Obsah
1 Částicová fyzika, ekvipartiční teorém
1
2 Vlastnosti vzduchu
2.1 Průměrná hmotnost částice vzduchu . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Jaká je hustota vzduchu při 20◦ C a tlaku 101325 Pa? . . . . . .
2.3 Jak se tlak mění s výškou – ze začátku (tj. derivace)! . . . . . .
2.4 Horkovzdušný balón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Jaký objem má jeden mol plynu při teplotě 0◦ C a tlaku 101,325
2
2
3
3
3
3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
kPa?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Větrání (izobarický děj)
4
4 Vlhkost vzduchu
4.1 Parciální tlak . . . . . . . . .
4.2 Tlak nasycených vodních par
4.3 Absolutní vlhkost . . . . . . .
4.4 Relativní vlhkost . . . . . . .
4.5 Rosný bod . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
6
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Zvlhčování vzduchu
6
6 Tepelné stroje a jejich účinnost
6.1 Účinnost stroje, který koná práci na základě rozdílu teplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Účinnost ledničky nebo klimatizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Účinnost tepelného čerpadla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
9
9
7 Nakreslete a popište princip tepelného čerpadla/ledničky/klimatizace
9
8 Spalování zemního plynu v kondenzačním kotli
8.1 Rosný bod spalin metanu při nadbytku vzduchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
11
9 Elektromagnetické záření/vlnění a jeho spektrum
11
10 Záření černého tělesa, Sluneční záření
11
11 Záření tělesa, které není dokonale černé
12
12 Energie
13
1
Částicová fyzika, ekvipartiční teorém
co je to stupeň volnosti; co je to ekvipartiční teorém, co když smícháme velké množství různých částic s různým
počtem stupňů volnosti; co říká nultý zákon termodynamiky
Představme si krychli o straně a, která obsahuje N částic. Pohyb částic je chaotický, ale můžeme uvažovat o
středních hodnotách fyzikálních veličin – tj. nechť každá částice má střední velikost rychlosti v a střední energii E,
nechť na každou stěnu působí střední hodnota tlaku p a nechť se v každé souřadné ose (x, y, z) pohybuje průměrně
třetina celkového počtu částic.
1
Jestliže na každou stěnu působí tlak p a tlak je síla na plochu, můžeme psát p = F/S. Sílu F lze dále rozepsat
pomocí 2. Newtonova zákona (síla je rovna derivaci hybnosti):
F =
dp
dt
Změna hybnosti dp nastane po nárazu částice na stěnu. Předpokládejme, že na stěnu naráží (kolmo) třetina všech
částic. Každá částice se po odrazu pohybuje opačnou rychlostí, a proto se její hybnost odrazem změnila o 2mv.
Doba dt, za kterou se náraz opakuje, je dána délkou hrany krychle a tuto vzdálenost musí částice překonat dvakrát,
protože letí tam i zpět. Proto platí, že dt = 2a/v. Rozepišme vztah pro sílu:
F =
dp
N 2mv
N mv 2
2E
=
=
=N
2a
dt
3 v
3 a
3a
Při poslední úpravě se využila skutečnost, že E = 12 mv 2 . Nyní rozepišme vztah pro tlak:
p=
2E
F
2 E
=N
=N
S
3 aa2
3V
Tento výsledek jsme získali pouhou úvahou, tj. pouze teoreticky. Nyní vztah porovnejme se stavovou rovnicí
pV = N kT , která naopak vychází z mnoha pokusů a experimentů. Bude platit
N kT
=
kT
=
E =
2
NE
3
2
E
3
3
f
kT = kT
2
2
Předpokládali jsme, že každá částice se může pouze pohybovat ve třech osách a jiný druh pohybu jsme nepřipouštěli. Každá částice měla proto tři stupně volnosti (f = 3). Výsledek, který jsme dostali, říká, že střední energie na
každý stupeň volnosti je 12 kT , což je tak důležitý závěr, že dostal i své pojmenování – ekvipartiční teorém.
Nultý zákon termodynamiky říká, že každé dva systémy si (časem) vyrovnají svou teplotu. Z ekvipartičního
teorému pak můžeme usuzovat, že střední energie na každý stupeň volnosti u obou systémů bude stejná.
Stupně volnosti lze snadno ukázat u plynů, protože v plynném skupenství můžeme každou částici považovat za
samostatnou a počet stupňů volnosti není ovlivněn okolními částicemi. Počet stupňů volnosti je u jednoatomových
molekul roven třem (f = 3). Jednoatomové molekuly se vyskytují u vzácných plynů, tj. He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn.
U dvouatomových molekul je počet stupňů volnosti roven pěti (f = 5). Dvouatomové molekuly mohou být
tvořeny buď dvěma atomy stejného prvku (H2 , N2 , O2 , F2 , Cl2 , Br2 a I2 ), ale také mohou být tvořeny dvěma
různými prvky (CO, NO, HF, HCl). Vzhledem k tomu, že dusík a kyslík tvoří přibližně 99 % vzduchu, můžeme
vzduch považovat za plyn s pěti stupni volnosti.
