Shodn´
a zobrazen´ı
Otoˇ
cen´ı
Pˇ
r´ıklad 1. Jsou d´any tˇri r˚
uzn´e soustˇredn´e kruˇznice a, b a c. Sestrojte rovnostrann´
y troj´
uheln´ık ABC tak, aby A leˇzel na a, B leˇzel na b a C leˇzel na
c.
ˇ sen´ı. Zvol´ıme vrchol A na a. Pro bod C pak plat´ı, ˇze je obrazem bodu B
Reˇ
v ot´aˇcen´ı se stˇredem v A o u
´hel 60◦ (nebo −60◦ ). Protoˇze obecnˇe obraz bodu
X, kter´
y leˇz´ı na mnoˇzinˇe M , leˇz´ı na obrazu mnoˇziny M , bude bod C – obraz
bodu B – leˇzet na na zobrazen´e mnoˇzinˇe b. Proto otoˇc´ıme kruˇznici b kolem
stˇredu A o u
´hel 60◦ , nalezneme pr˚
useˇc´ıky t´eto otoˇcen´e kruˇznice s kruˇznic´ı c
a tyto pr˚
useˇc´ıky jsou moˇzn´e vrcholy C. Vrcholy B pak nalezneme otoˇcen´ım
zpˇet.
Pˇ
r´ıklad 2. Je d´an bod A a dvˇe r˚
uzn´e soustˇredn´e kruˇznice b a c. Sestrojte
ˇ sen´ı
rovnostrann´
y troj´
uheln´ık ABC tak, aby B leˇzel na b a C leˇzel na c. Reˇ
je zˇrejm´e – je to zvolen´
y bod A v pˇredchoz´ım ˇreˇsen´ı.
1
Pˇ
r´ıklad 3. Je d´ana pˇr´ımka p a bod X. Na pˇr´ımce a je libovolnˇe d´an bod S.
Uvaˇzujme bod Y – obraz bodu X v ot´aˇcen´ı se stˇredem v bodˇe S o u
´hel α.
Dokaˇzte, ˇze mnoˇzina vˇsech bod˚
u Y je pˇr´ımka.
ˇ sen´ı. Na pˇr´ımce p jistˇe leˇz´ı bod S1 pro kter´
Reˇ
y plat´ı, ˇze pˇr´ımka S1 X sv´ır´a
s pˇr´ımkou p pr´avˇe u
´hel α. Zvolme tento bod S1 , obraz bodu X v otoˇcen´ı
se stˇredem v S1 o u
´hel α oznaˇcme Y1 . Zvolme d´ale na p libovoln´
y bod S2 ,
obraz bodu X v otoˇcen´ı se stˇredem v S2 o u
´hel α oznaˇcme Y2 . Troj´
uheln´ıky
XS1 Y1 a XS2 Y2 jsou oba rovnoramenn´e s vnitˇrn´ım u
´hlem pˇri hlavn´ım vrcholu rovn´
ym α. Proto jsou podobn´e. Z t´eto podobnosti vypl´
yv´a, ˇze a maj´ı
shodn´e i vnitˇrn´ı u
´hly pˇri z´akladnˇe – oznaˇcme je β, proto jsou shodn´e i u
´hly
<) S1 XS2 a <) Y1 XY2 . Z podobnosti troj´
uheln´ık˚
u XS1 Y1 a XS2 Y2 d´ale plyne
rovnost pomˇer˚
u |XY1 | : |S1 X| = |XY2 | : |S2 X| (d´elka z´akladny k d´elce
ramena), proto jsou podobn´e troj´
uheln´ıky S1 XS2 a Y1 XY2 podle vˇety sus
o podobnosti troj´
uheln´ık˚
u. Odtud plyne, ˇze velikost u
´hlu <) XY1 Y2 se rovn´a
velikosti u
´hlu <) XS1 S2 = α. Zvol´ıme-li na pˇr´ımce p dalˇs´ı bod S3 , stejn´
ym
postupem uk´aˇzeme, ˇze i velikost u
´hlu <) XY1 Y3 se rovn´a α. Body Y1 , Y2 a Y3
tedy leˇz´ı na pˇr´ımce. D˚
ukaz je hotov.
