Stereometrie
1) V uzavřeném skleněném kvádru s hranami délek 30 cm, 60 cm a 80 cm je obarvená voda. Postavíme-li
kvádr na stěnu s rozměry 30 cm x 60 cm dosáhne voda do výšky 40 cm.
V jaké výšce bude hladina vody, postavíme-li kvádr na stěnu s rozměry 30 cm x 80 cm?
Tloušťku stěn kvádru neuvažujeme.
2) Váleček se kutálí po podložce. Po jedné celé otočce se posune o 25 cm.
Jaký je poloměr podstavy válečku?
3) Kolik centimetrů měří poloměr koule, jejíž objem je 1 litr?
4) Přiřaďte ke každé úloze (1. – 4.) správné řešení (A – F):
1. Kolik stěn má krychle?
2. Kolik hran má osmiboký jehlan?
3. Kolik vrcholů má dvanáctiboký hranol?
4. Kolik stěn včetně podstav má hranol, který má 24 hran?
A) 6; B) 10; C) 12; D) 20; E) 24; F) jiný výsledek
5) Jaká je výška nádoby tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 0,5 dm2, kterou tři
čtvrtlitrové hrnky vody naplní až po okraj?
6) Koule má poloměr 0,3 m. Kolikrát větší je objem koule s dvojnásobným poloměrem?
7) Jedna z kopulí hvězdárny M. Koperníka v Brně má tvar poloviny kulové plochy o průměru 6 m. Náklad na
1 m2 nátěru je 150 Kč. Kolik stojí natření střechy kopule? Výsledek zaokrouhlete na stovky Kč.
8) Na polici stojí akvárium tvaru krychle, do něhož se vejde 27 litrů vody. Tloušťka skla akvária je 5 mm.
Jakou plochu na polici akvárium zabírá?
9) Silniční válec má průměr 120 cm a šířku 1,75 m. Kolik m2 uválí za pět otočení? Výsledek zaokrouhlete na
m2. Poznámka: Počítejte s hodnotou π ≐ 3,14 .
10) Součet délek všech hran krychle je 24 cm. Jak velký je povrch této krychle?
11) Kvádr s podstavou o rozměrech 17 cm a 13 cm má povrch 1 342 cm2. Vypočítejte výšku kvádru.
12) Do nádrže tvaru kvádru o rozměry 12 m a 6 m a hloubce 2 m bylo napuštěno 288 hl vody. Kolik procent
objemu nádrže voda zaujímala?
13) Nádrž tvaru válce pojme 60 hl vody a je hluboká 2,5 m. Vypočítejte průměr nádrže.
Řešení
1)
30 ⋅ 60 ⋅ 40 = 72000 cm3
72000 = 30 ⋅ 80 ⋅ v
72000
= 30cm
30 ⋅ 80
Hladina bude ve výšce 30 cm.
v=
2)
Po jedné otočce se posune o obvod podstavy:
o = 2π r
o
25
r=
=
= 3,98cm
2π 2 ⋅ 3,14
Poloměr podstavy válečku je 3,98 cm.
3)
1litr = 1000 cm3
4
V = π r 3 /⋅ 3
3
3V = 4π r 3 / : 4π
3V
r3 =
4π
3V
3 ⋅ 1000
r=3
=3
= 6, 2 cm
4π
4 ⋅ 3,14
Poloměr koule měří 6,2 cm.
4)
A; F (hran je 16); E; B
5)
Objem hranolu je 3 ⋅ 0, 25 = 0, 75 litrů = 0,75 dm3 .
V = Sp ⋅v
v=
V 0,75
=
= 1,5 dm
Sp
0,5
Výška nádoby je 1,5 dm.
6)
4
4
V = π r 3 = π ⋅ 0,33 = 0,11304 cm3
3
3
4
4
V = π r 3 = π ⋅ 0,63 = 0,90432 cm3
3
3
0,90432
=8
0,11304
Objem koule je osmkrát větší.
7)
S = 4π r 2 = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 62 = 452,16 m2
S
= 226,08 m 2
2
226, 08 ⋅150 = 33 912 Kč ≐ 33 900 Kč
Natření střechy stojí 33 900 Kč.
8)
V = a3
a = 3 V = 3 27 = 3 dm = 30 cm
Vnější rozměry podstavy jsou 31 cm x 31 cm, obsah plochy je S = a 2 = 312 = 961cm2 .
Akvárium zabírá na polici plochu 961 cm2.
9)
Obsah pláště válce je S = 2π rv , r = 60 cm = 0, 6 m; v = 1,75 m . S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 0,6 ⋅1,75 ≐ 6, 6 m 2 .
Po pěti otočeních S = 5 ⋅ 6,6 = 33 m 2 .
Válec uválí za 5 otočení 33 m2.
10)
Krychle má 12 hran, jedna hrana má velikost
24
= 2 cm . Povrch krychle je S = 6a 2 = 6 ⋅ 22 = 24 cm 2 .
12
Povrch krychle je 24 cm2.
11)
S = 2 ( ab + bc + ac )
S = 2ab + 2bc + 2ac
S − 2ab = 2bc + 2ac
S − 2ab = c ( 2b + 2a )
S − 2ab 1342 − 2 ⋅ 17 ⋅13
=
= 15 cm
2a + 2b
2 ⋅17 + 2 ⋅ 13
Výška kvádru je 15 cm.
c=
12)
Objem kvádru je:
S = abc = 12 ⋅ 6 ⋅ 2 = 144 m3
Vody bylo napuštěno 288 hl = 28800 l = 28800 dm3 = 28,8 m3
↑
144 m3 .......100%
28,8 m3 ...... x %
x=
28,8 ⋅ 100
= 20%
144
↑
Voda zaujímala 20% objemu nádrže.
13)
60 hl = 6000 l = 6 m3
V = π r 2v / : π v
r2 =
V
πv
r=
V
6
=
≐ 0,87 m
3,14 ⋅ 2,5
πv
d = 1,74 m
Průměr nádrže je 1,74 m.
Download

π ≐