´
SERIE
1
• Sestrojte troj´
uheln´ık ABC, jestliˇze zn´ate d´elku jeho dvou stran (a =
5cm, b = 7cm) a polomˇer kruˇznice jemu opsan´e (r = 6cm).
• Mˇejme (uspoˇr´adanou) trojici ˇc´ısel a, b, c. Po jednom kroku se trojice
zmˇen´ı na b + c, a + c, a + b. Pokud na zaˇc´atku m´ame trojici 1, 3, 5,
jak´
y bude rozd´ıl druh´e m´ınus prvn´ı ˇc´ıslo trojice po 999 kroc´ıch?
• Bl´azniv´
y ˇsachov´
y k˚
un
ˇ si sk´aˇce n´ahodnˇe po ˇsachovnici 4 × 4. M˚
uˇze
obˇehat vˇsechna pol´ıˇcka, aniˇz by se na nˇekter´em vyskytl dvakr´at?
´
SERIE
2
• Najdˇete nejmenˇs´ı n takov´e, ˇze ˇc´ısla 1 aˇz n lze napsat v nˇejak´em poˇrad´ı
za sebou na pap´ır tak, aby vzniknul palindrom. (Napˇr. ˇc´ısla 729, 5,
75 a 2 tvoˇr´ı ve spr´avn´em poˇrad´ı palindrom: 5729275.)
• Hugo a Kvˇeta hraj´ı hru. Stˇr´ıdavˇe ˇr´ıkaj´ı ˇc´ısla mezi 1 a 22 (vˇcetnˇe).
Nejprve ˇrekne ˇc´ıslo Hugo libovolnˇe. Kaˇzd´e dalˇs´ı ˇreˇcen´e ˇc´ıslo mus´ı
b´
yt r˚
uzn´e od vˇsech pˇredchoz´ıch a nav´ıc vˇzdy dvˇe posledn´ı ˇc´ısla mus´ı
v souˇctu d´avat druhou mocninu nˇejak´eho pˇrirozen´eho ˇc´ısla. Ten, kdo
nem˚
uˇze ˇr´ıct nic, prohraje. M´a nˇekdo z tˇech dvou vyhr´avaj´ıc´ı strategii?
Jestli ano, kdo a jakou?
• Pouˇzit´ım mnoˇzstv´ı pythagorov´
ych vˇet najdˇete vzorec pro obsah troj´
uheln´ıku,
kdyˇz zn´ame jeho tˇri strany.
´
SERIE
3
• Sestrojte troj´
uheln´ık ABC, jestliˇze zn´ate d´elku jeho strany (|BC| =
10cm), velikost vnitˇrn´ıho u
´hlu (|̸ ABC| = 20◦ ) a polomˇer kruˇznice
troj´
uheln´ıku opsan´e (r = 6cm).
• Najdˇete trojcifern´a ˇc´ısla aab, ccd, bbd, kde a, b, c, d jsou navz´ajem
r˚
uzn´e cifry, pˇriˇcemˇz plat´ı:
aab + ccd = 1000
aab − ccd = bbd + 1.
• Petr a Jitka hraj´ı n´asleduj´ıc´ı hru. Z hromady kamen˚
u berou stˇr´ıdavˇe
ˇ adn´
kameny tak, ˇze kaˇzd´
y sm´ı vz´ıt najednou nejv´ıce sedm kamen˚
u. Z´
y
hr´aˇc nesm´ı vz´ıt stejn´
y poˇcet kamen˚
u jako jeho protihr´aˇc v pˇredchoz´ım
tahu. Prohr´av´a ten, kdo jiˇz nem´a tah. Kolik kamen˚
u mus´ı vz´ıt Petr
ˇ sen´ı tohohle
z hromady 20 kamen˚
u, jestliˇze zaˇc´ın´a a chce vyhr´at? (Reˇ
pˇr´ıkladu nem´ame, ale vy ho urˇcitˇe vymysl´ıte:). )
´
SERIE
4
• Karel poˇc´ıt´a zn´amky pˇresnˇe v p˚
ulce si udˇel´a pˇrest´avku a nap´ıˇse si na
pap´ır pr˚
ubˇeˇzn´
y v´
ysledek. Pak pˇrijde spr´avn´e trojcifern´e ˇc´ıslo pˇreˇcte
odzadu, ˇc´ımˇz dostane menˇs´ı trojcifern´e ˇc´ıslo a poˇc´ıt´a d´al. Vyjde mu,
ˇze m´a 746 zn´amek. Kolik zn´amek m˚
uˇze m´ıt ve skuteˇcnosti?