Podobnˇe bychom mohli postupovat, kdybychom zvolili bod S4 mimo
pˇr´ımku p a chtˇeli uk´azat, ˇze mnoˇzina obraz˚
u bod˚
u X ve stˇredov´
ych soumˇernostech se stˇredy ve vˇsech bodech troj´
uheln´ıku S1 S2 S4 je troj´
uheln´ık Y1 Y2 Y4
s troj´
uheln´ıkem S1 S2 S4 podobn´
y. Vedli bychom pˇr´ımku m = S1 S4 a obdobnˇe
uk´azali, ˇze mnoˇzina vˇsech obraz˚
u bod˚
u X ve stˇredov´
ych soumˇernostech se
stˇredy na pˇr´ımce m je pˇr´ımka r, kter´a s m sv´ır´a u
´hel γ, stejn´
y u
´hel, jako
sv´ır´a pˇr´ımka q s pˇr´ımkou p. Odchylka pˇr´ımek p a m, oznaˇcme ji δ, se tak
mus´ı rovnat odchylce pˇr´ımek q a r (v obr´azku vid´ıme, ˇze γ +δ + = 180◦ , bod
S1 je pr˚
useˇc´ıkem pˇr´ımek m a p, bod Y1 proto mus´ı b´
yt pr˚
useˇc´ıkem pˇr´ımek q
2
a r). Odtud uˇz bezprostˇrednˇe vyplyne, ˇze troj´
uheln´ıky S1 S2 S4 a Y1 Y2 Y4 jsou
podobn´e, protoˇze koeficient k podobnosti je pomˇer d´elek z´akladny a ramena
rovnoramenn´eho troj´
uheln´ıku s vnitˇrn´ım u
´hlem pˇri hlavn´ım vrcholu o veliα
kosti α, tedy k = 2 · sin 2 , nez´avis´ı tedy na volbˇe stˇredu ot´aˇcen´ı, tedy na
volbˇe bodu S.
K ˇreˇsitelnosti u
´lohy:
´
Uloha
m´a ˇreˇsen´ı (pro obecn´
yu
´hel α), kdyˇz bude bod A zvolen na u
´seˇcce
A1 A2 . Na obr´azku jsou pak nakresleny krajn´ı polohy otoˇcen´
ych kruˇznic b,
pro kter´e m´a u
´loha vˇzdy jedno ˇreˇsen´ı. Z podobnosti, kterou jsme odvodili
3
v pˇredchoz´ım d˚
ukaze plyne, ˇze troj´
uheln´ıky XA1 A2 a XL1 L2 jsou podobn´e,
´seˇcku A1 A2 najdeme
koeficient podobnosti je k = 2·sin α2 . Geometricky tedy u
tak, ˇze najdeme mezn´ı polohy kruˇznic b1 a b2 a sestroj´ıme troj´
uheln´ık XA1 A2
podobn´
y s troj´
uheln´ıkem XL1 L2 tak, aby z´akladna A1 A2 leˇzela na a. V´
ypoˇcet
trigonometricky pomoc´ı t´eto podobnosti.
V naˇsem konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe, kdy m´a u
´hel ot´aˇcen´ı velikost 60◦ , je podobnost shodnost´ı, proto A1 A2 = L1 L2 a vzd´alenost |aX| = |qX|. Konstrukce:
Sestroj´ıme kruˇznice b1 a b2 , kter´e maj´ı stˇred na pˇr´ımce q a maj´ı s kruˇznic´ı
´ cku L1 L2 pˇreneseme na
c vnˇejˇs´ı dotyk. Jejich stˇredy jsou body L1 a L2 . Useˇ
pˇr´ımku a (z´ısk´ame hledanou u
´seˇcku A1 A2 ) tak, aby stˇred u
´seˇcky A1 A2 byl
patou kolmice spuˇstˇen´e z bodu X na pˇr´ımku a.
Poznamenejme, ˇze pˇri ot´aˇcen´ı opaˇcn´
ym smˇerem bude situace identick´a,
jen pˇr´ımka q bude leˇzet vlevo od kruˇznic b a c. Z´ısk´ame tut´eˇz u
´seˇcku A1 A2 .
