Hookeův zákon pro krut
Průřezy I a II, vzdálené od sebe o délku L se natočí při
namáhání kroutícím momentem Mk=F·a o úhel zkroucení υ a
povrchová přímka AB se stane částí strmé šroubovice AB´,
která svírá s povrchovou přímkou AB úhel γ, zvaný zkos.
a
F
II
γ
B
I
r
A
υ
B´
x
Mk ⋅ L
ϑ=
G ⋅ Ip
M k ⋅ L 180
ϑ =
⋅
G ⋅ Ip π
o
L
F
Deformace při krutu - odvození
Délku oblouku BB´vypočteme z geometrie. BB′ = r ⋅ ϑ
Úhel γ je velmi malý, můžeme proto délku oblouku
BB´vyjádřit i vztahem BB ′ = L ⋅ γ
r⋅ϑ = L⋅γ
Mk
τ=
Wk
τ
γ=
G
Wk =
Ip
r
Po dosazení a úpravě dostaneme vztah pro výpočet úhlu
pootočení průřezů – zkrut.
Mk ⋅ L
ϑ=
G ⋅ Ip
180 M k ⋅ L
ϑ =
⋅
π G ⋅ Ip
o
Tuhostní podmínka pro KRUT
180 M k ⋅ L
o
≤ ϑ Dov .
ϑ =
⋅
π G ⋅ Ip
o
υ - úhel pootočení průřezů – zkrut [rad]
υ° - úhel pootočení průřezů – zkrut [°]
υoDov. - dovolená hodnota úhlu pootočení průřezů – zkrut[°]
Mk - kroutící moment [N·mm]
L - délka tyče namáhané krutem [mm]
G - modul pružnosti ve smyku [MPa]
Ip - polární moment setrvačnosti [mm4]
G· Ip - tuhost v kroucení [N·mm2]
Prostý rovinný OHYB
Ohyb přímých nosníků
Nosník – přibližně prizmatická tělesa (přímá osa, přibližně
stálý průřez) zatížená silami kolmými ke střednici x (v praxi se
jedná např. o čepy, osy, hřídele, dřevěné trámy…)
Rovinný ohyb vzniká v případě, kdy je stopa roviny
ohybového momentu totožná s osou souměrnosti průřezu.
Pro správné dimenzování součástí namáhaných ohybem
je důležité znát velikost maximálního ohybového
momentu.
F
F
q
Q
F
Uložení nosníků při ohybu
Staticky určité
Staticky neurčité
-
bez převisů = prostý nosník
F
B
A
- např. 2x rotační vazba, …
-
s převisem
- nebo vetknutí + obecná vazba, …
B
A
F
C
-
vetknuté = krakorcový nosník
(např. zub ozubeného kola)
C
F
F
B
Zatížení nosníků při ohybu
1)
2)
3)
4)
Jedna nebo více osamělých sil
Jedna nebo více silových dvojic
Spojité zatížení - rovnoměrně rozložené
- nerovnoměrně rozložené
Kombinace předchozích
Profily nosníků namáhané ohybem
Kruhový profil – plný či dutý (trubka)
Obdélníkový profil – plný
Čtvercový profil – plný
I – profil a jiné
Eulerova metoda myšleného řezu
F
F
x
RAx
RAz
C
x
a
b
MoC
x
y
RAx
RAz
RB
neutrální osa (y)
y
x
σt,max
RB, RAz
z
stopa roviny
ohybového momentu (z)
(xz) – rovina ohybového momentu
Slouží k určení vnitřních sil
přenášených průřezy nosníku.
TC
levá část
T
σd,max
Z1 Z2
C
F
M´oC
pravá část
x
T´C
L
RB
V průřezu C-C nosník rozdělíme
řezem kolmým k ose x na levou
a pravou část.
z
y
RAx
Rovnováha levé části
MoC
x
TC – brání posunu levé části nosníku ve směru osy z
TC
MoC – brání otáčení kolem osy rovnoběžné s osou y
RAz
Levá část nosníku je v rovnováze pod účinkem:
1. Vnější síly RAx, RAz
2. Vnitřní síly TC – posouvající síla
3. Momentu silové dvojice vnitřních sil MoC – ohybový moment
Definice T, Mo
Posouvající síla T – v určitém průřezu nosníku je rovna
algebraickému součtu všech vnějších sil, působících
po jedné straně průřezu.
Ohybový moment Mo – v určitém průřezu nosníku je roven
algebraickému součtu momentů všech vnějších sil,
působících po jedné straně průřezu, k tomuto průřezu.
