MASARYKOVA UNIVERZITA
Pˇr´ırodovˇedeck´a fakulta
Semin´arn´ı pr´ace z Historie matematiky
Origami
Brno 2008
Petr Pup´ık
Motto:
´ ev je odpoˇcinkem unaven´emu,
Usmˇ
nadˇej´ı malomysln´emu, sluneˇcn´ım
svˇetlem smutn´emu a nejlepˇs´ım
pˇrirozen´ym prostˇredkem proti
tr´
apen´ı...
A podobnˇe je tomu s origami.
Origami
OBSAH
Obsah
´
Uvod
3
1 Co je origami
4
2 Historie origami
2.1 Prvopoˇc´atky origami . . .
2.2 Japonsk´e klasick´e origami
2.2.1 Slavnostn´ı origami
2.2.2 Rekreaˇcn´ı origami .
2.3 Evropsk´e klasick´e origami
2.4 Tradiˇcn´ı origami . . . . .
2.5 Modern´ı origami . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Origami v matematice
3.1 Huzitovy axiomy . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Teˇcna paraboly . . . . . . . . .
3.1.2 Spoleˇcn´a teˇcna dvou parabol . .
3.1.3 Kubick´e rovnice . . . . . . . . .
3.1.4 Trisekce u
´hlu a zdvojen´ı krychle
3.2 Pythagorova vˇeta . . . . . . . . . . . .
3.3 Modul´arn´ı origami . . . . . . . . . . .
3.3.1 Plat´onsk´a tˇelesa . . . . . . . . .
3.3.2 Archimedovsk´a tˇelesa . . . . . .
3.3.3 Kepler - po´ınsotova tˇelesa . . .
3.3.4 Frakt´aly . . . . . . . . . . . . .
4 Origami ve vˇ
edˇ
e
4.1 Sloˇzen´ı sol´arn´ıho panelu
4.2 Optigami . . . . . . . .
4.3 Vesm´ırn´
y teleskop . . . .
4.4 Origami v medic´ınˇe . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
7
7
7
8
10
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
15
15
17
19
20
22
22
22
22
.
.
.
.
24
24
24
25
25
Origami
5 Zaj´ımavosti ze svˇ
eta
5.1 Origami n´abytek
5.2 Rekordy . . . . .
5.3 Zaj´ımavosti . . .
OBSAH
origami
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
27
27
Seznam obr´
azk˚
u
29
Literatura
Kniˇzn´ı zdroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Internetov´e zdroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
30
Pˇ
r´ılohy
31
2
´
UVOD
Origami
´
Uvod
Jeˇstˇe neˇz si ˇrekneme nˇeco o t´eto semin´arn´ı pr´aci, pokuste si v duchu odpovˇedˇet na dvˇe
ot´azky. Co si pˇredstav´ıte pod pojmem origami? Najdete si v dneˇsn´ı dobˇe ˇcas na to, abyste
si skl´adali z pap´ıru a co z nˇeho um´ıte sloˇzit?
V t´eto semin´arn´ı pr´aci se budeme zab´
yvat pr´avˇe origami. V pˇeti kapitol´ach si ˇrekneme,
co si pod t´ımto pojmem pˇredstavit. Sezn´am´ıme se se zaj´ımavou histori´ı origami a uk´aˇzeme
si, jak m˚
uˇzeme vyuˇz´ıt origami v matematice a dalˇs´ıch vˇed´ach.
Na pˇriloˇzen´em CD najdete n´avody k nˇekter´
ym skl´adank´am. Pr´ace obsahuje tak´e kapitolu o origami v matematice. Tato kapitola (a tak´e cel´a pr´ace) je ps´ana tak, aby byla bez
probl´em˚
u srozumiteln´a ˇcten´aˇri s gymnazi´aln´ım vzdˇel´an´ım.
Nyn´ı se pod´ıvejme, ˇc´ım se budeme v naˇs´ı pr´aci zab´
yvat. V prvn´ı kapitole se sezn´am´ıme
s pojmem origami.
Ve druh´e kapitole se pod´ıv´ame na historii origami. Sezn´am´ıme se s Japonsk´
ym, ale i
Evropsk´
ym origami, pozn´ame druhy a smˇery origami a uvedeme si nejzn´amˇejˇs´ı osobnosti
spojen´e s origami.
Tˇret´ı kapitola bude vˇenov´ana jiˇz zminˇen´emu origami v matematice. Uk´aˇzeme si, jak
pomoc´ı origami dok´aˇzeme ˇreˇsit kubick´e rovnice, ˇci sestrojit spoleˇcnou teˇcnu dvou parabol.
Dozv´ıme se, ˇze pomoc´ı origami um´ıme ˇreˇsit dva ze tˇr´ı starovˇek´
ych geometrick´
ych probl´em˚
u.
V dalˇs´ı ˇc´asti t´eto kapitoly se budeme vˇenovat modul´arn´ımu origami.
Ve ˇctvrt´e kapitole si uvedeme, jak´e m´a origami vyuˇzit´ı v praxi. Urˇcitˇe je zaj´ımav´e, ˇze
se s origami m˚
uˇzeme setkat ve vesm´ıru, v l´ekaˇrstv´ı, optice i v automobilov´em pr˚
umyslu.
V z´avˇereˇcn´e kapitole si potom uk´aˇzeme nˇekter´e zaj´ımavosti ze svˇeta origami.
K pr´aci je tak´e pˇriloˇzeno nˇekolik sloˇzen´
ych skl´adanek. Jedn´a se o uk´azku modul´arn´ıho
origami a tak´e o nˇekolik skl´adanek, o kter´
ych je v t´eto pr´aci zm´ınka. Dalˇs´ı pˇr´ılohou je jiˇz
zm´ınˇen´e CD.
Cel´a pr´ace je vys´azena syst´emem LATEX. Nˇekter´e obr´azky jsou kresleny v programu
Zoner Calisto 4. Modely jsou potom skl´ad´any z obyˇcejn´eho barevn´eho pap´ıru. Vhodnˇejˇs´ı
je vˇsak tenˇs´ı pap´ır. Vˇetˇsina skl´adanek zde uveden´
ych nen´ı tˇeˇzk´a, avˇsak je ˇcasovˇe n´aroˇcn´a.
Napˇr´ıklad skl´ad´an´ı modul´arn´ıho origami zabere aˇz nˇekolik hodin. Pˇriloˇzen´
y dr´atˇen´
y“
”
dvacetistˇen jsem skl´adal v´ıce neˇz 6 hodin. Nicm´enˇe v´
ysledek za to urˇcitˇe stoj´ı, je fantastick´e,
co vˇsechno lze z pap´ıru sloˇzit.
3
Origami
KAPITOLA 1. CO JE ORIGAMI
Kapitola 1
Co je origami
Origami je japonsk´e jm´eno pro umˇen´ı skl´ad´an´ı pap´ıru. Samotn´e slovo origami je sloˇzen´ım
dvou slov: slovesa oru (skl´adat) a podstatn´eho jm´ena kami (pap´ır).
Skl´adanky se skl´adaj´ı vˇetˇsinou ze ˇctvercov´eho pap´ıru, kter´
y by mˇel m´ıt d´elku strany
15 cm, mˇel by b´
yt tenk´
y, jemn´
y, pevn´
y, ohebn´
y, z jedn´e strany b´ıl´
y a z druh´e barevn´
y.
Asi nejzn´amˇejˇs´ı japonskou pap´ırovou skl´adankou je pap´ırov´
y
jeˇr´ab (orizuru). Jeˇr´ab patˇr´ı mezi japonsk´e symboly dlouh´eho
ˇzivota. Pr´avˇe z tohoto d˚
uvodu si lid´e v Japonsku pap´ırov´e jeˇr´aby
n´avl´ekaj´ı na ˇsn
ˇ˚
uru a rozvˇeˇsuj´ı je po sv´em domˇe.
Zn´am´
y je tak´e pˇr´ıbˇeh japonsk´eho dˇevˇc´atka Sadako Sasaki.
Byly j´ı dva roky, kdyˇz dne 6. srpna 1945 byla svrˇzena atomov´a bomba na Hiroˇsimu. Ve vˇeku 11 let (9 let po svrˇzen´ı atomov´e bomby) n´ahle dostala z´avratˇe. Diagn´oza znˇela leuk´emie,
usoben´a oz´aˇren´ım z v´
ybuchu atomov´e bomby. Nejlepˇs´ı
Obr´azek 1.1: Pap´ırov´y nemoc zp˚
pˇr´ıtelkynˇe povˇedˇela Sadako starou japonskou legendu, kter´a ˇr´ık´a,
jeˇr´ab (Orizuru)
ˇze kaˇzd´emu, kdo sloˇz´ı tis´ıc pap´ırov´
ych jeˇr´ab˚
u, se spln´ı jedno pˇr´an´ı.
Sadako mˇela pˇr´an´ı, aby se uzdravila. . .
