2.Maturitní úlohy – Algebraické výrazy
Uzavřené úlohy
1. Výraz
x
a)
2.
y
xy
Výraz
a) 2
x
y
y
x y
:
x
xy
x y
b)
x y
a 1
a 1
a 1
a 1
2
je za podmínek x
c)
x
x
y
y
je pro každé a
b) 2 a
c) a + 1
0, y
0, x
y roven :
e) x2 – y2
d) 1
0, a 1 roven :
d)
1
a
2
e)
1
a
2
3. Výsledkem násobení
x 4 2x 3 3x 2 4x 5 . 5x 4 4x 3 3x 2 2x 1
je mnohočlen, jehož koeficient u mocniny x4 je roven :
a) 25
b) 9
c) 55
d) 15
4. Výraz
1 x
a) 0
2
1
2
1 x
4
b)
x
1
2
e) 54
2
je pro každé x
c) 2x
R0 roven :
d) 4x
e) 4 x
5. Dvojčlen x2 + 5x doplníme na druhou mocninu lineárního dvojčlenu, jestliže
k němu přičteme člen :
5
25
5
25 2
25
a)
b)
c)
d)
e)
x
x
x
2
4
2
4
4
6. Mocnina 1
a) 5 7 2
2
3
je roven číslu :
b) 7 5 2
c) 7 5 2
d) 5 7 2
e)
7 5 2
6 6
6 x x 1
,
,
, ,
má pro x=7 nejmenší hodnotu ?
x x 1 x 1 6 6
6
6
x
x 1
b)
c)
d)
e)
x 1
x 1
6
6
7. Který z výrazů
a)
6
x
8. Místnost má délku x , šířku y a výšku a jsou v ní jedny obdélníkové dveře o
rozměrech a a b a dvě čtvercová okna se stranou délky n. Obsah tapety
potřebné k vytapetování stěn místnosti je :
a) 2xy 2xz 2 yz ab n 2
b) 2xz 2 yz ab 2n 2
c) 2 xy xy yz n 2 ab
d) xy 2 xy yz ab n 2
e) 2 xy xz yz xy ab 2n 2
9. Jestliže pro každé x
a)
b)
c)
d)
e)
V ( x)
V ( x)
V ( x)
V ( x)
V ( x)
x2
x
2
x2
x2
x2
3 , platí
x 2
x 3
V ( x)
, potom :
9 x2
x 6
x 6
x 6
x 6
x 6
10. Hodnota výrazu 0,04
a)
R , pro které x
1
5
1
6
3
je :
b) 5
c) 25
d) 50
1
1
2
y
x2
11. Výraz
je za podmínek x 0, y
1 1
y x
x y
x y
1 1
a)
b)
c)
xy
xy
y x
0, x
d)
e) 125
y roven :
1
x
1
y
e) x
y
12. Zahrada má tvar trojúhelníku, jehož první strana měří ( m + n ) metrů, druhá
strana je o ( n – 5 ) metrů kratší než první strana a třetí strana je o ( 2m + 5 )
metrů delší než druhá strana. Drátěný plot kolem celé zahrady bude mít
délku:
a) ( 3m + 2n ) metrů
b) ( 4m + n – 5 ) metrů
c) ( 5m + n + 15 ) metrů
d) ( 4m – 5 ) metrů
e) ( 4m + 5 ) metrů
13. Začínající dělník opracuje na fréze za x hodin 7 výrobků. Zkušený dělník
opracuje za (x+2) hodin 14 stejných výrobků. Zkušený dělník tudíž opracuje
za hodinu k-krát více výrobků než začínající dělník, kde :
2x
14
2x 2
a) k 2 b) k
c) k x d) k
e) k
x 2
x 2
x
b 1
14. Jestliže b
a) b-1
3, b
b) b – 2
5, b
c)
b 6 roven :
3
b 2
b 6
b 4
b 3
d)
e)
b 5
b 5
6, je výraz
b 5
b 4
6
15. V obchodě smíchali x kg ovocných bonbonů v ceně 50Kč za 1kg s ovocnými
bonbony jiného druhu v ceně 70Kč za 1kg, jejichž množství bylo o 2kg větší.
Jaká je cena 1kg směsi ?
60 x 70
60 x 70
30 x 35
30 x 35
30 x 35
a)
b)
Kč
Kč c)
Kč d)
Kč e)
Kč
x
x 1
2x 2
x 2
x 1
16. Výraz
a) 1
17. Výraz
a)
z 3
z
3 m 4 m
je pro každé m
2m 1 1 2m
1
b) -1
c)
2m 1
z2
z2
1
roven :
2
7
d)
2m 1
e)
7
2m 1
1
z
9
z 1
je pro každé z { -3; 0; 1; 3; } roven :
z 3z
z 3
z 3
z 3
z 3
b)
c)
d)
e)
2
2
2z
z
z
z
.
