STATIKA HMOTNÝCH OBJEKTŮ
Statika tuhé desky
y
b
R1x
R1
a
R2
R1y
Pevný a posuvný kloub
podporující desku
x
1) Kyvný prut – odebírá 1 stupeň volnosti
(r = 1) . Jedna složka reakce.
2) Pevný kloub– ruší 2 stupně volnosti
(dvojná vazba), (r = 2). Umožňuje pootočení.
Vyvozuje 2 složky reakcí a lze jej nahradit
2 kyvnými pruty.
3) Posuvný kloub tzv. vedení po přímce –
ruší 1 stupeň volnosti (r = 1), umožňuje
posun a pootočení. Vyvozuje 1 složku reakcí
v normále k přímce (resp. ke křivce) posunu.
Lze jej v jistých mezích nahradit kyvným
prutem.
4) Vetknutí – pevné spojení tuhé desky
s podkladem. Ruší všechny 3 stupně volnosti
(r = 3) tuhé desky v rovině.
Rozbor účinku vazeb - kritérium podepření.
Označujeme:
m
- počet stupňů volnosti volného hmotného objektu
r
- počet stupňů volnosti, které jsou schopny odebrat (zrušit) použité vazby
s  mr
- kritérium podepření jako číslo, které charakterizuje polohovou
variabilitu hmotného objektu.
Podle hodnoty kritéria podepření s rozlišujeme objekty
Podepření je
s
>0
=0
<0
tvarově
neurčité
určité
přeurčité
doplňující
podmínka
staticky
přeurčité
det A  0
neurčité
Výpočet reakcí desky:
1. Posouzení statické určitosti.
2. Přerušíme vazby a nahradíme jejich působení složkami reakcí.
3. Sestavíme podmínky rovnováhy
Konstrukční prvky
Prut (přímý, zakřivený) je kon-strukční
prvek u něhož jeden rozměr převládá nad
dvěma zbývajícími. Důležitou čárou je
střednice prutu, která spojuje ve směru
převládajícího rozměru těžiště všech
příčných průřezů daného prutu.
Stěna je konstrukční prvek, jehož jeden
rozměr je výrazně menší než zbývající
dva rozměry. Zatížení působí ve
střednicové rovině (paprsky sil leží v této
rovině).
Deska je konstrukční prvek se dvěma
převládajícími rozměry, který je
zatížen kolmo ke střednicové rovině.
Skořepina je konstrukční prvek se
dvěma převládajícími rozměry a se
zakřivenou střednicovou plochou. Při
obecném zatížení se v ní projevuje
působení jako ve stěně i v desce, tzv.
deskostěnové působení
Konstantní a proměnný průřez nosníku
a) ve směru střednice se
nemění základní rozměry
průřezu
b) náhlá změna průřezu
c) spojitá změna průřezu
Zjednodušení výpočtového modelu:
nosník si představujeme zobrazený jeho střednicí s označenými vazbami.
Idealizace nosníku jeho střednicí
Vnitřní síly v přímých nosnících
Nosník rozdělený řezem na
dvě části
l
V každém zkoumaném řezu můžeme určit vnitřní síly M, N, T jako složky výslednice
všech vnějších sil (zatížení + reakce) působících na nosník po jedné straně průřezu.
Posouvající síla T (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek
vnějších sil kolmých k tečně střednice v místě průřezu (příčných složek) působících
po jedné straně průřezu N.
Normálová síla N (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek
vnějších sil rovnoběžných s tečnou střednice v místě průřezu a působících na nosník
po jedné straně průřezu N.
Ohybový moment M (v daném průřezu) je roven algebraickému součtu
statických mo-mentů všech vnějších sil působících po jedné straně průřezu k těžišti
průřezu Nm.
Kladné smysly vnitřních sil (úmluva), tzv. „znaménková konvence“
normálová síla je kladná je-li to síla tahová
Schwedlerova věta
Základní vztah mezi zatížením a vnitřními silami je odvozen z podmínek rovnováhy na
prutovém elementu na obr.6.5.
Dané spojité zatížení f(x) rozložíme do složek
f T dx a f N dx jsou náhradní břemena od těchto
složek a působí v polovině délky dx elementu
nosníku. Sestavením podmínek rovnováhy na
elementu nosníku ve směru normálné a
Rovnováha vnitřních sil na elementu posouvající síly a momentové podmínky
k bodu o dostaneme následující vztahy:
nosníku
0




dx
 N  N  dN  f N dx  0 T  T  dT  f T dx  0  M  M  dM  Tdx  fT dx  0
2
dM
dT
dN
T

