Pozn´
amka ke vˇsem u
´loh´
am: pokud vyjde cel´e ˇc´ıslo, zadejte jej. Pokud vyjde ˇc´ıslo s koneˇcn´
ym desetinn´
ym rozvojem, za
1. M´
ame posloupnost 1,2,3,2,1,2,3,2,1,2,3,... Kolik po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚
u m´a souˇcet 2011?
ˇ sen´ı 1 Posloupnost rozdˇel´ıme do ˇctveˇric 1,2,3,2, z nichˇz m´
Reˇ
a kaˇzd´
a souˇcet 8. Takov´ych ˇctveˇric
mus´ıme m´ıt 2011
=
251,
ty
maj´
ı
souˇ
c
et
2008,
do
2011
zb´
y
vaj´
ı
3,
coˇ
z
je souˇcet dvou dalˇs´ıch ˇclen˚
u.
8
Celkem mus´ıme seˇc´ıst 4 · 251 + 2 = 1006 ˇclen˚
u.
2. Najdˇete nejvˇetˇs´ı pˇrirozen´e ˇc´ıslo n takov´e, ˇze
n−2011
n+2012
je druhou mocninou racion´aln´ıho ˇc´ısla.
ˇ sen´ı 2 Aby bylo X = n−2011 druhou mocninou ˇc´ısla racion´
aln´ıho, mus´ı b´yt (n + 2012)2 X druhou
Reˇ
n+2012
mocninou pˇrirozen´eho ˇc´ısla k, m´
ame tak
(n − 2011)(n + 2012) = k 2
4n2 + 4n − 4 · 2011 · 2012 = 4k 2
(2n + 1)2 − 4k 2 = 4 · 2011 · 2012 + 1
(2n + 1 − 2k) · (2n + 1 + 2k) = 16184529
Pro maximalizaci n vol´ıme 2n + 1 − 2k = 1, 2n + 1 + 2k = 16184529 a dost´
av´
ame n = 4046132. Pro
u
´plnost, vyhovuj´ıc´ımi hodnotami n jsou tak´e 2011, 3352, 5732, 9163, 16711, 27192, 49972, 149863,
449572 a 1348711.
3. Najdˇete vˇsechna prvoˇc´ısla takov´
a, ˇze 69 ∗ p4 − 41114 je prvoˇc´ıslo. Nen´ı-li ˇz´adn´e takov´e, zadejte nulu,
je-li jedin´e, zadejte jeho hodnotu, je-li jich v´ıce, zadejte jejich souˇcin.
ˇ sen´ı 3 Vyhov´ı pouze 5 (pak 69 ∗ p4 − 41114 = 2011), jinak je v´ysledek dˇeliteln´y pˇeti.
Reˇ
4. Doplˇ
nte chybˇej´ıc´ı ˇc´ıslice, jako odpovˇed’ zadejte souˇcet ˇcinitel˚
u (prvn´ıho a druh´eho ˇr´adku).
×
*
1
3
2
*
*
*
8
*
3
*
2
5
*
1
*
3
*
*
2
*
3
*
ˇ sen´ı 4 415+382=797
Reˇ
5. M´
ame tˇri n´
adoby o objemech 2, 7 a 9l. Na zaˇc´atku je nejvˇetˇs´ı pln´a. Do nejmenˇs´ı n´adoby z n´ı chceme
pˇrel´ıt pˇresnˇe litr vody. Nem´
ame ale k dispozici ˇz´adn´e mˇeˇridlo, vodu m˚
uˇzeme pouze pˇrel´evat mezi
n´
adobami, nav´ıc nesm´ıme vodu vyl´evat jinam neˇz do n´adob ani pˇril´evat odjinud. Na kolik nejm´enˇe
pˇrelit´ı je moˇzn´e dostat litr vody do nejmenˇs´ı n´adoby?
ˇ sen´ı 5 V´ychoz´ı stav je (0—0—9), kde ˇc´ısla v z´
Reˇ
avorce znaˇc´ı litry vody v jednotliv´ych n´
adob´
ach.
Pˇrelit´ım z 3 do 2 m´
ame (0—7—2), pˇrelit´ım z 2 do 1 (2—5—2), pˇrelit´ım z 1 do 3 pak (0—5—4),
pˇrelit´ım z 2 do 1 (2—3—4), pˇrelit´ım z 1 do 3 (0—3—6), pˇrelit´ım z 2 do 1 (2—1—6), pˇrelit´ım z 3
do 1 (0—1—8), koneˇcnˇe pˇrelit´ım z 2 do 1 m´
ame (1—0—8). Je tedy potˇreba 8 pˇrelit´ı.
6. Dvˇe lodˇe pluj´ı po pˇr´ım´e trajektorii st´alou rychlost´ı. V 9h je jejich vz´ajemn´a vzd´alenost 20km, v 9.35
je vzd´
alenost 15 km, v 9.55 je vzd´
alenost 13 km. Najdˇete ˇcasov´
y okamˇzik, kdy vz´ajemn´a vzd´alenost
obou lod´ı je minim´
aln´ı. Odpovˇed’ zadejte jako poˇcet minut od dev´at´e hodiny.
1
ˇ 9h oznaˇc´ıme za ˇcas 0. V ˇcase t je prvn´ı lod’ na souˇradnic´ıch (x1 + vx1 t, y1 + vy1 t),
ˇ sen´ı 6 Cas
Reˇ
druh´
a lod’ na souˇradnic´ıch (x2 + vx2 t, y1 + vy2 t), kde pro i ∈ {1, 2} jsou xi , yi souˇradnice lod´ı
v ˇcase 0, vxi , vyi jejich rychlosti ve smˇeru osy x a y. Minimalizovat jejich vzd´
alenost znamen´
a
minimalizovat druhou mocninu jejich vzd´
alenosti, kter´
a je v ˇcase t dle Pythagorovy vˇety rovna D(t) =
(x1 +vx1 t−x2 −vx2 t)2 +(y1 +vy1 t−y2 −vy2 t)2 . N´
as ale nezaj´ım´
a pˇresn´y vzorec pro D, d˚
uleˇzit´e je, ˇze
jde o kvadratickou funkci t a lze ps´
at D(t) = at2 + bt + c. Pokud za jednotku ˇcasu zvol´ıme 5 minut a
za jednotku d´elky kilometr, m´
ame 400 = D(0) = c, 225 = D(7) = 49a+7b+c, 169 = D(11) = 121a+
11b + c, ˇreˇsen´ım soustavy m´
ame b = −32, a = 1, c = 400, tedy D(t) = t2 − 32 + 400 = (t − 16)2 + 144.
