VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN
FAKULTA STAVEBNÍ
PROF. RNDr. ING. PETR ŠT PÁNEK, CSc.
ING. BOHUSLAV ZMEK, CSc.
PRVKY BETONOVÝCH
KONSTRUKCÍ
MODUL CM 3
NAVRHOVÁNÍ DLE ULS – KOMBINACE OHYB - SÍLA,
MÍSTNÍ NAMÁHÁNÍ, PROSTÝ BETON
NAVRHOVÁNÍ DLE SLS
STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Prvky betonových konstrukcí · Modul CM 3
© Petr Št pánek, Bohuslav Zmek, Brno 2005
- 2 (81) -
Obsah
OBSAH
1 Úvod 5
1.1 Cíle ........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5
1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klí ová slova.........................................................................................5
1.5 Použitá terminologie (nepovinné) .........................................................5
2 Navrhování dle mezního stavu únosnosti (ULS)........................................7
2.1 Prvky namáhané ohybovým momentem a normálovou silou (M,N)....7
2.1.1
Porušení prvk namáhaných (M,N)........................................7
2.1.2
Základní (vstupní) p edpoklady p sobení ú ink zatížení .....8
2.1.2.1 Stanovení silových ú ink na pr ez (znaménková konvence)8
2.1.2.2 Výst ednost normálové síly ....................................................9
2.1.2.3 Vliv štíhlosti tla eného prutu ..................................................9
2.1.3
Základní p edpoklady výpo tu meze porušení pr ezu
namáhaného (M, N) ................................................................9
2.1.4
Interak ní diagram a plocha meze porušení (M, N) .............11
2.1.5
Posuzování pr ez ...............................................................18
2.1.5.1 Posouzení pr ezu obecného tvaru .......................................24
2.1.5.2 Posouzení obdélníkového pr ezu ........................................24
2.1.5.3 Posouzení pr ezu vnit ního trámu s deskou ........................24
2.1.5.4 Posouzení pr ezu krajního trámu s deskou .........................24
2.1.6
Navrhování výztuže do pr ez ............................................24
2.2 Místní namáhání..................................................................................34
2.3 Prvky z prostého a slab vyztuženého betonu ....................................34
2.3.1
Základní rozdíly v chování prvk
z prostého (slab
vyztuženého) betonu a prvk ze železobetonu .....................34
2.3.2
Zásady pro navrhování prvk z prostého betonu..................36
2.3.2.1 Mezní stav únosnosti prvk porušených trhlinami ...............36
2.3.2.2 Mezní stav únosnosti prvk z prostého betonu bez trhlin.....44
Únosnost mimost edn tla eného prvku z prostého betonu................45
P i lineárn pružném chování prvku je tedy dosaženo mezní únosnosti
p i vzniku trhliny pouze p i...................................................46
2.3.3
Mezní stavy použitelnosti .....................................................47
2.3.4
Konstruk ní ustanovení pro prvky z prostého beton ............47
2.4 Autotest ...............................................................................................49
3 Navrhování dle SLS....................................................................................51
3.1 Chování konstrukcí za provozního stavu ............................................51
3.1.1
Uvažovaná zatížení ...............................................................51
3.1.2
Stádia p sobení betonových prvk .......................................52
3.1.3
Ukázka nadpisu na t etí úrovni .............................................53
3.1.3.1 Ukázka nadpisu na tvrté úrovni...........................................53
3.2 Kontrola použitelnosti prvk a konstrukcí..........................................53
- 3 (81) -
Prvky betonových konstrukcí · Modul CM 3
3.3
3.4
3.5
3.6
4 Záv
4.1
4.2
4.3
Mezní stav omezení nap tí ................................................................. 54
3.3.1
Modely pr ezu pro výpo et napjatosti................................ 54
3.3.1.1 Pr ez s trhlinou a tla enou ástí.......................................... 57
3.3.1.2 Trhlinou zcela porušený pr ez (tzv. mimost edný tah
s malou výst edností) ........................................................... 61
3.3.2
Omezení tlakových nap tí v betonu ..................................... 63
3.3.3
Omezení nap tí ve výztuži ................................................... 63
Mezní stav trhlin................................................................................. 64
3.4.1
Vznik a ší ka trhlin............................................................... 65
3.4.2
Omezení ší ky trhlin bez p ímého výpo tu .......................... 69
3.4.2.1 Ur ení nejmenší pr ezové plochy betoná ské výztuže ....... 69
3.4.2.2 Kontrola pr m ru výztuže.................................................... 72
3.4.2.3 Kontrola vzdálenosti prut výztuže...................................... 74
3.4.2.4 Postup p i kontrole trhlin bez p ímého výpo tu................... 75
Mezní stav p etvo ení ......................................................................... 76
3.5.1
P ípady, ve kterých lze od výpo tu p etvo ení upustit......... 77
3.5.2
Výpo et p etvo ení............................................................... 78
P i výpo tu p etvo ení je nutno uvažovat........................................... 78
3.5.2.1 Závislost mezi nap tím a p etvo ením u betonových prvk 78
3.5.2.2 Model dle EN 1992-1-1........................................................ 79
Autotest...........................................Chyba! Záložka není definována.
r .......................................................... Chyba! Záložka není definována.
Shrnutí ............................................Chyba! Záložka není definována.
Studijní prameny ............................Chyba! Záložka není definována.
4.2.1
Seznam použité literatury.Chyba! Záložka není definována.
4.2.2
Seznam dopl kové studijní literaturyChyba! Záložka není definována.
4.2.3
Odkazy na další studijní zdroje a pramenyChyba! Záložka není definována
Klí .................................................Chyba! Záložka není definována.
- 4 (81) -
Úvod
1
Úvod
1.1
Cíle
V tomto modulu se nejd íve seznámíme se zásadami navrhování a posuzování
železobetonových prvk podle mezních stav únosnosti – ULS (xxxxxx) p i
sou asném p sobení normálové síly a ohybového momentu, a také p i
p sobení místního namáhání. Dále se seznámíme se zásadami navrhování
prvk z prostého a slab vyztuženého betonu. V poslední ásti tohoto modulu
budou uvedeny zp soby posuzování železobetonových prvk podle mezních
stav použitelnosti – SLS (xxxxx).
1.2
Požadované znalosti
T etí modul prvk betonových konstrukcí p ímo navazuje na p edchozí moduly
CM 1 a CM 2. Krom jejich znalosti je t eba v pot ebném rozsahu znát a um t
používat statiku, stavební mechaniku, pružnost a pevnost.
1.3
Doba pot ebná ke studiu
MODUL CM 3 obsahuje látku probíranou ve ty ech týdnech semestru. Doba
pot ebná k jejímu nastudování bude záviset na schopnostech a p edchozích
znalostech studenta.
1.4
Klí ová slova
železobeton, prostý a slab vyztužený beton, únosnost, ohybový moment, normálová síla, interak ní diagram (M, N), omezení nap tí, ší ka trhlin, p etvo ení.
1.5
Použitá terminologie (nepovinné)
železobeton (xxxxx) – beton s ú eln vloženou nosnou výztuží, spl ující podmínky množství výztuže a stanovené konstruk ní zásady
prostý beton (xxxxx) –
slab vyztužený beton (xxxxx) –
interak ní diagram (xxxxx) –
- 5 (81) -
Navrhování dle ULS
2
Navrhování dle mezního stavu únosnosti
(ULS)
Pr ezy betonových konstrukcí se navrhují na základ p edchozího statického
výpo tu, ze kterého vyplynuly velikosti vnit ních sil od p sobení vn jšího zatížení. Dimenzování (zahrnuje navrhování i posuzování) se provádí za použití
ur itých zjednodušujících p edpoklad , které by však m ly co nejvíce odpovídat skute nosti. Základní zp sob vyšet ování konstrukcí a jejich prvk je na
ú inky b žného – jednorázového zp sobu namáhání, který je uvažován v tomto
modulu. V n kterých p ípadech je však nutné posuzovat i vliv mnohokrát opakovaného namáhání (únavu).
Dimenzování prakticky zahrnuje dva obvyklé výpo etní postupy:
− p i návrhu jsou (na základ d íve zjišt ných statických veli in) ur ovány
nutné rozm ry pr ez a výztuž v nejnep ízniv ji namáhaných pr ezech
konstrukce,
− p i posouzení se naopak na základ daných pr ezových (a materiálových)
parametr a vyztužení zjiš uje únosnost pr ez i celé konstrukce.
V tomto modulu se zam íme p edevším na posuzování p i jednorázovém namáhání.
P i vyšet ování mezních stav únosnosti se ú inky zatížení (jejich kombinace)
a pevnosti materiál uvažují návrhovými hodnotami.
2.1
Prvky namáhané ohybovým momentem a normálovou silou (M,N)
Z p edchozího statického výpo tu byly v rozhodujících pr ezech prvku konstrukce získány silové ú inky (M, N) od návrhové velikosti zatížení a jejích
nejnep ízniv jších kombinací. Úkolem je nadimenzovat pr ez prvku tak, aby
byly spln ny podmínky požadované spolehlivosti.
2.1.1
Porušení prvk namáhaných (M,N)
S p ihlédnutím k výsledk m zkoušek a s ohledem na praktické použití, lze rozlišit tyto zp soby porušení:
1) Tlakové porušení (p ípad tlaku s malou výst edností) nastává je-li tla en
celý pr ez nebo je tla ena jen jeho ást, p i emž ve výztuži ležící na odvrácené stran od tlakového centra, se p i zv tšující výst ednosti zmenšuje
tlakové nap tí a p echází do nap tí tahového. Nap tí v této výztuži p i tomto zp sobu porušení nedosáhne meze kluzu – tato výztuž není pln využita
v tahu (obr. 2.x). V tomto p ípad nastane porušení dosažením mezního
p etvo ení betonu, tedy primárn se rozdrtí beton.
2) Tahové porušení s p sobícím tla eným betonem (p ípad tlaku, pop .
tahu s velkou výst edností, v etn p ípadu prostého ohybu) nastává je-li
ást pr ezu je tla ena, p i emž nap tí ve výztuži ležící u taženého okraje
dosáhne meze kluzu – tato výztuž je pln využita v tahu (obr. 2.xb, c).
- 7 (81) -
Název p edm tu · Modul #
V tomto p ípad je tedy primárn dosaženo meze kluzu v tažené výztuži,
která se plasticky p etvá í až do dosažení mezního p etvo ení v tla eném
betonu, který se sekundárn rozdrtí. Výst ednost normálové síly, p i které
je ve výztuži ležící u taženého okraje dosaženo p etvo ení odpovídající poátku meze kluzu ve výztuži, bývá ozna ována jako ecu,bal – tento p ípad je
rozhraním mezi tlakovým porušením a tahovým porušením s p sobícím
tla eným betonem.
3) Tahové porušení s vylou eným p sobením betonu (p ípad mimost edného tahu s malou výst edností) nastává, je-li celý pr ez je tažen. P sobící
tahová normálová síla leží mezi výztužemi; beton nep sobí a silové ú inky
zatížení p enáší pouze výztuž. Ob výztuže jsou taženy, ale pouze v jedné
z nich je dosaženo meze kluzu – tato výztuž je využita (obr. 2.xd). Výst ednost, p i které p sobící síla leží v t žišti výztuže u jednoho okraje, bývá ozna ována jako etu,bal – tento p ípad je rozhraním mezi tahovým porušením s p sobícím betonem a porušením tahovým s vylou eným p sobením betonu.
Zvláštními p ípady porušení jsou:
-
Porušení p i rovnom rn rozd leném stla ení betonu: p edpokládá se
rovnom rné rozd lení nap tí v celém pr ezu, p i využití betonu a veškeré
výztuže. V tomto p ípad je nutné však p ihlédnout k možné nehomogenit
betonu v pr ezu, nebo výslednice sil v betonu na mezi únosnosti nemusí
ležet v t žišti plochy betonového pr ezu. Za ú elem vyjád ení této nehomogenity betonu se obvykle p edpokládá, že vn jší normálová síla p sobí
vždy s jistou imperfekcí udanou hodnotou výst ednosti p edepsanou v
norm .
-
Porušení p i rovnom rném tahu: p edpokládá se plné využití veškeré
výztuže v pr ezu v tahu.
Obr.2.1 Zp soby porušení mimost edn namáhaného pr ezu
2.1.2
Základní (vstupní) p edpoklady p sobení ú ink zatížení
2.1.2.1 Stanovení silových ú ink na pr ez (znaménková konvence)
OBR. 2.2
- 8 (81) -
Navrhování dle ULS
2.1.2.2 Výst ednost normálové síly
OBR. 2.3
2.1.2.3 Vliv štíhlosti tla eného prutu
DOPLNIT
2.1.3
Základní p edpoklady výpo tu meze porušení pr ezu
namáhaného (M, N)
V dalším bude pojednáno o pr ezech v tzv. bezporuchových oblastech,
u nichž lze p ibližn p edpokládat zachování jejich rovinnosti p ed a po zatížení. Poruchové oblasti ozna ované musí být vyšet ovány nap . s použitím analogických p íhradových model (viz nap . Modul CM 2).
P i ur ování únosnosti železobetonových pr ez se vychází ze stejných p edpoklad , jaké jsou uvedeny u ohybu (až na hodnoty mezních p etvo ení):
1) Zachování rovinnosti pr ez – p etvo ení vláken pr ezu je p ímo
úm rné jejich vzdálenosti od neutrální osy.
2) Dokonalá soudržnost betonu s výztuží – pom rné p etvo ení soudržné
betoná ské výztuže v tahu i v tlaku je rovno pom rnému p etvo ení
v p ilehlém betonu.
3) Pevnost betonu v tahu se zanedbává.
4) Nap tí v tla eném betonu se ur í ze zjednodušeného návrhového pracovního diagramu (parabolicko-rektangulárního, bilineárního, event.
rovnom rn rozd leného nap tí na ásti tla ené oblasti – (viz Modul
CM 1).
5) Nap tí v betoná ské výztuži, se ur í z návrhových pracovních diagram
(viz Modul CM 1).
6) Meze únosnosti je dosaženo p i dosažení mezního pom rného p etvo ení alespo v jednom z materiál , tj. bu v betonu a/nebo ve výztuži.
V mezních stavech únosnosti je omezeno pom rné p etvo ení:
- betonu v tlaku hodnotami εcu2 nebo εcu3 v závislosti na tvaru použitého
pracovního diagramu betonu (viz Modul CM 1),
- p i uvažování zjednodušených pracovních diagram betonu je nutno p i
dost edn p sobící mezní tlakové síle v betonu železobetonových pr ez
uvažovat mezní pom rné p etvo ení betonu hodnotami εc2 nebo εc3 (viz
Modul CM 1 a obr. 2.x); teprve p i zv tšující se výst ednosti této síly stoupá mezní pom rné p etvo ení betonu v tla eném okraji až na hodnoty εcu2
nebo εcu3 v závislosti na tvaru použitého pracovního diagramu.
Toto lze vysv tlit následovn : Správn bychom m li uvažovat pracovní diagram betonu s klesající v tví. Uvažujeme-li normálovou sílu N p sobící
v t žišti betonového soum rn vyztuženého pr ezu, pak maximální hodnotu této síly obdržíme p i maximální možné hodnot nap tí betonu, které p i
uvažování pracovního diagramu s klesající v tví odpovídá p etvo ení p i
dosažení vrcholu tohoto pracovního diagramu (obr. 2.x).
- betoná ské výztuže hodnotami εud u bilineárního pracovního diagramu se
stoupající v tví, v p ípad vodorovné v tve lze p edpokládat εud = ∞
(viz Modul CM 1).
- 9 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Obr. 2.x Stanovení NR p i rovnom rném stla ení soum rného pr ezu
Celé spektrum pom rných p etvo ení pr ezu na mezi únosnosti je možné rozd lit na oblasti tak, jak je nazna eno na obr. 2.x.
Pozn.: U železobetonových pr ez namáhaných ohybem je nutné v p ípadech,
kdy byla použita redistribuce moment , omezit pom r x/d, tj. pom r výšky
tla ené oblasti x k ú inné výšce pr ezu d, v závislosti na použité mí e redistribuce4, p i emž pom r x/d nesmí být v tší než 0,45 u beton t ídy
C 50/60 a nižších a 0,35 u beton t ídy C 55/67 a vyšších. Uvedeným požadavkem je sledováno zajišt ní požadovaného plastického p etvo ení oblasti, která
je p ilehlá k vyšet ovanému pr ezu.
Obr. 2.x Možná rozd lení pom rných p etvo ení v mezním stavu únosnosti
Návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku fcd se stanoví následovn :
fcd = αcc fck /γc,
(2.x)
kde γc je sou initel spolehlivosti betonu,
αcc sou initel uvažující dlouhodobé ú inky na tlakovou pevnost betonu a
nep íznivé ú inky ze zp sobu zatížení; αcc lze uvažovat v rozmezí
0,8 až 1,0, podle národní p ílohy je doporu ená hodnota 1,0.
- 10 (81) -
Navrhování dle ULS
Hodnoty sou initele spolehlivosti betonu γc budou udány v Národní p íloze
EN 1992-1-1. Doporu ené hodnoty γc v mezních stavech únosnosti jsou: pro
trvalou a do asnou návrhovou situaci γc = 1,5, pro mimo ádnou návrhovou
situaci γc = 1,2. Menší hodnoty γc lze p ipustit pouze p i spln ní zvláštních
podmínek (kontrola jakosti výroby atd.). P i návrhu na ú inky požáru podle
EN 192-1-2 je doporu ená hodnota γc = 1,0.
P i obvyklém používání p edpokladu rovnom rného rozd lení nap tí betonu
v tla ené oblasti v mezním stavu únosnosti, se uvažuje rovnom rné rozd lení
tlakového nap tí η fcd na ú inné výšce tla ené oblasti λx (viz Modul CM 1 a
nap . obr. 2.xc), kde
pro fck ≤ 50 MPa
η = 1,0 ; λ = 0,8,
(2.x)
pro 50 < fck ≤ 90 MP η = 1,0 – (fck – 50)/200 ; λ = 0,8 – (fck – 50)/200.
Pokud se ší ka tla ené ásti pr ezu sm rem k nejvíce tla eným vlákn m
zmenšuje, m že být tlakové nap tí uvažováno pouze 90 % hodnotou.
Návrhová hodnota pevnosti výztuže v tahu i v tlaku fyd se stanoví následovn :
fyd = fyk /γs,
(2.x)
kde γs je sou initel spolehlivosti výztuže.
Hodnoty sou initele spolehlivosti výztuže γs budou udány v Národní p íloze.
Doporu ené hodnoty γs v mezních stavech únosnosti jsou: pro trvalou a do asnou návrhovou situaci γs = 1,15, pro mimo ádnou návrhovou situaci
γs = 1,0. P i návrhu na ú inky požáru podle EN 192-1-2 je doporu ená hodnota
γs = 1,0.
2.1.4
Interak ní diagram a plocha meze porušení (M, N)
P i stanovení meze porušení pr ezu je d ležité, kdy výztuž v pr ezu lze
pln zapo ítat (nap tí ve výztuži se rovná mezi kluzu, pop . je v tší uvažujeme-li pracovní diagram oceli se stoupající v tví; v dalším však budeme pro
jednoduchost výkladu uvažovat pracovní diagram výztuže s vodorovnou v tví)
a kdy ne. Je z ejmé, že zapo itatelnost výztuže závisí na jejím p etvo ení
v pr ezu, které lze stanovit na základ p edpokladu zachování rovinnosti pr ezu.
Na obr. 2.x je vyzna en obdélníkový pr ez a v n m na mezi únosnosti p sobící vnit ní síly za p edpokladu rovnom rn rozd leného tlakového nap tí
v betonu. Na obr. 2.xc, kde je též nazna ena jejich výslednice NRd, p sobící
spolu s ohybovým momentem MRd. P i výpo tu je nutno si uv domit, kdy lze
po ítat s nap tím v tahové i tlakové výztuži rovným mezi kluzu.
Je z ejmé, že toto nap tí závisí na vzdálenosti této výztuže od neutrální osy.
Pokud není v této výztuži dosaženo p etvo ení odpovídající dosažení meze
kluzu (výztuž není v dostate né vzdálenosti od neutrální osy), pak je nutné ve
výztuži uvažovat nap tí menší než je mez kluzu; nap tí je t eba stanovit
s p ihlédnutím k dosaženému pom rnému p etvo ení této výztuže – viz obr.
2.xa a 2.xb. Z obrázk je z ejmé, že lze po ítat s nap tím rovným mezi kluzu,
pokud
- 11 (81) -
Název p edm tu · Modul #
v tažené výztuži
v tla ené výztuži
ε cu 3
d,
ε cu 3 + ε yd
ε cu 3
x ≥ ξ bal , 2 d 2 =
d 2 , je-li x ≤ h,
ε cu 3 − ε yd
x ≤ ξ bal ,1d =
(2.x)
(2.x)
kde ε yd = f yd / E s .
Obr.2.x Stanovení zapo itatelnosti výztuže v p ípad , že neutrální osa prochází pr ezem
Z obr. 2.xa je možno stanovit rozhraní mezi tlakovým porušením a tahovým
porušením (tahové porušení; rozhraní mezi tahovým a tlakovým porušením
xbal,1 = ξbal,1d; tahové porušení x < ξbal,1d; tlakové porušení x > ξbal,1d).