2
Vlastnosti vzduchu
Co je to mol a molární hmotnost; Jak spolu souvisí Avogadrovo číslo (NA = 6,022 · 1023 ), Bolztmannova konstanta k = 1,3806504 · 10−23 J K−1 a univerzální plynová konstanta R = 8,314472 JK−1 mol−1 ; jaké je složení
vzduchu a jeho obvyklá teplota a tlak; srovnejte hmotnost molekuly vody a vzduchu; jak závisí hustota na teplotě
(horkovzdušný balón), jaká je tepelná kapacita při izochorickém ději, jaký je počet stupňů volnosti
2.1
Průměrná hmotnost částice vzduchu
m = 0,78 · 2 · 14 + 0,21 · 2 · 16 + 0,01 · 40 = 28,96 g mol−1
m=
0,02896
= 4,80903 · 10−26 kg
6,022 · 1023
2
2.2
Jaká je hustota vzduchu při 20◦ C a tlaku 101325 Pa?
mvšechčástic
Nm
%=
=
V
V
⇒
N=
%V
m
pV
= N kT
%V
pV =
kT
m
%kT
p =
m
%=
pm
pM (vzduch)
pm
pM (vzduch)
101325 · 28,96 · 10−3
=
=
=
=
= 1,2039 kg m−3
kT
kT
kT NA
RT
8,314472(20 + 273,15)
2.3
Jak se tlak mění s výškou – ze začátku (tj. derivace)!
dp
p = h%g
⇒
= %g = 1,2 · 10 = 12 Pa m−1
dh
Většina běžných barometrů má citlivost 100 Pa, což odpovídá výškovému rozdílu 8,3 metrů. Tlak se ale mění
s výškou exponenciálně (nikoli po přímce), takže vypočtená hodnota platí jen pro malé nadmořské výšky.
2.4
Horkovzdušný balón
Tíha všech součástí balónu (posádka, plášť, koš, bomby, . . . ) spolu s tíhou vzduchu uvnitř musí být rovna vztlakové
síle. Tu vypočteme z Archimédova zákona.
M g + V %t g = V %s g
M + V %t = V %s
V =
M
=
%s − %t
pm
kTs
M
= V %s − V %t
M
= V (%s − %t )
Mk
M
pm =
− kT
pm T1s −
t
=
105 · 29 · 10−3
732 · 8,314
1
20+273,15
1
Tt
−
=
M kNA
pM (vzduch) T1s −
1
100+273,15
1
Tt
=
.
= 2870 m3
Snadno lze dopočítat, jaký průměr by měla koule o tomto objemu.
2.5
Jaký objem má jeden mol plynu při teplotě 0◦ C a tlaku 101,325 kPa?
pV
V
= N kT
N kT
NA kT
RT
8,314472(0 + 273,15)
=
=
=
=
= 0,022414 m3
p
p
p
101325
Jakou tepelnou kapacitu má vzduch při konstantním objemu?
1
E = f kT
2
⇒
dQ = mc dT
⇒
dE
fk
=
dT
2
dQ
= mc
dT
fk
= mc
2
fk
f kNA
5 · 8,314
.
c=
=
=
= 717,7 J kg−1 K−1
−3
2m
2M (vzduch)
2 · 28,96 · 10
3
3
Větrání (izobarický děj)
Proč větrání není izochorický děj? Vyjděte z prvního zákona termodynamiky a odvoďte, jaká energie je potřeba,
chceme-li získat určitý objem vzduchu o teplotě T2 , jestliže teplota okolí je T1 . Odhadněte náklady na ohřev
vzduchu. Okomentujte svůj odhad – za jakých podmínek platí?
Izobarický děj (p = konst.):
pV = N kT
⇒
N kT
p
⇒
V =
pV2
pV1
=
kT1
kT2
Nk
dV =
dT
p
N=
dQ = dU + pdV =
1
= N f kdT + pdV =
2
Nyní můžeme dosadit za dV , což jsme odvodili ze stavové rovnice.
Nk
1
dT =
= N f kdT + p
2
p
1
= N f kdT + N kdT =
2
f
= Nk
+ 1 dT =
2
Ve vztahu vystupuje N , což je počet částic. Ten vyjádříme ze stavové rovnice pomocí V2 , protože V2 je objem
zahřátého vzduchu. Ten odpovídá objemu větraného prostoru.
pV2
f
=
+ 1 dT =
k
kT2
2
dT
f
+1
= pV2
=
2
T2
T2 − T1
f
+1
= pV2
=
2
T2
T2 − T1
f
= pV2
+1
=
2
T2
T1
f
+1
1−
= pV2
2
T2
Vzhledem k tomu, že vzduchu má 5 stupňů volnosti (f = 5), můžeme vztah ještě dále zjednodušit na konečný
vzorec
T1
7
∆Q = pV2 1 −
2
T2
Mezi obvyklé úlohy patří výpočet, jaký výkon potřebujeme k trvalému ohřívání vzduchu, jehož průtok známe.
V takovém případě postačí předchozí vztah zderivovat podle času a dostáváme
dQ
7 dV2
T1
= p
1−
dt
2 dt
T2
přičemž člen na levé straně rovnice je výkon ve wattech (tj. joulech za sekundu) a člen
vzduchu v metrech krychlových za sekundu.