• V oboru cel´
ych ˇc´ısel ˇreˇste rovnici x2 + y 2 = xy + 2x.
• Na louce jsou sloupky v pravideln´em troj´
uheln´ıkov´em uspoˇr´ad´an´ı, tak,
ˇze kaˇzd´a√ souˇradnice je ve tvaru A + ωB, kde A, B jsou cel´a ˇc´ısla a
ω = 1+2 3 . Jak´a je nejvˇetˇs´ı vzd´alenost od nejbliˇzˇs´ıho sloupku, kam
m˚
uˇze frisbee dopadnout? (Frisbee povaˇzujte za bod. Troj´
uheln´ıkov´a
s´ıˇt je nekoneˇcn´a.)
´
SERIE
5
• Po obvodu kruhu jsou naps´ana ˇc´ısla 1, 2 a 3. Mezi kaˇzd´a dvˇe sousedn´ı
ˇc´ısla zap´ıˇseme jejich souˇcet, z´ısk´ame tak ˇsest ˇc´ısel (1, 3, 2, 5, 3, 4).
Pokud tento postup zopakujeme jeˇstˇe ˇctyˇrikr´at, z´ısk´ame celkem 96
ˇc´ısel zapsan´
ych po obvodu. Jak´
y je souˇcet vˇsech tˇechto ˇc´ısel?
• Dokaˇzte, ˇze je moˇzn´e naj´ıt 1000 po sobˇe jdouc´ıch pˇrirozen´
ych ˇc´ısel,
kter´a jsou vˇsechna sloˇzen´a.
• V pravo´
uhl´em rovnoramenn´em troj´
uheln´ıku ABC najdˇete bod X takov´
y,
ˇze cesty ABXCA a AXBCA a ABCXA jsou stejnˇe dlouh´e.
´
SERIE
6
• Nad stranami rovnoramenn´eho troj´
uheln´ıka s odvˇesnami d´elky 4cm
jsou zvnˇejˇsku sestrojeny ˇctverce. Vypoˇctˇete obvod troj´
uheln´ıku, jehoˇz
vrcholy jsou stˇredy tˇechto ˇctverc˚
u.
• Pr´avˇe dva dˇelitel´e ˇc´ısla 332 − 1 jsou souˇcasnˇe vˇetˇs´ı neˇz 75 a menˇs´ı neˇz
85. Jak´
y je jejich souˇcin?
• Sestrojte pomoc´ı prav´ıtka, kruˇz´ıtka a prov´azku troj´
uheln´ık ABC, zn´ateli jeho obvod, polomˇer kruˇznice vepsan´e a v´
yˇsku na stranu a.
´
SERIE
7
• Na trati z Kocourkova do Lhoty se zv´
yˇsil poˇcet zast´avek. Na trati se
tak dalo koupit o 46 v´ıce r˚
uzn´
ych j´ızdenek neˇz p˚
uvodnˇe (j´ızdenka je
d´ana m´ıstem odjezdu a pˇr´ıjezdu; lze jet z libovoln´e stanice do libovoln´e
jin´e). Kolik stanic bylo na trati p˚
uvodnˇe a kolik je nyn´ı?
• V rovinˇe je mnoˇzina 90 bod˚
u M , ˇz´adn´e tˇri neleˇz´ı na jedn´e pˇr´ımce.
Kaˇzd´
y bod je spojen u
´seˇckou s pr´avˇe deseti dalˇs´ımi body. Dokaˇzte,
ˇze pro kaˇzd´
y bod A ∈ M lze vybrat tˇri body P, Q, R ∈ M tak, ˇze
ve ˇctveˇrici A, P , Q, R je kaˇzd´
y bod spojen u
´seˇckou aspoˇ
n se dvˇema
dalˇs´ımi body ˇctveˇrice.
•
1. Je 5 dom˚
u v 5 rozd´ıln´
ych barv´ach.
2. V kaˇzd´em domˇe ˇzije osoba rozd´ıln´e n´arodnosti.
3. Tˇechto 5 obyvatel pije sv˚
uj n´apoj, kouˇr´ı svoje cigarety a chov´a
zv´ıˇrata.
4. Nikdo nepije to co ostatn´ı, nekouˇr´ı co ostatn´ı a nechov´a to co
ostatn´ı.
5. Angliˇcan ˇzije v ˇcerven´em domˇe.
ˇ ed chov´a psy.
6. Sv´
7. D´an pije ˇcaj.
8. Zelen´
y d˚
um je hned nalevo od b´ıl´eho.
