Řešení obecného trojúhelníka
1.
sinová věta
2.
kosinová věta
3.
složitější úlohy
Název: XII 29 ­ 11:18 (1 z 12)
Sinová věta
Používáme ji k určení neznámých délek stran a velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku, jestliže 2 ze tří prvků jsou délky strany a velikost úhlu ležícího proti ní nebo opačně dva úhly a strana proti jednomu z nich.
Název: X 26 ­ 18:40 (2 z 12)
E
d
c
ve
e
C
Pro trojúhelník ABC:
Název: X 26 ­ 18:40 (3 z 12)
D
Určete velikosti zbývajících stran a vnitřních úhlů v trojúhelníku:
a = 20, = 45º,
= 30º
C
a
A
B
Z první části rovnice vypočítáme stranu b. Při výpočtu úhlu gama využijeme součtu všech úhlů v trojúhelníku (180°). Při výpočtu strany c využijeme první a třetí část vztahu.
Výsledky:
b=
c =
=
Název: X 26 ­ 18:40 (4 z 12)
14,1
27,3
105 º
1) V trojúhelníku ABC je dáno: c = 5,24;
Určete zbývající strany a vnitřní úhly.
= 0,845, = 0,682 2) V trojúhelníku ABC je dáno: Určete zbývající velikosti vnitřních úhlů a stran v tomto trojúhelníku.
3) Určete velikosti zbývajících stran a vnitřních úhlů v trojúhelníku, je­li dáno:
Název: X 26 ­ 18:40 (5 z 12)
Kosinová věta
Používáme ji k určení neznámých délek stran a velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku, jestliže 2 ze tří prvků jsou délky strany a velikost úhlu jimi sevřeného nebo známe všechny strany a chceme vypočítat vnitřní úhly.
Název: X 27 ­ 17:44 (6 z 12)
C
b
A
Název: X 27 ­ 17:44 (7 z 12)
a
vc
c
B
V trojúhelníku ABC je a = 51,34; b = 34,75; úhel mezi a a b je 64,5
°. Vypočtěte ostatní prvky trojúhelníku ABC.
Pomocí kosinové věty určíme stranu c. Pro výpočty zbývajících uhlů použijeme další vzhaty pro kosinovou větu
Řešení: c = 48,03
β = 40°35´
=74°55´
Určete velikost úhlu ACB v trojúhelníku ABC, pro který platí:
a) Řešení: 60º
b) Řešení: 120º
Název: X 27 ­ 17:44 (8 z 12)
Procvičování
Určete délky zbývajících stran a velikosti vnitřních úhlů:
a/
a = 16,9 b = 21,8 c = 19,4
b/
b = 64,1
c = 29,3
V trojúhelníku ABC vypočtěte výšku v, je­li dáno:
a = 5,8 cm
b = 10,3 cm
c = 8,8 cm
Výsledky:
v = 5,79 cm
c
v = 34,63 cm
c
Název: X 27 ­ 17:44 (9 z 12)
Složitější příklady na sinovou a kosinovou větu Př. 1
Těsně na břehu řeky stojí budova, z jejichž dvou oken nad sebou položených ve výškovém rozdílu 12 m je vidět bod na protějším břehu řeky v hloubkových úhlech
10°21´a 4°59´. Vypočítejte šířku řeky.
Výsledky:
x = 126,21 m
y = 125,73 m
x
Název: X 27 ­ 17:44 (10 z 12)
Φ = 5°22´
Př. 2
Pozorovatel vidí patu věže 69 m vysoké v hloubkovém úhlu 30°10´a vrchol v hloubkovém úhlu 20°50´. Jak vysoko je pozorovatelovo stanoviště nad horizontální rovinou, na níž věž stojí?
Výsledky:
η = 30°10´
χ = 110°50´
y = 397,6 m
x = 199,82 m
Název: X 27 ­ 17:44 (11 z 12)
ω = 59°50´
Př. 3
Z věže 15 m vysoké a 30 m od řeky vzdálené se jevila šířka řeky v úhlu 15°. Jak široká je řeka v tomto místě?
β
Výsledky:
ά = 153°26´
α = 26°34´
α2 = 11°34´
x = 33,54 m
š = 43,3 m
Název: X 27 ­ 17:44 (12 z 12)
β = 63°26´
Download

Řešení obecného trojúhelníka