Posledn´ıch 14 mˇes´ıc˚
u sv´eho ˇzivota str´avila v nemocnici a za tu
dobu sloˇzila pˇres 1300 pap´ırov´
ych jeˇr´ab˚
u (jin´a verze tohoto pˇr´ıbˇehu
ˇr´ık´a, ˇze se j´ı podaˇrilo sloˇzit pouze 644 pap´ırov´
ych jeˇr´ab˚
u, a tak
jej´ı pˇr´atel´e pro ni sloˇzili ostatn´ı, aby jich mˇela vysnˇen´
ych 1000).
Dne 25. ˇr´ıjna 1955 vˇsak bohuˇzel Sadako um´ır´a ve vˇeku 12 let.
Roku 1958 byla v Parku M´ıru v Hiroˇsimˇe odhalena socha Sadako
drˇz´ıc´ı v rukou zlat´eho jeˇr´aba. Kaˇzd´
y rok je k jej´ımu pam´atn´ıku
posl´ano nespoˇcet pap´ırov´
ych jeˇr´ab˚
u. Dnes je jeˇr´ab v Japonsku
nejen symbolem dlouh´eho ˇzivota, ale i symbolem m´ıru.
V souˇcasn´e dobˇe existuj´ı v Japonsku dva duhy origami:
tradiˇcn´ı a modern´ı. Pro tradiˇcn´ı origami je typick´e, ˇze se skl´adanky
skl´adaj´ı vˇzdy z jednoho kusu pap´ıru, bez pouˇzit´ı n˚
uˇzek, lepidla a
tak´e by se nemˇelo do skl´adanek nic domalov´avat. Postup skl´ad´an´ı Obr´azek 1.2: Pam´atn´ık
je vˇzdy pˇresnˇe pˇredeps´an, sloˇzen´e skl´adanky by se nemˇely liˇsit, at’ Sadako Sasaki
4
Origami
KAPITOLA 1. CO JE ORIGAMI
uˇz je sloˇz´ı kdokoliv.
Oproti tomu u modern´ıho origami je d˚
uleˇzit´a fantazie
toho, kdo skl´ad´a. D˚
uleˇzit´a je originalita skl´ad´an´ı. Je mnoho
smˇer˚
u modern´ıho origami, nˇekter´e uzn´avaj´ı pouze skl´ad´an´ı
z jednoho kusu pap´ıru, pˇr´ıpadnˇe zasouv´an´ı jednotliv´
ych d´ıl˚
u
do sebe. Jin´e smˇery uzn´avaj´ı i stˇr´ıh´an´ı a vz´ajemn´e slepov´an´ı
jednotliv´
ych d´ıl˚
u, dokreslov´an´ı oˇc´ı zv´ıˇrat˚
um, ˇci dolepov´an´ı
r˚
uzn´
ych ˇc´asti tˇela, nejenom z pap´ıru, ale i napˇr´ıklad z k˚
uˇze.
Kaˇzdoroˇcnˇe se poˇr´adaj´ı v´
ystavy modern´ıho origami. Takov´eto
skl´ad´an´ı je povaˇzov´ano za samostatn´e v´
ytvarn´e d´ılo na pomez´ı plastiky a obrazu.
Obr´azek 1.3: Pap´ırov´ı jeˇr´abi
u pomn´ıku Sadako Sasaki
5
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
Kapitola 2
Historie origami
O historii origami toho dnes v´ıme velice m´alo. N´azory na to, kdy se poprv´e objevilo origami,
se r˚
uzn´ı. R˚
uzn´ı se tak´e i to, co povaˇzovat za origami. Zda jen pouh´e pˇrehnut´ı pap´ıru, nebo
za origami budeme povaˇzovat skl´ad´an´ı pap´ıru pro vlastn´ı potˇeˇsen´ı, za nˇejak´
ym u
´ˇcelem.
Tuto druhou moˇznost budeme uvaˇzovat i my.
2.1
Prvopoˇ
c´
atky origami
Nˇekteˇr´ı ˇr´ıkaj´ı, ˇze se origami zrodilo zhruba 100 let po vyn´alezu pap´ıru asi pˇred 2000 lety
ˇ ınˇe za doby vl´ady dynastie Han (ta vl´adla v C´
ˇ ınˇe od roku 205 pˇr. n. l. do roku 220
v C´
ˇ
n. l.). C´ınsk´
y znak pro pap´ır, zhi, symbolizujuje l´atku vyrobenou z hedv´ab´ı, na kterou je
moˇzn´e ps´at. Japonsk´e slovo pro pap´ır, kami, oznaˇcuje materi´al vyroben´
y z bˇrezov´eho ˇci
bambusov´eho dˇreva. Oboj´ı vˇsak byl materi´al urˇcen´
y ke psan´ı. O skl´ad´an´ı vˇsak nen´ı nikde
ani zm´ınka.
Kolem roku 600 naˇseho letopoˇctu se pap´ır rozˇs´ıˇril do Japonska. Nˇekteˇr´ı se pr´avˇe
domn´ıvaj´ı, ˇze origami vzniklo v Japonsku a to v obdob´ı Heian. To trvalo od roku 794
do roku 1185. Bylo to obdob´ı, kdy v Japonsku vzkv´etalo umˇen´ı a literatura. V tomto
obdob´ı se tak´e poprv´e objevuj´ı dnes zn´am´e japonsk´e obˇrady ˇcaje nebo umˇen´ı aranˇzov´an´ı
kvˇetin (ikebana). Ti, kteˇr´ı si mysl´ı, ˇze origami poch´az´ı pr´avˇe z tohoto obdob´ı, poukazuj´ı
na dvˇe povˇesti. Prvn´ı z nich vypravuje o muˇzi jm´enem Abe-no Seimei, kter´
y pr´
y sloˇzil
pap´ırov´eho pt´aka a oˇzivil ho. Druh´
y pˇr´ıbˇeh vypr´av´ı o chlapci jm´enem Fujiwara-no Kiyuosoke, kter´
y daroval d´ıvce, se kterou se pr´avˇe rozeˇsel, faleˇsnou ˇz´abu. Bohuˇzel vˇsak nejsou
ˇz´adn´e d˚
ukazy o tom, ˇze byla sloˇzen´a z pap´ıru.
ˇ ıkalo se mu tatogami
Je vˇsak dok´az´an´e, ˇze se v obdob´ı Heian jiˇz pouˇz´ıval bal´ıc´ı pap´ır. R´
nebo tato. Dodnes se podobn´
ym zop˚
usobem, jako se balilo v obdob´ı Heian, bal´ı kimono.
Toto vˇsak nen´ı d˚
ukaz toho, ˇze jiˇz doch´azelo ke skl´ad´an´ı ze ˇctvercov´eho pap´ıru.
Dnes vid´ıme v ˇsintoistick´
ych stavb´ach mnoho ozdobn´
ych prvk˚
u vyroben´
ych z pap´ıru. At’
uˇz se jedn´a o r˚
uzn´e pap´ırov´e prouˇzky, heisoku (ozdoba stoj´ıc´ı pˇred ˇsintoistickou svatyn´ı),
nebo pap´ırov´e loutky. Ty jsou tak´e velice star´e. Bohuˇzel vˇsak ve starovˇek´em Japonsku
nebyly nikdy vyr´abˇeny z pap´ıru.
6
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
Samotn´e slovo origami poch´az´ı pr´avˇe z obdob´ı Heian. P˚
uvodnˇe vˇsak mˇelo u
´plnˇe jin´
y
v´
yznam. Slovem origami se oznaˇcoval list pap´ıru pˇrehnut´
y v polovinˇe ˇs´ıˇrky. Dnes bychom
na nˇej psali napˇr´ıklad dopisy.
To, co si pˇredstavujeme pod slovem origami dnes, se v 17. stolet´ı naz´
yvalo orisue pozdˇeji
orikata. N´azev origami se uˇz´ıv´a aˇz od konce prvn´ı poloviny dvac´at´eho stolet´ı.
2.2
Japonsk´
e klasick´
e origami
Za japonsk´e klasick´e origami povaˇzujeme dva druhy skl´adanek: slavnostn´ı a rekreaˇcn´ı.
2.2.1
Slavnostn´ı origami
Nejstarˇs´ım dochovan´
ym dokumentem o origami je kr´atk´a b´aseˇ
n Rosei-ga yume-no cho-wa
orisue (Mot´
yli v R˚
uˇzenˇcinˇe snu mohou b´
yt origami), kterou sloˇzil roku 1680 Ihara Saikaku.
Zm´ınil zde origami skl´adanku nazvanou Ocho Mecho (Mot´
yl´ı p´ar). Dnes se tato skl´adanka
pouˇz´ıv´a pˇri svadebn´ıch hostin´ach jako ozdobn´
y obal na v´ıno.
Ihara Saikaku (1642 – 9. z´aˇr´ı 1693) byl japonsk´
y b´asn´ık a spisovatel. Napsal ˇradu
milostn´
ych rom´an˚
u. Je tak´e autorem tohoto cit´atu: ”L´
aska je jako hra, pˇri n´ıˇz se tah´
a za
nitky o ˇstˇest´ı, tolik je jich vˇselijak propleten´ych a jenom na jedn´e je perla, kter´
a znamen´a
v´yhru.”
