Pˇ
redn´
aˇ
ska 7
Derivace a diferenci´
aly vyˇ
sˇ
s´ıch ˇ
r´
ad˚
u
Budeme pokraˇcovat v nahrazov´an´ı funkce f (x) v okol´ı bodu a polynomy, tj. hledat vhodn´e
konstanty cn tak, aby bylo pro mal´a |x − a|
f (x) ≈ c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + . . . + cn (x − a)n + . . . .
V minul´e pˇredn´aˇsce jsme zjistili, ˇze c0 = f (a) a
f (x) − f (a)
= f 0 (a) ,
x→a
x−a
c1 = lim
tj. ˇze hledan´a aproximace je
f (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + . . . + cn (x − a)n + . . . .
Abychom naˇsli koeficient c2 , zderivujeme tento vztah a z´ısk´ame
f 0 (x) = f 0 (a) + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + . . . + ncn (x − a)n−1 + . . . .
Koeficient c2 lze pak naj´ıt ze vztahu
f 0 (x) − f 0 (a)
df 0
=
(a) ,
x→a
x−a
dx
2c2 = lim
tj. jako derivaci derivace funkce f (x) v bodˇe a. Je pˇrirozen´e nazvat tento v´
yraz druh´a
derivace funkce f (x) v bodˇe a.
Obecnˇe definujeme n–tou derivaci jako derivaci (n − 1)–n´ı derivace.
Definice. Necht’ existuje (n−1)–n´ı derivace f (n−1) (x) v okol´ı bodu a (definujeme f (0) (x) =
f (x)). Pokud existuje koneˇcn´a limita
f (n−1) (x) − f (n−1) (a)
,
x→a
x−a
f (n) (a) = lim
(1)
naz´
yv´ame ji n–tou derivac´ı funkce f (x) v bodˇe a.
S n–tou derivac´ı funkce f (x) v bodˇe a souvis´ı n–t´
y diferenci´al funkce f (x) v bodˇe a. Je
to vlastnˇe funkce promˇenn´e h = dx stupnˇe n.
Definice. Necht’ m´a funkce f (x) v bodˇe a n–tou derivaci f (n) (a). Pak funkci
(2)
nebo dn f = f (n) (a) dxn
dn f (a; h) = f (n) (a) hn
promˇenn´e h (nebo dx), naz´
yv´ame n–t´y diferenci´
al funkce f (x) v bodˇe a.
Ze vztahem (2) souvis´ı znaˇcen´ı pro n–tou derivaci
f (n) (a) =
dn f
(a) .
dxn
Pro funkci jedn´e re´aln´e promˇenn´e jsou pojmy n–t´
y diferenci´al a n–t´a derivace v podstatˇe
totoˇzn´e a protoˇze diferenci´aly poˇc´ıt´ame pomoc´ı derivac´ı, mohlo by se zd´at, ˇze derivace
1
je d˚
uleˇzitˇejˇs´ı pojem neˇz diferenci´al. Ale pro funkce v´ıce promˇenn´
ych uˇz tak jednoduch´a
souvislost mezi diferenci´aly a derivacemi nen´ı. Z´akladem je nahrazen´ı funkce polynomy a
to se dˇel´a pomoc´ı diferenci´al˚
u. Proto je pojem diferenci´alu funkce v matematice d˚
uleˇzitˇejˇs´ı
neˇz pojem derivace, kter´e slouˇz´ı pouze k v´
ypoˇctu diferenci´al˚
u (pokud existuj´ı).
Definice. Jestliˇze existuje n-t´a derivace funkce f (x) v kaˇzd´em bodˇe x ∈ M , naz´
yv´ame
(n)
funkci f (x) n–tou derivac´ı funkce f (x) na mnoˇzinˇe M .
Z pˇredchoz´ı pˇredn´aˇsky v´ıme, ˇze pokud m´a funkce f (x) na mnoˇzinˇe M derivaci, je na
mnoˇzinˇe M spojit´a. Z toho plyne n´asleduj´ıc´ı vˇeta:
Vˇ
eta. M´a-li funkce f (x) na mnoˇzinˇe M n–tou derivaci, jsou na M spojit´e vˇsechny derivace
f (k) (x), kde k = 0, 1, . . . , n − 1.