D´ale m˚
uˇzeme ˇr´ıci, ˇze pro nalezen´ı u
´seˇcky A1 A2 byla konstrukce pˇr´ımky q
zbyteˇcn´a, bylo moˇzn´e nal´ezt body L1 a L2 pˇr´ımo na pˇr´ımce a – byly by to
pˇr´ımo body A1 a A2 . D´elku u
´seˇcky A1 A2 urˇc´ıme jako dvojn´asobek d´elky
u
´seˇcky P A2 , kterou vypoˇc´ıt´ame pomoc´ı Pythagorovy vˇety v pravo´
uhl´em
troj´
uheln´ıku XP A2 . |XP | je dan´a d´elka ze zad´an´ı (urˇcuje um´ıstˇen´ı pˇr´ımky
a vzhledem ke kruˇznic´ım b a c) a |XA2 | m´a d´elku rovnu souˇctu polomˇer˚
u
kruˇznic b a c.
Pˇ
r´ıklad 4. Na stran´ach troj´
uheln´ıka ABC jsou vnˇe sestrojeny rovnostrann´e
troj´
uheln´ıky A1 CB, B1 AC a AC1 B. Dokaˇzte, ˇze |AA1 | = |BB1 | = |CC1 |.
ˇ sen´ı. Pˇri otoˇcen´ı se stˇredem C o u
Reˇ
´hel 60◦ v z´aporn´em smyslu se bod A
´ cka AA1 se proto zobraz´ı na u
zobraz´ı na bod B1 a bod A1 na bod B. Useˇ
´seˇcku
B1 B. D´ale pˇri otoˇcen´ı se stˇredem A o u
´hlem 60◦ v z´aporn´em smyslu se bod
4
´ cka BB1 se tedy zobraz´ı pˇri
B zobraz´ı na bod C1 a bod B1 na bod C. Useˇ
tomto otoˇcen´ı na u
´seˇcku C1 C. Odsud jiˇz vypl´
yv´a, ˇze |AA1 | = |BB1 | = |CC1 |.
A1
C
B1
B
A
C1
Stˇ
redov´
a soumˇ
ernost
Pˇ
r´ıklad 5. Sestrojte troj´
uheln´ık ABC, je-li d´ano ta , mb a mc , kde mb je
mnoˇzina (podm´ınka) pro bod B a mc je mnoˇzina (podm´ınka) pro bod C.
Moˇzn´
y postup ˇreˇsen´ı: Um´ıst´ıme tˇeˇznici ta (´
useˇcku ASa , Sa oznaˇc´ıme stˇred
strany BC), d´ale sestroj´ıme mnoˇzinu mb a mnoˇzinu mc – podle podm´ınek
u
´lohy. Protoˇze je Sa stˇred strany BC, je bod C obrazem bodu B ve stˇredov´e
soumˇernosti se stˇredem pr´avˇe v Sa . Je zˇrejm´e, ˇze pokud bod X leˇz´ı na
mnoˇzinˇe M , leˇz´ı jeho obraz v libovoln´em zobrazen´ı na obrazu mnoˇziny M
v tomto zobrazen´ı. Proto leˇz´ı bod B – obraz bodu C na obrazu mnoˇziny
mb v uvaˇzovan´e stˇredov´e soumˇernosti se stˇredem v bodˇe Sa . Sestroj´ıme tedy
tento obraz mnoˇziny mb , nalezneme jeho spoleˇcn´e body s mnoˇzinou mc a
tyto spoleˇcn´e body jsou body C – vrcholy troj´
uheln´ıku ABC. Odpov´ıdaj´ıc´ı
5
vrcholy pak najdeme snadno tak, ˇze pouˇzijeme Sa jako stˇred strany BC.
ˇ sitelnost u
Reˇ
´lohy z´avis´ı na poˇctu bod˚
u C.
Pˇ
r´ıklad 6. Sestrojte troj´
uheln´ık ABC, je-li d´ano
• ta , tb a tc . mb je pak kruˇznice k(T, 32 tb ), mc je pak kruˇznice l(T, 23 tc ).
• ta , tb a γ. mb je pak kruˇznice k(T, 23 tb ), mc je mnoˇzina vˇsech bod˚
u X,
ze kter´
ych je vidˇet u
´seˇcku ASa pod u
´hlem γ – oblouk.
• ta , β a γ. mb je pak mnoˇzina vˇsech bod˚
u X, ze kter´
ych je vidˇet u
´seˇcku
ASa pod u
´hlem β – oblouk, mc je mnoˇzina vˇsech bod˚
u Y , ze kter´
ych
je vidˇet u
´seˇcku ASa pod u
´hlem γ – druh´
y oblouk.
