ODR1
1
Z´
akladn´ı pojmy teorie ODR a speci´
aln´ı typy ODR1
´ ln´ı rovnice a souvisej´ıc´ı pojmy
A. Diferencia
Mnoh´e fyzik´aln´ı a jin´e z´akony lze popsat pomoc´ı rovnic, v nichˇz jako nezn´am´a vystupuje funkce,
pˇriˇcemˇz tyto rovnice obsahuj´ı derivaci, pˇr´ıp. derivace nezn´am´e funkce. Tyto rovnice se naz´
yvaj´ı diferenci´
aln´ı rovnice.
ˇ astka 1000 Kˇc se roˇcnˇe u
Motivaˇ
cn´ı pˇ
r´ıklad. C´
´roˇc´ı 10%. Na konci roku je pak na u
´ˇctu ˇc´astka 1100
Kˇc. Jestliˇze se u
´roky pˇripisuj´ı p˚
ulroˇcnˇe, u
´roˇc´ı se od poloviny roku ˇc´astka 1050 Kˇc a na konci roku je
na u
´ˇctu ˇc´astka 1102,50 Kˇc. V´
ypoˇcet lze teoreticky st´ale zuˇzovat: u
´roˇcen´ı prob´ıh´a ˇctvrtletnˇe, mˇes´ıˇcnˇe,
t´
ydnˇe, dennˇe atd. Vznik´a tedy ot´azka, kolik ˇcin´ı v´
yˇse ˇc´astky na u
´ˇctu po roce spojit´eho u
´roˇcen´ı (tj. za
pˇredpokladu, ˇze ˇc´astka je u
´roˇcena nepˇretrˇzitˇe).
Necht’ y(t) vyjadˇruje v´
yˇsi ˇc´astky v ˇcase t, pˇriˇcemˇz hodnota z´avisle promˇenn´e y je ud´av´ana v korun´ach
a hodnota nez´avisle promˇenn´e t v roc´ıch. Lze uk´azat, ˇze hledan´a funkce y mus´ı vyhovovat rovnici
dy
y(t)
(t) =
,
dt
10
t ≥ 0,
pˇriˇcemˇz y(t) = 1000 pro t = 0. Tato rovnice je rovnic´ı, v n´ıˇz jako nezn´am´a vystupuje funkce y(t) a obsahuje
derivaci funkce y(t). Jedn´a se tedy o rovnici diferenci´aln´ı. Pozdˇeji uvid´ıme, ˇze jedin´
ym ˇreˇsen´ım t´eto rovnice
vyhovuj´ıc´ım podm´ınce y(0) = 1000 je funkce
y(t) = 1000 et/10 .
Odtud tedy plyne, ˇze v´
yˇse ˇc´astky (v korun´ach) po roce spojit´eho u
´roˇcen´ı ˇcin´ı y(1) = 1105, 17.
1. Definice (Z´
akladn´ı pojmy) a) Obyˇcejnou diferenci´
aln´ı rovnic´ı (ODR) naz´
yv´ame rovnici, v n´ıˇz se
vyskytuje (ˇci vyskytuj´ı) derivace hledan´e funkce jedn´e promˇenn´e.
b) Parci´
aln´ı diferenci´
aln´ı rovnic´ı (PDR) naz´
yv´ame rovnici, v n´ıˇz se vyskytuj´ı parci´aln´ı derivace
hledan´e funkce dvou nebo v´ıce promˇenn´
ych.
ˇ adem diferenci´aln´ı rovnice naz´
c) R´
yv´ame nejvˇetˇs´ı ˇr´ad derivace hledan´e funkce v uvaˇzovan´e diferenci´aln´ı rovnici.
d) Diferenci´aln´ı rovnici (ODR ˇci PDR) naz´
yv´ame line´
arn´ı, je-li tato rovnice line´arn´ı vzhledem ke
hledan´e funkci i jej´ı derivaci (pˇr´ıpadnˇe derivac´ım). Zkratky: LODR, LPDR.
e) Oznaˇcen´ı ODR1 (ˇci LODR1) znaˇc´ı obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnici prvn´ıho ˇr´adu (ˇci LODR prvn´ıho
ˇr´adu). Zkratky ODRn a LODRn znaˇc´ı ODR a LODR n-t´eho ˇr´adu. V podobn´em smyslu uˇz´ıv´ame zkratky
PDR1, PDRn, LPDR1, LPDRn.