V p ípad dost edného tlaku se jedná o zvláštní (teoretický) p ípad porušení p i
rovnom rném rozd lení p etvo ení v tla eném betonu; v tomto p ípad je nutné
si uv domit, že nap tí ve výztuži nesmí být v tší než odpovídá rovnom rnému
p etvo ení betonu (podle obr. 2.x) v okamžiku dosažení maximálního tlakového nap tí – dosažení vrcholu pracovního diagramu. Proto v n kterých p ípadech p i tomto zp sobu porušení nelze po ítat s dosažením meze kluzu
v tla ené výztuži.
2.1.4.1 Interak ní diagram MRd , NRd obdélníkového pr ezu
Hodnoty mezní únosnosti pr ezu namáhaného normálovou silou a ohybovým
momentem lze vyjád it pomocí interak ního diagramu.
Pro stanovení bod interak ního diagramu meze porušení obdélníkového pr ezu (vyztuženého u obou povrch ) namáhaného v rovin svislé symetrie nejprve stanovíme mezní únosnost tohoto pr ezu v p ípad , kdy neutrální osa leží
ve vzdálenosti xbal,1 od tla eného kraje pr ezu (viz obr. 2.xa). Za p edpokladu
rovnom rn rozd leného tlakového nap tí v betonu a dostate né vzdálenosti
výztuže As2 od neutrální osy, m žeme psát:
NRd,bal = λ ξbal,1 b d η fcd + As2 fyd - As1 fyd,
(2.xa)
MRd,bal = λ ξbal,1 b dη fcd 0,5 (h - λ ξbal,1 d) + As2 fyd z2 + As1 fyd z1 .
(2.xb)
V interak ním diagramu MRd, NRd – viz obr. 2.xd lze tento p ípad znázornit
bodem 2 o sou adnicích (MRd,bal , NRd,bal ). K únosnosti pr ezu p ispívá beton a
výztuž. P í inek únosnosti betonu lze v tomto diagramu znázornit vektorem
Rc,bal (viz bod 2c na obr. 2.xd), p í inek únosnosti výztuží pak sou tem vektor
Rs1 a Rs2.
- 12 (81) -
Navrhování dle ULS
Z obrázku 2.xd je z ejmé, že podle únosnosti výztuží As1 a As2 bude bod 2 vyjad ující mezní únosnost pr ezu p i jeho porušení ležet ve výseku ohrani eném p ímkami a2 a a3; pokud bude As2 > As1, pak bod bude ležet mezi p ímkami a2 a a1; pokud bude As2 < As1, pak bod bude 2 ležet mezi p ímkami a1 a a3;
p i As2 = As1 bod bude ležet na p ímce a1.
P ípad porušení p i rovnom rném rozd lení p etvo ení v tla eném betonu po
celé výšce pr ezu (viz obr. 2.xb) lze znázornit v interak ním diagramu bodem
0 o sou adnicích (MRd0, NRd0), kde
NRd0 = b h η fcd + As2 σs + As1 σs,
(2.xa)
MRd0 = As2 σs z2 - As1 σs z1,
(2.xb)
kde σs je nap tí ve výztuži p i rovnom rném p etvo ení tla eného betonu εc3;
tj. pokud
εc3 ≥εsy = fyd / Es, potom σs = fyd ; jestliže εc3 <εsy, potom σs = εc3 Es.
Povšimn me si op t p í ink únosnosti betonu a výztuže. P í inek únosnosti
betonu lze v diagramu znázornit bodem 0c, p í inek únosnosti výztuží pak
dv ma vektory. Op t lze konstatovat, že pokud je As2 > As1, bude výsledný bod
0, p edstavující únosnost pr ezu, ležet vpravo od osy N, pokud bude As2 < As1,
pak bod O bude ležet vlevo od osy N, p i soum rné výztuži As2 = As1 bod bude
ležet na ose N.
Uvažujeme-li p ípad, kdy neutrální osa prochází práv t žišt m výztuže As1
(viz obr. 2.xc), pak výztuž As1 není namáhána a na únosnosti se podílí pouze
tla ená ást betonu a tla ená výztuž As2. V interak ním diagramu lze tento p ípad znázornit bodem 1 o sou adnicích (MRd1, NRd1), kde
NRd1 = b λ d η fcd + As2 fyd,
(2.xa)
MRd1 = b λ d η fcd 0,5 ( h - λ d) + As2 fyd z2 .
(2.xb)
P í inek únosnosti betonu lze v diagramu znázornit bodem 1c.
Bod 4 o sou adnicích (MRd, NRd = 0) znázor uje p ípad porušení prostým ohybem – viz Modul CM 2. Pokud bychom uvažovali další p ípady zjistíme, že
body, vyjad ující p í inek únosnosti betonu, leží na parabole vyzna ené
v interak ním digramu árkovanou k ivkou (viz obr. 2.xd). Je z ejmé, že pokud
bod o sou adnicích (MEd, NEd) vyjad ující ú inky návrhového zatížení, leží
uvnit árkovan šrafované plochy (viz obr. 2.xd), pak na p enesení ú ink
tohoto zatížení by mohl posta it pouze prostý beton. V tomto p ípad lze ov it
zda vyhoví pr ez z prostého betonu (zde však musíme uvažovat menší návrhovou pevnost betonu v tlaku – viz odst. 2.3); pokud pr ez z prostého betonu
nevyhoví, navrhneme minimální výztuž. Pokud bod o sou adnicích (MEd, NEd)
leží vn šrafované plochy, musíme navrhnout výztuž, jejíž plocha musí být
samoz ejm v tší než je minimální (abychom mohli považovat pr ez za vyztužený).
- 13 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Obr. 2.x Znázorn ní bod interak ního diagramu
P ípad porušení, kdy p sobišt tahové síly na mezi porušení leží v t žišti výztuže As2 lze v interak ním diagramu vyjád it bodem 4 o sou adnicích (MRdt,bal,
NRdt,bal), kde
NRdt,bal = As1 fyd,
(2.xa)
MRdt,bal = As1 fyd z1.
(2.xb)
Bod 5 o sou adnicích (MRdt0, NRdt0) znázor uje p ípad, kdy p sobišt tahové
síly na mezi porušení leží v t žišti výztuží As1 a As2, kde
NRdt0 = As1 fyd + As2 fyd,
(2.xa)
MRdt0 = As1 fyd z1 - As2 fyd z2.
(2.xb)
Z obr. 2.xd je z ejmé, že pokud je As2 > As1, bude výsledný bod 5 ležet vlevo
od osy N, pokud bude As2 < As1, pak bod 5 bude ležet vpravo od osy N, p i
soum rné výztuži As2 = As1 bod bude ležet na ose N.
Spojíme-li body vyjad ující únosnost pr ezu p i jeho porušení vhodnou k ivkou, obdržíme interak ní diagram meze porušení pr ezu – ára πu na obr.
2.xd.
- 14 (81) -
Navrhování dle ULS
Tlak N < 0; tah N > 0
e0 = h / 30 > 20 mm
Fs1 = As1 fyd
Fs2 = As2 fyd
∆Fs = (As2 − As1) fyd
bod 0
NRd0 = −(b h η fcd + ΣAs σs)
MRd0 = (As2 z2 − As1 z1)σs
σs = εc2 Es ≤ fyd
bod 1
NRd1 = −(λ b d η fcd + Fs2)
bod 1'
MRd1 = λ b d η fcd 0,5 (h − λ d) + Fs2 z2
N'Rd1 = −(λ b d' η fcd + Fs1)
d ≥ ξbal,2 d2
M'Rd1 = −λ b d' η fcd 0,5 (h − λd') − Fs1 z1
d' ≥ ξbal,2d1
σs1 = fyd
bod 2'
σs2 = fyd
bod 2
NRd,bal = −(λ ξbal,1 b d η fcd + ∆Fs)
MRd,bal = λ ξbal,1 b d η fcd 0,5 (h − λ ξbal,1 d) +
+ Fs1 z1 + Fs2 z2
N'Rd,bal = −(λ ξbal,1 b d' η fcd − ∆Fs)
ξbal,1 d ≥ ξbal,2 d2
M'Rd,bal = −λ ξbal,1 b d' η fcd 0,5.
.(h − λ ξbal,1 d') − Fs1 z1 − Fs2 z2 bod 3
ξbal,1 d' ≥ ξbal,2 d2' σs1 = σs2 = fyd
NRd = 0
bod 3'
N'Rd = 0
σs1 = σs2 = fyd
MRd = mez únosnosti p i namáhání ohybem, výztuž tažená As1, tla ená As2 – viz modul
CM 2
M'Rd = mez únosnosti p i namáhání ohybem − bod 4
výztuž tla ená As1, tažená As2
NRdt,bal = Fs1
bod 4'
M'Rdt,bal = Fs1 z1
N'Rdt,bal = Fs2
bod 5
M'Rdt,bal = − Fs2 z2
NRdt0 = Fs1 + Fs2
MRdt0 = Fs1 z1 − Fs2 z2
Obr. 2.x Interak ní diagram meze porušení obdélníkového pr ezu podle obr.2.x namáhaného
ohybovým momentem a normálovou silou (hodnoty normálových sil jsou uvedeny se
znaménkem)
- 15 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Budeme-li ozna ovat tlakové normálové síly záporným znaménkem a tahové
síly se znaménkem kladným a zavedeme-li p edpoklad rovnom rného rozd lení nap tí betonu v ú inné tla ené oblasti, lze interak ní diagram znázornit pomocí bod , jejichž sou adnice jsou uvedeny na obr. 2.x. Tento diagram lze využít p i posuzování pr ezu.
Abychom vyjád ili okolnost, že p i plném využití betonového pr ezu (p ípad
porušení p i rovnom rném pom rném p etvo ení betonu) se m že projevit vliv
nehomogenity pr ezu, EN 1992-1-1 [9] požaduje uvažovat minimální výst ednost tlakové normálové síly hodnotou
e0 = h / 30, nejmén však 20 mm,
(2.x)
kde h je výška pr ezu ve sm ru namáhání ohybovým momentem, pop . možného vybo ení tla eného prutu. Norma požaduje uvažovat minimální výst ednost e0 v p ípad symetricky vyztuženého pr ezu, ale správn výst ednost e0
by m la být uplatn na i v p ípad nesymetricky vyztuženého pr ezu, a to
v p ípadech, plného využití betonového pr ezu. Uvažování výst ednosti e0 je
graficky znázorn no na obr. 2.x árkovanými arami vycházejícími z po átku
sou adného systému.
2.1.4.2 Podmínky spolehlivosti a posuzování pr ezu pomocí interak ního diagramu
Ze zavedených p edpoklad pro výpo et meze porušení pr ezu namáhaného
normálovou silou a ohybovým momentem vyplývá, že za mez porušení se považuje p ípad, kdy alespo v jednom z materiál (v betonu nebo ve výztuži) je
dosaženo mezního p etvo ení. P i grafickém znázorn ní je mez porušení popsána arou, pop . plochou porušení. V p ípad vícesložkového namáhání lze
podmínku spolehlivosti definovat tak, aby bod F popisující vícesložkový silový
ú inek zatížení, se nalézal uvnit plochy, pop . t lesa omezeného arou, pop .
plochou πu popisující návrhovou funkci porušení pr ezu. Jakým zp sobem se
tato podmínka matematicky prokáže, je lhostejné.
Postup bude vysv tlen na p íkladu železobetonového pr ezu namáhaného
normálovou silou NEd a ohybovým momentem MEd. Ú inek zatížení je znázorn n bodem F1, interak ní diagram meze porušení arou πu – viz obr. 6.7.
V obrázku p edpokládáme, že normálové síly i ohybové momenty mají kladná
znaménka. Pro vyšet ení spolehlivosti lze p edpokládat:
1) Do meze porušení z stává normálová síla NEd konstantní, tedy NRdA = NEd.
V tomto p ípad stanovíme k této hodnot odpovídající ohybový moment
na mezi porušení MRdA (bod A na á e πu) a podmínku spolehlivosti lze
psát ve tvaru
MEd ≤ MRdA , pop . eEd ≤ eRdA
(6.11)
2) Do meze porušení z stává konstantní ohybový moment, tedy MRdB =MEd.
V tomto p ípad stanovíme k této hodnot odpovídající normálovou sílu na
mezi porušení NRdB (bod B na á e πu) a podmínku spolehlivosti lze psát
ve tvaru
NEd ≤ NRdB.
(6.12a)
- 16 (81) -
Navrhování dle ULS
Z obr. 6.7 je však z ejmé úskalí tohoto druhého zp sobu, nebo pro bod F2,
MEd > MRdB, m žeme na á e πu stanovit dva p ípro který platí
slušné body B´a B ´´a podmínku spolehlivosti musíme psát ve tvaru
NRdB´≤ NEd ≤ NRdB´´.
(6.12b)
Proto tento zp sob posouzení spolehlivosti se nepovažuje za vhodný.
3) Do meze porušení se normálová síla i ohybový moment zv tšují ve stejném
pom ru, tj. z stává konstantní výst ednost, tedy eRdC = eEd; této výst ednosti odpovídá na á e πu bod C a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru
NEd ≤ NRdC ,
pop . MEd ≤ MRdC.
(6.13)
4) Do meze porušení lze teoreticky p edpokládat jakýkoliv vývoj momentu a
normálové síly vedoucí nap . do bodu D na á e πu.
Obr. 6.7 Grafické znázorn ní podmínek spolehlivosti
2.1.4.3 Interak ní plocha porušení MRd , NRd a podmínky spolehlivosti
Zm níme-li sm r namáhání pr ezu, interak ní diagram meze porušení se
zm ní. Tyto diagramy pro r zné sm ry namáhání lze znázornit na ploše porušení – viz obr. 6.8. V obrázku je nazna en interak ní diagram ležící v rovin
svírající v p doryse úhel α s osou y a jsou zde vyzna eny možnosti pr kazu
spolehlivosti 1 až 3, uvedené v p edchozím. Dále je v obr. 6.8 vyzna en ez
plochy porušení s rovinou ležící v konstantní vzdálenosti NEd od roviny os y, z;
tohoto ezu v tšinou využíváme p i pr kazu spolehlivosti pokud je pr ez namáhán ohybovým momentem majícím složky MEdy a MEdz.
- 17 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Obr. 6.8 Interak ní plocha porušení pr ezu namáhaného normálovou
silou a ohybovým momentem
2.1.5
Posuzování pr ez
6.4.3 Posouzení pr ezu namáhaného normálovou silou p sobící v ose
soum rnosti betonového pr ezu
Navržený pr ez je vždy nutno posoudit, nebo p i návrhu jsme n které veli iny odhadovali; teprve posouzení slouží za pr kaz spolehlivosti, proto ve statickém výpo tu se asto uvádí pouze posouzení.
Jak bylo uvedeno v 6.3, posta í prokázat, že bod daný silovými ú inky zatížení
leží uvnit plochy vymezené sou adnými osami a k ivkou, pop . plochou meze
porušení pr ezu – viz obr. 6.7 a 6.8. Interak ní diagram meze porušení obdélníkového pr ezu lze jednoduše stanovit pomocí bod 0 až 5, jak je uvedeno na
obr. 6.6.
V p ípad posuzování bez interak ního diagramu obvykle p edpokládáme, že
na mezi porušení platí NRd = |NEd|, tj. p edpokládáme, že porušení dosáhneme
zv tšováním ohybového momentu p i konstantní normálové síle.
P i posouzení m žeme pro zjednodušení nahradit interak ní diagram v oblasti
p evládajícího tlaku úse kami mezi body 0,1 a 1,2 (pop . úse kou mezi body
0,2), v oblasti p evládajícího tahu pak úse kou mezi body 4,5 a obdobn mezi
body s árkou. jak je patrné z obr. 6.13 p i MEd > 0.
- 18 (81) -
Navrhování dle ULS
Obr. 6.13 Zjednodušení interak ního diagramu pro posouzení pr ezu
Z obr. 6.13 je z ejmé, že pro posouzení ú inku zatížení znázorn ného bodem F
(MEd, NEd) p i p edpokladu NRd = |NEd|, sta í ov it podmínku spolehlivosti
MEd
≤
MRd.
(6.50)
P edpokládáme-li náhradu interak ního diagramu mezi body 1,2 úse kou, pak
hodnotu MRd m žeme stanovit jako pr se ík dvou p ímek daných vztahy
N
=
NEd
,
(6.51)
M
− M Rd 1
(N Rd1 + N Ed ) .
M = M Rd 1 + Rd ,bal
N Rd 1 − N Rd ,bal
(6.52)
Pro pr se ík platí
M
− M Rd 1
(N Rd1 + N Ed ) ,
M Rd = M Rd 1 + Rd ,bal
N Rd 1 − N Rd ,bal
(6.53)
kde hodnoty MRd,bal, NRd,bal, MRd1, NRd1 vy íslíme podle vztah (6.5a), (6.5b),
(6.7a), (6.7b).
Obdobn lze postupovat i v p ípadech, kdy bod (MRd, NRd) leží v rozmezí úseek 0,1, pop . 0,2 nebo 4,5.
P i posuzování pr ez u nichž p evládá ohyb, tj. mezi body 2 a 4,stanovíme
polohu neutrální osy ze sou tové výminky rovnováhy, op t za p edpokladu NRd
= |NEd|. Zde je však nutné sledovat zapo itatelnost výztuže As2 – viz obr. 6.4.
Tuto výztuž lze pln zapo ítat pokud je spln na podmínka (6.4). Pokud nerovnost (6.4) není spln na, je t eba uvažovat nap tí v této výztuži v závislosti na
jejím p etvo ení, a proto v t chto p ípadech nelze p ímo ur it polohu neutrální
osy ze sou tové výminky, ale je nutno postupovat itera n . Pouze u obdélníkových pr ez , p i uvažování rovnom rného, pop . bilineárního rozd lení nap tí
v tla eném betonu, lze p ímo stanovit polohu neutrální osy, avšak z kvadratických, pop . kubických rovnic.
Postup posouzení obdélníkového pr
ezu
- 19 (81) -
Název p edm tu · Modul #
V dalším p edpokládáme op t obdélníkové rozd lení tlakového nap tí v ú inné
tla ené oblasti betonu.
Nejprve je t eba zkontrolovat podmínky minimálního a maximálního vyztužení
s použitím vztah (6.34) až (6.38).
Mimost edný tlak
Posouzení provedeme za p edpokladu NRd = |NEd| (NEd má záporné znaménko,
jedná se o tlak).
Ur íme hodnoty ξbal,1 a ξbal,2
ξ bal ,1 =
ε cu 3
,
ε cu 3 + ε yd
ξ bal , 2 =
ε cu 3
ε cu 3 − ε yd
(6.54)
(6.55)
a stanovíme hodnotu
NRd,bal = λ ξbal,1 b d η fcd + As2 σs2 As1 fyd ,
(6.56)
ε E (ξ d − d 2 )
kde σs2 = fyd pokud ξ bal ,1d ≥ ξ bal , 2 d 2 , jinak σ s 2 = cu 3 s bal .1
.
ξ bal ,1d
(6.57)
Rozhodneme, zda se jedná o p evládající tlak, nebo p evládající tah, a to:
- pokud |NEd| > NRd,bal jedná se o p evládající tlak – postup a,
- pokud |NEd| ≤ NRd,bal jedná se o p evládající tah – postup b.
a) P evládající tlak
Ur íme NRd0, NRd1 s využitím vztah (6.6a), (6.7a) a v závislosti na velikosti
|NEd| ov íme zda se nacházíme v ásti 0,1 lomeného interak ního diagramu
– viz obr. 6.13. Pokud vychází |NEd| > NRd0 pr ez nevyhovuje.
Pokud vychází NRd0 > |NEd| > NRd1, vy íslíme MRd0 a MRd1 s použitím vztah (6.6b) a (6.7b) a ur íme hodnotu MRd bodu (NEd , MRd) ležícího na p ímce dané body 0,1 s použitím vztahu
M − M Rd 0
(N Rd 0 + N Ed ) ,
M Rd = M Rd 0 + Rd 1
N Rd 0 − N Rd 1
(6.58)
do vztahu (6.58) musíme dosazovat hodnotu ohybového momentu MRd0
podle (6.6b) se znaménkem.
Dále stanovíme sou adnice bodu 1´ (MRd1´, NRd1´) a obdobn stanovíme
hodnotu MRd´ležícího na p ímce dané body 0,1´.
Ov íme podmínku spolehlivosti
MRd´
≤
MEd
≤
MRd.
(6.59) Pokud je
eRd0 – e0 ≤ eEd = MEd /|NEd| ≤
eRd0 + e0,
(6.60)
kde eRd0 = MRd0/ NRd0,
e0 = h / 30, nejmén však 20 mm – viz (6.10),
- 20 (81) -
Navrhování dle ULS
je t eba ješt ov it, zda nejsme v oblasti vymezené árkovanými arami
v obr. 6.13 (ve vrcholu interak ního diagramu). Pro pr se ík p ímky dané
sm rnicí (eRd0+e0) s interak ním diagramem (viz bod 6 na obr. 6.13) m žeme stanovit
M +e N
N Rd 6 = Rd 1 a Rd 1 ,
(eRd 0 + e0 ) + ea
(6.61)
M Rd 6 = N Rd 6 (eRd 0 + e0 ) ,
(6.62)
M − M Rd 0
kde ea = Rd 1
.
