ŘEŠENÍ MINITESTŮ
JčU - Cvičení z matematiky
(doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.)
pro
zemědělské
obory
Minitest MT10
1. Určete, kolik z následujících funkcí y = e-x,
y = cosx, y = xlnx, y = 1 + x, je řešením diferenciální
rovnice yy``` - y`y`` = 0.
Asi nezbývá než dosadit:
1)
y = e-x ...
y` = -e-x,
y`` = e-x,
y``` = -e-x
protože je to složená funkce, kde
derivace vnitřní podfunkce je -1 a vnější
funkce je exponenciela - imunní proti
derivování.
-x
-x
-x
L (jako levá strana rovnice) = yy``` - y`y`` = e .(-e ) - (-e ).e-x = 0
P (jako pravá strana) = 0
...
První vyšla - je řešením.
2)
y = cosx
...
y` = -sinx,
y`` = -cosx, y``` = sinx
L = yy``` - y`y`` = cosx.sinx - (-sinx).(-cosx) = cosx.sinx - sinx.cosx = 0
P = 0 ...
Druhá vyšla - je řešením.
3)
y = xlnx
...
1
1
1
y` = 1.lnx + x. x = lnx + 1, y`` = x + 0 = x ,
1 `
1
y``` = x = (x -1)` = -1.x -2 = - 2
x

 
1
1
- (lnx + 1). x =
2
x
2
1
1
1
1
= - x lnx - x lnx - x = - x lnx - x
L = yy``` - y`y`` = xlnx. -
P = 0 ...
Třetí nevyšla - není řešením.
Ano, pro x =
vychází L = 0, jak se můžete
přesvědčit vyřešením příslušné logaritmické
rovnice. ALE je dalších nekonečně mnoho x,
pro která neplatí L = P. A i kdyby takové x bylo
jedno, bylo by to pro nás směrodatné.
4)
y=1+x
...
y` = 0 + 1 = 1,
y`` = 0,
y``` = 0
L = yy``` - y`y`` = (1 + x).0 - 1.0 = 0 - 0 = 0
P = 0 ...
Čtvrtá vyšla - je řešením.
Z nabízených funkcí jsme zjistili tři řešení, takže správně je možnost (D).
2.
Pomocí
tabulky
integrálů najděte
1
diferenciální rovnice y` =
.
2
x -x -2
obecné
řešení
Jednak - toto je sice minitest o diferenciálních rovnicích, ale skoro bez řešení diferenciálních
rovnic. Vždycky, jak vidíme a ještě uvidíme, nám buď řešení rovnou prozradí zadání, nebo ho
dostaneme prostě integrováním, protože to bude hledání primitivní funkce jako tady.
Druhak - jak jsem již dvakrát uvedl v MT8, nemám žádnou tabulku integrálů, resp. mám tu, co je
ve Vašich skriptech, ale nevěřím jí.
Takže se podíváme, jak se dělá integrál z převrácené hodnoty kvadratické funkce. (Vypadá
1
dx.)
takto: ∫ 2
ax bxc
Postup spočívá v jednom povinném a těžkém fíglu a jednom lehkém - spíše jen kosmetické úpravě.
x
Ten těžký fígl je vyšší úroveň takových nesmyslně zesložiťujících úprav jako jsou: 1 = x , 0 = 1 - 1
nebo třeba 2 =  4 .
Napřed si dáme malou ukázku na zopakování počtů se zlomky:
1
1
Zjednodušujeme
x - 2 x - 3 = ... členy (x - 2) a (x - 3) jsou nesoudělné, takže společný
x - 3 -  x - 2
x - 3 - x2
-1
= 2
jmenovatel je (x - 2)(x - 3) ...
=  x - 2. x - 3 = 2
x −2x−3x6 x - 5x6
Vidíte, co bylo na začátku a co je na konci? Naším úkolem bude naopak z jednoho zlomku dostat
součet (nebo rozdíl) dvou menších zlomků. (Slovo menší znamená hlavně, že zmizne x2.)
Nyní samotný postup:
• V první řadě rozložíme kvadratický člen na součin dvou lineárních členů (u některých to
nejde, tady ano), a to podle vzorečku:
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2),
kde x1 a x2 jsou řešení kvadratické rovnice
ax2 + bx + c = 0, tedy naše známé
b± b 2 - 4ac
x 1,2=
.
2a
Uděláme to pro naše zadání:
Rovnice:
x2 - x - 2 = 0 ... a = 1, b = -1, c = -2
x 1,2=
Rozklad:
1±  1 - 4.1. - 2 1± 18 1± 9
=
=
=
2.1
2
2
2=x 1
- 1=x 2
2
x - x - 2 = 1.(x - 2)(x - (-1)) = (x - 2)(x + 1)
• Další fáze - ujasníme si, čeho chceme dosáhnout:
1
1
Rádi bychom dostali, že 2
, což je, jak teď už víme,  x - 2 x1 ...
x -x-2
... tedy aby pro ten zlomek platilo:
1
číslo A číslo B
=