• ta , tb a vb . mb je pak kruˇznice k(T, 32 tb ), mc je teˇcna ke kruˇznici l(Sa , 12 vb )
veden´a bodem A – bod Sa m´a od strany b poloviˇcn´ı vzd´alenost neˇz bod
B.
• ta , β a vb . mb je pak mnoˇzina vˇsech bod˚
u X, ze kter´
ych je vidˇet u
´seˇcku
1
ASa pod u
´hlem β – oblouk, mc je teˇcna ke kruˇznici l(Sa , 2 vb ) veden´a
bodem A – bod Sa m´a od strany b poloviˇcn´ı vzd´alenost neˇz bod B.
• ta , vb a vc . mb je teˇcna ke kruˇznici k(Sa , 21 vb ) veden´a bodem A – bod
Sa m´a od strany b poloviˇcn´ı vzd´alenost neˇz bod B, mc je teˇcna ke
kruˇznici l(Sa , 12 vc ) veden´a bodem A – bod Sa m´a od strany c poloviˇcn´ı
vzd´alenost neˇz bod C.
Pˇ
r´ıklad 7. Sestrojte rovnobˇeˇzn´ık ABCD, je-li d´ano |ASb | (Sb je stˇred BC),
va (v´
yˇska na u
´seˇcku AB), |AC|.
ˇ sen´ı. Zde sestroj´ıme nejdˇr´ıve troj´
Reˇ
uheln´ık ABC, kde vych´az´ıme z jeho
tˇeˇznice“ ASb , jedna z mnoˇzin je pak teˇcna ke kruˇznici k(Sb , 21 va ) veden´a
”
bodem A – bod Sb m´a od strany AB poloviˇcn´ı vzd´alenost neˇz bod C,
druh´a z mnoˇzin je pak kruˇznice l(A, |AC|). Vrchol D najdeme pomoc´ı rovnobˇeˇznosti.
Pˇ
r´ıklad 8. Sestrojte lichobˇeˇzn´ık ABCD, AB k CD, je-li d´ano |CSa | (Sa je
stˇred AB), velikost ostr´eho u
´hlu <) CAB, β a δ.
ˇ sen´ı. Nejdˇr´ıve setroj´ıme troj´
Reˇ
uheln´ık ABC, kde zn´ame tˇeˇznici a dva vnitˇrn´ı
u
´hly – zaˇcneme tˇeˇznic´ı, mnoˇziny, jejichˇz spoleˇcn´e body po zobrazen´ı budeme
hledat jsou oblouky urˇcen´e vnitˇrn´ımi u
´hly β a <) CAB, vrchol D pak snadno
najdeme pomoc´ı rovnobˇeˇzky s AB veden´e bodem C a napˇr. pomoc´ı polopˇr´ımky veden´e bodem A, kter´a s AB sv´ır´a u
´hel 180◦ − δ.
6
Pˇ
r´ıklad 9. Sestrojte ˇctyˇru
´heln´ık ABCD, je-li d´ano |ASb | (Sb je stˇred BC),
|ASc | (Sc je stˇred CD), β, δ a velikost u
´hlu = <) Sb ASc .
ˇ sen´ı. Nejdˇr´ıve sestroj´ıme troj´
Reˇ
uheln´ık Sb ASc podle vˇety sus. Vrchol D leˇz´ı
na mnoˇzinˇe M vˇsech bod˚
u X, ze kter´
ych je u
´seˇcka ASc vidˇet pod u
´hlem δ
(oblouk), vrchol B leˇz´ı na mnoˇzinˇe N vˇsech bod˚
u Y , ze kter´
ych je u
´seˇcka
ASb vidˇet pod u
´hlem β (oblouk). Vrchol C pak leˇz´ı na zobrazen´e mnoˇzinˇe M
ve stˇredov´e soumˇernosti se stˇredem Sc a na zobrazen´e mnoˇzinˇe N ve stˇredov´e
soumˇernosti se stˇredem Sb (tedy v pr˚
uniku tˇechto obraz˚
u). Vrcholy B a D pak
snadno najdeme pomoc´ı polopˇr´ımek CSb a CSc . Konstrukce je na obr´azku.
Na obr´azku je sestrojeno pouze jedno ze ˇctyˇr ˇreˇsen´ı. Je tˇreba vykreslit obˇe
dvojice oblouk˚
u, zobrazen´e dvojice oblouk˚
u pak budou m´ıt aˇz ˇctyˇri spoleˇcn´e
body.
