Dom´
ac´ı u
´ kol ˇ
c. 3
Poˇ
c´ıt´
ame s ˇ
c´ısly, ale mus´ıme se zamyslet
1. Pˇredpokl´
adejme, ˇze jste ˇsikovn´
y str´
yˇcek. V´aˇs synovec za v´ami pˇrijde s n´asleduj´ıc´ım u
´kolem: chtˇel by z obd´eln´ıkov´eho kartonov´eho archu o rozmˇerech
50 × 30 cm udˇelat krabici bez v´ıka s co moˇzn´a nejvˇetˇs´ım objemem. Vaˇs´ım
u
´kolem je tedy zjistit, jak moc je tˇreba vyˇr´ıznout, aby vytvoˇren´a krabice
mˇela co nejmenˇs´ı objem.
2. Dejme tomu, ˇze si v´
as pozve stˇredovˇek´
y stavitel, kter´
y potˇrebuje poradit
s t´ımto probl´emem: m´a ˇzelezn´
y p´as o d´elce 200 palc˚
u, kter´
ym chce vyztuˇzit rom´
ansk´e okno (tvar si najdˇete na wikipedii). Jakou m´a m´ıt ˇs´ıˇrku,
aby do chr´
amu proch´
azelo co nejv´ıce svˇetla, tedy aby plocha okna byla
co nejvˇetˇs´ı?
3. Pˇredpokl´
adejme, ˇze jste konstrukt´er firmy PEPSI a dostanete n´asleduj´ıc´ı
u
´kol: mus´ıte navrhnout v´alcovou plechovku takovou, aby do n´ı veˇslo pˇresnˇe
250π cm3 tekutiny a pˇritom aby se na ni spotˇrebovalo co nejm´enˇe materi´
alu. Tedy aby mˇela co nejmenˇs´ı povrch.
4. Na plotˇe, jehoˇz v´
yˇska je 1 metr sed´ı vrabec. Ve vzd´alenosti 15 metr˚
u
od plotu roste strom, kter´
y m´a vˇetev ve v´
yˇsce 3 metry. Na zemi mezi plotem a stromem jsou hustˇe rozesety ˇz´ıˇzaly. V jak´e vzd´alenosti od plotu m´a
vrabec sezobnout ˇz´ıˇzalu, aby proletˇel trasu plot-ˇz´ıˇzala-vˇetev po pˇr´ımk´ach
a po nejkratˇs´ı dr´
aze?
5. Dejme tomu, ˇze si v´
as pozve souˇcasn´
y stavitel, kter´
y potˇrebuje pomoct
s t´ımto probl´emem: m´a vyhloubit a vybetonovat kan´al s pr˚
uˇrezem tvaru
rovnoramenn´eho lichobˇeˇzn´ıku. V´ı, ˇze kan´al bude zaplnˇen vodou do v´
yˇsky
1 metru a obsah jeho pr˚
uˇrezu budou 2 m2 . Pˇri jak´em u
´hlu ϕ mezi boˇcn´ımi
stˇenami a vodorovnou rovinou bude potˇreba nejm´enˇe betonu? Tedy pˇri
jak´em ϕ bude mokr´
a ˇc´ast obvodu pr˚
uˇrezu kan´alu minim´aln´ı.
6. Jako milovn´ık k´
avy m´
ate n´asleduj´ıc´ı probl´em: m´ate pap´ır na k´avov´
y filtr
kruhov´eho tvaru o polomˇeru 10 cm. Vystˇrihnut´ım kruhov´e v´
yseˇce o u
´hlu
α vznikne k´
avov´
y filtr, jak zvolit u
´hel α, aby se do nˇej veˇslo co nejv´ıce
k´
avy?
Nemus´ıme se (tolik) zam´
yˇ
slet, ale poˇ
c´ıt´
ame s p´ısmeny
7. Do p˚
ulkruhu o dan´em polomˇeru r vepiˇste obd´eln´ık maxim´aln´ıho obsahu
(tzn. naleznˇete jeho rozmˇery, ner´
ysujte).
8. Do koule o dan´em polomˇeru R vepiˇste v´alec maxim´aln´ıho objemu.
9. Ramena a kratˇs´ı z´
akladna rovnoramenn´eho lichobˇeˇzn´ıku maj´ı shodnˇe danou d´elku a. Urˇcete d´elku jeho delˇs´ı z´akladny b tak, aby byl obsah lichobˇeˇzn´ıku maxim´
aln´ı.
1
10. Ramena a kratˇs´ı z´
akladna rovnoramenn´eho lichobˇeˇzn´ıku maj´ı shodnˇe danou d´elku a. Urˇcete velikost u
´hlu ϕ, kter´
y sv´ır´a rameno a delˇs´ı z´akladna
tak, aby byl obsah lichobˇeˇzn´ıku maxim´aln´ı.
11. Do rovnoramenn´eho troj´
uheln´ıku o dan´e z´akladnˇe a a v´
yˇsce v vepiˇste
obd´eln´ık maxim´
aln´ıho obsahu.
Pozn.: na p´ısemce bude patrnˇe kompromis mezi tˇemito typ u
´loh – tedy u
´loha
nad kterou se nemus´ı (tolik) pˇrem´
yˇslet a pˇresto se v n´ı bude poˇc´ıtat s ˇc´ısly.
2
Download

Domác´ı úkol c. 3