ˇ ych
Dvac´ıtka rˇesen
´
uloh
´
v programu GeoGebra
Toma´ sˇ Mikulenka
leden 2012
´ vznikl jako souˇcast
´ grantoveho
´
´
ˇ r´ızˇ
Tento v´yukov´y material
projektu Gymnazia
Kromeˇ
´
´
´ v letech 2009–2012. Projekt je
s nazvem
Beznakladov
e´ ICT pro uˇcitele realizovaneho
ˇ
´ z Evropskeho
´ socialn´
´ ıho fondu a statn´
´ ıho rozpoˇctu Cesk
spolufinancovan
e´ republiky.
Obsah
Konstrukˇcn´ı u
´lohy
3
Vlastnosti troj´
uheln´ıka a ˇctyˇru
´heln´ıka
6
Shodn´a a podobn´a zobrazen´ı
8
Kuˇzeloseˇcky
12
Funkce zadan´e parametricky a pol´arn´ımi souˇradnicemi
14
Smˇernice teˇcny, extr´emy funkce
16
Obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami
17
Z´aklady vyˇsˇs´ı algebry – matice
19
Soustavy rovnic
21
Pythagorova vˇeta – dynamick´
y model
22
GeoGebra ve fyzice – skl´ad´an´ı kmit˚
u
24
Jak by Karel May vysvˇetlil, proˇc se svˇetlo l´ame
25
Modelov´an´ı mechanick´
ych zaˇr´ızen´ı – pohyb p´ıstu
28
Literatura
32
Pˇredmluva
V´
yukov´
ych materi´al˚
u a postup˚
u se na webu GeoGebry www.geogebra.org
nach´az´ı velk´e mnoˇzstv´ı, ale jen m´alo z nich je ˇcesky. K urˇcit´emu zaplnˇen´ı t´eto
mezery m˚
uˇze pˇrispˇet n´asleduj´ıc´ı mal´
y pr˚
uvodce. Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh m´a
pomoci z´ıskat uˇzivateli pˇrehled o moˇznostech GeoGebry a jej´ım uplatnˇen´ı ve
v´
yuce matematiky, fyziky ˇci technick´
ych obor˚
u na naˇsich ˇskol´ach.
Pro nov´eho uˇzivatele GeoGebry bude uˇziteˇcn´e nejprve si pˇreˇc´ıst struˇcn´
y n´avod
Markuse Hohenwartera GeoGebra – rychl´
y start (ˇcesk´
y pˇreklad je ke staˇzen´ı na www.gymkrom.cz/ict, sekce Materi´
aly). Vˇsichni z´ajemci jistˇe ocen´ı
i dalˇs´ı uk´azky ˇreˇsen´
ych u
´loh, napˇr. v rozs´ahl´e publikaci [1] (viz Literatura).
Tom´aˇs Mikulenka, leden 2012
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Konstrukˇ
cn´ı u
´ lohy
´
Uloha
1
Sestrojte troj´
uheln´ık ABC, je-li d´ano: c = 6, va = 3,5, vb = 5,5.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Paty v´
yˇsek A1 a B1 budou leˇzet na Thaletovˇe kruˇznici sestrojen´e nad z´akladnou c = AB
troj´
uheln´ıka. K vyˇreˇsen´ı u
´lohy staˇc´ı n´asleduj´ıc´ıch
osm krok˚
u: (1) z´akladna c = 6 cm; (2) kruˇznice
k1 ≡ (A, va = 3,5 cm); (3) kruˇznice k2 ≡ (B, vb =
5,5 cm); (4) Thaletova kruˇznice kT ≡ (SAB , 2c =
3 cm); (5) pr˚
useˇc´ıky: A1 = k1 ∩ kT , B1 = k2 ∩ kT ;
(6) polopˇr´ımky: p = 7→ AB1 , q = 7→ BA1 ; (7)
vrchol C = p ∩ q; (8) doplnˇen´ı ∆ABC.
Postup
´ cka dan´e
1. Do N´akresny libovolnˇe um´ıst´ıme bod A a s vyuˇzit´ım n´astroje Useˇ
d´elky z bodu vytvoˇr´ıme u
´seˇcku d´elky 6 cm.
2. Kruˇznici k1 zad´ame do Vstupn´ıho pole z´apisem k_1 = Kruznice[A, 3.5]
nebo pomoc´ı ikony (n´astroje) Kruˇznice dan´a stˇredem a polomˇerem.
3. Pˇrid´ame kruˇznici k2 : z´apis k_2 = Kruznice[B, 5.5]) nebo pomoc´ı ikony.
4. Najdeme stˇred u
´seˇcky AB a vytvoˇr´ıme nad n´ı Thaletovu kruˇznici kT .
To provedeme bud’ pomoc´ı n´astroj˚
u Stˇred a Kruˇznice dan´a stˇredem
a bodem nebo postupn´
ym z´apisem do Vstupn´ıho pole S = Stred[A, B]
a k_T = Kruznice[S, SA]).
5. Pr˚
useˇc´ıky kruˇznic – z´apisy do Vstupn´ıho pole: A_1 = Prusecik[k_1, k_T]
a B_1 = Prusecik[k_2, k_T] nebo n´astrojem Pruseˇc´ık dvou objekt˚
u.
–3–
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
6. Sestroj´ıme polopˇr´ımky p, q: myˇs´ı pˇres ikonu Polopˇr´ımka nebo z´apisy do
Vstupn´ıho pole: p = Poloprimka[A, B_1] a q = Poloprimka[B, A_1].
7. Dopln´ıme vrchol C troj´
uheln´ıka jako pr˚
useˇc´ık polopˇr´ımek p, q: n´astrojem
Pruseˇc´ık dvou objekt˚
u nebo z´apisem C = Prusecik[p, q].
8. Body A, B, C spoj´ıme n´astrojem Mnoho´
uheln´ık – postupnˇe klikneme na
A, B, C, A. Nebo struˇcnˇeji z´apisem Mnohouhelnik[A, B, C].
´
Uloha
2
Sestrojte lichobˇeˇzn´ık ABCD (AB || CD), je-li d´ano: a = 6; c = 2,5; v = 3,2; β = 75◦ .
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Konstrukce lichobˇeˇzn´ıka (zkr´acen´
y z´apis): (1) z´akladna a = AB = 6 j; (2)
u
´hel α = 75◦ ; (3) rovnobˇeˇzka r || a ve
vzd´alenosti v´
yˇsky v od a; (4) pr˚
useˇc´ık
ramene u
´hlu α s rovnobˇeˇzkou r → D;
(5) kruˇznice k ≡ (D, c = 2,5 j); (6)
bod C = k ∩ r; (7) doplnˇen´ı na
lichobˇeˇzn´ık ABCD.
Postup
´ cka dan´e
1. Do N´akresny libovolnˇe um´ıst´ıme bod A a s vyuˇzit´ım n´astroje Useˇ
d´elky z bodu vytvoˇr´ıme u
´seˇcku AB d´elky 6 j.
´
2. N´astrojem Uhel
dan´e velikosti klikneme na B a A, do nab´ıdnut´eho pol´ıˇcka
zad´ame poˇzadovan´
ych 75◦ a zvol´ıme proti smˇeru hodin“.
”
–4–
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
3. Dokonˇc´ıme rameno u
´hlu α (z´apisem p = Poloprimka[A, B’] nebo n´astrojem Polopˇr´ımka; bod B 0 vznikl automaticky v pˇredchoz´ım kroku).
4. Vztyˇc´ıme kolmici na z´akladnu a v bodˇe B: z´apisem m = Kolmice[B, a] do
Vstupn´ıho pole nebo pomoc´ı n´astroje Kolmice.
5. Abychom mohli sestrojit rovnobˇeˇzku r ve vzd´alenosti v´
yˇsky v = 3,2 j od
z´akladny, pouˇzijeme kruˇznici: (z´apis k = Kruznice[B, 3.2] nebo ikona).
6. V pr˚
useˇc´ıku M = m ∩ k (z´apis M = Prusecik[m, k]) sestroj´ıme rovnobˇeˇzku
r se z´akladnou a (z´apis r = Primka[M, a] nebo pomoc´ı ikony).
7. Vrcholem D lichobˇeˇzn´ıka bude pr˚
useˇc´ık rovnobˇeˇzky r s ramenem u
´hlu α
(z´apis D = Prusecik[r, p] nebo n´astrojem Prusecik ).
´ cka dan´e d´elky z bodu naneseme na ro8. Posledn´ı vrchol C: n´astrojem Useˇ
vnobˇeˇzku r vzd´alenost DC = c = 2,5 j.
9. Doplnˇen´ı na lichobˇeˇzn´ık: n´astrojem Mnoho´
uheln´ık postupnˇe klikneme na
A, B, C, D, A. Nebo tak´e z´apisem Mnohouhelnik[A, B, C, D].