f


fN  
T
dx
dx
dx
Schwedlerova věta slovně:
Posouvající síla T se rovná derivaci ohybového momentu
podle diferenciálu střednice.
T  dM  0 znamená tato rovnice
dx
z matematického hlediska hledání extrému (maximální ohybový
moment).
Pozn.:
dM
T
dx
Položíme-li
Intenzita spojitého zatížení ve směru střednice se rovná
záporné deviaci normálové síly podle diferenciálu střednice.
Intenzita spojitého zatížení ve směru kolmém ke střednici se
rovná záporné derivaci posouvající síly podle diferenciálu
střednice.
fN  
dN
dx
fT  
dT
dx
Ze vztahů uvedených výše plyne určení stupně funkcí vnitřních dT d 2 M
sil T a M v jednotlivých intervalech (důležité pro správné dx  dx 2   f T
grafické vyjádření průběhu vnitřních sil v nosníku).
Určení stupně funkcí vnitřních sil
Intenzita
zatížení
0
konstantní
lineární
Funkce posouvající síly T
Funkce ohybového momentu M
konstantní
lineární (1°)
kvadratické (2°)
lineární (1°)
kvadratické (2°)
kubické (3°)
Prostý nosník zatížený osamělými silami (břemeny)
a ,1 N  0 v celém úseku
Ta1  A  T1a
M a1  0
M 1a  A  a1
1, 2 N  0 v celém úseku
T12  A  F1  T21
M 12  M 1a
M 21  A  a 2  F1  12
2,3 N  0 v celém úseku
T23  A  F1  F2  T32
M 23  M 21
M 32  A  a3  F1  13  F2  23
b ,3 použit výpočet „zprava (postupuje se od pravé podpory doleva)
Tb3  A  T3b
M b3  0
M 3b  M 32
N  0 v celém úseku
Prostý nosník s rovnoměrným spojitým zatížením
Reakce:
A  B  q
a ,b  N  x   0
l
2
ql
ql
Tab   Tba
T x   A  q  x   q  x
2
2
x qlx qx 2 qx
M  x   A  x  qx  

 l  x 
2 2
2
2
ql
M ab  0 pro x  0
M ba   l  l   0 pro x  l
2
Poloha nebezpečného průřezu - nulová posouvající síla udává polohu nebezpečného
průřezu, ve kterém je maximální ohybový moment
qx
ql
l
q l  l 1
M max  0 l  x0      l    ql 2
T x0    q  x0  0  x0 
2
2 2  2 8
2
2
ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI
Napětí definujeme jako velikost vnitřní síly na jednotku plochy. Napětí jsou konečné
podíly elementů vnitřních sil a ploch.
dS
Podle vnitřních sil zavádíme napětí celkové
r 
dA
dN

napětí normálové
ve směru normály k ploše
S(σr)
dA
dT
T(τ)
napětí tangenciální  
ve směru tečném k ploše.
dA
N(σ)
φ
n
t
Napětí celkové, normálové
a smykové
Můžeme-li pokládat sílu S a její složky N, T za rovnoměrně
rozložené po ploše velikosti A, určujeme napětí podílem
vnitřní síly a plochy
S
N
T
r  ,
 ,

A
A
A


Napětí má podle toho rozměr síla lomeno plochou, tady N/m 2 . Tato jednotka má
v mezinárodní soustavě jednotek SI označení pascal.
Platí tedy
1Pa  1 N/m 2  1kgm -1s -2 .
Označíme-li úhel mezi paprskem celkového napětí a normálou k ploše jako   bude platit:
   r  cos 
   r  sin 
r   2  2
Působením normálových sil se mění rozměry tělesa.
rozměr ve směru síly před deformací
l
po deformaci
l´,
rozdíl l  l   l je skutečným ( absolutním ) protažením
tělesa ve směru l, protažení záporné je zkrácení.
a) těleso se protahuje směrem působících tahových sil
b) v příčném směru se stlačuje.
Protažení tělesa
Tažená tyč se tedy ve směru tahu prodlužuje, v příčném směru
zužuje, tlačená se naopak ve směru působících sil zkracuje,
v příčných směrech prodlužuje.
Předpokládáme, že se podobně deformuje účinkem normálových sil prvek tělesa.
Označujeme skutečným protažením veličinu danou rozdílem původní délky prvku ds a
délky elementu po přetvoření ds´
s  ds   ds
Častěji než se skutečným protažením tělesa nebo elementu počítáme s poměrným
protažením  , které je poměrem skutečného protažení a původní délky, tedy
ds
l
nebo  
,

ds
l
(které má znaménko shodné se skutečným protažením a jako poměr dvou délek je to
veličina bezrozměrná).
Tangenciální (smyková) napětí způsobují posunutí
bodů v rovině průřezu. Tím se mění původní pravé úhly
v kosé.
Označíme-li jako  rozdíl posunutí dvou koncových
bodů úsečky ab kolmé před deformací k průřezu a
délku úsečky ab jako l, potom poměr rozdílu posunutí
k délce kolmého vlákna
tg    
d

nebo  
ds
l
Relativní zkosení
je poměrné zkosení.
Je to obdobně jako relativní protažení hodnota bezrozměrná. Značí tangentu úhlu, o nějž
se změnil úhel vlákna k průřezu. Protože se jedná o velmi malý úhel, lze ho zaměnit
velikostí úhlu.
Pracovní diagram
Vložíme ocelovou tyč délky l malé
průřezové plochy A do čelistí trhacího stroje
a zvyšujeme tah F. Můžeme předpokládat, že
napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně a
má hodnotu
F
.