Origami vˇsak jistˇe vzniklo dˇr´ıve.
Kromˇe Ocho Mecho je dalˇs´ım pˇr´ıkladem orgami uˇziv´an´eho pˇri r˚
uzn´
ych
slavnostech Noshi. Do t´eto skl´adanky se umist’oval (a dodnes umist’uje) kousek suˇsen´e ryby nebo jin´eho j´ıdla. Celkovˇe se origami vyuˇz´ıvalo pˇri mnoha
pˇr´ıleˇzitostech. Z tohoto d˚
uvodu Iso Sadatake usuzuje ve sv´e knize Tsutsumino Ki (1764), ˇze origami mohlo vzniknout nˇekdy v obdob´ı Muromachi (asi
od roku 1336 do roku 1573). Toto d´ılo je tak´e nejstarˇs´ım dochovanou knihou
o slavnostn´ım origami.
2.2.2
Rekreaˇ
cn´ı origami
Obr´azek 2.1:
O nˇekolik let dˇr´ıve, neˇz byla vyd´ana kniha Tsutsumi-no Ki, vˇsak jiˇz byly Noshi
zn´amy nˇekter´e skl´adanky, kter´e ˇrad´ıme mezi rekreaˇcn´ı. Byly to napˇr´ıklad
lod’ka a tak´e Tamatebako, jedno z prvn´ıch geometrick´
ych (modul´arn´ıch) origami. Bohuˇzel
vˇsak pˇresnˇe nev´ıme, kdy byly tyto skl´adanky poprv´e sloˇzeny.
Ke skl´adance Tamatebako se v´aˇze zaj´ımav´
y pˇr´ıbˇeh. V jedn´e vesnici ˇzil mlad´
y ryb´aˇr
Urashima Taro. Kdyˇz ˇsel jednou po pl´aˇzi, uvidˇel chlapce t´
yraj´ıc´ıho vodn´ı ˇzelvu. Urashima
za n´ım okamˇzitˇe bˇeˇzel, ˇzelvu zachr´anil a pustil do moˇre.
Ubˇehlo nˇekolik dn´ı a ˇzelva se za n´ım vr´atila, podˇekovala mu, ˇze ji osvobodil, a nab´ıdla
mu, jestli by nechtˇel ˇz´ıt v podmoˇrsk´em svˇete. Urushima souhlasil a ocitl se v okouzluj´ıc´ım
pal´aci vl´adkynˇe moˇr´ı Oto-Hime. Byl to fascinuj´ıc´ı svˇet, Urashima pozoroval pˇrekr´asn´
y
7
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
tanec ryb, jedl ty nejvˇetˇs´ı pochoutky na tˇech nejvˇetˇs´ıch hostin´ach. . . Takto si uˇz´ıval tˇri
mˇes´ıce, kdyˇz tu se mu n´ahle postesklo po domovˇe.
Poprosil tedy Oto-Hime, jestli by se nemohl vr´atit dom˚
u.
Ona souhlasila a kdyˇz se s n´ım louˇcila, darovala mu Tamatebako s t´ım, ˇze tuto skl´adanku nesm´ı nikdy otevˇr´ıt. Urashima
se tedy vr´atil na zem, ale byl cel´
y zdˇeˇsen´
y, protoˇze vˇse, na
co vzpom´ınal a na co se tˇeˇsil, se zmˇenilo. Nepozn´aval nikoho
kolem sebe, vˇsechny budovy se mu zd´aly tak ciz´ı. Najednou
si pˇripadal u
´plnˇe s´am. Chodil smutnˇe kˇr´ıˇzem kr´aˇzem, kdyˇz
potkal starce. Zeptal ho, jestli zn´a muˇze jm´enem Urashima
Taro. Staˇrec odpovˇedˇel, ˇze o nˇem slyˇsel, ˇze ˇzil pˇred 300 lety,
ale jednoho dne pr´
y zmizel v moˇri a nikdy se nenaˇslo jeho
tˇelo.
Urushima byl velice zklaman´
y, nevˇedˇel v˚
ubec, co m´a dˇelat.
Obr´azek 2.2: Tamatebako
Rozhodl se, ˇze se pod´ıv´a, co je uvnitˇr krabiˇcky, kterou dostal od Oto-Hime. Jakmile ji otevˇrel, objevil se jemn´
y oblak d´
ymu, kter´
y ihned zmizel a
ˇ
Urashima se n´ahle zmˇenil v bˇelovlas´eho starce. Cas,
kter´
y Urashima str´avil v kouzeln´em
podmoˇrsk´em svˇetˇe, ukryla Oto-Hime do krabiˇcky Tamatebako, kterou pr´avˇe Urashima
otevˇrel. Jeho ˇzivot se n´ahle ch´
ylil ke sv´emu konci. . .
To, jak´e skl´adanky se skl´adali, se dozv´ıd´ame hlavnˇe z rom´an˚
u, poezie a jin´
ych liter´arn´ıch
dˇel, ve kter´
ych hlavn´ı protagonist´e skl´adaj´ı skl´adanky k r˚
uzn´
ym u
´ˇcel˚
um. Roku 1682 napsal
Ihara Saikaku jedno ze sv´
ych mnoha dˇel, ve kter´em hlavn´ı hrdina skl´ad´a skl´adanku Hiyokuno Tori, coˇz se d´a povaˇzovat za pˇredch˚
udce pap´ırov´eho jeˇr´aba. (Orizuru).
Roku 1797 napsal Akisato Rito knihu Hiden Senbazuru Orikata, coˇz bychom dnes
pˇrekl´adali jako Tajemstv´ı tis´ıce jeˇr´ab˚
u origami, tehdy to vˇsak znamenalo sp´ıˇse Tucty spojen´
ych jeˇr´ab˚
u Orizuru sloˇzen´
ych z jednoho kusu pap´ıru. Tato kn´ıˇzka b´
yv´a nˇekdy nespr´avnˇe
oznaˇcov´ana jako nejstarˇs´ı kn´ıˇzkou o origami (Tsutsumi-no Ki je ale starˇs´ı).
2.3
Evropsk´
e klasick´
e origami
Mnoho lid´ı se domn´ıv´a, ˇze origami je pouze japonsk´
ym umˇen´ım.
Nen´ı to vˇsak pravda. Podle nˇekter´
ych odborn´ık˚
u sl´adal origami jiˇz
Leonardo da Vinci (1452-1519). Ten by mohl b´
yt autorem prvn´ıho
pap´ırov´eho modelu letadla. Na obr´azku 2.4. vid´ıme, jak mˇel pr´
y
tento model vypadat.
Jan Webster zmiˇ
nuje pap´ırov´e vˇezen´ı ve sv´e divadeln´ı hˇre
V´evodkynˇe z Malfi, kter´a byla naps´ana kolem roku 1614. Pap´ırov´e
vˇezen´ı je zˇrejmˇe origami skl´adanka, kterou dnes zn´ame pod Obr´azek 2.4: Model len´azvem vodn´ı bomba. Tato skl´adanka se v tomto obdob´ı v˚
ubec tadla podle Leonarda da
Vinci
v Japonsku neobjevuje.
M˚
uˇzeme naj´ıt mnoho zm´ınek o origami z 19. stolet´ı. Mimo jin´e napˇr´ıklad Nˇemeck´e
n´arodn´ı muzeum vlastn´ı ve sv´e sb´ırce origami skl´adanky kon´ı a jezdc˚
u, o kter´
ych se m´ın´ı,
8
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
Obr´azek 2.3: Uk´azka z Hiden Senbazuru Orikata
9
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
ˇze byly sloˇzeny nˇekdy kolem roku 1810.
Dalˇs´ı osobnost´ı, kter´a je sv´az´ana s histori´ı origami, je Friedrich Fr¨obel. Tento nˇemeck´
y
pedagog zaloˇzil v polovinˇe 19. stolet´ı prvn´ı mateˇrskou ˇskolku. V t´e dˇeti mimo jin´e tak´e
skl´adali origami.
Pouze nˇekolik evropsk´
ych skl´adanek z 19. stolet´ı bylo souˇcastnˇe
zn´amo v Japonsku, stejnˇe tak naopak. Napˇr´ıklad ˇspanˇelskou
skl´adanka Pajarita (Pt´aˇcek, u n´as zn´am´a sp´ıˇse pod n´azvem kon´ık)
znalo v t´e dobˇe jen m´alo japonc˚
u, podobnˇe Jeˇr´aba (Orizuru) znalo
jen m´alo evropan˚
u, pˇritom dnes je to jedna z nejzn´amˇejˇs´ıch origami skl´adanek.
