významná data, důležitá i pro řadu jiných vědních oborů než jen pružnost a
pevnost. Současné trendy jsou zaměřeny zejména na zpřesňování měření a následně na oblast
vyhodnocovací. To však neznamená, že by byla odporová tenzometrie uzavřenou experimentální metodou,
spíše naopak. Stále se objevují nová řešení zejména v oblasti zpracování měřeného signálu a
tenzometrická měření se stala běžnými na řadě pracovišť.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
145
... jak to vlastně všechno začalo?
Rok
Obrázek
Událost
XV.
až
XVII.
stol.
Náčrt od Leonarda da Vinci
σ
1660
a
1807
Jedním z prvních učenců, kteří se zabývali otázkami pevnosti, byl
italský renesanční umělec, myslitel a vynálezce Leonardo da VINCI
(1452 - 1519), který řadu svých návrhů doplňoval jednoduchými
pevnostními kontrolami. Opravdový začátek pružnosti a pevnosti jako
vědní disciplíny je však spojen až se jménem italského vědce Galileo
GALILEI (1564 - 1642), který působil v Padově jako profesor
matematiky a byl prvním, kdo se zabýval otázkou pevnosti nosníků a
provedl i celou řadu praktických experimentů zatěžování vetknutých
nosníků až do jejich porušení. Další vědci již nedosahovali věhlasu
těchto dvou.
Britský přírodovědec a fyzik Robert HOOKE (1635 – 1703) jako první
objevil závislost mezi napětím a deformací (1660), kterou roku 1807
popsal Thomas YOUNG (1773 – 1829) a je známa jako Hookův
zákon a jeho nejznámější tvar je pro jednoosou napjatost:
σPt
σK
σu
≈E
ε=
ε
Tahový diagram konstrukční oceli
σ
E
,
kde E značí modul pružnosti nebo Youngův modul pružnosti.
... a jak to šlo dál?
Rok
Obrázek
Následné
období
Huggenbergerův tenzometr
1843
a
1856
~
Schéma Wheastoneova můstku
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Událost
Vztah deformace - napětí je využíván pro vyhodnocování hodnot
naměřených mechanickými "tenzometry". Ty pracují na principu
pákových převodů zvětšujících deformace do sledovatelné velikosti.
Základní nevýhody těchto snímačů jsou:
• vzhledem k velikosti základny nelze měřit lokální hodnoty,
• měřený objekt musí být vzhledem k pozorovateli v klidu,
• vzhledem ke způsobu odečtu lze měřit jen statické děje,
• k měřenému povrchu musí být relativně dobrý a volný přístup,
• není možná automatizovaná registrace měřených hodnot a jejich
následné zpracování
V polovině XIX. století je objevena elektrická energie a její vlastnosti. Okamžitě
dochází ke snahám využít tyto vlastnosti k měření různých veličin, a tedy i
deformací. Pro další vývoj měly význam zejména dva objevy, které se po
mnoha letech uplatnily v tenzometrii.
Brit Charles WHEASTONE (1802 - 1875) popsal princip můstkového
zapojení odporů a jeho aplikaci ve fyzice,
Brit William THOMSON (1824 – 1905), známý spíše jako Lord Kelvin,
popsal Thomsonův jev vedení proudu vodičem.
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
146
... a jak to šlo dál?
1931
až
1 měř ící vinutí lepené na papíře
2 ochranná krycí látka
3 izolátory s vyvedenými vodiči
4 pomocná výztuha (odstraní se)
5 přívodní vodiče
4
1938
2
1
3
5
Rugeho tenzometr
M120
10 mm
1941
Drátkový tenzometr
(Mikrotechna M120)
10 mm
1952
Fóliový tenzometr
(HBM 1-LY11-6/120)
V USA pracují dva vědci zabývající se problematikou měření mechanických
veličin pomocí elektrického proudu, kteří prakticky ve stejné době docházejí k
principu funkčního odporového tenzometru:
Edward E. SIMONS v Kalifornii nalepil tenký drát na povrch válečku a
sledoval elektrickou odezvu na zatížení válečku,
Arthur C. RUGE v Massachusetts jako první použil skutečné odporové
tenzometry, které lepil na dna nádrží. Celý vývoj dovedl až do fáze praktické
aplikace, a to i na dynamické problémy.
V Evropě probíhaly pokusy na bázi Thomsonova efektu zejména v
Německu. Elektrotechnická společnost AEG zde prováděla pokusy s
měřením pomocí uhlíkových pásků, ale tato metoda se neosvědčila.
Letečtí konstruktéři velice brzy začali využívat odporové tenzometry při
zkouškách nových konstrukcí, a tak začíná sériová výroba tenzometrů.
V roce 1941 je během dvou měsíců v USA vyrobena série 50 000 kusů
tenzometrů v podobě, která přežila řadu následujících let s minimem
úprav až do současnosti. U nás dříve drátkové tenzometry vyráběl
podnik Mikrotechna Praha.
Německýinženýr Paul EISLER poprvé předvedl technologii tištěných spojů.
Tato technologie se okamžitě uplatnila i v odporové tenzometrii, kdy již nebylo
třeba na nosné médium lepit meandr vytvořený z drátku, ale bylo možno přímo
na nosné médium (nejčastěji fólie z plastu) nanést "vinutí" požadovaného tvaru
podle potřeby určení tenzometru.
... a jak je to v současnosti?
Rok
Obrázek
0,02 mm
1954
Událost
∅ 0,1 mm
6 mm
Polovodičový tenzometr
(VZLÚ SP-17-6-12)
Následné
období
10 mm
až
XXI.
století
„Snímačový“ tenzometr
(HBM 1-KY41-6/350)
Američan C. S. SMITH popsal piezoelektrický efekt polovodičů. Tento efekt
byl následně využit k měření malých deformací. Nejprve to byly tenké pásky
germania a později křemíku. Tyto tenzometry jsou používány dodnes a jejich
předností je velká citlivost a tedy použitelnost při měření velmi malých
deformací. Nevýhodou je vyšší cena a kvalitativně vyšší nároky na měřící
aparaturu., zejména na její přesnost
Stále nové technologie nacházejí uplatnění v měřících metodách.
Sem patří např. technologie „napařování“, kdy je měřící vrstva
přímo nanesena na měřený povrch součásti. Jedná se však spíše o
ojediněle používaný způsob měření. Firma HBM zase uvedla na trh
v devadesátých letech tenzometry třídy K, které jsou určeny pro
výrobu přesných měřících prvků. Dnes již existuje celá typová řada
tenzometrů této třídy. Postup instalace těchto tenzometrů je shodný
s běžným fóliovým tenzometrem. Další vývoj se zaměřuje zejména
na zpřesnění měřící aparatury a na následné zpracování dat.
Princip odporového tenzometru:
Slovo „tenzometr“ sice vychází z latinského slova „tensó“, což v překladu znamená napětí, ale jak záhy zjistíte
o napětí zde ve skutečnosti nepůjde. Některá cizojazyčná vyjádření téhož zařízení jsou podstatně šťastnější a
výstižnější, ale některá jsou stejně zavádějící jako v češtině:
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
147
... jak to kdo říká?
Kdo?
Jak?
A co to doslova znamená?
Angličan
Strain gauge
snímač deformace
Němec
der Dehnungmeßstreif (DMS)
pásek měřící prodloužení
Slovák
tenzometer
měřič napětí
Francouz
le tensiomètre
měřič napětí
Rus
тензометер [tjenzométěr]
měřič napětí
Základní princip tenzometru je postaven na znalostech z počátků pružnosti a pevnosti a na znalostech
z počátků klasické elektrotechniky. Simeon Denis POISSON žil v letech 1781 až 1840. Autor můstkového
zapojení Charles WHEASTONE žil v letech 1802 - 1875 a Lord KELVIN, který popsal Thomsonův jev, žil
v letech 1824 - 1905. Nicméně ke vzájemnému „propojení“ těchto poznatků došlo až o mnoho let později.
Američané Edward E. SIMONS v Kalifornii a Arthur C. RUGE v Massachusetts v letech 1931 a 1939 nezávisle na
sobě využili změny odporu vodiče v důsledku jeho deformace k praktickým měřením. A až teprve v roce 1941 byla
poprvé zahájena velkosériová výroba a zbytek je vlastně už současnost a obecně lze tedy princip odporového
tenzometru odvodit na základě matematiky, elektrotechniky a pružnosti.