A
a) Měříme-li délku l´ tyče mezi dvěma značkami, vzdálenými od sebe před zkouškou l ,
pozorujeme, že tato délka se vzrůstem síly F roste.
b) S rostoucím napětím vzrůstá proto také poměrné protažení.
c) Vyznačíme-li závislost normálového napětí σ na poměrném protažení ε , dostaneme
tzv. pracovní diagram. Tvar pracovního diagramu závisí na materiálu i jeho
zpracování. Proto se pracovní diagramy různých látek od sebe značně liší.
Zkušební vzorek v čelistech stroje
Trhací stroj řízený počítačem
Pracovní diagram oceli
Sledujme v pracovním diagramu závislost konvenčního
(vypočteného z původní velikosti průřezu) napětí na
poměrném protažení.
Poměr přírůstku napětí a přírůstku deformace (derivace
napětí podle relativní deformace)
E
d
d
se nazývá modul pružnosti, přesněji modul pružnosti
v tahu nebo tlaku. Bývá též nazýván Youngův modul
pružnosti. U oceli a některých jiných látek roste
protažení v oboru I lineárně, přímo úměrně k napětí,
derivace napětí podle protažení je tedy v tomto oboru
konstantní a rovná se podílu napětí a protažení
E
Pracovní diagramy pro
různé materiály


Modul pružnosti má stejný rozměr jako napětí.
Vzroste-li napětí, a tím i příslušná
deformace, nad mez pružnosti, nastává
plastické přetváření, obor plasticity .
Projevy plastického přetváření:
Odlehčování v plastickém oboru
 daleko rychlejší růst deformace při
rostoucím napětí než v oboru pružném
 závislost relativního protažení na napětí
neprobíhá podle přímky a modul pružnosti
v tomto oboru není stálý (mluvíme pouze o
okamžitém modulu pružnosti)
 deformace je v tomto oboru převáženě
plastická, proto se při odlehčení nevrací zpět
po čáře, která znázorňovala její růst, ale
klesá zhruba podle rovnoběžky s přímkou
platnou v pružném oboru.
U látek tvárných (plastických) je plastický obor
charakterizován mezí průtažnosti (mezí kluzu)  T , tj.
napětím, za něhož deformace začne vzrůstat velmi rychle,
takže deformační čára probíhá v diagramu zhruba
rovnoběžně s osou deformací a materiál se spojitě protahuje
při téměř konstantním napětí    T .
Ve výpočtech za stavu plasticity idealizujeme průběh napětí
u meze průtažnosti podle Prandtla rovnoběžkou s osou  ,
nebo mírně stoupající přímkou.
Ve skutečnosti je při dosažení napětí na mezi průtažnosti
napětí konstantní jen do určité relativní deformace a po ní
deformační čára dále stoupá, materiál se zpevňuje.
Maximální hodnota, kterou může jmenovité napětí
dosáhnout, se nazývá mez pevnosti  p . Po překročení meze
pevnosti materiál teče při současném značném zužování
průřezu, až dojde k porušení tyče – tyč se přetrhne.
V technické praxi jsou používána normová označení
jednotlivých charakteristik v pracovním diagramu oceli.
Výpočet za stavu
plasticity:
a) bez zpevnění
b) se zpevněním
Výpočet konstrukcí v praxi zjednodušujeme předpokladem, že jde o látky stejnorodé
čili homogenní, tj. stejné struktury a stejných vlastností ve všech bodech tělesa a
izotropní, tj. takové, které mají ve všech směrech stejné materiálové vlastnosti.
Ve skutečnosti se hmoty řídí těmito předpoklady jen přibližně, avšak pro výpočty podle
nauky o pružnosti a pevnosti předpoklady homogenity a izotropie materiálu prakticky
vyhovují.
Většinou namáháme materiál z různých důvodů (bezpečnost, vyloučení větších deformací
apod.) jen po mez úměrnosti. Můžeme tudíž materiál idealizovat jako homogenní,
izotropní a dokonale lineárně pružný – modul pružnosti je konstantní. Matematicky tento
vztah vyjádříme rovnicí
  E   nebo  

E
kde E je modul pružnosti,  normálové napětí a  relativní (protažení) deformace.
Rovnice vyjadřuje základní vztah teorie pružnosti, tzv. Hookův zákon.
Hookův zákon platí, jen pokud jsou splněny dva předpoklady:
 napětí nepřestoupí mez úměrnosti
 nepůsobí normálové napětí v příčných směrech.
Normálová napětí v kolmých
směrech
 Působí-li v příčných směrech další normálová
napětí, mají rovněž vliv na přetvoření
v uvažovaném směru.
 Z popisu tahové zkoušky víme, že síla působí
protažení ve směru svého vektoru a současně
příčnou kontrakci v kolmých směrech.
 Normálové napětí  x ve směru osy x vyvolává
kromě protažení ve směru svého působení také
zkrácení ve směrech y, z (záporné protažení ).
 Příčný rozměr se zkracuje ( relativně ) m krát
méně, než se prodlužuje délka ve směru tahových
sil.
 Číslo m se nazývá Poissonova konstanta a
vždy musí být větší než 2.
 Převrácená hodnota Poissonovy konstanty se
nazývá Poissonovo číslo a značí se  (v cizí
literatuře také  ).
Napětí  x tedy vyvolává relativní deformace
x 
x
,
y  z  
x
 
x
E
m
E
obdobně napětí  y samotné vyvolává relativní deformace
y 
y
,
 x   z  
,
 x   y  
y
E
E
a napětí  z samotné vyvolává relativní deformace
z 
z
z
E
E
Sečteme-li účinky všech tří napětí na protažení ve směru x , dostaneme výsledné poměrné
protažení
1
 x   x   y   z 
E
1
1
a v ostatních směrech  y   y   x   z 
 z   z   x   y 
E
E
Tyto závislosti udávají tzv. rozšířený Hookův zákon, jenž stanoví deformaci za
současného působení normálových napětí ve třech kolmých směrech na zatěžovaný prvek.
Mezi relativním zkosením a tangenciálním napětím platí vztah obdobný Hookovu
zákonu