10. Lichobˇeˇzn´ıku nastav´ıme vhodnou barvu, tlouˇst’ku ˇcar a sytost v´
yplnˇe.
Vˇsechny pomocn´e konstrukce m˚
uˇzeme skr´
yt.
–5–
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Vlastnosti troj´
uheln´ıka a ˇ
ctyˇ
ru
´ heln´ıka
´
Uloha
3
Sestrojte troj´
uheln´ık ABC pomoc´ı vˇety sss. Demonstrujte na nˇem z´akonitosti troj´
uheln´ıkov´e nerovnosti.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
1. Definujeme tˇri posuvn´ıky a, b, c v rozsahu od 1 do 5, krok 0.1 a nech´ame
je zobrazit v N´akresnˇe.
´ cka dan´e d´elky z bodu klikneme do N´akresny a zad´ame d´elku
2. N´astrojem Useˇ
´
c. Useˇcku pojmenujeme AB (z´akladna c troj´
uheln´ıka).
3. Kruˇznici k ≡ (A, b) z´ısk´ame z´apisem k = Kruznice[A, b] do Vstupn´ıho pole
nebo n´astrojem Kruˇznice dan´a stˇredem a polomˇerem.
4. Stejn´
ym zp˚
usobem vytvoˇr´ıme kruˇznici l ≡ (B, a). V pr˚
useˇc´ıku obou kruˇznic bude vrchol C troj´
uheln´ıka.
5. N´astrojem Mnoho´
uheln´ık dokonˇc´ıme konstrukci troj´
uheln´ıka ABC. Nastav´ıme jeho vlastnosti a skryjeme pomocn´e objekty.
6. Do N´akresny vloˇz´ıme informativn´ı text popisuj´ıc´ı troj´
uheln´ıkovou nerovnost: a + b > c. Pro lepˇs´ı vzhled m˚
uˇzeme zatrhnout volbu LATEX vzorec.
Velikosti jednotliv´
ych stran troj´
uheln´ıka ovl´ad´ame pˇres posuvn´ıky a, b, c. V okamˇziku, kdy
pˇrestane platit nˇekter´a z troj´
uheln´ıkov´
ych nerovnost´ı a + b > c, a + c > b nebo b + c > a,
zmˇen´ı se troj´
uheln´ık na u
´seˇcku.
Model se d´a vylepˇsit pˇrid´an´ım dvou rovnobˇeˇzek: na jednu z nich naneseme za sebou d´elky
dvou stran troj´
uheln´ıka, na druhou pak d´elku tˇret´ı strany. Budeme tak moci l´epe sledovat,
zda troj´
uheln´ıkov´a nerovnost plat´ı nebo je poruˇsena.
–6–
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
´
Uloha
4
Sestrojte tˇetivov´
y ˇctyˇru
´heln´ık
ABCD a ukaˇzte na nˇem platnost
Ptolemaiovy vˇety:
e·f =a·c+b·d
kde e, f jsou u
´hlopˇr´ıˇcky tˇetivov´eho ˇctyˇru
´heln´ıka a a, b, c, d jsou
jeho strany.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
1. Do N´akresny um´ıst´ıme kruˇznici se stˇredem S (pro jednoduchost v poˇc´atku
souˇradnicov´eho syst´emu) o polomˇeru napˇr. 3 cm.
2. Na tuto kruˇznici rozm´ıst´ıme pˇribliˇznˇe rovnomˇernˇe ˇctyˇri body K, L, M, N .
3. N´astrojem Kruhov´y oblouk proch´azej´ıc´ı tˇremi body vytvoˇr´ıme na kruˇznici
postupnˇe oblouky s krajn´ımi body KL, LM , M N a N K.
4. Na oblouk KL um´ıst´ıme vrchol A ˇctyˇru
´heln´ıka, podobnˇe na oblouk LM um´ıst´ıme
vrchol B, na oblouk M N vrchol C a na oblouk N K vrchol D. T´ımto postupem
zajist´ıme, ˇze vrcholy A, B, C, D, kter´e se mohou pohybovat v mez´ıch pˇr´ısluˇsn´eho
oblouku, budou st´ale tvoˇrit vrcholy tˇetivov´eho ˇctyˇru
´heln´ıka ve spr´avn´em poˇrad´ı.
5. N´astrojem Mnoho´
uheln´ık vytvoˇr´ıme ˇctyˇru
´heln´ık ABCD, zviditeln´ıme
jeho u
´hlopˇr´ıˇcky (´
useˇcky e = AC, f = BD), skryjeme pomocn´e objekty.
6. Definujeme ˇc´ısla u = e · f a s = a · c + b · d z´apisem do Vstupn´ıho pole.
Pomoc´ı n´astroje Vloˇzit text um´ıst´ıme obˇe tyto hodnoty do N´akresny.
I kdyˇz r˚
uznˇe pˇremist’ujeme vrcholy tˇetivov´eho ˇctyˇru
´heln´ıka ABCD po obvodu kruˇznice,
souˇcin u
´hlopˇr´ıˇcek e · f se vˇzdy rovn´a souˇctu souˇcin˚
u protilehl´
ych stran a · c + b · d.
–7–
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Shodn´
a a podobn´
a zobrazen´ı
´
Uloha
5
Kovboj hl´ıd´a st´ado kon´ı (K). Naveˇcer je
m´a zahnat do ohrady (O), ale pˇredt´ım je
m´a napojit u ˇreky (pˇr´ımka r). Najdˇete
optim´aln´ı polohu napajedla (bod N ∈ r)
tak, aby celkov´a d´elka cesty a + b byla
minim´aln´ı. (Body K, O leˇz´ı na stejn´e
stranˇe ˇreky.)
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Pokud pracujeme s mladˇs´ımi ˇza´ky, kteˇr´ı jeˇstˇe neznaj´ı osovou soumˇernost, je to pro nˇe
probl´emov´a u
´loha, kterou s nimi m˚
uˇzeme vymodelovat:
1. Do N´akresny um´ıst´ıme pˇr´ımku – n´astroj Pˇr´ımka. Pˇr´ımku pˇremenujeme
na r a tvoˇr´ıc´ı body pˇr´ımky A, B skryjeme.
2. N´astrojem Nov´y bod um´ıst´ıme na pˇr´ımku r bod N , do sten´e poloroviny
vzhledem k r tak´e pˇrid´ame body K a O.
´ cka
3. Zn´azorn´ıme obˇe cesty: u
´seˇcka a = KN , u
´eˇcka b = N O; n´astroj Useˇ
dan´a dvˇema body nebo z´apis a = Usecka[K, N], b = Usecka[N, O].
4. Zmˇeˇr´ıme d´elku u
´seˇcky a a u
´seˇcky b: n´astrojem Vzd´alenost klikneme na
u
´seˇcku a a na u
´seˇcku b.
5. Definujeme souˇcet d´elek ve Vstupn´ım poli: c = a + b. Pak zobraz´ıme celkovou d´elku cesty n´astrojem Vloˇzit text, kam zad´ame: "a+b = "+c
V tomto jednoduch´em modelu lze posouvat bodem N po pˇr´ımce r a pˇri tom sledovat
ˇ sen´ım je takov´a poloha N , pˇri n´ıˇz je celkov´a dr´aha nejmenˇs´ı.
celkovou d´elku cesty. Reˇ
Znaj´ı-li ˇz´aci osovou soumˇernost, stane se ˇreˇsen´ı u
´lohy snadnou z´aleˇzitost´ı: staˇc´ı pˇridat
obraz O0 bodu O soumˇern´
y podle osy r a d´ale vytvoˇrit pr˚
useˇc´ık P spojnice KO0 s osou r.
Tento pr˚
useˇc´ık bude ˇreˇsen´ım u
´lohy.
–8–
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
6. N´astrojem Osov´a soumˇernost nejprve klikneme na bod O, pak na pˇr´ımku
r. Vznikne obraz O0 .
7. Vytvoˇr´ıme spojnici KO0 (z´apis d = Usecka[K, O’]). N´astrojem Pr˚
useˇc´ıky
dvou objekt˚
u klikneme postupnˇe na d a na r, vznikne bod P .
Nyn´ı se m˚
uˇzeme pˇresvˇedˇcit, ˇze nejkratˇs´ı je cesta pr´avˇe tehdy, kdyˇz se bod N s pr˚
useˇc´ıkem
P pˇrekr´
yvaj´ı.
Do ˇreˇsen´ı u
´lohy jeˇstˇe m˚
uˇzeme vn´est fyzik´aln´ı hledisko – z´akon odrazu svˇetla (obecnˇe vlnˇen´ı). Sestroj´ıme v bodˇe N kolmici na pˇr´ımku r a zn´azorn´ıme u
´hel dopadu a u
´hel odrazu.
Tyto u
´hly se budou rovnat jedinˇe v pˇr´ıpadˇe, kdy N ≡ P .