... jak to funguje?
Elektrotechnika
Odpor vodiče: R = ρ ⋅
kde:
ρ
l
,
A
je měrný odpor [Ω⋅m]
l
je délka vodiče [m]
A
je plocha průřezu [m 2]
Také ale platí: ρ = ρ (T) , kde T je teplota.
Pak tedy:
∂ρ
≠0
∂T
Pružnost a pevnost
Poissonův zákon: ε př = −µ ⋅ ε pod ,
kde:
εpod
εpř
µ
je podélná deformace
je příčná deformace
je Poissonovo číslo
[1] ,
[1] ,
[1] .
Pak tedy:
∆l = ε pod ⋅ l a ∆a = ε př ⋅ a resp. ∆b = ε př ⋅ b .
a
∆a = −µ ⋅ ε pod ⋅ a resp. ∆b = − µ ⋅ ε pod ⋅ b .
Matematika
Dojde-li k zatížení vodiče v podélném směru, dojde v tomto směru k jeho prodloužení a v příčném směru k jeho zkrácení.
Tím se samozřejmě změní jeho výsledný odpor. Tuto změnu můžeme zapsat ve tvaru:
l
l
l
dl ⋅ A − l ⋅ dA

l
dR = d  ρ ⋅  = dρ ⋅ + ρ ⋅ d   = dρ ⋅ + ρ ⋅
A
A
A
A2

 A
Předpokládáme-li nezávislost ρ na zatížení a nedojde-li během uvažovaného děje ke změně teploty T, budeme
tedy moci uvažovat d ρ = 0 a pak tedy:
dR = ρ ⋅
dl ⋅ A − l ⋅ dA
A2
resp. v diferencích
∆R = ρ ⋅
∆l ⋅ A − l ⋅ ∆A
.
A2
Pro A = a⋅b platí ∆A =∆a⋅b + a⋅∆b + ∆a⋅∆b a při zanedbání diferencí vyšších řádů dostáváme:
∆A =∆a⋅b + a⋅∆b.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
148
... a jak to funguje dohromady?
Pružnost a pevnost + elektrotechnika + matematika dohromady
Změna průřezu bude při využití Poissonova zákona tedy rovna:
∆A = −µ ⋅ ε pod ⋅ a ⋅ b + a ⋅ ( − µ ⋅ ε pod ⋅ b) = −2 ⋅ µ ⋅ ε pod ⋅ A
Nyní vše dosadíme do rovnice pro změnu odporu:
∆R = ρ ⋅
ε pod ⋅ l ⋅ A − l ⋅ (− 2 ⋅ µ ⋅ ε pod ⋅ A)
A
2
=ρ⋅
l
⋅ ε pod ⋅ (1 + 2 ⋅ µ )
A
Zavedeme-li nyní poměrnou změnu odporu jako poměr změny odporu ∆R ku původní hodnotě R dostáváme:
∆R
=
R
ρ⋅
l
⋅ ε pod ⋅ (1 + 2 ⋅ µ )
A
= ε pod ⋅ (1 + 2 ⋅ µ )
l
ρ⋅
A
Odporová tenzometrie
∆R
= k ⋅ ε pod
R
Veličina k se nazývá k-faktor tenzometru. Za předpokladu „plastického“ chování materiálu, ze kterého je
vyrobeno vinutí tenzometru, lze předpokládat hodnotu Poissonova čísle µ → 0,5. Pak ale (1+2⋅µ) → 2.
Přesnou velikost k-faktoru udává každý výrobce individuálně nejčastěji pro jednotlivé balení.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
149
Instalace tenzometru:
V první řadě je třeba uvést na pravou míru formulaci „nalepení tenzometru“. Lepí se známky na dopisy, ale
tenzometry si „instalují“, což je širší pojem a lepení je jen jednou z jeho částí. Tenzometr je třeba propojit s
aparaturou a náležitě zabezpečit proti všem možným nástrahám prostředí. Instalace tedy znamená sled určitých
dějů, které by měly být prováděny v daném pořadí a s nejvyšší možnou pečlivostí. Již od prvních kroků instalace
se totiž rozhoduje o přesnosti následujícího měření. Není proto vhodné tuto fázi uspěchat na úkor pečlivosti,
neboť časový zisk v tomto okamžiku je jen zdánlivý a mnohonásobně se nám vymstí při vlastním měření a
následném zpracování naměřených hodnot.
... jak tedy na tenzometr?
Akce
Prvotní
rozměření
součásti
Je-li měřený objekt nehybný, je třeba si v okolí
měřených míst vytvořit dostatečný prostor pro
„snadný“ přístup k těmto místům (např.
odstraněním izolace, odpojení přípojných zařízení
– pokud to situace dovoluje, …). Poté provedeme
prvotní rozměření, kdy si označíme místa, kam
chceme instalovat tenzometry. Také musíme
zkontrolovat, jestli tato místa nekolidují s jinými
prvky (např. poškození povrchu v důsledku
manipulace, ...).
Hrubá
příprava
povrchu
Zejména při měření v provozních podmínkách
může být povrch výrazně zkorodovaný nebo
např. opatřen silnou vrstvou ochranného nátěru.
V takovýchto případech musíme nejprve
nahrubo odstranit rez nebo barvu.
Používáme k tomu ruční brusky s kotouči
různé hrubosti, ocelové kartáče a různá
rozpouštědla nebo ředidla. I po broušení
bruskou povrch očistíme
(setřeme )
acetonem nebo jiným ředidlem.
)
Příprava
měřeného
objektu
I
(
Popis
V této fázi se snažíme přibližné měřené místo
zbavit nejhorších nečistot, kterými může být
v případě měření v terénu např. i hlína. Je
potřeba s rozmyslem umístit měřený objekt tak,
aby by byl možný dobrý přístup ke všem
plánovaným měřeným místům. Musíme také vést
v patrnosti, zda nebude třeba objekt před
vlastním měřením vrátit do původní polohy nebo
ho dokonce transportovat na jiné místo, kde
proběhne vlastní měření.
P Ř Í P R A V A
( I I )
P
Ř
Í
P
R
A
V
A
Obrázek
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
150
... a jak dál?
Akce
Popis
Očištění
potřebného
nářadí
Od tohoto okamžiku je třeba během celé
instalace dbát na čistotu, která výrazně ovlivňuje
kvalitu připravovaného měření. Je vhodné jednak
před vlastní instalací a v případě dlouhotrvající
instalace i v jejím průběhu očistit veškeré
nástroje, které používáme. Stejně tak bychom
měli očistit i místo, kam budeme nástroje
pokládat. Důležitá je i čistota rukou, a proto je
vhodné i je očistit před začátkem instalace a nebo
i následně během ní.
Jemná
příprava
povrchu
V této fázi je třeba vyhladit nahrubo očištěný
povrch, zbavit ho všech ostrých hran a zbylých
mechanických a korozních nečistot. K tomuto
účelu je vhodné použít jemný smirkový papír
případně jemné brusné kotoučky. Snažíme se při
tom brousit pouze očištěnou oblast, abychom si
z okolního neočištěného povrchu nenanesli zpět
nečistoty. Je vhodné i při jemném broušení čistit
obroušený povrch mezi jednotlivými broušeními
pomocí odmašťovacího roztoku.
Orýsování
měřených
míst
Je-li třeba orýsovat vyčištěný prostor, je třeba to
provádět rýsovací jehlou, ale jen tak, abychom na
obroušeném povrchu nevytvořili nové ostré
hrany. Toto orýsování by již mělo odpovídat
přesně plánovaným místům pro instalaci
tenzometrů, protože podle těchto značek budeme
orientovat vlastní tenzometry při jejich lepení do
zvolených míst. Rozměry takto orýsovaného
povrchu bychom si měli zapsat do dokumentace,
resp. do protokolu o měření.
I I I
)
Příprava
potřebného
vybavení
Nejprve si připravíme všechny potřebné pomůcky
do blízkosti měřeného místa, abychom již
nemuseli zbytečně přerušovat instalaci.
Co tedy budeme potřebovat:
• jemný smirkový papír,
• odmašťovací roztok, tampony,
• tenzometrické lepidlo, tenzometry,
• fólii k zakrytí tenzometru při vytvrzování
• nůžky, pinzetu, rýsovací jehlu,
• izolepu, měřítko nebo pravítko.