G
kde  je relativní zkosení,  tangenciální napětí a G je tzv. modul pružnosti ve smyku.
Modul pružnosti v tahu E, modul pružnosti ve smyku G a Poissonovo číslo  jsou tři
materiálové konstanty, které v pružném oboru plně charakterizují daný materiál. Ovšem
jen dvě materiálové konstanty jsou na sobě nezávislé, protože mezi nimi platí vztah
E
G
21   
Přetvoření nevzniká jen působením zatížení, ale také podle fyziky, různými dalšími vlivy.
V praxi je to zejména změna teploty a smršťování (např. betonu).
PROSTÉ PŘÍPADY PRUŽNOSTI
Prut je konstrukční prvek, jehož jeden rozměr (délka) převládá nad ostatními rozměry
(průřez).
Střednice prutu spojuje ve směru délky těžiště všech podélných průřezů daného prutu.
Vnitřní síly působí na myšlený řez v zatíženém prutu
ohybový moment,
normálná síla,
posouvající síla.
kroutící moment - působí v rovině řezu
Působí-li na průřez jen jediná složka vnitřních sil jedná se o prostý případ pružnosti.
Prostý tah a tlak
z
x
dA
y

z
x
y
A
Tahové napětí
dx  dx
Jedinou působící vnitřní silou na průřez prutu
je normálová síla. V příčném směru nepůsobí
žádná.
Platí Navierova hypotéza:
1) Osa prutu zůstane po přetvoření přímá.
2) Všechny body dvou sousedních rovnoběžných průřezů kolmých k ose prutu
zůstanou po deformaci rovinné a kolmé k ose
prutu.
3) Z této hypotézy vyplývá, že poměrná
deformace je konstantní po celém průřezu.
dx  dx  dx dx

 konst
dx
dx
z Hookova zákona
 x  E   x  konst.
x 
N
N
dx
Oba vztahy platí pro celý průřez.
Součtová podmínka rovnováhy mezi napětím a vnitřní silou:
N
N    x dA  0  N   x  dA  0   x 
A
A
A
Normálové napětí je při prostém tahu a tlaku po celém průřezu konstantní a je rovno
normálové síle dělené plochou.
Momentová podmínka rovnováhy k ose y :
N  0    x  z  dA  0

 x  z  dA  0
A
Protože  x je konstanta,
A z  dA
A
je statický moment průřezu k těžišti, vyplývá z
momentové podmínky, že normálná síla musí procházet těžištěm (protože statický
moment průřezu k těžišti je nulový).
Při excentrickém působení vyvolává normálová síla k těžišti průřezu ještě ohybový
moment a nejedná se o prostý tah či tlak.
Velikost deformace
l
l    x dx ,
0
l
a protože
x 
x
E
,
x 
N
potom
EA
N
N l
N
  dx 
l  
dx a pro prut stálého průřezu l 
EA 0
EA
EA
0
l
Staticky neurčitý tah nebo tlak
Pro určení neznámých nám chybí tolik podmínek, kolikrát je soustava staticky neurčitá.
Statické podmínky rovnováhy se musí doplnit podmínkami deformačními.
Prostý ohyb
Jedinou vnitřní silou je ohybový moment, který působí v hlavní centrální rovině
setrvačnosti průřezu.
Navierova hypotéza:
1) Rovinné řezy kolmé ke střednici nosníku před deformací zůstanou i po deformaci
rovinné a kolmé k deformované střednici.
2) Proto se mění lineárně též relativní přetvoření
h
zh
z
M
M
y
z
 x z 
y
zd
h
Natočení dvou blízkých řezů
Průběh napětí po výšce průřezu
Statické podmínky rovnováhy
x  
My z
EIy

x  
My z
Iy
Neutrální osa je množina bodů, v nichž je normálové napětí nulové.
Označíme-li
Iy Iy
Wd 