ˇ
Definice. Rekneme,
ˇze funkce f (x) je tˇr´ıdy Cn (M ), jestliˇze m´a na M spojitou n–tou
derivaci.
M´a-li derivace f (x) na mnoˇzinˇe M spojit´e vˇsechny derivace f (n) (x), kde n ∈ N, ˇr´ık´ame,
ˇze funkce f (x) je tˇr´ıdy C∞ (M ) (ˇcte se tˇr´ıdy C nekoneˇcno).
Z pˇredchoz´ı vˇety plyne
C0 (M ) ⊃ C1 (M ) ⊃ C2 (M ) ⊃ . . . ⊃ Cn (M ) ⊃ . . . ⊃ C∞ (M ) .
Nˇekdy je uˇziteˇcn´
y vztah pro n–tou derivaci souˇcinu dvou funkc´ı.
Vˇ
eta (Leibnizovo pravidlo). Jestliˇze maj´ı funkce f (x) a g(x) n–tou derivaci, plat´ı
(n) P
n
n (k)
f (x) g (n−k) (x) .
f (x) g(x)
=
k=0 k
(3)
Poznamenejme, ˇze vztah (3) je podobn´
y tzv. binomick´e vˇetˇe
n
P
n k n−k
n
a b
,
(a + b) =
k=0 k
n
n!
=
kde
je tzv. binomick´
y koeficient.
k
k! (n − k)!
D˚
ukaz: Tvrzen´ı dok´aˇzeme indukc´ı. Pro n = 1 je (3) vztah pro derivaci souˇcinu (f g)0 =
0
f g + f g0.
Necht’ (3) plat´ı pro n. Derivac´ı tohoto vztahu dostaneme
(n+1) n
n
(n) 0 P
n (k+1) (n−k) P
n (k) (n−k+1)
fg
= fg
=
f
g
+
f g
=
k=0 k
k=0 k
n−1
n
P n (k+1) (n−k)
P
n (n+1)
n
n (k) (n−k+1)
(n+1)
=
f
g+
f
g
+
fg
+
f g
n
0
k=0 k
k=1 k
n
n
P
P
n
n (k) (n−k+1)
(n+1)
(n+1)
(k) (n−k+1)
=f
g + fg
+
f g
+
f g
=
k=1 k − 1
k=1 k
n
P
n
n
(n+1)
(n+1)
=f
g + fg
+
+
f (k) g (n−k+1) .
k
−
1
k
k=1
2
A protoˇze
n! k + n − k + 1
n
n
n!
n!
+
=
+
=
=
k−1
k
(k − 1)! (n − k + 1)! k! (n − k)!
k! (n − k + 1)!
(n + 1)!
n+1
=
=
,
k! (n − k + 1)!
k
je
fg
(n+1)
=f
(n+1)
g + fg
(n+1)
n
P n + 1 (k) (n−k+1)
P
n + 1 (k) (n−k+1) n+1
f g
.
f g
=
+
k
k
k=0
k=1
Pˇ
r´ıklad: Necht’ je f (x) = x sin x. Najdˇete f (77) (x).
ˇ ˇ
Re
sen´ı: Protoˇze x0 = 1 a x(k) = 0 pro k ≥ 2, je podle Leibnizova vzorce (3)
77
(76)
(77)
(77−k)
(77) P
77 (k)
= x(sin x
+ 77(sin x
.
x sin x
=
x sin x
k=0 k
A protoˇze (sin x
(76)
= sin x a (sin x
x sin x
(77)
(77)
0
= sin x = cos x je
= x cos x + 77 sin x .
Nyn´ı budeme ˇreˇsit n´asleduj´ıc´ı u
´lohu: Je d´ana funkce f (x), kter´a m´a n-tou derivaci a bod
a. Najdˇete polynom stupnˇe n
n
P
Pn (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . . + cn (x − a)n =
ck (x − a)k ,
(4)
k=0
kter´
y m´a v bodˇe a stejn´
ych prvn´ıch n derivac´ı jako funkce f (x), tj. pro kaˇzd´e k =
(k)
0, 1, . . . , n plat´ı P (a) = f (k) (a).
Kdyˇz do (4) dosad´ıme x = a, dostaneme z podm´ınky P (a) = f (a) vztah c0 = f (a).
