1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
Dovednosti:
1. Na konkrétních příkladech mnohočlenů s jednou proměnnou umět
aplikovat pojmy: člen, koeficient, stupeň mnohočlenu; u kvadratického
trojčlenu umět jednotlivé členy pojmenovat.
2. Umět mnohočleny sčítat, odčítat, násobit a v jednodušších případech i
dělit.
3. Ovládat zpaměti vzorce pro druhou a třetí mocninu dvojčlenu a umět je
používat:
(a ± b)2 , (a ± b)3
4. Umět rozkládat mnohočleny na součin činitelů vytýkáním nebo užitím
vzorců:
a2 – b2 , a3 ± b3 , (a ± b)2
5. Umět zpaměti rozkládat na součin lineárních dvojčlenů jednoduché
kvadratické trojčleny.
6. Ovládat početní operace s racionálními lomenými výrazy a určování jejich
definičních oborů. Vědět,že při úpravách racionálních lomených výrazů je
nutnou součástí řešení úloh určení podmínek, za nichž mají provedené
úpravy smysl.
Úlohy:
1. Upravte:
a) 2a4 –{2a + [3a2 – 2a4 + (2a4 – 2a2 + 7a) – 2a] + 3a2} =
b) 12x2y – 4xy2 – [17x2y – ( 15xy2 – 8x2y) + 12xy2] =
c) (x + y).x – (x – y).y =
d) (r – 3s).4 – [(-4).(s + r) + 4s] =
e) 3.(c – 3d) – {2.(c – 5d) –[- (- 2c +d) + 6.(- c)]} =
f) (k – 3).(4 – 5k ) + (k – 5).(-8) =
g) x.(x + 2a) – {x.a – [a2 – (x +a).a] } =
h) (2x – 3).(2x + 3) + (3x + 2)(3x – 2) + (2x + 3)2 =
ch) (2p – o).[p.(4p + o) + o.(p + o)] =
i) (6a2 – 3a + 1).(a + 2) – [2a.(3a2 + 5) + 5a.(-3)] =
j) (7 – b).(-2).(b + 7) – [(b + 2)2 + (b – 3).(b + 3)] =
[ a) 2a4 – 4a2 – 7a ; b) -13x2y – xy2 ; c) x2 + y2 ; d) 8r – 12s ; e) -3c ;
f) 28 + 11k – 5k2 ; g) x2 ; h) 17x2 + 12x – 4 ; ch) 8p3 – o3 ; i) 9a2 + 2 ;
j) 4b – 93]
1
2. Umocněte:
2
a) (-0,5k – 2)
3
f) (x – 0,1)
3 2 
b)  − p 
2 3 
 x

g)  − − y 
 3

2
3
-2
b
a
d)  2 − 3 
a 
b
2
c) (m + 2m)
p

h)  2 p −1 + 
3

3
2
e)
 k
1 

ch) 
−

3
k


3
(
a −2 b
)
2
 3a 2 2b3 

i) 
−
b
a


3
1
4
4 2
9
a2
2
b2
2
[a) 0,25k + 2k +4 ; b) p − 2 p + ; c) 4 + + 4m ; d) 4 − 2 + 6 ;
9
4
m
m
b
ab a
3
2
x
x y
e) a − 4 ab + 4b ;f) x3 – 0,3x2 + 0,03x – 0,001; g) −
−
− xy 2 − y 3 ;
27
3
3
p
8 4 3
k k
k
k
1
h) 3 + + p +
; ch)
−
+
−
;
p
p 2
27
27
k
3 k
k k
i) 27 a 6b −3 − 54a 3b + 36b5 − 8a −3b 9 ]
2
3. Dělte:
[-3a4 + 4a – 2a-3; a ≠ 0]
3
[3n – 2; n ≠ − ]
2
5
[ 4a 2 + 4a − 1 +
;a ≠ 1]
3a − 3
38
[-k2 – 4 ;k ≠ 10 ]
k − 10
a) (6a7 – 8a4 + 4) : (-2a3) =
b) (6n2 + 5n – 6) : (2n + 3) =
c) (12a3 – 15a + 8) : (3a – 3) =
d) (10k2 – k3 – 4k + 2) : (k – 10) =
4. Jakou hodnotu má výraz 5abc – {2a2b – [3abc – (4ab2 – a2b)]} pro a = -2, b = -2, c = -4 ?
[ -88 ]
5. Místnost má délku x, šířku y a výšku z a jsou v ní jedny obdélníkové dveře o rozměrech
a a b a dvě čtvercová okna se stranou délky n . Jakým obecným výrazem je dán obsah
tapety potřebné k vytapetování stěn místnosti ?
[2xz + 2yz – ab – 2n2]
6. Rozložte na součin:
a) 64x2 – 36y2
b) 12a2b4 – 44ab3 + 20a3b3
c) (3x – 5).m – 7.(3x – 5)
d) (x + y)2 – z2
e) c.(2y – 9) – 6k.(9 – 2y)
f) 9m2 + 6mk + k2
[(8x + 6y).(8x – 6y)]
[4ab3.(3ab – 11 + 5a2)]
[(3x – 5).(m – 7)]
[(x + y + z).(x + y – z)]
[(2y – 9).(c + 6k)]
[(3m + k).(3m + k)]
2
g) 0,008 + c3
h) 25r2 – (7 + r)2
ch) (6 + m)3 – 8m3
i) 4x2 + 4xy + y2 – 1
j) 5x – 2ax – 10a + 25
k) 27x6y2 – 64y5
[ (0,2 + c).(0,04 – 0,2c + c2)]
[(6r + 7).(4r – 7)]
[(6 – m).(36 + 24m + 7m2)]
[(2x + y + 1).(2x + y – 1)]
[(5 – 2a).(x + 5)]
[y2.(3x2 – 4y).(9x4 + 12x2y + 16y2)]
7. Zapište definiční obory výrazů:
a)
f)
3a
a −7
b)
2
5 − 2x
x +1
g)
5−a
a2 − a
x2 − 5x + 6
c)
4m + 2
4m 2 + 1
2x − 7
29 − 4 x
h)
d)
ch)
3x + 2 y
2x − 3 y
e) −
8z
zy − 2 y
10 − 7 x
+ 1− x
x 2 − 25
3
y }; e) Dz= R –{2},
2