P
Ř
Í
P
R
A
V
A
(
Obrázek
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
151
... a jak dál?
Akce
Konečné
odmaštění
a očištění
povrchu
Přenos a
konečná
lokalizace
tenzometru
Při této operaci se snažíme ustavit tenzometr do
správného místa a fixovat jeho orientaci pro
následné lepení a při tom minimalizovat možnost
jeho poškození nebo kontaktu s rukou.
Používáme k tomu izolepu, na kterou přiložíme
tenzometr horním povrchem a manipulujeme
pouze s touto izolepou. Pro fixaci zvolené polohy
izolepu na jedné straně pevně přitiskneme a
druhou necháme volnou pro manipulaci při
nanášení lepidla a při vlastním lepení.
( I V )
P Ř Í PR A V A
Popis
Zde již používáme čisticí roztoky, které
doporučuje výrobce tenzometrů. Některé firmy
dodávají univerzální čisticí roztoky, jiné kombinují
např. dva roztoky. Povrch čistíme tampóny vždy
jen v jednom směru a pro nové nanesení roztoku
použijeme vždy nový tampón. Použití vaty nebo
obdobných prostředků není vhodné, neboť
zanechávají na povrchu drobné chloupky nebo
části vláken, které způsobí špatné přilepení
tenzometru.
Nanesení
tenké
vrstvy
lepidla
L
E
P
E
N
Í
(
I
)
Obrázek
Vlastní
lepení
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Volný konec izolepy nadzvedneme tak, aby byl
přístup ke spodní straně tenzometru a hlavně k
měřenému povrchu. Na povrch pak naneseme
malé množství lepidla, které roztáhneme do
tenké vrstvy pod celým tenzometrem. Je třeba,
aby vrstva byla co možná nejtenčí, ale zároveň v
celé ploše. Případná volná místa totiž vyplní
vzduchové bubliny, které znehodnocují nalepení
ale i celé měření. Malé množství lepidla, které
vyteče mimo okraj tenzometru, není na závadu.
Plynule přiklápíme tenzometr pomocí nalepené
izolepy k povrch a při tom prstem (nejlépe
palcem) přitlačujeme přes krycí fólii tenzometr k
měřenému povrchu a zároveň vymačkáváme
přebytečné lepidlo. Tlak prstu vyvozujeme pokud
možno kolmo k po-vrchu, abychom nezpůsobili
boční posuv tenzometru z předem zvoleného
místa. Tlak provádíme nejlépe přes slabou
plastovou fólii (dříve se užíval tenký cigaretový
papír), abychom se sami "nepřilepili".
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
152
... a jak dál?
Akce
Popis
Odstranění
izolepy
Nyní by měl být tenzometr již pevně fixován k
měřenému povrchu a pomocná izolepa již není
třeba. U tenzometrů bez vývodů by bránila
přístupu ke svorkovnicím a u všech tenzometrů
komplikuje jejich zakrytí laky a krycími prostředky.
Odstraňujeme ji táhlým pomalým pohybem,
abychom tím nepoškodili tenzometr, zejména
pokud má již přívodní drátky. Je to první test
kvality nalepení, protože zůstane-li tenzometr na
izolepě, byl „nalepen špatně“!
Připojení
vodičů
U tenzometrů bez přívodních vodičů se kabely
letují přímo na svorkovnice, které jsou součástí
tenzometru. Tyto vodiče je pak vhodné v
blízkosti tenzometru fixovat k povrchu součásti,
aby je nebylo možno snadno odtrhnout ze
svorkovnice. U tenzometrů s vývody je vhodné
nalepit do blízkosti tenzometru pomocnou
svorkovnici, a teprve k ní připojit přívodní
vodiče k aparatuře. Vývody tenzometru ke
svorkovnicí je vhodné odizolovat.
Kontrola
tenzometru
Při manipulaci s tenzometrem může dojít v
průběhu instalace k porušení vinutí nebo ke
vzniku „studeného“ spoje při letování. Proto je
vhodné tenzometr i jeho přívodní vodiče
překontrolovat ohmmetrem. Výrobcem je udáván
nominální odpor tenzometru (120 nebo 350Ω),
který nesmí instalace výrazně ovlivnit. Toto není
kontrola správné instalace tenzometru, ale jen
kontrola elektrické funkčnosti nalepeného
tenzometru.
)
Vytvrzení
lepidla
Každé lepidlo vyžaduje určitou dobu ke svému
vytvrzení, kterou udává výrobce v návodu. Tato
doba je závislá na druhu použitého lepidla a
zejména na teplotě. Lepidla pro běžné účely se
vytvrzují při běžných teplotách po dobu zhruba
1 minuty. Při nižších teplotách pak doba
vytvrzování roste. Lepidla pro speciální účely
vyžadují delší dobu vytvrzování při vyšších
teplotách. Zde pak používáme různé pomůcky k
fixaci po celou dobu vytvrzování.
D
O
K
O
N
Č
O
V
Á
N
Í
(
I
)
L
E
P
E
N
Í
(
I I
Obrázek
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
153
... a jak dál?
Akce
Obrázek
Připojení
tenzometru k
aparatuře
Nyní již můžeme nalepený a odzkoušený
funkční tenzometr připojit k tenzometrické
aparatuře. Pro správný způsob připojení je třeba
znát pokyny výrobce dodávané k použité
aparatuře. V dnešní době je běžné vícedrátové
připojení každého měřicího místa. Díky této
technologii si měřicí aparatura sama separuje
odpor přívodních vodičů, které mohou tak být
„hodně“ dlouhé, od odporu vlastního tenzometru
a tím výrazně zpřesní měření.
Zakrytí
tenzometru
Tato operace má několik důvodů:
• chrání tenzometr proti mechan. poškození,
• chrání před vlivem vzdušné vlhkosti,
• působí jako částečná tepelná ochrana.
K zakrytí se používají různé vosky a tmely nebo
rychleschnoucí pružné laky a nebo přípravky na
bázi silikonové gumy. Takto chráněný tenzometr
je možno ještě dále zakrýt pro lepší teplotní a
mechanickou ochranu plastovou nebo kovovou
fólií, kterou dodávají různí výrobci.
)
I I
(
D O K O N Č O V Á N Í
Popis
Poznámky:
• V př ípadě jakékoliv pochybnosti o kvalitě nainstalovaného tenzometr u je vhodné ihned v této fázi
tenzometr odstr anit a na jeho místo nainstalovat nový tenzometr. Tento postup vyžaduje sice
další práci s instalací, ale tato vynaložená práce se bohatě vrátí př i zpr acovávání "spolehlivých"
výsledků získaný ch z kvalitně nainstalovaných tenzometrů.
• Při odstraňování a reinstalaci tenzometr u je třeba dbát zvýšené pozor nosti, abychom nepoškodili
okolní tenzometry, ale naopak povr ch měřené součásti je tř eba př ipr avit stejně pečlivě nebo ještě
pečlivěji než při první instalaci a je třeba vyvarovat se chy b, které znehodnotili první instalaci.
HBM 1-LY11-6/120
HBM 1-LY11-3/120
Vishay CEA-XX-375UW-120
HBM 1-XY41-6/120
(vše zvětšeno cca 5×)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
154
Tenzometrické aparatury HBM
Při laboratorních cvičeních na začátku výuky předmětu Pružnost a pevnost II budete v laboratořích mimo
jiné používat statickou tenzometrickou aparaturu UPM 60. Tato aparatura je prezentována jako
„mnohomístný měřící přístroj", což je doslovný překlad německého originálu „Vielstellen-Messgerät". U nás je
běžnější označení „měřící ústředna" a toto označení bude používáno i nadále. Ústředna UPM 60 je jednou z
řady ústředen firmy HBM označených UPM 40A, UPM 60 a UPM 100. Přímým pokračovatelem třídy UPM je
aparatura Centipade 100 (viz obr.). Číslo v názvu ústředny určuje počet měřících kanálů. Vzestupně je také
uspořádán komfort ovládání jednotlivých aparatur. Nejjednodušší ústřednou je UPM 40A a má proti nejsložitější
UPM 100 možnosti značně omezenější.
HOTTINGER BALDWIN MESSTECHNIK
UPM 40 A
UPM 60
UPM 100
POWER
TRANSFER
ERROR
Centipade 100
Tenzometrické aparatury HBM
Měřící ústředna UPM 60 je konstruována pro připojení maximálně 60 měřených míst.