Evropsk´e a japosnk´e origami je znaˇcnˇe odliˇsn´e. Zat´ımco v japonsk´
ych klasick´
ych skl´adank´ach se skl´ad´a z pap´ır˚
u r˚
uzn´
ych tvar˚
u,
v evropsk´
ych se pouˇz´ıv´a striktnˇe ˇctvercov´
y nebo obd´eln´ıkov´
y
ych skl´adanek se objevuj´ı z´ahyby
Obr´azek 2.5: Pajarita pap´ır. Zat´ımco u evropsk´
nejˇcastˇeji pod u
´hlem 45◦ , u japonsk´
ych to je u
´hel poloviˇcn´ı. U japonsk´
ych skl´adanek se pˇri skl´ad´an´ı ˇcasto stˇr´ıh´a, coˇz se v evropsk´
ych klasick´
ych skl´adank´ach
t´emeˇr nedˇel´a.
Vznik evropsk´eho origami nen´ı zn´am, odhaduje se vˇsak, ˇze mohlo vzniknout nejsp´ıˇse
na zaˇc´atku 16. stolet´ı. Oproti tomu vznik Japonsk´eho slavnostn´ıho origami se datuje do
poˇc´atku 15. stolet´ı. Japonsk´emu klasick´emu origami se nˇekdy tak´e ˇr´ık´a v´
ychodn´ı origami,
oproti tomu evropsk´emu se ˇr´ık´a z´apadn´ı origami.
2.4
Tradiˇ
cn´ı origami
Na zaˇc´atku tedy bylo japonsk´e a evropsk´e origami nez´avisl´e. Ve druh´e polovinˇe 19. stolet´ı,
po otevˇren´ı Japonska svˇetu, doˇslo k prom´ıch´an´ı obou druh˚
u origami. V Japonsku se zaˇcal
vyr´abˇet speci´aln´ı origami pap´ır ˇctvercov´eho form´atu, kter´
y byl z jedn´e strany obarven´
y.
Skl´adanky se pˇred´avali z generace na genaraci. Skl´adanky se bˇehem kr´atk´e doby doˇ
stali do cel´eho svˇeta. Casto
doch´azelo k zmˇen´am jejich n´azv˚
u a k promˇen´am samotn´
ych
skl´adanek. Kaˇzd´
y si nˇejak´
ym zp˚
usobem svoji skl´adanku vylepˇsil. Rozvoj kreativn´ıho myˇslen´ı byl jedn´ım z d˚
uvod˚
u, proˇc se origami uˇcilo uˇz v mateˇrsk´
ych ˇskolk´ach.
Nyn´ı je vˇsak pˇresnˇe opaˇcn´
y trend. Vˇetˇsinou se dˇeti uˇc´ı skl´ad´an´ı z pap´ıru pˇresnˇe podle
dan´eho n´avodu.
Dnes se pojmem tradiˇcn´ı origami m´ın´ı skl´adanky sloˇzen´e z jednoho kusu pap´ıru, vˇetˇsinou
bez stˇr´ıh´an´ı, bez lepen´ı, podle dan´eho n´avodu. Jednotliv´e skl´adnky se proto neliˇs´ı, at’ uˇz
je sloˇz´ı kdokoliv.
2.5
Modern´ı origami
Modern´ı origami vzniko v prvn´ı polovinˇe 20. stolet´ı. Jeho vznik je u
´zce spjat´
y se jm´enem
Akira Yoshizawa. Akira Yoshizawa se narodil 14. bˇrezna 1911 nedaleko Tokia. Jeho otec byl
10
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
zemˇedˇelec. Ve vˇeku tˇrin´acti let odeˇsel pracovat do Tokia. Stal se technick´
ym projektantem
a v tov´arnˇe, kde pracoval vyuˇcoval mlad´e z´amˇestnance geometrii (zaj´ımav´e je, ˇze s´am Akira
Yoshizawa absolvoval pouze ˇsestilet´e z´akladn´ı vzdˇel´an´ı). Pˇri vyuce zaˇcal pouˇz´ıvt skl´ad´an´ı
pap´ıru.
Ve sv´
ych 26 letech se zaˇcal origami vˇenovat naplno. Pˇred druhou svˇetovou v´alkou studoval jako
budhistick´
y mnich, ale nikdy nevstoupil do kl´aˇstera.
Kdyˇz potom vypukla v´alka, p˚
usobil ve vojensk´e nemocnici v Hongkongu, kde zdobil postele pacient˚
u
sv´
ymi barevn´
ymi origami modely.
V roce 1951 dostal zak´azku od umˇelce jm´enem
Tadasu Iizawa, kter´
y sh´anˇel modely pro symboly japonsk´eho zvˇerokruhu. Akira Yoshizawa s nimi slavil
obrovsk´
yu
´spˇech. Roku 1954 vydal svoji prvn´ı kn´ıˇzku
Obr´azek 2.6: Akira Yoshizawa
Atarashi Origami Geijitsu (Nov´e origami umˇen´ı). V
t´eto knize popsal vlastn´ı syst´em kreslen´ı diagram˚
u. D´ıky tomu mohli jeho skl´adanky skl´adat
i ˇcten´aˇri, kteˇr´ı neumˇeli japonsky. Tento syst´em kreslen´ı diagram˚
u se bez velk´
ych zmˇen uˇz´ıv´a
dodnes.
Obr´azek 2.7: Skl´adanky, kter´e sloˇzil Akira Yoshizawa
T´ehoˇz roku, co vydal svoji prvn´ı knihu, zaloˇzil Mezin´arodn´ı origami centrum v Tokiu
a v roce 1955 uskuteˇcnil svoji prvn´ı velkou v´
ystavu v Japonsku. T´ehoˇz roku se mu dostalo
11
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
i mezin´arodn´ıho uzn´an´ı, kdyˇz 300 jeho model˚
u bylo vystaveno v muzeu v Amsterdamu.
Jeho vˇehlas st´ale stoupal a to pˇrimˇelo japosnkou vl´adu, aby ho jmenovala kulturn´ım velvyslancem. V t´eto roli hodnˇe cestoval a vyuˇcoval origami po cel´em svˇetˇe. Zaj´ımavost´ı je,
ˇze ve Velk´e Brit´anii byl jmenov´an doˇzivotn´ım v´ıceprezidentem.
Za sv˚
uj ˇzivot z´ıskal Akira Yoshizawa ˇradu ocenˇen´ı. Za sv˚
uj ˇzivot vytvoˇril v´ıce neˇz 50
tis´ıc model˚
u, vydal 18 jeho knih o origami. Zaj´ıv´e je, ˇze pouze nˇekolik stovek jeho origami
model˚
u zapsal do sv´
ych diagram˚
u. Akira Yoshizawa nikdy nechtˇel svoje modely prod´avat,
ˇcasto o nich mluvil jako o sv´
ych dˇetech. Je tak´e zakladatelem takzvan´eho mokr´eho skl´ad´an´ı.
Tato technika spoˇc´ıv´a ve skl´ad´an´ı navlhˇcen´eho tlustˇs´ıho pap´ıru, kter´
y umoˇzn
ˇuje lepˇs´ı trojrozmˇern´e modelov´an´ı a po zaschnut´ı drˇz´ı model dobˇre sv˚
uj tvar. Skl´adanky tak´e rozdˇelil
podle z´akladn´ıch tvar˚
u, ze kter´
ych vznikaj´ı.
Asi tˇeˇzko bychom v historii hledali nˇekoho, jehoˇz ˇzivot by byl v´ıce spojen´
y s origami.
Hlavnˇe d´ıky tomuto muˇzi je origami povaˇzov´ano za japonsk´e umˇen´ı. Akira Yoshizawa
zemˇrel v den sv´
ych devades´at´
ych ˇctvrt´
ych narozenin, 14. bˇrezna 2005.
Dalˇs´ım origamistou, kter´
y je u
´zce spjat´
y se vznikem modern´ıho origami je Uchiyama
Koko. Ten si jako prvn´ı nechal petentovat sv´e origami skl´adanky. V modern´ım origami je
d˚
uleˇzit´a pr´avˇe originalita skl´adanek. Kladen je d˚
uraz nejen na v´
ysledn´
y vzhled, ale i na
zaj´ımav´
y postup. V neposledn´ı ˇradˇe je por modern´ı origami d˚
uleˇzit´a reprodukovatelnost
model˚
u. Kaˇzd´
y origamista pˇresnˇe popisuje, jak danou skl´adanku sloˇzil.
Existuje nˇekolik smˇer˚
u modern´ıho origami. Nˇekter´e smˇery neuzn´avaj´ı dokreslov´an´ı,
dolepov´an´ı, stˇr´ıh´an´ı jin´e naopak ano.
Na z´avˇer t´eto kapitoly si jeˇstˇe uved’me nˇekolik dalˇs´ıch zn´am´
ych modern´ıch origamist˚
u.
Jsou jimi napˇr´ıklad Takahama Toshie, Honda Isao, Robert Harbin, Garshon Legman, Lilian
Oppenheimer, Samuel Randlett atd.
12
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Kapitola 3
Origami v matematice
V t´eto kapitole se pod´ıv´ame, jak´e fascinuj´ıc´ı vyuˇzit´ı m˚
uˇze m´ıt origami v matematice.