5
7 29 
Dy= R – {0}; f) D = (− ∞;−1) ∪  − 1; ; g) D = (− ∞; 2 ∪ 3; ∞ ) ; h) D =
; ;
2
2 4 

ch) D = (− ∞;−5) ∪ (− 5;1 ]
[a) D = R – { ± 7 }; b) D = R – {0;1}; c) D = R; d) Dx= R – {
8. Zjednodušte a uveďte podmínky:
5m + 10n
a)
3m + 6n
8 y − 2 y3
3 y 2 − 12
f)
b)
(3m )3 o5 (a − b )2
9m3o 7 (a − b )
10rs − 14rt
c)
20 s − 28t
g)
2 x 2 − 18
27 − 18 x + 3 x 2
h)
2 x 2 − 8x + 8
4x − 8
x2 + 5x
d) 2
x − 25
ch)
e)
n−9
81 − n 2
(a − 4)2 − 25
a 3 + 2a 2 + a
5
3(a − b )
r
7
x
; m ≠ −2n ; b)
; m, o ≠ 0, a ≠ b ; c) ; s ≠ t ; d)
; x ≠ ±5 ;
2
3
o
2
5
x−5
−1
2y
2( x + 3)
x−2
e)
; n ≠ ±9 ; f) −
; y ≠ ±2 ; g)
; x ≠ 3 ; h)
;x ≠ 2;
9+n
3
3( x − 3)
2
a−9
ch)
; a ≠ 0, a ≠ −1 ]
a (a + 1)
[a)
9. Zjednodušte, uveďte podmínky:
2x2 y − y
− xy =
x
r+s
1
− =
c) 2
r + rs r
a)
2s
−2=
r+s
x2 + y2 x − y
d) 2
−
=
x − y2 x + y
b)
3
5
x−2
x −1
− 2
+
=
x − 3 x − 9 2x + 6
y −1
y −3
y+2
g) 2
− 2
− 2
=
y + y y −1 2y + 2y
e)
(
3+ a
3−a
+
=
2
a − 4 (a − 2 )2
1
6
5
h)
+ 2
−
+1 =
3+b b −9 3−b
f)
)
y x2 − 1
2r
2 xy
[a)
; x ≠ 0; b) −
; r ≠ s ; c) 0; r ≠ 0, r ≠ − s ; d) 2
;x ≠ ±y ;
x
r+s
x − y2
x 2 + 4 x + 37
x+3
2a
; x ≠ ±3 ; f)
; a ≠ ±2 ; g)
x ≠ 0, x ≠ ±1;
2
2
2 x −9
2(x 2 − 1)
(a + 2)(a − 2)
b+3
h)
; b ≠ ±3 ; ]
b−3
e)
(
)
10. Vypočtěte, uveďte podmínky:
2a   1 
 1
a) 
− 2
. − 1 =
 a + 1 a −1  a 
x4 − y 4
x− y
⋅ 2
=
c) 2
2
x − 2 xy + y x + xy
b)
(
)
x2
⋅ xy − y 2 =
2
2
x −y
 x
  x