7 dV2
T1
P = p
1−
2 dt
T2
Pro úplnost – objemový průtok ohřátého vzduchu je větší než průtok studeného vzduchu.
4
dV2
dt
je průtok ohřátého
4
Vlhkost vzduchu
Co je to vlhký vzduch, co je to parciální tlak vody, co lze vyčíst z tabulky pro tlak nasycených vodních par,
kdy dochází ke kondenzaci, co je to rosný bod, co je to absolutní a relativní vlhkost, jak souvisí bod varu vody
s tlakem.
Vlhký vzduch je směs dvou složek – vodní páry a suchého vzduchu. Tyto dvě složky se navzájem téměř vůbec
neovlivňují. Vodní pára se chová stále podle stejných zákonitostí a nezáleží na tom, zda je smíchána se suchým
vzduchem či nikoli. Vodní pára, stejně jako každý jiný plyn, má tlak, teplotu, objem, hustotu, molární hmotnost,
počet stupňů volnosti a další veličiny. Jestliže ji přidáme k suchému vzduchu, budou obě složky sdílet stejný objem
a stejnou teplotu. U každé složky však můžeme uvažovat, že má svůj tzv. parciální tlak a svou parciální hustotu.
Tlak nasycených vodních par
Následující tabulka udává tlak nasycených vodních par, což je totéž, co tlak vodní páry nad vodní hladinou, a to
je totéž, co rosný bod při daném tlaku vodní páry. Tabulka byla získána dosazením do empirického vzorce1,2 .
T (◦ C)
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4.1
p(kPa)
0.126
0.137
0.149
0.162
0.176
0.191
0.208
0.225
0.244
0.265
0.287
0.310
0.335
0.362
0.391
0.422
0.455
0.490
0.528
0.568
0.611
0.657
0.706
0.758
0.813
0.872
0.935
1.00
1.07
1.15
T (◦ C)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
p(kPa)
1.23
1.31
1.40
1.50
1.60
1.71
1.82
1.94
2.06
2.20
2.34
2.49
2.64
2.81
2.98
3.17
3.36
3.57
3.78
4.01
4.25
4.49
4.76
5.03
5.32
5.63
5.95
6.28
6.63
7.00
T (◦ C)
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
p(kPa)
7.38
7.79
8.21
8.65
9.11
9.59
10.10
10.62
11.17
11.75
12.35
12.98
13.63
14.31
15.02
15.76
16.53
17.33
18.17
19.04
19.95
20.89
21.87
22.88
23.94
25.04
26.18
27.37
28.60
29.88
T (◦ C)
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
p(kPa)
31.20
32.58
34.00
35.48
37.01
38.59
40.24
41.94
43.70
45.52
47.41
49.36
51.38
53.47
55.62
57.85
60.16
62.54
65.00
67.53
70.15
72.86
75.64
78.52
81.49
84.55
87.70
90.95
94.30
97.75
T (◦ C)
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
p(kPa)
101.31
104.97
108.74
112.61
116.61
120.71
124.94
129.28
133.75
138.35
143.07
147.92
152.91
158.03
163.29
168.69
174.24
179.93
185.78
191.78
197.93
204.24
210.71
217.35
224.16
231.13
238.28
245.61
253.12
260.81
Parciální tlak
Parciální tlak je pojem, který se užívá u směsí plynů. Každou složku plynu budeme označovat indexem. Je možné si
představit, že každá složka směsi má svůj vlastní tlak a tomuto tlaku říkáme parciální. Platí, že součet parciálních
1
2
Buck (1996), Buck Research Manual
http://en.wikipedia.org/wiki/Arden_Buck_equation
5
tlaků všech složek dává celkový tlak:
p = p1 + p2 + p3 + . . . + pN
Tato skutečnost se obvykle označuje jako Daltonův zákon.
Tlak plynu je určen stavovou rovnicí
pV = N kT
⇒
p=
N kT
V
a přesně tento vztah platí i pro každou složku plynu a její parciální tlak. Ze stavové rovnice vyplývá, že tlak – ať
už celkový nebo parciální – je úměrný počtu částic plynu a je lhostejné, o jaké částice se jedná3 . Proto platí
p
p2
p3
pN
p1
=
=
= ... =
=
N
N1
N2
N3
NN
Je celkem samozřejmé, že musí současně platit
N = N1 + N2 + N3 + . . . + NN
4.2
Tlak nasycených vodních par
Budeme-li mít v uzavřené nádobě pouze vodu a její páru, pak pára bude mít při dané teplotě právě takový tlak,
který je uveden v tabulce. Zajímavé je, že i kdyby nad hladinou vody byl vzduch, nebude mít na chování vody
žádný vliv. Vodní pára vytvoří úplně stejný tlak, jako by tam žádný vzduch nebyl. Přesněji řečeno, parciální tlak
vodní páry ve vzduchu bude úplně stejný jako tlak samotné vodní páry.