Pˇ
r´ıklad 10. Jsou d´any dvˇe soustˇredn´e kruˇznice k1 a k2 . Sestrojte pˇr´ımku l,
na kter´e tyto kruˇznice vyt´ınaj´ı tˇri shodn´e u
´seˇcky.
7
ˇ sen´ı. Oznaˇcme r1 polomˇer kruˇznice k1 a r2 polomˇer kruˇznice k2 . Necht’ je
Reˇ
pro jednoznaˇcnost r1 < r2 . Zvol´ıme na kruˇznici k1 libovoln´
y bod X. Bud’ k 0 1
obraz kruˇznice k1 pˇri symetrii se stˇredem X a Y pr˚
useˇc´ık kruˇznic k 0 1 a k2 .
Uk´aˇzeme, ˇze XY je hledan´a pˇr´ımka l. Oznaˇcme P 6= X pr˚
useˇc´ık pˇr´ımky
XY s kruˇznic´ı k1 , Q 6= Y pr˚
useˇc´ık pˇr´ımky XY s kruˇznic´ı k2 a O stˇred
u
´seˇcky Y Q, a tedy i u
´seˇcky XP (tedy |Y O| = |QO| ∧ |P O| = |XO|). Bod
Y je symetrick´
y s bodem P podle stˇredu X (tedy |XY | = |XP |). Odsud
dost´av´ame, ˇze |QO| − |P O| = |Y O| − |XO|, to znamen´a, ˇze |XY | = |QP |, a
tedy |Y X| = |XP | = |P Q|.
l
Y
X
S
S′
O
k1
P
k1′
k2
Q
Osov´
a soumˇ
ernost
Pˇ
r´ıklad 11. Jsou d´any tˇri pˇr´ımky l1 , l2 a l3 , kter´e se prot´ınaj´ı v jednom
bodˇe, a bod A1 leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce l1 . Sestrojte troj´
uheln´ık ABC tak, aby bod
A1 byl stˇredem jeho strany BC a pˇr´ımky l1 , l2 a l3 byly osami jeho stran.
ˇ sen´ı. Bodem A1 ved’me pˇr´ımku p, kter´a je na l1 kolm´a. Bud’ p2 pˇr´ımka,
Reˇ
kter´a je osovˇe soumˇern´a s pˇr´ımkou p podle pˇr´ımky l2 .Bud’ p3 pˇr´ımka, kter´a je
osovˇe soumˇern´a s pˇr´ımkou p podle pˇr´ımky l3 . Vrchol A hledan´eho troj´
uheln´ıka
ABC je pr˚
useˇc´ıkem pˇr´ımek p2 a p3 . Body B a C pak leˇz´ı na pˇr´ımce p, pˇriˇcemˇz
8
B je osovˇe soumˇern´
y s bodem A podle pˇr´ımky l2 a bod C je osovˇe soumˇern´
y
s bodem A podle pˇr´ımky l3 .
p
p3
C
l2
l1
A1
l3
A
B
p2
Pˇ
r´ıklad 12. Je d´ana pˇr´ımka M N a dva body A a B leˇz´ıc´ı v jedn´e polorovinˇe
vzhledem k M N . Sestrojte na pˇr´ımce M N bod X tak, aby |<) AXM | =
2|<) BXN |.
ˇ sen´ı. Pˇredpokl´adejme, ˇze je bod X sestrojen. Bud’ B 0 bod, kter´
Reˇ
y je osovˇe
soumˇern´
y s bodem B podle pˇr´ımky M N . Kruˇznice se stˇredem B 0 a polomˇerem |AB 0 | prot´ın´a pˇr´ımku M N v bodˇe A0 . Bud’ O stˇred u
´seˇcky AA0 .
Pˇr´ımka B 0 O je tedy osou u
´hlu <) AB 0 A0 . Potom ale i B 0 X mus´ı b´
yt osou
1
0
0 0
’
u
´hlu <) AB A , nebot plat´ı 2 |<) AXM | = |<) M XO| = |<) B XN | = |<) BXN |.
Odsud pˇr´ımo plyne rovnost |<) AXM | = 2|<) BXN |.
Bod X tedy nalezneme jako pr˚
useˇc´ık pˇr´ımek B 0 O a M N , kde O je stˇred
0
u
´seˇcky AA .
B′
k
N
M X
A′
O
A
B
9
Download

otevřít