N Rd 0 − N Rd 1
Obdobn lze stanovit hodnotu NRd6´a MRd6´pro bod 6´.
Pro pr se ík p ímky dané sm rnicí eEd = MEd / NEd s p ímkou danou body 6
a 6´m žeme stanovit
M +e N
N Rdn = Rd 6 b Rd 6 ,
eEd + eb
(6.63)
M − M Rd 6 ´
.
kde eb = Rd 6
N Rd 6 ´− N Rd 6
Pokud platí nerovnost
|NEd|
>
NRdn
(6.64)
pr ez nevyhovuje.
Pokud vychází NRd1 > |NEd| > NRd,bal, vy íslíme hodnoty NRd1 a MRd1
s využitím vztah (6.7a) a (6.7b) a k hodnot NRd,bal, již d íve vy íslené
podle vztahu (6.56), dopo teme
MRd,bal = λ ξbal,1 b dη fcd 0,5 (h - λ ξbal,1 d) + As2 σs2 z2 + As1 fyd z1.
(6.65)
Dále stanovíme hodnotu MRd ze vztahu (6.53).
Pro podmínku spolehlivosti platí vztah (6.50).
Obdobn lze postupovat, pokud interak ní diagram v oblasti 0,2 nahradíme
p ímkou; tato náhrada je však dosti konzervativní.
b) P evládající tah
Mimost edný tlak a ohyb
Za p edpokladu NRd = |NEd| stanovíme ze sou tové výminky rovnováhy polohu neutrální osy
N Ed − As 2σ s 2 + As1 f yd
x=
,
λbηf cd
kde v prvním kroku p edpokládáme σs2 = fyd.
Pokud vyjde
x ≥ ξbal,2 d2
byl p edpoklad správný a takovou výztuž lze tedy pln zapo ítat. Pokud
však nerovnost (6.67) není spln na, musíme hodnotu x ur it iterací. V itera ním kroku lze hodnotu σs2 vyjád it z obrazce p etvo ení p i uvažování
- 21 (81) -
(6.66)
(6.67)
Název p edm tu · Modul #
hodnoty x stanovené v p edchozím itera ním kroku, tedy v 1. itera ním kroku lze uvažovat
ε (x − d 2 )
σ s 2 = cu 3
Es .
x
Po stanovení hodnoty x stanovíme z momentové podmínky
M Rd = λbxηf cd 0,5(h − λx ) + As 2σ s 2 z 2 + As1 f yd z1 .
(6.68)
(6.69)
Pro podmínku spolehlivosti platí vztah (6.50).
Mimost edný tah
Posouzení provedeme za p edpokladu NRd = NEd (NEd má kladné znaménko,
jedná se o tah).
Stanovíme hodnotu
NRdt,bal
=
As1
fyd
.
(6.70)
Rozhodneme:
- pokud NEd < NRdt,bal, jedná se o tah s p sobícím tla eným betonem – postup
a,
- pokud NEd ≥ NRdt,bal, jedná se o tah s vylou eným taženým betonem – postup b.
a) Tah s p sobícím tla eným betonem
Postup je stejný jako u tlaku s p evládajícím ohybem, avšak ve vztahu
(6.66) bude
|NEd| = - NEd, tedy
− N Ed − As 2σ s 2 + As1 f yd
x=
.
λbηf cd
b) Tah s vylou eným taženým betonem
Stanovíme
NRdt0 = (As1 + As2) fyd .
Pokud je NEd > NRd0, pr ez nevyhovuje.
Pokud uvedená nerovnost není spln na, stanovíme
MRdt0
=
As1
fyd
z1
As2
fyd
z2
,
(6.72)
MRdt,bal = As1 fyd z1
a ur íme hodnotu MRd bodu (NEd , MRd) ležícího na p ímce 4,5 s použitím
vztahu
M
− M Rdt 0
(N Rdt 0 − N Ed ) .
M Rd = M Rdt 0 + Rdt ,bal
N Rdt 0 − N Rdt ,bal
(6.74)
Do vztahu (6.74) musíme dosazovat hodnoty ohybových moment se znaménkem.
Dále stanovíme sou adnice bodu 4´(NRdt,bal´= As2 fyd, MRdt,bal´= - As2 fyd z2)
a obdobn stanovíme hodnotu MRd´ležícího na p ímce 4´5.
Ov íme podmínku spolehlivosti
MRd´
≤
MEd
≤
MRd.
(6.59)
- 22 (81) -
(6.71)
(6.73)
Navrhování dle ULS
6.4
Posouzení pr ez namáhaných normálovou silou p sobící mimo osy soum rnosti betonového pr ezu
Mez porušení vyztuženého pr ezu namáhaného normálovou silou p sobící
mimo hlavní osy setrva nosti betonového pr ezu se obecn vyšet uje za p edpoklad uvedených v odst. 6.2. Pokud nevyužíváme po íta ové programy, pak
p i zavedení p edpokladu parabolicko lineárního, nebo bilineárního rozd lení
nap tí v tla eném betonu a uvažování pracovního diagramu výztuže se stoupající v tví, je výpo et velmi pracný. S výhodou lze využít n kterých zjednodušených metod, nebo použít grafického ešení, které je názorné. P i použití
zjednodušených metod musíme však respektovat omezující podmínky pro jejich použití.
Povšimneme-li si interak ní plochy porušení – viz obr. 6.8; je z ejmé, že pokud
p sobišt síly bude ležet poblíže hlavní osy soum rnosti (bude ležet ve vyšrafovaných plochách (viz obr. 6.14). Pak je možné pr ez navrhnout i posoudit
p i zanedbání výst ednosti v druhém sm ru. Odd lené posouzení v hlavních
osách soum rnosti se p ipouští, pokud jsou spln ny podmínky
ey / h
e /b
≤ 0,2 nebo z
≤ 0,2 ,
ey / h
ez / b
kde b,h jsou náhradní rozm ry pr ezu dále stanovené– viz obr. 6.14,
b = i y 12 a h = i z 12
iy,iz je polom r setrva nosti pr ezu vzhledem k ose y,z,
ez
= MEdy /NEd; výst ednost ve sm ru osy z,
= MEdz /NEd; výst ednost ve sm ru osy y,
ey
MEdy
návrhová hodnota ohybového momentu p sobícího kolem osy y,
MEdz
návrhová hodnota ohybového momentu p sobícího kolem osy z,
NEd
návrhová normálová síla.
Pozn.: U štíhlých prvk (viz. kap. 7) musí být ješt spln ny podmínky pom r
štíhlostí
λy/λz ≤ 2 a λz/λy ≤ 2 , kde λ = l0 / i s ohledem na p íslušné osy y, z).
Obr. 6.14 Definice výst edností ey a ez
- 23 (81) -
(6.75)
Název p edm tu · Modul #
V p ípad , že podmínka (6.75) není spln na, lze využít k ivku ezu interak ního diagramu vedeného v úrovni NRd = NEd - viz obr. 6.8. Podmínku spolehlivosti pak lze psát ve tvaru
M Edy
a
M Rdy
kde
MEdy, MEdz je
MRdy, MRdz
a
pom ru NEd /NRd;
1,0
a
≤ 1,0 ,
(6.76)
návrhová hodnota ohybového momentu, vyvozeného
zatížením, to ícího kolem osy y, resp. z,
návrhová hodnota ohybového momentu na mezi
únosnosti to ícího kolem osy y, z ,
sou initel, jehož hodnota závisí na tvaru pr ezu a
pro kruhové a eliptické pr ezy: a = 2
pro pravoúhelníkové pr ezy: NEd /NRd0
a=
2,0
ním,
M Edz
+
M Rdz
NEd
NRd0
Ac
As
Text kapitoly…
0,1
0,7
1,0
1,5
pro mezilehlé hodnoty NEd /NRd0 lze interpolovat,
návrhová hodnota normálové síly vyvozené zatíženávrhová hodnota normálové síly na mezi únosnosti
daná vztahem NRd0 = Ac η fcd + As fyd ,
plocha betonového pr ezu,
pr ezová plocha podélné výztuže.
2.1.5.1 Posouzení pr ezu obecného tvaru
Text kapitoly…
2.1.5.2 Posouzení obdélníkového pr ezu
Text kapitoly…
2.1.5.3 Posouzení pr ezu vnit ního trámu s deskou
Text kapitoly…
2.1.5.4 Posouzení pr ezu krajního trámu s deskou
Text kapitoly…
2.1.6
Navrhování výztuže do pr ez
6.3
Návrh a posouzení pr ez namáhaných normálovou silou p sobící v ose soum rnosti betonového pr ezu
6.3.1
Návrh rozm r pr
ezu
V praxi se setkáváme velmi asto s obdélníkovými pr ezy soum rn vyztuženými, pokud p evládá namáhání tlakovými normálovými silami, nebo normálovými silami a ohybovými momenty p sobícími v p ibližn stejných velikostech v obou sm rech – nap . p i zatížení v trem, pop . i nesoum rn vy- 24 (81) -
Navrhování dle ULS
ztuženými, pokud p evládá namáhání normálovými silami a v tšími ohybovými momenty p sobícími pouze v jednom sm ru (lze p edpokládat cca
ed > 0,25 h).
P i návrhu je t eba zvážit následující kombinace namáhání:
- v absolutní hodnot maximální tlaková normálová síla s p íslušným ohybovým momentem: max|NEd|, MEd;
- maximální hodnota ohybového momentu a p íslušnou normálovou sílou:
max|MEd1|, |NEd1|;
- maximální hodnota ohybového momentu p sobícího v opa ném sm ru než
p sobí MEd1 s p íslušnou hodnotou normálové síly max|MEd2|, |NEd2|.
P i návrhu rozm r pr ezu vycházíme z hodnoty normálové síly NEd a ohybového momentu MEd. V rovnicích rovnováhy se p edpokládá, že návrhové
hodnoty meze porušení se práv rovnají návrhovým hodnotám ú ink zatížení,
tj. NRd = NEd, MRd = MEd.
P i p evládající normálové síle NEd, pop . p i prvním kroku návrhu, pokud
nejsme jisti, že p evládá ohybový moment, ur íme návrhovou plochu tla eného
betonu ze vztahu
N Ed
Acd ≅
,
0,9η f cd + ρ sσ s
(6.14)
kde ρs je celkový zvolený geometrický stupe vyztužení ρs = As / Acd; σs =
fyd pokud fyd ≤ εc2 Es, jinak σs = εc2 Es.
Dále
ur íme
hd = Acd
(6.15)
a hd porovnáme s výst edností eEd. Pokud platí eEd ≤ 0,1 hd, navrhneme tvercový pr ez o stran h ≥ hd. Ve vztahu (6.14) zpravidla volíme ρs v rozmezí
0,003 až 0,03. Jedná-li se nap . o sloup vícepodlažní rámové konstrukce a
chceme-li navrhnout sloup stejného pr ezu p es n kolik podlaží, pak p i návrhu plochy Acd nejvíce namáhaného sloupu m žeme volit ρs = 0,02 až 0,04.
Pokud vychází 0,1 hd < eEd ≤ 0,5 hd, navrhneme obdélníkový pr ez o výšce
h ≥ 3 Acd / 2 a o ší ce b ≥ 2h /3.
P i p evládajícím ohybovém momentu, tj. pokud vychází 0,5 hd < eEd ≤ 2 hd,
m žeme pr ezové rozm ry stanovit z momentové výminky pro rozhraní mezi
tlakovým a tahovým porušením, tj. ze vztahu (6.5b). Uvažujeme-li MRd,bal =
MEd, d = 0,9 hd, z1 = z2 = 0,4 hd, ρs = (As1 + As2) / (b hd), obdržíme po dosazení
do vztahu (6.5b)
MEd = λ ξbal,1 b 0,9 hd η fcd 0,5 (hd - λ ξbal,1 0,9 hd) +ρs b hd fyd 0,4 hd,
odkud
M Ed
hd =
.
0 ,45λξ bal ,1 (1 − 0 ,9λξ bal ,1 )ηf cd + 0 ,4 ρ s f yd b
[
]
(6.16)
Zvolíme-li b, m žeme ze vztahu (6.48) stanovit hd, p i emž by m lo vyjít hd ≈
(0,5až 0,67) b; pokud nedosáhneme tohoto pom ru, zvolíme nové b a postup
opakujeme. Výšku pr ezu pak navrhneme h ≈ hd.
- 25 (81) -
Název p edm tu · Modul #
P evládá-li významn ohybový moment, tj. eEd > 2 hd, pak rozm ry pr ezu
lze navrhnout jako u ohýbaného jednostrann vyztuženého obdélníkového pr ezu namáhaného momentem
MEd p i uvažování ξmax – viz kap. 4. Momentová výminka vztažená k t žišti tažené výztuže p i uvažování MRd = MEd
je
MEd = λ ξmax b dd η fcd (dd – 0,5 λ ξmax dd)
odkud
M Ed
dd =
.
bηf cd λξ max (1− 0 ,5λξ max )
(6.17)
Zvolíme-li b, m žeme ze vztahu (6.17) stanovit dd; volíme-li d1 = 0,1dd (obr.
6.4), bude hd = 1,1 dd, p i emž by m lo platit b ≈ (0,5 až 0,67) hd; pokud nedosáhneme tohoto pom ru, zvolíme nové b a postup opakujeme. Výšku pr ezu
pak navrhneme h ≈ hd.
Navržené rozm ry se obvykle zaokrouhlují na násobek 50 mm, pop .
s p ihlédnutím k rozm r m použitého bedn ní.
6.4.2
Návrh výztuže
P i návrhu ekonomické výztuže mimost edn namáhaného pr ezu daného
tvaru, budeme navrhovat výztuž pouze tam, kde v ní nap tí dosahuje návrhové
pevnosti, tj. výztuž je pln využita. Z obr. 6.9 je z ejmé, že pokud bude bod
daný ú inky návrhového zatížení (MEd, NEd) ležet vn vyšrafované plochy, je
t eba navrhnout výztuž.
Obr. 6.9 Optimální výztuž obdélníkového pr ezu mimost edn namáhaného
Pokud je NEd tlakovou silou (NEd < 0) pak platí:
|NEd| > Nc,bal , jedná se o p ípad tlakového porušení, tj. bude rozhodovat p evládající tlak,
|NEd| ≤ Nc,bal, jedná se o p ípad tahového porušení, bude rozhodovat p evládající tah ve výztuži.
Pokud je NEd tahovou silou (NEd >0), jedná se vždy o tahové porušení.
- 26 (81) -
Navrhování dle ULS
V obr. 6.9 jsou p ímkami až a5 vyzna eny oblasti, ve kterých lze v závislosti na
namáhání pr ezu r zn využit tla ený beton:
v oblasti I bude výška tla ené oblasti x = xbal,1 ; je t eba navrhnout výztuž As1
a As2,
v oblasti II bude výška tla ené oblasti xbal,1 < x < h; je t eba navrhnout pouze
výztuž As2,
v oblasti III bude výška tla ené oblasti x < xbal,1 ; je t eba navrhnout výztuž As1,
v oblasti IV bude tla en celý betonový pr ez; je t eba navrhnout výztuž As1 a
As2,
v oblasti V beton nep sobí; je t eba navrhnout výztuž As1 a As2.
Poznámka: P ímky a2 a a4 jsou dány úhlem arctan (1/z2), obdobn p ímky a3 a
a5 jsou dány úhlem arctan (1/z1)- viz obr. 6.9.
P i návrhu budeme uvažovat návrhovou hodnotu normálové síly NEd se znaménkem kladným, pokud je tahem, a se znaménkem záporným, pokud je tlakem, MEd je vždy uvažován jako kladný moment.
Návrh ekonomické výztuže obdélníkového pr ezu namáhaného normálovou silou p sobící v ose symetrie betonového pr ezu
Pro výpo et je vhodné vyjád it ohybový moment od návrhového zatížení
k t žišti výztuže As1 a As2 – viz obr. 6.10
M Ed 1 = M Ed − N Ed z1 ,
(6.18)
M Ed 2 = M Ed + N Ed z2 .
(6.19)
Obr. 6. 10 Mimost edn namáhaný pr ez – momenty vztažené k t žištím výztuží
P i p evládajícím tlaku není t eba v oblasti II P i p evládajícím tlaku není
t eba v oblasti II tahová výztuž, p edpokládáme že ú inek zatížení bude p enášet pouze tla ený beton a tlaková výztuž As2. Proto z momentové podmínky
psané k t žišti výztuže As2 stanovíme polohu neutrální osy; pro obdélníkový
pr ez lze použít vztah
2M
d
x = 2 1 + 1 − 2 Ed 2 ;
λ
bd 2 ηf cd
(6.20)
- pokud vychází xbal,1 < x < h/ , nalézáme se v oblasti II a návrhovou (požadovanou – required) plochu výztuže As2,req stanovíme ze sou tové výminky
− N Ed − λbxηf cd
;
As 2 ,req =
f yd
(6.21)
- 27 (81) -
Název p edm tu · Modul #
pokud vychází x ≥ h/ , nalézáme se v oblasti IV a návrhové plochy výztuže
As1,req a As2,req stanovíme z momentových podmínek
− M Ed 2 − bhηf cd z 2
As1,req =
,
σ s ( z1 + z 2 )
(6.22)
M − bhηf cd z1
As 2 ,req = Ed 1
.
σ s ( z1 + z 2 )
(6.23)
kde σs = fyd pokud fyd ≤ εc2 Es, jinak σs = εc2 Es; v oblasti IV je t eba
vždy po ítat s minimální výst edností e0, tj. uvažovat hodnotu ohybového
momentu MEd2
MEd,min= NEd e0; s ohledem na požadovanou minimální
výst ednost e0, doporu uje se v oblasti IV stanovit As1,req a As2,req a navrhnout symetrickou výztuž Asi > max (As1,req ; As2,req);
- pokud vychází x ≤ xbal,2 a sou asn x ≤ xbal,1, pop . x vychází jako nereálné
íslo, pak se nalézáme v oblasti I a návrhové plochy výztuže As2d a As1d stanovíme z momentové a sou tové podmínky
M − λbξ bal ,1dηf cd 0 ,5(h − ξ bal ,1d )
As 2 ,req = Ed 1
,
f yd (z1 + z 2 )
(6.24)
N + λbxηf cd
As1,req = Ed
+ As 2 d .
f yd
(6.25)
P i p evládajícím tahu není t eba v oblasti III tlaková výztuž, p edpokládáme
že ú inek zatížení bude p enášet pouze tla ený beton a tahová výztuž As1. Proto
z momentové podmínky psané k t žišti výztuže As1 stanovíme polohu neutrální
osy. Pro obdélníkový pr ez platí
-
x=
d
λ
1− 1−
2M Ed 1
;
bd 2ηf cd
(6.26)
- pokud vychází 0 < x ≤ xbal,1, nalézáme se v oblasti III a návrhovou plochu
výztuže As1d stanovíme ze sou tové výminky
N + λbxηf cd
;
As1,req = Ed
f yd
(6.27)
- pokud se nalézáme v oblasti I, položíme x = xbal,1, návrhové plochy výztuže
As1d a As2d stanovíme op t ze vztah (6.24) a (6.25);
- pokud se nalézáme v oblasti V, p edpokládáme, že beton nep sobí; návrhové plochy výztuže As1d a As2d stanovíme z momentových podmínek
M Ed 2
,
As1,req =
f yd ( z1 + z 2 )
(6.28)
− M Ed 1
.
As 2 ,req =
f yd ( z1 + z 2 )
(6.29)
Poznámka:
- 28 (81) -
Navrhování dle ULS
Pro stanovení hodnoty x ze vztah (6.20), pop . (6.26), m žeme postupovat též
následovn :
a) ov íme zda nejsme ve vyšrafované oblasti (obr. 6. 9), tj. zda platí p i NEd <
0
|NEd
|
≥
λ
b
x
η
fcd
(6.30)
(6.31)
λ
≥
MEd
b
η
x
fcd
0,5
(h
λ
-
x)
b) pokud jsou spln ny nerovnosti (6.26) a (6.27), m žeme ú inky NEd, MEd
rozložit na ást p enášenou betonem a zbývající, kterou bude t eba p enést výztužemi – viz obr. 6. 11; plochy výztuží stanovíme ze vztah
As1,req =
∆N
2
−
∆M 1
zs σ s
,
(6.32)
As 2 ,req =
∆N
2
+
∆M 1
,
zs σ s
(6.33)
kde σs = fyd; avšak v oblasti IV σs = fyd pouze pokud fyd ≤ εci Es, jinak σs =
εci Es,
(6.34)
(6.35)
(6.36)
(6.37)
∆N
=
∆M
NEd
=
Fc
Mc
-
MEd
λ
b
b
x
Fc
,
-
λ
=
=
-
η
Mc,
η
x
fcd
0,5
(h
-
fcd,
λ
x).
Navrhneme výztuž tak, aby platilo že plocha provedené (poskytnuté – provided) výztuže byla v tší nebo rovna ploše návrhové (požadované – required)
výztuže a zárove spl ovala požadavky kladené normou na minimální a maximální plochu výztuže
Asi,prov ≥ Asi,req ≥ Asi,min,
(6.38)
kde i = 1, 2.