Tento v´yraz je minim´
aln´ı pro t = 16, odpovˇed’ je proto 80.
7. Do vrchol˚
u pravideln´eho pˇeti´
uheln´ıku ABCDE jsme um´ıstili celkem 15 minc´ı tak, ˇze ve vrcholu A
je jedna, v B dvˇe, v C tˇri, v D ˇctyˇri a v E pˇet. Postupnˇe pˇrid´av´ame mince tak, ˇze si vybereme
trojici sousedn´ıch vrchol˚
u a do kaˇzd´eho pˇrid´ame jednu minci. Kolik nejm´enˇe minc´ı mus´ıme pˇriloˇzit,
aby bylo v kaˇzd´em vrcholu stejnˇe minc´ı?
ˇ sen´ı 7 Pokud pˇrid´
Reˇ
ame a-kr´
at k trojici EAB, b-kr´
at k ABC, c-kr´
at k BCD, d-kr´
at k CDE a ekr´
at k DEA, m´
ame soustavu rovnost´ı e+a+b+1 = a+b+c+2 = b+c+d+3 = c+d+e+4 = d+e+a+5,
odtud a = d + 1, c = a + 1 = d + 2, e = c + 1 = d + 3, b = e + 1 = d + 4. Pˇri volbˇe nejmenˇs´ıho
moˇzn´eho d (tj. d = 0) je tˇreba pˇridat a + b + c + d + e = 1 + 4 + 2 + 0 + 3 = 10 trojic, neboli 30 minc´ı.
8. Banka nab´ız´ı dva produkty – jeden s u
´rokem 10% roˇcnˇe a bez poplatk˚
u, druh´
ysu
´rokem 21% roˇcnˇe
a s poplatkem 8400Kˇc roˇcnˇe (na konci roku se jednor´azovˇe pˇriˇcte u
´rok 21% a n´aslednˇe se odeˇcte
zm´ınˇen´
y poplatek). Henry si na kaˇzd´
y u
´ˇcet uloˇz´ı 50 000 korun. Za kolik let bude m´ıt na druh´em
u
´ˇctu v´ıce neˇz na prvn´ım (zaj´ımaj´ı n´as cel´e roky)? Od u
´rok˚
u nen´ı potˇreba odeˇc´ıtat daˇ
n.
ˇ sen´ı 8 Na prvn´ım u
Reˇ
´ˇctu je po k letech 1, 1k · 50000, na druh´em 1, 21k · 50000 − (8400 + 1, 21 · 8400 +
k
−1
k
ame
1, 212 · 8400 + 1, 21k−1 8400) = 1, 21k · 50000 − 8400 · 1,21
0,21 . Po substituci 1, 1 = t tak hled´
2
−1
nejmenˇs´ı re´
aln´e t > 1 splˇ
nuj´ıc´ı 50000t < t2 · 50000 − 8400 · t0,21
. V nerovnosti nast´
av´
a rovnost pro
t = 1 a t = 4. Nejmenˇs´ım vyhovuj´ıc´ım t je tak 4 a nejmenˇs´ım vyhovuj´ıc´ım k je 15. Kdo dal pˇrednost
t’uk´
an´ı do kalkulaˇcky, byl pravdˇepodobnˇe rychlejˇs´ı.
9. Doplˇ
nte ˇc´ısla do kˇr´ıˇzovky tak, aby platilo:
Vodorovnˇe
ˇ ıslo s klesaj´ıc´ı velikost´ı ˇc´ıslic (o jedniˇcku).
A C´
D Mocnina ˇc´ısla.
E Druh´
a mocnina ˇc´ısla.
ˇ ıslo s rostouc´ı velikost´ı ˇc´ıslic (o jedniˇcku).
F C´
ˇ ıslo s klesaj´ıc´ı velikost´ı ˇc´ıslic (o jedniˇcku).
H C´
Svisle
ˇ ıslo dˇeliteln´e 11.
B C´
C Prvoˇc´ıslo.
D Tˇret´ı mocnina ˇc´ısla.
E Druh´
a mocnina prvoˇc´ısla.
G Souˇcet pˇeti po sobˇe jdouc´ıch cel´
ych ˇc´ısel.
Jako odpovˇed’ zadejte ˇc´ısla na hlavn´ı u
´hlopˇr´ıˇcce (zaˇc´ın´a na poli oznaˇcen´em p´ısmenem A).
2
ˇ sen´ı 9 V kˇr´ıˇzovce vyjde po ˇr´
Reˇ
adc´ıch 6543, 1681,2345,5210; hledan´
a odpovˇed’ je 6640.
10. Jana si koupila 98kg meloun˚
u, kter´e jsou tvoˇreny z 99% vodou. Nechala je na slunci a za den j´ı
seschly tak, ˇze jsou z 98% tvoˇreny vodou. Kolik kg meloun˚
u Janˇe zbylo?
ˇ sen´ı 10 Pevn´
Reˇ
a hmota tvoˇr´ı dvakr´
at menˇs´ı ˇc´
ast neˇz pˇredt´ım, proto 49.
11. Ke tˇrem stˇen´
am krychle o hranˇe 2 pˇrilep´ıme (cel´
ymi stˇenami) tˇri dalˇs´ı stejnˇe velk´e krychle. Jak´
y je
nejmenˇs´ı polomˇer koule, kterou lze vznikl´emu tˇelesu opsat?
ˇ sen´ı 11 Pˇri slepen´ı do T m´
Reˇ
ame polomˇer opsan´e koule
√
V´ysledek je proto 11.
√
√
1 + 1 + 9, pˇri prostorov´em slepen´ı 4 + 4 + 4.
12. M´
ame kruˇznici a v n´ı vepsan´
y rovnostrann´
y troj´
uheln´ık. V troj´
uheln´ıku vepsanou kruˇznici a v t´eto
kruˇznici vepsan´
y ˇctverec. V tomto ˇctverci kruˇznice, atd... posledn´ı vepsan´
yu
´tvar je 2011- u
´heln´ık.
Kolik je v cel´em obr´
azku pr˚
useˇc´ık˚
u, pokud pro ˇz´adn´e n nem´a n-´
uheln´ık spoleˇcn´
y bod s (n + 1)u
´heln´ıkem? (Pr˚
useˇc´ıkem rozum´ıme bod spoleˇcn´
y dvˇema nar´
ysovan´
ym u
´tvar˚
um.)