 x - 2 x1
x-2
x 1 .
• Další fáze - to, co máme, a to, co chceme dostat, dáme do rovnice, čímž se zase blížíme k cíli.
Neboli: budu předstírat, že ta čísla A a B už mám a dělám si jakoby zkoušku - upravuji to zpátky
jako v ukázce:
A x1B x - 2
A
B

=
x - 2 x 1
 x - 2. x1
1
To, co vyšlo se má rovnat původnímu zlomku 2
. Že si jsou rovni ti jmenovatelé, to víme
x -x-2
určitě. Rovnost pro čitatele si přepíšeme a využijeme ji:
A(x + 1) + B(x - 2) = 1
Ax + A + Bx - 2B = 1
/ roznásobit
/ Nevypadá to moc nadějně - máme jednu rovnici pro 2
neznámé A a B a ještě je tam to x. Pomůže nám to, že vlevo je
vlastně polynom (prvního stupně), vpravo je číslo, ale to se dá chápat také jako polynoma, a sice
0x + 1. Platí tady tudíž poučka o rovnosti polynomů: "Dva polynomy jsou si rovny právě tehdy,
když jsou si rovny všechny členy stejných stupňů." Polopaticky: Při počítání s polynomy počítáme
s každou mocninou x zvlášť a s čísly také zvlášť. Zde dostaneme jablka s x a hrušky bez x. Proto
vlevo sloučíme členy s x a prostá čísla.
• Řešíme tedy rovnici:
(A + B)x + (A - 2B) = 0x + 1 / oddělíme jabka a hrušky:
(A + B)x = 0.x / :x
A+B=0
A + B = 0 /.2
A -2B = 1
A -2B = 1
∼
/ rovnice musí platit současně - je to soustava
2A + 2B = 0
A - 2B = 1
3A = 1
1
A= 3
1
B= -3
Došli jsme tedy k úpravě:
1
1
1
1
1
3
3
3
3
1 1
1
=

=
=
2
x
2
x1
x
2
x1
3
x
2
x1
x -x-2

/ dosadíme do některé z rovnic a vyjde:

Teď už se nám bude integrovat krásně. A ten druhý fígl? Nespěchejte, přijde jeho čas. Jestli si to
integrování nedovedete představit, tak se dívejte dál.
• Nuže integrujeme:
∫ x 2 -1x - 2 d x=∫ 13




1
1
1
1
1
d x= ∫
dx =
x - 2 x1
3
x - 2 x2
=
1
3
∫
1
1
d x -∫
dx
x-2
x 1

= ... oba dílčí integrály uděláme substitucí, kde budeme nahrazovat
funkcí, která je v příslušném jmenovateli ... 1. integrál: zA = x - 2,
2. integrál: zB = x + 1,
1
1
1
1
= 3 ∫ z d z A - ∫ z d z B = 3 ( ln | z A | - ln | z B | )C =
A
B

=

1
( ln | x - 2| - ln| x1 |)C =
3
zA` = 1 ⇒ dzA = dx,
zB` = 1 ⇒ dzB = dx
...
... Teď teprve použijeme ten druhý trik. Spočívá ve
vzorečku pro sčítání a odčítání logaritmů:
lna + lnb = ln(a.b), resp.
lna - lnb = ln
,
případně by se mohl ještě použít:
c.lna = ln(a c), ale ten většinou výsledek spíše komplikuje
(pokud se nepoužije na druhou stranu:
ln(a c) → c.lna ) ...
=
|
|
1 | x -2|
1
x-2
ln
C = ln
C , což je možnost (D).
3 | x1 |
3
x1
První poznámka: Výsledek by podle těch vzorců pro logaritmy šel upravit i takto ...
|
|
1

 | | 
3
x -2 3
x-2
ln
C =ln
C=ln
x1
x1
libovolná "integrační" konstanta.
 |
3
K
x-2
x1
|