Tam, kde výztuž není staticky nutná, navrhujeme u prvk mimost edn namáhaných
Asi,prov
≥
Asi,min
,
(6.39)
p i emž pro plochu obou výztuží As = As1 + As2 musí platit
As,min
≤
As,prov
≤
As,max,
(6.40)
kde podle normy EN 1992-1-1 [9]
- pro tla enou výztuž platí
- 29 (81) -
Název p edm tu · Modul #
(6.41a)
(6.41b)
Asi,min je v tší z hodnot Asi,min ≥ 0,05 NEd / fyd ; Asi,min ≥ 0,001 Ac,
As,min
=
2
Asi,min,
As,max
=
0,04
Ac,
(6.41c)
Ac je celková plocha pr ezu (b. h);
- pro taženou výztuž platí
Asi,min je v tší z hodnot Asi,min ≥ 0,26 fctm bt d / fyk ; Asi,min ≥ 0,0013 bt
d,
(6.42)
bt je ší ka tažené oblasti,
d je ú inná výška pr ezu.
Obr. 6.11 Návrh hospodárné výztuže obdélníkového mimost edn namáhaného
pr ezu
Návrh symetrické výztuže obdélníkového pr ezu je jednoduše proveditelný
pouze v p ípad , že p i NEd < 0 pro
x=
N Ed
λbηf cd
(6.43)
- 30 (81) -
Navrhování dle ULS
platí
ξ bal .2 d 2 ≤ x ≤ ξ bal ,1d
,
(6.44)
v tomto p ípad
As1,req = As 2 ,req =
M Ed + N Ed 0 ,5(h − λx )
.
z s f yd
(6.45)
V ostatních p ípadech lze navrhnout nesymetrickou výztuž, kterou symetrizujeme podle v tší z navržených výztuží; tento postup je však nehospodárný,
zejména pokud p evažuje ohybový moment p sobící v jednom sm ru.
V praxi se pro návrh symetrické výztuže tla ených sloup používají nomogramy. P i použití t chto graf se potupuje následovn :
M Ed
,
bh 2ηf cd
stanovíme
pom rný
moment
µ=
pom rnou
normálovou
sílu
ν=
a)
(6.46)
b)
N Ed
bhηf cd
,
(6.47)
c) z graf
ode teme mechanický stupe
vyztužení
ϖ=
Asi f yd
bhηf cd
,
(6.48)
d)
pomocí
hodnoty
ω
stanovíme
As1d = As 2 d =
0,5ωbhηf cd
.
f yd
(6.49)
P íklad nomogramu pro návrh symetrické výztuže obdélníkového pr ezu, p evzatý z literatury [24], je uveden na obr. 6.12. Graf je sestrojen pro betony C
12/16 až C 50/60 (η = 1,0) p i uvažování parabolicko rektangulárního rozd lení nap tí v tla eném betonu, ocel s charakteristickou hodnotou meze kluzu 500
MPa a pro pom r vzdálenosti t žišt výztuže As1 od bližšího okraje pr ezu d1
k celkové výšce pr ezu h rovný 0,067. Na obrázku je pro dané namáhání pr ezu znázorn no i jeho p etvo ení.
- 31 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Obr. 6.12 Nomogram pro návrh symetrické výztuže obdélníkového pr ezu
podle [24]
6.6 Ovinuté sloupy
Ovinutím sloupu hustými t mínky nebo šroubovicí s malým stoupáním zabráníme p í nému p etvo ení betonu. P i zatížení sloupu vzniká pak trojrozm rný
stav napjatosti, p i kterém se zvýší pevnost betonu ovinutého jádra. P íznivý
ú inek ovinutí se zv tšuje, pokud nap tí ve výztuži nep esáhne mez kluzu, což
ve výpo tech na mezi únosnosti se zohled uje tím, že ve výztuži ovinutí uvažujeme návrhovou hodnotu pevnosti této výztuže.
Na obr. 6.15 je porovnáno chování neovinutého a ovinutého sloupu p i teoreticky dost edném zatížení (obr. 6.15a) a p i zatížení p sobícím s výst edností e
= 0,25 h (obr. 6.15b). Z t chto obrázk je z ejmé, že p íznivý vliv ovinutí se
m že výrazn uplatnit pouze v p ípad , kdy k mezi porušení pr ezu výrazn
p ispívá beton, tj. v p ípadech tlakového porušení p i velmi malé výst ednosti
(cca eEd ≤ h/ 8). Vlivem ovinutí se též výrazn zvýší mezní pom rné p etvo ení
betonu, což je významné zejména v oblastech, kde se m že uplatnit seismicita.
Obr. 6.15 Chování neovinutého a ovinutého sloupu a) p i dost edném zatížení, b) p i zatížení p sobícím s výst edností e = 0,25 h
- 32 (81) -
Navrhování dle ULS
Ovinutí tedy p ízniv ovlivní pracovní diagram betonu (tlakové nap tí uvažováno kladnou hodnotou) – viz obr. 6.16. Ovinutím dochází ke zvýšení jak pevnosti betonu v tlaku, tak jeho p etvo ení, a to v závislosti na tom, jaké bo ní
tlakové nap tí σ2 je schopno toto ovinutí vyvinout. P ibližn lze podle EN
1992-1-1 [10] uvažovat:
fck,c = fck (1,000 + 5,0 σ2 / fck)
p i σ2 < 0,05 fck
fck,c = fck (1,125 + 2,5 σ2 / fck)
p i σ2 > 0,05 fck
2
εc2,c = εc2 (fck,c / fck)
εcu2,c = εcu2 + 0,2 σ2 / fck.
(6.77)
(6.78)
(6.79)
(6.80)
Obr. 6.16 Pracovní diagram ovinutého betonu
Návrhovou mez porušení v tlaku p i teoretickém plném využití materiál ovinutého pr ezu lze stanovit ze vztahu
NRd0 = Ac0 fcd,c + As fyd,
kde Ac0 plocha betonu ovinutého jádra,
fcd,c zvýšená návrhová pevnost betonu v tlaku vlivem ovinutí fcd,c = fck,c
/γc,
As pr ezová plocha podélné výztuže.
P íklad 2.1
P íklady, úkoly a cvi ení doporu ujeme vysázet odsazen od levého okraje
a zvýraznit kurzívou. Obdobn naformátovat úkoly a cvi ení – viz styl „P íklad“.
P íklady, úkoly, cvi ení, ale i obrázky a tabulky se íslují dv mi ísly, kde
první íslo je íslo hlavní kapitoly, druhé pak po adové íslo v rámci této
kapitoly, nap .: Tab. 2.1: To a to
Text kapitoly…
Úkol 2.1
Zadání kontrolního úkolu.
Text kapitoly…
Cvi ení
Cvi ení…
- 33 (81) -
(6.81)
Název p edm tu · Modul #
ešení
ešení úkol , cvi ení apod., nejsou-li uvedeny souhrnn v klí i.
Kontrolní otázky
Kontrolní otázky i otázky k zamyšlení op t uvést odsazen , kurzívou, se
svislou arou podél textu otázky. Sta í jim p i adit styl „Otázka“.
P ichystání dalších „typ “ text s p íslušnými ikonkami (možno kamkoliv do
dokumentu nakopírovat).
Poznámka
Text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky
text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky …
Informace
Informacemi m že být „Pr vodce modulem“, mohou jimi být dopl kové
informace pro studující apod.
Koresponden ní úkol
Zadání a pokyny k úkolu(- m), který je t eba zaslat (klasicky i elektronicky)
vyu ujícímu apod.
2.2
Místní namáhání
Text kapitoly…
2.3
Prvky z prostého a slab vyztuženého betonu
2.3.1
Základní rozdíly v chování prvk z prostého (slab vyztuženého) betonu a prvk ze železobetonu
Prvky z prostého betonu jsou prvky nevyztužené betoná skou výztuží, schopnou po vzniku trhlin od návrhového zatížení p evzít v tahové oblasti betonového pr ezu p íslušné tahové síly.
Prvky ze slab vyztuženého betonu mají sice ur itou betoná skou výztuž, která
však nespl uje požadavky na minimální stupe vyztužení železobetonového
pr ezu, což znamená, že po vzniku trhlin ani na mezi únosnosti není schopna
p evzít tahové síly p enášené do vzniku trhlin samotným betonovým pr ezem.
Z t chto d vod lze chování prvk ze slab vyztuženého betonu uvažovat podobn jako u prvk z prostého betonu, zvlášt na mezi únosnosti po vzniku
trhlin. Betoná skou výztuž slab vyztužených prvk lze však využít p i posouzení místních mezních stav namáhání (nap . p í ných tah v místech soust ed ného zatížení, zvýšení bezpe nosti proti p eklopení v pracovních spárách
apod.), pop . i pro zvýšení použitelnosti a životnosti prvku.
- 34 (81) -
Navrhování dle ULS
Vznik trhlin je proto u prvk z prostého i slab vyztuženého betonu rozhodující
mezí pro posouzení jejich dalšího chování.
Do vzniku trhlin se chovají tyto prvky totiž prakticky jako pružné homogenní
prvky s tím, že jejich stavební materiál beton má pevnost v tahu fct ádov
menší než pevnost v tlaku fc (fct ≅ fc/10) a jejich zp sob porušení proto závisí
p edevším na chování nejvíce namáhaných (kritických) betonových pr ez p i
vzniku trhliny.
Pokud nemá v kritickém pr ezu vzniknout trhlina, musí pro nejv tší normálové nap tí v tahu ct,max, stanovené podle teorie lineární pružnosti, platit podmínka
(11.1)
fct
ct,max
Je však nutné si uv domit, že v nap tí ct,max se p i pružném chování pr ezu
uplat ují nejen ú inky p ímých zatížení prvku, ale i zatížení nep ímých, vyvolaných objemovými zm nami (nap . smrš ováním a dotvarováním betonu, teplotními zm nami a teplotním spádem), jejich ú inek se asto obtížn zjiš uje a
pracn vyhodnocuje. V t chto p ípadech je pro prvky z prostého betonu zna n
nevýhodná jeho nízká pevnost v tahu, která zpravidla nebývá ani zaru ena pr kazními zkouškami, ale odvozuje se jen velmi p ibližn , a tedy nep esn ,
z charakteristické pevnosti betonu v tlaku fck (nap .: fct ≅ 0,3 fck(2/3)).
Pokud se podle podmínky (11.1) nezabrání vzniku trhlin v kritických pr ezech, je t eba si uv domit, že prvky z prostého betonu se náhle neporuší pouze
tehdy, jestliže kritické pr ezy jsou i nadále schopny p enášet alespo ú inky
p ímých zatížení. Ú inky nep ímých zatížení se v potrhaných prvcích rychle
zmenšují, takže na mezi porušení kritického pr ezu je lze zpravidla zanedbat.
Nap . ohýbané prvky z prostého betonu ztratí po vzniku trhliny svou únosnost,
nebo normálové nap tí betonu v ohybové trhlin ct = 0. Náhlá ztráta únosnosti nastane p itom p i malém p etvo ení prvku, takže porušení má charakter
k ehkého lomu a nevyhovuje p íliš požadavk m na duktilitu stavebního prvku.
Z uvedených d vod vyhovují po vzniku trhlin prvky z prostého betonu prakticky pouze p i namáhání mimost edným tlakem do ur ité výst ednosti.
Z uvedeného d vodu doporu uje EN 1992-1-1 [9] používat prvky z prostého
betonu jen pro n které masivní konstrukce namáhané p evážn staticky, a to
p edevším tlakem s malou výst edností (nikoliv však zám rn p edpjaté) jakou
jsou nap .:
•
•
•
•
podp ry: pilí e a monolitické st ny,
obloukové konstrukce: stropní, mostní a tunelové klenby,
op rné zdi a st ny,
základové konstrukce: patky, pásy, pop . vrtané piloty o pr m ru alespo 600 mm, u kterých tlakové nap tí v t žišti pr ezu Ac od návrhové
normálové (tlakové) síly NEd splní podmínku c0 = |NEd| / Ac 0,3fck.
- 35 (81) -
Název p edm tu · Modul #
2.3.2
Zásady pro navrhování prvk z prostého betonu
2.3.2.1 Mezní stav únosnosti prvk porušených trhlinami
Jak již bylo uvedeno v 11.1, prvky z prostého betonu se používají p edevším
p i namáhání tlakovou návrhovou normálovou silou NEd p sobící na kritický
pr ez s omezenou návrhovou výst edností eEd, pokud takové prvky i po vzniku
trhliny v kritickém pr ezu jsou schopny až do porušení (mezního stavu únosnosti) splnit jednu z následujících podmínek:
(11.2a)
(11.2b)
|NEd|
NRd
eEd
eEd = eRd ,
pi
eRd
|NEd| = NRd ,
pi
kde NRd je normálová síla na mezi únosnosti,
eRd
p íslušná návrhová výst ednost síly NRd.
Pro b žn používané prvky z prostého betonu do pevnostní t ídy C 50/60 a
obdélníkového pr ezu, lze pro vyjád ení síly NRd uvažovat v ú inné tla ené
oblasti pr ezu na mezi únosnosti do vzdálenosti λx od tla eného okraje plné
zplastizování tla eného betonu (viz 3.1) p i jeho návrhové pevnosti v tlaku fcd
(obr. 11.1) podle vztahu
(11.3)
fcd
=
fck
cc,pl
γC,
/
kde cc,pl je reduk ní sou initel p ihlížející k menší duktilit (p etvo itelnosti)
zplastizovaného tla eného betonu. P i mezním pom rném stla ení betonu εcu =
3,5 o/oo EN 1992-1-1 [9] doporu uje volit hodnotu cc,pl = 0,8.
V tažené oblasti pr ezu lze tahovou pevnost betonu fctd ve prosp ch bezpe nosti zanedbat a p ipustit volné otevírání trhliny s p ípadným omezením její
délky (h – x).
P i uvážení stejných výst edností normálových sil NEd a NRd, tj. p i
eEd = eRd = ed,
plyne pak z obr. 11.1 pro 0,5 λx = 0,5 h - ed
rozm r ú inné tla ené oblasti ze vztahu
(11.4)
λ
x
=
h
–
2e d
=
h
(1
–
2
ed
/
h).
Sou initel λ ú inné tla ené oblasti betonového pr ezu zavádí EN 1992-1-1
[9] hodnotou
λ = 0,8 pro betony do pevnostní t ídy C 50/60.
- 36 (81) -
Navrhování dle ULS
Obr. 11.1 Namáhání prvku z prostého betonu s trhlinou mimost edným tlakem
na mezi únosnosti.
Únosnost mimost edn tla eného prvku z prostého betonu, u kterého lze zanedbat možnost jeho vybo ení, tj. p i vzp rné (ú inné) délce l0 7h (1- 2ed/h),
lze ur it ze vztahu
NRd
(11.5)
=
fcd
b
λ
x
=
fcd
b
h
(1-
ed
2
/
h).
Vztahy (11.4) a (11.5) platí s teoretickým omezením návrhové výst ednosti
ed
0
(11.6)
h
/
2
.
P itom výst ednost ed je t eba považovat za celkovou výst ednost etot normálové síly NRd
ed
(11.7)
etot
=
e0
=
+
e i,
kde e0 je statická výst ednost prvního ádu,
ei
p ídavná výst ednost pokrývající ú inky geometrických imperfekcí.
Teoretický dost edný tlak p i ed = 0 podle vztahu
(11.8)
NRd0
=fcd
b
h
,
se tedy prakticky nedá uvažovat, nebo i p i e0 = 0 je ed = ei. Také teoretickou
hodnotu
ed = h/2 nelze využívat, pon vadž p i ní je NRd = 0. Ve skute nosti je maximální hodnota
ed < h/2 ovlivn na stabilitou prvku proti p eklopení, pop .
požadavkem na omezení délky trhliny (h – x) podle obr. 11.1. Nap . pro délku
trhliny (h – x) = 0,75 h, lze odvodit mezní výst ednost eRd,lim = 0,4 h.
Komplexn jší posouzení únosnosti mimost edn tla ených prvk z prostého
betonu v kritickém pr ezu po vzniku trhliny poskytne interak ní diagram NRd
a MRd (obr.11.2), který lze získat následujícím zp sobem: p
rotože je
(11.9)
MRd
=
NRd
- 37 (81) -
ed
,
Název p edm tu · Modul #
p i emž ze vztahu (11.4) plyne
(11.10)
ed
0,5(h
=
λ
-
x)
=
h
0,5
(1
-
λ
x
/
h).
Podle vztahu (11.5) a (11.8) lze vyjád it
(11.11)
λ
x
/
h
NRd
=
/
(fcd
b
(1
-
h)
=
NRd
NRd
/
NRd0).
/
NRd0)
0,5h.
/
NRd0.
Takže též podle (11.10)
(11.12)
ed
=
h
0,5
Moment únosnosti lze získat dosazením do vztahu (11.9)
(11.13a)
MRd
(NRd
=
-
NRd2
Vztah (11.13a) vyjad uje parabolickou závislost MRd na NRd v interak ním diagramu (k ivka 1 na obr. 11.2) s maximem p i NRd = 0,5 NRd0 a ed = 0,25 h:
(11.14)
MRd,max
=
0,25.NRd0
0,5
h
=
NRd
.0,25h.
Pro teoretický dost edný tlak NRd = NRd0 a pro NRd = 0 vychází ze vztahu
(11.13a) op t
MRd = 0.
Obr. 11.2 Interak ní diagram únosnosti NRd a MRd
V dolní ásti obr. 11.2 je však interak ní diagram omezen podmínkou ed ≤
eRd,lim, p i které platí vztah
MRd
(11.13 b)
=
NRd
eRd,lim.
Pro všechna namáhání (NEd a MEd) ležící uvnit interak ního diagramu jsou
spln ny podmínky spolehlivosti.
Na obr. 11.2 je p ípad namáhání nazna en bodem E a postup posouzení jednak
podle podmínky spolehlivosti (11.2a) a dále podle podmínky (11.2b).
- 38 (81) -
Navrhování dle ULS
U štíhlých tla ených prvk z prostého betonu je však jejich mezní stav
únosnosti ovlivn n vybo ením, tj. p í ným p etvo ením tla eného prvku.
Štíhlost tla eného prvku je zpravidla dána vztahem:
λh
(11.15)
kde ih je
ve sm ru
l0
=
ih,
/
polom r setrva nosti betonového pr ezu neporušeného trhlinami
tlouš ky h a výst ednosti eEd (obr. 11.1),
l0
ú inná délka prvku, kterou lze uvažovat:
l0
(11.16)
β
=
lw
sv tlá výška prvku,
β
sou initel závislý na podmínkách podep ení:
lw
,
pro sloupy lze uvažovat β = 1,0, tj. kloubové podep ení konc
sloupu,
pro konzolové sloupy nebo st ny β = 2,0,
pro ostatní st ny je hodnota β uvedena v Tab. 11.1.
Nejv tší štíhlost tla ených prvk z prostého betonu by nem la p estoupit hodnotu λmax = 86, aby bylo možné použít zjednodušené posouzení ú ink vyboení prvk .
U obdélníkových pr ez , kde polom r setrva nosti ih = h /√12, lze štíhlost
prvku vyjád it i vztahem λh = 3,46 l0 / h, takže nejv tší štíhlost prvku je dosažena p i pom ru l0 / h = 25.
Údaje uvedené v Tab. 11.1 jsou stanoveny na základ p edpokladu, že ve st n
nejsou otvory vyšší než lw/3 a plochy v tší než je 1/10 plochy st ny.
U st n podep ených podél t í nebo ty okraj , které mají otvory p esahující
uvedené limity, se považují ásti st n mezi t mito otvory za podep ené pouze
podél dvou okraj . P i p í ném oslabení st n drážkami nebo kapsami, musí být
hodnoty β p im en zv tšeny.
P í ná st na m že být považována za ztužující, pokud:
-
ny,
její tlouš ka není menší než 0,5 hw , kde hw je tlouš ka ztužené st ny,
má stejnou výšku lw jako je výška uvažované ztužené st ny,
její délka lht je nejmén rovna lw / 5, kde lw je sv tlá výška ztužené st na délce lht nemá p í ná st na otvory.
- 39 (81) -
Název p edm tu · Modul #
V p ípad st ny spojené podél horního i dolního okraje ohybov tuhým zp sobem s monolitickým betonem a výztuží tak, že mohou být p eneseny okrajové
momenty, lze uvedené hodnoty β vynásobit sou initelem 0,85.
U sloup s menší ší kou b než jeho tlouš kou h (obr. 11.1), je t eba p ihlédnout
k možnosti vybo ení sloupu ve sm ru kolmém na rovinu namáhání, ur enou
výst edností eEd síly NEd. Toto vybo ení ve sm ru ší ky b lze pak uvažovat p i
výst ednosti edb = ei síly NEd pro prvek se štíhlostí λb = 3,46 l0 / b.