V dalˇs´ı ˇca´sti se budeme v´
yhradnˇe zab´
yvat obyˇcejn´
ymi diferenci´aln´ımi rovnicemi (pˇr´ıvlastek obyˇcejn´e
budeme zpravidla vynech´avat).
Pˇ
r´ıklady V´
yˇse odvozen´
a diferenci´aln´ı rovnice
y 0 (x) =
y(x)
10
(1)
(nez´avisle promˇennou nyn´ı znaˇc´ıme x) je pˇr´ıkladem LODR1. Tuto rovnici budeme struˇcnˇe zapisovat ve
tvaru y 0 = y/10 (promˇennou x u nezn´am´e funkce y tedy nebudeme vypisovat).
Linearitu t´eto rovnice poruˇs´ıme, uvaˇzujeme-li na prav´e stranˇe v´
yraz, kter´
y nen´ı line´arn´ı vzhledem
k y; pˇr´ıkladem neline´arn´ı ODR1 je napˇr. rovnice y 0 = x + sin y. Podobnˇe rovnice y 00 = xy je pˇr´ıkladem
√
LODR2, zat´ımco podobn´a rovnice (druh´eho ˇr´adu) y 00 = x y jiˇz line´arn´ı nen´ı.
V´
yˇse uveden´e rovnice maj´ı explicitnˇe vyj´adˇrenou derivaci y nejvyˇsˇs´ıho ˇr´adu; ˇr´ık´ame, ˇze tyto rovnice
jsou d´any v tzv. norm´
aln´ım tvaru. Uˇzit´ım vztahu y 0 = dy/dx lze kaˇzdou ODR1 v norm´aln´ım tvaru
pˇrepsat pomoc´ı diferenci´al˚
u; tento tvar pak naz´
yv´ame diferenci´
aln´ım. Rovnice (1) v diferenci´aln´ım tvaru
tedy je
dx
dy
=
.
y
10
´ FSI VUT v Brnˇe
UM
ODR1
2
Snadno si pˇritom rozmysl´ıme, jak pˇrepsat ODR1 danou v diferenci´aln´ım tvaru na tvar norm´aln´ı.
Uˇ
zit´ı ODR. Diferenci´aln´ı rovnice maj´ı z´asadn´ı v´
yznam pˇri ˇreˇsen´ı mnoh´
ych probl´em˚
u fyzik´aln´ıch,
technick´
ych a inˇzen´
yrsk´
ych. Bez diferenci´aln´ıch rovnic by nebylo moˇzn´e prov´adˇet r˚
uzn´e v´
ypoˇcty souvisej´ıc´ı
s pruˇznost´ı a pevnost´ı materi´alu, s ˇr´ızen´ım sloˇzit´
ych jadern´
ych reakc´ı, s lety do vesm´ıru apod. V dalˇs´ım
textu se omez´ıme pouze na modelov´e pˇr´ıklady, jejichˇz hlavn´ım u
´ˇcelem bude ilustrovat prob´ıranou l´atku
a motivovat zaveden´ı dalˇs´ıch pojm˚
u.
Rovnice (1) jako matematick´
y model probl´emu spojit´eho u
´roˇcen´ı je pˇr´ıkladem tzv. Malthusovy rovnice
y 0 = ky, kde k 6= 0 je re´aln´a konstanta. K sestaven´ı t´eto rovnice vede n´asleduj´ıc´ı u
´vaha: Necht’ y = y(t)
vyjadˇruje mnoˇzstv´ı dan´e veliˇciny v ˇcase t. Za pˇredpokladu, ˇze okamˇzit´a zmˇena (pˇr´ır˚
ustek ˇci u
´bytek)
y je v kaˇzd´em okamˇziku u
´mˇern´a hodnotˇe y, pak dost´av´ame pr´avˇe Malthusovu rovnici. Vidˇeli jsme, ˇze
k jednoznaˇcn´emu vyˇreˇsen´ı t´eto rovnice je tˇreba jeˇstˇe dodat informaci o hodnotˇe y v nˇekter´em pevn´em
ˇcasov´em okamˇziku (nejˇcastˇeji se jedn´a o ˇcasov´
y poˇc´atek; pak tedy pˇredepisujeme poˇc´ateˇcn´ı stav - viz
informace o poˇc´ateˇcn´ım stavu u
´ˇctu v probl´emu spojit´eho u
´roˇcen´ı).