8. N´astrojem Kolmice nejprve klikneme na bod N , pak na pˇr´ımku r. Vzniklou kolmici pojmenujeme k a um´ıst´ıme na ni pomocn´
y bod C.
´
9. N´astrojem Uhel
zn´azorn´ıme u
´hel dopadu (v n´asleduj´ıc´ım poˇrad´ı klikneme
na body C, N, K) a u
´hel odrazu (klikneme na body O, N, C).
–9–
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
´
Uloha
6
Do ostro´
uhl´eho troj´
uheln´ıka ABC vepiˇste ˇctverec KLM N tak, aby strana ˇctverce KL
byla souˇca´st´ı z´akladny AB troj´
uheln´ıka a ostatn´ı vrcholy ˇctverce se dot´
ykaly zbyl´
ych
stran troj´
uheln´ıka.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Sestroj´ıme ostro´
uhl´
y troj´
uheln´ık ABC a do nˇej libovoln´
y pomocn´
y ˇctverec, kter´
y jednou
stranou spoˇc´ıv´a na z´akladnˇe AB troj´
uheln´ıka a jeden z vrchol˚
u ˇctverce je souˇc´ast´ı strany
AC troj´
uheln´ıka. Ke konstrukci v´
ysledn´eho ˇctverce pak vyuˇzijeme stejnolehlost.
1. Pomoc´ı n´astroje Mnoho´
uheln´ık klikneme na tˇri r˚
uzn´e body do N´akresny a pak opˇet
do v´
ychoz´ıho bodu – vznikne troj´
uheln´ık ABC.
2. N´astrojem Nov´y bod vytvoˇr´ıme libovolnˇe bod D ∈ AB.
3. Zapneme n´astroj Kolmice a klikneme postupnˇe na bod D a pak na stranu AB.
Vytvoˇr´ı se pˇr´ımka d kolm´a na z´akladnu troj´
uheln´ıka.
4. N´astrojem Pr˚
useˇc´ık zviditeln´ıme pr˚
useˇc´ık kolmice d s dalˇs´ı stranou troj´
uheln´ıka.
Vznikl bod E (na obr´azku je souˇca´st´ı strany AC).
5. Vybereme n´astroj Pravideln´y mnoho´
uheln´ık a klikneme j´ım nejprve na bod E a pak
na D (z´aleˇz´ı na poˇrad´ı – GeoGebra vytv´aˇr´ı dalˇs´ı body proti smˇeru hodinov´
ych
ruˇciˇcek). Objev´ı se okno s v´
yzvou Body“ (zad´an´ı poˇctu vrchol˚
u); potvrd´ıme v´
ychoz´ı
”
hodnotu 4“ a tak vznikne pomocn´
y ˇctverec DF GE (viz obr´azek).
”
6. Abychom mohli zjistit koeficient stejnolehlosti, pˇriprav´ıme si polopˇr´ımku AG: n´astrojem Polopˇr´ımka dvˇema body klikneme postupnˇe na A a G a podobnˇe jako v bodˇe
4 urˇc´ıme pr˚
useˇc´ık t´eto polopˇr´ımky s odpov´ıdaj´ıc´ı stranou troj´
uheln´ıka.
– 10 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
7. Takto vznikl´
y pr˚
useˇc´ık je jiˇz jedn´ım z vrchol˚
u v´
ysledn´eho ˇctverce, proto jej pˇrejmenujeme: prav´e tlaˇc´ıtko myˇsi > volba Pˇrejmenovat na M“ (nebo rychleji: vybrat
”
dan´
y bod a pˇr´ımo z kl´avesnice napsat M“ a potvrdit).
”
8. Zmˇeˇr´ıme vzd´alenosti bod˚
u AG a AM : n´astrojem Vzd´alenost klikneme postupnˇe na
bod A a G. Vzd´alenost se objev´ı v N´akresnˇe a rovnˇeˇz v Algebraick´em oknˇe, kde ji pro
lepˇs´ı pˇrehlednost pˇrejmenujeme (napˇr. na i). Stejnˇe urˇc´ıme vzd´alenost AM , kterou
pak pˇrejmenujeme na j.
9. Koeficient stejnolehlosti urˇcen´
y pomˇerem k =
do nˇehoˇz zap´ıˇseme: k = j/i
|AM |
|AG|
zad´ame pomoc´ı Vstupn´ıho pole,
10. Fin´aln´ı ˇctverec vytvoˇr´ıme n´astrojem Stejnolehlost ze skupiny n´astroj˚
u Zobrazen´ı.
Nejprve kliknut´ım vybereme stˇred stejnolehlosti (bod A), pak vzorov´
y objekt (pomocn´
y ˇctverec DF GE) a v posledn´ım kroku n´as GeoGebra vyzve k zad´an´ı koeficientu stejnolehlosti – do pˇr´ısluˇsn´eho pole zap´ıˇseme k a potvrd´ıme.
11. Nakonec jeˇstˇe pˇrejmenujeme vrcholy K, L, N v´
ysledn´eho ˇctverce KLM N ; vrchol
spl´
yvaj´ıc´ı s jiˇz dˇr´ıve vytvoˇren´
ym pr˚
useˇc´ıkem M m˚
uˇzeme skr´
yt.
– 11 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Kuˇ
zeloseˇ
cky
´
Uloha
7
Najdˇete rovnici kruˇznice soumˇernˇe sdruˇzen´e s kruˇznic´ı (x−1)2 +(y −2)2 = 1 podle pˇr´ımky
x − y − 3 = 0.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Do Vstupn´ıho pole (pˇr´ıkazov´eho ˇra´dku) zad´ame rovnice kruˇznice a pˇr´ımky:
•
k:
(x − 1)^2 + (y − 2)^2 = 1
•
p:
x − y − 3 = 0
Myˇs´ı vybereme n´astroj Osov´a soumˇernost a postupnˇe klikneme na vzor
(kruˇznice k) a na osu soumˇernosti (pˇr´ımka p). Vznikne obraz kruˇznice k 0 ,
jej´ıˇz rovnici vid´ıme v oknˇe Algebry: k 0 : (x − 5)2 + (y + 2)2 = 1.
– 12 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
´
Uloha
8
Urˇcete vˇsechny hodnoty parametru q ∈ R, pro kter´e m´a pˇr´ımka p: y = x + q s elipsou
e: 9x2 + 16y 2 = 144 aspoˇ
n jeden spoleˇcn´
y bod.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
1. Pˇriprav´ıme posuvn´ık q (parametr v rovnici pˇr´ımky): od −10 do 10; krok = 0.1.
2. Pomoc´ı Vstupn´ıho pole (pˇr´ıkazov´eho ˇr´adku) zad´ame rovnici elipsy e a pˇr´ımky p
a nakonec urˇc´ıme pr˚
useˇc´ıky elipsy a pˇr´ımky:
•
e:
9 x^2 + 16 y^2 = 144
•
p:
y = x + q
•
Prusecik[e, p]
3. V´
ysledek: zmˇenami posuvn´ıku q zjist´ıme, ˇze pro hodnoty q ∈ (−5, 5) je pˇr´ımka p
seˇcnou elipsy (vzniknou dva pr˚
useˇc´ıky A, B), zat´ımco pro q = ±5 je pˇr´ımka jej´ı
teˇcnou (body A, B splynou ve spoleˇcn´
y dotykov´
y bod). Pro jin´e hodnoty parametru
q nemaj´ı pˇr´ımka a elipsa ˇza´dn´
y spoleˇcn´
y bod.
– 13 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Funkce zadan´
e parametricky a pol´
arn´ımi souˇ
radnicemi
´
Uloha
9
Cykloida je cyklick´a kˇrivka, kterou vykresl´ı bod na obvodu kruˇznice o polomˇeru r odvaluj´ıc´ı
se po pˇr´ımce. Obecnou cykloidu lze vyj´adˇrit parametrick´
ymi rovnicemi:
x = r · (t − sin t)
t ∈ h0, 2 πi pro jeden oblouk cykloidy
y = r · (1 − cos t)
Nakreslete n oblouk˚
u obecn´e cykloidy vznikl´e odvalov´an´ım kruˇznice o polomˇeru r. Kˇrivku
um´ıstˇete do poˇca´tku souˇradnicov´eho syst´emu, volte n ∈ h1, 5i a r ∈ h0,2; 2,0i.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
1. Pˇriprav´ıme posuvn´ık n pro volbu poˇctu oblouk˚
u cykloidy: doln´ı mez = 1, horn´ı
mez = 5, krok = 1
2. Pˇriprav´ıme posuvn´ık r pro nastaven´ı velikosti oblouk˚
u cykloidy: doln´ı mez = 0.2,
horn´ı mez = 2, krok = 0.1
3. Cykloidu c zap´ıˇseme do Vstupn´ıho pole pˇr´ıkazem Krivka[] s parametrem t:
c = Krivka[r*(t-sin(t)), r*(1-cos(t)), t, 0, 2*n*pi]
4. Graf bude pˇrehlednˇejˇs´ı, nastav´ıme-li na ose x jednotky π:
hlavn´ı menu Nastaven´ı (nebo P na myˇsi ) > N´akresna > z´aloˇzka Osy a z´aloˇzka OsaX
> v poli Jednotky vybrat π
K procviˇ
cen´ı
Do stejn´eho obr´azku pˇridejte graf funkce f (x) = | sin x| a porovnejte pr˚
ubˇeh oblouk˚
u
u obou kˇrivek.