Tab. 11.1. Hodnoty β pro r zné podmínky podep ení
Typ
podep ení
Ná rtek
Sou initel β
Výraz
β = 1,0 pro
Podél
dvou
okraj
všechny
pom ry lw/b
1
β=
Podél
tí
okraj
1+
lw
3b
pro lw ≥ b
Podél
- 40 (81) -
2
l w/ b
β
0,2
0,26
0,4
0,59
0,6
76
0,8
0,85
1,0
0,90
1,5
0,95
2,0
0,97
5,0
1,00
l w/ b
β
Navrhování dle ULS
ty
okraj
pro lw ≥ b
Pokud není použit p esn jší postup pro stanovení únosnosti štíhlého prvku
z prostého betonu zatíženého mimost edným tlakem, lze užít následující zjednodušující vzorec pro stanovení normálové síly na mezi únosnosti štíhlého
prvku obdélníkového pr ezu:
(11.17)
NRds
fcd
=
b
Φ
h
,
kde Φ je sou initel vyjad ující (v etn ú ink druhého ádu a dotvarování) vliv
výst ednosti ed = etot a štíhlosti prvku, pomocí pom ru l0 / h vztahem:
(11.18)
Φ
=
1,14
(1
–
ed
2
h)
/
–
l0
0,02
/
h.
Ve srovnání se vztahem (11.5) musí pro NRds platit podmínka
<
NRds
(11.19)
NRd
a tedy i
(11.20)
Φ
<
(1
–
ed
2
h).
/
Prvek z prostého betonu lze tedy uvažovat jako štíhlý, pokud jeho vzp rná
(ú inná) délka spl uje podmínku
(11.21)
l0
>
7
h
(1
–
ed
2
/
h),
p i emž sou asn platí omezení horní hodnoty vzp rné délky l0 následujícími
podmínkami p i:
ed
(11.22)
0,28 h
l0
ed > 0,28 h
25 h,
l0
57 h (1 – 2 ed / h).
Mimost edn tla ené prvky z prostého betonu mohou však být též namáhány
smykem od posouvající síly VEd. Dochází k tomu vždy, pokud se u tla eného
prvku po jeho délce m ní výst ednost eEd tlakové síly |NEd| a tedy i moment
- 41 (81) -
0,2
0,10
0,4
0,20
0,6
0,30
0,8
0,40
1,0
0,50
1,5
0,69
2,0
0,80
5,0
0,96
Název p edm tu · Modul #
MEd = |NEd| eEd, jehož derivací v uvažovaném pr ezu získáme p íslušnou hodnotu VEd > 0. U prvk porušených trhlinami, p i o ekávaném tlakovém porušení, se namáhání obdélníkového pr ezu soust edí do jeho ú inné tla ené oblasti
(obr. 11.1) o ploše
(11.23)
Acc
=
λ
b
x
b
=
h
(1
–
2
ed
/
h).
Na této ploše lze p edpokládat plastické chování betonu p i návrhovém normálovém nap tí v tlaku cd > 0 rozd leném rovnom rn
(11.24)
|NEd|
=
cd
a spojitém rozd lení smykového nap tí
(11.25)
cd
=
c
Acc
/
s maximální hodnotou
k
VEd
/
Acc,
p i emž EN 1992-1-1 [9] doporu uje uvažovat bezpe n klasické parabolické
rozd lení nap tí c s hodnotou k = 1,5 (obr. 11.3).
Obr. 11.3 Interakce nap tí
c
a
cv
kritickém pr ezu
P i kombinaci namáhání prvku z prostého betonu smykem za mimost edného
tlaku, je t eba si uv domit, že pr ez na mezi únosnosti je schopen p enést
smykové nap tí τcd pouze v závislosti na sou asn p sobícím normálovém nap tí σcd v tomto pr ezu. Za p edpokladu pln zplastizované ú inné tla ené
oblasti pr ezu namáhané rovnom rným nap tím cd = fcd a vylou ení jeho tahové oblasti, není pr ez již schopen p enášet smykové nap tí, tj.τcd = 0.
Pon vadž ob nap tí c a c p sobí v ú inné ploše Acc sou asn , nelze tedy
pln využít tlakovou pevnost betonu fcd a musí platit
(11.26)
<
cd
fcd
a smykové nap tí musí splnit podmínku
(11.27)
τcd
fcvd.
- 42 (81) -
Navrhování dle ULS
Návrhovou pevnost betonu fcvd p i sou asném p sobení tlaku
stanovit z následujících závislostí:
c
a smyku
c
lze
- pokud σcd ≤ σc,lim, pak fcvd se stanoví ze vztahu
f cvd =
f ctd2 + σ cd f ctd
(11.28)
- pokud σcd > σc,lim, pak fcvd se stanoví ze vztahu
f cvd =
f
2
ctd
+ σ cd f ctd −
σ cd − σ c ,lim
2
2
,
(11.29)
p i emž σc,lim, se stanoví ze vztahu
σ c ,lim = f cd − 2 f ctd ( f ctd + f cd ) .
(11.30)
Uvedené vztahy pro fcvd lze odvodit následovn :
U mimost edn tla eného prvku z prostého betonu porušeného trhlinami, lze
po ítat i s návrhovou pevností betonu v tahu fctd ur enou ze vztahu:
(11.31)
fctd
=
fctk,0.05
ct,pl
/
γC,
kde ct,pl je reduk ní sou initel duktility zplastizovaného taženého betonu p i
vzniku trhliny, uvažovaný v EN 1992-1-1 [9] doporu enou hodnotou ct,pl =
0,8, obdobn jako u vztahu (11.3).
Obecn pevnost betonu p i kombinaci nap tí cd a cd, tj. p i dvojosé napjatosti,
m že být stanovena z Mohrovy kružnice nap tí, která se dotýká Mohrovy parabolické obálky porušení. Vztah pro tuto obálku pro návrhové nap tí σcd a τcd
je
τcd2 = A (σcd + fctd),
A = f cd + 2 f ctd −
f ctd ( f ctd + f cd ) ,
kde fcd a fctd se uvažují jako kladné hodnoty.
Na obr. 11.4 je znázorn na Mohrova obálka porušení pro návrhová nap tí spolu s Mohrovými kružnicemi p edstavujícími návrhové hodnoty p i prostém
tahu a tlaku.
Obrázek 11.5 ukazuje limitní kombinace návrhových hodnot normálového σcd
a smykového cd nap tí.
- 43 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Obr. 11.4 M rschova parabolická obálka pro návrhová nap tí σcd a τcd
Obr. 11.5 Limitní kombinace návrhových hodnot normálového σcd a smykového τcd nap tí
Normálovým nap tímσcd menším než σc,lim = A – 2 fctd odpovídá (viz též obr.
11.4) Mohrova kružnice procházející bodem (-fctd, 0) a smyková pevnost fcvd je
pak dána vztahem (11.28). Normálovým nap tím σcd v tším než σc,lim = A – 2
fctd odpovídá Mohrova kružnice, která prochází bodem fcd a dotýká se obálky
porušení v bod pro který je σcd rovno σc,lim; smyková pevnost fcvd je pak dána
vztahem (11.29).
Mimost edn tla ené prvky z prostého betonu porušené trhlinami mohou být
navíc namáhány smykem od kroucení. Pro namáhání kroutícím momentem se
však b žn takové prvky z prostého betonu nenavrhují.
2.3.2.2 Mezní stav únosnosti prvk z prostého betonu bez trhlin
Prvky z prostého betonu bez trhlin se obvykle uvažují p i mezním stavu únosnosti jen v p ípadech, kdy po vzniku trhliny v kritickém pr ezu prvku není
možná rovnováha vn jších a vnit ních sil, takže dojde k náhlému porušení.
Takové p ípady nastávají nap . p i namáhání prvku z prostého betonu istým
ohybovým momentem MEd nebo malou tlakovou normálovou silou NRd > 0,
která spl uje podmínku (obr. 11.2)
NRd
(11.32)
<
NRd,lim
Pro tažené prvky se prostý beton zpravidla nenavrhuje.
- 44 (81) -
.
Navrhování dle ULS
V uvedených p íkladech lze p edpokládat, že o porušení vznikem trhliny rozhoduje malá tahová pevnost betonu fct podle podmínky (11.1), p i emž prvek
z prostého betonu se bude chovat lineárn pružn až do této meze únosnosti.
P i uvážení ú ink návrhových zatížení p ímých i nep ímých (viz 11.1) lze pro
maximální normálové nap tí v tahu stanovit podmínku spolehlivosti:
(11.33)
σctd,max
≤
fctd,
kde návrhová pevnost prostého betonu v tahu fctd se ur í ze vztahu (11.31).
V tomto p ípad , s ohledem na malou duktilitu a nebezpe í náhlého porušení
prostého betonu, je t eba dbát opatrnosti p i ur ování reduk ního sou initele
ct,pl:
Doporu it lze následující hodnoty:
•
ct,pl
= 0,8 p i spln ní dvou podmínek:
1. výstižném stanovení nep ímých návrhových zatížení,
2. zaru ení charakteristické pevnosti betonu v tahu fctk,0.05
pr kazními zkouškami použitého betonu;
= 0,6 pokud není spln na alespo jedna z p edešlých dvou podmí-
ct,pl
= 0,4 pokud nejsou spln ny ob uvedené podmínky.
ct,pl
•
nek;
•
Únosnost prvku z prostého betonu v kritickém pr ezu istým ohybovým
momentem MEd0 lze p i lineárn pružném chování, nap . obdélníkového pr ezu, vyjád it vztahem
(11.34)
kde
h
|MRd0|
=
fctd
h
h2
b
/
6,
je sou initel tlouš ky pr ezu h (mm)
(11.35)
h
=
(1,6
–
h
/
1000)
1,0.
Spolehlivost ohýbaného prvku pak zajistí podmínka
(11.36)
MEd0
MRd0
.
Únosnost mimost edn tla eného prvku z prostého betonu
P i lineárn pružném chování prvku z prostého betonu bez trhlin se mezní stav
únosnosti kritického pr ezu uplatní pouze p i malých hodnotách tlakové normálové síly |NEd| > 0 a její velké výst ednosti eEd > eRd,lim (obr. 11.2), jak bude
dále ukázáno. Rozd lení normálového nap tí je p i pružném chování prvku
v pr ezu také rozd leno lineárn a pro mez únosnosti (tj. mez vzniku trhliny)
rozhoduje op t podmínka (11.33).
Nap . pro obdélníkový pr ez namáhaný normálovou silou NEd s výst edností
eEd > eRd,lim (obr. 11.6), je normálové nap tí v nejvíce taženém vlákn pr ezu
dáno vztahem
- 45 (81) -
Název p edm tu · Modul #
σ ctd ,max =
eEd − h / 6
,
h/6
N Ed
bh
(11.37)
kde h/6 je jádrová úse ka obdélníkového pr ezu p i namáhání ve sm ru
tlouš ky h.
Obr. 11.6 Rozd lení normálového nap tí c p i lineárn pružném chování
mimost edn
tla eného prvku z prostého betonu p ed vznikem trhliny p i eEd = h / 2
Ze vztahu (11.37) je z ejmé, že p i pružném chování prvku vznikají tahová
nap tí v obdélníkovém pr ezu již p i eEd > h / 6, tj. mnohem d íve než je dosaženo meze výst ednosti eEd = eRd,lim, p i které již pr ez s trhlinou p estává být
schopen p enést p íslušný ohybový moment MEd = |NEd| eEd, tj. splnit požadavky interak ního diagramu, vyjád ené k ivkou 1 tlakové únosnosti na Obr.
11.2.
P i lineárn pružném chování prvku je tedy dosaženo mezní únosnosti p i vzniku
trhliny pouze p i
(11.38)
eEd
> eRd,lim
a
ctd,max
= αh fctd ,
kdy lze položit
(11.39)
NEd
=
NRd,el
a
eEd
=
eRd,el
.
Po dosazení (11.38) a (11.39) do vztahu (11.37) a jeho následující úprav
s použitím vztahu (11.34)
h
fctd b h2 / 6 = MRd0 = NRd,el (eRd,el - h / 6),
lze odvodit vztah pro moment únosnosti p i lineárn pružném chování prvku
(11.40)
MRd,el
=
NRd,el
eRd,el
=
MRd0
+
NRd,el
vyjad ující pr b h p ímky 2 , v interak ním diagramu na obr 11.2.
- 46 (81) -
h
/
6,
Navrhování dle ULS
S ohledem na malou hodnotu mezní únosnosti v tlaku
(11.41)
NRd,lim
=
MRd0
/
(eRd,lim
–
h
/
6),
p i pružném chování prvku z prostého betonu bez trhlin není t eba (p i dodržení štíhlostního pom ru l0 / h < 25) tyto prvky zpravidla vyšet ovat na vybo ení.
P i sou asném p sobení normálových tahových nap tí ctd > 0 a smykových
nap tí cd u prvk z prostého betonu bez trhlin, lze pro stanovení hlavního nap tí betonu v tahu c1 použít klasický pružnostní vztah
σ c1 =
σ ctd
2
+
σ ctd
2
2
+ τ cd2 ,
(11.42)
a požadovat spln ní podmínky spolehlivosti
(11.43
2.3.3
fctd..
c1
Mezní stavy použitelnosti
V pr ezu, ve kterém se o ekává konstruk ní vetknutí prvku z prostého betonu,
mají být ov ována jeho nap tí.
Pro zajišt ní mezních stav použitelnosti, je t eba uvažovat následující opat ení:
a) s p ihlédnutím ke vzniku trhlin:
• omezení tahových nap tí na p ijatelné hodnoty,
• zabezpe ení pomocného konstruk ního vyztužení (povrchová výztuž,
soustava ztužujících táhel),
• z ízení spár,
• použití vhodné technologie betonu (nap . vhodné složení sm si, ošet ování),
• volba vhodných metod provád ní;
b) s p ihlédnutím k omezení deformací:
• dodržovat alespo dále uvedené minimální rozm ry pr ez ,
• dodržovat omezení štíhlosti u tla ených prvk .
2.3.4
Konstruk ní ustanovení pro prvky z prostého beton
Obecná ustanovení. Tlouš ka hw st n z monolitického betonu nemá být menší
než 120 mm. U prvk s rýhami a prohlubn mi, je t eba zajistit pevnost a stabilitu.
Pokud se o ekává v pracovních stycích vznik tahových nap tí v betonu, je t eba pro omezení trhlin navrhnout výztuž.
- 47 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Patkový základ z prostého betonu se chová jako tlustá deska, u které p evládá st nové, pop . prostorové namáhání a pro p ípadný vznik trhlin a tudíž i
dosažení meze únosnosti, jsou rozhodující hlavní nap tí v betonu v tahu.
V mezním stavu únosnosti se p enáší tlaková síla NSd (p sobící v dosedací
ploše sloupu) tla enými pruty do spodní ásti základu. Únosnost t chto tla ených prut závisí podstatn na tahovém nap tí p sobícím kolmo k t mto prut m. Tahové nap tí vzr stá se zmenšujícím se úhlem sklonu α (obr 11.7). Toto
nap tí je áste n zmenšováno aktivací t ecí síly p sobící v úrovni základové
spáry.
Obr. 11.7 Model p sobení základu z prostého betonu
Obr. 11.8 Nevyztužené patkové základy
Pro návrh výšky patkového základu z prostého betonu (viz obr.
11.8) je v norm EN 1992-1-1 [9] je uveden vztah
0,85 hf / a = √(3 σgd / fctd),
(11.44)
odkud
h f ≅ 1,176a
3σ gd
f ctd
- 48 (81) -
;
(11.45)
Navrhování dle ULS
jako konzervativní zjednodušení dovoluje norma použít vztah
hf = 2 a,
(11.46)
což odpovídá úhlu roznášení zatížení γ ≅ 63°.
Zjednodušen si lze p edstavit, že odstupek základové patky p sobí jako konzola vetknutá v teoretickém ezu 1 – 1 (obr. 11.8), zatížená ze spodu návrhovou
hodnotou normálového nap tí v základové spá e σgd = NEd /( bf . lf). Ve vetknutí konzoly vzniká ohybový moment MEd = 0,5 σgd . lf. (β . a)2 ; moment únosnosti v teoretickém ezu je MRd = fctd . lf. bf . hf2 /6. Z porovnání obou hodnot
m žeme stanovit
hf = 1,176 a √(3 σgd / fctd),
což je vztah (11.45).
Z vedeného tedy vyplývá, že myšlený teoretický ez leží za lícem sloupu ve
vzdálenosti 0,176 a.
V n kterých d ív jších doporu eních bylo navrhováno uvažovat myšlený teoretický ez ve vzdálenosti 0,15 hs za lícem sloupu, kde hs je rozm r sloupu ve
vyšet ovaném sm ru patky.
2.4
Autotest
Autotest vztahující se k u ivu dané kapitoly… (správné odpov di jsou pak
uvedeny v „Klí i“).
- 49 (81) -
Záv r
3
Navrhování dle SLS
Posouzením mezních stav použitelnosti se prokazují vlastnosti konstrukce
z hlediska pot eb uživatele objektu. Nutnost posouzení této skupiny mezních
stav nabývá na významu zejména v poslední dob , kdy jsou stále ast ji používány kvalitní materiály (beton i ocel s vysokými pevnostmi), které umož ují
navrhovat (z hlediska mezního stavu únosnosti) subtilní konstrukce.
Cílem posudku betonové konstrukce dle mezních stav použitelnosti je zabrán ní takovým stav m konstrukce, p i kterých by bylo omezeno (nebo znesnadn no) užívání objektu z hlediska
•
nadm rných p etvo ení a deformací konstrukce nebo jejich ástí (mezní
stav p etvo ení),
• vzniku nebo rozev ení trhlin, které vedou ke snížení životnosti konstrukce
z d vod možného oslabení výztuže korozí (mezní stav vzniku trhlin, mezní stav ší ky trhlin).
V sou asné dob nar stají požadavky na konstrukce z hlediska jejich trvanlivosti, tj. z hlediska jejich dlouhodobého využívání a to i za zohledn ní požadavku na minimalizaci náklad na budoucí opravy p i správn provád né údržb .
Trvanlivá konstrukce musí spl ovat požadavky z hlediska použitelnosti, pevnosti a stability po dobu jejich provozní životnosti (EN 1990 [1]), a to bez významné ztráty funk nosti (tj. schopnosti jejího využívání k projektovaným ú el m) nebo nadm rné nep edpokládané údržby. Požadovaná ochrana konstrukce
musí být projektem ur ena již p i zohledn ní jejího zamýšleného používání,
provozní životnosti, plánované údržby a zatížení, hutnosti, kvalit a tlouš ce
krycí vrstvy betonu a na trhlinách.
Mezi obvyklé mezní stavy použitelnosti adí EC2
a) mezní stav omezení nap tí z hlediska podmínek použitelnosti,
b) mezní stav trhlin,
c) mezní stav p etvo ení.
Jiné mezní stavy použitelnosti (nap . vibrace) se mohou u n kterých konstrukcí
rovn ž uplatnit. T mito mezními stavy se však v tomto textu nebudeme zabývat.
3.1
Chování konstrukcí za provozního stavu
3.1.1
Uvažovaná zatížení
P i výpo tu mezních stav použitelnosti u železobetonových konstrukcí se
uplat ují následující kombinace zatížení:
a) charakteristická, která se používá obvykle pro nevratné mezní stavy použitelnosti,
b) astá, která se používá obvykle pro vratné mezní stavy použitelnosti,
c) kvazi stálá, která se používá v tšinou pro kontrolu mezních stav použitelnosti týkajících se d sledk dlouhodobých ú ink a vzhledu konstrukce.
- 51 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Je t eba p ipomenout, že v mezních stavech použitelnosti uvažujeme zatížení
bez sou initel zatížení; podrobnosti týkající se stanovení kombinací zatížení
v mezních stavech použitelnosti jsou uvedeny v kap. 2.
3.1.2
Stádia p sobení betonových prvk
U železobetonových prvk , ve kterých p i p sobení vn jšího zatížení vzniká
tahová oblast, závisí velikost p etvo ení na tom, zda v prvku vznikají i nevznikají trhliny. P i deformování prochází konstrukce t emi stadii, ve kterých
se m ní její tuhost. Protože tuhost je veli ina vztažená k pr ezu, budeme stadia deformování konstrukce popisovat na extrémn namáhaném pr ezu, tj. na
pr ezu s extrémním (maximálním) zat žovacím ú inkem. Dále p edpokládáme, že je konstrukce zatížená proporcionáln rostoucím zatížením. P i rostoucím zatížení prochází pr ez následujícími stadii (obr. 9.1)1.
a) Stadium I. Nastává v po áte ní fázi zat žování, kdy jsou p etvo ení a nap tí
v pr ezu malá. Na p enášení zatížení se podílí celý pr ez. Nap tí v daném
míst je p ímo úm rné jeho vzdálenosti od neutrálné osy. Celý pr ez (tj.
jak beton tak i výztuž) p sobí pružn . Toto stadium trvá až do okamžiku,
kdy v tažených vláknech je dosaženo mezní hodnoty nap tí, kterou je schopen beton p enést. V pr ezu je v tomto okamžiku práv dosažena mez
vzniku trhlin.
b) Stadium II. Toto stadium po íná na mezi vzniku trhlin. P i rostoucím zatížení se trhlina v pr ezu rozši uje a postupuje pr ezem sm rem od nejvíce
tažených vláken blíže k neutrálné ose. V jiných pr ezech prvku se mohou
postupn rozevírat další trhliny. Toto stadium kon í, když je trhlinou prostoupena celá tažená ást pr ezu s výjimkou malé ásti poblíž neutrálné
osy. P i postupném prohlubování a rozevírání trhliny od rostoucího zatížení
se neutrálná osa posouvá blíže k tla enému okraji pr ezu. V tomto stadiu
ovliv uje tuhost pr ezu nejen velikost tla ené oblasti a síla p enášená taženou výztuží, ale i velikost tažené oblasti, která není prostoupena trhlinou.