ˇ sen´ı 12 Poˇcet pr˚
Reˇ
useˇc´ık˚
u je 3+3+4+4+· · ·+2010+2010+2011 = (2010+3)·2008+2011 = 4044115
13. Pr˚
umˇer 2011 pˇrirozen´
ych ˇc´ısel, ne nutnˇe r˚
uzn´
ych, je 2011. Jak´e je nejvyˇsˇs´ı ˇc´ıslo, kter´e se mezi nimi
m˚
uˇze nach´
azet?
ˇ sen´ı 13 Pro jak´ekoliv ˇc´ıslo m z dan´e 2011-tice mus´ı platit
Reˇ
2011 − 2010 = 4042111
2010·1+1·m
2011
≤ 2011, proto m ≤ 2011 ·
14. Posloupnost a1 , a2 , . . . , a12 je tvoˇrena nulami a jedniˇckami. Pˇritom plat´ı, ˇze a1 = 1 a a1 − a2 + a3 −
a4 + . . . − a12 je ˇc´ıslo dˇeliteln´e 3. Kolik takov´
ych posloupnost´ı a1 , . . . , a12 existuje?
ˇ sen´ı 14 Kaˇzd´
Reˇ
a takov´
a posloupnost je bin´
arn´ım z´
apisem ˇc´ısla dˇeliteln´eho 3 mezi 211 a 212 − 1.
Takov´ych ˇc´ısel je (4095 − 2049)/3 + 1 = 683.
15. Zbynˇek a M´
aria hraj´ı hru. Na ˇsachovnici o 49 × 49 pol´ıch stoj´ı figurka, se kterou stˇr´ıdavˇe h´
ybou.
T´
ahnout mohou vˇzdy o 3 pole doprava a o 4 dol˚
u, nebo o 4 doprava a o 3 dol˚
u. Kdo nem˚
uˇze t´ahnout,
prohr´
al. Zaˇc´ın´
a M´
aria na poli, kter´e si zvol´ı v nejlevˇejˇs´ım sloupci ˇsachovnice. Kolik pol´ı si m˚
uˇze zvolit
tak, aby vyhr´
ala?
ˇ sen´ı 15 V prvn´ım sloupci jsou vˇzdy 3 pole prohr´
Reˇ
avaj´ıc´ı a pak 4 vyhr´
avaj´ıc´ı, M´
aria m´
a 4 · 7 = 28
moˇznost´ı jak vyhr´
at.
3
16. Najdˇete vˇsechny dvojice nenulov´
ych cifer a, b takov´
ych, ˇze abb = ba · b. Jako odpovˇed’ zadejte souˇcet
vˇsech moˇzn´
ych ˇc´ısel ab. Oznaˇcen´ım xyz mysl´ıme ˇc´ıslo, kter´e je zaps´ano ciframi x, y, z zleva doprava
v tomto poˇrad´ı.
ˇ sen´ı 16 Po dˇelen´ı 5 mus´ı d´
Reˇ
avat ˇc´ısla b a ab stejn´y zbytek. Proto bud’ je b = 5, nebo mus´ı a d´
avat
zbytek 1 po dˇelen´ı 5. Rovnice a55 = 5a · 5 nem´
a ˇreˇsen´ı, nebot’ souˇcin na prav´e stranˇe je mezi 250 a
295, coˇz d´
av´
a pro a jedinou moˇznost 2, kter´
a nevyhov´ı. Dalˇs´ı moˇznost´ı je 1bb = b1 · b , po odeˇcten´ı
b a vydˇelen´ı 10 1b = b · b. Snadno rozmysl´ıme, ˇze takov´
a cifra b neexistuje. Posledn´ı moˇznost´ı je
6bb = b6 · b. Pro b < 8 je prav´
a strana menˇs´ı neˇz 600, pro b = 9 je vˇetˇs´ı neˇz 700. Zb´yvaj´ıc´ı moˇznost´ı
je tak a = 6, b = 8, v´ysledek je 68.
ˇ ıslo N m´
17. C´
a cifern´
y souˇcet roven 100, zat´ımco ˇc´ıslo 44N m´a cifern´
y souˇcet roven 800. Najdˇete cifern´
y
souˇcet ˇc´ısla 3N.
ˇ sen´ı 17 Formulace u
Reˇ
´lohy napov´ıd´
a, ˇze pokud najdeme jedno ˇc´ıslo s takovou vlastnost´ı, m´
ame
vyhr´
ano. To je snadn´e – uv´
aˇz´ıme ˇc´ıslo tvaru 1010...101, kter´e m´
a 199 cifer, z toho 100 jedniˇcek a
99 nul. Po vyn´
asoben´ı 44 dostaneme ˇc´ıslo z 200 ˇctyˇrek, takov´e N opravdu vyhov´ı. Pro korektnost je
jeˇstˇe tˇreba rozmyslet, ˇze pokud ˇc´ısla 40N a 4N maj´ı cifern´y souˇcet nejv´yˇse 400 a ˇze jejich souˇcet m´
a
cifern´y souˇcet nejv´yˇse 800 a aby nastaly obˇe rovnosti, nesm´ı pˇri n´
asoben´ı 4 · N ani sˇc´ıt´
an´ı 40N + N
ˇ ıslo 3N tak m´
nastat pˇresah pˇres des´ıtku. C´
a cifern´y souˇcet 300.
18. V troj´
uheln´ıku ABC oznaˇcme R dotykov´
y bod vepsan´e kruˇznice na stranˇe a. Pr˚
useˇc´ık AR s tˇeˇznic´ı
tb oznaˇcme X. Troj´
uheln´ık ABX m´a tˇrikr´at vˇetˇs´ı obsah neˇz troj´
uheln´ık ACX. D´elka strany a je 4,
d´elka strany b je 5. Urˇcete d´elku strany c.
ˇ sen´ı 18 Vzd´
Reˇ
alenosti BR, CR jsou po ˇradˇe rovny (a + b − c)/2, (a + c − b)/2; pomˇer obsah˚
u
jmenovan´ych troj´
uheln´ık˚
u je roven pomˇeru tˇechto vzd´
alenost´ı. Pro d´elky stran proto plat´ı a + c − b :
a + b − c = 1 : 3, tedy c − 1 : 9 − c = 3 : 1, odtud c = 7.