2
18. Harmonickým průměrem kladných čísel x,y se nazývá číslo
2
h( x, y )
.
1 1
x y
Harmonický průměr čísel
a)
a2
2 a 2b
b)
2a 2
4 a 2b
1
19. 15% z čísla
5
a)
2
3
, , kde a
b
c)
4
1,5.
1,6 .
15
27
200
20. Výraz
a
2
b)
a .3 a
0, b >0, je :
3a 2
6 a 2b
1
1
2
4a 2
8 a 2b
d)
2
2
27
100
7
9
e)
6a 2
12 a 2 b
je :
c) 3
d) 6
je pro každé a>0 roven :
a3 a
a) 1
b)
6
c)
a
3
3
a2
d)
a3
e)
1
6
a
2
a 3 6a ... pro všechna reálná čísla a, je
21. Má-li platit rovnost a
třeba doplnit pravou stranu o výraz :
3a 2 . 2 2 2
3a 2 . 2 4
a)
b)
c) 3a 2 . 2 2 2
3a 2 . 2 4
3a 2 4
d)
e)
3a 2
1
: 1
.
22. Je dán výraz V a
1 a
1 a2
Pro čísla V(-2), V(0), V(2) platí :
a) V(-2)<V(0)<V(2)
b) V(-2)<V(2)<V(0)
d) V(2)<V(-2)<V(0)
e) V(0)<V(-2)<V(2)
a
c) V(2)<V(0)<V(-2)
23. Jestliže pro kladné číslo x platí x x x x k , pak číslo k je rovno :
7
3
1
1
3
a)
b)
c)
d)
e)
8
8
64
8
2
24. Výraz
a)
x8 z
y4
x 2 y2z
x0 y 8
2
b)
2
:
x2 z3
x 4 y7
je za podmínek x
z
2 13
x y
x 2 y 11 z
c)
0, y
0, z
y 13
x2 z
d)
0 roven :
e)
x2 z
y 11
3 4 5 6
a
. . . . ……. .
9 čitatelé i
2 3 4 5
b
jmenovatelé zvětšují vždy o 1, potom je součet čísel a a b roven :
a) 11
b) 13
c) 17
d) 35
e) 37
25. Jestliže se k levé straně rovnosti
26. Mnohočlen, který po dělení mnohočlenem x+1 dává pro neúplný podíl x+3 a
zbytek -3, je roven :
a) x 2 4 x 6 b)x+3
c)x2+4x+3
d)x2+4x
e)x3+4x2
27. Za podmínek m
a)
m2
n2
m
0, m
b) m-n
n je výraz
c)
m4 n4
m n
. 2
roven :
2
2
m 2mn n m mn
m n
m
d)
m2 n2
m
e)
m n
m
28. Zahradní nádrž má tvar kvádru o rozměrech 2m, 3m a 4m. Zvětší-li se každý
její rozměr o z metrů, zvětší se objem nádrže o :
a) ( z3+10z2+30z + 24 ) m3
b) ( z3+9z2+26z + 24 ) m3
c) ( z3+10z2+30z ) m3
d) ( z3+9z2+26z ) m3
29. Označme V(x,y) hodnotu výrazu
x
y 5. x
x
y 5 .x
2
y 5
y 5
4
3
. Kolik z čísel V(-3;-3),
V(3;2) a V(-7;1) je kladných ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
30. Pro všechny přípustné hodnoty proměnných a,b je výraz
1
1
1
2
b a
2
b)
3
a) 1
b a
1
2
3a 2 b 1
: 2
a
a 1b
c) a2b
31. Jestliže pro čísla a 0, b
a) 3 : 4
b) 4 : 3
d)
0 platí 4 9a 13b
c) 3 : 5
32. Jestliže a : b : c = 3 : 1 : 5, je výraz
a)
4
5
b)
roven :
2
7
8
c)
a
e) 2 a
6 a 2b , potom poměr a : b je :
d) 5 : 3
2a 3b
roven :
4b 3c
11
9
d)
13
8
33. Pro čísla 250 , 330 , 520 platí :
a) 250 > 330 > 520
b) 330 > 250 > 520
d) 520 > 250 > 330
2b
9
19
c) 330 > 520 > 250
e) 520 > 330 250
34. V rovnosti mnohočlenů
čísla.Číslo a je rovno :
a) 1
b) 3
ax 1 . 3x b
6x 2
c) 0
cx 1 jsou a, b, c reálná
d) 2
e) 6
Otevřené úlohy
72 2m 2
.
m 2 4m 12
Určete podmínky, za kterých má výraz V(m) smysl.
Výraz V(m) zjednodušte.¨
Vypočtěte hodnotu výrazu V(m) pro m = -1.
Určete, pro která reálná čísla m má výraz V(m) hodnotu rovnu 0.
1. Je dán výraz V (m)
a)
b)
c)
d)
2. Určete číslo c tak, aby výraz
a) x=2
c 1 6x 2
měl hodnotu 3 pro
4x
b) x = 0
1
3.
a)
b)
4.