− Stadium III. P i dalším zv tšování zatížení již dochází k postupnému zplastizování betonu v tla ené oblasti, trhlina v tažené oblasti se již neprohlubuje
(nepostupuje
blíže
k neutrálné
ose).
Tuhost pr ezu je ur ena zejména velikostí tla ené ásti pr ezu (a z ní vyplývající tlakové síly p enášené betonem a výztuží) a velikostí síly p enášené tla enou výztuží; vliv velikosti tahové síly p enášené betonem na tuhost
pr ezu je zanedbatelný.
Obr. 9.1 Stadia p sobení pr ezu;
1
Poloha pr ezu na konstrukci je charakterizována u prutových prvk sou adnicí x, poloha
místa
v
pr ezu
je
ur ena jeho y-ovou a z-ovou sou adnicí.
- 52 (81) -
Záv r
a) stadium I - pr ez p sobí pružn
b) stadium II – pr ez v tažené ásti áste n narušený trhlinou
c) stadium III – pr ez v tažené ásti je zcela porušen trhlinou
P i výpo tu p etvo ení prvk je nutno stanovit tuhost konstrukce. Vzhledem
k prom nnosti vnit ních sil po konstrukci, m ní se i tuhost konstrukce. Pro
zjednodušení p edpokládáme, že
a) ve stadiu I p sobí celý pr ez. Závislost mezi nap tím a p etvo ením je až
do dosažení meze vzniku trhlin lineární – obr. 9.2.
b) po p ekro ení meze vzniku trhlin je tuhost pr ezu závislá na hloubce trhliny (resp. na velikosti ásti betonového pr ezu, která není porušena trhlinou).
Obr. 9.2 Tuhost pr ezu; závislost mezi zatížením F a p etvo ením ω; Fr ú inek na mezi vzniku trhlin
3.1.3
Ukázka nadpisu na t etí úrovni
Text kapitoly…
3.1.3.1 Ukázka nadpisu na tvrté úrovni
Text kapitoly…
3.2
Kontrola použitelnosti prvk a konstrukcí
V závislosti na tom, v jakém prost edí se konstrukce po dobu jejího užívání
vyskytuje, jsou obvykle formulovány požadavky z hlediska vzniku, resp. ší ky
trhlin. U n kterých konstrukcí mohou být formulovány požadavky, které p edepíší, že v konstrukci nemusí vzniknout trhliny v bec; u jiných konstrukcí se
vznik trhlin p ipouští a omezuje se jejich ší ka.
Zatím co konstrukce navrhované z hlediska mezního stavu vzniku trhlin se jednozna n nachází ve stadiu 1, tak konstrukce navrhované z hlediska p ípustné ší ky trhlin se mohou vyskytovat ve stadiu 2 a 3. Výpo et ší ky trhlin je pom rn komplikovaný, proto lze dle filozofie EC 2 výpo et ší ky trhlin nahradit podmínkami ekvivalentními, kterými jsou
− mezní stav omezení nap tí v betonu a v betoná ské výztuži,
− ur ení minimální plochy výztuže v tažené oblasti,
− omezení plochy (pr m ru) výztužného prutu, omezení vzdálenosti výztužných prut .
Další skupinu kritérií, které jsou z hlediska mezních stav použitelnosti p edepisovány, tvo í
mezní stavy p etvo ení. Obvykle se kontroluje velikost p etvo ení konstrukce (nap . pr hybu,
- 53 (81) -
Název p edm tu · Modul #
sto ení, diferen ního pr hybu) od celkového, resp. od ur itého konkrétního zatížení, resp. od
kombinace n kterých zatížení.
3.3
Mezní stav omezení nap tí
Omezení nap tí z hlediska podmínek použitelnosti se v EC2 p edepisuje pro
a) tlaková nap tí v betonu.
Nadm rné hodnoty tlakových nap tí v betonu mohou v provozním stavu na
konstrukci vyvolat
− vznik podélných trhlin,
− rozvoj mikrotrhlin v betonu,
− vyšší hodnoty dotvarování.
P itom tyto jevy mohou vést ke vzniku takových stav , které znemožní používání konstrukce,
b) tahová nap tí ve výztuži.
Cílem omezení napjatosti výztuže je zamezení vzniku nadm rného nepružného p etvo ení výztuže (a tím i celého prvku) a zamezení vzniku širokých,
trvale otev ených trhlin v betonu.
Omezení nap tí mohou vycházet i z jiných požadavk na funkci a trvanlivost
konstrukce. Nap . zvýšené nároky na trvanlivost (p ípadn i vodot snost) konstrukce lze vyjád it požadavkem, aby pro n kterou kombinaci zatížení byl pr ez namáhán požadovaným zp sobem (nap . celý tla en, resp. pr ez
s omezenou hodnotou max. tahového nap tí). Tyto požadavky jsou kladeny na
konstrukce v n kterých prost edích, resp. speciální požadavky m že vznést
investor.
3.3.1
Modely pr ezu pro výpo et napjatosti
P i výpo tu napjatosti pr ezu lze využít následující modely
a) pr ez bez trhliny (pln p sobící pr ez v tahu i v tlaku),
b) pr ez s trhlinou a tla enou ástí,
c) zcela trhlinou porušený pr ez (pr ez bez tla ené ásti).
Kritériem pro použití jednotlivých model je hodnota tahového nap tí vypo teného v krajních vláknech betonového pr ezu. Výpo et mezního stavu omezení nap tí je proto nutno vždy zahájit výpo tem napjatostí na pln p sobícím
pr ezu složeném z betonu a výztuže.
Uvažujme pr ez výšky h dle obr. 9.3.1a, kde
As1 (resp. As 2 )
je plocha dolní (resp. horní) betoná ské výztuže,
d1 (resp. d 2 )
je vzdálenost t žišt plochy dolní (resp. horní) betoná ské
výztuže
od
dolního (resp. horního) okraje pr ezu.
Na obr. 9.3 je dále Cgc t žišt betonového pr ezu, Cgi t žišt ideálního pr ezu; význam dalších ozna ení je z ejmý z p edchozího textu a z obrázku.
- 54 (81) -
Záv r
Obr. 9.3.1
Obr. 9.3.2
Obr. 9.3.3
Obr. 9.3 Modely betonového pr ezu pro výpo et napjatosti
(obr. 9.3.1 pr ez bez trhliny – pln p sobící celý betonový pr ez,
obr. 9.3.2 pr ez s trhlinou a tla enou ástí,
obr. 9.3.3 celý betonový pr ez je prostoupen trhlinou)
Základní charakteristiky ideálního pr ezu tvo eného betonovou ástí pr ezu a
α e = E s / E cm 2) násobkem výztuže pr ezu dle obr. 9.3c jsou:
− plocha ideálního pr ezu
Ai = Ac + α e ( As1 + As 2 ) ,
(9.1a)
2)
Ecm je st ední hodnota se nového modulu pružnosti betonu ve stá í 28 dní– viz Tab. 3.1 a
obr. 3.14a
- 55 (81) -
Název p edm tu · Modul #
− vzdálenost t žišt ideálního pr ezu od horního okraje
a gi = [Ac ⋅ a c + α e ( As1 . d + As 2 . d 2 )] / Ai ,
(9.1b)
− moment setrva nosti ideálního pr ezu k jeho t žišti
2
2
2
I i = I c + Ac (a gi − a c ) + α e As1 (d − a gi ) + As 2 (a gi − d 2 ) .
[
]
(9.1c)
V tomto vztahu byly zanedbány momenty setrva nosti horní i dolní výztuže
k jejich t žištím. U „obvyklých“ vyztužených pr ez jde o veli iny významn
menší než jsou veli iny ostatní než ve vztahu (9.1c).
Ac
Ve vztazích (9.1) a na obr. 9.3.1 zna í
plochu betonové ásti pr ezu,
Ic
moment setrva nosti betonové ásti pr ezu k jeho t žiš ové ose,
ac
vzdálenost t žišt betonové ásti pr ezu C gc od horních vláken,
d
= h − d1 .
P i výpo tu nap tí v pr ezu se má p ihlížet krom ú ink vn jšího zatížení i
k ú ink m dotvarování a smrš ování betonu, dále pak i k jiným nep ímým zatížením (nap . k ú ink m teploty), které mohou výsledná nap tí v pr ezu významn ovlivnit.
Uvažujme zatížení pr ezu dle obr. 9.3.1a, na kterém je p sobící zatížení vztaženo k t žišti betonového pr ezu Cgc: N kd (obr. 9.3.1 b1) je p sobící normálová síla3) a M kd je p sobící ohybový moment4). Pokud provedeme transformaci
p sobícího zatížení k t žišti ideálního pr ezu C gi dle obr. 9.3.1 b3, pak získáme normálovou sílu N kd a ohybový moment5) M kdi . Potom nap tí v krajních
vláknech pr ezu viz obr. 9.3.1 f ur íme ze vztah pro
− horní vlákna
M kdi . a gi
N
σ c 2 = kd −
,
Ai
Ii
( 9.2a)
− dolní vlákna
M kdi . (h − a gi )
N
σ c1 = kd +
.
Ai
Ii
(9.2b)
3)
Pokud vypo tená nap tí spl ují podmínky
Konvence p sobící normálové síly je uvažována dle pružnosti; tlak -, tah +.
4)
Je uvažována znaménková konvence ohybových moment obvyklá v betonu i v pružnosti,
tj. kladný moment vyvozuje v dolních vláknech pr ezu tahy.
5)
Je uvažována znaménková konvence ohybových moment obvyklá v betonu i v pružnosti,
tj. kladný moment vyvozuje v dolních vláknech pr ezu tahy.
- 56 (81) -
Záv r
σ c1 ≤ f ct ,eff a σ c 2 ≤ f ct ,eff ,
(9.3)
pak trhliny kolmé ke st ednici prvku vyvozené ú inkem N kd , M kdi nevzniknou a výpo et nap tí lze provést s charakteristikami ideálního pr ezu (9.1), tj.
za p edpokladu pln p sobícího pr ezu v tahu i v tlaku.
Pevnost betonu v tahu f ct ,eff je uvažována hodnotou f ctm , což je st ední hodnota pevnosti betonu v tahu6), resp. f ctm, fl , což zna í st ední hodnotu pevnosti
betonu v tahu za ohybu7), za p edpokladu, že ur ení minimální plochy tažené
výztuže bylo provedeno se stejnou hodnotou.
3.3.1.1 Pr ez s trhlinou a tla enou ástí
Pokud pro nap tí v krajních betonových vláknech vypo tená na pln p sobícím
pr ezu dle vztah (9.3) platí
σ c1 f ct ,eff
a σ c2 0 ,
(9.4a)
resp.
σ c 2 f ct ,eff
a σ c1 0 ,
(9.4b)
je z ejmé, že v pr ezu vzniknou trhliny a existuje i tla ená ást. Pak se ur í pro výpo et nap tí charakteristiky pr ezu za p edpokladu, že
(p1) v tažené ásti pr ezu beton v tahu nep sobí, tj. je prostoupen trhlinou,
(p2)
pom rné p etvo ení pr ezu po výšce je lineární,
(p3)
nap tí v tla ené ásti betonového pr ezu a ve výztuži (tažené i tla ené)
je
p ímo
úm rné p etvo ení pr ezu v daném míst ; konstantou úm rnosti je modul
pružností
daného materiálu.
Uvažujme obecný železobetonový pr ez dle obr. 9.3.2 a. Konvenci pro pom rná p etvo ení, nap tí i p sobící zatížení budeme uvažovat op t dle pružnosti, jak bylo již výše uvedeno. Na pr ez p sobí normálová síly Nkd s výst edností ekd = M kd / N kd m ené od t žišt Cgc betonové ásti pr ezu (viz obr.
9.3.2.b1 a 9.3.2.b2); op t lze provést transformaci zatížení tak, aby bylo uvažováno k t žišti ideálního pr ezu Cgi – obr. 9.3.2.b3.
Z podobnosti trojúhelník v obrazci pr b hu pom rného p etvo ení (obr. 9.4.c)
je možno odvodit
6)
7)
Hodnoty fctm viz Tab. 3.1.
Hodnota fctm,fl viz vztah (3.20)
- 57 (81) -
Název p edm tu · Modul #
ε s1 = −ε c ( d − x ) / x ,
(9.5a)
ε s2 = ε c ( x − d2 ) / x
(9.5b)
a pro výslednice nap tí v jednotlivých materiálech obr. 9.4d platí
Fcc = 0,5 Accε c Ecm ,
(9.5c)
Fs1 = As1 ⋅ ε s1 ⋅ E s ,
(9.5d)
Fs 2 = As 2 ⋅ ε s 2 ⋅ E s ;
(9.5e)
dále Acc je plocha tla ené ásti betonového pr ezu.
Pro pr ez na obr. 9.3.2.b2 a výslednice vnit ních sil p sobící v jednotlivých
materiálech pr ezu dle obr. 9.3.2.f lze psát
− podmínky rovnováhy osových sil
N kd = Fs1 + Fs 2 + Fcc ,
(9.6a)
− momentovou podmínku k hornímu okraji pr ezu
N kd ⋅ e = Fs1 ⋅ d + Fs 2 ⋅ d 2 + Fcc ⋅ x / 3 ,
(9.6b)
kde e = ekd + ac .
Po dosazení (9.5) do (9.6) obdržíme po úprav nelineární rovnici pro výpo et
výšky x tla ené ásti pr ezu
1
1
x 2 − Accxe + α e As1 ( d − e ) + As 2 ( d 2 − e ) x −
A
cc
6
2
−α e As1d ( d − e ) + As 2 d 2 ( d 2 − e ) = 0 .
Po vy ešení velikosti tla ené ásti pr ezu x z rovnice (9.7) je možno ur it
charakteristiky ideálního pr ezu s trhlinou. Pro výpo et charakteristik ideálního pr ezu je možno použít vztahy analogické výraz m (9.1), do kterých za
plochu betonové ásti pr ezu Ac dosadíme plochu tla ené ásti betonového
pr ezu Acc .
Pro pr ez s trhlinou pak lze ur it
− plochu ideálního pr ezu
Ai = Acc + α e ( As1 + As 2 ) ,
(9.8a)
− vzdálenost t žišt ideálního pr ezu od horního okraje
a gi = [Acc ac + α c ( As1 d + As 2 d 2 )] / Ac ,
(9.8b)
− moment setrva nosti ideálního pr ezu k jeho t žišti
- 58 (81) -
Záv r
[
]
I i = I cc + Acc (a gi − a c ) + α c As1 (d − a gi ) + As 2 (a gi − d 2 ) ;
2
2
2
(9.8c)
I cc je moment setrva nosti tla ené ásti betonového pr ezu k jeho t žišti.
Nap tí v krajních tla ených vláknech betonu ur íme ze vztah
a
N kd
1 + Ai (agi − e ) gi .
Ai
Ii
(9.9a)
σc =
Nap tí ve výztuži vypo teme ze vztah
σ s1 =
a gi − d
N kd
1 + Ai (a gi − e )
αe ,
Ai
Ii
(9.9b)
σ s2 =
a − d2
N kd
1 + Ai (agi − e ) gi
αe .
Ai
Ii
(9.9c)
Pokud uvažujeme železobetonový obdélníkový pr ez dle obr. 9.4 je možno p i
odvození postupovat stejn . Na pr ez p sobí normálová síly Nkd s výst edností ekd = M kd / N kd m ené od t žišt Cgc betonové ásti pr ezu (viz obr. 9.4.b1
a obr. 9.4.b2).
Z podobnosti trojúhelník v obrazci pr b hu pom rného p etvo ení (obr. 9.4.c)
je možno op t odvodit vztahy (9.5a), (9.5b). Výrazy pro výslednice nap tí
v jednotlivých materiálech dle obr. 9.4d lze získat ve tvaru (9.5c) až (9.5e);
vztah (9.5c) lze ješt upravit vyjád ením velikosti plochy tla ené ásti betonu
Acc = bx .
Je nutno upozornit na skute nost, že v obr. 9.4d jsou zakresleny skute né orientace výslednic Fs1, Fs2 , Fcc 8) v jednotlivých materiálech, zatímco ve vztazích (9.6) a dalších do podmínek rovnováhy p íslušná znaménka (+ pro tah, pro tlak) generují práv vztahy (9.5).
Pro obdélníkový pr ez obdržíme po úprav kubickou rovnici pro výpo et výšky x tla ené ásti pr ezu ve tvaru
x 3 − 3x 2 e + 6
−6
8)
αe
b
αe
b
[As1 (d − e) + As 2 (d 2 − e)] x −
[As1d (d − e) + As 2 d 2 (d 2 − e)] = 0 .
Proto jsou v obr. 9.4d užity u tlakových sil Fs2 a Fcc absolutní hodnoty.
- 59 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Další postup výpo tu – stanovení nap tí v betonu a ve výztuži – je analogický
jako u obecného pr ezu; použijeme vztahy (9.9).
Obr. 9.4 Železobetonový obdélníkový pr ez s trhlinou a tla enou ástí namáhaný excentricky p sobící normálovou silou
Pro obdélníkový železobetonový pr ez namáhaný pouze ohybovým momentem Mkd 9)dle obr. 9.5 je možno sestavit pouze podmínku rovnováhy ve sm ru
osy prutu
Fs1 + Fs 2 + Fcc = 0
(9.11)
10)
,
do které je možno dosadit ze vztah (9.5) a (9.6). Po úpravách získáme kvadratickou rovnici pro výpo et výšky x tla ené ásti pr ezu
x2 +
2α e
( As1 + As 2 ) x − 2α e ( As1d + As 2 d 2 ) = 0 ,
b
b
(9.12)
jejímž ešením lze získat velikost (výšku) tla ené oblasti betonu
x=−
=
αe
αe
b
b
( As1 + As 2 ) +
( As1 + As 2 )
αe
b
( As1 + As 2 )
−1+ 1+
2
+
2α e
( As1d + As 2d 2 ) =
b
2b As1d + As 2 d 2
.
α e ( As1 + As 2 )
(9.13)
Moment setrva nosti trhlinou oslabeného pr ezu ur íme z podmínky, že t žištní osa trhlinou oslabeného ideálního pr ezu p i namáhání ohybovým momentem leží ve vzdálenosti x od horního okraje pr ezu, ve tvaru
9)
Protože pr ez je namáhán pouze ohybovým momentem ( N kd = 0 ) platí Mkd = Mkdi; Mkdi.je
moment p sobící na pr ez v t žišti ideálního pr ezu.
10)
Poznámka: Znaménková konvence použitá p i sestavení vztah (9.8) a (9.9) umož uje
použít, tento pro betoná e pon kud netradi ní zápis, podmínky rovnováhy. Znaménko + pro
tlaky a – pro tlaky vznikne ve vztahu (9.11) z podmínek podobnosti trojúhelník v pr b hu
prom nných p etvo ení (9.10). Na obr. 9.5d je vyzna en skute ný smysl p sobení výslednic v jednotlivých materiálech.
- 60 (81) -
Záv r
[
]
1
2
2
I i = bx 3 + α e As1 (d − x ) + As 2 (x − d 2 ) .
3
(9.14)
Nap tí extrémn namáhaných vláken tla eného betonu je
σc = −
M kd
x.
Ii
(9.15)
Obr. 9.5 Železobetonový obdélníkový pr ez s trhlinou namáhaný ohybovým
momentem
3.3.1.2 Trhlinou zcela porušený pr ez (tzv. mimost edný tah s malou výst edností)
Pokud na obou okrajích taženého pr ezu platí
σ c1 f ct ,eff a σ c 2 f ct ,eff
(9.16)
je pr ez po celé výšce prostoupen trhlinou. Jedná se o namáhání mimost edným tahem s malou výst edností a ideální pr ez pro výpo et nap tí ve výztuži
je tvo en pouze výztuží – obr. 9.3.3.
Charakteristiky ideálního pr ezu v tomto p ípad pak jsou
− plocha ideálního pr ezu
Ai = +α e ( As1 + As 2 ) ,
(9.17a)
− vzdálenost t žišt ideálního pr ezu od horního okraje
agi = α e ( As1 . d + As 2 . d 2 ) / Ai ,
(9.17b)
− moment setrva nosti ideálního pr ezu k jeho t žišti
I i = α e As1 ( d − agi ) + As 2 ( agi − d 2 )
2
2
.
(9.17c)
Nap tí ve výztuži se pak ur í ze vztah
a) p i namáhání normálovou silou Nkd p sobící s výst edností ekd = Mkd/Nkd
vztaženou k t žišti betonové ásti pr ezu Cgc
a −d
N
σ s1 = kd 1 + Ai ( agi − e ) gi
αe ,
Ai
Ii
(9.18a)
- 61 (81) -
Název p edm tu · Modul #
kde e = ekd + ac ,
b) p i namáhání ohybovým momentem Mkd
M
σ s1 = α e kd (d − x ) ,
Ii
(9.19a)
σ s2 = α e
M kd
(d 2 − x ) .