4.3
Absolutní vlhkost
Absolutní vlhkost je pouze jiný pojem pro parciální hustotu. Absolutní vlhkost udává, jaká hmotnost vody je
obsažena v jednom metru krychlovém vlhkého vzduchu. Jednotka je kg m−3 . Podobnost s hustotou je natolik
významná, že ji budeme označovat %. Pro hustotu plynu platí vztah
%=
pm
pM
=
kT
RT
a právě tento vztah platí taktéž pro absolutní vlhkost až na to, že za p musíme dosadit parciální tlak vodní páry.
Můžeme vzorec přepsat do tvaru
pH O 18 · 10−3
%= 2
8,314472 T
4.4
Relativní vlhkost
Relativní vlhkost φ udává poměr parciálního tlaku pH2 O vůči tlaku, který by při dané teplotě měla nasycená pára.
Platí
pH O
φ= 2
pn
kde pn je tlak nasycených par při stejné teplotě. Relativní vlhkost se obvykle udává v procentech. Snižujeme-li
teplotu, pak se zvyšuje relativní vlhkost až do hodnoty 100%, která nastane, jestliže dosáhneme rosného bodu.
4.5
Rosný bod
Rosný bod je taková teplota, při které bude vodní pára nasycená. Právě při teplotě rosného bodu bude dosaženo
stoprocentní relativní vlhkosti.
5
Zvlhčování vzduchu
Odvoďte vztah pro výpočet energie, která je potřeba na zvlhčování vzduchu.
3
Například, tvoří-li molekuly vody jedno procento všech molekul, bude parciální tlak vody jedno procento celkového tlaku.
6
Při zahřátí vzduchu klesne jeho relativní vlhkost. Je to způsobeno tím, že vyšší teplotě odpovídá vyšší tlak
nasycených par vody. Při zahřátí se parciální tlak vody nezmění4 . Důsledkem je, že klesne tento podíl (zvýší se
jmenovatel)
pH O
φ= 2
pn
a tudíž klesne relativní vlhkost.
Vzduch ve větraném a vytápěném prostoru by byl (především v zimě) příliš suchý, a tak je potřeba vlhkost
přidat, abychom dosáhli přijatelné minimální hodnoty. Tuto vlhkost přidáváme v podobě vodní páry a k jejímu
získání je potřeba odpařit vodu. Voda má velké výparné teplo, a proto se ukazuje, že energetické výdaje nejsou
zanedbatelné.
Obr. 1: Krychle nalevo symbolizuje objem vzduchu, který pochází zvenčí. Obsahuje směs suchého vzduchu (index 1) a vodní
páry (index 2). V pravé části obrázku je znázorněna situace, kdy vzduch zahřejeme a přidáme do něj dodatečně vodní páru.
Objem napravo je složen ze tří složek – suchý vzduch (index 1), vodní pára, která již byla ve vzduchu obsažena (index 2) a
vodní pára, která byla přidána (index 3). Parciální tlak vodní páry je součtem složek 2 a 3.
a)
b)
c)
V1 + V2 + V3 = V
⇒
V1 + V2 = V − V3
¯
V2
V2
p¯2
V2
p¯2
=
=
=
⇒
V2 = (V − V3 )
¯
¯
p
V
+
V
V
−
V
p
V1 + V2
1
2
3
p23
V2 + V3
=
p
V
p23
p
p23
V
p
p23
p¯2
V − V
p
p
p23 − p¯2
V
p
p¯2
p (V
=
− V3 ) + V3
V
p¯2
p¯2
V − V3 + V3
p
p
p¯2
V3 1 −
p
p − p¯2
V3
p
p23 − p¯2
V
p − p¯2
=
=
=
V3 =
Z toho lze vypočítat, jakou hmotnost má vodní pára o objemu V3 . Využijeme skutečnosti, že hustota plynu (a tedy
i vodní páry) lze napsat jako % = pM/(RT ).
m = %V3 =
4
pH2 O M
V3
RT
Máme na mysli izobarický děj. Vzduch sice zvětší svůj objem, ale jeho tlak zůstane stejný a parciální tlaky jednotlivých složek též
zůstanou stejné.
7
To je současně hmotnost vody, kterou je nutno odpařit. Známe-li výparné5 teplo vody lv , můžeme vyjádřit energii,
která je zapotřebí ke zvlhčení vzduchu:
∆Qzvlhčení = mlv =
pH2 O M
V3 lv
RT
V předchozí kapitole jsme počítali energii potřebnou k ohřátí vzduchu. Předpokládali jsme, že ohřátý vzduch
vyplní celý větraný prostor. Jestliže ale část tohoto objemu vyplní dodaná vodní pára o objemu V3 , pak bychom
měli své předchozí úvahy upřesnit a psát raději
7
T1
∆Qzahřátí = p(V − V3 ) 1 −
2
T2
ale ve skutečnosti toto opravdu není nutné. Objem V3 bývá cca stonásobně menší než V , takže původní představa,
že
7
T1
∆Qzahřátí = pV 1 −
2
T2
zůstává nadále v platnosti – dopustíme se chyby cca jednoho procenta.