Nˇekolik prvn´ıch odstavc˚
u se bude vˇenovat origami v geometrii.
3.1
Huzitovy axiomy
Kaˇzd´
y jistˇe zn´a pˇet Euklidov´
ych axiom˚
u (postul´at˚
u). I v origami se
nˇeco takov´eho objevuje. Slavn´
y origamista a matematik Humiaki Huzita formuloval ˇsest axiom˚
u origami. Pomoc´ı nich lze doj´ıt k zaj´ımav´
ym
v´
ysledk˚
um, kter´e si pr´avˇe uk´aˇzeme v t´eto sekci.
Humiaki Huzita se narodil roku 1924 v Japonsku. Odtud emigroval
do It´alie, kde studoval na univerzitˇe v Padov´e nukleovou fyziku. Roku
1991 formuloval sv´e slavn´e axiomi origami. Humiaki Huzita zemˇrel
roku 2005.
Uved’me si nyn´ı onˇech ˇsest zmiˇ
novan´
ych Huzitov´
ych axiom˚
u ori- Obr´azek
3.1:
gami:
Humiaki Huzita
1. Jsou li d´any body B1 a B2 , potom m˚
uˇzeme sloˇzit hranu tak, ˇze bude proch´azet body
B1 a B2 .
2. Jsou li d´any body B1 a B2 , potom m˚
uˇzeme sloˇzit hranu tak, ˇze bod B1 bude na bodu
B2 .
3. Jsou-li d´any pˇr´ımky (hrany) p1 a p2 , m˚
uˇzeme sloˇzit hranu tak, aby pˇr´ımka p1 leˇzela
na pˇr´ımce p2 .
4. Je-li d´an bod B1 a pˇr´ımka p1 , m˚
uˇzeme sloˇzit hranu, kter´a je kolm´a k p1 a proch´az´ı
bodem B1 .
5. Jsou-li d´any body B1 , B2 a pˇr´ımka p1 , m˚
uˇzeme sloˇzit hranu tak, aby bod B1 leˇzel na
pˇr´ımce p1 a z´aroveˇ
n tato hrana proch´azela bodem B2 .
13
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
6. Jsou-li d´any body B1 , B2 a pˇr´ımky p1 , p2 , m˚
uˇzeme sloˇzit hranu tak, aby bod B1 leˇzel
na pˇr´ımce p1 a z´aroveˇ
n bod B2 leˇzel na pˇr´ımce p2 .
Obr´azek 3.2: Huzitovy axiomy origami
Pozdˇeji pˇriˇsli Jacques Justin, Robert Lang a Hatori Koshiro nez´avisle na sobˇe na dalˇs´ı
axiom:
7. Jsou-li d´an bod B a pˇr´ımky p1 , p2 , m˚
uˇzeme sloˇzit hranu kolmou na pˇr´ımku p1 tak,
aby bod B1 leˇzel na pˇr´ımce p2 .
Nyn´ı se pod´ıvejme na to, jak´e maj´ı tyto axiomy vyuˇzit´ı v geometrii.
3.1.1
Teˇ
cna paraboly
Vezmˇemˇe si ˇctvercov´
y pap´ır. Pˇr´ımku na kter´e leˇz´ı jedna ze stran oznaˇcme p1 . Zvolme bod
B1 na ose strany leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce p1 . Necht’ nyn´ı bod B2 je kdekoliv na stran´ach ˇcverce
kolm´
ych k pˇr´ımce p1 . Sestrojme hranu podle axiomu 5 tak, aby proch´azela bodem B2 a
bod B1 leˇzel na pˇr´ımce p1 .
Kdyˇz m´ame pap´ır takto pˇrehnut´
y, sestrojme na rubu pap´ıru kolmici v bodˇe B1 na
pˇrehnutou ˇc´ast pˇr´ımky p1 . Pr˚
useˇc´ık t´eto kolmice a hrany je bod, kter´
y je stejnˇe vzd´alen´
y
od bodu B1 a p˚
uvodn´ı pˇr´ımky p1 . Leˇz´ı tedy na parabole s ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou p1 a ohniskem B1 .
Zˇrejmˇe je naˇse hrana teˇcnou t´eto paraboly. Dost´av´ame tedy parabolu, jako ob´alku hran
proch´azej´ıc´ıch body B2 takov´
ych, ˇze bod B1 leˇz´ı na p1 . Cel´a konstrukce je vidˇet na obr´azku
3.3.
Tedy pokud m´ame sestrojit teˇcnu jdouc´ı bodem B2 k parabole dan´e ohniskem B1 a
ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou p1 , potom staˇc´ı pˇreloˇzit hranu tak, aby proch´azela bodem B2 a bod B1 leˇzel
na pˇr´ımce p1 .
14
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Obr´azek 3.3: Teˇcna paraboly
3.1.2
Spoleˇ
cn´
a teˇ
cna dvou parabol
I tento n´aroˇcn´
y probl´em lze elegantnˇe pomoc´ı origami vyˇreˇsit. Nejedn´a se vlastnˇe o nic
jin´eho, neˇz o aplikaci ˇsest´eho Huzitova axiomu. Mˇejme tedy dvˇe paraboly, jednu danou
ohniskem B1 a ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou p1 a druhou danou ohniskem B2 a ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou p2 . Nyn´ı
dok´aˇzeme, ˇze hrana takov´a, aby bod B1 leˇzel na pˇr´ımce p1 a z´aroveˇ
n bod B2 leˇzel na pˇr´ımce
p2 je spoleˇcnou teˇcnou obou parabol.
Z pˇredchoz´ıho odstavce v´ıme, ˇze prvn´ı parabola je ob´alka hran (teˇcen) takov´
ych, ˇze bod
B1 bude leˇzet na pˇr´ımce p1 . Stjnˇe tak druh´a parabola je ob´alka hran (teˇcen) takov´
ych, ˇze
bod B2 bude leˇzet na pˇr´ımce p2 . Proto tedy hrana, kter´a je v obou ob´alk´ach, je spoleˇcnou
teˇcnou obou parabol. Z´aroveˇ
n tato hrana pˇrev´ad´ı bod B1 na pˇr´ımku p1 a bod B2 na pˇr´ımku
p2 .
Nyn´ı si uk´aˇzeme, jak pomoc´ı origami m˚
uˇzeme ˇreˇsit kubick´e rovnice. To n´am bude
uˇziteˇcn´e ve tˇret´ı ˇc´asti, kde si uk´aˇzeme, jak pomoc´ı origami dok´aˇzeme vyˇreˇsit dva ze tˇr´ı
starovˇek´
ych probl´em˚
u geometrie.
3.1.3
Kubick´
e rovnice
Necht’ m´ame kubickou rovnici x3 + ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c ∈ R, c 6= 0. Uvaˇzme nyn´ı
dva body v rovinˇe: bod P1 o souˇradnic´ıch [a, 1] a bod P2 o souˇradnic´ıch [c, b]. D´ale uvaˇzme
pˇr´ımky p1 o rovnici y + 1 = 0 a p2 o rovnici x + c = 0. Sestrojme nyn´ı podle axiomu 6
hranu h tak, ˇze bod P1 bude leˇzet na pˇr´ımce p1 a bod P2 bude leˇzet na ˇr´ımce p2 . Potom
smˇernice t´eto hrany bude ˇreˇsen´ım naˇs´ı kubick´e rovnice. Toto tvrzen´ı nyn´ı dok´aˇzeme.
Uvaˇzme parabolu P1 danou ohniskem P1 a ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou p1 a parabolu P2 s ohniskem
P2 a ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou p2 . Potom podle pˇredchoz´ıho odstavce je hrana h spoleˇcnou teˇcnou
parabol P1 a P2 . Zˇrejmˇe hrana h nen´ı rovnobˇeˇzn´a s osou y, m˚
uˇzeme tedy uvaˇzovat rovnici
hrany ve tvaru
h : y = kx + q.
(3.1)
Rovnice paraboly P1 je (x − a)2 = 4y. Necht’ bod dotyku hrany h a paraboly P1
m´a souˇradnice [x1 , y1 ]. Protoˇze tento bod leˇz´ı na parabole, mus´ı jeho souˇradnice splˇ
novat
15
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
rovnost
(x1 − a)2 = 4y1 .
(3.2)
Protoˇze je hrana h teˇcnou paraboly P1 , m´a rovnici
(x1 − a) · (x − x1 ) = 2(y − y1 ).
(3.3)
Porovn´an´ım koeficient˚
u u x a u y v rovnostech 3.1 a 3.3 obdrˇz´ıme
x1 − a
2
x1 (x1 − a)
q = y1 −
.
2
k =
(3.4)
(3.5)
Dosad’me nyn´ı do rovnosti 3.2 vztah 3.4. Dostaneme tak
4y1 = (x1 − a)2
2
x1 − a
= 4·
2
2
= 4k .