– 14 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Spir´
aly vznikaj´ı skl´ad´an´ım dvou pohyb˚
u: bod A = (x, y) se pohybuje po polopˇr´ımce,
kter´a se souˇcasnˇe ot´aˇc´ı okolo nˇekter´eho sv´eho pevn´eho bodu (napˇr. okolo poˇca´tku O).
´
Uloha
10
Vykreslete nˇekolik z´avit˚
u Archimedovy spir´aly zadan´e rovnic´ı ρ = k · ϕ (k 6= 0, ϕ ≥ 0),
kde ρ a ϕ jsou pol´arn´ı souˇradnice.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Potˇrebujeme rovnice pˇrechodu od pol´arn´ıch souˇradnic ke
kart´ezsk´
ym (viz obr´azek):
x = ρ · cos ϕ
y = ρ · sin ϕ
Dalˇs´ı postup je podobn´
y jako v pˇredchoz´ı u
´loze:
1. Definujeme dva posuvn´ıky: n (volba poˇctu z´avit˚
u spir´aly – od 1 do 5; krok = 1)
a koeficient spir´aly k (od 0 do 1; krok = 0.05)
2. Spir´alu s zad´ame do Vstupn´ıho pole pˇr´ıkazem Krivka[] s parametrem ϕ, do prvn´ıch
dvou v´
yraz˚
u pouˇzijeme pˇrechodov´e rovnice, kam za ρ dosad´ıme z rovnice spir´aly:
s = Krivka[k ϕ cos(ϕ), k ϕ sin(ϕ), ϕ, 0, 2 n pi]
– 15 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Smˇ
ernice teˇ
cny, extr´
emy funkce
´
Uloha
11
Funkce f (x) = 2 − 12 x + cos 2x je definov´ana na uzavˇren´em intervalu h−2,5; 5,5i.
a) Sestrojte graf funkce f (x).
b) Vytvoˇrte bod A na kˇrivce f (x) a jej´ı teˇcnu v bodˇe A.
c) Sledujte, jak se mˇen´ı smˇernice teˇcny, vyhledejte lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) na jej´ım
definiˇcn´ım oboru.
d) Sledujte chov´an´ı oskulaˇcn´ı kruˇznice ke kˇrivce f (x) v bodˇe A.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
a) Do Vstupn´ıho pole zap´ıˇseme: f = Funkce [2 - 0.5 x + cos(2 x), -2.5, 5.5]
b) N´astrojem Nov´y bod klikneme na kˇrivku f (x) v N´akresnˇe, vytvoˇr´ı se bod A na
kˇrivce; d´ale n´astrojem Teˇcny z bodu klikneme nejprve na A, pak na kˇrivku – v bodˇe
A vznikne teˇcna a. (Stejn´
y efekt by mˇel z´apis Tecna[A, f(x)] do Vstupn´ıho pole.)
c) Smˇernici teˇcny dostaneme do grafu n´astrojem Sp´ad, kter´
ym klikneme na bod A,
nebo z´apisem do Vstupn´ıho pole: Smernice[a].
d) Do Vstupn´ıho pole zap´ıˇseme OskulacniKruznice[A, f(x)].
Budeme-li posouvat bodem A po kˇrivce f (x), m˚
uˇzeme pozorovat polohu teˇcny a velikost
jej´ı smˇernice: v m´ıstech s nulovou smˇernic´ı – teˇcna je vodorovn´a – se vyskytuj´ı lok´aln´ı
extr´emy funkce.
– 16 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Obsah plochy ohraniˇ
cen´
e kˇ
rivkami
´
Uloha
12
Vypoˇctˇete velikost plochy ohraniˇcen´e prvn´ı vlnou funkce y = sin x a osou x.
ˇ sen´
ˇ ı – n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıkazy zap´ıˇseme do Vstupn´ıho pole:
Re
•
•
f(x) = sin(x)
plocha = Integral[f(x), 0, pi]
´
Uloha
13
1 3
Zobrazte pr˚
ubˇeh exponenci´aln´ı funkce f (x) = 2x a kubick´e paraboly g(x) =
x + 2.
10
Vypoˇctˇete velikost plochy, kterou grafy tˇechto dvou funkc´ı vymezuj´ı.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Obˇe funkce zad´ame do Vstupn´ıho pole (pˇr´ıkazov´eho ˇr´adku):
•
•
f(x) = 2^x
g(x) = 0.1 x^3 + 2
Myˇs´ı vybereme n´astroj Pr˚
useˇc´ık a postupnˇe klikneme na kˇrivku f (x) a g(x).
T´ım vzniknou pr˚
useˇc´ıky A, B, jejichˇz x-ov´e souˇradnice budou tvoˇrit doln´ı
a horn´ı integraˇcn´ı mez. Na z´avˇer zad´ame do Vstupn´ıho pole pˇr´ıkaz:
•
Plocha = Integral[g(x), f(x), x(A), x(B)]
– 17 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
´
Uloha
14
Urˇcete plochu ohraniˇcenou osou x a grafem kvadratick´e funkce f (x) = −x2 + 2x + c
s parametrem c ∈ h−1,4; 4,0i. Graficky zn´azornˇete konstrukci integr´alu – velikost dan´e
plochy lze povaˇzovat za limitu, k n´ıˇz konverguje tzv. doln´ı a horn´ı souˇcet.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
1. Pˇriprav´ıme posuvn´ık c (parametr kvadratick´e funkce): od −1.4 do 4; krok = 0.1. To
n´am umoˇzn´ı dynamicky posouvat graf a mˇenit velikost vymezen´e plochy.
2. Definujeme posuvn´ık n (od 1 do 50, krok = 1), kter´
y bude pˇredstavovat rozdˇelen´ı
intervalu pro doln´ı a horn´ı souˇcet na n ˇca´st´ı.
3. Do Vstupn´ıho pole zap´ıˇseme pˇr´ıkazy pro zad´an´ı funkce f (x) (urˇc´ıme pr˚
useˇc´ıky s osou
x), v´
ypoˇcet velikosti vymezen´e plochy a pro vytvoˇren´ı doln´ıho a horn´ıho souˇctu:
•
•
•
•
f(x) = -x*x + 2*x + c
(+ urˇcit pr˚
useˇc´ıky – viz pˇredchoz´ı u
´loha)
Plocha = Integral[f(x), x(A), x(B)]
Doln´
ı = DolniSoucet[f(x), x(A), x(B), n]
Horn´
ı = HorniSoucet[f(x), x(A), x(B), n]
Hotov´
y model (viz obr´azek): taˇzen´ım posuvn´ık˚
u c a n mˇen´ıme velikosti plochy
vymezen´e grafem a nastavujeme dˇelen´ı intervalu pro doln´ı (horn´ı) souˇcty.
K procviˇ
cen´ı
Urˇcete velikost plochy ohraniˇcen´e zdola parabolou f (x) = x2 − 4 x a shora grafy funkc´ı
g(x) = ln x a h(x) = 4 − x.
– 18 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Z´
aklady vyˇ
sˇ
s´ı algebry – matice
´
Uloha
15
Jsou d´any matice


6 −4 −17
1
3 
A=1
2 −1 −6


1 5 2
B=1 1 7
0 −3 4
C=
2 −3 4
1 −1 5


1 3
D = −6 4 
2 1
Urˇcete: a) souˇcet matic A + B
b) inverzn´ı matici k matici A
c) determinant matice A
d) souˇciny matic C ·D, D·C a B ·C, pokud existuj´ı.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Budeme pracovat se Vstupn´ım polem (pˇr´ıkazov´
ym ˇra´dkem) GeoGebry. Zad´avan´e objekty
a poˇzadovan´e v´
ysledky se zobrazuj´ı v oknˇe Algebra – to lze myˇs´ı rozˇs´ıˇrit na u
´kor Grafick´eho
okna, kter´e nyn´ı nevyuˇzijeme. Po z´apisu odes´ıl´ame kaˇzd´
y ˇra´dek kl´avesou Enter :
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A = {{6, -4, -17}, {1, 1, 3}, {2, -1, -6}}
B = {{1, 5, 2}, {1, 1, 7}, {0, -3, 4}}
C = {{2, -3, 4}, {1, -1, 5}}
D = {{1, 3}, {-6, 4}, {2, 1}}
M = A + B
A’ = Invert[A]
detA = Determinant[A]
N = C * D
O = D * C
P = B * C
V´
ysledky se pr˚
ubˇeˇznˇe zobrazuj´ı v oknˇe Algebry, po zad´an´ı posledn´ıho pˇr´ıkazu vyskoˇc´ı okno
s hl´aˇskou Neplatn´
y vstup“ (viz obr´azek), nebot’ souˇcin tˇechto matic nen´ı definov´an.
