B 27 - Úlohy na STR
počítáno s hodnotou
1. V kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi rychlostí v = 2,6.108 m.s-1 probíhal určitý děj.
Podle hodin pozorovatele na Zemi trval tento děj 5 min. Jaký je vlastní čas uvažovaného děje?
Řešení:
Převedeme potřebné údaje na základní jednotky:
Vycházíme ze základního vztahu pro dilataci času (ten je definován jako násobek tzv. vlastního času a
Lorentzova faktoru):
√
t0 poté vypočteme jako:
√
(
√
)
Závěr: Vlastní čas uvažovaného děje je 2,5 min.
2. Kosmická loď se vzdaluje od Země rychlostí, při níž relativistické zkrácení její vlastní délky je
vzhledem k pozorovateli na Zemi 5%. Na kosmické lodi probíhá určitý děj trvající podle palubních
hodin 10 min. Jak dlouho trvá tento děj z hlediska pozorovatele na Zemi?
Řešení:
Převedeme potřebné údaje na základní jednotky:
Vycházíme ze základního vztahu pro dilataci času a pro kontrakci délek (ten je definován jako podíl
délky naměřené při vzájemném klidu a Lorentzova faktoru):
√
√
Známe
a ze vztahu pro kontrakci délek vypočteme rychlost kosmické lodě:
√
√
(
)
1
Ze vztahu pro dilataci času pak dopočítáme prodloužený čas pro pozorovatele na Zemi:
√
Závěr: Z hlediska pozorovatele na Zemi trvá tento děj 10,5 min.
3. Kosmická loď se pohybuje rychlostí v = 0,98c k hvězdě vzdálené od Země 3.10 18 m.
a) Jaká je vzdálenost mezi hvězdou a lodí z hlediska pozorovatele na lodi?
b) Jak dlouho trvá tento let, použijeme-li k měření času hodiny umístěné na Zemi?
c) Jak dlouho trvá tento let podle hodin umístěných na lodi?
Řešení:
a) Vycházíme ze základního vztahu pro kontrakci délek:
√
√
Závěr a):Vzdálenost mezi hvězdou a lodí z hlediska pozorovatele na lodi je 5,97 x 1017 m.
b) Z hlediska pozorovatele na Zemi překonává loď vzdálenost 3.1018 m rychlostí 0,98 c, takže délka
letu je podíl vzdálenosti a rychlosti:
Závěr b):Použijeme-li k měření času hodiny umístěné na Zemi, tento let trvá 1,02 x 1010 s.
c) Vycházíme opět ze vztahu pro výpočet času v klasické mechanice, zkrácenou vzdálenost máme
vypočítanou v příkladu 3a), dosadíme tedy tuto hodnotu do vzorečku jako dráhu.
Závěr c):Podle hodin umístěných na lodi trvá tento let 2,03 x 109 s.
2
4. Z kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi rychlostí 0,8c byla ve směru jejího pohybu
vypuštěna raketa rychlostí 0,6c (vzhledem k lodi). Vlastní délka rakety je 10 m. Jaká je délka této
rakety:
a) z hlediska pozorovatele v kosmické lodi?
b) z hlediska pozorovatele na Zemi?
Řešení:
Vycházíme ze vztahu pro relativistické skládání rychlostí:
a) Vycházíme ze základního vztahu pro kontrakci délek.
√
√
Závěr a):Délka této rakety z hlediska pozorovatele na lodi je 8 m.
b) Vycházíme opět ze vztahu pro kontrakci délek, rychlost je tentokrát přímo spočítaná rychlost
letící rakety.
√
√
Závěr b):Délka rakety z hlediska pozorovatele na Zemi je 3,12 m.
5. Těleso se vzhledem k dané vztažné soustavě pohybuje rychlostí 0,8c. Určete poměr mezi jeho
hustotou v této vztažné soustavě a jeho hustotu klidovou.
Řešení:
Základní vztah pro výpočet hustoty je známý jako:
3
Při zjišťování délky strany a hmotnosti tělesa pohybujícího se rychlostí v=0,8c vycházíme ze
základního vztahu pro kontrakci délek a ze vztahu pro relativistickou hmotnost:
√
√
√
√
√
√
Tuto hustotu nyní porovnáme s hustotou klidovou:
Závěr: Poměr mezi jeho hustotou v dané vztažné soustavě a jeho hustotu klidovou je 25 : 9.
6. Žárovka o příkonu 110 W svítí trvale po dobu jednoho roku. Předpokládejme, že asi 3%
dodávané energie se v žárovce mění v energii světelnou.
a) Jaká je hmotnost světla vyzářeného žárovkou za jeden rok?
b) Jak dlouho by musela žárovka svítit, aby vyzářené světlo mělo hmotnost 1 kg?
Řešení:
a)
Převedeme potřebné údaje na základní jednotky:
Ze vztahu pro výpočet energie spočítáme celkovou a pouze světelnou energii:
4
Při výpočtu hmotnosti vyzářeného světla vycházíme ze vztahu pro relativistickou energii:
Závěr a): Hmotnost světla vyzářeného žárovkou za jeden rok je 1,16 x 10-9 kg.
b)
Vycházíme opět ze vztahu pro výpočet relativistické energie, známe hmotnost a vyjádříme
světelnou energii:
Čas potřebný k vyzáření takovéto energie při daném příkonu vypočteme:
Závěr b): Aby vyzářené světlo mělo hmotnost 1 kg, musela by daná žárovka svítit 2,72 x 1016 s.
5
Download

B27