ÚPRAVY GONIOMETRICKÝCH VÝRAZŮ, GONIOMETRICKÁ FUNKCE
1.1. Dokaž, že pro všechna přípustná x ∈ R platí:
π⎞
π⎞
⎛
⎛
cos ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ x + ⎟
4⎠
4⎠
⎝
⎝
= 2 a urči podmínky.
sin x + cos x
ŘEŠENÍ:
3π
+ kπ ; k ∈ Z
Podmínky: sin x ≠ − cos x ⇒ tg x ≠ −1 ⇒ x ≠
4
π⎞
π⎞
⎛
⎛
cos ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ x + ⎟
4⎠
4⎠
⎝
⎝
= 2
sin x + cos x
cos x cos
π
+ sin x sin
π
+ sin x cos
π
+ sin
π
cos x
4
4
4
=
sin x + cos x
2
2
2
2
cos x +
sin x +
sin x +
cos x
2
2
2
2
=
sin x + cos x
2
( 2 cos x + 2sin x )
2
=
sin x + cos x
sin x + cos x
2
=
sin x + cos x
2=
4
2
Na úvod každé úpravy goniometrické
funkce musíme stanovit podmínky pro
počítání. To znamená většinou vyřešit
základní typy goniometrických rovnic.
Při samotném důkazu rovnosti můžeme
upravovat obě strany a navzájem je k sobě
„přibližovat“. To však někdy vede
k opačnému efektu a výrazy se nám spíše
„rozjíždějí“. Doporučuji raději upravovat
jen jednu stranu.
2
2
2
2
1.2. Dokaž, že pro všechna přípustná x ∈ R platí:
1
1
= ( tg x + cotg x ) a urči podmínky.
sin 2 x 2
ŘEŠENÍ:
Podmínky: sin 2 x ≠ 0 ∧ sin x ≠ 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇒ x ≠
kπ
;k ∈ Z
2
1
1
= ( tg x + cotg x )
sin 2 x 2
sin 2 x + cos 2 x 1
= ( tg x + cotg x )
2sin x cos x
2
2
1 ⎛ sin x
cos 2 x ⎞ 1
+
⎜
⎟ = ( tg x + cotg x )
2 ⎝ sin x cos x sin x cos x ⎠ 2
Povšimni si matematického „triku“
náhrady čísla 1 součtem čtverců funkcí
sinus a kosinus. Tento postup užíváme
docela často.
1
1
( tg x + cotg x ) = ( tg x + cotg x )
2
2
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 2
Úpravy goniometrických výrazů, goniometrická funkce
1.3. Zjednoduš výraz pro x ∈ R :
sin x + sin x cos x + sin x cos 2 x
a urči podmínky.
sin x cos x + sin 2 x cos x
ŘEŠENÍ:
Podmínky: 2 cos x ≠ −1 ∧ sin x ≠ 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇒
Tentokrát je lépe určit podmínky až po
dokončení úprav. Z původní podoby výrazu
by se nám definiční obor zjišťoval opravdu
dost obtížně.
4π
⎧ kπ 2π
⎫
⇒ x∈R − ∪⎨ ,
+ 2 kπ ,
+ 2 kπ ⎬
3
3
⎭
k∈Z ⎩ 2
sin x + sin x cos x + sin x cos 2 x sin x (1 + cos x + cos 2 x )
=
=
sin x cos x + sin 2 x cos x
cos x ( sin x + sin 2 x )
=
=
sin x ( sin 2 x + cos 2 x + cos x + cos 2 x − sin 2 x )
cos x ( sin x + 2sin x cos x )
sin x ( 2 cos 2 x + cos x )
cos x ( sin x + 2sin x cos x )
=
=
sin x cos x ( 2 cos x + 1)
sin x cos x ( 2 cos x + 1)
=1
1.4. Dokaž, že pro všechna přípustná x ∈ R platí:
cotg x
tg x
+ 2
= sin 2 x a urči podmínky.
2
cotg x + 1 tg x + 1
ŘEŠENÍ: Podmínky: sin x ≠ 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇒ x ≠
kπ
;k ∈ Z
2
cotg x
tg x
+ 2
= sin 2 x
2
cotg x + 1 tg x + 1
cos x
sin x
sin x + cos x = sin 2 x
cos 2 x
sin 2 x
+
+1
1
sin 2 x
cos 2 x
cos x
sin x
sin x
cos x
+
= sin 2 x
cos 2 x + sin 2 x sin 2 x + cos 2 x
sin 2 x
cos 2 x
cos x sin 2 x sin x cos 2 x
+
= sin 2 x
⋅
⋅
1
1
cos x
sin x
2sin x cos x = sin 2 x
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
Standardní úloha. Využíváme
vzorce pro funkce tangens a
kotangens a vzorec pro součet
druhých mocnin funkcí sinus a
kosinus.