Kdyˇz derivujeme P (x) dostaneme
P 0 (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + . . . + ncn (x − a)n−1 =
n
P
kck (x − a)k−1
k=1
a podm´ınka P 0 (a) = f 0 (a) d´av´a c1 = f 0 (a).
Druh´a derivace polynomu P (x) je
P 00 (x) = 2c2 + 6c3 (x − a) + . . . + n(n − 1)cn (x − a)n−2 =
n
P
k(k − 1)(x − a)k−2
k=2
a z podm´ınky P 00 (a) = f 00 (a) plyne 2c2 = f 00 (a), tj. c2 = 12 f 00 (a).
Pro r–tou derivaci polynomu P (x) z´ısk´ame
P (r) (x) =
n
P
k(k − 1) . . . (k − r + 1)ck (x − a)k−r =
k=r
3
n
P
k!
(x − a)k−r .
(k
−
r)!
k=r
Jestliˇze do tohoto vztahu dosad´ıme x = a, jsou nulov´e vˇsechny ˇcleny souˇctu s v´
yjimkou
ˇclenu, kde k = r. Z podm´ınky P (r) (a) = f (r) (a) dostaneme
r!cr = f
(r)
f (r) (a)
(a) =⇒ cr =
.
r!
Definice. Necht’ m´a funkce f (x) v bodˇe a n–tou derivaci. Pak polynom n–t´eho stupnˇe
n f (k) (a)
P
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n) (a)
(x−a)+
(x−a)2 +. . .+
(x−a)n =
(x−a)k
1!
2!
n!
k!
k=0
(5)
naz´
yv´ame Taylor˚
uv polynom stupnˇe n funkce f (x) se stˇredem v bodˇe a.
Tn (x; a) = f (a)+
Pomoc´ı diferenci´al˚
u (2) lze zapsat Taylor˚
uv polynom ve tvaru
Tn (a + h; a) =
n 1
P
dk f (a; h) ,
k!
k=0
kter´
y plat´ı i pro funkce v´ıce promˇenn´
ych.
Taylorov´
ym polynomem aproximujeme funkci f (x) v okol´ı bodu x = a. Pokud nahrad´ıme
funkci f (x) Taylorov´
ym polynomem (5) udˇel´ame chybu
Rn (x; a) = f (x) − Tn (x; a) .
(6)
V´
yraz (6) se naz´
yv´a zbytek v Taylorovˇe polynomu stupnˇe n funkce f (x) se stˇredem v bodˇe
a. Je d˚
uleˇzit´e aspoˇ
n odhadnout velikost tohoto zbytku, tj. chybu, kter´e se dopust´ıme, kdyˇz
nahrad´ıme funkci f (x) Taylorov´
ym polynomem.
Vˇ
eta. Necht’ m´a funkce f (x) na intervalu ha, bi spojit´e derivace aˇz do ˇra´du n vˇcetnˇe.
Necht’ je x ∈ (a, b) a
f (x) = f (a) +
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 + . . . +
(x − a)n + Rn (x; a) .
1!
2!
n!
Pak pro zbytek Rn (x; a) plat´ı
lim
x→a+
Rn (x; a)
= 0.
(x − a)n
Podobnˇe lze tvrzen´ı modifikovat pro interval hb, ai.
D˚
ukaz: M´ame naj´ıt limitu
f (x) − Tn (x, a)
lim
.
x→a+
(x − a)n
0
To je limita typu . Pˇredpoklady vˇety zaruˇcuj´ı, ˇze na tento v´
yraz lze n–kr´at pouˇz´ıt
0
l’Hospitalovo pravidlo. Tak dostaneme
(n)
f (x) − Tn (x, a)
f 0 (x) − Tn0 (x, a)
f (n) (x) − Tn (x, a)
lim
=
lim
=
.
.
.
=
lim
=
x→a+
x→a+
x→a+
(x − a)n
n(x − a)n−1
n!
f (n) (x) − f (n) (a)
= lim
= 0,
x→a+
n!
4
protoˇze jsme pˇredpokl´adali, ˇze n–t´a derivace funkce f (x) je spojit´a.