Jin´
ym v´
yznamn´
ym pˇr´ıkladem je rovnice
m¨
y = F (t, y, y)
˙
(2)
pˇredstavuj´ıc´ı matematick´e vyj´adˇren´ı druh´eho Newtonova z´akona pro pohyb hmotn´eho bodu o hmotnosti
m po ose y. Je to ODR2 pro hledanou funkci y = y(t), kter´a vyjadˇruje polohu hmotn´eho bodu na
ose y. Druh´a derivace d2 y/ dt2 m´a fyzik´aln´ı v´
yznam zrychlen´ı hmotn´eho bodu; dan´a funkce F vyjadˇruje
v´
yslednou vnˇejˇs´ı s´ılu, kter´a p˚
usob´ı na hmotn´
y bod. K jednoznaˇcn´emu urˇcen´ı ˇreˇsen´ı rovnice (2) je tentokr´at
tˇreba dodat dvˇe podm´ınky. Prvn´ı z nich d´av´a informaci o poˇc´ateˇcn´ı poloze a druh´a o poˇc´ateˇcn´ı rychlosti
dan´eho bodu. Matematicky vyj´adˇreno,
y(0) = y0 ,
y(0)
˙
= y1 ,
kde y0 , y1 jsou pˇredepsan´e hodnoty a t0 = 0 je ˇcasov´
y poˇc´atek.
V souladu s uveden´
ymi pˇr´ıklady budeme d´ale uvaˇzovat ODRn v norm´aln´ım tvaru
y (n) = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ),
(3)
kde f je re´aln´a funkce definovan´a na (n + 1)-rozmˇern´e oblasti Ω ⊂ Rn+1 , a pro tuto rovnici zavedeme
nˇekter´e souvisej´ıc´ı pojmy.
ˇ sen´ım rovnice (3) naz´
2. Definice (Pojem ˇ
reˇ
sen´ı ODR) a) Reˇ
yv´ame kaˇzdou n-kr´at spojitˇe derivovatelnou funkci na nˇejak´em intervalu I, kter´a vyhovuje dan´e rovnici, takˇze po dosazen´ı t´eto funkce a jej´ıch
derivac´ı do dan´e rovnice dostaneme na intervalu I identickou rovnost.
b) ODR budeme povaˇzovat za vyˇreˇsenou, budeme-li zn´at vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı.
c) Kˇrivku, kter´a zn´azorˇ
nuje nˇekter´e ˇreˇsen´ı dan´e ODR, naz´
yv´ame integr´
aln´ı kˇrivkou diferenci´aln´ı
rovnice. Samotn´e ˇreˇsen´ı naz´
yv´ame tak´e integr´
alem diferenci´aln´ı rovnice.
Poznamenejme, ˇze pokud definiˇcn´ı obor ˇreˇsen´ı dan´e rovnice nebude dopˇredu stanoven, budeme obvykle
hledat ˇreˇsen´ı definovan´a na maxim´aln´ım moˇzn´em intervalu (tato ˇreˇsen´ı se naz´
yvaj´ı maxim´
aln´ı; my budeme
tento pˇr´ıvlastek vynech´avat).
3. Definice (Poˇ
c´
ateˇ
cn´ı podm´ınky a poˇ
c´
ateˇ
cn´ı probl´
em) Mˇejme d´an libovoln´
y, ale pevnˇe dan´
y
´
ateˇcn´ım podm´ınk´
am
bod (x0 , y0 , y1 , . . . , yn−1 ) ∈ Ω. Uloha
urˇcit ˇreˇsen´ı rovnice (3), kter´e vyhovuje n poˇc´
y(x0 ) = y0 ,
y 0 (x0 ) = y1 , . . . ,
y (n−1) (x0 ) = yn−1 ,
(4)
se naz´
yv´a poˇc´
ateˇcn´ı probl´em (nebo tak´e Cauchyho u
´loha). P˚
uvod n´azvu poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek (a tedy
i poˇc´ateˇcn´ıho probl´emu) plyne z toho, ˇze se nejˇcastˇeji pˇredepisuj´ı v bodˇe, kter´
y reprezentuje ˇcasov´
y
poˇc´atek.