N
HBM
N
r.D
r.
HBM
-MESSGERÄT UPM
VIELSTELLEN
60
M V3 23 9
20
e
xt
.
25 +
2358
DATE 16.08.94
TIME 14:2 2:15
TIME 14 : 55 :21
00 + 24578 UM/M
01 - 7897
UM/M
02 ERRO R 4
03 + 5324
UM/M
2 25
Hz
5
k Hz
UM H3 20 9
N
r.
6 zesilovačů
UMH
in
t.
UM H3 20 9
N
r.
Centrální
zesilovač
UM H3 20 9
N
r.
UM H3 20 9
N
r.
UM H3 20 9
N
r.
UM H3 20 9
N
r.
CPU + rozhraní
220 V
50 Hz
Ústředna UPM 60
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
155
Zpracování naměřených hodnot:
Jestliže se nám podařilo tenzometricky naměřit požadovaná data, nastává otázka, co s nimi dál. Existují
samozřejmě případy, kdy přímo naměřené deformace jsou výsledkem a pak již není třeba je dál
zpracovávat, ale stačí je jen vhodně prezentovat, což bude popsáno v následujících kapitolách. Častější
jsou však případy, kdy tenzometricky naměřené deformace jsou pouze prostředkem k získání dalších
informací o chování součásti. Nejčastějším případem je popis pole napjatosti v měřených místech. V těchto
případech musíme zjistit, zda vyšetřovaný stav bude ještě v elastické - lineární oblasti nebo již bude v
plastické - nelineární oblasti. V prvním případě existuje poměrně jednoduchý nástroj převodu naměřených
deformací na napětí - Hookův zákon, a to ať v jednoduché podobě vhodné pro jednoosou napjatost tak v
rozšířeném tvaru vhodném pro víceosou napjatost. Ve druhém případě již tak jednoznačný postup
neexistuje a pro vyhodnocení naměřených deformací v plastické oblasti je třeba přijmout některou z
obecnějších teorií, které jsou však značně složité a v rámci těchto skript se jim nebudeme věnovat.
… jak vyhodnotit signál?
Napjatost
Obrázek
Výpočtové vztahy
σ
σ
ε
Jednoosá
známe směr
Poznámka:
Pokud bychom neznali směr
napětí σ, museli bychom
postupovat jako při obecné
dvojosé napjatosti.
Popis
Hookův zákon:
σ = E ⋅ε
ε … naměřená deformace
E … modul pružnosti v tahu
Nejjednodušší případ napjatosti, který
vzniká např. při čistém tahu nebo tlaku
nebo při ohybu a při jejich vhodné
Poznámka:
kombinaci. V těchto případech
Budou-li naměřené defor mace ε v vystačíme s instalací jednoduchých
[µi] je výhodné modul pružnosti tenzometrů. Výsledný signál je přímo
převést E na exponenciální tvar použitelný pro další zpracování a
s exponentem 6. Ve výpočtu se tak výpočty napětí.
mocniny zkrátí a ten bude např. pro
ocel: σ [MPa] = 0,21⋅ε [µi].
Rozšířený Hookův zákon
σ2
σ1
Dvojosá
známé směry
Kříž
0°- 90°
ε2
ε1
ε1 … naměř. def. ve směru „1“
ε2 … naměř. def. ve směru „2“
E … modul pružnosti v tahu
µ … Poissonovo číslo
σ2
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
E
2 ⋅ (ε1 + µ ⋅ ε 2 )
1− µ
E
σ2 =
2 ⋅ (ε 2 + µ ⋅ ε1 )
1− µ
σ1 =
σ1 Poznámka:
Platí totéž co v případě jednoosé
napjatosti, protože µ [1] výpočet
rozměrově nijak neovlivní.
Napjatost, která vzniká např. ve
stěně tenkostěnných ale i
silnostěnných nádob v dostatečné
vzdálenosti od den a hrdel.
V těchto př ípadech je třeba
instalovat dva tenzometry nebo
tenzometrický kř íž se dvěma
kolmý mi vinutími. Výsledné signály
dosazujeme př ímo do rozšířeného
Hookova zákona.
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
156
... a jak dál?
Napjatost
Obrázek
Výpočtové vztahy
Popis
Výpočet hlavních deformací
s=
Obecný př ípad napjatosti, která
vzniká ve složitějších konstrukcích.
V těchto př ípadech je třeba
instalovat tři samostatné
tenzometry nebo tenzometr ickou
růžici se třemi vinutími (po 45°nebo
po 60°). Výsledné signály
dosazujeme nejprve do
transfor mačních vztahů a teprve
poté vypočtené hlavní defor mace
do rozšířeného Hookova zákona.
ε −ε 
r =  0 90  + γ 2
 2 
ε − 2 ⋅ ε 45 + ε 90
γ = 0
2
ε1 = s + r a ε 2 = s − r .
σ2
ε4 5
ε9 0
Růžice
0°- 45°-90°
2
2
σ1
Dvojosá
neznámé
směry
ε 0 + ε 90
ε 0 … naměř. def. ve směru 0°
ε45 …naměř. def. ve směru 45°
ε90 …naměř. def. ve směru 90°
ε0
σ2
σ1
s …. střed Mohrovy kružnice
r …. poloměr Mohrovy kružnice
Tyto růžice nejsou tak běžné jako předchozí, a proto uvedeme jen základní vztahy:
2
Růžice
ε 0 + ε 60 + ε120 a
 2 ⋅ ε 0 −ε 60 − ε 120  1
2
,
kde
ε
=
s
±
r
s
=
r
=

 + ⋅ (ε 60 −ε 120 )
0°-60°-120° 1,2
3
3
3


ε0 , ε6 0 a ε1 20 jsou naměřené poměrné defor mace ve směrech 0°, 60° a 120°.
Graficky lze výpočty hlavních deformací ε 1 a ε 2 z tenzometrické růžice 0°– 45°– 90°vyjádřit pomocí
Mohrovy kružnice v souřadnicích σ -γγ/2:
γ /2
ε1
ε 0 + ε 90
2
ε2
ε 0 − ε 90
2
S
ε
0
ε 0 + ε 90
ε9 0
2
ε4 5
ε 0 + ε 90
− ε 45
2
− ε 45
r
ε0
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
157
Nyní, když známe velikosti hlavních deformací, je třeba ještě stanovit jejich orientaci podle vztahu:
tg 2ϕ =
ε 0 − 2 ⋅ε 45 + ε 90
,
ε 0 − ε 90
který stanoví velikost úhlu mezi původními směry „0°“ resp. „90°“ a směry hlavní deformace . Orientace
úhlu ϕ je dána velikostmi vstupních hodnot deformací ε 0, ε 90 a ε 45. Orientace úhlu ϕ se určuje v závislosti
na velikosti čitatele a jmenovatele základního vztahu:
… jak se otáčí hlavní rovina?
ε − 2 ⋅ ε 45 + ε 90
tg 2ϕ = 0
ε 0 − ε 90
Č
I
(ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 ) < 0
T
A
L
(ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 ) > 0
90°
0°
45°
0°
ϕ
0°
T
E
ϕ
90°
45°
45°
L
E
(ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 ) = 0
90°
(ε 0 − ε 90 ) > 0
T
90°
45°
(ε 0 − ε 90 ) = 0
45°
Všechny naměřené
defor mace ε 0 , ε 45 a ε 90 jsou
stejné, a tedy kterýkoliv směr
je hlavní.
Úhel ϕ tak může nabývat
jakékoliv hodnoty.
ϕ = 45°
0°
0°
ϕ = 45°
N
O
V
A
90°
90°
E
(ε 0 − ε 90 ) < 0
J
M
90°
45°
90°
45°
0°
45°
0°
0°
ϕ
ϕ
V případě vyhodnocení obecné rovinné napjatosti vždy musíme použít rozšířený Hookův zákon a
předpoklad, že směry hlavních deformací a směry hlavních napětí jsou totožné (viz PP I):
σ1 =
E
⋅ (ε1 + µ ⋅ ε 2 )
1− µ 2
a
σ2 =
E
⋅ (ε 2 + µ ⋅ ε1 ) .
1− µ2
ε1
ε2
… vypočtená první hlavní deformace (směr ),
… vypočtená druhá hlavní deformace (směr ),
E a µ … modul pružnosti v tahu a Poissonovo číslo.