zd  d
Wh 
Iz Iy

zh  h
potom
kde Wd , Wh průřezový modul dolní a horní.
My
Wd
d
My
Wh
h
Tangenciální napětí za ohybu
Případy, kdy na nosníku je jedinou vnitřní sílou ohybový moment, nejsou časté. Ve
skutečnosti se spolu s ohybovými momenty obvykle na nosníku vyskytuje také
posouvající síla.
1) Nosník vytvořený z pěti prken tloušťky h
mezi sebou vzájemně nespojených.
2) Únosnost průřezu je úměrná průřezovému
modulu, pět prken bude mít průřezový modul
Zvětšení únosnosti slepením
1
5
W5  5   bh 2  bh 2
6
6
3) Slepením vznikne jeden nosník o výšce 5h . Průřezový modul tohoto nosníku bude
1
25 2
2
W1  b5h   bh
6
6
Slepením prken se průřezový modul nosníku zvětšil pětkrát. Lepidlo brání posunování
prken vzájemně po sobě. Při ohybu nosníku vznikají mimo normálových napětí také napětí
tangenciální (smyková).
Grashofova hypotéza
Předpokládáme, že u symetrického průřezu zatíženého v rovině souměrnosti je složka
tangenciálního napětí  xz stálá v celé vrstvě vláken rovnoběžných s neutrální osou.
Při označování tangenciálních napětí používáme
dvojitého indexu:
1) První index značí směr normály k rovině, v níž
tangenciální napětí působí.
2) Druhý index značí směr tohoto napětí. Napětí
 xz tedy
značí napětí, které působí v rovině YZ a
mající směr osy Z.
3) Oba indexy u tangenciálního napětí je možno
zaměnit, neboť platí věta o vzájemnosti složek
tangenciálního napětí, podle které  ij   ji (což
vyplývá z momentové podmínky tangenciálních
napětí k těžišti elementu dle obr.).
Kladné směry tangenciálních
napětí
Oddělme z nosníku část omezenou dvěma sousedními průřezy x, x+dx a z horní části
element až po vlákna vzdálená z od neutrální osy:
1) Ve směru osy X působí na element v rovinách sousedních průřezů normálová napětí,
která jsme vyšetřili z účinku ohybového momentu (kladná jako tahy)
2) Na spodní plochu elementu působí konstantní tangenciální napětí
směru osy x).
 zx
Výpočet tangenciálního napětí podle Grashofovy hypotézy
(kladné proti
Ze součtové podmínky rovnováhy ve směru osy X vyplývá pro prizmatický nosník
následující výraz pro tangenciální napětí za ohybu
T S ze
 xz   zx 
I y 2
kde
 xz   zx je tangenciální napětí v průřezu x ve vláknech vzdálených z od těžišťové
osy,
T je posouvající síla v průřezu x,
Iy je moment setrvačnosti celého průřezu v místě x,
Sze je statický moment k těžišťové ose části průřezu nad vlákny z až po horní
okraj průřezu a 2 je šířka průřezu ve vzdálenosti z nad těžišťovou osou.
OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU
- rovinné průřezy zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se.
- při prostém ohybu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině
vnějších sil, která také obsahuje osu nosníku (spojnice těžišť všech průřezů)
- druhá hlavní centrální osa setrvačnosti je v každém průřezu osou neutrální
Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.
V teorii prostého ohybu nosníku také předpokládáme:
-
pružný materiál, jehož chování se řídí Hookovým zákonem
kolmo k ose nosníku nepůsobí žádná normálová napětí
nepřihlíží se ani k vlivu zkrácení osy nosníku
délka ohybové čáry je tedy stejná jako délka nepřetvořené osy.
w
x
Pohyb posuvné podpory při ohybu nosníku
- určujeme tedy ohybovou čáru jako w  w x .
Z obr. Vyjádříme
u
u  z  tg  z  
w
u´
φ
Prostý ohyb nosníku
Relativní prodloužení
z
φ
x 
Po derivování podle x platí
tg 
dw
dx
posunutí u je přibližně rovno u´ , tedy


u  u  cos   u 1   2   4  ......  u
dw
uz
dx
u du

dx dx
du d  dw 
d 2w
 z
z 2 .
dx dx  dx 
dx
x  
při prostém ohybu platí
Porovnání výrazů dostaneme
a z toho
My z
E  Iy
My z
du
d 2w

 x 
z 2
E  Iy
dx
dx
My
d 2w
.


2
dx
E  Iy
Tato rovnice představuje diferenciální rovnici druhého řádu pro výpočet ohybové čáry a je
označována jako Bernoulliova rovnice průhybové čáry.
Tuto diferenciální rovnici můžeme dvakrát integrovat a dostaneme postupně
My
My
dw
d 2w

 

dx  C1 
2
dx
E  Iy
E  Iy
dx
 My


w    
dx   dx  C1 x  C2
 E  Iy 
Pro výpočet ohybové čáry je třeba rozdělit nosník na integrační intervaly.
Máme-li n integračních intervalů, dostaneme při vyjádření průhybů celkem 2n
integračních konstant, v každém intervalu dvě. Integrační konstanty určujeme pomocí
okrajových podmínek, tj. podmínek na koncích nosníku a podmínek spojitosti ohybové
čáry, které pro jednotlivé typy okrajů jsou tyto:
a) v místě kloubové podpory nebo posuvné podpory je průhyb nulový, tj. w  0
dw
0
b) v místě vetknutí je průhyb a pootočení nulové, tj. w  0;
dx
c) na rozhraní mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohybová čára spojitá a spojité jsou i
 dw   dw 
první derivace wi  wi 1 ;     
 dx i  dx i 1
d) v místě vnitřního kloubu mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohybová čára spojitá, tj.
wi  wi1
Typy okrajů jsou vykresleny na obrázku.
a)
b)
c)
i
w= 0
d)
i+1
i
i+1
w0
dw
0
dx
w= 0
w= 0
wi  wi 1
 d   d 

 

dx
dx

i 
i 1
wi  wi 1
U nosníků symetrických a symetricky zatížených je i ohybová čára souměrná. Můžeme
tedy řešit u symetrických konstrukcí pouze polovinu nosníku a na ose symetrie psát
okrajovou podmínku ve tvaru
dw
sym :
0
dx
Clebschovo řešení.
redukuje počet integračních konstant až na dvě
na rozhraní dvou intervalů je působiště osamělého břemene:
F
1
2
p
x
x-p
Osamělé břemeno
- ohybový moment nalevo a napravo od osamělého břemene F se liší pouze o člen
M   F  x  p .
- označíme-li tedy ohybový moment v intervalu (1) M1  x , bude ohybový moment
v intervalu (2) roven M 2  x   M1  x   F   x  p 
Při integraci diferenciální rovnice pak obdržíme
 M1 x 
w1     
dx  dx  C1 x  C2
 EI y