Ii
(9.19b)
Pokud na obou okrajích taženého pr ezu platí
σ c1 f ct ,eff a σ c 2 f ct ,eff
(9.16)
je pr ez po celé výšce prostoupen trhlinou. Jedná se o namáhání mimost edným tahem s malou výst edností a ideální pr ez pro výpo et nap tí ve výztuži
je tvo en pouze výztuží – obr. 9.3.3.
Charakteristiky ideálního pr ezu v tomto p ípad pak jsou
− plocha ideálního pr ezu
Ai = +α e ( As1 + As 2 ) ,
(9.17a)
− vzdálenost t žišt ideálního pr ezu od horního okraje
agi = α e ( As1 . d + As 2 . d 2 ) / Ai ,
(9.17b)
− moment setrva nosti ideálního pr ezu k jeho t žišti
I i = α e As1 ( d − agi ) + As 2 ( agi − d 2 )
2
2
.
(9.17c)
Nap tí ve výztuži se pak ur í ze vztah
c) p i namáhání normálovou silou Nkd p sobící s výst edností ekd = Mkd/Nkd
vztaženou k t žišti betonové ásti pr ezu Cgc
a −d
N
σ s1 = kd 1 + Ai ( agi − e ) gi
αe ,
Ai
Ii
(9.18a)
kde e = ekd + ac ,
d) p i namáhání ohybovým momentem Mkd
M
σ s1 = α e kd (d − x ) ,
Ii
(9.19a)
σ s2 = α e
M kd
(d 2 − x ) .
Ii
(9.19b)
- 62 (81) -
Záv r
3.3.2
Omezení tlakových nap tí v betonu
Pokud tlaková nap tí v betonu p ekro í ur itou kritickou hodnotu, mohou
v betonové konstrukci vzniknout podélné trhliny, které mohou vést ke snížení
trvanlivosti konstrukce. Pokud se neu iní jiná opat ení (nap . zv tšení krycí
vrstvy podélné tla ené výztuže nebo omezení p í ných p etvo ení p í nou výztuží) je vhodné u konstrukcích nacházejících se v t ídách prost edí XD, XF a
XS (viz Tab. 3.3) splnit podmínku
/ σ c / ≤ k1fck ,
(9.20)
kde f ck je charakteristická hodnota pevnosti betonu v tlaku, σ c je nap tí betonu
v tlaku p i charakteristické kombinaci zatížení, k1 je sou initel, jehož hodnota
bude udána v Národní p íloze EN 1992-1-1 – doporu ená hodnota je 0,6.
Lineární dotvarování betonu lze uvažovat, pokud nap tí betonu v tlaku spl uje
podmínku 11)
/ σ c / ≤ k 2fck ,
(9.21)
kde nap tí σ c je stanoveno pro charakteristickou kombinaci zatížení, k2 je
sou initel, jehož hodnota bude udána v p íloze EN 1992-1-1 – doporu ená
hodnota je 0,45.
3.3.3
Omezení nap tí ve výztuži
Tahové nap tí ve výztuži se omezuje proto, aby v d sledku trvalých nepružných pom rných p etvo ení výztuže nevznikaly v prvcích široké, trvale otev ené trhliny nebo nadm rná p etvo ení.
Pro charakteristickou kombinaci zatížení se kontrolují podmínky
σ s ≤ k3 fyk ;
(9.22a)
je-li nap tí ve výztuži vyvozeno vynuceným p etvo ením, je možno použít
podmínku
σ s ≤ k 4 fyk ,
(9.22b)
kde nap tí σ s je stanoveno pro charakteristickou kombinaci zatížení, k3 a k4
jsou sou initele, jejichž hodnoty budou udány v p íloze EN 1992-1-1 – doporu ené hodnoty jsou 0,8 a 1,0, fyk je charakteristická hodnota meze kluzu betoná ské výztuže.
St ední hodnota nap tí v p edpínací výztuži má spl ovat podmínku
σ p ≤ k5 fpk ;
(9.23)
11)
V opa ném p ípad je nutno uvažovat nelineární creep.
- 63 (81) -
Název p edm tu · Modul #
kde nap tí σ p je stanoveno pro charakteristickou kombinaci zatížení, k5 je souinitel, jehož hodnota bude udána v p íloze EN 1992-1-1 – doporu ená hodnota je 0,75, fpk je charakteristická hodnota tahové pevnosti p edpínací výztuže.
3.4
Mezní stav trhlin
Trhliny v betonových konstrukcích mohou mít – zejména v p ípadech trhlin
širokých a dlouhodob rozev ených – limitující vliv na trvanlivost a životnost
konstrukce. Trhliny vznikají bu p sobením p ímého zatížení, nebo vynuceným p etvo ením, resp. kombinací obou zp sob .
Trhliny v železobetonových konstrukcích namáhaných ohybem, smykem,
kroucením nebo tahem12) jsou v tšinou nevyhnutelné (tedy jsou v betonových
konstrukcích vesm s obvyklé). P itom ší ka trhlin závisí na vyztužení (tj. na
množství výztuže, velikosti a vzdálenosti profil výztužných prut , na druhu
výztuže), na pevnosti betonu v tahu, na soudržnosti výztuže a betonu, na krytí
(tj. na tlouš ce krycí vrstvy) a uspo ádání výztuže na rozm rech prvku a na
jeho namáhání. Ší ka trhliny w na povrchu betonu se m ní v závislosti na vzdálenosti místa s trhlinou od výztužných prut – viz obr. 9.6.
Obr. 9.6 Ší ka trhliny v závislosti na vzdálenosti od výztužných prut (schématicky)
EN 1992-1-1 vychází z filosofie, že
− není možné p esn stanovit ší ku trhliny (zejména s ohledem na rozptyl
tahové pevnosti betonu a soudržnost výztuže s betonem) pomocí jednoduchých vztah ,
− znalost p esné ší ky trhliny není pro trvanlivost betonové konstrukce významná,
a proto norma považuje za ú eln jší stanovit zásady uspo ádání výztuže pro
zamezení vzniku širokých trhlin než komplikovan stanovit ší ku trhliny výpo tem.
Cílem návrhu konstrukce z hlediska mezního stavu ší ky trhlin je zajistit, že
trhliny nezhorší použitelnost a trvanlivost konstrukce. Posouzení lze provést
dv ma zp soby:
12)
Tato namáhání mohou být vyvolána bu silovým zatížením nebo vnucenými deformacemi.
- 64 (81) -
Záv r
− p ímým výpo tem ší ky trhlin a kontrolou podmínky spolehlivosti, která
vyjad uje, že ší ka trhliny nep estoupí p edepsanou, resp. dohodnutou hodnotu,
− dodržením jistých doporu ení (konstruk ních zásad). Konstruk ní zásady
pro dostate né vyztužení pr ezu, velikost profil a vzdálenost vložek jsou
formulovány tak, že jejich d sledkem je zajišt ní dostate né spolehlivosti
konstrukce dle mezního stavu ší ky trhlin. P itom se ší ka trhlin nepo ítá.
EN 1992-1-1 se nezabývá trhlinami, které mohou vzniknout od jiných jev než
je p ímé zatížení a vynucená p etvo ení, tj. nap . trhlinami vyvolanými plastickým smrš ováním, resp. chemickými reakcemi v tvrdnoucím betonu.
P i odvození pokyn pro stanovení minimálního množství a uspo ádání výztuže se vychází z doporu ených hodnot maximální ší ky trhliny wmax – viz Tab.
9.1.
Pokud nejsou kladeny na konstrukci speciální požadavky z hlediska omezení
jejich trhlin (nap . vodot snost), lze p edpokládat, že limitní ší ky trhlin uvedené pro kvazistálou (resp. astou) kombinaci zatížení budou zajiš ovat pro železobetonové prvky (resp. pro p epjaté prvky) dostate nou spolehlivost se z etelem na jejich vzhled a trvanlivost.
Tab. 9.1 Doporu ená ší ka trhliny wmax [mm]
T ída prost edí
železobetonové, p edpjaté
s nesoudržnou výztuží
kvazistálá kombinace zatížení
XO, XC1
0,4
XC2, XC3, XC4
0,3
XD1, XD2, XS1 až
XS3
0,3
*)
p edpjaté se soudržnou výztuží
astá kombinace zatížení
0,2
0,2**)
dekomprese***)
*)
V prost edí XO a XC1 nemá ší ka trhlin vliv na trvanlivost konstrukce; tato limitní
hodnota zajiš uje p ijatelný vzhled. Pokud nejsou kladeny požadavky na vzhled, není nutno ší ku kontrolovat
**)
V t chto t ídách prost edí m že být zaveden požadavek dekomprese pro kvazistálou
kombinaci
***)
Dekompresí je ozna ován požadavek, že veškerá soudržná p edpínací výztuž leží
min. 25 mm v tla ené ásti betonu
3.4.1
Vznik a ší ka trhlin
Závislost mezi p sobícím zatížením a pom rným p etvo ením výztuže obdélníkového železobetonového symetricky vyztuženého centricky taženého prutu
je zakreslena na obr. 9.7.
- 65 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Obr. 9.7 Pom rné p etvo ení výztuže u centricky taženého prutu
V prvku nevzniknou trhliny až do dosažení pevnosti betonu v tahu; p sobící
zatížení má velikost NI a odpovídá mu p etvo ení výztuže εI . Do tohoto
okamžiku se prvek nachází ve stavu I, p sobí plný ideální pr ez tvo ený taženým betonem a výztuží s plochou Ai .
Po dosažení tahové síly N I = Ai f ctm vzniknou primární trhliny. V míst trhliny
již neplatí rovnost mezi pom rným p etvo ením výztuže a betonu; mimo trhlinu, kde je zachována soudržnost mezi betonem a výztuží je rovnost pom rných
p etvo ení betonu a výztuže zachována. Vzdálenost mezi primárními trhlinami
je velká – obr. 9.8a. Mezi trhlinami spolup sobí na p enášení zatížení tažený
beton i výztuž; v míst trhliny je nap tí v betonu rovno nule a veškeré tahové
síly p enáší pouze výztuž.
Po vzniku primárních trhlin dochází ke snížení tuhosti taženého prvku, nebo
tažený beton v míst trhlin nep sobí. P i zachování zhruba stejné hodnoty zatížení se za ínají rozvíjet sekundární trhliny (obr. 9.7 a 9.8).
Fáze rozvoje trhlin je ukon ena v bod
(N
I , II
; ε I , II ) dle obr. 9.7.
P i dalším zvyšování zatížení již dochází ke zvyšování napjatosti ve výztuži,
spolup sobení betonu s výztuží mezi trhlinami se p i rostoucím zatížení zmenšuje. Napjatost a p etvo ení výztuže nar stá až dosažení meze skluzu výztuže
(bod (N y , ε y ) na obr. 9.7. Vzhledem k rostoucímu zatížení klesá podíl ásti
zatížení p eneseného mezi trhlinami taženými betonem; závislost mezi zatížením a p etvo ením se p ibližuje teoretickému stavu p sobení prvku II, ve kterém se již spolup sobení taženého betonu mezi trhlinami neuvažuje.
Podobným zp sobem by bylo možno popsat chování železobetonového ohýbaného prvku u taženého okraje; jednotlivá stadia p sobení prvku z hlediska
vzniku a rozvoje trhlin by byla obdobná.
- 66 (81) -
Záv r
Obr. 9.8 Centricky tažený symetrický železobetonový prvek
a) stav po vzniku primárních trhlin
b) stadium ukon eného rozvoje trhlin
Charakteristická ší ky trhliny wk se vypo ítá ze vztahu
wk = s r ,max (ε sm − ε cm ) ,
(9.24)
kde s r ,max je maximální vzdálenost, ε sm je st ední hodnota pom rného p etvoení výztuže p i dané kombinaci zatížení (v etn zahrnutí vlivu vnucených deformací a tahového zpevn ní), ε cm je st ední hodnota p etvo ení betonu mezi
trhlinami.
EN 1992-1-1 umož uje použít pro ur ení rozdíl pom rných p etvo ení výztuže a betonu vztah
ε sm − ε cm =
f ct ,eff
1
(1 + α e ρ p,eff ) ;
σ s − kt
Es
ρ p ,eff
(9.25)
s omezením
ε sm − ε cm ≥ 0,6 σ s / E s .
(9.26)
Ve vztazích (9.25) a (9.26) zna í
σs
nap tí v tažené výztuži vypo tené na pr ezu porušeném trhlinou,
α e = E s / E cm pom r modul pružnosti výztuže a výztuže,
ρ p ,eff = (As + ξ12 A p ) / Ac ,eff je ú inný stupe vyztužení efektivní tažené oblasti
betonu Ac ,eff ,
je plocha p edpínací výztuže (u železobetonových nep edpjatých prvk
Ap
je Ap = 0 ),
- 67 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Ac ,eff je plocha betonu obklopující taženou výztuž o výšce
hc ,eff = min{2,5 (h − d ), (h − x ) / 3, h / 2} ,
k t sou initel vyjad ující vliv doby trvání zatížení ( k t = 0,6 pro krátkodobé
zatížení;
k t = 0,4 pro dlouhodobé zatížení).
Význam dalších symbol je patrný z obr. 9.9, ξ1 je upravený pom r soudržnosti betonu a výztuže zohled ující r zné pr m ry p edpínací a betoná ské výztuže (viz vysv tlivka za vztahem (9.32).
Obr. 9.9 Efektivní tažená plocha betonu Ac,eff , typické p íkla-
dy
a) nosník (nosníková deska, deska)
b) tažený prvek
Maximální vzdálenost trhlin s r,max m že být ur ená ze vztah
a) v p ípadech, kdy vzdálenost prut tažené výztuže soudržných s betonem je
malá, tj. kdy podle EN 1992-1-1 platí s ≤ 5(c + φ / 2 ) , pak
s r ,max = k 3 ⋅ c + k1 k 2 k 4 φ / ρ p ,eff
upr.
(9.27a)
Hodnoty sou initel k3 a k4 definuje národní p íloha; doporu ené hodnoty
jsou
k3
=
3,4
a k4 = 0,425.
b) pro p ípad výztuže soudržné s betonem ve vzdálenostech s 5 (c + φ / 2 ) ,
resp. pro p ípad nesoudržné výztuže v tažené zón
s r ,max = 1,3 (h − x ),
(9.27b)
c) pro st ny vystavené teplotnímu namáhání, u kterých vodorovná výztuž nespl uje podmínku minimální výztuže dané vztahem (10.30) a u kterých je
spodní ást spojena monoliticky s d íve provedeným základem, m že být
uvažováno
s r ,max = 1,3 H ,
(9.27c)
kde H je výška st ny.
Ve vztazích (9.27) zna í
φ
pr m r výztuže; pokud je v pr ezu použito n1 vložek pr m ru φ1, n2
vložek pr m ru φ2 atd., pak se ve vztahu (9.27a) použije ekvivalentní
- 68 (81) -
Záv r
pr m r vložky
φ = n1φ12 + n 2φ 22 + .... / (n1φ1 + n 2φ 2 + ....) ,
(
)
c
krytí výztuže,
k1
sou initel vyjad ující vliv soudržnosti výztuže; k1=0,8 pro výztuž s velkou
soudržností (za výztuž s velkou soudržností je uvažována výztuž
s žebírkovým povrchem); k1=1,6 pro výztuž s hladkým povrchem, tj. nap .
p edpínací výztuž,
k2
sou initel vyjad ující vliv rozd lení pom rného p etvo ení po výšce pr ezu. Platí
k2 = 0,5 pro ohyb; k2 = 1,0 pro prostý tah; k 2 = (ε 1 + ε 2 ) / 2ε 1 pro p ípad
mimost edného tahu, resp.místního namáhání; ε1 (resp. ε2) je v tší (resp.
menší) tahové p etvo ení okraj pr ezu vypo tené pro trhlinami porušený
pr ez,
k3, k4 sou initele, jejichž hodnota bude uvedena v národní p íloze, doporu ené
hodnoty jsou 3,4 a 0,425,
h
výška prvku a x je velikost tla ené oblasti.
V p ípad , že úhel , který svírá sm r hlavních nap tí a sm r výztuže u prvk
vyztužených ve dvou navzájem kolmých sm rech je v tší než 15o, vypo te se
maximální vzdálenost trhlin ze vztahu
s r ,max =
1
cosθ
sin θ
+
s r ,max, y s r ,max, z
,
(9.28)
kde s r ,max, j je vzdálenost trhlin vypo tená pro sm r j= y, z dle (9.27).
3.4.2
Omezení ší ky trhlin bez p ímého výpo tu
Cílem omezení ší ky trhlin je zajišt ní takového stavu konstrukce, aby nedošlo
v d sledku existence trhlin k omezení životnosti a trvanlivosti konstrukce, resp.
ke zhoršení jejího estetického p sobení. P itom u železobetonových konstrukcí
namáhaných ohybem, tahem, smykem nebo kroucením nelze bez zvláštních
opat ení zabránit vzniku trhlin. Ší ku trhlin lze na p ijatelnou míru omezit dodržením ur itého minimálního množství výztuže, která je soudržná s betonem.
P itom je nutno kontrolovat pr m r prut výztuže a jejich vzdálenost.
3.4.2.1 Ur ení nejmenší pr ezové plochy betoná ské výztuže
Minimální množství soudržné výztuže v tažené oblasti m že být stanoveno
z podmínky rovnosti tahové síly p enášené betonem t sn p ed vznikem trhliny
a tahové síly p enášené výztuží po vzniku trhliny. P itom nap tí ve výztuži
m že být uvažováno hodnotou nap tí na mezi kluzu fyk, nebo menší, pokud to
je nutné z hlediska omezení ší ky trhlin.
P itom nap tí ve výztuži σs po vzniku trhliny je možno uvažovat hodnotou
nap tí na mezi kluzu (resp. menší – pokud je to nutné z hlediska omezení ší ky
trhlin).
- 69 (81) -
Název p edm tu · Modul #
Pro obdélníkový pr ez namáhaný
a) ohybovým momentem platí dle obr. 9.10a za p edpokladu ramene vnit ních
sil
z
=
0,85
h
Asσ s = 0,4 Act . f ct ,eff ,
(9.29a)
b) dost edným tahem (obr. 9.10b)
Asσ s = Act . f ct ,eff .
(9.29b)
Ve vztazích (9.29) je Act pr ezová plocha taženého betonu p ed vznikem
trhliny, f ct ,eff pevnost betonu v tahu v okamžiku vzniku trhlin, As pr ezová
plocha výztuže a σs nap tí ve výztuži.
Obr. 9.10 Ur ení minimální pr ezové plochy betoná ské výztuže pro pr ez
namáhaný
a) ohybovým momentem,
b) dost edným tahem
EN 1992-1-1 uvádí pro výpo et minimální plochy výztuže As. min vztah
As ,min = k c .k . f ct ,eff . Act / σ s ,
(9.30)
který je velmi podobný již odvozeným vztah m (9.29). Ve vztahu (9.30) krom
již zavedených symbol ve vztazích (9.29) zna í
kc je sou initel vyjad ující vliv rozd lení nap tí p ed vznikem trhliny a zm nu
ramene vnit ních sil; uvažuje se
- prostý tah je k c = 1,0 ,
- pro obdélníkové pr ezy namáhané ohybem nebo excentricky p sobící
normálovou silou
k c = 0,4 1 −
σc
k1 (h / h *)
f ct ,eff ≤ 1 ,
(9.31a)
- pro p íruby kom rkových a T-pr ez
- 70 (81) -
Záv r
kc = 0,9
Fcr
≥ 0,5 ,
Act f ct ,eff
(9.31b)
σc
st ední nap tí betonu p sobící na pr ez (σ c= N Ed / bh ) ,
N Ed osová síla p sobící na pr ez, která je ur ená z charakteristických hodnot
p edp tí
a osových sil v uvažované kombinaci zatížení (tlaková síla má v tomto
vztahu
kladné
znaménko),
h*
náhradní výška prvku (h* = h pro h 1,0 m; h* = 1,0 m pro h ≥ 1,0 m ) ,
k1
sou initel vyjad ující vliv osových sil na rozložení nap tí ( k1 = 1,5 , je-li
N Ed tlaková;
k1 = 2 h * / (3 h ) , je-li N Ed tahová síla),
Fcr
je absolutní hodnota tahové síly v p írub t sn p ed vznikem trhliny
vyvolané momentem na vzniku trhlin ur eným nap tím v taženém betonu o hodnot fct,eff,
k
sou initel vystihující vliv nerovnom rného rozd lení vlastních rovnovážných nap tí od vynucených p etvo ení, která vedou k redukci
omezujících sil
k = 1,0
pro žebra s h
300 mm nebo p íruby ší ky menší než 300
mm,
k = 0,65 pro žebra s h
800 mm nebo p íruby ší ky v tší než 800 mm,
pro mezilehlé hodnoty m že být použito lineární interpolace.
Nap tí σs je maximální nap tí ve výztuži, kterém p ipustíéme okamžit po
vzniku trhliny. M že být uvažováno jako mez kluzu fyk ; menší hodnoty σs musí být použity, pokud vyplynou z kritéria použitého pr m ru výztuže nebo ze
vzdálenosti mezi vložkami.
