GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST
1.1. Zjisti, zda jsou posloupnosti určené předpisem pro n-tý člen geometrické:
n2
3 n +1
a) an = 2 , b) an =
.
n +1
ŘEŠENÍ:
a) an = 23n +1 , an +1 = 23n + 4
an +1
.
an
Závisí-li tento podíl na n, není
posloupnost geometrická.
Nezávisí-li tento podíl na n, je
posloupnost geometrická a hodnota
podílu je přímo kvocient geometrické
posloupnosti.
Provedeme podíl:
an +1 23n + 4
= 3n +1 = 23n + 4−3n −1 = 23 = 8
2
an
( n + 1)
n2
b) an =
, an +1 =
n +1
n+2
( n + 1)
2
2
( n + 1)
an +1
= n +2 2 = 2
n
an
n ( n + 2)
n +1
3
a) posloupnost je geometrická
b) posloupnost není geometrická
1.2. Doplň do tabulky číselné hodnoty, víš-li, že se jedná ve všech případech o
geometrickou posloupnost.
a1
Q
1
128
2
4
–2
3
n
an
sn
5
6
4
2 730
4
243
1093
3
ŘEŠENÍ:
1. řádek:
5
⎛1⎞
4
⎜ ⎟ −1
n
q −1
2
⎛1⎞
n −1
an = a1 ⋅ q ⇒ an = 128 ⋅ ⎜ ⎟ ⇒ an = 8 ; sn = a1 ⋅
⇒ sn = 128 ⋅ ⎝ ⎠
⇒ sn = 248
1
q −1
⎝2⎠
−1
2
2. řádek:
qn −1
46 − 1
sn = a1 ⋅
⇒ 2730 = a1 ⋅
⇒ a1 = 2 ; an = a1 ⋅ q n −1 ⇒ an = 2 ⋅ 45 ⇒ an = 2048
q −1
4 −1
3. řádek:
qn −1
1
5
⎛ 1 ⎞ ( −2 ) − 1
⇒ 4 = a1 ⋅ ( −2 ) ⇒ a1 = −
⇒ sn = ⎜ − ⎟ ⋅
⇒ sn =
; sn = a1 ⋅
q −1
2
2
⎝ 2 ⎠ −2 − 1
4
an = a1 ⋅ q
n −1
3
4. řádek:
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
Pro
geometrickou
posloupnost
platí tyto
vztahy:
an = a1 ⋅ q n −1
qn −1
q −1
pro q ≠ 1
sn = a1 ⋅
Nejtěžší je
výpočet
posledního
řádku.
Sestavíme
soustavu
exponenciálních
rovnic.
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 2
Geometrická posloupnost
an = a1 ⋅ q n −1 ⇒ 243 = a1 ⋅ 3n −1 ⇒ a1 =
sn = a1 ⋅
q n − 1 1093 729 3n − 1
⇒
= n ⋅
3
3
3 −1
q −1
243 729
= n
3n −1
3
/ ⋅ 6 ⋅ 3n
2186 ⋅ 3n = 2187 ⋅ 3n − 2187 ⇒ 3n = 2187 ⇒ 3n = 37 ⇒ n = 7 ⇒ a1 =
1
3
1.3. Součet prvních 4 po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je 170.
Urči a1 a q této posloupnosti, platí-li a4 = 16a2 .
Ze vztahu mezi druhým a čtvrtým členem snadno
získáme hodnotu kvocientu q. Pozor! Jsou dvě
hodnoty q, jedna kladná a jedna záporná.
ŘEŠENÍ:
a4 = 16a2 ⇒ a1q 3 = 16a1q ⇒ q = ±4
sn = a1 ⋅
qn −1
q −1
a) q = 4 ⇒ 170 = a1 ⋅
b) q = −4 ⇒ 170 = a1
Ze vzorce pro sn dopočítáme ke každému q první
člen posloupnosti a1.