 M1 x  F  x  p  
w2     
dx  dx  C3 x  C4 
EI y


 M x 
 F  x  p  
     1 dx  dx    
dx  dx C3 x  C4 
EI y
 EI y



3
 M1 x 


F

x

p
    
dx  dx 
 C3 x  C 4
EI
EI
y
y


- na rozhraní obou intervalů platí výše uvedené okrajové podmínky, tj. v místě x  p
dw dw
musí být w1  w2 a 1  2
dx
dx
3
F x  p
- protože pro x  p je člen
nulový a též jeho derivace je nulová, musí být
6 EI y
C3  C1 a C4  C2 . Jsou tedy v obou intervalech stejná integrační znaménka.
Stejným způsobem postupujeme, začíná-li na rozhraní dvou intervalů spojité zatížení.
Mohrův způsob určení průhybové čáry
- postup se zakládá na analogických vztazích mezi
průhybem a ohybovým momentem na jedné straně a
ohybovým momentem a zatížením na straně druhé
- Schwedlerova věta
q(x)
T(x)
dT  x 
 T  x   q x 
dx
dM 0  x 
 M  x   T  x 
dx
A
M(x)+dM(x)
M(x)
T(x)+dT(x)
dx
dT
Rovnici derivujeme podle x a dosadíme za
a dostaneme
dx
d 2 M 0 x
 M 0 x   q x 
diferenciální rovnici 2. řádu
dx
Srovnáme-li tuto rovnici s Bernoulliovou rovnicí průhybové čáry
My
d 2w


w 
2
dx
E  Iy
je mezi nimi zřejmá analogie. Položíme-li w x   M f  x  a
pak platí
w x     x  
T f x
a
w x  
 M y x 
M f x
EI y
 qf
EI y
EI y
Je možno získat ohybovou čáru w x  a natočení   x řešením průběhu posouvající síly a
ohybového momentu na fiktivním nosníku (vnitřní síly s indexem f). Výše uvedené zápisy
jsou matematickým vyjádřením Mohrových vět:
1. Úhel natočení v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivní posouvající síly na
fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou EI y
.
2. Průhyb v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivního ohybového momentu
na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou
EI y
.
Veličiny, které si v analogii vzájemně odpovídají, vyplývají ze srovnání diferenciálních
rovnic:
w

M
M
EI

q

dw
dx

T
dM
dx
Fiktivní nosník je takový nosník, jehož fiktivní statické okrajové podmínky
odpovídají geometrickým podmínkám skutečného nosníku. Tento fiktivní nosník,
kterým nahrazujeme původní nosník při řešení ohybové čáry jako výslednicové
čáry, nazýváme duálním ( sdruženým ) nosníkem.
skutečný nosník
duální nosník
Duální nosník tedy vytváříme tak, že
a) kloubovou podporu na konci nosníku
ponecháme beze změny
b) volný konec nahradíme vetknutím
c) vetknutí nahradíme volným koncem
d) mezilehlou podporu nahradíme vnitřním
kloubem
e) vnitřní kloub nahradíme mezilehlou podporou
Podpory původního nosníku a jemu odpovídajícího
duálního nosníku jsou uvedeny na obrázku.
STABILITA TLAČENÝCH PŘÍMÝCH PRUTŮ
Tělesa a soustavy těles v mechanice obecně jsou v rovnováze.
Kvalita rovnováhy:
Rovnováha: a) stabilní
b) labilní
c) indiferentní
Ztráta stability diskrétní soustavy zatížené tlakovou silou
Diskrétní soustava – soustava z prvků s danými mechanickými vlastnostmi (tuhost,
hmotnost atp.)
Př. tuhý prut na rotačně odpruženém kloubu, zatížený tlakovou
silou F
Rovnice rovnováhy na vychýlené soustavě
Fl sin  k z  0
a závislost poměrné síly F na úhlu 

~ Fl
F

k z sin 
a její grafické znázornění
~
Hodnota F v bodě   0 , kde
vychází neurčitý výraz, se stanoví
pomocí l´Hospitalova pravidla