ˇ ri hrac´ı kostky maj´ı kaˇzd´
19. Ctyˇ
a na stˇen´ach ˇc´ısla 1 aˇz 6 rozm´ıstˇen´a tak, ˇze souˇcet poˇct˚
u ok na protˇejˇs´ıch
stˇen´
ach je 7. Kostky slep´ıme do jednoho u
´tvaru tak, aby se dot´
ykaly cel´
ymi stˇenami. Urˇcete nejmenˇs´ı
a nejvˇetˇs´ı moˇzn´
y souˇcet viditeln´
ych ˇc´ısel a jako odpovˇed’ zadejte souˇcin obou v´
ysledk˚
u.
ˇ sen´ı 19 Nejvˇetˇs´ı souˇcet dostaneme, kdyˇz na dvou kostk´
Reˇ
ach slepen´ım zakryjeme jedniˇcku a na
zbyl´ych dvou jedniˇcku a dvojku, souˇcet nezakryt´ych stˇen je pak 4 · 21 − 8 = 76. Naopak nejmenˇs´ı
souˇcet z´ısk´
ame, kdyˇz kostky slep´ıme do ˇctverce tak, ˇze ˇsestky a pˇetky nejsou viditeln´e, na viditeln´ych
stˇen´
ach zbude 4 · 21 − 4 · 11 = 40. V´ysledek je proto 3040.
ˇ
20. Sestim´
ıstn´e ˇc´ıslo konˇc´ı cifrou 6. Kdyˇz ji pˇresuneme na zaˇc´atek, z´ısk´ame ˇctyˇrn´asobek tohoto ˇc´ısla. O
jak´e ˇc´ıslo ˇslo?
ˇ ıslo tvoˇren´e prvn´ımi pˇeti ciframi hledan´eho ˇc´ısla oznaˇcme k. Reˇ
ˇ s´ıme rovnici 10k + 6 =
ˇ sen´ı 20 C´
Reˇ
600000 + k, jej´ım ˇreˇsen´ım je 15384, hledan´ym ˇc´ıslem je pak 153846.
21. Pro funkci f : Z → Z plat´ı f (x) + f (y) = f ((x + y)/2) + f (3x) − 33x2 − 2xy + 3y 2 pro vˇsechna x
takov´
a, ˇze (x + y)/2 je cel´e. Urˇcete f (47) − f (42).
ˇ sen´ı 21 Prohozen´ım x a y a odeˇcten´ım od p˚
Reˇ
uvodn´ı rovnice m´
ame f (3x) − f (3y) = 36x2 − 36y 2
(pro x, y stejn´e parity). D´
ale dosazen´ım x = y m´
ame f (x) = f (3x) − 32x2 . Vyuˇzit´ım tˇechto dvou
2
2
vztah˚
u m´
ame f (x) − f (y) = 4x − 4y (pro x, y stejn´e parity, odkud odvod´ıme f (x) = 4x2 − l pro x
lich´e a f (x) = 4x2 − s pro x sud´e, kde s, l jsou nˇejak´e konstanty. Dosazen´ım x = 2, y = 4 dost´
av´
ame
s = l, v´ysledek 1780.
4
22. Do rovnostrann´eho troj´
uheln´ıka ABC o stranˇe 1 je veps´an rovnostrann´
y troj´
uheln´ık tak, ˇze oba maj´ı
stejn´e tˇeˇziˇstˇe a vnitˇrn´ı troj´
uheln´ık m´a poloviˇcn´ı obsah. V jak´e vzd´alenosti od vrcholu A se nach´
az´ı
nejbliˇzˇs´ı vrchol menˇs´ıho troj´
uheln´ıka?
√
ˇ sen´ı 22 Oba troj´
at menˇs´ı polomˇer
Reˇ
uheln´ıky maj´ı stejn´y stˇred opsan´e kruˇznice, vnitˇrn´ı m´
a 2-kr´
opsan´e kruˇznice (troj´
uheln´ıky jsou podobn´e a pomˇer obsah˚
u je druhou mocninou koeficientu podob1
nosti). To n´
am umoˇzn
ˇuje sestavit rovnici pro hledanou vzd´
alenost x: (0, 5 − x)2 + 12
= 16 , odtud
x = 0, 2113.
23. Arabsk´
y kupec odk´
azal sv´
ym syn˚
um 12 , 13 a 91 st´ada. Celkem mˇel 17 velbloud˚
u. Synov´e neumˇeli
st´
ado rozdˇelit, tak si p˚
ujˇcili jednoho velblouda od souseda; z 18 velbloud˚
u jeden dostal 9, druh´
y6
a posledn´ı 2. Zbyl´eho velblouda vr´
atili sousedovi. Druh´
y kupec mˇel 4 syny a odk´azal k-t´emu z nich
1/ak st´
ada, kde ak je cel´e ˇc´ıslo, pˇriˇcemˇz a1 < a2 < a3 < a4 . I tito synov´e si st´ado beze zbytku
rozdˇelili stejn´
ym zp˚
usobem (s vyuˇzit´ım vyp˚
ujˇcen´eho velblouda a vˇsichni velbloudi z˚
ustali vcelku).
Kolik nejm´enˇe mohl m´ıt druh´
y kupec velbloud˚
u?
ˇ sen´ı 23 Prohled´
Reˇ
av´
an´ım mal´ych ˇc´ısel s velk´ym poˇctem dˇelitel˚
u zjist´ıme, ˇze hledan´ym minimem je
16
24. Vlado m´
a st´
ado ovc´ı. Kdyˇz jich vyˇzene na louku 100, mohou b´
yt na louce libovolnˇe dlouho; 100 ovc´ı
je nav´ıc nejvˇetˇs´ı st´
ado s takovouto vlastnost´ı. Pokud jich vyˇzene 120, vydrˇz´ı jim pastva na 100 dn´ı.
Na jak dlouho vydrˇz´ı pastva 150 ovc´ım?
ˇ sen´ı 24 Mnoˇzstv´ı tr´
Reˇ
avy zkonzumovan´e ovc´ı za den oznaˇcme t. Na pastvinˇe dennˇe doroste 100t,
pˇri vyhn´
an´ı 120 ovc´ı se tak kaˇzd´y den spase o 20t v´ıce, neˇz doroste. Pˇred vyhn´
an´ım ovc´ı tedy bylo
na pastvˇe 100 · 20t = 2000t tr´
avy. Pˇri vyhn´
an´ı 150 ovc´ı se dennˇe spase o 50t v´ıce tr´
avy, neˇz doroste,
=
40
dn´
ı.
pastva vydrˇz´ı 2000t
50t
25. M´
ame ˇsachovnici 5 × 5, kaˇzd´e pole obsahuje ˇc´ıslo, a to bud’ 1 nebo -1. M˚
uˇzeme v kaˇzd´em kroku vz´ıt
podˇctverec o stranˇe alespoˇ
n 2 a zmˇenit znam´enka vˇsech ˇc´ısel v tomto podˇctverci. Chceme doc´ılit
toho, ˇze na konci budou na cel´e ˇsachovnici pouze jedniˇcky. Na kter´
ych pol´ıch m˚
uˇze b´
yt na zaˇc´
atku
-1? V´
ysledek zadejte jako souˇcet souˇcin˚
u souˇradnic; souˇradnice jsou ˇc´ısla od 1 do 5.
