VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN
FAKULTA STAVEBNÍ
MILOSLAV ŠVEC
MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE
MODUL 5
NEPRAVÁ ZOBRAZENÍ
STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Matematická kartografie · Modul 2
© Miloslav Švec, Brno 2007
- 2 (17) -
Obsah
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle ........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5
1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klí ová slova.........................................................................................5
2 Nepravá zobrazení (pseudozobrazení) .......................................................6
2.1 Nepravá kuželová zobrazení .................................................................6
2.2 Nepravá azimutální zobrazení...............................................................7
2.3 Zobrazení odvozená z jednoduchých azimutálních zobrazení v p í né
poloze ....................................................................................................8
2.4 Nepravá válcová zobrazení ...................................................................9
2.5 Mnohokuželová (polykónická) zobrazení...........................................13
3 Záv r ............................................................................................................17
3.1 Shrnutí.................................................................................................17
3.2 Studijní prameny .................................................................................17
3.2.1
Seznam použité literatury .....................................................17
3.2.2
Seznam dopl kové studijní literatury ...................................17
3.2.3
Odkazy na další studijní zdroje a prameny ...........................17
- 3 (17) -
Úvod
1
Úvod
1.1
Cíle
Matematická kartografie pat í k základním teroretickým p edm t m studijních
program geodézie a kartografie. Vytvá í p edpoklady pro zvládnutí obecných
a praktických úloh jak obecné geodézie, tak p edevším obecné kartografie.
Moduly p edm tu jsou koncipovány jako ucelené celky. P esto na sebe
teoreticky navazují.
Opora „Matematická kartografie“ je tvo ena t mito moduly:
• Referen ní plochy a sou adnicové systémy
• Kartografická zkreslení
• Kartografické zobrazení
• Jednoduchá zobrazení
• Nepravá azimutální zobrazení
1.2
Požadované znalosti
P edm t vyžaduje dobré matematické základy. Jedná se o zvládnutí základ
matematické analýzy, p edevším diferenciálního po tu jedné a více prom nných, integrálního po tu, základ diferenciálních rovnic a n kterých partií deskriptivní a diferenciální geometrie.
1.3
Doba pot ebná ke studiu
P edm t je vyu ován jako povinný v prvním ro níku navazujícího magisterského studijního programu Geodézie a kartografie v rozsahu 2 hodiny p ednášky a 1 hodiny cvi ení za týden, tedy celkem 39 hodin za semestr. Jako u každého teoretického p edm tu se p edpokládá alespo stelná asová zát ž p i
samostudiu.
1.4
Klí ová slova
Matematická kartografie, referen ní plocha, zobrazení, mapa, elipsoid, sou adnicové
soustavy
- 5 (17) -
Matematická kartografie · Modul 2
2
Nepravá zobrazení (pseudozobrazení)
Zobrazení jednoduché
nepravé
kuželové
ρ = f (U ), ε = g(V ) = nV
ρ = f (U ), ε = g(U,V )
azimutální
ρ = f (U ), ε = V
válcové
X = f (V ) = nV , Y = g(U ) X = f (U,V ), Y = g (U )
ρ = f (U ), ε = g(U,V )
Zemské rovnob žky v nepravých zobrazeních z stávají zobrazeny stejn jako
v jednoduchých, tj. kuželových a azimutálních jako soust edné kružnice, ve
válcových jako p ímky rovnob žné s rovníkem. Poledníky se obecn zobrazují
jako k ivky.
D vod zavád ní nepravých zobrazení – zlepšit vlastnosti sítí, zmírnit nar stání
délkových zkreslení v rovnob žkách.
Nepravá zobrazení se užívají pouze u map velmi malých m ítek – referen ní
plocha je koule.
2.1
Nepravá kuželová zobrazení
Bonneovo zobrazení
V
Q
O
Po
V
P
V´
S´
S
ρ
P´
ε
r
ro
Uo U
Q´
Po´
r´
ro´
O´
J
ρ = ρo + R(U o − U )
Zobrazovací rovnice
ε=
R cosU
ρ
V
- 6 (17) -
Nepravá zobrazení
Zkreslení
mp = 1 + V
2
(
sin U −
2
R cosU
, mr = 1
ρ
)
tgΘ = tg 180o − ϑ = V sin U −
R cosU
ρ
, P =1
Bonneovo (18. stol.) zobrazení je ekvidistantní
v rovnob žkách a ekvivalentní.
2.2
Nepravá azimutální zobrazení
Wernerovo – Stabovo zobrazení (16. stol.)
Je mezním p ípadem Bonneova zobrazení pro U o
= 90o .
Zobrazovací rovnice
(
)
ρ = R 90o − U , ε =
R cosU
ρ
V
St ed rovnob žkových kružnic leží v obraze pólu a poledníky vypl ují celý
horizont.
- 7 (17) -
Matematická kartografie · Modul 2
2.3
Zobrazení odvozená z jednoduchých azimutálních
zobrazení v p í né poloze
Aitovovo zobrazení (19. stol.)
