Geometrie
Hmotn´e body a k ˇcemu slouˇz´ı
Zbynˇek Koneˇcn´y
Zimnˇ
en´ı 2011
12.–16.2.2011
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
1 / 10
O ˇcem to dnes bude?
1
Hmotn´e body
2
Cevova vˇeta a barycentrick´e souˇradnice
3
Triline´arn´ı souˇradnice
4
Van Aubelova vˇeta
5
Steinerova vˇeta
6
Stewart˚
uv vzorec
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
2 / 10
Hmotn´
e body
Hmotn´e body
Bodu v rovinˇe pˇriˇrad´ıme hmotnost
tˇeˇziˇstˇe bod˚
u (A, ma ), (B, mb ) leˇz´ı na u
´seˇcce AB a dˇel´ı ji v pomˇeru
mb : ma . Tˇeˇziˇsti pˇriˇrad´ıme hmotnost ma + mb
lze takto tˇeˇziˇstˇe konstruovat i pro v´ıce neˇz 2 body
vˇzdy spojnice tˇeˇziˇst’ mnoˇzin bod˚
u A, B proch´az´ı tˇeˇziˇsti mnoˇziny A ∪ B
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
3 / 10
Cevova vˇ
eta a barycentrick´
e souˇradnice
Cevova vˇeta
Necht’ ABC je troj´
uheln´ık a X ,Y ,Z po ˇradˇe body na a, b, c. Pˇr´ımky AX ,
BY a CZ se prot´ınaj´ı v jednom bodˇe pr´avˇe kdyˇz
|AZ ||BX ||CY |
=1
|BZ ||CX ||AY |
pokud se pˇr´ımky protnou, je jejich pr˚
useˇc´ık tˇeˇziˇstˇem pro vhodnˇe
zvolen´e v´ahy
tyto v´ahy n´am daj´ı poˇzadovanou rovnost
ekvivalentnost je snadn´e dok´azat
spojnice pr˚
useˇc´ıku s vrcholem se naz´yv´a Cevi´ana
v´ahy
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
4 / 10
Cevova vˇ
eta a barycentrick´
e souˇradnice
Pˇr´ıklady
Dokaˇzte, ˇze se v troj´
uheln´ıku protnaj´ı
tˇeˇznice
v´yˇsky
osy u
´hl˚
u
spojnice vrchol˚
u s dotykov´ymi body vepsan´e kruˇznice
spojnice vrchol˚
u s dotykov´ymi body pˇripsan´ych kruˇznic
a urˇcete barycentrick´e souˇradnice pr˚
useˇc´ık˚
u
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
5 / 10
Triline´
arn´ı souˇradnice
Triline´arn´ı souˇradnice
trojpomˇer vzd´alenost´ı bodu v troj´
uheln´ıku od jeho stran naz´yv´ame
triline´arn´ımi souˇradnicemi bodu
pokud Cevi´any nˇejak´eho bodu zobraz´ıme podle os u
´hl˚
u, opˇet se
protnou v jednom bodˇe
tento bod naz´yv´ame isogon´alnˇe sdruˇzen´y
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
6 / 10
Triline´
arn´ı souˇradnice
Pˇr´ıklady
Najdˇete vztah mezi triline´arn´ımi a barycentrick´ymi souˇradnicemi
bodu.
Urˇcete triline´arn´ı souˇradnice isogon´alnˇe sdruˇzen´eho bodu
najdˇete triline´arn´ı souˇradnice pr˚
useˇc´ıku symedi´an a stˇredu
Feuerbachovy kruˇznice
dokaˇzte, ˇze spojnice vrchol˚
u a podobn´ych rovnoramenn´ych
troj´
uheln´ık˚
u nad stranami se prot´ınaj´ı v jednom bodˇe
Urˇcete triline´arn´ı souˇradnice Brocardova bodu (jeho cevi´any sv´ıraj´ı se
pravotoˇcivˇe sousedn´ımi stranami stejn´y u
´hel).
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
7 / 10
Van Aubelova vˇ
eta
Van Aubelova vˇeta
Vˇeta (VanAubel)
Necht’ P je vnitˇrn´ı bod 4ABC . Pˇr´ımky AP, BP, CP prot´ınaj´ı strany
troj´
uheln´ıka v bodech X , Y a Z . Pak
|AP| : |PX | = |AY | : |CY | + |AZ | : |CZ |
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
8 / 10
Steinerova vˇ
eta
Steinerova vˇeta
Vˇeta (Steiner)
Necht’ T je tˇeˇziˇstˇe mnoˇziny
u {(A1 , m1 ), (A2 , m
Pbod˚
P2 ), . . . , (A2n , mn )}. Pak
2
2
pro libovoln´y bod X plat´ı
mi |XAi | = |XT | + mi |TAi |
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
9 / 10
Stewart˚
uv vzorec
Stewart˚
uv vzorec
Necht’ bod X dˇel´ı stranu AB troj´
uheln´ıka ABC v pomˇeru m : n, kde
m + n = 1. Pak a2 m + b 2 n = x 2 + c 2 mn. Odtud snadno urˇc´ıme
d´elku tˇeˇznice
d´elku osy u
´hlu
Kondr (Neˇz v´
am klesnou v´ıˇ
cka 2011)
Geometrie
12.–16.2.2011
10 / 10
Download

Geometrie - Hmotné body a k cemu slouží