ˇ sen´ı 25 Pouˇzit´ım ˇctverc˚
Reˇ
u o stranˇe 2 nebo 4 se zachov´
a zbytek souˇctu vˇsech ˇc´ısel v tabulce po
dˇelen´ı 4, pˇri pouˇzit´ı ˇctverc˚
u o stranˇe 3 nebo 5 se tento zbytek zmˇen´ı. My jej chceme zmˇenit z v´ychoz´ı
hodnoty 3 na hodnotu 1, ˇctverc˚
u o lich´e stranˇe mus´ıme pouˇz´ıt lich´y poˇcet. Pouˇzit´ım kaˇzd´eho z nich se
vˇsak zmˇen´ı i znam´enko ˇc´ısla v prostˇredn´ım poli – jedinou moˇznost´ı tak je, ˇze -1 byla na souˇradnic´ıch
(3,3), v´ysledek je proto 9.
26. M´
ame dvˇe kladn´
a cel´
a ˇc´ısla. Uv´
aˇz´ıme jejich souˇcet, souˇcin, pod´ıl a rozd´ıl menˇs´ıho a vˇetˇs´ıho. Souˇcet
tˇechto ˇctyˇr v´
ysledk˚
u je 243. Najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı; pro kaˇzd´e spoˇctˇete souˇcin ˇc´ısel a jako odpovˇed’
zadejte souˇcet tˇechto souˇcin˚
u.
5
ˇ sen´ı 26 Oznaˇcme ˇc´ısla a a b, a > b, v´ıme, ˇze a = kb pro nˇejak´e cel´e k. M´
Reˇ
ame pak 243 =
(kb + b) + (kb − b) + kb · b + k = 2kb + kb2 + k = k(b + 1)2 . Druh´e mocniny dˇel´ıc´ı 243 jsou 32 a 92 ,
jim odpov´ıdaj´ı ˇreˇsen´ı b = 2, a = 54 a b = 8, a = 24. Odpovˇed’ je pak 108 + 192 = 300.
ˇ ste soustavu rovnic
27. Reˇ
sin(x) + sin(y) = sin(x + y)
cos(x) + cos(y) = cos(x + y)
pro 0 ≤ x, y < 360◦ . Jako v´
ysledek zadejte souˇcin vˇsech vyhovuj´ıc´ıch x ve stupn´ıch.
ˇ sen´ı 27 Poloˇzme a = cos(x) + i sin(x), b = cos(y) + i sin(y). M´
Reˇ
ame pak a + b = ab, 1b + a1 = 1.
1
1
ˇ
C´ısla b a a jsou komplexn´ı jednotky, maj´ı stejnou absolutn´ı hodnotu. Jejich souˇcet je re´
aln´y, maj´ı
proto i stejnou absolutn´ı hodnotu re´
aln´e ˇca
´sti. Mus´ı m´ıt tedy i stejnou hodnotu re´
aln´e ˇc´
asti – proto
cos(x) = cos(y) = 21 . Vyhov´ı x = 60◦ a x = 300◦ (y se dopoˇcte jako 360◦ − x), hledan´
a odpovˇed’ je
18000.
28. Na obvodu kruhu je 1001 tal´ıˇrk˚
u. Kolem kruhu chod´ı Petr a do prvn´ıho tal´ıˇrku d´a bonbon, jeden
tal´ıˇrek vynech´
a, do dalˇs´ıho d´
a bonbon, dva tal´ıˇrky vynech´a, do dalˇs´ıho d´a bonbon, tˇri tal´ıˇrky vynech´
a, a tak pokraˇcuje do doby, neˇz by mˇel vynechat 1000 tal´ıˇrk˚
u. V kolika tal´ıˇrc´ıch nakonec budou
bonbony?
ˇ sen´ı 28 Obsazen´e jsou ty tal´ıˇrky, jejichˇz poˇradov´e ˇc´ıslo lze vyj´
Reˇ
adˇrit ve tvaru 1+2+·+t mod 1001 =
t(t+1)
(4t+1)2 −1
mod
1001
=
mod
1001
Obsazen´
y
ch
tal´
ıˇ
r
k˚
u
bude
tolik, kolik r˚
uzn´ych zbytk˚
u d´
avaj´ı
2
8
druh´e mocniny pˇrirozen´ych ˇc´ısel po dˇelen´ı 1001. Protoˇze 1001 = 7 · 11 · 13, staˇc´ı uv´
aˇzit, kolik zbytk˚
u
d´
avaj´ı druh´e mocniny po dˇelen´ı 7, 11 a 13. Snadno rozmysl´ıme, ˇze tyto poˇcty jsou po ˇradˇe 4, 6 a
7. Kaˇzd´y vyhovuj´ıc´ı zbytek po dˇelen´ı sedmi lze nakombinovat s libovoln´ymi zbytky po dˇelen´ı 11 a 13,
v´ysledkem je proto 4 · 6 · 7 = 168. V okamˇziku, kdy pˇrijdete na vzorec t(t+1)
mod 1001, je moˇzn´e
2
u
´lohu snadno doˇreˇsit poˇc´ıtaˇcem (napˇr. programem Excel).
ˇ adn´a z jeho dcer nem´a dceru, ale kaˇzd´a m´a tolik syn˚
29. Lenˇcin dˇedeˇcek se narodil ve dvac´
at´em stolet´ı. Z´
u,
kolik m´
a sester. Kaˇzd´
y jeho syn m´
a tolik dcer, kolik m´a sester, a tolik syn˚
u, kolik m´a sourozenc˚
u.
Celkem m´
a Lenˇcin dˇedeˇcek tolik potomk˚
u (dˇet´ı a vnouˇcat), kolik mu je let. Za deset let bude jeho
vˇek dˇeliteln´
y tˇremi r˚
uzn´
ymi prvoˇc´ısly. Kolik mu je let?