4 x c 1 12 x 2
Je dán výraz a12 b 3 6 .
Zjednodušte ho a uveďte podmínky, za kterých má smysl.
Vypočtěte hodnotu daného výrazu pro a
3,b 36.
Nechť t, u, v, x jsou reálná čísla, pro která platí
5t < 0,
t v > 0,
tuv 0, u + 3x = 0.
O každém z čísel t, u, v rozhodněte, zda pro ně z uvedených vztahů vyplývá, že
je kladné, popř. záporné, popř. nekladné, popř.nezáporné.
5. Na planině u Gízy se na rozloze 5 hektarů zdvíhá Chufeova pyramida.
a) Na vrchol pyramidy, který je ve výšce 147m, vede 490 schodů o stejné
výšce. O kolik cm by se zmenšila výška každého schodu, kdyby na vrchol
vedlo o 10 schodů více ?
b) Na vrchol pyramidy, který je ve výšce x metrů, vede y stejně vysokých
schodů. O kolik metrů by se zmenšila výška každého schodu, kdyby na vrchol
vedlo o z schodů více ? Kolik procent původní výšky schodu by tvořila výška
nového schodu ?
x
y
y
6. Výraz
1
x
n
1
y
n 1
N
x
vyjádřete ve tvaru
7.
, ve kterém x,y jsou nenulová reálná čísla a n
x
y
k
, kde k
N.
Určete množinu M všech reálných čísel y, pro která nabývá výraz
y
3y
3y
9y2
.
3 : 2
y 3 y 3
y 9
8. Zjednodušte výraz
a 1
hodnoty
a 1
4 a .
-1.
1
a
a 1
a 1
a
všech reálných čísel a, pro která má tento výraz smysl.
a určete množinu
9. a) Nechť n, n+1, n+2 jsou libovolná tři po sobě jdoucí přirozená čísla.
Ukažte, že jejich součet je dělitelný třemi.
b)Ukažte, že součet každých pěti po sobě jdoucích přirozených čísel je
dělitelný pěti.
c)Ukažte, že součet žádných čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel není
dělitelný čtyřmi.
10. Nechť a,b jsou reálná čísla, M= a+b, N = a-b, P= ab. Ověřte, že pro a=-52,
b=83 platí rovnost N2 = M2 – 4P.Najděte všechny dvojice reálných čísel a,b,
pro která platí rovnost N2 = M2 – 4P.
1
2
2
2
x 3x 2 x 2 x 1
podmínky, za kterých má smysl.
11. Výraz V ( x)
1
x 2
2
.
x 1
zjednodušte a uveďte
x 2
12. Je dán výraz
a)
b)
c)
d)
y3
y3
4y2
4y2
y 4
.
y 4
Určete definiční obor daného výrazu a výraz zjednodušte.
Vypočtěte hodnoty daného výrazu pro y=0 a pro y=4.
Pro která reálná čísla y je hodnota daného výrazu záporná ?
Pro která reálná čísla y je hodnota daného výrazu rovna jedné ?
13. a) Kolik litrů rozpouštědla je třeba přidat do 56 litrů 96procentního roztoku,
abychom dostali 84procentní roztok ?
b) Kolik litrů rozpouštědla je třeba přidat do a litrů p-procentního roztoku,
abychom dostali q-procentní roztok ( 0 < q < p )?
14. a) Najděte výraz V(a) , po jehož vydělení výrazem a4 + 3a2 – 10 dostaneme
výraz a2 + 5.Určete, pro která a R je možné dělení provést.
b)Najděte výraz W(a) , po jehož vynásobení výrazem a4 + 3a2 – 10
dostaneme výraz a7 + 3a5+ 3a4 – 10a3 + 9a2-30. Určete, pro která a R je
možné násobení provést.
15. a) Zjednodušte výraz
x2
y
x2 y
xy 2
xy
x3
x2
: 2
y2
y
y2
x2
a určete podmínky,
za nichž má smysl.
b)Výsledek úlohy a) ověřte pro x=2, y=1.
3
16. Je dán výraz x y
x3 y3 .
a) Rozložte ho na součin mnohočlenů co nejnižších stupňů.
b) Určete podmínky, za nichž má daný výraz hodnotu nula.
c) Zakreslete v soustavě souřadnic Oxy množinu všech bodů x, y , pro které
3
platí x y
x 3 y 3 0.
17. Rozměry kvádru jsou (x-2) metrů, (x+1) metrů, (2x+3) metrů, x> 2.
a) Určete mnohočleny, které vyjadřují objem V a povrch S tohoto kvádru.
b) Vypočítejte objem a povrch kvádru pro x= 4,5.
c) Určete všechny hodnoty x, pro něž je uvažovaný kvádr pravidelným
čtyřbokým hranolem.
Download

2.Maturitní úlohy – Algebraické výrazy