6
Tepelné stroje a jejich účinnost
Z druhého zákona termodynamiky vyplývá, že Q1 /T1 = Q2 /T2 (viz přednášky) – z toho vycházejte. Jak souvisí
účinnost strojů s pracovními teplotami? Odvoďte a vypočtěte teoretickou účinnost tepelného čerpadla, ledničky
a klimatizace za různých podmínek, kdyby jejich cyklus byl vratný. Reálná účinnost je u těchto strojů cca 50 %
maximální účinnosti – jak to ovlivní výsledky? Kdy se vyplatí tepelné čerpadlo (k tomu je potřeba porovnat cenu
elektřiny a plynu)? Ukažte, jak se zhoršuje účinnost tepelného čerpadlo při zvyšování teplotního rozdílu a proč se
často tepelné čerpadlo kombinuje s podlahovým vytápěním.
Jakou účinnost má jaderná elektrárna Temelín? S jakými teplotami pracuje?
Co je to perpetuum mobile druhého druhu?
Tepelné stroje lze rozdělit do dvou skupin:
1. Stroje, jejichž účelem je konat (mechanickou) práci. K tomu je potřeba mít dvě místa s různou teplotou.
2. Stroje, jejichž účelem je přemísťovat teplo z chladnějšího tělesa na teplejší. K tomu je potřeba dodat část
výkonu zvenčí. Nejběžnějšími představiteli těchto strojů jsou lednička, klimatizace a tepelné čerpadlo. Jejich
obvyklou součástí je kompresor poháněný elektromotorem s účinností cca 50 %.
Pro stroj platí:
každý
Pro vratný stroj platí:
Obr. 2: Tepelné stroje lze rozdělit do dvou skupin. Obrázek nalevo znázorňuje stroj, ve kterém teplo přechází z teplejšího
tělesa na chladnější a část energie lze přeměnit na mechanickou práci. Obrázek napravo představuje obrácený tok tepla –
z chladnějšího tělesa na teplejší, kterého lze dosáhnout jedině tím, že část výkonu dodáme zvenčí. Je-li stroj vratný, pak
v obou případech platí vztah Q1 /T1 = Q2 /T2 . Dokonale vratný stroj však nelze sestrojit.
Vypočítejme, jaké jsou účinnosti různých strojů, pokud by jejich pracovní cyklus byl vratný,
5
Výparné teplo vody samo o sobě poněkud závisí na teplotě. Lze říci, že se zvyšující se teplotou stačí méně energie na odpaření.
Při teplotě 25◦ C je výparné teplo lv = 2442 kJ/kg, což je asi o deset procent více než lv = 2219 kJ/kg při běžné teplotě varu 100◦ C.
Kdybychom teplotu zvyšovali ještě více, dospějeme k tzv. kritické teplotě 374◦ C, při které je výparné teplo vody nulové a přestane
existovat rozdíl mezi kapalinou a plynem.
8
6.1
Účinnost stroje, který koná práci na základě rozdílu teplot
T2
T2
Q
1
−
1
Q1 − Q1 T1
T1
Q1 − Q2
T2
T1 − T2
∆T
W
=
=
=
=1−
=
=
η=
Q1
Q1
Q1
Q1
T1
T1
T1
Příkladem takového stroje je parní stroj, spalovací motor (benzínový nebo naftový), parní turbína v uhelné nebo
jaderné elektrárně, plynová turbína v teplárnách, Stirlingův motor atd. Všechny tyto stroje mají svou maximální
účinnost určenou teplotami T1 a T2 . Teplota T2 je obvykle teplota okolí. Teplota T1 by měla být co nejvyšší a je
obvykle limitována vlastnostmi použitých materiálů.
6.2
Účinnost ledničky nebo klimatizace
Q2
Q2
Q2
η=
=
=
=
T1
W
Q1 − Q2
Q2 T2 − Q2
T1
T2
1
=
−1
1
T1 −T2
T2
=
T2
∆T
Lednička i klimatizace obvykle obsahuje kompresor, jehož účinnost bývá kolem 50 %.
Účinnost závisí na teplotě T2 , kterou ale příliš ovlivnit nemůžeme – tu požadujeme. Rozdíl teplot byl měl
být co nejnižší, ale ten je limitován teplotou okolí. Pro zlepšení účinnosti se můžeme snažit zmenšit rozdíl teplot
tím, že zlepšíme přestup tepla na obou stranách. Například, v případě klimatizace, velkými rozměry a proudícím
vzduchem. Proto jsou klimatizace velké a jejich ventilátory hlučné. Anebo můžeme odstranit námrazu v ledničce
a podobně . . .
6.3
Účinnost tepelného čerpadla
Q1
Q1
Q1
Q
1
η=
=
=
=
T
2
W
Q1 − Q2
Q1 − Q1 T1
Q1 1 −
T2
T1
=
1
=
1 − TT21
1
T1 −T2
T1
=
T1
∆T
Má-li být účinnost tepelného čerpadla co nejvyšší, pak by měl být co nejmenší rozdíl teplot T1 − T2 . Teplota
T1 je ale právě ta teplota, kterou u tepelného čerpadla využíváme. Proto bývá snaha navrhnout vytápění tak,
aby mohlo pracovat s nižší teplotou. Například, klasické radiátory používají vodu o teplotě 70◦ C, zatímco pro
podlahové vytápění postačí teplota vody 50◦ C.