(Pˇredpokl´
adejte norm´
aln´ı rodinn´e vztahy, zejm´ena tedy ˇz´adn´a z jeho dcer nem´a d´ıtˇe s n´ım, ani s
jeho syny.)
ˇ sen´ı 29 Pokud poˇcet dcer oznaˇc´ıme a a poˇcet syn˚
Reˇ
u ve tvaru (a+b)2 .
√u b, dostaneme poˇcet potomk˚
Vyb´ır´
ame tak z druh´ych mocnin ˇc´ısel menˇs´ıch neˇz 111, informace o tˇrech prvoˇc´ıslech n´
am nech´
a
jedinou moˇznost – Lenˇcin´emu dˇedeˇckovi je 100.
30. Paty v´
yˇsek v troj´
uheln´ıku ABC oznaˇc´ıme D, E, F . Jak´
y obsah m´a troj´
uheln´ık ABC, (v cm2 )
pokud m´
a DEF d´elky stran 3, 4 a 5 cm?
ˇ sen´ı 30 Obvod troj´
Reˇ
uheln´ıka DEF je 12 cm, jeho obsah 6 cm2 , polomˇer kruˇznice jemu vepsan´e
2·6
je proto 12 = 1. Pokud troj´
uheln´ık DEF um´ıst´ıme do souˇradn´e s´ıtˇe tak, aby mˇel vrcholy v bodech
(0,0), (3,0) a (0,4), bude jeho stˇred I vepsan´e kruˇznice v bodˇe (1,1). V´ıme, ˇze stˇred vepsan´e kruˇznice
troj´
uheln´ıka DEF je souˇcasnˇe pr˚
useˇc´ıkem v´yˇsek troj´
uheln´ıka ABC. Body A, B, C tak sestroj´ıme jako
pr˚
useˇc´ıky kolmic na ID, IE, IF proch´
azej´ıc´ıch postupnˇe body D, E, F . Souˇradnice bod˚
u A, B, C jsou
celoˇc´ıseln´e, obsah troj´
uheln´ıka pak vyjde 30.
6
31. Kolik ˇctverc˚
u je na n´
asleduj´ıc´ım obr´azku?
ˇ sen´ı 31 Ve vrchn´ıch pˇeti ˇrad´
Reˇ
ach je 15 · 5 ˇctverc˚
u o stranˇe 1, 14 · 4, o stranˇe 2, celkem tedy
15 · 5 + 14 · 4 + 13 · 3 + 12 · 2 + 11 · 1 = 205. Stejnˇe tak je 205 ˇctverc˚
u v 5 lev´ych ˇrad´
ach, 205 ˇctverc˚
uv5
prav´ych ˇrad´
ach a 205 ˇctverc˚
u v 5 spodn´ıch ˇrad´
ach. Pˇritom 5 · 5 + 4 · 4 + 3 · 3 + 2 · 2 + 1 · 1 = 55 ˇctverc˚
u
ˇ
jsme poˇc´ıtali do souˇcasnˇe do horn´ıch pˇeti ˇrad i lev´ych pˇeti sloupc˚
u. Ctverc˚
u, kter´e neobsahuj´ı stˇredov´y
ˇctverec o stranˇe 5 je tak 4 × 205 − 4 × 55 = 600. Zb´yv´
a spoˇc´ıtat ˇctverce, kter´e jej obsahuj´ı. M´
ame 1
takov´y ˇctverec o stranˇe 5, ˇctyˇri takov´e ˇctverce o stranˇe 6, . . . celkem tedy 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
ˇctverc˚
u o stranˇe nejv´yˇse 10, a 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55 ˇctverc˚
u o stranˇe 11 aˇz 15. V´ysledek pˇr´ıkladu
je tak 746.
32. Matˇej a Zuzka nasb´ırali dohromady 72 hub. Dvˇe pˇetiny Matˇejov´
ych hub byly liˇsky, tˇri sedminy
Zuzˇcina u
´lovku byly ˇzampiony. Kolik hub nasb´ırala Zuzka, pokud jich mˇela v´ıce neˇz Matˇej?
ˇ sen´ı 32 Poˇcet Zuzˇcin´ych hub je 7t, kde t ≤ 10. Na Matˇeje tak zb´yv´
Reˇ
a 72 − 7t = 65 − 7(t − 1)
hub, t − 1 mus´ı b´yt dˇeliteln´e 5. M´
ame tak moˇznosti t = 1 a t = 6 (t=11), ty vedou na ˇreˇsen´ı (65,7),
(30,42). Jen ve druh´em m´
a v´ıce Zuzka, proto 42.
33. V obd´eln´ıku ABCD je na stranˇe BC d´an bod X, na stranˇe DC bod Y , obsah troj´
uheln´ıka ABX
je 5, obsah AY D je 10 a obsah XCY je 7, 5. Urˇcete obsah obd´eln´ıka ABCD.
ˇ sen´ı 33 Oznaˇc´ıme-li obsah obd´eln´ıka S, pomˇer BX : BC = t, DY : DC = u, m´
Reˇ
ame tS = 10 (z
dvoj´ıho vyj´
adˇren´ı obsahu obd´eln´ıka ABXF ), uS = 20 (z dvoj´ıho vyj´
adˇren´ı obsahu obd´eln´ıka AEY D),
(1 − t)(1 − u)S = 15 (z dvoj´ıho vyj´
adˇren´ı obsahu obd´eln´ıka GF CY ). Z prvn´ıch dvou vztah˚
u m´
ame
2
u = 2t. M´
ame pak (1 − 3t + 2t2 )S = 15, po dosazen´ı za S = 10
je
(1
−
3t
+
2t
)10
=
15t,
ˇ
r
eˇ
s
en´
ım
t
kvadratick´e rovnice t = 1/4 nabo t = 2. Druh´e ˇreˇsen´ı nen´ı moˇzn´e (zˇrejmˇe mus´ı b´yt t < 1), proto
S = 40.
34. Zdenˇek si vyrobil deset stejnˇe velk´
ych ˇctverc˚
u z dr´atu. Ted’ pokl´ad´a jeden pˇres druh´
y na st˚
ul. Na
kolik nejv´
yˇse oblast´ı se mu m˚
uˇze podaˇrit st˚
ul rozdˇelit? Pokud by mˇel jedin´
y ˇctverec, byla by odpovˇed’
na tuto ot´
azku 2.