Poznámka:
Platí totéž co v př ípadě jednoosé napjatosti, protože µ [1] výpočet rozměrově nijak neovlivní.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
158
Rozměr tenzometru a měření
chyba
εměř. 10
Roz dí l
v ý sl e dk ů
εměř. 3
chyba
Nevýhodou je „reálný“ rozměr vinutí tenzometru, které tím pádem měří integrální hodnotu deformace po
celé své délce. To může být nevýhodné zejména v případech velkých gradientů napětí resp. deformací
v měřeném tělese tak, jak je to naznačeno pro tenzometry se základnou 10 a 3 mm.
ε
ε
l [mm]
l [mm]
10 mm
3 mm
PŘÍKLAD (TENZOMETRIE – VYHODNOCENÍ NAMĚŘENÝCH DAT):
P
45°
Dáno: Při měření tenzometrickou růžicí (0°–45°–90°) byly v daném
místě zkoumané součásti naměřeny deformace:
ε0 = 694 µi, ε45 = –218 µi a ε90 = –252 µi.
Tato součást je vyrobena z oceli (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2 , µ = 0,3 a
σK = 240 N⋅mm-2 ).
Určit: Hlavní napětí σ1,2 a redukované napětí σred. podle teorie τMAX
včetně směrů a celkovou bezpečnost k K vůči mezi kluzu.
ϕ
90°
0°
Řešení: Naměřené deformace je zvykem uvádět v „mikrojednotkách“ (1 µi ≡ 1 µm/m ≡ 1⋅10-6 ) a do vztahů
pro výpočet napětí musíme dosazovat skutečné hodnoty po přepočtu:
ε1, 2
2
2
866 ⋅ 10−6
 694 + (−252)
694 − ( −252)   694 + (−252)



−6
=
± 
− (−218)   ⋅ 10 = 
.
 +
2
2
2
 − 424 ⋅ 10− 6


 
 
tan( 2 ⋅ ϕ ) =
σ 1, 2
694 − 2 ⋅ ( −218) + ( −252)
= 0,928118
694 − ( −252)
⇒
ϕ = 21°26′ .
2,1 ⋅ 105
⋅ [866 + 0,3 ⋅ (−424) ] ⋅10 − 6 = 170,5 N ⋅ mm − 2

E
 1 − 0,32
=
⋅ (ε1, 2 + µ ⋅ ε 2,1 ) = 
.
5
1− µ2
 2,1 ⋅10 ⋅ [( −424) + 0,3 ⋅ 866] ⋅ 10− 6 = −37,9 N ⋅ mm − 2
1 − 0,32
σ τred. = σ max − σ min = 170,5 − ( −37,9) = 208,4 N ⋅ mm −2
MAX
⇒
k KτMAX =
240
≈ 1,15
208,4
.
Poznámka:
Nezapomeňte, že řešíme rovinnou napjatost ( σ3 = 0), mohou také nastat další dva případy:
Pro σ1 > σ2 > 0 bude σred = σ1 – 0, resp. pro σ2 < σ1 < 0 bude σred = 0 – σ2 .
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
159
PŘÍKLAD (TENZOMETRIE – NÁVRH SILOMĚRU NA BÁZI TENZOMETRŮ):
Dáno: Jednoduchý siloměr je určen pro měření síly Fmax = 150 000 N, jeho
základní rozměry jsou: D = 110 mm, d = 100 mm a je vyroben z běžné
oceli (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2 , µ = 0,3 a Re = 235 N⋅mm-2 ).
Určit: Maximální velikost výstupního signálu UA max , je-li snímač napájen
konstantním napětím UB = 5 V. Při výrobě byly použity čtyři shodné
jednoduché fóliové tenzometry s k-faktorem k = 2,05.
Řešení: Snímač využívá celomostového zapojení s využitím Poissonova vztahu. Čtyři tenzometry jsou
instalovány na vnitřním povrchu střední části mezikruhového profilu. Velikost plochy průřezu
v tomto místě je:
2
2
π ⋅ D 2   d   π ⋅110 2   100  
2
A=
⋅ 1 −    =
⋅ 1 − 
  ≈ 1 650 mm .
4   D  
4
110
 
 
Základní vztah popisující poměr výstupního ku vstupnímu napětí má pro celomostové zapojení tvar:
UA
R1 + ∆R1
R4 + ∆R4
=
−
.
U B R1 + ∆R1 + R2 + ∆R2 R3 + ∆R3 + R4 + ∆R4
Pro malé změny odporů ∆Ri, při použití vztahů platných pro tenzometry ∆Ri Ri = k i ⋅ ε i a pro stejné kfaktory použitých tenzometrů (k 1 ≈ k 2 ≈ k3 ≈ k 4 ≈ k ) dostáváme poměr vstupního a výstupního napětí již
jako funkci čtyř tenzometry měřených deformací ε1 , ε2 , ε3 a ε4 :
UA k
= ⋅ (ε 1 − ε 2 + ε 3 − ε 4 )
UB 4
.
Při dosazení vztahů platných pro tah/tlak: ε 1, 3 = σ 1, 3 E a ε 2, 4 = − µ ⋅ σ 1, 3 E dostáváme výsledek:
U A k σ 1,3
= ⋅
⋅ 2 ⋅ (1 + µ )
UB 4 E
.
Maximální síla vyvolá ve střední části napětí:
σ 1, 3 = −
Fmax
150 000
=−
≈ −91 N ⋅ mm −2 .
A
1 650
Hledané výstupní napětí pak bude mít velikost:
k σ
2,05 − 91
U A max = ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ (1 + µ ) ⋅ U B =
⋅
⋅ 2 ⋅ (1 + 0,3) ⋅ 5 = −0,002887 V
4 E
4 2,1⋅105
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
.
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
160
PŘÍKLAD (TENZOMETRIE – NÁVRH SILOMĚRU NA BÁZI TENZOMETRŮ):
Dáno: Rozměry ocelového (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2 a µ = 0,3) snímače krouticího
momentu jsou D = 60 mm a d = 40 mm. Podle obrázku byl ve střední
části nainstalován speciální tenzometrický kříž pro měření
smykových napětí (k-faktor obou vinutí je k = 1,98). Jednoduchý
siloměr je určen pro měření síly Fmax = 150 000 N, jeho základní
rozměry jsou: D = 110 mm, d = 100 mm a je vyroben z běžné oceli
(E = 2,1⋅105 N⋅mm-2 , µ = 0,3 a Re = 235 N⋅mm-2 ).
Určit: Stanovte velikost přenášeného krouticího momentu MK snímačem, jestliže na měřicí
aparatuře bylo naměřeno výstupní napětí UA = 0,002 V při napájecím napětí UB = 10 V.
Řešení: V tomto případě jsou pouze dva aktivní tenzometry zapojené do polovičního mostu a zbývající
dva odpory do celého mostu doplňuje již tenzometrická aparatura. Výsledný vztah proto je:
U A k 2 ⋅ (1 + µ )
= ⋅
⋅ τ max .
UB 4
E
Protože velikost hledaného krouticího momentu závisí na velikosti τmax a WK podle vztahu:
M K = τ max ⋅W K ,
Musíme určit nejprve modul průřezu v kroucení:
4
π ⋅ D 3   d   π ⋅ 603
WK =
⋅ 1 −    =
16   D  
16
  40  4 
⋅ 1 −    ≈ 34 034 mm 3 .
  60  
Pro toto polomostové zapojení využijeme vlastnosti napjatosti čistého smyku, kdy platí:
σ 1 = +τ max = +
MK
WK
a
σ 4 = −τ max = −
MK
.
WK
Odkud po dosazení zadaných hodnot vychází:
MK =
UA 4
E
0,002 4
2,1 ⋅105
⋅ ⋅
⋅W K =
⋅
⋅
⋅ 34 034 = 1,11 ⋅10 6 N ⋅ mm = 1,11 kN ⋅ m .
U B k 2 ⋅ (1 + µ )
10 1,98 2 ⋅ (1 + 0,3)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
161
PŘÍKLAD (TENZOMETRIE – NÁVRH SILOMĚRU NA BÁZI TENZOMETRŮ):
Dáno: Tenzometrický snímače síly založeného na principu zatěžování tenkého rámu
ve tvaru kružnice podle obrázku. Snímač je osazen čtyřmi odporovými
tenzometry zapojenými do celého mostu. Základní rozměry snímače jsou:
poloměr rámu r = 50 mm, tloušťka rámu t = 5 mm a šířka rámu b = 12 mm.