”
– 19 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
K procviˇ
cen´ı
Ovˇeˇrte pomoc´ı GeoGebry, ˇze vyn´asoben´ım A · A0 nebo A0 · A vznikne jednotkov´a matice.
Vypoˇctˇete determinant jednotkov´e matice.
Tip
Zad´av´an´ı matice do syst´emu GeoGebry bude mnohem pˇrehlednˇejˇs´ı, vyuˇzijeme-li tabulkov´e
prostˇred´ı (kl´avesov´a zkratka Ctrl + Shift + S nebo myˇs´ı – hlavn´ı menu – Zobrazit > Tabulka).
Matici pak vloˇz´ıme ve tˇrech kroc´ıch:
• kaˇzd´
y prvek matice zap´ıˇseme do samostatn´e buˇ
nky; ˇr´adky i sloupce mus´ı odpov´ıdat
zad´an´ı, vˇsechny buˇ
nky tvoˇr´ı souvislou oblast
• provedeme v´
ybˇer t´eto oblasti
• kliknut´ım prav´eho tlaˇc´ıtka na myˇsi vyvol´ame kontextovou nab´ıdku, z n´ıˇz vybereme
volbu Vytvoˇr matici (viz obr´azek)
Takto zad´avan´e matice se postupnˇe objevuj´ı v oknˇe Algebra s n´azvy matice1, matice2, atd.
Nakonec je tedy vhodn´e je pˇrejmenovat, aby n´azvy matic odpov´ıdaly zad´an´ı u
´lohy.
– 20 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Soustavy rovnic
´
Uloha
16
ˇ ste soustavu rovnic o nezn´am´
Reˇ
ych x, y, z, w:
2x + 3y − z
x + 2y − 3z + 2w
3x + 4y + 2z − 2w
−x + y − z + w
=
=
=
=
5
4
9
2
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Pouˇzijeme Cramerovo pravidlo: urˇc´ıme determinant soustavy |A| a determinant |Ax |; matice Ax vznikne z p˚
uvodn´ı matice A nahrazen´ım 1. sloupce sloupcem absolutn´ıch ˇclen˚
u.
x|
Pro |A| =
6 0 je pak prvn´ı koˇren soustavy x = |A
:
|A|
2
1
|A| = 3
−1
3 −1 0 2 −3 2 = −9 ,
4 2 −2 1 −1 1 |Ax | = 5
4
9
2
3 −1 0 2 −3 2 = −9 ,
4 2 −2 1 −1 1 x=
|Ax |
= 1.
|A|
Stejnˇe postupujeme u dalˇs´ıch nezn´am´
ych a dostaneme: y = 2, z = 3, w = 4.
GeoGebra: Postupnˇe zad´ame vˇsech pˇet matic A, Ax , . . . Aw , jejich determinanty a v´
ypoˇcet
koˇren˚
u (podobnˇe jako v pˇredchoz´ı u
´loze). V oknˇe Algebry se pak zobraz´ı v´
ysledky:
Pozn´amka: Koˇreny x, y rovnic oznaˇcujeme odliˇsnˇe (napˇr. pomoc´ı index˚
u – x1 , y1 ), jinak
je bude GeoGebra povaˇzovat za pˇr´ımky, kter´e novˇe pojmenuje (napˇr. a: x = 1, b: y = 2).
– 21 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Pythagorova vˇ
eta – dynamick´
y model
´
Uloha
17
Vytvoˇrte dynamick´
y model pro zn´azornˇen´ı vztahu mezi stranami pravo´
uhl´eho troj´
uheln´ıka
(ukaˇzte geometricky platnost Pythagorovy vˇety).
ˇ sen´
ˇ ı
Re
Model vytvoˇr´ıme ze dvou obr´azk˚
u. Prvn´ı obr´azek bude statick´
y a bude zn´azorˇ
novat pravo´
uhl´
y troj´
uheln´ık
a tˇri ˇctverce sestrojen´e nad dvˇema odvˇesnami troju
´heln´ıka a jeho pˇreponou (1). Druh´
y obr´azek bude
dynamick´
y: z jeho dvou krajn´ıch f´az´ı (2a) a (2b)
bude moˇzn´e uvidˇet, ˇze obsah ˇctverce nad pˇreponou
je stejn´
y jako souˇcet obsah˚
u ˇctverc˚
u nad odvˇesnami.
Svou roli hraj´ı i barvy – ty objekty, kter´e maj´ı v jednotliv´
ych obr´azc´ıch stejn´e barvy, jsou shodn´e.
Postup
1. V N´akresnˇe zobraz´ıme osy a vrchol prav´eho
u
´hlu troj´
uheln´ıka (bod C) um´ıst´ıme do poˇc´atku
souˇradnick´eho syst´emu.
2. Pˇriprav´ıme dva posuvn´ıky: a a b pro volbu d´elky
obou odvˇesen troj´
uheln´ıka; rozsahy mohou b´
yt
napˇr. od 1 do 3 u odvˇesny a a od 3 do 5 u odvˇesny b; krok zvol´ıme 0.1.
3. Vrchol A troj´
uhelnka z´ısk´ame pomoc´ı n´astroje
Kruˇznice dan´a stˇredem a polomˇerem. Stˇredem
kruˇznice je bod C a polomˇerem hodnota posuvn´ıku b; vytvoˇr´ıme pr˚
useˇc´ıky t´eto kruˇznice
s osou x: lev´
y skryjeme, prav´
y pojmenujeme
A. Stejn´
ym postupem z´ısk´ame vrchol B (horn´ı
pr˚
useˇc´ık kruˇznice se stˇredem C a polomˇerem a
s osou y).
4. N´astrojem Mnoho´
uheln´ık dokonˇc´ıme troj´
uheln´ık ABC a vybarv´ıme (napˇr. ˇzlutou).
5. Sestroj´ıme ˇctverce nad jednotliv´
ymi stranami: pomoc´ı n´astroje Pravideln´y mnohou
´heln´ık klikneme postupnˇe na body C a B (poˇrad´ı je d˚
uleˇzit´e) a n´aslednˇe v nab´ıdnut´em pol´ıˇcku potvrd´ıme v´
ychoz´ı hodnotu 4“. Vznikne tak ˇctverec, kter´
y je na
”
obr´azku (1) vybarven ˇcervenˇe. Podobnˇe sestroj´ıme dalˇs´ı dva ˇctverce a opatˇr´ıme je
vhodn´
ymi barvami.
– 22 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
6. Prvn´ı obr´azek modelu je hotov, pro konstrukci druh´eho si pˇriprav´ıme vektory posunut´ı ~u, ~v , w,
~ ~r, ~s a ~t. Zad´ame je napˇr. pomoc´ı Vstupn´ıho pole n´asleduj´ıc´ımi z´apisy:
• u = (-8, 0)
• v = (0, -b)
• w = u + v
• r = (-a, 0)
• s = r + w
• t = (-8+b, -b)
7. Druh´
y obr´azek vytvoˇr´ıme tak, ˇze vˇsechny tˇri ˇctverce nech´ame zobrazit v posunut´ı
(lze pouˇz´ıt n´astroj Posunut´ı nebo z´apis ve Vstupn´ım poli) o n´asleduj´ıc´ı vektory:
ˇctverec nad odvˇesnou AC (modr´
y) . . . . . .
ˇctverec nad odvˇesnou BC (ˇcerven´
y) . . . . . .
ˇctverec nad pˇreponou AB (ˇsed´
y)
......
o vektor ~u
o vektor w
~
o vektor ~s
8. Vytvoˇr´ıme tak´e dva obrazy ˇzlut´eho troj´
uheln´ıka: prvn´ı vznikne jeho posunut´ım
o vektor ~s. Druh´
y obraz vznikne ve sloˇzen´em zobrazen´ı: nejprve posunut´ım o ~t
a n´aslednˇe otoˇcen´ım kolem bodu C 00 o 90◦ proti smˇeru hodin (viz obr´azek). Obraz
posunut´
y o vektor ~t skryjeme, otoˇcen´
y obraz ponech´ame.
9. Dynamiku druh´eho obr´azku zajist´ıme posuvn´ıkem
ϕ pro u
´hel otoˇcen´ı: ϕ ∈ h0◦ , 90◦ i, krok 0.01.