Speci´alnˇe poˇc´ateˇcn´ı probl´em pro ODR1 je tvaru
y 0 = f (x, y),
a pro ODR2 pak
y 00 = f (x, y, y 0 ),
y(x0 ) = y0
y(x0 ) = y0 ,
´ FSI VUT v Brnˇe
UM
y 0 (x0 ) = y1 .
ODR1
3
4. Definice (Okrajov´
e podm´ınky a okrajov´
y probl´
em)Tento probl´em se uvaˇzuje zejm´ena v pˇr´ıpadˇe
ODR2, kdy nez´avisle promˇenn´a x m´a v´
yznam d´elky. Jde o u
´lohu urˇcit ˇreˇsen´ı rovnice
y 00 = f (x, y, y 0 )
splˇ
nuj´ıc´ı tzv. okrajov´e podm´ınky, kter´e mohou b´
yt napˇr. tvaru
nebo
y(a) = α,
y(b) = β
y 0 (a) = γ,
y 0 (b) = δ,
kde α, β, γ, δ jsou dan´e hodnoty a a, b jsou koncov´e body intervalu I, ve kter´em hled´ame ˇreˇsen´ı ODR2.
5. Definice (Druhy ˇ
reˇ
sen´ı ODR) a) Obecn´ym ˇreˇsen´ım rovnice (3) budeme rozumˇet funkci z´avisej´ıc´ı
na n obecn´
ych parametrech C1 , . . . , Cn takov´
ych, ˇze speci´aln´ı (pˇr´ıpustnou) volbou C1 , . . . , Cn lze z´ıskat
ˇreˇsen´ı kaˇzd´eho poˇc´ateˇcn´ıho probl´emu (3), (4).
b) Partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı ODRn je takov´e ˇreˇsen´ı ODRn, kter´e obdrˇz´ıme z obecn´eho ˇreˇsen´ı pevnou volbou
konstant C1 , . . . , Cn .
c) V´yjimeˇcn´e ˇreˇsen´ı je ˇreˇsen´ı ODRn, kter´e nelze z´ıskat z obecn´eho ˇreˇsen´ı ˇz´adnou volbou hodnot
C1 , . . . , C n .
Uveden´e pojmy budeme ilustrovat na pˇr´ıkladech uveden´
ych v odd´ılu B.
6. Definice (Geometrick´
y v´
yznam ODR) Diferenci´aln´ı rovnice prvn´ıho ˇr´adu
y 0 = f (x, y)
(5)
pˇriˇrazuje kaˇzd´emu bodu (x, y) definiˇcn´ıho oboru Ω funkce f smˇernici y 0 pˇr´ısluˇsn´eho ˇreˇsen´ı. T´ım je v Ω
d´ano pole smˇer˚
u, tzv. smˇerov´e pole. Toto smˇerov´e pole lze graficky zn´azornit tak, ˇze zakresl´ıme dostateˇcnˇe
mnoho bod˚
u (x, y) ∈ Ω a teˇcny pˇr´ısluˇsn´
ych integr´aln´ıch kˇrivek o smˇernic´ıch f (x, y) vyznaˇc´ıme kr´atk´
ymi
u
´seˇckami. Z geometrick´eho hlediska ˇreˇsit diferenci´aln´ı rovnici (5) znamen´a vepsat do dan´eho smˇerov´eho
pole kˇrivky tak, aby jejich teˇcny dan´e smˇerov´e pole respektovaly.
U rovnice druh´eho ˇr´adu je kaˇzd´emu bodu (x, y) a smˇeru y 0 pˇriˇrazena hodnota druh´e derivace (t´ım
je tedy pˇredeps´ana kˇrivost hledan´e integr´aln´ı kˇrivky). Rovnice vyˇsˇs´ıho ˇr´adu jiˇz nemaj´ı tak jednoduchou
geometrickou interpretaci.
Pˇ
r´ıklad Sestrojme smˇerov´e pole diferenci´aln´ı rovnice
x
y0 = − .
y
±
ˇ sen´ı: Funkce f (x, y) = −x y je definov´
Reˇ
ana pro vˇsechna re´aln´a x a y s v´
yjimkou bod˚
u leˇz´ıc´ıch na ose x.