1
lim
 lim
 lim
1
  0 cos
 0 sin 
 0
sin 
~
a) Mezi body 0 a B je F  1,   0 je stabilní poloha a je
to podkritická oblast
~
F
b) Bod B je tzv., bifunkční bod, bod zdvojení rovnováhy, poměrná síla  1 a je to tzv.
kritická síla. Soustava je v indiferentní rovnováze.
~
c) Je-li F  1, nachází se soustava v nadkritické oblasti.
Charakteristika rovnováhy
Znalost nadkritické charakteristiky umožňuje
stanovit kritické zatížení soustavy. Její vyšetření
není snadné vzhledem k nelineární úloze.
Již kritický stav je pro konstrukci nebezpečný a
znalost nadkritického chování není příliš zajímavá.
Technicky důležité je tedy stanovit kritické
zatížení, aniž by bylo potřeba znát nadkritické
chování soustavy.
Eulerovo řešení vzpěrné pevnosti prutu
Euler věnoval pozornost chování pružných soustav
V nejtěsnějším okolí bifunkčního bodu.
Pojmem vzpěra označujeme v technické praxi štíhlé tlačené
pruty a jejich únosnost ( pevnost ) označujeme jako vzpěrná
pevnost.
Určení vzpěrné pevnosti spočívá ve výpočtu kritického
břemene Fk, to je takové centricky působící tlakové síly, při níž
se prut nachází v indiferentní rovnováze (při vychýlení se
nevrací do původní přímé polohy, ale zůstává v nové poloze ).
Tlačený prut
Prut na obou koncích kloubově podepřen
Uvažujme vzpěru konstantního průřezu upevněnou na jednom konci kloubově a na
druhém posuvně, zatíženou tlakovou silou F. Tato vzpěra byla dočasně působícím
zatížením vychýlena ze svislé polohy.
Ohybový moment v místě x bude tedy roven
M  F w
Ohybový moment na nosníku můžeme ovšem určit též pomocí
diferenciální rovnice ohybové čáry, podle které je
d 2w
M   EI 2
dx
Ze srovnání obou výrazů pro ohybový moment dostáváme pak
diferenciální rovnici ohybové čáry při vzpěru
d 2w
EI 2  F  w  0
dx
která má řešení
F
F
w  C1 sin
 x  C2 cos
 x.
EI
EI
Integrační konstanty určíme z okrajových podmínek:
1) V kloubu musí být průhyb nulový, tedy pro x  0
je
w  0  C2  0 .
2) Druhá okrajová podmínka vyplývá z toho, že i v posuvné podpoře musí být průhyb
F
nulový, tj. pro
l  0
x  l je w  0  C1 sin
EI
Tato podmínka má jednak triviální řešení C1  0 , které odpovídá stabilní rovnováze,
jednak řešení pro kritické břemeno
2
Fk
Fk
2  EI
sin
l  0 
 l  k    Fk  k
EI
EI
l2
kde k je celé číslo.
Jako řešení dostáváme tak soustavu kritických břemen
 2 EI
4 2 EI
9 2 EI
Fk  2
,
,
, ........
2
2
l
l
l
2
 EI
Položíme-li F  Fk  2
do rovnice ohybové čáry a současně dosadíme C2  0 ,
l
dostává ohybová čára při vzpěru rovnici
x
w  C1 sin .
l
Ohybová čára je tedy jedna půlvlna sinusoidy, body s nulovou pořadnicí a současně i
inflexní body ohybové čáry jsou na obou koncích nosníku. Položíme-li za tlakovou sílu F
4 2 EI
druhý kořen rovnice F 
, dostáváme jako ohybovou čáru dvě půlvlny sinusoidy.
2
l
Indiferentní rovnováha nastává ovšem již při první velikosti kritického břemene,
další kritická břemena odpovídají podepření kromě na koncích ještě v dalších
uzlových bodech.
Kritické břemeno pro k  1 nazýváme též Eulerovo břemeno.
Fk  FE 
 2 EI
l2
Nejmenší kritické břemeno nastává pro nejmenší moment setrvačnosti, proto prut
při vzpěru vybočuje vždy ve směru nejmenšího momentu setrvačnosti. Zavádíme
tedy do vzorce minimální moment setrvačnosti.
Prut na obou koncích vetknut
Na horním vetknutém konci působí kromě osové síly F
ještě moment ve vetknutí M0 a případně i posouvající síla
T. Bude se tedy ohybový moment v průřezu x rovnat
M  F  w  T  l  x   M 0
Vzpěra vetknutá
oboustranně
a ze srovnání s diferenciální rovnicí ohybové čáry vyplývá
d 2w
EI 2  F  w  T  l  x   M 0
dx
Je to diferenciální rovnice druhého řádu s pravou stranou.
Nejmenší hodnota kritického břemene je pro k  1
 2 EI
Fk 
2
l
 
 
 2
Na oboustranně vetknutém nosníku je kritické
břemeno čtyřikrát větší než na prostém nosníku, nosník
(vzpěra) oboustranně vetknutý má čtyřnásobnou
únosnost.
Rovnice ohybové čáry má tvar
w
M0 
2x 
cos
 1

F 
l

Ohybová čára nosníku oboustranně vetknutého nosníku má 2 inflexní body (místa,
kde je druhá derivace nulová) x  l / 4 a x  3l / 4 ; vzdálenost inflexních bodů je l/2.
Centricky tlačená konzola
Konzola
Ohybové momenty v místě x M   F w0  w ,
d 2w
a protože je současně M   EI 2 , platí pro ohybovou čáru
dx
tlačené konzoly diferenciální rovnice
d 2w
EI 2  F  w  F  w0
dx
První kritické břemeno
 2 EI
Fk 
2l 2
Kritické břemeno je tedy na konzole čtyřikrát menší než na
prostém nosníku ( vzpěře ).
 x

w  w0  1  cos
.
2l 

Vzdálenost inflexních bodů na ohybové čáře je 2l.
Ohybová čára má rovnici
Prut na jednom konci vetknutý a na druhém podepřený posuvně
V posuvné podpoře vzniká vodorovná složka reakce T.
Ohybový moment v průřezu vzdáleném x od spodní podpory se
bude rovnat
M  T  l  x   F  w
d 2w
Po dosazení za ohybový moment M   EI 2 dostáváme
dx
diferenciální rovnici ve tvaru
d 2w
EI 2  F  w  T l  x 
dx
Kritické břemeno
2,0457 2 EI
 2 EI
Fk 