Vydˇel´ıme ˇctyˇrmi a dost´av´ame
y1 = k 2 .
(3.6)
Dosad’mˇe nyn´ı vztahy 3.6 a 3.4 do rovnosti 3.5 pro v´
ypoˇcet q
x1 (x1 − a)
2
(x
−
a + a)(x1 − a)
1
= k2 −
2
2
x1 − a
(x1 − a)
−a·
= k2 −
2
2
= k 2 − 2k 2 − a · k.
q = y1 −
Dohromady tak dost´av´ame, ˇze
q = −k 2 − ak.
(3.7)
Stejn´
ym zp˚
usobem, jako jsme uvaˇzovali u paraboly P1 budeme nyn´ı uvaˇzovat u paraboly
P2 . Ta m´a rovnici (y − b)2 = 4cx. Souˇradnice bodu dotyku hrany h a paraboly P2 m´a
souˇradnice [x2 , y2 ]. Tento bod mus´ı splˇ
novat rovnici paraboly
(y2 − b)2 = 4cx2 .
(3.8)
Protoˇze je hrana h i teˇcnou paraboly P2 , m´a rovnici
(y2 − b) · (y − y2 ) = 2c(x − x2 ).
16
(3.9)
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Nyn´ı opˇet porovn´ame koeficienty u x a u y v rovnostech 3.1 a 3.9 a obdrˇz´ıme
2c
y2 − b
2cx2
.
q = y2 −
y2 − b
k =
(3.10)
(3.11)
Stej´
ym postupem jako u paraboly P1 vyj´adˇr´ıme nyn´ı q z rovnost´ı odvozen´
ych pro
parabolu P2 a dostaneme
c
q = b+ .
k
(3.12)
Porovn´an´ım prav´
ych stran u rovnost´ı 3.7 a 3.12 obdrˇz´ıme
−k 2 − ak = b +
c
k
k 3 + ak 2 + bk + c = 0
To ale znamen´a, ˇze k je ˇreˇsen´ım rovnice x3 + ax2 + bx + c = 0, coˇz jsme chtˇeli dok´azat.
Nyn´ı se jiˇz m˚
uˇzeme pustit do ˇreˇsen´ı dvou ze tˇr´ı starovˇek´
ych probl´em˚
u geometrie.
3.1.4
Trisekce u
´ hlu a zdvojen´ı krychle
Pˇredstavme si n´asleduj´ıc´ı u
´lohy. Pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka m´ame rozdˇelit libovoln´
yu
´hel
na tˇri stejn´e ˇc´asti. D´ale m´ame danou krychly o stranˇe a a pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka
m´ame urˇcit stranu krychle, kter´a bude m´ıt dvojn´asobn´
y objem neˇz p˚
uvodn´ı krychle. Prvn´ı
ˇ
u
´loze se ˇr´ık´a trisekce u
´hlu, druh´e zdvojen´ı krychle. Rad´ı se mezi tˇri starovˇek´e probl´emy
geometrie. Tˇret´ım probl´emem je kvadratura kruhu. Pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka m´ame
sestrojit ˇctverec, kter´
y bude m´ıt stejn´
y obsa jako zadan´
y kruh. Tyto u
´lohy maj´ı p˚
uvod jiˇz
ˇ
ve starovˇek´em Recku, avˇsak aˇz v 19. stolet´ı bylo dok´az´ano, ˇze nejsou ˇreˇsiteln´e. Do t´eto doby
se matematici pokouˇseli tyto u
´lohy vyˇreˇsit. Starovˇek´
ym probl´em˚
um geometrie vdˇeˇc´ıme za
vznik kuˇzeloseˇcek, Nikomedovy konchoidy, kˇrivky kvadratrix a mnoha dalˇs´ıch kˇrivek.
My si nyn´ı uk´aˇzeme, jak m˚
uˇzeme vyˇreˇsit trisekci u
´hlu a kvadraturu kruhu pomoc´ı
origami.
Trisekce u
´ hlu
Vyznaˇcme si na ˇctvercov´em pap´ıˇre u
´hel θ, kter´
y budeme cht´ıt rozdˇelit na tˇri stejn´e ˇc´asti
tak, ˇze jedno rameno tohoto u
´hlu bude rovnobˇeˇzn´e se stranou ˇctverce. Vytvoˇrme dvˇe
rovnobˇeˇzn´e hrany tak, ˇze jejich vzd´alenost bude stejn´a jako vzd´alenost jedn´e z hran a
strany ˇctverce spl´
yvaj´ıc´ı s ramenem u
´hlu θ.
Oznaˇcme nyn´ı body A, B, C podle ˇctvrt´e ˇc´asti obr´azku 3.4. Vytvoˇrme hranu tak aby
bod A leˇzel na hranˇe v pˇredchoz´ım kroku vytvoˇren´e a to na t´e, kter´a je bliˇzˇs´ı ke stranˇe
ˇctverce (spl´
yvaj´ıc´ı s jedn´ım ramenem u
´hlu θ), a bod C aby leˇzel na druh´em rameni u
´hlu θ.
17
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Pokud nyn´ı prodlouˇz´ıme“ hranu jdouc´ı bodem B 0 na cel´
y ˇctverec, bude tato hrana spolu
”
s ramenem u
´hlu (nespl´
yvaj´ıc´ı se stranou ˇctverce) tvoˇr´ıt u
´hel, kter´
y bude m´ıt tˇretinovou
velikost, neˇz m´a u
´hel θ. Cel´a konstrukce je zn´azornˇena na obr´azku 3.4, vˇcetnˇe cel´eho
roztˇretˇen´ı.
Obr´azek 3.4: Trisekce u´hlu
Nyn´ı bychom mˇeli dok´azat, ˇze opravdu takto roztˇret´ıme libovoln´
yu
´hel. Zaved’me nejprve oznaˇcen´ı jako je na obr´azku 3.5
Zˇrejmˇe hrany, kter´e by mˇeli urˇcovat roztˇretˇen´ı u
´hlu θ, proch´azej´ı bodem A. Z osm´e
ˇc´asti obr´azku 3.4 plyne, ˇze α = β. Dokaˇzme nyn´ı, ˇze troj´
uheln´ıky AA0 B 0 a AB 0 C 0 jsou
shodn´e. Z konstrukce proveden´e ve tˇret´ı ˇc´asti obr´azku 3.4 dost´av´ame, ˇze |AB| = |BC| a
tedy i |A0 B 0 | = |B 0 C 0 |. Oba troj´
uheln´ıky maj´ı spoleˇcnou stranu AB 0 .
18
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
A koneˇcnˇe, z konstrukce proveden´e v p´at´e ˇc´asti obr´azku
3.4 obdrˇz´ıme, ˇze hrana AB 0 je kolm´a na A0 C 0 . Podle vˇety
SU S jsou tedy troj´
uheln´ıky AA0 B 0 a AB 0 C 0 shodn´e. Tedy
θ
γ = β = α = 3 , coˇz jsme chtˇeli dok´azat.
Nyn´ı se pust’mˇe do ˇreˇsen´ı probl´emu zdvojen´ı krychle.
Zdvojen´ı krychle
Oznaˇcme b stranu p˚
uvodn´ı krychle, jejiˇz objem chceme zdvoObr´azek 3.5: D˚
ukaz kon- jit. Potom krychle, kter´
a bude m´
ıt dvojn´asobn´
y objem, mus´ı
√
strukce trisekce u
´hlu
3
m´ıt √
stranu o velikosti a =
2b. Tedy chceme nˇejak´
ym
ych
zp˚
usobem sestrojit velikost ab = 3 2. Vyuˇzijeme u toho poznatky z odstavce o kubick´
rovnic´ıch. Hled´ame totiˇz ˇreˇsen´ı rovnice x3 − 2 = 0.
Sestrojme body P1 o souˇradnic´ıch [0, 1] a P2
o souˇradnic´ıch [−2, 0], pˇr´ımky p1 : y + 1 = 0 a
p2 : x − 2 = 0.
Sestroj´ıme-li nyn´ı hranu takovou, ˇze bod P1 bude
leˇzet na pˇr´ımce p1 a bod P2 na pˇr´ımce p2 , potom
smˇernice t´eto hrany bude ˇreˇsen´ım rovnice x3 −2 = 0.
A protoˇze smˇernice t´eto hrany je ab , dost´av´ame tak,
√
ˇze ab = 3 2.
Pozn´
amka: V´ıce o mnoˇzinˇe bod˚
u, kter´e lze zkonstruovat pomoc´ı skl´ad´an´ı pap´ıru se m˚
uˇzete dozvˇedˇet
v [1].
Nyn´ı si uk´aˇzeme, jak pomoc´ı origami lze dok´azat
Pythagorova vˇeta.
3.2
Obr´azek 3.6: Zdvojen´ı krychle
Pythagorova vˇ
eta
Pomoc´ı origami m˚
uˇzeme dok´azat i Pythagorovu vˇetu.