Afinní pr m t p í ného ekvidistantního azimutálního zobrazení Postelova na
rovinu, procházející rovníkem této sít a odklon nou od její roviny o 60o
Hammerovo zobrazení
- 8 (17) -
Nepravá zobrazení
Wagnerovo zobrazení
Upravené Aitovovo zobrazení
Winkelova kombinovaná zobrazení
Globulární zobrazení
Zobrazení zemské polokoule do kružnice, rovník a st ední poledník jsou p ímé
a na sebe kolmé.
2.4
Nepravá válcová zobrazení
Nejširší škála používaných a možných zobrazení
Mercatorovo – Sansonovo zobrazení (17. a 18. stol.)
Zobrazovací rovnice pro po átek v pr se íku obrazu rovníku a st edního poledníku
X = RV cosU = f (U,V ), Y = RU = g(U )
Odtud eliminací U dostaneme
X = RV cos
- 9 (17) -
Y
R
.
Matematická kartografie · Modul 2
Pro
V = konst . (poledník ) , dostaneme rovnici sinusoidy – poledník se zobrazí jako sinusoida – sinusoidální zobrazení.
Zkreslení
m p = 1 + V 2 sin 2 U , mr = 1 , tg ϑ =
1
, P =1
VsinU
Mollweidovo zobrazení (19. stol.)
Základní poledník je p ímý a zkresluje se, ostatní poledníky jsou eliptické,
rovnob žky jsou p ímé, zobrazení není ekvidistantní, je ekvivalentní.
- 10 (17) -
Nepravá zobrazení
Collignovo zobrazení (19. stol.)
Zobrazení zem pisné sít samými p ímkami
Eckertovo zobrazení (20. stol.)
Eckertovo zobrazení s p ímkovými obrazy poledník
- 11 (17) -
Matematická kartografie · Modul 2
Eckertovo zobrazení s eliptickými obrazy poledník
Eckertovo zobrazení se sinusoidálními obrazy poledník
- 12 (17) -
Nepravá zobrazení
2.5
Mnohokuželová (polykónická) zobrazení
P i jednoduchém kuželovém zobrazení v normální poloze se zobrazuje na jediný pláš kužele – rovnob žky se
VA
zobrazují jako soust edné kružnice.
P i mnohokuželovém zobrazení se
zobrazuje na nekone ný po et kužel , každý zobrazuje práv jen tu
rovnob žku, ve které se daný kužel
dotýká referen ní plochy. Rovnob žky se zobrazují op t jako kružnice, ale nesoust edné.
Obecné zobrazovací rovnice
ρ = f (U ), i = g(U ) , ε = h (U,V )
VB
VC S
C
C1
B1
B
A
A1
O
O1
X
V A´
VB ´ ε
VC ´
ρ
S´
i
C´
C1 ´
B´
B1 ´
A1 ´
A´
O´
- 13 (17) -
O1 ´
Y
Matematická kartografie · Modul 2
Hasslerovo ekvidistantní zobrazení (19. stol.)
Základní polykónické zobrazení ekvidistantní
v rovnob žkách s nezkresleným st edním
poledníkem.
Zobrazovací rovnice
ρ = R cotg U , i = ρ + RU , ε = V sin U
Pro konstruk ní práce platí
X = i − ρ cos ε , Y = ρ sin ε
Zkreslení
tgΘ =
ε − sin ε
2
2ε
,
m
=
1
+
2
cotg
U
sin
secΘ
p
2
2
cos ε − sec U
2
2ε
mr = 1 , P = 1 + 2 cotg U sin
2
Grintenovo kruhové zobrazení (19. stol.)
Lambertovo – Lagrangeovo konformní kruhové zobrazení
- 14 (17) -
Nepravá zobrazení
Polyedrická zobrazení
Zobrazení referen ní plochy po vymezených ástech
D íve již Cassini-Soldner a Gaussovo konformní zobrazení.
- 15 (17) -
Záv r
3
Záv r
3.1
Shrnutí
S rozvojem výpo etní techniky se používá stále více tzv. nepravých zobrazení.
Modul uvádí n které z nich. Obsáhlé p ehledy lze najít na internetových
stránkách nap . [5] až [8].
3.2
Studijní prameny
3.2.1
Seznam použité literatury
[1]
3.2.2
Hojovec, V. a kol. Kartografie, GPK Praha 1987
Seznam dopl kové studijní literatury
[2]
Daniš, M., Valko, J. Matematická kartografia, SVŠT Bratislava 1987
[3]
Srnka, E. Matematická kartografie, VAAZ, Brno 1977
[4]
Böhm, J. Matematická kartografie, VŠT, Brno 1951
3.2.3
Odkazy na další studijní zdroje a prameny
[5]
http://dmg.tuwien.ac.at/havlicek/karten.html
[6]
http://www.3dsoftware.com/
[7]
http://mathworld.wolfram.com/MapProjection.html
[8]
http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Cartographic_projections
- 17 (17) -
Download

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE