Řešení obecného trojúhelníku
1)
Pozemek zakreslený v plánku má být
rozdělen rovnou hranicí ST na dvě části.
Určete s přesností na desítky metrů délku
hranice ST.
A) ST = 2 230 m ; B) ST = 2 450 m ;
T
75°
2 km
C) ST = 2 630 m ; D) ST = 2800 m
E) ST = 3010 m
60°
R
2)
Na plánu jsou vyznačeny údaje pořízené při
zaměřování vrtné věže V ze dvou stanovišť A a B.
1. Pod jakým zorným úhlem je možné od paty
věže V sledovat obě stanoviště A a B současně?
2. Určete s přesností na celé metry přímou
vzdálenost stanoviště B od vrtné věže V.
S
A
45°
1,5 km
100°
B
V
3) Určete velikost zorného úhlu, pod nímž vidí pozorovatel předmět 12 m dlouhý, je-li od jednoho jeho konce
vzdálen 15 m a od druhého 24 m.
4) Místa A, B jsou oddělena skálou a obě jsou viditelná z místa C, všechna leží v téže vodorovné rovině.
Určete, jak dlouhý bude tunel spojující místa A, B a kterým směrem vzhledem k bodu C bude veden z bodu A,
jestliže AC = 170 m, BC = 250 m a velikost úhlu ACB = 85°.
5) Výchozí obrázek k úloze:
C
D
30°
A
70°
7 cm
B
Jaká je délka úhlopříčky AC vypočtená s přesností na desetiny centimetru?
A) menší než 6,1 cm; B) 6,1 cm; C) 6,7 cm; D) 7,0 cm; E) větší než 7,0 cm
6) Trojúhelník ABC je určen délkami stran a = 9 cm , b = 15 cm , c = 10 cm . Jakou hodnotu (s přesností na
setiny) má kosinus největšího vnitřního úhlu?
A) + 0,49; B) + 0,12; C) – 0,24; D) – 0,49; E) – 0,76
7) TrojúhelníkABC má délky stran a = 3 cm , b = 5 cm , c = 7 cm . Jaký je součet velikostí jeho dvou
nejmenších vnitřních úhlů?
A) 22°; B) 38°; C) 60°; D) 105°; E) jiný součet
Řešení
1)
Nejprve vypočítáme úhel u vrcholu S, označíme jej např. α :
α = 180° − 60° − 75° = 45°
Nyní pomocí sinové věty vypočítáme velikost strany ST :
sin 60°
/⋅ 2000
2000 sin 45°
sin 60°
ST = 2000 ⋅
sin 45°
ST = 2449 m ≐ 2450 m
Správná odpověď je B.
ST
=
2)
1. Zorný úhel u vrcholu V je roven: 180° − 100° − 45° = 35° .
2. Velikost strany BV určíme pomocí sinové věty:
BV
AB
=
sin 45°
/⋅ AB
sin 35°
sin 45°
sin 35°
sin 45°
BV = 1500 ⋅
= 1849 m
sin 35°
BV = AB ⋅
3)
Zorný úhel α určíme pomocí kosinové věty:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
2bc ⋅ cos α = b 2 + c 2 − a 2 / : 2bc
cos α =
2
2
2
2
a = 12 m
b = 15 m
b +c −a
15 + 24 − 12
=
= 0,9125
2bc
2 ⋅ 15 ⋅ 24
2
2
α = 24°
Zorný úhel je přibližně 24°.
a
c = 24 m
pozorovatel
4)
Délku tunelu určíme pomocí kosinové věty:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ
c
A
B
a
c = 2502 + 1702 − 2 ⋅ 250 ⋅ 170 ⋅ cos85° = 289,8
a = 250 m
b = 170 m
Tunel bude dlouhý přibližně 290 m.
g = 85°
C
Úhel α určíme pomocí sinové věty:
sin α a
= /⋅ sin γ
sin γ c
a
250
sin α = ⋅ sin γ =
⋅ sin 85° = 0,8588
290
c
α = 59°
Z bodu A vzhledem k bodu C bude veden pod úhlem přibližně
59°.
5)
Nejprve musíme určit úhel ležící proti straně o velikosti 7 cm, budeme jej potřebovat do sinové věty:
γ = 180° − 30° − 70° = 80°
Nyní použijeme sinovou větu:
AC sin 70°
/⋅ 7
=
7
sin 80°
sin 70°
AC = 7 ⋅
= 6,7
sin 80°
Správná odpověď je C).
6)
Největší úhel leží proti největší straně, pro výpočet použijeme kosinovou větu:
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
2ac cos β = a 2 + c 2 − b 2 / : 2ac
a 2 + c 2 − b 2 92 + 10 2 − 152
=
= −0, 24
2ac
2 ⋅ 9 ⋅10
Kosinus největšího vnitřního úhlu má hodnotu – 0,24.
cos β =
7)
Nejjednodušší je spočítat největší úhel, součet dvou nejmenších vnitřních úhlů se pak spočítá odečtením
největšího úhlu od 180°.
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
2ab cos γ = a 2 + b 2 − c 2 / : 2ab
a 2 + b 2 − c 2 32 + 52 − 7 2
1
=
=−
2ab
2 ⋅3⋅5
2
γ = 120°
Součet velikostí dvou nejmenších vnitřních úhlů je 180° − 120° = 60° .
cos γ =
Download

Řešení obecného trojúhelníku