7
ˇ sen´ı 34 Vzhledem k Eulerovˇe vˇetˇe (pr˚
Reˇ
useˇc´ıky - u
´seˇcky + oblasti = 2) m˚
uˇzeme naˇse hled´
an´ı
zredukovat na snahu odhalit poˇcet pr˚
useˇc´ık˚
u jednotliv´ych ˇctverc˚
u. Kdyˇz pˇres sebe poloˇz´ıme dva ˇctverce,
zjist´ıme, ˇze se protnou
v nejv´yˇse 8 bodech. Kdyby se kaˇzd´e dva ˇctverce protly pr´
avˇe v 8 bodech, mˇeli
bychom celkem 10
·
8
=
360
pr˚
useˇ
c
´
ık˚
u.
Kaˇ
z
d´
y
obvod
ˇ
c
tverce
je
t´
ım
p´
a
dem
rozdˇ
e
len´y na 8 · 9 u
´seˇcek,
2
tedy celkov´y poˇcet u
´seˇcek pro vˇsechny ˇctverce je 8 · 9 · 10 = 720. Podle Eulerovy vˇety potom plat´ı, ˇze
poˇcet oblast´ı je 2 + 720 − 360 = 362 oblast´ı.
Nyn´ı je jeˇstˇe tˇreba uk´
azat, ˇze opravdu existuje nˇejak´e takov´e rozm´ıstˇen´ı ˇctverc˚
u. Pˇredstavme si, ˇze
vˇsechny ˇctverce jsou veps´
any jedn´e kruˇznici, jen jsou v˚
uˇci sobˇe pootoˇcen´e. Potom lze (napˇr. mateˇ
matickou indukc´ı) dok´
azat, ˇze se opravdu kaˇzd´y ˇctverec protne s kaˇzd´ym ˇctvercem v 8 bodech. Cili
z´
avˇer je, ˇze 10 ˇctvercov´ych obruˇc´ı m˚
uˇze vytvoˇrit maxim´
alnˇe 362 oblast´ı.
35. Hloupˇet´ınsk´
a slepiˇc´
arna prod´
av´
a vejce v balen´ı po 6, 9 a 20. Kolik r˚
uzn´
ych kladn´
ych poˇct˚
u vajec
menˇs´ıch neˇz 1000 lze koupit?
ˇ sen´ı 35 Jistˇe um´ıme koupit libovoln´y poˇcet vajec dˇeliteln´y 6. Poˇcty vajec, kter´e jsou lich´e, a
Reˇ
dˇeliteln´e tˇremi a vˇetˇs´ı neˇz 3, lze koupit tak, ˇze koup´ıme 9 vajec a zbytek dopln´ıme balen´ımi po ˇsesti.
Um´ıme tak koupit libovoln´y poˇcet vajec dˇeliteln´y 3 vˇetˇs´ı neˇz 3. Z poˇct˚
u, kter´e d´
avaj´ı zbytek 2 po dˇelen´ı
tˇremi jistˇe um´ıme koupit 20 + 3k, kde k = 0 nebo k > 1 (bez dvac´ıtkov´eho balen´ı se neobejdeme a
jin´y poˇcet neˇz 0 nebo 3k pro k > 1 dle v´yˇse uveden´eho pˇridat nelze. Obdobnˇe z poˇct˚
u, kter´e d´
avaj´ı
zbytek 1 po dˇelen´ı tˇremi um´ıme koupit 40 vajec, nebo 40 + 3k, kde k > 1.
Pokud m´
a poˇcet d´
avat zbytek 0 po dˇelen´ı 3, mus´ı b´yt od 6 do 999, pokud zbytek 1, mus´ı b´yt bud’ 40
nebo od 46 do 997, pokud zbytek 2, mus´ı b´yt 20 nebo od 26 do 998. Celkem 332 + 319 +326 = 977.
36. Pro kter´
a n plat´ı, ˇze existuje prvoˇc´ıslo sloˇzen´e z ˇc´ıslic 1 aˇz n (kaˇzd´a je pouˇzita pr´avˇe jednou)? Jako
odpovˇed’ zadejte souˇcet vˇsech pˇr´ıpustn´
ych n.
ˇ sen´ı 36 Pro n ∈ 2, 3, 5, 6, 8 a 9 je v´ysledn´e ˇc´ıslo jistˇe dˇeliteln´e tˇremi; pro n = 4 vyhov´ı 1423, pro
Reˇ
n = 7 vyhov´ı 1234657, v´ysledek je proto 11. Pokud se pt´
ate, jak hledat sedmim´ıstn´
a prvoˇc´ısla s touto
vlastnost´ı, pak asi nelze poradit nic lepˇs´ıho neˇz zkusmo. Poˇcet ˇc´ısel tvoˇren´ych r˚
uzn´ymi ciframi od
1 do 7 a konˇc´ıc´ıch na 1,3 nebo 7 je 2160, celkem 533 z nich jsou prvoˇc´ısla, statisticky by tak mˇely
staˇcit ˇctyˇri pokusy.
37. Jsou d´
any soustˇredn´e kruˇznice c, d, e, f . Pˇr´ımka veden´a jejich stˇredem A se s nimi protne po ˇradˇe
v bodech C, D, E, F , druh´
a pˇr´ımka veden´a bodem A v bodech C 0 , D0 , E 0 , F 0 . Kruˇznice maj´ı nav´ıc
tu vlastnost, ˇze pˇr´ımky CC 0 , DD0 , EE 0 jsou po ˇradˇe teˇcnami k d, e, f , dotykov´e body tˇechto teˇcen
oznaˇcme T , U , V . Urˇcete obsah mezikruˇz´ı dan´eho kruˇznicemi c, f , pokud v´ıte, ˇze |CT | = 7 a
|EV | = 3 (obr´
azek nen´ı v mˇeˇr´ıtku).
8
ˇ sen´ı 37 Obsah mezikruˇz´ı je
Reˇ
S∆ = π(|AB|2 − |AV |2 ) = π[(|AB|2 − |AT |2 ) + (|AT |2 − |AU |2 ) + (|AU |2 − |AV |2 )] =
= π[(|AC|2 − |AT |2 ) + (|AD|2 − |AU |2 ) + (|AE|2 − |AV |2 )] =
= π(|CT |2 + |DU |2 + |EV |2 )
Snadno rozmysl´ıme, ˇze |CT |, |DU | a |EV | tvoˇr´ı geometrickou posloupnost, neboli |DU |2 = |CT | ·
|EV |. (Pˇr´ıpadnˇe tento vztah dok´
aˇzeme pomoc´ı rovnosti |DU | = |T E| a podobnosti troj´
uheln´ık˚
u T EC
a EV T ). M´
ame tak S∆ = π(|CT |2 + |CT ||EV | + |EV |2 ) = 79π = 248.1858.