Snímač je vyroben ze speciální oceli o modulu pružnosti v tahu
E = 2,05⋅105 N⋅mm–2 a mezi kluzu σK = 320 N⋅mm–2 a jsou na něj
nainstalovány čtyři lineární tenzometry s k-faktorem k = 2,06.
Určit: Stanovte obecně přibližnou převodní charakteristiku tohoto snímače a poté
závislost měřené síly na výstupním napětí při napájecím napětí UB = 5 V.
Řešení: V tomto případě jsou všechny čtyři tenzometry aktivní zapojené do celého mostu.
Nejprve musíme sestavit výpočtový model, abychom určili
namáhání v místech nainstalovaných tenzometrů R1 až R4. Podle
teorie tenkých křivých prutů a rámů stačí z původního tenkého rámu
vzhledem k symetrii řešit pouze křivý prut ve tvaru jedné čtvrtiny
původního rámu.
Tato úloha je vzhledem k symetrii k vodorovné i svislé ose
jedenkrát staticky neurčitá. Díky těmto dvěma symetriím také
můžeme přímo určit velikost svislé síly NA a velikost tečné síly TA.
F
Vznikající moment MA působící v bodě A pak pro nás zůstává
NA =
, TA = 0 a M A = ? .
2
v tomto případě jedinou neznámou:
Neznámý moment MA určíme z deformační podmínky, která pro tento symetrický prut musí zaručit, že se
v bodě A prut vzniklý rozdělením (uvolněním) původního rámu nesmí natočit:
ϕA = 0 .
Tuto deformační podmínku vyjádříme pomocí Mohrova integrálu jako:
1
ϕA =
⋅
E⋅ Jz
π2

∫  − M
0
A
+
F

⋅ r ⋅ (1 − cosψ ) ⋅ ["1"]⋅ [r ⋅ dψ ] = 0 .
2

Z této rovnice pro E⋅Jz ≠ 0 vyplývá, že neznámý moment MA je:
M A = F ⋅r ⋅
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
π−2
≈ 0,18169 ⋅ F ⋅ r .
2⋅ π
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
P
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
162
Nyní již můžeme vyjádřit velikosti napětí vznikajících v místě A tohoto tenkého rámu:
1. tahové napětí:
NA
1 F
1 F
=
⋅ =
⋅ = 0,00833 ⋅ F ,
A b ⋅ t 2 12 ⋅ 5 2
σt =
2. ohybové napětí:
σ o max =
M A 0,18169
6 ⋅ 0,18169
=
⋅ F ⋅r =
⋅ F ⋅ 50 = 0,18169 ⋅ F .
2
1
Woz
2
12
⋅
5
⋅b⋅t
6
Výsledná redukovaná napětí na vnitřním resp. vnějším povrchu tenkého rámu vypočteme jako součet resp.
rozdíl vypočtených napětí:
1. vnitřní povrch (místo tenzometru R1 ):
σ R = σ t + σ o max = (0,00833 + 0,18169) ⋅ F = +0,19002 ⋅ F ,
1
2. vnější povrch (místo tenzometru R2 ):
σ R = σ t − σ o max = (0,00833 − 0,18169) ⋅ F = −0,17336 ⋅ F .
2
Vzhledem k obecné symetrii řešeného tenkého rámu můžeme napětí na vnitřním resp. vnějším povrchu v místě
B určit pomocí napětí v místě A jako:
σ R = σ R = +0,19002 ⋅ F
3
resp.
1
σ R = σ R = −0,17336 ⋅ F .
4
2
Obecný výraz pro podíl výstupního ku vstupnímu napětí pomocí (mechanického) napětí bude:
(
)
(
)
(
)
UA k
k
k
= ⋅ ε R1 − ε R2 + ε R3 − ε R4 =
⋅ 2 ⋅ σ R1 − 2 ⋅ σ R2 =
⋅ σ R1 − σ R2 .
UB 4
4⋅ E
2⋅ E
Ten již můžeme vyjádřit pomocí vypočtených napětí jako:
UA
2,06
=
⋅ [0,19002 − ( −0,17336) ]⋅ F = 1,8258 ⋅ 10−6 ⋅ F .
5
U B 2 ⋅ 2,05 ⋅ 10
Pro maximální velikost síly Fmax bude podíl výstupního ku vstupnímu napětí:
 UA 
V
mV

 = 1,7736 ⋅ 10− 6 ⋅1 100 = 2,00838 ⋅ 10 −3 ≈ 2
.
V
V
 U B  max
Tato hodnota přibližně odpovídá standardu, který se postupem času
ustálil pro lineární charakteristiky snímačů 2 mV/V. Teoretická
charakteristika navrženého snímače síly na bázi ohybu tenkého
rámu ve tvaru kružnice je patrná z obrázku.
Rovnici závislosti zatěžující síly F na výstupním napětí U A této ideální charakteristiky lze pro zadané
napájecí napětí U B = 5 V psát jako:
F=
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
1
≈ 112 765 ⋅U A .
1,7736 ⋅10 − 6 ⋅ 5
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
163
Poznámky:
• Nakonec bychom měli zkontrolovat namáhání snímače v případě zatížení maximální silou:
σ m ax = σ R = +0,19002 ⋅ Fm ax = 210 N ⋅ mm −2 .
1
Znamená to, že bezpečnost k siloměru vůči mezi kluzu σK je:
k=
σK
320
=
≈ 1,52 .
σ max 210
• Tento výpočet určil přibližnou charakter istiku snímače, ale pro praktické měření by bylo třeba tento snímač po zkompletování
cejchovat za pomoci např závaží známé hmotnosti nebo jiného siloměru se známou charakteristikou. Až takto stanovená
konečná charakteristika bude použitelná při praktickém nasazení tohoto snímače, protože již postihuje všechny odchylky od
ideálníého stavu s nímž počítal výpočtový model tohoto snímače.
Příklady komerčních snímačů na bázi odporových tenzometrů
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
164
10.2 OPTICKÉ METODY
10.2.1 FOTOELASTICIMETRIE
Optický efekt, na kterém je tato metoda založena, je znám již
od počátku XIX. století. Při pokusech s polarizovaným
světlem se zjistilo, že při průchodu tohoto světla sklem, které
bylo zatíženo - tudíž do něho byla vnesena mechanická
napětí - vznikly různobarevné obrazce. Vědci nejprve
využívali tento efekt ke stanovení hraničních napětí rovinných
modelů, ale následně vznikla metodika vyšetřování napjatosti
rovinné a postupem času i prostorové úlohy. Při
fotoelasticimetrii můžeme i prostým okem poměrně zřetelně
pozorovat děje, ke kterým dochází ve zkoumaném objektu
(stačí k tomu jednoduchý optický filtr a můžeme se podívat,
co zbylo ve školním trojúhelníku jako důsledek jeho výroby.
Princip fotoelasticimetrie:
Principem fotoelasticimetrie je tzv. dočasný dvojlom, ke kterému dochází u opticky anizotropních materiálů
v důsledku napjatosti. Při dvojlomu se každý světelný paprsek rozloží na dva, které se liší rychlostí i
orientací. Tato orientace odpovídá orientaci hlavních směrů řešené napjatosti. Protože předpokládáme
zejména rovinné modely a tedy rovinnou napjatost, jedná se o dva navzájem kolmé směry vzhledem
k optické ose měření.
Rozlišujeme dva druhy fotoelasticimetrie:
Přímá – veškeré součásti měřicího řetězce leží v jedné přímé optické ose
5
4
3
2
1
1 – zdroj světla,
2 – polarizátor,
3 – model v zatěžovacím rámu,
4 – depolarizátor (analyzátor),
5 – snímač (pozorovatel)
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
165
Reflexní – využívá se odrazu paprsku od měřeného povrchu a součásti řetězce neleží v přímce
1 – měřená součást,
9
2 – reflexní vrstva (stačí leštěný povrch nebo nástřik),
8
3 – vrstva fotoelasticky citlivého materiálu,
4 – dopadající polarizovaný paprsek,
7
5 – polarizátor,
6 – zdroj světla,
6
7 – odražený paprsek již po dvojlomu v optické vrstvě,
5
8 - depolarizátor (analyzátor),
4
9 – snímač (pozorovatel).
3
2
1
Přístroj, kterým se provádí fotoelasticimetrické měření, se nazývá POLARISKOP.