Na druhou stranu je potřeba, aby teplota T2 byla co nejvyšší. Ta je obvykle limitována teplotou studniční
vody, teplotou vrtu nebo teplotou okolního vzduchu.
Účinnost, kterou vypočteme pomocí výše uvedeného vztahu, je kvůli nedokonalosti kompresoru nutno ještě
násobit přibližně číslem 0,5 podobně jako v případě ledničky a klimatizace.
Při posuzování výhodnosti tepelného čerpadla je nutno uvažovat, že elektřina, která tepelné čerpadlo pohání,
je přibližně čtyřikrát dražší než plyn. Má-li tepelné čerpadlo konkurovat vytápění pomocí plynu, musí mít lepší
účinnost než 400 %, což může mít, ale nemusí.
7
Nakreslete a popište princip tepelného čerpadla/ledničky/klimatizace
popište celý cyklus – kde se mění tlak, kde se mění teplota, kde se médium vypařuje a kde kondenzuje, jak se
mění bod varu, jak se jmenují jednotlivé části, kterou část musíme pohánět (elektrickou) energií, co jsou freony a
proč škodí . . .
9
adiabatická komprese:
zvýšení tlaku, teploty i bodu varu
teplota výrazně vyšší
než teplota okolí
plyn
plyn
kondenzace
kompresor
výparník
kondenzátor
vypařování (var)
nízká teplota
ochlazení
kapalina
kapalina
škrtící ventil
teplota jen o málo vyšší
než teplota okolí
snížení tlaku – tím i snížení bodu varu
8
Spalování zemního plynu v kondenzačním kotli
Napište a vyrovnejte chemickou rovnici spalování metanu a vypočítejte rosný bod spalin pro stechiometrický
poměr, ale i pro spalování při nadbytku vzduchu. Jaké vlastnosti má kondenzační kotel?
Jedním z produktů při spálení, takřka jakýchkoli paliv obsahujících vodík, je voda. Tuto vlastnost má většina
používaných paliv, ať už se jedná o uhlovodíky6 (metan, propan-butan, benzín, nafta, parafin, petrolej, topné oleje
atd.) či dřevo, biomasu, komunální odpad a podobně. Výjimku tvoří černé uhlí, které se skládá především z uhlíku,
a hlavním produktem spalování je proto oxid uhličitý. Vodík bývá v uhlí přítomen jen v malé koncentraci, a proto
i obsah vody ve spalinách není příliš významný.
Voda, která vzniká při spálení, může být v plynném skupenství v podobě páry nebo ve skupenství kapalném.
Je zřejmé, že pára, která odchází komínem či výfukem obsahuje určité množství energie, které je dáno výparným
teplem vody. Tuto energii lze využít v takzvaných kondenzačních kotlech, ve kterých spaliny procházejí místem
s teplotou nižší, než je rosný bod spalin. Na chladnějších plochách voda kondenzuje a stéká do sběrné nádoby. Při
kondenzaci se využilo výparné teplo vody.
Spočítejme, při jaké teplotě začíná kondenzovat voda v produktech spalování, jestliže uvažujeme kotel spalující
zemní plyn. Zemní plyn obsahuje především metan a při jeho spálení vzniká oxid uhličitý a voda, což můžeme
popsat pomocí chemické reakce:
CH4 + 2 O2 → 2 H2 O + CO2
Předpokládejme, že přibližně pětina vzduchu je kyslík. To znamená, že na každou kyslíkovou molekulu připadnou
čtyři dusíkové.
8 N2 + CH4 + 2 O2 → 2 H2 O + CO2 + 8 N2
Výsledkem je celkem 11 molekul plynu. Dvě z nich jsou molekuly vodní páry. To znamená, že parciální tlak vodní
páry bude představovat 2/11 celkového tlaku. Při běžném atmosférickém tlaku vychází
pH2 O = pa
2 .
= 18181 Pa
11
Jak lze usoudit z tabulky, tento tlak bude mít nasycená vodní pára při teplotě cca 58◦ C. Tím je určen rosný bod.
6
Uhlovodíky obsahují pouze uhlík a vodík a jejich stechiometrický vzorec lze zapsat jako Cm Hn . Při dokonalém spalování uhlovodíků
vzniká oxid uhličitý a voda, přičemž příslušnou chemickou reakci lze zapsat takto: Cm Hn + ( n4 + m) O2 → m CO2 + n2 H2 O
10
8.1
Rosný bod spalin metanu při nadbytku vzduchu
V běžném kotli se ale nespaluje zemní plyn přesným množstvím vzduchu, které by vycházelo z výše uvedené
chemické reakce. Ve skutečnosti se k hořáku přivádí více vzduchu než je nezbytně nutno. Dělá se to proto, aby
byla jistota, že se všechno palivo spálí7 . Důsledkem je, že pouze část kyslíku se účastní hoření, ale část odchází
komínem beze změny. Poměr, který udává, kolikanásobně je vzduchu více než je potřeba se označuje λ. Chemickou
reakci přepíšeme do tvaru
λ8 N2 + CH4 + λ2 O2 → 2 H2 O + CO2 + λ8 N2 + (2λ − 2) O2
Na pravé straně rovnice jsou opět dvě molekuly vody. Ale celkový počet molekul závisí na konstantě λ. Vypočteme
parciální tlak vodní páry:
pH2 O = pa
2
2
2
= pa
= pa
2 + 1 + 8λ + (2λ − 2)
3 + 8λ + 2λ − 2
1 + 10λ
Jestliže za λ dosadíme jedničku, jedná se o stechiometrický poměr a rosný bod spalin jsme již získali v předchozím
výpočtu. Nyní ale můžeme vyzkoušet jiné poměry, například 2 nebo 3. Z toho vycházejí rosné body 45◦ C a
38◦ C. Výpočty jsou pouze orientační a reálná hodnota je ovlivněna především obsahem vodní páry ve vstupujícím
vzduchu i zemním plynu (oboje jsme zanedbali). Závěr však je, že rosný bod se sníží, jestliže do hořáku přidáme
více vzduchu.