10. D´ale nech´ame oba ˇzlut´e troj´
uheln´ıky zobrazit
v otoˇcen´ı: lev´
y kolem bodu B 0 o u
´hel ϕ proti smˇeru
hodinov´
ych ruˇciˇcek, prav´
y kolem bodu A000 o u
´hel ϕ
po smˇeru hodinov´
ych ruˇciˇcek (viz obr´azek vpravo).
11. Pro lepˇs´ı viditelnost zv´
yrazn´ıme strany otoˇcen´
ych
troj´
uheln´ık˚
uu
´seˇckami tmav´e barvy, zat´ımco jejich
p˚
uvodn´ı vzory skryjeme. Ot´aˇcen´ı troj´
uheln´ık˚
u pak
ovl´ad´ame myˇs´ı taˇzen´ım za posuvn´ık ϕ.
– 23 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
GeoGebra ve fyzice – skl´
ad´
an´ı kmit˚
u
´
Uloha
18
Sestavte model vzniku n´arazov´eho kmit´an´ı v akustice – vznik r´
az˚
u. V modelu umoˇznˇete
nastavov´an´ı frekvenc´ı f1 , f2 obou kmitav´
ych pohyb˚
u a f´azov´eho posunut´ı ϕ mezi nimi.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
R´azy (z´aznˇeje) vznikaj´ı skl´ad´an´ım dvou kmit´an´ı bl´ızk´
ych frekvenc´ı. Budeme pˇredpokl´adat,
ˇze oba kmitav´e pohyby maj´ı harmonick´
y pr˚
ubˇeh a jsou vyj´adˇreny rovnicemi:
y1 = A · sin ω1 t,
y2 = A · sin(ω2 t + ϕ)
kde ω1 = 2πf1 a ω2 = 2πf2 jsou u
´hlov´e frekvence kmit˚
u a amplituda (maxim´aln´ı v´
ychylka)
A je u obou kmitav´
ych pohyb˚
u stejn´a.
1. Pˇriprav´ıme si celkem tˇri posuvn´ıky: dva z nich pro frekvence – pojmenovan´e f1 , f2
(rozsah od 0.1 do 5 jednotek, krok 0.05) a tˇret´ı pro f´azov´
y posun – pojmenovan´
yϕ
(rozsah od 0 do 2π, krok 0.05).
2. Rovnice pro kmitav´
y pohyb zad´ame do Vstupn´ıho pole (pro spr´avn´e vykreslen´ı graf˚
u
m´ısto ˇcasu t zad´ame promˇennou x, amplitudu zvol´ıme napˇr. A = 2):
• f(x) = 2 sin(2 pi f_1 x)
• g(x) = 2 sin(2 pi f_2 x - ϕ)
• h(x) = f(x) + g(x)
3. Pomoc´ı posuvn´ık˚
u f1 , f2 a ϕ nastavujeme pomˇer frekvenc´ı a f´azov´
y posun a sledujeme
pr˚
ubˇeh sloˇzen´
ych kmit˚
u (funkce h(x) zn´azorˇ
nuje vznik r´az˚
u).
– 24 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Jak by Karel May vysvˇ
etlil, proˇ
c se svˇ
etlo l´
ame
´
Uloha
19
Old Shatterhand ut´ık´a pˇred zl´
ymi Komanˇci a potˇrebuje se co nejrychleji dostat k Vinnetouovi, kter´
y ho spolu s dalˇs´ımi Apaˇci m˚
uˇze zachr´anit. Bˇehem sv´eho pˇresunu z bodu K do
bodu A (viz obr´azek) vˇsak jeho k˚
un
ˇ mus´ı projet dvˇema r˚
uzn´
ymi prostˇred´ımi: travnatou
pr´erij´ı a pouˇstn´ım p´ıskem, pˇriˇcemˇz na p´ısku se k˚
un
ˇ pohybuje mnohem pomaleji neˇz na
tr´avˇe. Porad’te Old Shatterhandovi, jak m´a nasmˇerovat sv´eho konˇe, aby jeho cesta z K
do A probˇehla co nejrychleji.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
V prostˇred´ı GeoGebry vytvoˇr´ıme model obsahuj´ıc´ı tˇri dynamick´e prvky – pro nastavov´an´ı
rychlosti konˇe na tr´avˇe v1 a v p´ısku v2 a polohy bodu P na rozhran´ı obou prostˇred´ı. Do
modelu zahrneme v´
ypoˇcet celkov´e dr´ahy konˇe a celkov´eho ˇcasu. Pˇrid´ame v´
ypoˇcet pomˇer˚
u
sin α v1
a , aby vynikla souvislost se z´akonem lomu.
sin β v2
– 25 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Postup
1. Pro snazˇs´ı a pˇresnˇejˇs´ı kreslen´ı zapneme mˇr´ıˇzku (hlavn´ı menu Zobrazit > Mˇr´ıˇzka).
Vytvoˇr´ıme u
´seˇcku BC (hranice tr´avy a p´ısku) a dva ˇctyˇru
´heln´ıky: horn´ı = tr´ava,
doln´ı = p´ısek. Jejich vrcholy skryjeme kromˇe dvou bod˚
u – v´
ychoz´ıho K a c´ılov´eho
A (viz obr´azek). Pomoc´ı n´astroje Vloˇzit text m˚
uˇzeme oba ˇctyˇru
´heln´ıky pro lepˇs´ı
’
pˇrehlednost doplnit koment´aˇrem (pr´erie – tr´ava, pouˇst – p´ısek).
2. N´astrojem Nov´y bod vytvoˇr´ıme bod P v´azan´
y na u
´seˇcku BC, krajn´ı body u
´seˇcky
pak skryjeme. Pˇrid´ame dalˇs´ı dvˇe u
´seˇcky pˇredstavuj´ıc´ı dr´ahy konˇe po tr´avˇe a na
p´ısku: d = KP , p = P A.
3. Urˇc´ıme celkovou dr´ahu konˇe – z´apis r = d + p do Vstupn´ıho pole. Tuto hodnotu
nech´ame zobrazit v N´akresnˇe pomoc´ı n´astroje Vloˇzit text, do jehoˇz okna provedeme
z´apis: "celkov´
a dr´
aha = " + r (text v uvozovk´ach je ˇretˇezec, znam´enko + pˇredstavuje operaci zˇretˇezen´ı, za text v uvozovk´ach se tedy vyp´ıˇse hodnota r).
4. Pˇrid´ame dva posuvn´ıky pro nastaven´ı rychlosti konˇe v1 na tr´avˇe a v2 na p´ısku (vol´ıme
shodn´e n´azvy, zap´ıˇseme tedy v_1 a v_2, rozsah od 1 do 5, krok = 0.25).
5. Urˇc´ıme celkov´
y ˇcas konˇe: t = t1 + t2 =
t = d/v_1 + p/v_2 a potvrd´ıme.
d
v1
+
p
;
v2
provedeme z´apis do Vstupn´ıho pole:
6. Tak´e celkov´
y ˇcas nech´ame zobrazit v N´akresnˇe – podobnˇe jako v kroku 3: do ok´enka
n´astroje Vloˇzit text zap´ıˇseme: "celkov´
y c
ˇas = " + t
Prvn´ı ˇca´st naˇseho modelu je hotova (viz n´asleduj´ıc´ı obr´azek) a jeho dynamika je plnˇe
funkˇcn´ı: umoˇzn
ˇuje nastavovat r˚
uzn´e rychlosti v1 a v2 a posouvat bodem P po hranici
tr´avy a p´ısku. Napˇr´ıklad pro hodnoty v1 > v2 m˚
uˇze ˇza´k zjistit, ˇze pokud k˚
un
ˇ pobˇeˇz´ı
po nejkratˇs´ı moˇzn´e dr´aze (´
useˇcka KA), bude jeho celkov´
y ˇcas delˇs´ı, neˇz kdyˇz svou dr´ahu
zalom´ı“ v bodˇe P tak, ˇze delˇs´ı u
´sek absolvuje po tr´avˇe a kratˇs´ı po p´ısku. T´ımto principem
”
se ˇr´ıd´ı svˇetlo (obecnˇe vlnˇen´ı) pˇri pˇrechodu z jednoho prostˇred´ı do druh´eho.
– 26 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Zat´ımco pro ˇza´ky z´akladn´ıch ˇskol a niˇzˇs´ıch gymn´azi´ı bychom model mohli ukonˇcit na t´eto
v1
sin α
= .
u
´rovni, stˇredoˇskol´ak˚
um jeˇstˇe pˇripomeneme platnost Snellova z´akona lomu:
sin β
v2
7. V bodˇe P sestroj´ıme kolmici na rozhran´ı (n´astroj Kolmice). Pro lepˇs´ı vzhled vytvoˇr´ıme kolmici jako svislou u
´seˇcku k – nejprve vyznaˇc´ıme pr˚
useˇc´ıky kolm´e pˇr´ımky s horn´ı
´ cka dvˇema
a doln´ı stranou pˇr´ısluˇsn´
ych obd´eln´ıkov´
ych oblast´ı a pak n´astrojem Useˇ
body tyto pr˚
useˇc´ıky spoj´ıme; u
´seˇcku pˇrejmenujeme na k a p˚
uvodn´ı kolmou pˇr´ımku
skryjeme.