Poloˇz´ıme-li y 0 = k, kde k ∈ R, obdrˇz´ıme otevˇren´e polopˇr´ımky x = −ky (y 6= 0). Jsou to kˇrivky, v jejichˇz
bodech je danou rovnic´ı pˇredeps´ana t´aˇz hodnota smˇernice y 0 = k; ˇr´ık´a se jim izokliny. Pomoc´ı izoklin pak
snadno vid´ıme, ˇze smˇerov´e pole dan´e rovnice m´a tvar zn´azornˇen´
y na obr. 1.
´ FSI VUT v Brnˇe
UM
ODR1
4
y
x
Obr. 1
Odtud tak´e plyne, ˇze v horn´ı polorovinˇe jsou√integr´aln´ımi kˇrivkami p˚
ulkruˇznice y =
v doln´ı polorovinˇe to jsou p˚
ulkruˇznice y = − C − x2 , kde C ∈ R+ .
√
C − x2 , zat´ımco
ˇktere
´ typy ODR1
B. Ne
V tomto odd´ılu uvedeme nˇekolik z´akladn´ıch typ˚
u ODR1, jejichˇz ˇreˇsen´ı lze nal´ezt exaktnˇe. Sezn´am´ıme
se pˇritom s metodami umoˇzn
ˇuj´ıc´ımi vyj´adˇren´ı pˇresn´eho ˇreˇsen´ı dan´e rovnice, a to po koneˇcn´em poˇctu
krok˚
u.
B1. ODR1 se separovan´
ymi promˇ
enn´
ymi
Je tvaru
y 0 = g(x)h(y) .
(6)
kde g, h jsou funkce jedn´e promˇenn´e. Plat´ı
7. Vˇ
eta Necht’ funkce g, resp. h je definovan´a a spojit´a na intervalu (a, b), resp. (c, d) a necht’ pro kaˇzd´e
y ∈ (c, d) je h(y) =
6 0. D´ale necht’ x0 ∈ (a, b), y0 ∈ (c, d) jsou libovoln´e body. Pak m´a poˇc´ateˇcn´ı probl´em
y 0 = g(x)h(y),
y(x0 ) = y0
(7)
pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı definovan´e na nˇejak´em intervalu I. Toto ˇreˇsen´ı je urˇceno implicitnˇe vzorcem
Z
y(x)
y0
dt
=
h(t)
Z
x
g(s) ds
pro kaˇzd´e x ∈ I.
(8)
x0
Praktick´
y postup. Za pˇredpoklad˚
u uveden´
ych v pˇredch´azej´ıc´ım tvrzen´ı je ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ıho probl´emu
(7) d´ano implicitnˇe vztahem (8). Vztah
Z
Z
dy
= g(x) dx + C,
C∈R
(9)
h(y)
je tedy obecn´
ym ˇreˇsen´ım ±rovnice (6). Mnemotechnicky si vzorec (9) m˚
uˇzeme zapamatovat takto: V rovnici
(6) m´ısto y 0 nap´ıˇseme dy dx a provedeme tzv. separaci promˇenn´ych. V´
yrazy s promˇenn´
ymi x, resp. y od
sebe oddˇel´ıme na obou stran´ach rovnice. T´ım obdrˇz´ıme form´aln´ı rovnost
dy
= g(x) dx.
h(y)
Obˇe strany rovnosti integrujeme a na pravou stranu pˇrip´ıˇseme integraˇcn´ı konstantu, ˇc´ımˇz obdrˇz´ıme vzorec
(9).
´ FSI VUT v Brnˇe
UM
ODR1
5
Pˇ
r´ıklad Urˇceme vˇsechna ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice
y0 =
1
(2y + 1).
x
(10)
ˇ sen´ı: Zvol´ıme postup popsan´
Reˇ
y v pˇredch´azej´ıc´ı pozn´amce. Pˇredpoklad x 6= 0, 2y + 1 6= 0 rozdˇel´ı rovinu
na ˇctyˇri oblasti:
Ω1 = (0, ∞) × (−1/2, ∞),
Ω3 = (−∞, 0) × (−∞, −1/2),
Ω2 = (−∞, 0) × (−1/2, ∞),
Ω4 = (0, ∞) × (−∞, −1/2) .
Ve vˇsech tˇechto oblastech postupnˇe dost´av´ame:
dy
dx
dy
R 2y+1
dy
1
2
2y+1
ln |2y + 1|
=
=
1
x (2y +
dx ,
Rx dx
x ,
1),
=
= ln |x| + C1 ,
C1 ∈ R.