Konstrukce kondenzačního kotle musí zajišťovat dokonalé spalování. Tento požadavek lze splnit nadbytkem
přiváděného vzduchu, tj. zajistit, aby koeficient λ byl větší než jedna. Na druhou stranu, přidávání vzduchu vede
ke snižování rosného bodu. Jeho příliš nízká hodnota pak může vést k tomu, že vodní pára obsažená ve spalinách
nebude dostatečně kondenzovat, což zhorší účinnost kotle.
9
Elektromagnetické záření/vlnění a jeho spektrum
Co to (alespoň přibližně) je; jakou rychlostí se šíří, srovnejte jeho rychlost s rychlostí zvuku; jak záření dělíme
podle vlnové délky či frekvence; Na co se jednotlivé druhy používají; co bývá jejich zdrojem; jaký rozsah vlnových
délek vidí lidské oko . . .
viz např. wikipedie, heslo „elektromagnetické spektrum“
10
Záření černého tělesa, Sluneční záření
dI
2πhc2
hc
. Co když tuto funkci zintegrujeme v mezích od
=
dλ
λ5 e λkT − 1
λ1 do λ2 ? Co je Wienův posunovací zákon (b = 0,0028977685 mK)? Co je Stefan-Boltzmannův zákon (σ =
5,6704 · 10−8 Wm−2 K−4 )? Vyberte si nějaké těleso z reálného života (Slunce, vlákno žárovky, lidské tělo . . . ) a
nakreslete jeho vyzařovací křivku. Jaký výkon má Slunce (teplota 5770 K a poloměr 700 000 km)? Co je to solární
konstanta a jak se vypočítá (jedna astronomická jednotka je 150 miliónů kilometrů). Nakreslete obrázek, který
znázorňuje tepelné toky u předmětu, který v noci vychládá a který je přes den vystaven přímému slunci. Jak by
šlo teplotu vypočítat?
Okomentujte Planckův vyzařovací zákon
dI
2πhc2
hc
=
dλ
λ5 e λkT − 1
Wienův posunovací zákon: Tato funkce má maximum v bodě λ =
b
T,
kde b je rovno
b = 0,0028977685 mK
Stefan Boltzmannův zákon:
Z
I=
0
∞
2πhc2
hc
dλ = σT 4
5
λ e λkT − 1
7
Nedostatek vzduchu vede ke špatnému spalování, při kterém zůstává část paliva nevyužita, může vznikat jedovatý oxid uhelnatý,
pevné organické částice, toxické uhlovodíky, saze a podobně.
11
9
×1013
×108
1.0
8
0.8
7
[W m−3 ]
5
4
dI
dλ
dI
dλ
[W m−3 ]
6
0.6
0.4
3
2
0.2
1
0
0
500
1000
1500
λ [nm]
2000
2500
3000
0.0
0
10
20
30
40
50
λ [µm]
Obr. 3: Grafy znázorňují Planckovu vyzařovací funkci. Obrázek nalevo odpovídá záření Slunce, které má teplotu povrchu
5770 K. Je zde vyznačena oblast viditelného záření. Na grafu napravo jsou vyneseny vyzařovací funkce pro teploty 0◦ , 20◦ , 40◦ ,
60◦ , 80◦ a 100◦ . Z grafů je zřejmé, že zvyšováním teploty záření narůstá a současně se vyzařovací maximum posouvá směrem
ke kratším vlnovým délkám. Pro solární kolektory je důležitý bod kolem 4 mikrometrů. V rozmezí od nuly (od nejkratších
vlnových délek) až po tuto hranici vyzařuje Slunce naprostou většinu svého záření, ale přitom v této oblasti běžné předměty
téměř nevyzařují.
11
Záření tělesa, které není dokonale černé
odrazivost, pohltivost, propustnost, emisivita, skleníkový efekt, solární kolektory
Záření, které dopadne na povrch tělesa, se vždy částečně odrazí, částečně pohltí uvnitř tělesa (tím se těleso
ohřívá) a část záření projde skrz. Existují proto tři koeficienty, které určují, jak se záření zachová. Je to odrazivost
% (reflektance8 ), pohltivost α (absorbance9 ) a propustnost τ (transmitance10 ). Součet všech tří koeficientů je vždy
roven jedné (% + α + τ = 1), takže z libovolných dvou lze dopočítat třetí. U těles, kterými záření neprojde téměř
vůbec (τ = 0), stačí znát pouze odrazivost (ta se lépe měří) a pohltivost se dopočítá. Dokonale černé těleso má
α = 1 a % = τ = 0.