. Výsledky jsou rovnocenné a K je opět
Druhá poznámka: Této metodě integorvání se říká (pokud si to aspoň pamatuju ze školy dobře)
rozklad na parciální zlomky.
3. Najděte partikulární řešení dané diferenciální
rovnice y` = sinx + 2x s počáteční podmínkou y(0) = 1.
To zase není pořádná diferenciální rovnice. Jde opět o neurčitý integrál, do jehož výsledku pak
dosadíme nulu (za x) a tak dopočítáme integrační konstantu, aby to vyšlo 1.
Takto:
y` = sinx + 2x
1
y = ∫ ( sin x2x ) d x = - cosx + 2. 2 x2 + C = x2 - cosx + C
y(0) = 02 - cos0 + C = 1
0-1+C=1
-1 + C = 1
C=2
/ spočítáme kolik dělají jednotlivé členy
/ +1
Takže konstanta nemá být C, ale 2. Zapíšeme tak výsledek integrálu a dostaneme výsledek celého
příkladu:
y = x2 - cosx + 2,
což je varianta (D).
4. Nechť funkce y = f(x) je partikulární řešení
diferenciální rovnice y` = lnx splňující počáteční
podmínku y(1) = 3. Potom hodnota f(2) je rovna ...
Zase budeme integrovat a (nyní) dvakrát dosazovat. Příklad je to stejný jako ten předchozí, jenom je
zadání trochu zašmodchanější. Jde o to zjistit funkci primitivní k (y` = ) lnx. Dosadit jedničku
a upravit integrační konstantu, aby to u té jedničky vycházelo 3. Nakonec do té funkce už s novou
konstantou dosadíme dvojku a dopočítáme.
y = ∫ ln x d x = ... opakování - matka moudrosti, znovu si připomeneme, že na toto je fígl
přepsat lnx = 1.lnx a pak použít per partes, kde jedničku integrujeme a logaritmus derivujeme ...
= ∫ 1. ln x d x
... per partes:
u` = 1
...
u=x
v = lnx
= x.lnx -
∫ x. 1x d x
= x.lnx -
∫1d x
...
v` =
...
=
= x.lnx - x + C
Zopakujeme si pro přehlednost, k čemu jsme došli:
y = x.lnx - x + C ... Toto je obecné řešení té diferenciální rovnice.
Teď tedy podle plánu do výsledku dosadíme y = 3 a x = 1 a řešíme rovnici pro neznámou C:
3 = 1.ln1 - 1 + C
3=0-1+C
C=4
/ ln1 = 0
/ +1, 
Takže to partikulární řešení, o kterém se mluví v zadání, je:
y = xlnx - x + 4.
Dosadíme dvojku:
f(2) = y(2) = 2.ln2 - 2 + 4 = 2ln2 + 2,
tedy varianta (C).
5. Pro diferenciální rovnici 2. řádu y`` = 2 najděte
dvě její partikulární řešení splňující poč. podmínky:
pro f1 platí y(1) = 4, y`(1) = 6,
pro f2 platí y(1) = 5, y`(1) = 3.
Potom je rozdíl f1(2) - f2(2) roven ...
Že by přece diferenciální rovnice? Jak bych Vám to řekl? Zatímco dosud jsme řešili
vysokoškolskou obdobu úlohy "Franta a Karel měli dohromady 30,-Kč. Karel měl 10,-Kč. Kolik
měl Franta?" nyní jsme se dostali k obdobě úlohy typu: "Kolik dlaždic o rozměru 25 cm × 25 cm je
potřeba k obložení stěny o rozměrech 2 × 2 m, když každou desátou rozbijeme nebo bude vadná?"
S vědomostmi o rovnicích to jde dobře, ale bez nich - selským rozumem - to jde také:
Když y`` = 2, pak
y` =
Když y` = 2x + C1, pak
∫ 2d x = 2x + C .
y = ∫ 2xC 1 d x
1
1
= 2. 2 x2 + C1x + C2 =
= x2 + C1x + C2.
A máme obecné řešení v podstatě bez znalostí teorie k diferenciálním rovnicím.
Dosadíme počáteční podmínky pro f1:
y(1) = 12 + C1.1 + C2 = 4
/ neboli po přepisu:
1 + C1 + C2 = 4
/ -1
C1 + C2 = 3
y`(1) = 2.1 + C1 = 6
2 + C1 = 6
/ -2
C1 = 4
Souhlasíte, že napříště vyřídíme napřed derivaci a pak samotnou funkci? Teď se totiž musíme vracet
k první rovnici:
C1 + C2 = 3
/ dosadit výsledek druhé rovnice C1 = 4
4 + C2 = 3
/-4
C2 = -1
Čímž jsme dostali konečnou verzi výsledku f1.
f1: y = x2 + 4x - 1
Podobně to uděláme s f2:
y`(1) = 2.1 + C1 = 3
2 + C1 = 3
C1 = 1
/ -2
y(1) = 12 + 1.1 + C2 = 5
1 + 1 + C2 = 5
/ -2
C2 = 3
A už máme i konečnou verzi výsledku f2.
f2: y = x2 + x + 3
Ten rozdíl f1(2) - f2(2) je jen bohapusté zdržování:
f1(2) = 22 + 4.2 - 1 = 4 + 8 - 1 = 11
f2(2) = 22 + 2 + 3 = 4 + 5 = 9
f1(2) - f2(2) = 11 - 9 = 2
...
Možnost (B)!
6. Při řešení separované dif. rovnice y` =
4
cos y .  x
dospějeme k implicitnímu tvaru ...
Tak přece jen tu je počítání diferenciální rovnice. Ale lehké. Fígl je na to ten, že se y` přepíše na
dy
d x , pak upravujeme, abychom měli y vlevo (dy také) a x i dx vpravo. Následně zintegrujeme
a neupravujeme. Po úpravě y = něco s x se tomu totiž už neříká implicitní řešení, ale prostě řešení.
4
cos y .  x
dy
4
=
d x cos y.  x
4d x
cosy dy =
x
y=
/.dx, .cosy
/
∫ cos y d y=∫ 4 dxx
/ přepis