9. Obyvatel zelen´eho domu pije k´avu.
10. Ten, co kouˇr´ı Pall Mall, chov´a pt´aky.
11. Obyvatel ˇzlut´eho domu kouˇr´ı Dunhill.
12. Ten, co ˇzije ve stˇredn´ım domˇe, pije ml´eko.
13. Nor ˇzije v prvn´ım domˇe.
14. Ten, co kouˇr´ı Blend, ˇzije vedle toho, co chov´a koˇcky.
15. Ten, co chov´a konˇe, ˇzije vedle toho, co kouˇr´ı Dunhill.
16. Ten, co kouˇr´ı Blue Master, pije pivo.
17. Nˇemec kouˇr´ı Prince.
18. Nor ˇzije vedle modr´eho domu.
19. Ten, co kouˇr´ı Blend, m´a souseda, kter´
y pije vodu.
Kdo chov´a ryby?
´
SERIE
8
• Obd´eln´ık 1 × 5cm rozdˇelte na devˇet d´ıl˚
u tak, aby se z nich dal sestavit
ˇctverec.
• Statistika zahrnuje 42 lid´ı. U 28 je zn´amo telefonn´ı ˇc´ıslo, u 10 bydliˇstˇe
a u pˇeti se pˇredpokl´ad´a z´ajem o v´
yrobek. O kolika lidech lze nejv´
yˇse
ˇr´ıct, ˇze o nich v´ıme oba u
´daje a nemaj´ı z´ajem, pokud u kaˇzd´eho zn´ame
ˇ telefonn´ı ˇc´ıslo, nebo bydliˇstˇe, nebo pˇredpokl´ad´ame, ˇze m´a z´ajem.
bud
• Danovo ˇc´ıslo m´a dˇevˇet ˇc´ıslic, z nichˇz 5 je stejn´
ych a zbyl´e ˇctyˇri navz´ajem
ˇ ıslo
r˚
uzn´e. Tak´e v´ıme, ˇze je dˇeliteln´e tˇremi a ˇze zaˇc´ın´a na sedmiˇcku. C´
nˇekde obsahuje ˇsestku. Pokud Danovi ˇrekneme vˇsech devˇet ˇc´ıslic v
jak´emkoli poˇrad´ı, prozrad´ı n´am sv´e ˇc´ıslo. Kolikr´at mus´ıme nejv´
yˇse
h´adat?
´
SERIE
9
• Mˇejme posloupnost pˇrirozen´
ych ˇc´ısel, jejichˇz prvn´ı ˇclen je 2013, a
kaˇzd´
y dalˇs´ı ˇclen je souˇctem druh´
ych mocnin ˇc´ıslic pˇredchoz´ıho ˇclenu.
Urˇcete 2013. ˇclen t´eto posloupnosti.
• Nˇekter´e z 11 krabic obsahuj´ı po osmi menˇs´ıch krabic´ıch a nˇekter´e z
tˇechto menˇs´ıch krabic obsahuj´ı po osmi jeˇstˇe menˇs´ıch pr´azdn´
ych krabic´ıch. Kolik je celkem krabic, je-li pr´azdn´
ych krabic 102?
• Zjistˇete, kter´a ˇc´ısla menˇs´ı neˇz 20 dˇel´ı ˇc´ıslo
967192633850202599549348615842451986855.
´
SERIE
10
• M˚
uˇze m´ıt pˇrirozenˇeˇc´ıseln´a mocnina dvojky ve sv´em dekadick´em z´apisu
stejn´
y poˇcet jedniˇcek, dvojek, trojek,..., dev´ıtek?
• Existuje troj´
uheln´ık, jehoˇz dvˇe v´
yˇsky jsou delˇs´ı neˇz 1m a jehoˇz obsah
je menˇs´ı neˇz 1cm2 ?
´
SERIE
11
• Souˇcin vˇek˚
u m´
ych dˇet´ı je 1664. Vˇek nejmladˇs´ıho je roven polovinˇe vˇeku
nejstarˇs´ıho. Kolik m´am dˇet´ı? (Vˇsechny vˇeky jsou pˇrirozen´a ˇc´ısla.)
• Pod´el pole vede pˇr´ım´
a cesta, po n´ıˇz pˇrib´ıh´ame. Borec se chce dostat
co nejrychleji na m´ısto vzd´alen´e 100 metr˚
u od cesty. Zat´ım je od m´ısta
ve vzd´alenosti vˇetˇs´ı neˇz jeden kilometr. Po poli bˇeˇz´ı rychlost´ı 2m/s,
po silnici 3m/s. Jakou vzd´alenost m´a borec ubˇehnout polem, pokud
chce, aby ˇcas byl co nejkratˇs´ı?
Download

Úlohy na nocoden