Pohltivost α velmi úzce souvisí s tepelným zářením tělesa. Z jistých důvodů (které zde nebudeme rozebírat)
musí platit, že schopnost tělesa vyzařovat záření (tedy ochlazovat se) je stejná jako schopnost záření pohlcovat
(tedy zahřívat se). Planckův vyzařovací zákon platí pouze pro těleso, které je dokonalý zářič a tedy současně
dokonale záření pohlcuje. Takové těleso budeme vnímat jako černé a proto Planckův vyzařovací zákon platí pouze
pro dokonale černé těleso.
Žádné reálné těleso ale není dokonale černé a nedokáže pohltit veškeré záření, které na něj dopadne. Důsledkem
je, že ani nedokáže vyzařovat v souladu s Planckovým zákonem. Vždy bude vyzařovat méně. Planckův zákon je
proto potřeba vynásobit koeficientem ε (emisivita11 ). Z předchozích tvrzení by mělo být zřejmé, že
α=ε
Planckův zákon pro reálné těleso by měl tvar
dI
2πhc2
= ε(λ) hc
dλ
λ5 e λkT − 1
Celá věc se poněkud komplikuje tím, že všechny koeficienty závisejí na vlnové délce. Například obyčejným sklem
UV záření neprochází, ale viditelné ano. Cihlovou zdí viditelné záření neprochází, ale rádiové vlny mohou. Černým
igelitem viditelné záření neprochází, ale blízké infračervené ano (dálkové ovládání bude fungovat i skrz něj). Proto
je potřeba být obezřetný v používání Stefan-Boltzmannova zákona – ten platí pouze pro dokonale černé těleso.
Skutečnost, že pohltivost (emisivita) závisí na vlnové délce, se využívá v solárních kolektorech, ve kterých se
voda ohřívá slunečním zářením. Používají se materiály, které dobře pohlcují sluneční záření, ale špatně vyzařují své
8
lat.
lat.
10
lat.
11
lat.
9
reflecto, reflexi – ohýbat, obracet nazpět, odrážet
absorbeo či absorbo – pohlcovat, vstřebat
transmitto – převádět, propouštět
e-mitto – vydávat, vysílat, vypouštět
12
vlastní teplo. Sluneční záření má vlnové délky v řádu stovek nanometrů, zatímco záření běžných těles se odehrává
na vlnových délkách řádu mikrometrů a více. Je tedy možné vyrobit solární kolektor, který má lepší vlastnosti
než dokonale černé těleso. Tentýž princip využívá i skleník.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
5
10
15
λ [µm]
20
25
30
Obr. 4: Planckova funkce odpovídající Slunečnímu záření a záření černého tělesa o teplotě 50 ◦ C (solárního kolektoru). Je
zřejmé, že ideální solární kolektor by měl pohltit co nejvíce Slunečního záření (tj. být černý až do 4 µm) a současně sám
zářit co nejméně, tj. od 4 µm by se měl chovat jako „lesklý“. Nejsnáze dostupný materiál, který alespoň částečně vykazuje
zmíněnou vlastnost, je zoxidovaný měděný plech.
Jak už to bývá, nikomu se nechce používat integrál. Proto, v rámci „zjednodušení“ bývá zaveden pojem šedé
těleso, u kterého je emisivita konstantní a nezávisí na vlnové délce. Výhoda je, že Stefan-Boltzmannovu konstantu
lze vynásobit jinou konstantou bez použití integrálu. Nevýhoda – veškeré informace jsou ztraceny. A krom toho vše
závisí na teplotě. Další marný pokus o zjednodušení můžeme vidět v samotných veličinách α a ε. Oba parametry
by měly být stejné, ale bývá podivným zvykem je udávat tak, že nejsou. Bývají totiž určeny jen jejich střední
hodnoty(?) na „vhodných“ rozsazích vlnových délek. Užitek z toho mají asi jen prodejci solárních kolektorů,
protože mohou uvádět zajímavé parametry. Existuje také pojem albedo, což je něco jako střední hodnota emisivity
(nebo pohltivosti) v rozsahu asi někde zhruba kolem viditelného záření, není-li řečeno jinak.
Není lepší umět integrovat?
12
Energie
Jaký je rozdíl mezi energií a výkonem? V čem se oboje měří? Kolik se platí za různé formy energie? Z čeho a jak se
energie „vyrábí“ v České republice (nebo i jinde) a na co se spotřebovává – pokud možno uveďte reálné hodnoty.
Uveďte několik příkladů, které se týkají přímo vás (např. výkon motoru vašeho auta, vyúčtování za plyn, váš
výkon při běhu do schodů atd.) Popište problémy související s pálením fosilních paliv, s uskladněním jaderného
odpadu, globálním oteplováním vlivem emisí CO2 a skleníkového efektu atd..
13
Download

Obsah 1 Částicová fyzika, ekvipartiční teorém