Kdyˇz budeme pˇredpokl´adat, ˇze funkce f (x) m´a nav´ıc na intervalu ha, bi derivaci ˇra´du
(n + 1), existuje pro zbytek Rn (x; a) nˇekolik vyj´adˇren´ı. Uvedeme pouze tzv. Lagrange˚
uv
tvar zbytku, kter´
y m´a skoro stejn´
y tvar jako (n + 1)–n´ı ˇclen Taylorova polynomu.
Vˇ
eta. Jestliˇze na intervalu ha, bi existuje f (n+1) (x), pak pro kaˇzd´e x ∈ (a, b) existuje
c ∈ (a, x) takov´e, ˇze
f (n+1) (c)
Rn (x; a) =
(x − a)n+1 .
(7)
(n + 1)!
Pˇ
r´ıklad: Najdˇete Taylor˚
uv polynom stupnˇe n pro funkci f (x) = ex se stˇredem v bodˇe
a = 0 a odhadnˇete zbytek.
ˇ ˇ
Re
sen´ı: Protoˇze pro kaˇzd´e n je f (n) (x) = ex , je f (n) (0) = 1 a Taylor˚
uv polynom stupnˇe
n je podle (5)
n xk
P
x
x2
xn
Tn (x; 0) = 1 + +
+ ... +
=
.
1!
2!
n!
k=0 k!
Pro zbytek Rn (x; 0) dostaneme z (7)
Rn (x; 0) =
ec
xn+1 ,
(n + 1)!
kde pro x > 0 je c ∈ (0, x) a pro x < 0 je c ∈ (x, 0).
Necht’ je nyn´ı x > 0 pevn´e. Protoˇze pro c ∈ (0, x) je ec < ex , dostaneme
ec
ex
n+1 x <
xn+1 .
Rn (x; 0) = (n + 1)!
(n + 1)!
Z toho plyne, ˇze kaˇzd´e x > 0 je lim Rn (x; 0) = 0 a
n→∞
n xk
∞ xk
P
P
ex = lim Tn (x; 0) + Rn (x; 0) = lim
+ lim Rn (x; 0) =
.
n→∞
n→∞ k=0 k!
n→∞
k=0 k!
Podobnˇe pro x < 0 je c ∈ (x, 0) a dostaneme ec < 1. Proto i pro x < 0 je lim Rn (x; 0) = 0.
n→∞
Z toho plyne, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ R je
ex =
∞ xn
P
.
n=0 n!
(8)
Tento vztah lze pouˇz´ıt pro definici ex i pokud je x komplexn´ı ˇc´ıslo. Speci´alnˇe pro ix, kde
x ∈ R, dostaneme
eix =
∞ (−1)n
∞
∞ in
P
P
P
(−1)n
xn =
x2n + i
x2n+1 .
n!
(2n)!
(2n
+
1)!
n=0
n=0
n=0
Podobn´
ym zp˚
usobem lze uk´azat, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ R je
cos x =
∞ (−1)n
P
x2n ,
(2n)!
n=0
sin x =
5
∞
P
(−1)n
x2n+1 .
(2n
+
1)!
n=0
Kdyˇz srovn´ame posledn´ı tˇri vztahy, dostaneme tzv. Euler˚
uv vzorec
eix = cos x + i sin x ,
x ∈ R.
Z nˇej napˇr´ıklad plynou vztahy
cos x =
eix + e−ix
,
2
sin x =
eix − e−ix
.
2i
Pˇ
r´ıklad: Najdˇete Taylor˚
uv polynom stupnˇe n pro funkci f (x) = ln(1 + x) se stˇredem v
bodˇe a = 0 a odhadnˇete zbytek.
ˇ ˇ
Re
sen´ı: Funkce f (x) definov´ana pro x > −1. Proto budeme pˇredpokl´adat, ˇze x > −1.
Indukc´ı se snadno uk´aˇze, ˇze pro kaˇzd´e n ≥ 1 je
f
(n)
(−1)n−1 (n − 1)!
(x) =
.
(1 + x)n
Pro koeficienty v Taylorovˇe polynomu pak dostaneme
c0 = ln 1 = 0 ,
f (n) (0)
(−1)n−1
=
,
n!
n
cn =
n ≥ 1.