d) 
− 1 ⋅ 
+ 1 =
 x +1   x +1 
z 2 − 36
z2 + 6z
z 4 − 1296
f) 2
⋅ 2
⋅
=
z + 36 z − 12 z + 36 ( z + 6 )2
 x
y  x 2 + xy
 ⋅ 2
e) 
−
=
2
x− y x+ y x + y
3b − 1   1 
 b
g) 
− 2
 ⋅ 1 +  =
 b −1 b −1  b 
 x2 − x + 1 y2 − 1  2 3
⋅ x y =
h) 
−
3
xy 3 
 x y
−1

v2   1 + v2 
 ⋅
 =
i) 1 +
2  
2 
 1− v  1− v 
1 
a 
1 
b 
ch)
⋅ 1 +
⋅ 1 +
−
=
a−b  a+b a+b  a−b
x2 − c2 x2 − y 2 
xc 
j)
⋅
x+
=
2 
x + y xc + c 
x−c
1
x2 y
x2 + y2
[a) ; a ≠ 0, a ≠ ±1 ; b)
; x ≠ ± y ; c)
; x ≠ 0, x ≠ ± y ;
a
x+ y
x
− 2x − 1
x
b −1
d)
; x ≠ −1 ; e)
; x ≠ ± y ; f) z(z+6);z ≠ ±6 ; g)
; b ≠ 0, b ≠ ±1 ;
2
x− y
b
(x + 1)
x 2 + y 2 − xy 2
1
1
; x ≠ 0, y ≠ 0 ; ch)
; a ≠ ±b ; i)
; a ≠ ±1 ;
x
a−b
1 + v2
x 2 (x − y )
j)
; x ≠ ± c, x ≠ − y , c ≠ 0 ]
c
h)
11. Zjednodušte, uveďte podmínky:
32a 2bx 16ab 2 x 2
:
=
a)
4ac 3d 14ac 4 d 2
5ab5 x
b)
: 15abx =
2cy
4
c)
2a 2 − 2ab 4a 2 − 4b 2
=
:
xy 2
6 x2 y
e)
x 2 − 16 20 − 5 x
=
:
2x4
10 x 3
(
d)
3a 2 + 12a + 12 6a + 12
=
: 2
a−2
a −4
x  1+ x

f) 1 +
=
:
 1− x  1− x
 2x 2 y   y
x 
 :  2
=
h)  −
−
x   x − xy xy − y 2 
 y

1 − 2a 2
 1
 
i) 
− 1 :  a −
+ 1 =
1− a
1− a  

)
1 1
g)  −  : a 2 − ab =
b a
 m 3   m + 3 m + 3
ch)  −  : 
−
=
3 
 3 m  m
 s
3
s2 
3
: 3
j) 
−
+
=
2 
 s − 6 s + 6 36 − s  s − 216
b
b
 a
  a

l) 
+
+ 1 : 
−
+ 1 =
a+b a−b  a−b a+b 
k)
no + o 2 n + o
o
:
−
=
2
5n − 5no 5n
n−o