ˇ
Sloˇzme ˇctvercov´
y pap´ır dvoj´ım zp˚
usobem. Nejprve podle obr´azku 3.7. Ctvercov´
y pap´ır
pˇrehnˇeme nap˚
ul, aby vznikl troj´
uheln´ık. Jeden z c´ıp˚
u pˇrehnˇeme libovolnˇe tak, aby vznikl´a
hrana bylo rovnobˇeˇzn´a s pˇreponou troj´
uheln´ıku. Druh´
y c´ıp pˇrehnˇeme kolmo k p˚
uvodn´ı
pˇreponˇe tak podle tˇret´ı ˇc´asti obr´azku 3.7. D´ale vytvoˇrme pomocnou hranu a cel´
y pap´ır
rozbalme do p˚
uvodn´ıho ˇctverce. Ten bude sestrojen´
ymi hranami rozdˇelen´
y na dva menˇs´ı
ˇctverce a ˇctyˇri shodn´e troj´
uheln´ıky. Oznaˇcme a, b odvˇesny vznikl´
ych troj´
uheln´ık˚
u (=vnikl´
ych ˇctverc˚
u).
Kdyˇz nyn´ı spoˇc´ıt´ame obsah p˚
uvodn´ıho ˇctverce, dostaneme: S = a2 + b2 + 2a · b.
Nyn´ı sloˇzme ten sam´
y ˇctverec podle obr´azku 3.8. Tedy, sloˇzme hrany tak, abychom
dostaly na kraj´ıch ˇctyˇri pravo´
uhl´e troj´
uheln´ıky o stran´ach a a b. Uvnitˇr n´am potom vznikne
ˇctverec, kter´
y bude m´ıt za stranu pˇreponu vznikl´
ych troj´
uheln´ık˚
u. Tu oznaˇcme c.
19
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Obr´azek 3.7: D˚
ukaz Pythagorovy vˇety - 1. ˇc´ast
Obr´azek 3.8: D˚
ukaz Pythagorovy vˇety - 2. ˇc´ast
Obsah t´ehoˇz ˇctverce m˚
uˇzeme nyn´ı vyj´adˇrit ve tvaru: S = 2a · b + c2 . Porovn´ame-li nyn´ı
obˇe rovnosti, dostaneme: c2 = a2 + b2 , coˇz jsme chtˇeli dok´azat.
Nyn´ı se pod´ıv´ame na modul´arn´ı origami. Z pap´ıru totiˇz m˚
uˇzeme sloˇzit spoustu mnohostˇen˚
u, pravideln´
ych i polopravideln´
ych.
3.3
Modul´
arn´ı origami
Mezi modul´arn´ı origami se ˇrad´ı skl´adanky geometrickc´
yh u
´tvar˚
u. Nˇekdy b´
yvaj´ı tyto skl´adanky naz´
yvany geometrick´e origami. M˚
uˇze j´ıt o obrazce rovinn´e ˇci prostorov´e. Z tˇech
rovinn´
ych jmenujme napˇr´ıklad pravideln´e mnoho´
uheln´ıky. Skl´adanky modul´arn´ıho origami
b´
yvaj´ı sloˇzeny z nˇekolika shodn´
ych d´ıl˚
u (des´ıtek aˇz stovek) zasunut´
ych vz´ajemnˇe do sebe.
20
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Obr´azek 3.9: Uk´azka modul´arn´ıho origami
21
Origami
3.3.1
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Plat´
onsk´
a tˇ
elesa
Plat´onsk´a tˇelesa jsou takov´e konvexn´ı mnohostˇeny, jejichˇz stˇeny tvoˇr´ı pravideln´e mnohou
´heln´ıky a v kaˇzd´em vrcholu se setk´av´a vˇzdy stejn´
y poˇcet rovin. Existuje pˇet plat´onsk´
ych
tˇeles: ˇctyˇrstˇen, krychle, osmistˇen, dvan´actistˇen a dvacetistˇen.
Je mnoho zp˚
usob˚
u, jak zm´ınˇen´a tˇelesa sloˇzit. V pˇr´ıloze si m˚
uˇzete sloˇzen´a tˇelesa prohl´ednout a na pˇriloˇzen´am CD se pod´ıvat na n´avody, jak je sloˇzit. Nˇekter´a tˇelesa jsou sloˇzena
v´ıce zp˚
usby, aby bylo vidˇet, jak rozmanit´e a kr´asn´e origami je.
3.3.2
Archimedovsk´
a tˇ
elesa
Archim´edovsk´
ym tˇelesem (nebo t´eˇz polopravideln´
ym mnohostˇenem) rozum´ıme konvexn´ı
mnohostˇen, jehoˇz vˇsechny stˇeny jsou pravideln´e mnoho´
uheln´ıky a nav´ıc plat´ı, ˇze v kaˇzd´em
vrcholu se sb´ıh´a stejn´
y poˇcet mnoho´
uheln´ık˚
u a tyto ob´ıhaj´ı“ vˇsechny vrcholy ve stejn´em
”
poˇrad´ı. Mezi polopravideln´e mnohostˇeny nav´ıc neˇrad´ıme plat´onsk´a tˇelesa.
V pˇr´ıloze jsou sloˇzena dvˇe polopravideln´a tˇelesa a to kubooktaedr, kter´
y vznikl oˇrez´an´ım
krychle, a komol´
y dvacetistˇen, kter´
y vznikl oˇrez´an´ım dvacetistˇenu. Komol´
y dvacetistˇen je
poskl´ad´an ze dvou druh˚
u skl´adanek. Pravideln´
y ˇsesti´
uheln´ık jsme sloˇzili z troj´
uheln´ıku,
pravideln´
y pˇeti´
uheln´ık z obd´eln´ıku. Je to jedin´a skl´adanka v t´eto pr´aci, kter´a nevznikla ze
ˇctverce.
3.3.3
Kepler - po´ınsotova tˇ
elesa
Kepler - po´ınsotov´
ym tˇelesem (nebo tak´e hvˇezdicov´
ym mnohostˇenem) rozum´ıme tˇeleso,
kter´e vzniklo protaˇzen´ım stˇen plat´onsk´
ych tˇeles, aˇz se protnou, splˇ
nuj´ıc´ı nav´ıc tyto podm´ınky:
1. Stˇeny jsou bud’ pravideln´e mnoho´
uheln´ıky nebo pravideln´e hvˇezdy
2. Konvexn´ım obalem je plat´onsk´e tˇeleso.
V pˇr´ıloze se opˇet m˚
uˇzete pod´ıvat na jeden z hvˇezdicov´
ych mnohostˇen˚
u, hvezdicov´
y
dvan´actistˇen, sloˇzen´
y ze ˇsedes´ati ˇctvercov´
ych d´ıl˚
u.
3.3.4
Frakt´
aly
Obr´azek 3.10: Uk´azka origami frakt´al˚
u“
”
22
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Dalˇs´ım pˇr´ıkladem modul´arn´ıho origami jsou frakt´aly sloˇzen´e z pap´ıru. Na obr´azku 3.10
se m˚
uˇzete pod´ıvat na jejich uk´azky. V pˇr´ıloze je potom sloˇzena Kochova vloˇcka.
Mezi modul´arn´ı origami se neˇred´ı pouze ty zde uveden´e. Existuje spousta dalˇs´ıch fantastick´
ych skl´adanek. Na obr´azku 3.9 se m˚
uˇzete pod´ıvat na jejich uk´azku.
V dalˇs´ı kapitol´e t´eto pr´ace se pod´ıv´ame na vyuˇzit´ı origami ve vˇedˇe.
23
ˇ E
ˇ
KAPITOLA 4. ORIGAMI VE VED
Origami
Kapitola 4
Origami ve vˇ
edˇ
e
Nyn´ı se pod´ıv´ame, kde se m˚
uˇzeme setkat s origami ve vˇedˇe. Asi kaˇzd´
y z n´as by vˇedˇel o
vyuˇzit´ı origami v automobilov´em pr˚
umyslu pˇri skl´ad´an´ı airbag˚
u. Pod´ıvejme se na dalˇs´ı
vyuˇzit´ı origami.
4.1
Sloˇ
zen´ı sol´
arn´ıho panelu
V bˇreznu roku 1995 vyuˇzili japonˇst´ı vˇedci origami na pˇrepravu
sol´arn´ıho panelu k nap´ajen´ı vesm´ırn´eho tˇelesa - SFU (Space
Flight Unit). Na zemi byl panel sloˇzen do mal´eho rovnobˇeˇzn´ıku, takto byl transportov´an a ve vesm´ıru pot´e opˇet
rozbalen do p˚
uvodn´ıch rozmˇer˚
u.
Autorem myˇslenky sloˇzit takto sol´arn´ı panel byl Koryo
Miura, profesor na Tokijsk´e univerzitˇe. Po nˇem se tak´e tato
metoda skl´ad´an´ı naz´
yv´a Miura-ori.