Z tohoto tvaru lze hledanou funkci y vyj´adˇrit explicitnˇe na lev´e stranˇe, ˇc´ımˇz se z´ıskan´
y v´
ysledek znaˇcnˇe
zpˇrehledn´ı. Neˇz tak uˇcin´ıme, zap´ıˇseme obecnou konstantu C1 ve tvaru (1/2) ln |C|, C 6= 0, coˇz n´am umoˇzn´ı
jednoduˇse upravit v´
ysledek.
Odlogaritmov´an´ım a u
´pravou vztahu
1
1
ln |2y + 1| = ln |x| + ln |C|,
2
2
dost´av´ame
|2y + 1| = |C|x2 ,
C ∈ R − {0}
C ∈ R − {0} .
Nyn´ı pˇristoup´ıme k odstranˇen´ı absolutn´ıch hodnot. V oblastech Ω1 a Ω2 plat´ı 2y + 1 = Cx2 , C > 0
a v oblastech Ω3 , Ω4 pak 2y + 1 = Cx2 , C < 0. Dohromady tedy na uveden´
ych oblastech plat´ı
2y + 1 = Cx2 ,
C ∈ R − {0} .
(11)
±
Nyn´ı posoud´ıme pˇr´ıpad 2y + 1 = 0 (tj. y = −1 2). Dosazen´ım do rovnice (10) snadno vid´ıme, ˇze tato
konstantn´ı funkce je tak´e ˇreˇsen´ım. Protoˇze toto ˇreˇsen´ı lze obdrˇzet ze vztahu (11) volbou C = 0, vˇsechna
ˇreˇsen´ı rovnice (10) jsou tvaru
1
y = Cx2 − ,
C ∈ R,
2
kde m´ısto C/2 p´ıˇseme C. Tato ˇreˇsen´ı, kter´a tvoˇr´ı souˇcasnˇe obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice, pˇredstavuj´ı
jednoparametrickou soustavu parabol zn´azornˇenou na obr. 2.
y
C>0
x
1
2
C=0
C<0
Obr. 2
´ FSI VUT v Brnˇe
UM
ODR1
6
Vˇsimnˇeme si, ˇze kaˇzd´
ym bodem roviny, s v´
yjimkou bod˚
u leˇz´ıc´ıch na ose y, proch´az´ı pr´avˇe jedna
integr´aln´ı kˇrivka obecn´eho ˇreˇsen´ı. Jinak vyj´adˇreno, pˇredep´ıˇseme-li tˇemito body poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku,
bude m´ıt odpov´ıdaj´ıc´ı poˇc´ateˇcn´ı probl´em pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı.
B2. Line´
arn´ı ODR1
Line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice 1. ˇr´adu m´a obvykle tvar
y 0 = a(x)y + f (x) .
(12)
Je-li f (x) = 0 pro vˇsechna uvaˇzovan´a x, pak hovoˇr´ıme o homogenn´ı LODR1; v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se jedn´a
o nehomogenn´ı LODR1.
Pˇredpokl´adejme d´ale, ˇze funkce a(x), f (x) jsou spojit´e na intervalu I. Uvedeme nejobvyklejˇs´ı metodu
ˇ sen´ı prob´ıh´a ve dvou kroc´ıch.
ˇreˇsen´ı rovnice (12), tzv. metodu variace konstanty. Reˇ
ˇ s´ıme nejprve pˇridruˇzenou homogenn´ı LODR1 ve tvaru
I. Reˇ
y 0 = a(x)y,
(13)
v n´ıˇz m˚
uˇzeme za pˇredpokladu y 6= 0 separovat promˇenn´e. V´
yˇse popsanou metodou separace promˇenn´
ych
lze urˇcit obecn´e ˇreˇsen´ı yh rovnice (13) ve tvaru
yh = Cv(x),
kde v(x) = e
R
a(x) dx
,
C∈R
(volba C = 0 zahrnuje vylouˇcen´
y pˇr´ıpad y = 0, kter´
y je rovnˇeˇz ˇreˇsen´ım (13)).
ˇ sen´ı p˚
II. Reˇ
uvodn´ı nehomogenn´ı rovnice (12) hled´ame ve stejn´em tvaru, ale C jiˇz nen´ı ˇc´ıseln´a konstanta, n´
ybrˇz funkce promˇenn´e x (odtud je tak´e n´azev metody):
y = C(x)v(x),
C(x) =?