38. Je d´
an ostro´
uhl´
y troj´
uheln´ık ABC s polomˇerem kruˇznice opsan´e R = 9, polomˇerem vepsan´e r = 4
a obsahem S = 90. D´
ale jsou d´
any kruˇznice se stˇredy v bodech A, B, C o polomˇeru 3. Na tˇechto
kruˇznic´ıch leˇz´ı po ˇradˇe body D, E, F tak, ˇze ˇz´adn´
y z nich neleˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti ABC a troj´
uheln´ık
DEF je stejnolehl´
y s troj´
uheln´ıkem ABC. Urˇcete obsah troj´
uheln´ıka DEF .
ˇ sen´ı 38 Pro stˇred stejnolehlosti X obou troj´
Reˇ
uheln´ık˚
u mus´ı platit |AX| : |BX| = (|AX| + 1) :
(|BX| + 1), odtud |AX| = |BX|, analogicky |AX| = |CX|, stˇredem stejnolehlosti je proto stˇred
kruˇznice troj´
uheln´ıku ABC opsan´e, pomˇer stejnolehlosti je (9 + 3) : 9, neboli 4 : 3, pomˇer obsah˚
u je
16 : 9, obsah DEF je proto 160.
39. Urˇcete poˇcet pˇrirozen´
ych ˇc´ısel, kter´a maj´ı cifern´
y souˇcin 4 a cifern´
y souˇcet 2011.
ˇ sen´ı 39 Bud’ obsahuje dvˇe dvojky a 2007 jedniˇcek ( 2009 moˇznost´ı) nebo jedna ˇctyˇrka a 2007
Reˇ
2
jedniˇcek (2008 moˇznost´ı). Celkem je takov´ych ˇc´ısel 2019044.
40. Urˇcete log(sin x − cos x), pokud v´ıte, ˇze log(sin x + cos x) = 3, cos(2x) = −1/10.
ˇ sen´ı 40 M´
Reˇ
ame −1 = log(− cos 2x) = log(sin2 (x) − cos2 (x)) = log(sin x − cos x) + log(sin x +
cos x) = log(sin x − cos x) + 3, odtud log(sin x − cos x) = −4
41. Urˇcete, ˇcemu se rovn´
a sin 35◦ + sin 40◦ + sin 45◦ + · · · + sin 7170◦ .
ˇ sen´ı 41 S vyuˇzit´ım vztahu sin x + sin(x + 180◦ ) = 0 se vˇetˇsina ˇclen˚
Reˇ
u vz´
ajemnˇe odeˇcte, zbude
sin 35◦ + sin 40◦ + sin 45◦ + · · · + sin 330◦ . D´
ale sin(x) + sin(360◦ − x) = 0, ˇc´ımˇz se vyruˇs´ı vˇse kromˇe
sin(330)◦ = −1/2.
ˇ
42. Cemu
se rovn´
a
b2
a2 −2ab+2b2
2
b
+ a2 +2ab+2b
a ˇc´ısla splˇ
nuj´ıc´ı 6a4 − 6b4 = 35a2 b2 ?
2 , pokud jsou a, b nenulov´
ˇ sen´ı 42 V´yraz uprav´ıme na
Reˇ
2a2 b2 +4b4
a4 +4b4
2
=
2a
−4
b2
a4
b4
+4
. Pokud budeme zn´
at ˇc´ıslo
a2
b2
(oznaˇcme ho k),
m´
ame vyhr´
ano. Zadan´
a rovnost n´
am d´
av´
a 6k 2 − 6 = 35k, po vyˇreˇsen´ı k = 6 (koˇren k = − 16 lze
2·6+4
zavrhnout). Pak je dan´y v´yraz roven 62 +4 = 0, 4.
43. Urˇcete obsah vybarven´eho u
´tvaru, je-li obsah obd´eln´ıka ABCD roven 720, AC a BD jsou jeho
u
´hlopˇr´ıˇcky a E, F jsou stˇredy stran AB resp. CD.
9
ˇ sen´ı 43 Z vlastnost´ı tˇeˇznic troj´
Reˇ
uheln´ık˚
u ABC a ACD plyne, ˇze vybarven´
a oblast zab´ır´
a tˇretinu
obd´eln´ıka, tedy plochu 240.
44. Najdˇete vˇsechna trojcifern´
a ˇc´ısla abc, kde a, b, c jsou r˚
uzn´e nenulov´e cifry, pro kter´a plat´ı 2(abc) =
bca + cab. Oznaˇcen´ım xyz mysl´ıme ˇc´ıslo, kter´e je zaps´ano ciframi x, y, z zleva doprava v tomto
poˇrad´ı. Jako odpovˇed’ zadejte souˇcin vˇsech vyhovuj´ıc´ıch ˇc´ısel.
ˇ sen´ı 44 M´
Reˇ
ame rovnici 200a + 20b + 2c = 101b + 110c + 11a, po u
´pravˇe 7a − 3b − 4c = 0. Po
dˇelen´ı 7 d´
av´
a ˇc´ıslo 3b − 3c = (3b + 4c) − 7c = 7a − 7c zbytek 0, proto bud’ b = c (zak´
az´
ano) nebo
(b, c) tvoˇr´ı jednu z dvojic (1,8) – pak a = 5, (2,9) – pak a = 6, (8,1) – pak a = 4 nebo (9, 2) – pak
a = 5. Souˇcin vˇsech moˇzn´ych ˇc´ısel je 518 · 629 · 481 · 592 = 92778466144.
45. Je d´
ana soustava rovnic
1a + 2b + 3c + · · · + 25y + 26z = 27
12 a + 22 b + 32 c + · · · + 252 y + 262 z = 272
..
.
126 a + 226 b + 326 c + · · · + 2526 y + 2626 z = 2726
Najdˇete hodnotu y.
ˇ sen´ım analogick´ych soustav dojdeme k hypot´eze, ˇze a = 27 , b = − 27 , ...,y = − 27
ˇ sen´ı 45 Reˇ
Reˇ
1
2
25
P27 27
i t
, z = 27
yv´
a ovˇeˇrit, ˇze takov´e ˇreˇsen´ı vyhov´ı, neboli dok´
azat vztah
i=0 i (−1) i = 0 pro
26 . Zb´
27
kaˇzd´e t od 0 do 27. V´ysledek je pak − 25 = −351.
10
Download

Poznámka ke všem úlohám: pokud vyjde celé cıslo