4 −1
⇒ a1 = 2
4 −1
4
( −4 )
⋅
4
−1
−4 − 1
⇒ a1 = −
170
51
1.4. Přičteme-li k číslům x = 8, y = 24 a z = 56 stejné číslo, dostaneme první 3 členy
geometrické posloupnosti. V této posloupnosti urči součet prvních 10 členů.
ŘEŠENÍ:
a1 = 8 + k , a2 = 24 + k , a3 = 56 + k
a2 = a1q, a3 = a2 q ⇒ q =
a2 a3
=
a1 a2
První tři členy vyjádříme pomocí zadaných hodnot a
hledané konstanty k. Využijeme toho, že podíl 2 po
sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti dává
přesně hodnotu kvocientu.
24 + k 56 + k
=
8+ k
24 + k
576 + 48k + k 2 = 448 + 64k + k 2
16k = 128 ⇒ k = 8 ⇒ q = 2
sn = a1 ⋅
qn −1
210 − 1
⇒ s10 = 16 ⋅
= 16368
q −1
2 −1
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 3
Geometrická posloupnost
1.5. Mezi kořeny kvadratické rovnice 3 x 2 − 82 x + 27 = 0 vlož 3 čísla tak, aby se získanými
kořeny vzniklo 5 po sobě jdoucích čísel geometrické posloupnosti.
Pozor! Počet řešení této úlohy není 1 ani 2.
Při správném řešení najdeš hned 4 řešení.
ŘEŠENÍ:
82 ± 80
1
⇒ x1 = ; x2 = 27
3 x 2 − 82 x + 27 = 0 ⇒ x1,2 =
6
3
4
a5 = a1q
1
1
1
a) 27 = q 4 ⇒ q = ±3 ; b) = 27 q 4 ⇒ q = ±
3
3
3
1
1
1.posloupnost: ;1;3;9; 27; 2.posloupnost: ; −1;3; −9; 27
3
3
1
1
3.posloupnost: 27;9;3;1; ; 4.posloupnost: 27; −9;3; −1;
3
3
a1 − a2 + a3 = 56
1.6. Urči a1 a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí:
ŘEŠENÍ:
a1 − a1q + a1q 2 = 56
a1q 3 − a1q 4 + a1q 5 = 189
a1 (1 − q + q 2 ) = 56
a1q 3 (1 − q + q 2 ) = 189
a4 − a5 + a6 = 189
Všechny členy v zadané soustavě zapíšeme
pomocí a1 a q. Dostaneme soustavu 2 rovnic.
Z obou rovnic se nám na levé straně podaří
vytknout a1 . Dále postupujeme vydělením těchto
rovnic. V našem řešení dělíme druhou rovnici
rovnicí první. Kvocient q pak získáme
odmocněním.
q 3 = 3,375 ⇒ q = 1,5 ⇒ a1 = 32
1.7. Kvádr, jehož délky hran a, b, c tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické
posloupnosti, má povrch 78 cm2. Součet délek hran, které vycházejí z jednoho vrcholu,
je 13 cm. Vypočti objem kvádru.
1.8. V geometrické posloupnosti určené vztahem pro n-tý člen an =
x ⋅ 3n +1
( x + 1)
n
urči všechna x ∈ R, pro která je q < 1 .
1.9. Urči a1 a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí:
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
a1 − 2a2 + 3a5 = 1
−3a3 + 6a4 − 9a7 = −12
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 4
Geometrická posloupnost
ŘEŠENÍ:
7. V = 27 cm3
8. x ∈ ( −∞; −4 ) ∪ ( 2; ∞ )
9. a) q = 2, a1 =
1
1
; b) q = −2, a1 =
45
53
Otázky, které mohou padnout při maturitní zkoušce:
1)
2)
3)
4)
5)
Uveď definici geometrické posloupnosti.
Objasni pojem kvocient geometrické posloupnosti.
Vysvětli, jakým způsobem obecně ověřujeme, zda je posloupnost geometrická.
Jaké vlastnosti vyplývají z toho, že je posloupnost geometrická?
Urči vztah pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti.
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Download

geometrická posloupnost