4 pq 
1
 : 2
m)  p + q −
=
p + q  p − q2

4a
a 
 a
n) 6a + 
−
=
: 4
3
 a − 2 a + 2  a − 2a + 8a − 16
[
a)
7 acd
b
3ax
; a, b, c, d , x ≠ 0 ; b)
; a, b, c, x, y ≠ 0 ; c)
; x, y ≠ 0, a ≠ ±b ;
bx
6cy
y (a + b )
(a + 2)2 ; a ≠ ±2; e) x + 4 ; x ≠ 0, x ≠ 4;
1
1
; x ≠ ±1; g) 2 ; a, b ≠ 0, a ≠ b;
2
−x
1+ x
ab
1
h) 2 ( y − x ); x, y ≠ 0, x ≠ y; ch) − 1; m ≠ 0, m ≠ ±3 ; i) ; a ≠ 0, a ≠ 1 ;
a
2
j) s + 6s + 36; s ≠ ±6 ; k) 0; n ≠ 0, n ≠ ± o ; l) 1; a ≠ ±b, a ≠ 0 ;
d)
f)
m) ( p − q ) ; p ≠ ± q ; n) (a + b ) ; a ≠ 0, a ≠ ±2 ]
3
2
12. Zjednodušte , uveďte podmínky:
6a 2v 5
3
a) 5v2 =
4a v
b)
−
1
=
x2
7a
c)
12ab
3 xy
=
6ax
9by
r +3
d) rs =
2r + 6
s
ax + ay
xy
e)
=
5x + 5 y
x
p +1
f) 25m =
p +p
u 2 − v2
(u + v )2 =
g)
4u − 4v
3u + 3v
x+4
h) 2 x − 4
=
x + 8 x + 16
mn + n 2
mn − m 2
ch)
=
mn + m 2
m 2 − 2mn + n 2
2x2 − 2x + 2
x 2 − 25 =
i)
x3 + 1
x2 − 4x − 5
a+b
+1
j) a − b
=
a+b
−1
a−b
m
n =
k)
m2
n−
n
5
1+
a+2
2
l) a
=
1 4
−
a a3
2y
9 + y2
−
3 − y 9 − 3y
p)
1 1
−
6 2y
n
3
−1+
4n =
m) 4
n 6 1
− +
2 n 2
q)
1−
a−b
1
1−
x
1
−1+
x =
n) 4
x+2 x−2
⋅
x
4
r+s r−s
−
o) r − s 2 r +2 s =
r +s
1− 2
r − s2
a2 a
−
2
2
b
b :a =
r) 2
a + b2
b
−2
ab
=
1
a+b
2
 x y  1 1 
 + + 1 − 
y x  x y 
s)  2
=
x
y2  x y 
+
− + 
y 2 x 2  y x 
x2
+1
2
1
−
x
1
t)
:
=
x
x
+
1
1−
x −1
7a
− 6b 2
3v
1
[a)
, v, a ≠ 0 ; b) 2 , x, a ≠ 0 ; c)
, a, b, x, y ≠ 0 ; d)
, r, s ≠ 0 ;
2
10
x
x
2r
a
1
3
1
e)
, x, y ≠ 0, x ≠ − y ;f)
, m, p ≠ 0, p ≠ −1 ; g) , u ≠ ± v ; h) 2
, x ≠ ±4 ;
5y
5mp
4
x − 16
− n(m − n )
2
a
ch)
, m ≠ 0, m ≠ ± n ;i)
, x ≠ ±5, x ≠ −1 ; j) , a ≠ b, b ≠ 0 ;
2
m
x+5
b
1
a
n −1
k)
, n ≠ 0, n ≠ ± m ; l)
, a ≠ 0, a ≠ ±2 ;m)
, n ≠ 0, n ≠ −4 ;
n−m
a−2
2(n + 4 )
x−2
− 2r
n)
, x ≠ 0, x ≠ ±2 ; o)
, s ≠ 0, s ≠ ± r ; p) 2 y, y ≠ 0, y ≠ 3 ;
x+2
s
1
1
q) − a 2 + a + b 2 − b, a ≠ −b, a ≠ 1 − b ; r)
, a, b ≠ 0, a ≠ b ; s)
, x, y ≠ 0, x ≠ y ;
a−b
xy
t) 1, x ≠ ±1]
 9 n  3 1 1
13. Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n je hodnota výrazu  2 +  :  2 − + 
n 3
3 n
n
přirozené číslo.
[ 3 + n; hodnota výrazu je přirozené číslo ]
14. Dokažte, že pro libovolné číslo k ∈ Z – {-3; 3} je hodnota výrazu

k 2 + 9   2k
4k 
 k −
 ⋅ 
+
 sudé číslo.
k + 3   3 k − 3

15. Určete všechna celá čísla z, pro která je hodnota výrazu
2 z   1  3z − 1
 1
− 2

 ⋅  − 1 + 2
 z +1 z −1  z  z + z
6
[ 2k; je to sudé číslo ]
rovna celému číslu.
4
je roven celému číslu právě tehdy, když celé číslo |z + 1| je dělitelem
z +1
čísla 4, tj. když z + 1 ∈ {-4;-2;-1;1;2;4}, neboli z ∈ {-5;-3;-2;0;1;3}. Protože však
z ≠ 0, z ≠ ±1 , je hodnota výrazu rovna celému číslu pro z ∈ {-5;-3;-2;3} ]
[ výraz
75 − 3a 2
16. Je dán výraz V(a) = 2
.
a − 2a − 15
a) Určete, za jakých podmínek má výraz V(a) smysl.
b) Zjednodušte výraz.
c) Vypočtěte hodnotu výrazu V(a) pro a = -2 .
d) Určete, pro která reálná čísla a je hodnota výrazu V(a) rovna nule.
[a) a ∈ R − {5;−3}; b) −
17. Určete reálné číslo c tak, aby výraz
4 x + c 1 + 12 x 2
c 1 + 6x2 − 4x
15 + 3a
; c) -9; d) a = -5 ]
a+3
měl hodnotu 3 pro:
a) x = 2 ,
b) x = 0 .
[c = 4]
[c neexistuje]
18. Upravte a správnost výsledku ověřte pro x = -1, y = 2 :

x2   2 y y2 
1 + 2  ⋅ 1 −
+ 2 
y
x
x 

 
4
4
x −y
x2 y 2
[
x− y
; x, y ≠ 0, x ≠ ± y
x+ y
]
19. Upravte daný výraz a dosazením ověřte správnost výsledku pro nejmenší přirozené číslo
z definičního oboru výrazu:
a−2
a
+
1+ a
⋅ a 2 2−a
a −1
a+2
a2 − 4
4
[ − ; a ≠ 0;1;−1;2;−2; správnost výsledku ověvěřujte pro číslo 3 ]
a
7
Download

01. Algebraické výrazy