Věta sinová a kosinová
1) Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno b=16,7 cm, α=24°15´, γ=112°.
Řešení:
Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°:
β = 180° − (α + γ ) = 180° − (24°15´+112°) = 180° − 136°15´= 43°45´
a
b
c
Strany a, c se vypočítají podle sinové věty:
=
=
sin α sin β sin γ
a
b
b ⋅ sin α 16,7 ⋅ sin 24°15´ 16,7 ⋅ 0,4107
=
⇒a=
=
=
= 9,9
sin α sin β
sin β
sin 43°45´
0,6915
c
b
b ⋅ sin γ 16,7 ⋅ sin 112° 16,7 ⋅ 0,9272
=
⇒c=
=
=
= 22,4
sin γ sin β
sin β
sin 43°45´
0,6915
2) Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno a=64,5 m, b=53 m, c=41,8 m.
Řešení:
Užitím kosinové věty c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ a cyklických záměn.
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
2ab cos γ = a 2 + b 2 − c 2
a 2 + b 2 − c 2 (64,5) 2 + (53) 2 − (41,8) 2 4160,25 + 2809 − 1747,24 5222,01
=
=
=
= 0,7638
2ab
2 ⋅ 64,5 ⋅ 53
6837
6837
γ = 40,2° = 40°12´
cos γ =
Úhel α lze vypočítat kosinovou i sinovou větou (uvedeno řešení užitím kos. věty).
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 + c 2 − a 2 53 2 + 41,8 2 − 64,5 2
=
= 0,08937
2bc
2 ⋅ 53 ⋅ 41,8
α = 84,87° = 84°52´
cos α =
Úhel β dopočítáme přes součet vnitřních úhlů trojúhelníku, ale užití kosinové (popř.
sinové) věty by nebylo chybou, jen by cesta k výsledku byla delší.
β = 180° − (α + γ ) = 180° − (84°52´+40°12´) = 180° − 125°4´= 54°56´
3) Místa A a B (viz obrázek) jsou spojena přímým tunelem. Určete jeho délku, znáte-li
vzdálenosti |AC|=185 m, |BC|=273 m a úhel α=78°42´.
A
Řešení:
α
Ze sinové věty vypočítáme úhel β:
a
b
b ⋅ sin α 185 ⋅ sin 78°42´
b
=
⇒ sin β =
=
= 0,6645
γ
sin α sin β
a
273
β = 41°39´
γ = 180° − (78°42´+41°39´) = 59°39´
C
Z kosinové věty zjistíme požadovanou délku x:
x 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = 273 2 + 185 2 − 2 ⋅ 273 ⋅ 185 ⋅ cos 59°39´⇒ x = 240
Délka tunelu je přibližně 240 m.
x
β
a
B
4) V trojúhelníku ABC (a=36cm, β=30°, γ=45°) určete velikost strany b.
5) V trojúhelníku ABC (a=6cm, b=8cm, c=5cm) určete velikost úhlu β.
6) Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
c = 48 m, α = 72°, β = 53°
a = 25,6 cm, b = 18,3 cm, α = 35°20´
a = 48,7 cm, c = 85,1 cm, γ = 104°40´
b = 142 m, α = 71°45´, β = 33°28´
a = 75 m, c = 58 m, β = 112°
a = 18 m, b = 24 m, c = 11 m
a = 5 m, b = 8 m, c = 11 m
a = 18 m, b = 11 m, c = 11 m
b = 17,5 m, β = 39°43´, γ = 24°18´
j) a = 129,8 m, β = 42°50´, γ = 105°37´
k) a = 21 m, b = 15 m, α = 67,5°
l) b = 14,8 cm, c = 22,6 cm, γ = 56°38´
m) a = 25,5 m, b = 18,7 m, γ = 108°45´
n) b = 1,5 dm, β = 60°, γ = 72°
o) a = 50 mm, β = 82°12´, α = 55,3°
p) c = 10 cm, α = 40°, β = 25°
q) a = 4,8 m, β = 36°48´, γ = 47,2°
r) c = 12 km, b = 10 km, β = 30°
6) Vypočítejte velikost největšího úhlu v trojúhelníku, jehož strany mají délky
36 m, 49 m a 25 m.
7) Určete výšku na stranu c trojúhelníku ABC, je-li β = 54°, b = 31 cm, c = 23 cm.
8) Řešte trojúhelník OPQ:
a) |PQ| = 4 m, |<PQO| = 26°, |<OPQ| = 64°
b) |OP| = 0,64 dm, |<QOP| = 31°50´, |<OPQ| = 58°10´
9) Řešte trojúhelník RST:
a) |RS| = 0,18 dm, |<TRS| = 53°, |<RST| = 132°
b) |TS| = 2,5 km, |<RST| = 127°15´, |<STR| = 53°45´
10) Určete vnitřní úhly trojúhelníku KLM:
a) |KL| = 4 cm, |LM| = 2 cm, |MK| = 9 cm
b) |MK| = 0,7 dm, |KL| = 40 mm, |LM| = 12 cm
11) Vypočtěte, v jakém zorném úhlu vidí pozorovatel kolonu vozidel na dálnici dlouhou
2km, je-li od jejího začátku vzdálen 4km a od konce 5km.
12) Na vrcholu kopce stojí rozhledna 35m vysoká. Její patu a vrchol vidíme z údolí pod
výškovými úhly 28˚ a 31˚. Vypočtěte, jak vysoko je vrchol kopce nad rovinou pozorovacího
místa.
13) Určete velikost zorného úhlu, pod kterým je vidět šířka fotbalové branky (7,32 m)
z místa, které je od jedné tyče branky vzdáleno 25 m a od druhé 21 m.
14) Po 2 přímých tratích svírajících úhel 120° vyjely z nádraží zároveň 2 vlaky, osobní vlak
rychlostí 60km/h, rychlík 100km/h. Vypočtěte jejich vzdušnou vzdálenost po 30 minutách.
15) Ze stanice vyjely současně dva vlaky po přímých tratích, které svírají úhel 105°45´.
Určete jejich vzájemnou vzdálenost po uplynutí 45 minut, jel-li jeden vlak rychlostí 50km/h a
druhý rychlostí 65km/h.
16) Síly o velikostech 52N a 86N působící v bodě P svírají úhel ω = 58°30´. Vypočítejte
velikost jejich výslednice a úhly, které s ní jednotlivé síly svírají.
17) Určete velikost výslednice sil F1=5N a F2=20N působících v tomtéž bodě a svírajících
úhel 60°.
18) Síla o velikosti 22,5N je rozložena na dvě složky F1, F2, které s ní svírají úhly α=23°,
β=76°. Určete velikosti těchto složek.
Download

Věta sinová a kosinová