2
l
0,7  l 2
Jednostranně
vetknutý nosník
Vzpěrná délka
Hodnotu
kritického
břemene
můžeme ve všech případech
vyjádřit společným
 2 EI
Fk  2
L
kde L nazýváme vzpěrná délka.
Vzpěrné délky jednoduchých vzpěr konstantního průřezu
Kritické tlakové napětí
Aby konstrukce neztratila stabilitu, nesmí tlaková síla přestoupit kritické břemeno Fk dané
vzorcem. Je-li prut namáhán tlakovou silou Fk , vzniká v něm normálové napětí
Fk
A
Po dosazení za kritické břemeno Fk a s uvážením, že I  A  i 2 , dostáváme pro napětí při
kritickém zatížení
 2E
k 
2
 L
 
i
Normálové napětí, které v nosníku nesmí být překročeno, aby prut neztratil stabilitu, je
mimo modulu pružnosti E závislé na poměru vzpěrné délky L a (minimálního) poloměru
setrvačnosti i.
Tento poměr nazýváme štíhlostní poměr a označujeme λ , tedy
L

i
Při zavedení štíhlostního poměru dostáváme pro kritické napětí
 2E
k  2
k 

Závislost mezi kritickým napětím a
štíhlostním poměrem je to hyperbola
druhého stupně. Současně však nesmí
normálové napětí v prutu přestoupit
mez průtažnosti  T , kdy deformace
v prutu značně vzrůstají. je tedy
maximálně přípustné normálové napětí
dáno čarou, která je pro hodnoty
E
hyperbola druhého stupně a
 
T
pro menší hodnoty přímka.
Omezující křivka bývá v místě zlomu
nahrazována parabolou, která má s
hyperbolou i přímkou společné tečny.
Na obrázku je tato parabola nakreslena
čárkovaně.
Závislost maximálního normálového napětí a
štíhlostního poměru
Ovšem zrovna tak, jako při prostém tlaku nemůžeme v konstrukci ani její části připustit
vznik napětí na mezi průtažnosti, ale pouze dovolené namáhání, nemůžeme ani při
vzpěrném tlaku připustit kritické napětí. Konstrukce musí mít ještě předem stanovenou
bezpečnost proti ztrátě stability. Označíme-li tuto míru bezpečnosti písmenem k, nesmí
napětí při vzpěru překročit hodnotu
 2E
 2
k
Toto mezní napětí vyjadřujeme zlomkem dovoleného namáhání
 2 E  dov

2
k
c
kde c se nazývá součinitel vzpěrnosti a v pružném oboru, kde    T , je roven
k 
c  2 dov  2
 E
Součinitel vzpěrnosti c, který je vždy větší než l (při prostém tlaku c=1) obvykle
neurčujeme pomocí vztahu, ale normy pro různý materiál jej udávají v závislosti na
štíhlostním poměru  ve formě tabulek.
Při posuzování napětí v prutu na vzpěrný tlak potom
F  dov
  
A
c
KROUCENÍ VOLNÉ
Moment síly F k libovolnému bodu kruhové tyče
K  F  l1 namáhá tyč momentem v kroucení, který
vyvozuje v průřezu smykové napětí.
A


d k
A
O
Rozdělení smykových napětí kroucené válcové tyče
d
AA  d k      dx
   k
dx
dx
Poměrný úhel zkroucení

d k
dx
Po dosazení do Coulombova zákona

d
  k  k   
G
dx
Smykové napětí
 k     G je lineárně závislá funkce:
 napětí  k jsou rozdělena lineárně v průřezu směrem od středu k okraji,
 pro  max se dosahuje maximálního zkosení a tedy i smykového napětí na okraji
  xt 

r
 max je smykové napětí v průřezu směrem od středu k okraji
Síla na jednotku plochy  xt  dA působí k ose nosníku na ramenu  a vyvolává tak
moment
dK     xt  dA
K    xt  dA
Integrací po celém průřezu potom kroutící moment
Po dosazení za  xt
K
A

2
r
 max  dA 
 max
r
A
A 
2
 dA 
 max
r
Ip
Ve vzorci I p je polární moment setrvačnosti průřezu krouceného nosníku kruhového
průřezu
K
K
K
 xt   
 max   r 
Ip
Ip
Wk
kde Wk je analogicky s ohybem zavedená veličina, tzv. modul průřezu v kroucení
Pro kruhový průřez
Ip 1 3
Wk 
 r
r 2
Pro mezikruží
I p 1 r14  r24
Wk 
 
r 2
r1
Pro obdélníkový a čtvercový průřez je přesné řešení obtížné, neboť dochází k tzv.
deplanaci průřezu , tj. zborcení rovinné plochy průřezu do křivé plochy. Modul průřezu
v kroucení se neodvozuje z polárního momentu setrvačnosti, ale z průběhu napětí po
průřezu. Řešení se provádí metodami matematické pružnosti.
Základní vztahy zůstávají v platnosti, průřezový modul v kroucení je vyjádřen jiným
způsobem.
Maximální hodnota smykového napětí je uprostřed
delší strany
 max  max  xz 
K
K

b 2 h Wk
průřezový modul v kroucení je tedy Wk  b 2 h
Napětí  xy má maximální hodnotu uprostřed kratší
strany
max  xy 
H:b


1
0,208
0,208
1,2
0,219
0,196
1,5
0,231
0,180
2
0,246
0,155
K
bh 2
3
0,267
0,118
5
10
∞
0,292 0,312 0,333
0,0783 0,0421
Deformace kroucené válcové tyče
Z dříve uvedených vztahů
 max  Gr
 max 
K
r
Ip
K
GI p
Z definice poměrného zkroucení (pro konstantní moment kroucení a průřez)
d
K
 k 
dx GI p
Integrací lze získat průběh pootočení průřezu po délce nosníku.
porovnáním dostaneme vztah

Download

x y a b R1 R2 Pevný a posuvný kloub podporující desku