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 3
Úpravy goniometrických výrazů, goniometrická funkce
1.5. Dokaž, že pro všechna přípustná x ∈ R platí:
cos 3 x + cos x
= 2 cos x a urči podmínky.
cos 2 x
ŘEŠENÍ: Podmínky: cos 2 x ≠ 0 ⇒ x ≠
π
+
kπ
;k ∈ Z
2
4
cos 3 x + cos x
= cos x
cos 2 x
4x
2x
2 cos cos
2
2 = cos x
cos 2 x
2 cos 2 x cos x
= 2 cos x
cos 2 x
2 cos x = 2 cos x
Zde využijeme vzorce pro součet a
rozdíl goniometrických funkcí:
x+ y
x− y
sin x + sin y = 2sin
cos
2
2
x− y
x+ y
sin x − sin y = 2sin
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x + cos y = 2 cos
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2sin
sin
2
2
1.6. Dokaž, že pro všechna přípustná x ∈ R platí:
π⎞
⎛
sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ a urči podmínky.
4⎠
⎝
ŘEŠENÍ:
1. možný výpočet – úprava levé
strany:
π⎞
⎛
sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟
4⎠
⎝
π⎞
π⎞
⎛
⎛
sin x + sin ⎜ x + ⎟ = 2 sin ⎜ x + ⎟
2⎠
4⎠
⎝
⎝
2x +
2sin
2
π
2 cos
−
π
2 = 2 sin ⎛ x + π ⎞
⎜
⎟
2
4⎠
⎝
2. možný výpočet – úprava pravé strany:
π⎞
⎛
2 sin ⎜ x + ⎟ = sin x + cos x
4⎠
⎝
π
π⎞
⎛
2 ⎜ sin x cos + cos x sin ⎟ = sin x + cos x
4
4⎠
⎝
⎛
2
2⎞
+ cos x ⋅
2 ⎜⎜ sin x ⋅
⎟⎟ = sin x + cos x
2
2
⎝
⎠
sin x + cos x = sin x + cos x
π⎞
π⎞
⎛
⎛
2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 sin ⎜ x + ⎟
4⎠
4⎠
⎝
⎝
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
Jednu z funkcí na
levé straně musíme
zapsat v „podobě
té druhé“. Dále
pokračujeme
prostřednictvím
vzorce pro součet
funkcí.
Nebo můžeme
upravovat pravou
stranu.
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 4
Úpravy goniometrických výrazů, goniometrická funkce
1.7. Dokaž, že pro všechna přípustná x ∈ R platí:
1 + cos x
x
= cotg 2 a urči podmínky.
1 − cos x
2
ŘEŠENÍ: Podmínky: x ≠ 2kπ ; k ∈ Z
1. možný výpočet:
1 + cos x
= cotg 2
1 − cos x
cos 0 + cos x
= cotg 2
cos 0 − cos x
x
⎛ x⎞
2 cos cos ⎜ − ⎟
2
⎝ 2 ⎠ = cotg 2
x ⎛ x⎞
−2sin sin ⎜ − ⎟
2 ⎝ 2⎠
x
x
2 cos cos
2
2 = cotg 2
x
x
2sin sin
2
2
x
cotg 2 = cotg 2
2
x
2
x
2
x
2
x
2
2. možný výpočet:
1 + cos x
= cotg 2
1 − cos x
x
x
1 + cos 2 − sin 2
2
2 = cotg 2
x
x
1 − cos 2 + sin 2
2
2
x
2 cos 2
2 = cotg 2
x
2sin 2
2
x
cotg 2 = cotg 2
2
x
2
Pozor! Musíme opět uplatnit
vzorec pro součet funkcí. Ale
předtím je třeba nahradit
v čitateli i jmenovateli zlomku
číslo 1 goniometrickou funkcí
kosinus.
x
2
Jedná se o další rafinované
vyjádření jedničky
v matematických úlohách.
x
2
Nebo můžeme funkce argumentu
x na levé straně převádět na
x
funkce argumentu .
2
x
2
x
2
1.8. Zjednoduš výraz s x ∈ R :
1 + tg 2 x
.
1 − tg 2 x
1.9. Zjednoduš výraz s x ∈ R :
2sin x + sin 2 x
.
2sin x − sin 2 x
ŘEŠENÍ:
8.
1
π kπ
,x ≠ +
,k ∈Z
cos 2 x
4 2
9. cotg 2
x
, x ≠ kπ , k ∈ Z
2
Otázky, které mohou padnout při maturitní zkoušce:
1)
2)
3)
Jak stanovujeme podmínky při práci s výrazy s goniometrickými funkcemi?
Jaké platí vztahy mezi funkcemi sin x a cos x?
Jaké platí vztahy mezi funkcemi tg x a cotg x?
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Download

úpravy goniometrických výrazů, goniometrická funkce