Soudržná p edpjatá výztuž v tažené zón , která leží ve vzdálenosti menší nebo
rovné 150 mm od t žišt p edpínací výztuže m že být zapo tena do výztuže
podílející se na omezení trhlin. Vztah (9.30) pak p ejde do tvaru
As ,min = (k c k f et ,eff Act − ξ1 A p ∆σ p ) / σ s ,
(9.32)
kde Ap je plocha soudržné p edpínací výztuže (p edem nebo dodate n p edpjaté), která leží uvnit efektivní tažené plochy betonu,
Ac,eff (viz obr. 9.9),
ξ1 = ξ .φ s / φ p je upravený pom r soudržnosti betonu a výztuže, zohledující rozdílné pr m ry betoná ské a p edpínací výztuže; p i použití pouze soudržné p edpínací výztuže regulující ší ku trhlin je ξ1
= ξ.
- 71 (81) -
Název p edm tu · Modul #
ξ
pom r soudržnosti p edpínací a betoná ské výztuže podle tab. 9.2
p evzaté z EN 1992-1-1 [9],
φs
nejv tší pr m r betoná ské výztuže, φp je ekvivalentní pr m r
p edpínací výztuže, který se uvažuje φp = 1,6 Ap pro svazky p edpínací výztuže o ploše Ap, φp = 1,75 (1,20) φwire pro 7 (3) drátová
lana s pr m rem drátu φwire,
∆σp
zm na nap tí v p edpínací výztuži vyvolaná p etvo ením betonu od
zatížení.
Tab. 9.2 Upravený pom r ξ soudržnosti p edpínací a betoná ské výztuže
ξ
P edpínací výztuž
dodate n p edpjatá
p edem p edpjatá
≤ C50/60
≥ C70/85
nepoužívat
0,3
0,15
Lana
0,6
0,5
0,25
Dráty s vtisky
0,7
0,6
0,3
Hladké pruty a dráty
Žebírkové pruty
0,8
0,7
0,35
Poznámka: Pro mezilehlé hodnoty mezi C 50/60 a C 70/85 lze interpolovat.
3.4.2.2 Kontrola pr m ru výztuže
Ší ku trhliny lze vypo ítat ze vztahu (9.24), ze kterého po dosazení (9.25) z
(9.27a) získáme
wk = k3 c + k1k2 k4
φ
σs
ρ p ,eff Es
1 − kt
f ct ,eff
ρ p ,eff
(1 + α ρ )
e
p , eff
.
(9.33)
Omezíme-li se na železobetonové prvky obdélníkového pr ezu ší ky b platí
ρ p ,eff = As / (b ⋅ hc ,eff ) .
(9.34)
Geometrický stupe vyztužení ρh je definován jako podíl plochy výztuže As
a plochy pr ezu
ρ h = As / (b ⋅ h ) .
(9.35)
ρ p ,eff
Efektivní stupe vyztužení lze vyjád it úpravou (9.39) a (9.40) ve tvaru
= ρ h ⋅ h / hc ,eff .
(9.36)
Dosazením (9.34) až (9.37) do (9.33) je možno ur it pr m r výztuže φ ve
tvaru
- 72 (81) -
Záv r
E s wk
φ=
σ s 1 − kt
− 3,4 c ρ h
h
hc ,eff
1
0,425 k1 k 2
f ct ,eff
h
1 + αe ρh ⋅
h
hc ,eff
ρh ⋅
hc ,eff
(9.37)
Pokud do vztahu (9.37) dosadíme fct,eff = 2,9 MPa, budeme uvažovat výztuž
s velkou soudržností a dlouhodobé zatížení, pak pro zvolenou ší ku trhliny wk
a nap tí ve výztuži σs získáme funk ní závislost mezi pr m rem výztuže a
geometrickým stupn m vyztužení
φ = φ (ρ h ) ,
(9.38)
která pro p ípad prostého ohybu i dost edného tahu symetricky vyztuženého
prutu má zhruba stejné minimum φmin ; samoz ejm minima je dosaženo pro
r zné stupn vyztužení ρh. Hodnota φmin v závislosti na ší ce trhliny wk a uvažovaném nap tí ve výztuži p edstavuje maximální p ípustný profil výztuže,
který p i napjatosti σs zajistí trhlinu ší ky wk .
Hodnoty maximálních p ípustných pr m r prut φs*zajiš ujících ší ku trhlin
v požadovaných mezích jsou uvedeny v tab.9. 3.
Poznámka: P i stanovení hodnot v tabulce byly užity pro výpo et následující
hodnoty:
c = 25 mm;. fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5; h – d = 0,1 h;
k1 = 0,8; k2 = 0,5; k3 = 3,4; k4 = 0,425; kt = 0,4; kc = 0,4; k = 1,0; a
k´ = 1,0 ?.
Podle EN 1992-1-1 je možno maximální pr m r prutu φ*s uvedený v Tab. 9.3
upravit, tj. v konstrukci lze použít pruty o pr m ru φs dle vztah
f ct ,eff
k c hcr
φ s * pro namáhání ohybem,
2,9 2 (h − d )
φs =
f ct ,eff k c ⋅ hcr *
φ s namáhání tahem s malou excentricitou
2,9 h − d
(celý pr ez tažený ),
(9.39)
- 73 (81) -
Název p edm tu · Modul #
kde h je výška pr ezu, hcr je výška tažené zóny bezprost edn p ed vznikem
trhliny od kvazistálé kombinace zatížení.
Tab. 9. 3 Maximální pr m ry prut pro zajišt ní dostate né spolehlivosti konstrukce z hlediska ší ky trhlin wk
Maximální pr m r prutu φs* [mm]
Nap tí ve výztuži
σs [MPa]
wk = 0,4 mm
wk = 0,3 mm
wk = 0,2 mm
160
40
32
25
200
32
25
16
240
20
16
12
280
16
12
8
320
12
10
6
360
10
8
5
400
8
6
4
450
6
5
-
3.4.2.3 Kontrola vzdálenosti prut výztuže
Pokud uvažujeme obdélníkový pr ez výšky h s výztuží o pr m ru φ v jedné
vrstv ve vzdálenosti s je možné ur it geometrický stupe vyztužení
ρ h = πφ 2 / ( 4 sh ) ,
(9.40)
ze kterého lze vypo ítat vzdálenost výztuže
s = πφ 2 / (4 ρ h h ) .
(9.41)
Dosadíme-li do vztahu (9.46) za pr m r φ ze vztahu (9.42) získáme závislost
mezi vzdáleností výztuže s , nap tím výztuže σ s , ší kou trhliny wk , výškou
pr ezu h.
EC2 uvádí tabulku maximálních vzdáleností prut pro zajišt ní dostate né
spolehlivosti z hlediska ší ky trhlin – Tab. 9.4.
Tab. 9.4
Maximální vzdálenost prut pro zajišt ní dostate né spolehlivosti
konstrukce z hlediska ší ky trhlin
Nap tí ve výztuži
Maximální vzdálenost výztuže s [mm]]
σs [MPa]
wk = 0,4 mm
wk = 0,3 mm
wk = 0,2 mm
160
300
300
200
- 74 (81) -
Záv r
200
300
250
150
240
250
200
100
280
200
150
50
320
150
100
-
360
100
50
-
Pozn.: P i stanovení hodnot v tabulce byly uvažovány stejné hodnoty jako v poznámce v odst.
9.4.2.2.
3.4.2.4 Postup p i kontrole trhlin bez p ímého výpo tu
V p edchozích odstavcích byly nazna eny zp soby odvození pro ur ení minimální plochy výztuže v tažené oblasti, pro stanovení maximálního profilu a
vzdálenosti výztuže.
Pokud provádíme posouzení konstrukce z hlediska ší ky trhlin bez jejího p ímého výpo tu, je možno postupovat podle následujících bod
(1) u železobetonových nebo p edepjatých desek a u prvk namáhaných ohybem bez významných osových sil, není nutno provád t žádné posouzení,
pokud výška desky nep ekro í 200 mm a pokud byly dodrženy konstruk ní
zásady týkající se vzdálenosti výztužných prut apod., jak je uvedeno v 4.8.
(2) pokud je dodrženo minimální množství výztuže dle vztahu (9.30) a budou-li
dodrženy
následující zásady, trhliny nebudou ovliv ovat spolehlivost a použitelnost
konstrukce.
a) Pokud jsou trhliny p evážn vyvolány vynucenými p etvo eními, sta í
provést kontrolu maximálního pr m ru výztuže dle Tab. 9.3. P itom σs
je hodnota nap tí ve výztuži ur ená bezprost edn po vzniku trhliny.
b) Jsou-li trhliny vyvolány p evážn zatížením, kontroluje se jak maximální pr m r výztuže (Tab. 9.3), tak i maximální vzdálenost výztuže
(Tab. 9.4). Nap tí ve výztuži σs je ur eno od uvažované kombinace zatížení na trhlinami porušeném pr ezu.
Je nutno poznamenat, že potencionální nebezpe í vzniku širokých trhlin je
zejména v pr ezech, kde dochází k náhlým zm nám napjatosti, tj. v pr ezech
(a v jejich blízkosti) kde
a. p sobí koncentrované zatížení (osam lá b emena),
b. je výztuž stykována (curtailed),
c. jsou velká nap tí v soudržnosti,
d. dochází k náhlé zm n rozm r pr ezu.
V t chto pr ezech je nutno minimalizovat náhlé zm ny stavu napjatosti. Pokud ale jsou dodrženy konstruktivní zásady popsané v kapitolách 8 a 9 EC2
(resp. v odstavcích 4.8, 5.5, 5.6 a 5.7.3 tohoto skripta) lze obvykle považovat
požadavky na odolnost proti trhlinám za spln né.
Kritéria pro kontrolu trhlin vyvolaných posouvající silou se považují za spln ná, pokud jsou dodrženy konstruktivní zásady popsané v odst. 9.2.2, 9.2.3,
9.3.2 a 9.4.3 EC2, (resp. 9.4.2.1 až 9.4.2.3, a 5.5 a 5.6 tohoto skripta).
- 75 (81) -
Název p edm tu · Modul #
U p edem p edpjatých prvk , kde je omezení ší ky trhlin provád no zejména
p edpjatou soudržnou výztuží, mohou být Tab. 9.2 a 9.3 použity; nap tí ve výztuži σs ur íme jako rozdíl celkového nap tí ve výztuži a p edp tí.
Pro dodate n p edpjaté prvky, u kterých je omezení ší ky trhlin zajišt no
zejména betoná skou výztuží, mohou být Tab. 9.2 a 9.3 použity rovn ž; nap tí
ve výztuži se ur í se zapo tením vlivu p edpínání.
U nosník vyšších než 1000 mm, u kterých je hlavní nosná výztuž soust ed na
pouze v malé ásti prvku, musí být provedena dodate ná povrchová výztuž
omezující trhliny, resp. zabra ující odlupování krycí vrstvy betonu – obr. 9.11.
Množství povrchové výztuže nesmí být menší než As ,min vypo tené dle (9.30)
s hodnotami k = 0,5 a σ s = f yk . Vzdálenosti prut a profil dodate né povrchové výztuže lze získat z Tab. 9.3 a 9.2 za p edpokladu dost edného tahu a
nap tí ve výztuži rovnému polovin nap tí σs ur eného pro hlavní výztuž.
Obr. 9.11 Povrchová výztuž trámu
3.5
Mezní stav p etvo ení
P etvo ení prvku nebo konstrukce musí být takové, aby nep ízniv neovliv ovalo ani funk nost ani vzhled.
Mezní hodnoty p etvo ení mají brát v úvahu povrch a funkci konstrukce, její
povrchové úpravy (omítky, podhledy, atd.), p í ky a zp sob upevn ní. V EC2
jsou uvedeny jen orienta ní hodnoty mezních p etvo ení:
a) Kritérium obecné použitelnosti:
Pr hyb p i kvazistálém zatížení nemá p ekro it 1/250 vzdálenosti podpor.
Pro omezení pr hybu m že být použito nadvýšení; velikost nadvýšení bedn ní by nem la p ekro it 1/250 rozp tí.
b) Kritérium pr hybu po zabudování prvku.
Pr hyb po zabudování (provedení) prvku by nem l p estoupit hodnotu
1/500 rozp tí p i kvazistálé kombinaci zatížení. Ostatní omezení by m la
být uvažována v závislosti na náchylnosti k porušení p ipojených prvk .
Toto kritérium je formulováno s ohledem na možné poškození p ipojených
ástí konstrukce.
Tato kritéria byla odvozena z ISO 4356 a m la by zajistit dostate nou spolehlivost (použitelnost) v objektech využívaných pro ú ely bydlení, kancelá e, veejné budovy nebo továrny.
Další omezení, která jsou kladena na projektovanou konstrukci by m la vyplynout z požadavk investora a závisí nap íklad také na technologii instalované
v objektu, resp. na požadavku zabrán ní nesprávné funkce objektu nebo jeho
- 76 (81) -
Záv r
ástí. Nap . m že jít o požadavek správného odvodn ní plochých st ech (zabrán ní shromaž ování vody, která nem že odtéct z místa s nadm rnými deformacemi).
Ov ení mezního stavu p etvo ení m že být provedeno
a) bez výpo tu p etvo ení. Používají se jednodušší metody založené nap . na
ov ení štíhlosti prvku,
b) výpo tem p etvo ení a srovnáním vypo tených hodnot s p ípustnými limitními hodnotami.
Tyto limitní hodnoty by m l zejména definovat uživatel (s výjimkou kritérií
obecné použitelnosti a pr hybu po zabudování prvk – viz úvod tohoto odstavce.
V p ípad , že prvek nespl uje podmínky kritéria ohybové štíhlosti, je nutno
provést posouzení výpo tem. Provedeným výpo tem m že být prokázána požadovaná spolehlivost konstrukce.
3.5.1
P ípady, ve kterých lze od výpo tu p etvo ení upustit
U betonových desek a nosník , které spl ují podmínku ohybové štíhlosti
l
≤ λd ,
d
(9.42)
se p edpokládá, že jsou spln na kritéria obecné použitelnosti a pr hybu po zabudování prvku. Ve vztahu (9.42) zna í l rozp tí prvku, d ú innou výšku
pr ezu a λ d vymezující ohybovou štíhlost
λd = κ c1 ⋅ κ c 2 ⋅ κ c 3 ⋅ λ dtab ,
(9.43)
kde
K 11 + 1,5 f ck
ρo
ρo
+ 3,2 f ck
−1
ρ
ρ
K 11 + 1,5 f ck
ρo
1
+
ρ − ρ ′ 12
λ d ,tab =
f ck
ρ′
ρo
3/ 2
pro ρ ≤ ρ o ,
pro ρ ρ o ,
(9.44)
K je sou initel závislý na statickém schématu konstrukce a na poloze pr ezu,
ve kterém je posuzováno p etvo ení, ρ o =
f ck ⋅ 10 −3 , ρ = As , prov / (b d ) je
geometrický stupe vyztužení tahovou výztuží v extrémn namáhaném pr ezu
konstrukce (uprost ed pole pro nosníky, ve vetknutí pro konzolu), As , prov je
plocha výztuže v extrémn namáhaném pr ezu o rozm rech b a h , ρ ′ = stupe vyztužení takovou výztuží v extrémn namáhaném pr ezu, κc1 je sou initel závislý na tvaru pr ezu (κc1 = 0,8 pro T pr ezy s pom rem ší ky p íruby
k ší ce žebra v tší než 3; κc1 = 1,0 v ostatních p ípadech), κc2 sou initel závislý na rozp tí (κc2 = 7/l pro l >7,0 m; κc2 = 1,0 pro l ≤ 7,0 m),
- 77 (81) -
Název p edm tu · Modul #
κ c3 =
310
ρs
=
500 As , prov
sou initel nap tí tahové výztuže σs v extrémn naf yk As ,req
máhaném pr ezu p i asté kombinaci provozního zatížení, As ,req pr ezová
plocha výztuže v pr ezu pot ebná k p enesení extrémního momentu.
Hodnoty ohybové štíhlosti λ d ,tab vypo tené pro beton C 30/37, nap tí σs = 310
MPa, stupn vyztužení ρ = 1,5% a ρ = 0,5% a doporu ené hodnoty sou initele
K jsou uvedeny v Tab.9.5.
Tab. 9.5 Vymezující ohybové štíhlosti λ d ,tab a sou initel K
Nosná konstrukce
Prost podep ený nosník, prost podep ená deska (nosná
v jednom a ve dvou sm rech)
K
ρ = 1,5% ρ = 0,5%
1,0
14
20
1,3
18
26
1,5
20
30
Deska lokáln podep ená
1,2
17
24
Konzola
0,4
6
8
Krajní pole spojitého nosníku nebo desky nosné v jednom
sm ru, krajní pole desky nosné ve dvou sm rech, spojité
ve sm ru kratšího rozp tí
Vnit ní pole spojitého nosníku nebo desky nosné
v jednom nebo ve dvou sm rech
3.5.2
Výpo et p etvo ení
P i výpo tu p etvo ení je nutno uvažovat
− takové zat žovací kombinace, které jsou p im ené posuzované situaci,
− výstižné chování konstrukce p i p íslušném zatížení (tj. v p ípad , že
vzniknou trhliny v konstrukci, je nutno respektovat jejich vliv na tuhost
konstrukce).
3.5.2.1 Závislost mezi nap tím a p etvo ením u betonových prvk
Na obr. 9.12 je zakreslena závislost mezi nap tím σs výztuže a pr m rným
p etvo ením výztuže u centricky taženého nebo ohýbaného prvku. Pokud p sobící zatížení (osová síla Nkd, resp. ohybový moment Mkd) p ekro í hodnotu
silového ú inku na mezi vzniku trhlin (osovou sílu Nr , resp. moment Mr),
za nou vznikat první trhliny a tuhost prvku se za ne snižovat.
P etvo ení prvku vzr stá, dochází k zahuš ování trhlin (tato situace již byla
podrobn ji popsána v p edchozím textu − viz odst. 9.4.1).
Pr m rné pom rné tahové p etvo ení ε sm lze vyjád it jako rozdíl pom rného
p etvo ení výztuže v trhlin ε s 2 a pom rného p etvo ení výztuže ∆ε s , které
vyjad uje vliv spolup sobení betonu mezi trhlinami
- 78 (81) -
Záv r
ε sm = ε s 2 − ∆ε s .
(9.45)
Experimenty bylo ov eno, že platí
∆ε s = ∆ε s ,max
σ sr
,
σ s2
(9.46)
kde σ sr je nap tí ve výztuži p i dosažení meze trhlin vypo tené za p edpokladu, že beton v tahu nep sobí; σ s 2 je nap tí ve výztuži vyvozené na trhlinami
porušeném pr ezu od uvažovaného zatížení a
∆ε s ,max = ε s 2 r − ε s1r ;
(9.47)
další ozna ení je patrné z obr. 9.12.
Obr. 9.12 Závislost mezi nap tím σs a pr m rným p etvo ením tažené výztuže ε sm
Pokud zvážíme platnost vztah dle obr. 9.12
ε s 2 r / ε s 2 = σ sr / σ s 2 ,
ε s1r / ε s1 = σ sr / σ s 2 ,
(9.48)
které dosadíme do (9.45), získáme po úprav
ε sm = ξ ⋅ ε s 2 + (1 − ξ )ε s1 ,
(9.49)
kde
ξ = 1 − (σ sr / σ s )2 .
(9.50)
3.5.2.2 Model dle EN 1992-1-1
EN 1992-1-1 zavádí pro p evážn ohýbané prvky ve kterých vzniknou trhliny
model, který umož uje predikci chování ve tvaru
- 79 (81) -
Název p edm tu · Modul #
α = α II + (1 − ξ ) α I ;
(9.51)
α je hledaná deforma ní veli ina (nap . pom rné p etvo ení, pooto ení nebo
k ivost), αI (resp. αII ) je hodnota deforma ní veli iny stanovená za p edpo-
kladu pln p sobícího trhlinami neporušeného pr ezu (resp. za p edpokladu
trhlinami pln porušené konstrukce), ξ je sou initel vystihující tahové zpevn ní
ξ = 1 − β (σ sr / σ s )2 ,
(9.52)
β je sou initel vyjad ující vliv doby nebo opakování zatížení (β = 1,0 pro jednorázové krátkodobé zatížení; β = 0,5 pro dlouhodob p sobící nebo opakovaná zatížení). Nap tí σ s a σ sr mají stejný význam jako v p edchozím odstavci.
Závislost mezi ohybovým momentem Mkd a p etvo ením a je zakreslena na
obr. 9.13.
Obr. 9.13 Závislost mezi ohybovým momentem Mkd a p etvo ením a
Celkové deformace, které zahrnují i vliv deformací vyvolaných dotvarováním
betonu mohou být vypo teny použitím efektivního modulu pružností betonu
E c ,eff =
E cm
,
1 + ϕ (∞, t o )
(9.53)
kde ϕ (∞, t o ) je sou initel dotvarování.
K ivost od smrš ování 1 / rcs je možno stanovit ze vztahu
1
S
= ε csα e ,
rcs
I
(9.54)
- 80 (81) -
Záv r
kde ε cs je pom rné p etvo ení betonu vyvolané smrš ováním, α = E s / E c ,eff , S
statický moment pr ezové plochy výztuže k t žišti pr ezu, I moment setrva nosti pr ezu.
Pokud se o ekává vznik trhlin ur í se pom r S/I dle vztahu
S
S S II
=
ξ + I (1 − ξ ) ,
I
I II
II
(9.55)
který je analogický obecnému vztahu (9.51).
- 81 (81) -
Download

PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