Tedy Taylor˚
uv polynom stupnˇe n pro funkci f (x) = ln(1 + x) se stˇredem v bodˇe a = 0 je
Tn (x; 0) =
n (−1)k−1
P
xk .
k
k=1
Z (7) dostaneme pro zbytek
Rn (x; 0) =
xn+1
(−1)n
,
n + 1 (1 + c)n+1
kde c ∈ (0, x) pro x > 0 a c ∈ (x, 0) pro x ∈ (−1, 0).
Pro x > 0 plat´ı nerovnost
xn+1
Rn (x; 0) ≤
n+1
a pro −1 < x < 0 je
|x|n+1
≤
R
(x;
0)
n
n+1 .
(n + 1) 1 − |x|
Protoˇze pro x ∈ (−1, 1i je lim Rn (x; 0) = 0, dostaneme pro tato x stejnˇe jako pˇredchoz´ım
n→∞
pˇr´ıkladˇe vztah
∞ (−1)n−1
P
ln(1 + x) =
xn .
n
n=1
Speci´alnˇe, pro x = 1 dostaneme
ln 2 =
∞ (−1)n−1
P
1 1 1
= 1 − + − + ... .
n
2 3 4
n=1
6
Jak jsme se jiˇz zm´ınili, nahrazujeme Taylorov´
ym polynomem funkci f (x) v jist´em okol´ı
bodu a. Zaj´ımav´
y je pˇr´ıpad, kdy je f (k) (a) = 0 pro k = 1, 2, . . . , n − 1 a f (n) (a) 6= 0. Pak
je Taylor˚
uv polynom stupnˇe n roven
Tn (x; a) = f (a) +
f (n) (a)
(x − a)n
n!
a pro funkci f (x) plat´ı
f (x) = f (a) +
f (n) (a)
(x − a)n + Rn (x; a) .
n!
(9)
Speci´alnˇe, je-li a stacion´arn´ı bod funkce f (x), je
f 00 (a)
f (x) = f (a) +
(x − a)2 + R2 (x; a) .
2
M´a-li funkce f (x) v jist´em okol´ı bodu a spojit´e druh´e derivace, je
R2 (x, a)
= 0.
x→a (x − a)2
lim
Proto napˇr´ıklad k ε = 14 f 00 (a) > 0 existuje δ > 0 takov´e, ˇze pro kaˇzd´e x, 0 < |x − a| < δ,
m´a v´
yraz 12 f 00 (a)(x − a)2 + R2 (x; a) stejn´e znam´enko jako f 00 (a). Je-li f 00 (a) > 0 je pro
takov´a x
f 00 (a)
(x − a)2 + R2 (x; a) > 0
f (x) − f (a) =
2
a funkce f (x) m´a v bodˇe a lok´aln´ı minimum. Naopak je-li f 00 (a) < 0, je f (x) − f (a) < 0,
tedy funkce f (x) m´a v bodˇe a lok´aln´ı maximum.
Dok´azali jsme tedy n´asleduj´ıc´ı vˇetu.
Vˇ
eta. Necht’ m´a funkce f (x) v jist´em okol´ı bodu a druhou derivaci, kter´a je spojit´a v
bodˇe a a f 0 (a) = 0. Pak plat´ı:
1. Je-li f 00 (a) > 0 m´a funkce f (x) v bodˇe a lok´aln´ı minimum.
2. Je-li f 00 (a) < 0 m´a funkce f (x) v bodˇe a lok´aln´ı maximum.
Jestliˇze je ve stacion´arn´ım bodˇe f 00 (a) = 0, m˚
uˇzeme o tom, zda m´a funkce f (x) v bodˇe a
lok´aln´ı extr´em rozhodnout pomoc´ı prvn´ı nenulov´e derivace funkce f (x) v bodˇe a.
Je-li tato derivace lich´eho ˇr´adu, tj. je-li f (k) (a) = 0 pro k = 1, . . . , 2n a f (2n+1) (a) 6= 0,
nem´a funkce f (x) v bodˇe a lok´aln´ı extr´em, protoˇze prvn´ı nenulov´
y ˇclen m´a vlevo a vpravo
od bodu a r˚
uzn´a znam´enka.
Je-li tato derivace sud´eho ˇra´du, tj. je-li f (k) (a) = 0 pro k = 1, . . . , 2n − 1 a f (2n) (a) 6= 0,
m´a funkce f (x) v bodˇe a lok´aln´ı extr´em; je-li f (2n) (a) > 0 je v bodˇe a lok´aln´ı minimum
a je-li f (2n) (a) < 0 je v bodˇe a lok´aln´ı maximum.