∫ cos y d y=∫ 4 x
-
1
2
dx
/ integrujeme jako vzteklí, konstantu dáme jen vpravo, protože
nám stačí jedna
4 12
siny = 1 x + C
2
siny = 8  x + C
/ přepis zase zpět na odmocninu a výpočet zlomku
... To je implicitní řešení, je to možnost (C).
7. Při modelování růstu telete lze vyjít ze vztahu
W` = 0,014W, kde W = W(t) je hmotnost telete t dnů po
narození. Jestliže hmotnost telete při narození byla
41 kg, potom příslušný růstový model je ...
Princip je stejný jako u předchozího příkladu. Pouze písmenka nesedí. Místo y máme W, místo x
máme t. Tentokrát to dopočítáme do tvaru W = něco s t. Asi vyjde nějaká konstanta, kterou budeme
muset dopočítat z počáteční podmínky W(0) = 41.
Máme tedy:
dW
W` = d t = 0,014W
/ .dt, :W
dW
14
=
/
W
1000 dt
14
dt
∫ dWW =∫ 1000
14
lnW = 1000 t + C / e na
14
14
W = e 1000 t + C = ... vzoreček aX + Y = aX.aY ... = e 1000 t . eC = ... e na neznámé číslo je
jiné neznámé číslo. My si označíme eC = K. Jakým způsobem K vzniklo, nám pak bude jedno;
hlavně, když funguje jako integrační konstanta, pak to taky je integrační konstanta ...
14
= K. e 1000 t
Připomínám pro ty, kteří třeba ztratili nit, že jsme právě dospěli k obecnému řešení zadané
diferenciální rovnice, které zní:
14
t
W = K. e 1000 .
Nyní, podle očekávání musíme vyčíslit integrační konstantu K, a to z počáteční podmínky, že 41
kilo vážilo tele hned po narození, tedy v čase 0 dnů, neboli:
14
.0
41 = W(0) = K e 1000 = K.e0 = K.1 = K,
čili K = 41 a partikulární řešení, které potřebujeme je:
14
t
W = 41 e 1000
Ale neřeknu Vám, jestli je to možnost (A), (B) nebo jaká. Protože jsem cvičebnici vrátil do
knihovny, zadání jsem si předtím opsal, ale bez nabízených možností. Tak nevím.
Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.
Download

null