(14)
Obecn´e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı LODR1 se tedy liˇs´ı od obecn´eho ˇreˇsen´ı homogenn´ı LODR1 jen t´ım, ˇze m´ısto
konstanty C nastoup´ı vhodn´a (zat´ım neurˇcen´a) funkce C(x). Tu urˇc´ıme tak, ˇze vztah (14) dosad´ıme do
p˚
uvodn´ı rovnice (12). Odtud po u
´pravˇe (zejm´ena po vz´ajemn´e eliminaci vˇsech ˇclen˚
u obsahuj´ıc´ıch C(x))
m´ame
C 0 (x)v(x) = f (x) .
(15)
Protoˇze v(x) > 0, lze rovnici (15) dˇelit v(x), takˇze
Z
Z
R
f (x)
C(x) =
dx + C = f (x) e− a(x) dx dx + C ,
v(x)
kde C je obecn´a konstanta. Dosazen´ım C(x) do vztahu (14) dost´av´ame obecn´e ˇreˇsen´ı line´arn´ı rovnice
(12), zahrnuj´ıc´ı vˇsechna ˇreˇsen´ı t´eto rovnice. Toto ˇreˇsen´ı je pˇritom definov´ano na intervalu I, tedy vˇsude
tam, kde jsou funkce a(x), f (x) spojit´e.
Pˇ
r´ıklad Naleznˇeme ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ıho probl´emu
y0 =
1
(2y + 1),
x
y(1) = 0.
ˇ sen´ı: Dan´a rovnice jiˇz byla rozˇreˇsena v odd´ılu B1 jako rovnice se separovan´
Reˇ
ymi promˇenn´
ymi.
Souˇcasnˇe je vˇsak i rovnic´ı line´arn´ı, nebot’ lze ps´at ve tvaru
y0 =
2
1
y+
x
x
(tj. a(x) =
2
1
, f (x) = .)
x
x
Ilustrujme proto pˇri ˇreˇsen´ı t´eto rovnice tak´e metodu variace konstanty:
I. Nejprve nalezneme obecn´e ˇreˇsen´ı pˇridruˇzen´e homogenn´ı rovnice
y0 =
2
y.
x
´ FSI VUT v Brnˇe
UM
(16)
ODR1
7
Separac´ı promˇenn´
ych dost´av´ame pro x 6= 0 a y 6= 0
yh = Cx2 ,
C ∈ R,
kde volba parametru C = 0 zahrnuje i nulov´e ˇreˇsen´ı yh = 0.
II. Metodou variace konstanty hledejme obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (16) ve tvaru
y = C(x)x2 ,
C(x) =?
Nezn´amou funkci C(x) urˇc´ıme dosazen´ım tohoto vztahu do (16):
C 0 (x)x2 + C(x)2x =
1
2
C(x)x2 + ,
x
x
C 0 (x) =
tj.
1
.
x3
Odtud pak integrac´ı dost´av´ame
Z
C(x) =
1
dx =
x3
Z
x−3 dx =
x−2
1
+ C = − 2 + C,
−2
2x
kde C je obecn´a konstanta. Zpˇetn´
ym dosazen´ım C(x) m´ame
y = (−
1
1
+ C)x2 = Cx2 − ,
2x2
2
C ∈ R.
±
Dosad´ıme-li nyn´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku do obecn´eho ˇreˇsen´ı, m´ame C = 1 2, a ˇreˇsen´ı dan´eho poˇc´ateˇcn´ıho
probl´emu je tedy tvaru
1
y = (x2 − 1),
x ∈ (0, ∞).
2
N´asleduj´ıc´ı dva typy ODR1 lze pˇrev´est vhodnou substituc´ı na rovnici se separovan´
ymi promˇenn´
ymi,
resp. rovnici line´arn´ı.
B3. ODR1 tvaru y’=f(y/x)
Rovnici
y0 = f
³y´
(17)
x
lze snadno pˇrev´est substituc´ı
y(x) = u(x)x
(struˇcnˇe: y = ux)
(18)
na ODR1 se separovan´
ymi promˇenn´
ymi. Vskutku, ze substituce (18) plyne
y 0 = u0 x + u,
takˇze rovnice (17) pˇrejde v rovnici
u0 x + u = f (u),
neboli
u0 =
1
(f (u) − u) ,
x
coˇz je ODR1 se separovan´
ymi promˇenn´
ymi.