Existuj´ı nenulov´e funkce, kter´e maj´ı derivace vˇsech ˇra´d˚
u a pro kter´e je f (n) (a) = 0 pro
−1/x2
kaˇzd´e n ∈ N. Pˇr´ıkladem takov´e funkce je f (x) = e
pro x 6= 0 a f (0) = 0. Tato funkce
m´a vˇsechny derivace v bodˇe x = 0 rovny nule, a tedy jej´ı Taylor˚
uv polynom libovoln´eho
stupnˇe je roven nule. Pro takov´e funkce je lim Rn (x; a) 6= 0 pro kaˇzd´e x 6= a. Zaj´ımavˇejˇs´ı
n→∞
7
jsou funkce, pro kter´e existuje okol´ı bodu a takov´e, ˇze pro kaˇzd´e x z tohoto okol´ı je
lim Rn (x; a) = 0. Tyto funkce lze v okol´ı bodu a vyj´adˇrit pomoc´ı nekoneˇcn´e ˇrady, tzv.
n→∞
Taylorovy ˇrady, jako
f (x) =
∞
P
cn (x − a)n ,
n=0
kde cn =
f (n) (a)
.
n!
Takov´e funkce se naz´
yvaj´ı analytick´e v bodˇe a a budeme se jimi zab´
yvat pozdˇeji.
Podobnˇe jako prvn´ı derivace rozhodovaly o tom, zda funkce na intervalu roste nebo kles´a,
rozhoduj´ı druh´e derivace o tom, zda na intervalu roste nebo kles´a prvn´ı derivace, tj.
smˇernice teˇcny. To byla pr´avˇe vlastnost konvexn´ıch a konk´avn´ıch funkc´ı. Proto by nemˇelo
b´
yt pˇr´ıliˇs pˇrekvapuj´ıc´ı, ˇze plat´ı n´asleduj´ıc´ı vˇeta.
Vˇ
eta. Necht’ m´a funkce na intervalu I druhou derivaci.
1. Je-li f 00 (x) > 0 pro kaˇzd´e x ∈ I, je funkce f (x) na intervalu I konvexn´ı.
2. Je-li f 00 (x) < 0 pro kaˇzd´e x ∈ I, je funkce f (x) na intervalu I konk´avn´ı.
D˚
ukaz: Necht’ jsou x1 , x2 , x3 ∈ I a plat´ı x1 < x2 < x3 . Z Lagrangeovy vˇety plyne, ˇze
existuj´ı c1 ∈ (x1 , x2 ) a c2 ∈ (x2 , x3 ) takov´a, ˇze
f (x2 ) − f (x1 )
= f 0 (c1 ) a
x2 − x1
f (x3 ) − f (x2 )
= f 0 (c2 ) .
x3 − x2
Pˇredpokl´adejme, ˇze je na intervalu I druh´a derivace f 00 (x) > 0. Pak je prvn´ı derivace
f 0 (x) na intervalu I rostouc´ı funkce a protoˇze c1 < c2 je f 0 (c1 ) < f 0 (c2 ), tj.
f (x2 ) − f (x1 )
f (x3 ) − f (x2 )
<
.
x2 − x1
x3 − x 2
To ale znamen´a, ˇze je funkce f (x) na intervalu I konvexn´ı.
D˚
ukaz pro f 00 (x) < 0 je obdobn´
y.
M´a-li funkce f (x) na intervalu I druhou derivaci, mohou b´
yt inflexn´ı body pouze body, ve
00
00
kter´
ych je f (x) = 0. O tom, zda je bod a, ve kter´em je f (a) = 0 inflexn´ı bod, rozhodneme
bud’ pomoc´ı chov´an´ı funkce f (x) v okol´ı bodu a nebo pomoc´ı vyˇsˇs´ıch derivac´ı jako v
pˇr´ıpadˇe stacion´arn´ıch bod˚
u. Napˇr´ıklad je-li v bodˇe f 00 (a) = 0 a f 000 (a) 6= 0, m´a funkce
f (x) v bodˇe a inflexn´ı bod.
8
Download

Přednáška 7