Z definic T, Mo vyplývá, že obě veličiny jsou po délce
nosníku proměnné. Proto kreslíme jejich diagramy a
hledáme extrémní hodnoty zejména Mo,max.
Maximální ohybový moment je základní údaj pro pevnostní
řešení nosníků. Zajímá nás jeho absolutní hodnota.
Určení znaménka T a Mo
Je dáno úmluvou pro znaménka – pravidlo je vztažené k
vnějším silám.
- Kladnou posouvající sílu vyvolá vnější síla, působící na
levou část nosníku nahoru, nebo na pravou část nosníku
dolu.
- Kladný ohybový moment v určitém průřezu vyvolá vnější
síla, otáčející vzhledem k tomuto průřezu na levé části
nosníku ve smyslu oběhu ručiček hodinových, nebo na
pravé části nosníku proti smyslu oběhu ručiček
hodinových.
+Mo
+Mo
+T
levá část
pravá část
+T
Rozložení napětí v průřezu
Pro pevnost dostatečně dlouhých nosníků jsou rozhodující
normálová napětí σ vyvolaná ohybovým momentem Mo.
Tečná napětí τ vyvolaná posouvající silou T jsou
významná jen u velmi krátkých nosníků. U dostatečně
dlouhých nosníků tečná napětí neuvažujeme.
F
TLAK
y≡n.o.
Z1
z
x≡T
Z2
σd,max
TAH
y RA
dS
RB
z≡stopa Mo
σt,max
Pevnostní podmínka pro OHYB
σ o ,max =
M o ,max
Wo
≤ σ D ,o
σo,max – maximální hodnota ohybového napětí [MPa]
σD,o – dovolená hodnota ohybového napětí [MPa]
Mo,max – maximální hodnota ohybového momentu [N·mm]
Wo – průřezový modul v ohybu [mm3]
Výpočet ohybového momentu Mo
Schwedlerova věta:
V průřezu nosníku, ve kterém je posouvající síla rovna
nule (nebo mění znaménko), je lokální extrém
ohybového momentu (maximum nebo minimum).
Nás zajímá absolutní hodnota extrému – maximum.
Průřezy s Mo,max jsou nebezpečné průřezy nosníku.
Vyšetřování maximálního ohybového momentu se
provádí eulerovou metodou myšleného řezu – blíže
na cvičeních.
Výpočet průřezového modulu v
ohybu Wo a kvadratického
momentu průřezu Iy
Wy =
Iy
z1
Iy =
∫z
2
⋅ dS
(S )
Kde Wy – průřezový modul v ohybu k neutrální ose y [m3]
Iy – kvadratický moment průřezu (moment setrvačnosti) [m4]
z1 – vzdálenost nejkrajnějšího vlákna od neutrální osy y [m]
dS – velikost elementární plochy [m2]
z – vzdálenost elementární plochy dS od neutrální osy y [m]
Plný kruhový profil
Kvadratický moment průřezu
y
d
∅
π 4
Iy = Iz =
⋅d
64
Průřezový modul v ohybu
z
π 3
Wo = W y = Wz =
⋅d
32
Dutý kruhový profil - trubka
Kvadratický moment průřezu
y
D
∅
∅
z
d
(
π
4
4
Iy = Iz =
⋅ D −d
64
)
Průřezový modul v ohybu
4
⎡
π D −d
π⋅D
⎛d⎞ ⎤
Wo = Wy = Wz =
⋅
=
⋅ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
32
D
32 ⎢⎣ ⎝ D ⎠ ⎥⎦
4
4
3
b
Obdélníkový profil
Kvadratický moment průřezu
b ⋅ h3
Iy =
12
h
y
Průřezový modul v ohybu
b ⋅ h2
Wo = Wy =
6
z
Kvadratický moment průřezu
h
b
z
y
h ⋅ b3
Iz =
12
Průřezový modul v ohybu
h ⋅ b2
Wo = Wz =
6
Čtvercový profil
Kvadratický moment průřezu
a
4
a
y
a
Iy = Iz =
12
Průřezový modul v ohybu
z
a3
Wo = Wy = Wz =
6
I profil
h
x
b y
Z podmínky pevnosti v ohybu při
známé hodnotě σD,o a zjištěné
velikosti ohybového momentu Mo,max
vypočítáme velikost průřezového
modulu v ohybu Wo. K takto
vypočtené hodnotě Wo vyhledáme v
tabulce nejblíže vyšší hodnotu
vyráběného profilu.
Wo =
M o ,max
σ D ,o
Obdobně to platí i pro jiné profily např. U, L, H, T.
Download

Hookeův zákon pro krut