Odtud tedy d´ale pro x 6= 0 a f (u) 6= u dostaneme rovnici v diferenci´aln´ım tvaru
du
dx
=
.
f (u) − u
x
Jej´ı obecn´
y integr´al vyjadˇruje vztah mezi promˇenn´
ymi x a u. Ze vztahu (18) plyne u = y/x. Uˇzit´ım
tohoto vztahu v obecn´em integr´alu dostaneme obecn´e ˇreˇsen´ı v x a y.
B4. Bernoulliova rovnice
Bernoulliova rovnice je tvaru
y 0 = a(x)y + f (x)y r ,
r ∈ R.
´ FSI VUT v Brnˇe
UM
(19)
ODR1
8
Poznamenejme, ˇze v pˇr´ıpadˇe r = 0 nebo r = 1 je dan´a rovnice line´arn´ı, a proto budeme pˇredpokl´adat
r 6= 0, r 6= 1. Necht’ d´ale funkce a(x), f (x) jsou spojit´e v nˇejak´em intervalu I. Uk´aˇzeme, ˇze rovnici (19)
lze substituc´ı
u(x) = y 1−r (x)
(struˇcnˇe: u = y 1−r )
pˇrev´est na LODR1. Vskutku, za pˇredpokladu y 6= 0 poloˇz´ıme u = y 1−r . Potom u0 = (1 − r)y −r y 0 , takˇze
Bernoulliova rovnice se transformuje na tvar
u0 = (1 − r)a(x)u + (1 − r)f (x),
coˇz je rovnice line´arn´ı. Tuto rovnici vyˇreˇs´ıme (viz odd´ıl B2) a z jej´ıho obecn´eho ˇreˇsen´ı pak prostˇrednictv´ım
dan´e substituce z´ısk´ame obecn´e ˇreˇsen´ı p˚
uvodn´ı rovnice (19).
Kromˇe ˇreˇsen´ı, kter´a dostaneme t´ımto postupem, m´a rovnice (19) pro r > 0 tak´e ˇreˇsen´ı y = 0.
Shrnut´ı poznatk˚
u
Obyˇcejn´a diferenci´aln´ı rovnice je rovnice, jej´ıˇz nezn´am´a je funkce (jedn´e promˇenn´e), a kter´a obsahuje
ˇ ad nejvyˇsˇs´ı derivace pak nazveme ˇr´adem rovnice. Rovnice
derivaci (pˇr´ıp. derivace) t´eto nezn´am´e funkce. R´
tohoto typu hraj´ı z´asadn´ı roli pˇri modelov´an´ı mnoha technick´
ych a pˇr´ırodovˇedn´
ych probl´em˚
u. Aby tyto
modely mˇely ˇreˇsen´ı urˇceno jednoznaˇcnˇe, je tˇreba s danou rovnic´ı uvaˇzovat i doplˇ
nuj´ıc´ı podm´ınky, jejichˇz
poˇcet je roven ˇr´adu rovnice. Jsou-li tyto podm´ınky pˇredeps´any pouze v jednom (nejˇcastˇeji poˇc´ateˇcn´ım)
bodˇe, naz´
yvaj´ı se podm´ınkami poˇc´ateˇcn´ımi. Jsou-li pˇredeps´any v r˚
uzn´
ych (nejˇcastˇeji okrajov´
ych) bodech,
naz´
yvaj´ı se podm´ınkami okrajov´
ymi.
Pro nˇekolik speci´aln´ıch typ˚
u diferenci´aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´adu (a pozdˇeji uvid´ıme, ˇze nejen prvn´ıho
ˇr´adu) jsou zn´amy metody vedouc´ı k nalezen´ı pˇresn´eho ˇreˇsen´ı. Jak si poˇc´ınat v pˇr´ıpadˇe, kdyˇz dan´a rovnice
nen´ı ˇz´adn´eho z tˇechto typ˚
u, se dozv´ıme v kapitole vˇenovan´e numerick´emu ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ıch probl´em˚
u
pro ODR1.
´ FSI VUT v Brnˇe
UM
Download

Základn´ı pojmy teorie ODR a speciáln´ı typy ODR1