´
8. Vyznaˇc´ıme u
´hel dopadu α a u
´hel lomu β: pouˇzijeme k tomu n´astroj Uhel,
kter´
ym
klikneme vˇzdy na tˇri body v pˇr´ısluˇsn´e obd´eln´ıkov´e oblasti. Dojde k vyznaˇcen´ı u
´hl˚
u
v obr´azku a spolu s jejich n´azvy α, β se zobraz´ı i velikosti.
9. K prezentaci Snellova z´akona lomu si nadefinujeme hodnoty dvou zlomk˚
u z´apisem
do Vstupn´ıho pole: z_1 = sin(α)/sin(β) – pod´ıl sin˚
uu
´hl˚
u, a d´ale z_2 = v_1/v_2
– pod´ıl rychlost´ı.
10. Jako posledn´ı krok nech´ame v N´akresnˇe oba uveden´e pomˇery zobrazit: opˇet pouˇzijeme
n´astroj Vloˇzit text, tentokr´at v jeho oknˇe pouˇzijeme nav´ıc syntaxi LATEXu, nebot’
potˇrebujeme zapsat zlomek. Kliknut´ım zaˇskrtneme volbu LATEX vzorec a do pˇripraven´eho prostˇred´ı, tj. mezi znaky $ $ vep´ıˇseme poˇzadovan´
y zlomek pomoc´ı syntaxe
LATEXu. Z´apis pak bude m´ıt tvar: "$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=$"+z_1.
Podobnˇe zad´ame i druh´
y zlomek: "$\frac{v_1}{v_2}=$"+z_2.
11. Z´avˇer: pˇri urˇcit´em pomˇeru rychlost´ı vv12 je potˇreba naj´ıt takovou polohu bodu P , pˇri
n´ıˇz je celkov´
y ˇcas minim´aln´ı. To plat´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz je splnˇen Snell˚
uv z´akon
v1
sin α
lomu a plat´ı: sin β = v2 .
– 27 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Modelov´
an´ı mechanick´
ych zaˇ
r´ızen´ı – pohyb p´ıstu
´
Uloha
20
Vytvoˇrte geometrick´
y model pohybuj´ıc´ıho se p´ıstu a ojnice ve v´alci spalovac´ıho motoru.
ˇ sen´
ˇ ı
Re
GeoGebra umoˇzn
ˇuje manipulaci s geometrick´
ymi objekty a s t´ım souvisej´ıc´ı
objevov´an´ı nˇekter´
ych z´akonitost´ı. Toto
znovuobjeven´ı“ m´a pak daleko hlubˇs´ı
”
vzdˇel´avac´ı efekt neˇz pouh´e sdˇelov´an´ı
skuteˇcnost´ı ˇz´ak˚
um.
C´ılem je naj´ıt bod reprezentuj´ıc´ı stˇred
P p´ıstu pohybliv´eho ve svisl´em smˇeru
(smˇer polopˇr´ımky a). Model p´ıstu bude
m´ıt spr´avn´e chov´an´ı“ tehdy, kdyˇz d´elka
”
ojnice bude nemˇenn´a. Druh´
y konec ojnice O bude opisovat kruˇznici se stˇredem
S pˇredstavuj´ıc´ı pohyb klikov´e hˇr´ıdele.
Odtud je uˇz jen kr˚
uˇcek k objevu stˇredu
p´ıstu P jako pr˚
useˇc´ıku svisl´e polopˇr´ımky
a a kruˇznice d pevn´eho polomˇeru se
stˇredem v bodˇe O (viz obr´azek).
Postup
Existuje cel´a ˇrada moˇznost´ı, jak vytvoˇrit model pohybuj´ıc´ıho se p´ıstu. Zde si uk´aˇzeme
pouze jednoduch´
y a kr´atk´
y postup (pˇr´ıpadn´
y sofistikovan´
y tuning“ ponech´ame na fantazii
”
a tv˚
urˇc´ıch schopnostech ˇcten´aˇre). Veˇsker´a ˇc´ısla nebo souˇradnice uveden´a v n´asleduj´ıc´ıch
kroc´ıch maj´ı jen orientaˇcn´ı charakter.
1. Konstrukci modelu zah´aj´ıme kruˇznic´ı pˇredstavuj´ıc´ı osu klikov´e hˇr´ıdele. V N´akresnˇe
zobraz´ıme souˇradnicov´e osy, do jejich poˇca´tku um´ıst´ıme bod S a o nˇeco v´
yˇse na
ose y bod B (napˇr. B = [0, 0.7]). Vytvoˇr´ıme kruˇznici se stˇredem S o polomˇeru SB
(n´astroj Kruˇznice dan´a stˇredem a bodem).
2. Vytvoˇr´ıme polopˇr´ımku a = SB a skryjeme pomocn´
y bod B i souˇradnicov´e osy.
3. Pokraˇcujeme ojnic´ı: na obvod kruˇznice se stˇredem S um´ıst´ıme nov´
y bod O (jeden
koncov´
y bod ojnice). N´astrojem Kruˇznice dan´a stˇredem a polomˇerem vytvoˇr´ıme
kruˇznici d = (O; 2 cm). Nyn´ı stanov´ıme pr˚
useˇc´ık kruˇznice d s polopˇr´ımkou a. Takto
´ cka spoj´ıme body OP
vznikl´
y bod pˇredstavuje stˇred p´ıstu (n´azev P ). N´astrojem Useˇ
(ojnice) a tak´e OS (klikov´a hˇr´ıdel). Vypneme zobrazen´ı kruˇznice d.
T´ım je j´adro modelu hotovo (viz obr´azek na n´asleduj´ıc´ı stranˇe nahoˇre). Vyzkouˇs´ıme jeho
funkˇcnost: myˇs´ı pohybujeme bodem O po kruˇznici a bod P kon´a posuvn´
y pohyb svisl´
ym
smˇerem. Dalˇs´ı kroky jsou jen kosmetick´e u
´pravy“ – dokonˇc´ıme p´ıst a obal´ıme ho v´alcem.
”
– 28 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Dokonˇcen´ı p´ıstu (ˇctverec se stˇredem v bodˇe P ) a v´alce
4. N´astrojem Kruˇznice dan´a stˇredem a polomˇerem vytvoˇr´ıme
kruˇznici se stˇredem P o polomˇeru (pˇribliˇznˇe) 0.4 cm.
5. D´ale urˇc´ıme pr˚
useˇc´ıky (K, L) t´eto kruˇznice s polopˇr´ımkou a;
v tˇechto pr˚
useˇc´ıc´ıch sestroj´ıme teˇcny (e, f ) k dan´e kruˇznici.
6. Vyuˇzijeme shodn´eho zobrazen´ı – otoˇcen´ı: n´astrojem Otoˇcen´ı
ou
´hel vytvoˇr´ıme obraz bodu K v otoˇcen´ı o 90◦ vlevo (K 0 ).
7. Z takto vytvoˇren´eho obrazu bodu sestroj´ıme teˇcnu ke kruˇznici
(teˇcna g rovnobˇeˇzn´a s polopˇr´ımkou a).
8. Vytvoˇr´ıme pr˚
useˇc´ıky teˇcny g s teˇcnami e a f → body M, N .
9. N´astrojem Pravideln´y mnoho´
uheln´ık nejprve klikneme na bod
M , pak na N a n´aslednˇe v nab´ıdnut´em pol´ıˇcku potvrd´ıme
v´
ychoz´ı hodnotu 4“. T´ım vznikne pravideln´
y ˇctyˇru
´heln´ık
”
(ˇctverec), kte´
y pˇredstavuje model p´ıstu.
10. Nastav´ıme vlastnosti tohoto ˇctverce (barva, tlouˇst’ka ˇcar,
v´
yplˇ
n) a skryjeme vˇsechny pomocn´e konstrukce vˇcetnˇe n´azv˚
u
objekt˚
u.
11. Pokraˇcujeme v´alcem: pro vˇetˇs´ı pohodl´ı opˇet na chv´ıli zobraz´ıme osy x, y a mˇr´ıˇzku. Nalevo od osy p´ıstu um´ıst´ıme pomocn´
y
bod V (doln´ı okraj v´alce; nesm´ı br´anit ojnici v pohybu).
12. Bodem V vedeme rovnobˇeˇzku s osou y.
13. Nyn´ı na tuto rovnobˇeˇzku um´ıst´ıme bod W – pˇredpokl´adan´
y
horn´ı okraj v´alce (pˇred t´ım jsme si p´ıst pˇresunuli do horn´ı
u
´vrati kv˚
uli pˇresnˇejˇs´ımu stanoven´ı polohy bodu W ).