Polariskop pro přímou fotoelasticimetrii
Hlavní části jsou:
a) Zdroj světla – může to být zdroj monochromatického světla nebo obyčejného bílého světla
(zdrojem monochromatického – jednofrekvenčního – světla může být např. sodíková lampa)
b) Polarizátor – optický filtr, který usměrní světelné paprsky. Pokud usměrňuje paprsky pouze do jedné
roviny nazývá se tato polarizace přímková. Pokud složíme dvě kolmé přímkově polarizované vlny se
stejnou frekvencí i amplitudou, které se liší pouze fázovým posuvem o π/2, pak hovoříme o kruhové
polarizaci.
c) Model a zatěžovací rám – samotný zkušební model je vyroben ze speciálního průhledného
fotoelasticimetrického materiálu a zatěžovací rám má za úkol vytvořit na modelu požadované zatížení a
dosáhnout v modelu požadované napjatosti.
d) Depolarizátor (analyzátor) – druhý optický filtr, který opět usměrní světelné paprsky. Jeho vlastnosti jsou
shodné s vlastnostmi polarizátoru.
e) Snímač – nejjednodušším „snímačem“ bylo v minulosti zejména lidské oko, později ho nahradil objektiv
fotoaparátu a dnes to může být jakýkoliv digitální snímač obrazu, který zajistí jeho uložení a snadný
přenos k dalšímu zpracování.
Polariskop pro reflexní fotoelasticimetrii
Hlavní části jsou:
a) Zdroj světla – shodný s přímým polariskopem
b) Polarizátor – shodný s přímým polariskopem
c) Skutečná součást, která má upravený povrch tak, aby co nejlépe odrážel světelné paprsky (leštění,
nástřik, ...). Na takto upravený povrch je nalepena tvarovaná vrstva opticky citlivého materiálu, který se
deformuje spolu s povrchem skutečné součásti v důsledku jejího zatížení. Vlastní paprsek tak prochází
optickou vrstvou dvakrát: při dopadu i při odrazu.
d) Depolarizátor (analyzátor) – shodný s přímým polariskopem.
e) Snímač – shodný s přímým polariskopem.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
166
Příprava měření:
Nejdůležitějším krokem přípravy měření je výroba vhodného modelu, který je zhotoven ze speciálního
průhledného dostatečně opticky citlivého materiálu. Tento materiál musí mít vhodné mechanické vlastnosti,
které jsou úměrné jeho optickým vlastnostem. Při výrobě modelu (opracování, ohýbání, ...) nesmíme do modelu
vnést vnitřní napětí, která by celé měření zkreslila. Při reflexní fotoelasticimetrii musíme vyrobit plátky opticky
citlivého materiálu, které věrně kopírují povrch měřené součásti, a pak je spolehlivě přilepit na předem
připravený „odrazivý“ povrch.
Vlastní měření:
Vyrobený model umístíme do pracovního prostoru mezi polarizátor a depolarizátor do zatěžovacího rámu.
Nejprve zkontrolujeme stav bez zatížení, nejsou-li do modelu vnesena zbytková napětí v důsledku výroby.
Poté pomocí zatěžovacího rámu zajistíme zatížení modelu odpovídající požadovaným podmínkám. Na
snímači pak zaznamenáváme stav světelných paprsků po průchodu celou optickou osou: zdroj světla –
polarizátor – zatížený model – depolarizátor (analyzátor).
Zpracování naměřených dat:
Vlivem zatížení vzniká v modelu napjatost, která způsobí deformaci jednotlivých částí struktury materiálu
modelu. V jejich důsledku dochází v modelu k dvojlomu, kdy se paprsek rozloží do dvou kolmých směrů
odpovídajícím hlavním napětím a současně nastane mezi nimi fázový posun v důsledku rychlejšího šíření
jednoho z paprsků modelem. Velikost fázového posuvu je úměrná rozdílu hlavních napětí v řešeném místě.
Na záznamech z měření můžeme sestrojit dva druhy čar:
Izoklíny:
To jsou křivky spojující body se stejným sklonem hlavních napětí.
Izochromy:
To jsou křivky spojující body se stejným rozdílem hlavních napětí.
Nejjednodušeji lze výsledky vyjádřit vztahy:
I = I 0 ⋅ sin 2 ( 2 ⋅ α ) ⋅ sin 2 ( π ⋅ n)
,
(σ1 − σ 2 ) = n ⋅ c ,
t
kde: I0 ... je intenzita světla vycházejícího ze zdroje,
I ... je intenzita světla přicházejícího na snímač,
α ... je úhel mezi hlavním napětím a osami polarizátoru a depolarizátoru,
n ... je řád izochromatické čáry (0, 1, 2, ...),
c ... je optická citlivost materiálu modelu,
t ... je tloušťka modelu ve směru optické osy.
Poznámka:
Stále nesmíme zapomínat, že oba způsoby měření popisují rovinnou napjatost σ1,2 kde σ3 = 0.
Pokud bude σ1 = σmax > 0 a σ2 = σmin < 0, odpov ídá vypočtený rozdíl ( σ1 – σ2 ) přímo teorii τMAX.
Problémem měření nastává tehdy, budou-li obě napětí kladná σ1 > σ2 > 0, protože z hlediska pevnosti podle teorie τMAX je
rozhodující rozdíl ( σ1 – 0) nebo budou-li obě napětí záporná σ2 < σ1 < 0, kdy je z hlediska pevnosti podle teorie τMAX je
rozhodující rozdíl (0 – σ2 ).
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
167
Příklady měření pomocí fotoelasticimetrie:
Fotoelasticimetrie může být pojata i jako jistý druh umění (foto HGB Allersma a Jan Paták)
Výsledky měření koncentrace v okolí kruhového otvoru, polariskop a příklad modelu oka závěsu
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
168
Metoda „zmražených“ deformací:
Používané opticky citlivé mate riály na bázi o rganických plastických hmo t mají z hlediska použití ještě
jednu zajímavou vlastnost. Tou je poměrně velký rozdíl mezi dolní a ho rní přechodovou teplotou. To
znamená, že při zatížení vzorku při teplotě vyšší než je přechodová teplota v něm zůstanou uchovány
veškeré deformace i po odlehčení. K jejich opětnému uvolnění by došlo až při opětném překročení
přechodové teploty.
Princip metody:
Vyrobíme z opticky anizotropního citlivého materiálu (litím, opracováním, lepením, …) prosto rový
model, který odpovídá skutečné součásti. Vlastní model může být kombinací materiálů, když
z fotoelasticime trického materiálu vyrobíme jen části, které jsou pro experiment důležité. V tomto
případě je třeba ale zajistit správné uspořádání celého modelu vzhledem k možným rozdílným
součinitelům teplotní roztažnosti materiálů jednotlivých částí. Tento model zatížíme tak, aby to
odpovídalo zatížení skutečné součásti a umístíme ho do ohřívacího zařízení. Po dostatečném
„prohřátí“ celého modelu ho můžeme již vyndat, odlehčit a dál ho uchovávat jen při pokojové teplotě,
protože existující deformace jsou v modelu již zafixovány. Poté můžeme celý model nebo jeho části
rozebrat nebo rozřezat na tenké plátky, které lze vložit do polariskopu a p rosvítit světlem a
zaznamenat pole deformací. Jen je třeba při řezání dbát zvýšené opatrnosti, aby nedošlo
k nadměrnému ohřátí řezné plochy a tím k dosažení ho rní přechodové teploty, což by mělo za
následek uvolnění „zmrazených“ deformací a zne hodnocení celého experimentu.
Další příklady měření pomocí fotoelasticimetrie:
Tyto dva obrázky jsem použil z učebního textu pánů Jiřího Vrby a
Petra Frantíka „ÚVOD DO FOTOELASTICIMETRIE“, který je
určen posluchačům druhého ročníku stavební fakulty VUT v Brně
pro seznámení s fotoelasticimetrií. Jsou na nich zobrazené
jednotlivé izochromy při zatížení poloroviny osamělou silou a
rozložení radiálního kontaktního napětí po délce hmoždinky.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
169
10.2.2 METODA MOIRÉ
Tato metoda je založená moiré efektu, který patří mezi základní optické efekty
procházejícího světla. V řadě lidských činností má tento efekt negativní vliv na
výsledné snažení. Jedná se zejména o oblasti, kde se pracuje s rastrovým
zpracováním obrazu jako je digitální fotografie, televizní vysílání a video, PC
monitory, ale také tiskárny nebo scannery). Prakticky to znamená, že politik v TV
studiu v jemně kostkovaném saku vytváří na sobě i při sebemenším pohybu různé
prostodivné obrazce, protože princip snímání obrazu je po řádcích (buď 576 nebo
720 nebo dokonce 1080).
Poznámka:
Tuto metodu znáte prakticky všichni, i když se nedíváte na politiky v TV nebo se nezabýváte digitální fotografií. Stačí, pokud máte
doma záclony vyrobené z tenkých vláken. Při jejich překrývání vznikají pohybem různé futuristické obrazce, které ještě umocňuje
přímo dopadající sluneční světlo.
Princip metody moiré:
Metoda moiré představuje jakési „optické zesílení“ měřené deformace. Principem metody je existence dvou
mřížek – pevné pozorovací a pohyblivé spojené s měřeným objektem. Při průchodu světla spolu tyto dvě
mřížky interferují a i nepatrný pohyb jedné z mřížek představuje významné okem postřehnutelné změny ve
světelných poměrech na pozorovací mřížce.
počáteční stav
posun o 0,1 mm
posun o 0,2 mm
posun o 0,3 mm
počáteční stav
pootočení o 1°
pootočení o 2°
pootočení o 3°
Poznámka:
Moiré efekt se projeví i při zobrazení a zejména tisku této stránky, protože mřížky interferují s rastrem monitoru resp. s rastrem použité
tiskárny. Přesto věřím, že výsledek efektu je alespoň trochu patrný.
Velice často se k tvorbě mřížky na zkušebním tělese využívá promítnutí pevné mřížky na povrch zkoušeného tělesa nebo i promítnutí
dvou navzájem posunutých nebo pootočených mřížek, které pak v různých výškách 3D objektu spolu různě interferují.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
170
Příklady měření (zobrazení) pomocí metody moiré:
Metoda moiré aplikovaná na 3D objekty
Další aplikace metody moiré
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
171
10.2.3 METODA S.P.A.T.E.
(Stress Pattern Analysis by Thermal Emissions)
Princip této metody spočívá v předpokladu, že každý děj (i elastický) není ideální – tedy bezztrátový.
V průběhu zatěžování vzniká v důsledku deformací určité množství tepla, které se „ztrácí“ na povrchu
součásti. Až dosud jsme tento děj neuvažovali, protože vznikající teplotní změny jsou tak malé, že výsledný
stav „neovlivní“. I v praxi nebylo možno vzhledem k technickým možnostem toto uvolněné teplo pozorovat a
zaznamenat.
První pokusy s měřením v infračerveném poli pocházejí z oblasti zbrojního a kosmického programu.
Postupně se však metody infračerveného vidění rozvinuly i do běžnějších oblastí lidského života. Jednak to
je uplatnění v lékařství a jednak to zejména souvisí s úsporami energií. Pomocí infračervených snímků je
možné pozorovat „nemocná“ místa na lidském těle resp. odhalit abnormality v teplotě povrchu těla a
v technické praxi odhalit místa se zvýšenou teplotou – nejčastěji místa špatně izolovaná. Tyto obrázky jste
určitě již někdy viděli a jsou velice ilustrativní a efektní.
Záznam úniku tepla z obytné budovy,
záznam rozložení teplot v horském údolí a záznam rozložení teplot v lidské dlani
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
172
V oblasti měření dissipovaného (uvolněného) tepla v důsledku deformací součásti je situace o to
komplikovanější, protože vznikající ohřevy jsou v řádech setin až desetin stupně celsia a v důsledku
odvodu tepla bezprostředně po deformaci „vymizí“ – dissipují do okolí.
a)
b)
c)
Příklady rozložení teplotního pole v okolí:
a) kolmé trhliny, b) šikmé trhliny, c) kruhového otvoru
Nejčastěji se tak tato metoda využívá při cyklickém namáhání, kde se teplo uvolňuje při každém cyklu a
nedochází tak k jeho rychlému odvodu do okolí. Ale i tak je tato metoda velice citlivá na podmínky
provedení, kvalitu měřícího zařízení a přesnost celého měření.
Obrázky výsledku infračerveného testu (S.P.A.T.E.) pro vzorek z
titanové slitiny komerčně značené 21S. Měřítko je provedeno
v bezrozměrných jednotkách odpovídajících teplotní amplitudě
získané infračervenou kamerou. Realizace měřícího řetězce pro
metodu S.P.A.T.E. a počítačové zpracování naměřených hodnot.
P. Brémond, Cedip Infrared
Systéme, Croissy Beaubourg,
France
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
PRUŽNOST A PEVNOST 1A
173
DOSLOV
V
ážené kolegyně a vážení kolegové,
rád jsem s vámi trávil každý týden pondělní dopoledne a úterní časné ráno. Moje přání bylo, předat vám co
nejvíce informací, které by vám alespoň trochu usnadnily přípravu ke zkoušce z Pružnosti a pevnosti 1. Také
jsem vám chtěl ukázat, že pružnost není žádným strašákem, ale jedním z mnoha předmětů na naší škole.
Doufám, že jsem vás moc nenudil a splnil předsevzetí, že chci ať se bavíte společně se mnou, s pány
Hookem, Eulerem, Bernoullim a hlavně s pružností. Snad jste alespoň občas poznali, jak může být pružnost a
pevnost zajímavou vědní disciplínou. Pokud jsem někoho z vás oslovil natolik, že se rozhodl pro další
studium pružnosti na oboru Aplikovaná mechanika tak, jak se to povedlo panu profesoru Hájkovi v mém
případě, jsem rád dvojnásob a již se těším na další setkání s vámi. Dalším pokračováním je v bakalářských
studijních programech TZSI a STR hned v příštím semestru předmět Pružnost a pevnost II, který je také
součástí teoretického základu a je tedy vyučován v obou úrovních.
Nezapomeňte, že moje nabídka z první přednášky na pomoc při řešení vašich osobních a studijních
problémů není časově omezená, a tak si můžete přijít problémy vyříkat, i když už nebudete „moji“ studenti,
protože chtě nechtě „mými“ studenty budete stále, ať vás učím nebo ne.
Všem vám přeji hodně úspěchů v nastávajícím zkouškovém období, a to nejen při zkoušce z Pružnosti a
pevnosti IA nebo jen Pružnosti a pevnosti I, ale i z ostatních předmětů, které jsou neméně důležité pro vaše
další studium. Hlavně vám přeji pevné zdraví, protože bez něho to nejde. O prázdninách si pak odpočiňte,
neubližujte si a po prázdninách dorazte s novou sílou.
učitel Pružnosti a pevnosti I
KDOPAK VÁS TO VLASTNĚ UČIL?
Narodil jsem se v roce 1957. Základní devítiletou školu a gymnázium jsem
absolvoval v Benešově. V letech 1976 - 1981 jsem studoval na Fakultě strojní ČVUT
v Praze obor Aplikovaná mechanika. Od roku 1982 učím na FS hlavně předměty:
Pružnost a pevnost I a II, Pevnost letadel a motorů, Experimentální analýza napětí,
Vybrané statě z mechaniky a pružnosti a nově také Experimentální metody
certifikace strojů. V letech 1983 - 1984 jsem absolvoval stáž ve výpočetním oddělení
SVÚSS v Praze Běchovicích, kde jsem se věnoval výpočtům potrubí. Po vzniku
Fakulty dopravní na ČVUT jsem v letech 1995 - 1998 učil předmět Pružnost a pevnost
i budoucí dopravní bakaláře.
Přednášky z PP IA (211 A001)
LS akademického roku 2014/2015
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
Jan Řezníček
PRUŽNOST A PEVNOST I – PŘEDNÁŠKY LS 2014
2014/2015
/2015
Podklad pro přednášky v bakalářském
bakalářském studijním
studijním programu
programu „Teoretický základ strojního inženýrství“
Fakulta strojní České vysoké učení technické v Praze, Technická 4, 166 07 Praha 6,
http://www.pruznost.unas.cz
Vystaveno dne 5. února 2015
2015 na:
Vydání šesté
šesté (první vydání akademick
akademický
emický rok
rok 2009/2010)
2009/2010)
173 strany
strany, 342 obrázky
obrázky, 48 příkladů.
Download

PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKY - CVUT v Praze, Fakulta strojni