14. Body V a W spoj´ıme u
´seˇckou a vytvoˇr´ıme jej´ı osovˇe soumˇern´
y
obraz V 0 W 0 podle osy y. Pomocnou rovnobˇeˇzku i n´azvy objekt˚
u skryjeme.
15. Body W a W 0 spoj´ıme obloukem W ZW 0 (n´astroj Kruhov´y
oblouk proch´azej´ıc´ı tˇremi body).
16. Nastav´ıme vlastnosti obou u
´seˇcek a oblouku (barvu a tlouˇst’ku
ˇcar) a skryjeme osy, mˇr´ıˇzku a vˇsechny pomocn´e konstrukce
vˇcetnˇe n´azv˚
u objekt˚
u.
Model p´ıstu s mechanick´
ym ovl´ad´an´ım“ je t´ım hotov. Z fyzi”
k´aln´ıho hlediska je pak vhodn´e zamyslet se nad t´ım, co je pˇr´ıˇcinou
pohybu a co je d˚
usledkem (v naˇsem modelu pohybujeme bodem
O po kruˇznici, zat´ımco u re´aln´eho motoru pohyb vych´az´ı z p´ıstu,
jehoˇz posuvn´
y pohyb se pˇrev´ad´ı na rotaci klikov´e hˇr´ıdele).
– 29 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
´ ı modelu
Zdokonalovan´
Cel´
y model m˚
uˇzeme obohatit samoˇcinn´
ym pohybem p´ıstu. Ot´aˇcen´ı klikov´e hˇr´ıdele uˇz
tedy nebude z´avisl´e na naˇsem ruˇcn´ım pohonu myˇs´ı. To se d´a zaˇr´ıdit posuvn´ıkem, kter´
y
umoˇzn
ˇuje zapnout nebo vypnout animaci.
17. Definujeme nov´
y posuvn´ık ϕ pˇredstavuj´ıc´ı u
´hel: doln´ı mez = 0, horn´ı
mez = 2π (z´apis 2*pi), krok = 0.01;
v ˇca´sti Animace nastav´ıme hodnotu
posuvn´ıku Opakovat na Rostouc´ı.
18. Zmˇeˇr´ıme polomˇer kruˇznice se stˇredem S a toto ˇc´ıslo pojmenujeme r.
(V prvn´ım kroku naˇseho postupu
jsme zadali hodnotu 0.7, ale pr´ace
s obecn´
ymi promˇenn´
ymi je ˇcasto
v´
yhodnˇejˇs´ı.)
19. Nov´
y bod X zad´ame pomoc´ı Vstupn´ıho pole z´apisem: X = (r*cos(ϕ),r*sin(ϕ))
(nebo X = (0.7*cos(ϕ),0.7*sin(ϕ)), pokud v´ıme, ˇze hodnotu polomˇeru nebudeme
cht´ıt pozdˇeji mˇenit). T´ım byl bod X definov´an pol´arn´ımi souˇradnicemi (r, ϕ) a jeho
pohyb nyn´ı ovl´ad´ame myˇs´ı nikoliv pˇr´ımo, ale pˇres posuvn´ık ϕ.
20. Nyn´ı potˇrebujeme, aby se bod X stal doln´ım koncem
ojnice, coˇz vyˇzaduje pˇredefinov´an´ı kruˇznice d. Po
dvojkliku na kruˇznici d v oknˇe Algebra se objev´ı okno
Pˇredefinovat“. V p˚
uvodn´ı definici Kruznice[O, 2]
”
nahrad´ıme bod O bodem X a zmˇenu potvrd´ıme.
21. Skryjeme bod O a u
´seˇcky OS a OP a naopak pˇrid´ame
nov´e u
´seˇcky XS a XP a uprav´ıme jejich vlastnosti
(tlouˇst’ka ˇc´ary, barva, . . . ).
22. Spust´ıme animaci posuvn´ıku ϕ (prav´e na myˇsi > Animace zapnuta).
23. Model d´ale vylepˇs´ıme pˇrid´an´ım regulace ot´
aˇ
cek. Definujeme jeˇstˇe jeden posuvn´ık,
napˇr. t (tempo): doln´ı mez = −5, horn´ı mez = 5, krok = 1.
24. Uprav´ıme definici bodu X ve Vstupn´ım poli: m´ısto argumentu ϕ pouˇzijeme jeho
t-n´asobek, tedy X = (r*cos(ϕ*t),r*sin(ϕ*t)). T´ım dos´ahneme z´avislosti rychlosti
obˇehu bodu X na hodnotˇe parametru t: pro t ≥ 1 se klikov´a hˇr´ıdel ot´aˇc´ı v kladn´em
smyslu, pro t ≤ −1 se zmˇen´ı smˇer ot´aˇcen´ı a pro t = 0 z˚
ustane bod X a tedy i p´ıst
v klidu.
25. Pro vˇetˇs´ı n´azornost pˇri ovl´ad´an´ı dopln´ıme posuvn´ık t textov´
ym koment´aˇrem s n´apisy
ˇed, Stop, Vzad“ a nastav´ıme jeho um´ıstˇen´ı svisle; zobrazen´ı posuvn´ıku pro
Vpr
”
u
´hel ϕ m˚
uˇzeme vypnout.
– 30 –
GeoGebra
Dvac´ıtka ˇreˇsen´ych u
´loh
Export do HTML
Hotov´
y model lze vyexportovat do r˚
uzn´
ych form´at˚
u – jeden z ˇcasto pouˇz´ıvan´
ych je webov´a
str´anka: nab´ıdka Soubor > Export > Dynamick´y pracovn´ı list jako webov´a str´anka (html).
V oknˇe, kter´e se objev´ı, lze zadat n´azev pracovn´ıho listu a v z´aloˇzce Pro pokroˇcil´e lze
nastavit dalˇs´ı parametry (ˇs´ıˇrka a v´
yˇska, lze povolit manipulaci s objekty, zobrazit panely
n´astroj˚
u, apod.).
Potˇrebujeme-li zaˇclenit aplet z GeoGebry do sv´e webov´e str´anky, kter´a m´a sv´e specifick´e
rozvrˇzen´ı a stylov´an´ı, vykop´ırujeme z pr´avˇe exportovan´eho webu naˇs´ı u
´lohy v GeoGebˇre
vˇeˇsker´
y obsah mezi tagy <applet>...</applet> (vˇcetnˇe poˇca´teˇcn´ıho a koncov´eho tagu)
a vloˇz´ıme do naˇs´ı webov´e str´anky mezi pˇripraven´e znaˇcky p´arov´eho tagu object. Situace
v z´apisu k´odu pak vypad´a n´asledovnˇe:
<object>
<applet name="ggbApplet" ... >
........................
</applet>
</object>
Screen dynamick´eho pracovn´ıho listu GeoGebry vyexportovan´eho jako webov´a str´anka:
– 31 –
Literatura
ˇ Poˇc´ıtaˇc ve v´
[1] Gergelitsov´a, S.:
yuce nejen geometrie – pr˚
uvodce GeoGebrou,
Generation Europe, Praha, 2011.
[2] Dytrych, M., Dobiasov´a, I., Livˇ
nansk´a, L.: Sb´ırka u
´loh z matematiky – geometrie a funkce, Fortuna, Praha, 2001.
ˇ
[3] Buˇsek, I., Mannov´a, B., Sediv´
y, J., Rieˇcan, B.: Sb´ırka u
´loh z matematiky pro
III. roˇcn´ık gymn´azi´ı, SPN, Praha, 1987.
ˇ a SS,
ˇ
[4] Van´ıˇcek, J.: Metodika pouˇzit´ı dynamick´e geometrie pˇri vyuˇcov´an´ı na ZS
http://www.pf.jcu.cz/cabri/metodika/.
[5] V´
yukov´e materi´aly Cabri Geometrie: http://www.pf.jcu.cz/p-mat/.
c RNDr. Tom´
aˇs Mikulenka, Kromˇeˇr´ıˇz 2012. Sazba a grafick´a u
´prava: autor. Publikace
m˚
uˇze b´
yt pro u
´ˇcely v´
yuky na ˇskol´
ach volnˇe reprodukov´ana. Pˇripom´ınky a n´amˇety lze
a
smˇeˇrovat na adresu: t.mikulenkaseznam.cz.
´ vznikl jako souˇcast
´ grantoveho
´
´
ˇ r´ızˇ
Tento v´yukov´y material
projektu Gymnazia
Kromeˇ
´
´
´ v letech 2009–2012. Projekt je
s nazvem
Beznakladov
e´ ICT pro uˇcitele realizovaneho
ˇ
´ z Evropskeho
´
´ ıho fondu a statn´
´ ıho rozpoˇctu Cesk
spolufinancovan
socialn´
e´ republiky.
www.gymkrom.cz/ict
Download

Dvacítka řešených úloh v prog. GeoGebra