Obr´azek 4.1: Sol´arn´ı panel
Obr´azek 4.2: Sloˇzen´ı sol´arn´ıho panelu
4.2
Optigami
V lednu roku 2007 Eric Tremblay a Joseph Ford z Kalifornsk´e univerzity v San Diegu
vynalezli ultharin. Jedn´a se o origami objektiv“ s velk´
ym rozliˇsen´ım. Objektiv je velice
”
tenk´
y a sedmkr´at silnˇejˇs´ı neˇz klasick´
y objektiv.
24
ˇ E
ˇ
KAPITOLA 4. ORIGAMI VE VED
Origami
Obyˇcejn´
y objektiv pouˇz´ıv´a mnoho ˇc´ast´ı k oh´
yb´an´ı a soustˇredˇen´ı svˇetla. Origami objektiv soustˇred’uje mnoho ˇc´ast´ı klasick´eho objektivu do jednoho optick´eho syst´emu, kter´
y ho
dˇel´a tenˇs´ım.
Origami objektiv je vyroben z krystalu, kter´
y je kosoˇctvereˇcn´
y. Z tohoto d˚
uvodu pˇres
nˇeho putuje svˇeteln´
y paprsek cik-cak. Vypad´a to tedy jako by se svˇeteln´
y parsek skl´adal,
proto n´azev optigami.
Obr´azek 4.3: Optigami - skl´ad´an´ı paprsku v objektivu
4.3
Vesm´ırn´
y teleskop
Ke studov´an´ı galaxi´ı je potˇreba ˇc´ım d´al t´ım vˇetˇs´ı teleskop. Avˇsak je velice problematick´e manipulovat ve vesm´ıru
s rozmˇern´
ym telekopem. Proto byl jeden z nejzn´amˇejˇs´ıch
souˇcasn´
ych origamist˚
u Robert Lang poˇz´ad´an N´arodn´ı laboratoˇr´ı v Livermore, aby navrhl metodu sloˇzen´ı telekopu.
Roku 2002 byl takto zkonstruov´an prvn´ı prototyp,
tˇr´ımetrov´
y telekop, kter´
y se sloˇzil do v´alce o pr˚
umˇeru 1,2
Obr´azek 4.4: Sloˇzen´ı temetr˚
u
.
leskopu
V budoucnosti vˇsak bude moˇzn´e d´ıky origami sloˇzit stometrov´
y teleskop do v´alce o pr˚
umˇer˚
u 3 metry.
4.4
Origami v medic´ınˇ
e
25
ˇ E
ˇ
KAPITOLA 4. ORIGAMI VE VED
Origami
Roku 2003 vynalezli Zhong You a Kaori Kuribayashi z univerzity v Oxfordu
origami rourku, kter´a m˚
uˇze b´
yt vyuˇz´ıv´ana k rozˇs´ıˇren´ı ucpan´
ych c´ev. V roce
2005 byla potom tato rourka zdokonalena tak, ˇze se rozev´ır´a automaticky.
D´ıky origami je moˇzn´e tuto roukru sloˇzit do miniaturn´ıch rozmˇer˚
u tak, aby
ji bylo moˇzn´e transportovat krv´ı k postiˇzen´emu m´ıstu.
V posledn´ı kapitole se pod´ıv´ame na zaj´ımavosti o origami.
Obr´azek 4.5:
Origami v medic´ınˇe
26
ˇ
KAPITOLA 5. ZAJ´IMAVOSTI ZE SVETA
ORIGAMI
Origami
Kapitola 5
Zaj´ımavosti ze svˇ
eta origami
5.1
Origami n´
abytek
Pokud si skl´ad´an´ı z pap´ıru obl´ıb´ıte, m˚
uˇzete si poˇr´ıdit do vaˇseho ob´
yvac´ıho pokoje n´abytek
ve stylu origami. Na obr´azku 5.1 se m˚
uˇzete pod´ıvat na uk´azku takov´ehoto n´abytku.
Obr´azek 5.1: N´abytek ve stylu origami
5.2
Rekordy
Nejmenˇs´ı pap´ırov´
y jeˇr´ab byl sloˇzen ze ˇctverce ostranˇe 0,1 mm. Sloˇzil ho pod mikroskopem
Naito Akira. Naopak njevˇetˇs´ı pap´ırov´
y jeˇr´ab byl sloˇzen roku 1998 a je 217 stop ˇsirok´
y.
Nejdelˇs´ı origami vl´aˇcek mˇeˇr´ı 245 metr˚
u a m´a 1550 vag´on˚
u. Nejdelˇs´ı origami kobra mˇeˇr´ı
v´ıce neˇz 150 stop.
5.3
Zaj´ımavosti
27
Origami
ˇ
KAPITOLA 5. ZAJ´IMAVOSTI ZE SVETA
ORIGAMI
Obr´azek 5.2: Rekordn´ı origami
Skl´adat se d´a t´emˇeˇr ze vˇseho. V Mexiku byla sloˇzena cukrovinkov´a kabelka. K vidˇen´ı je tak´e smaˇzen´
y jeˇr´ab“, neboli
”
jeˇr´ab sloˇzen´
y z pl´atku masa, obalen´
y a usmaˇzen´
y.
Roku 2005 byla vyd´ana kn´ıˇzka s n´azvem Baby-gami. Nejedn´a se ale o skl´ad´an´ı dˇet´ı, ale o to, jak zabalit mal´e dˇeti.
Vyuˇz´ıvaj´ı se k tomu tak´e nˇekter´e skl´adanky origami.
Skl´adat se d´a tak´e z vizitek. Jeannine Mosley sloˇzila Mengerovu houbu a pouˇzila 66048 vizitek. Od roku 2006 se ji snaˇz´ı
pˇrekonat Nicholas Rougeux, kter´
y zat´ım pouˇzil 1 200000 viObr´azek
zitek, ale houba jeˇstˇe nen´ı hotov´a.
5.3:
houba z vizitek
28
Mengerova
´ ˚
SEZNAM OBRAZK
U
Origami
Seznam obr´
azk˚
u
1.1
1.2
1.3
Pap´ırov´
y jeˇr´ab (Orizuru) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pam´atn´ık Sadako Sasaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pap´ırov´ı jeˇr´abi u pomn´ıku Sadako Sasaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.4
2.3
2.5
2.6
2.7
Noshi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tamatebako . . . . . . . . . . . . . . .
Model letadla podle Leonarda da Vinci
Uk´azka z Hiden Senbazuru Orikata . .
Pajarita . . . . . . . . . . . . . . . .
Akira Yoshizawa . . . . . . . . . . . .
Skl´adanky, kter´e sloˇzil Akira Yoshizawa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
8
8
9
10
11
11
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
Humiaki Huzita . . . . . . . . .
Huzitovy axiomy origami . . . . .
Teˇcna paraboly . . . . . . . . . .
Trisekce u
´hlu . . . . . . . . . . .
D˚
ukaz konstrukce trisekce u
´hlu . .
Zdvojen´ı krychle . . . . . . . . .
D˚
ukaz Pythagorovy vˇety - 1. ˇc´ast
D˚
ukaz Pythagorovy vˇety - 2. ˇc´ast
Uk´azka modul´arn´ıho origami . . .
Uk´azka origami frakt´al˚
u“ . . . .
”
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
14
15
18
19
19
20
20
21
22
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Sol´arn´ı panel . . . . . . . . . . . . . .
Sloˇzen´ı sol´arn´ıho panelu . . . . . . . .
Optigami - skl´ad´an´ı paprsku v objektivu
Sloˇzen´ı teleskopu . . . . . . . . . . . .
Origami v medic´ınˇe . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
25
25
26
5.1
5.2
5.3
N´abytek ve stylu origami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekordn´ı origami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengerova houba z vizitek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
28
28
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
4
4
5
Origami
LITERATURA
Literatura
Kniˇ
zn´ı zdroje
[1] R. C. Alperin: A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, 2000
[2] L. Lomtatidze: Historick´y v´yvoj pojmu kˇrivka, CERM, 2006
[3] J. J´anoˇs: Origami - japonsk´e skl´
adanky z pap´ıru, Albatros, 1991
[4] T. Kawai: Origami,1971
[5] S. Smithov´a: Origami pro radost, Ikar, 2007
[6] V. Svobodov´a: Historie pravideln´ych mnohostˇen˚
u, 2006
Internetov´
e zdroje
[7] http://new.origami.cz
[8] http://www.origami.cz
[9] http://www.origami-resource-center.com/
[10] http://origami.ousaan.com/
[11] http://en.wikipedia.org
[12] http://homepage.ntlworld.com/peterjohn.rootham-smith/noshi.jpg
[13] http://origamimais.blogs.sapo.pt/
[14] http://www.mat.unb.br/~lucero/origami/
[15] http://www.langorigami.com
[16] http://www.youtube.com
[17] http://www.origaminut.com
[18] http://hektor.umcs.lublin.pl/~mikosmul/index.html
30
Origami
Pˇ
r´ılohy
Seznam pˇ
r´ıloh
Modul´
arn´ı origami
ˇ rstˇen
1. Ctyˇ
2. Krychle
3. Osmistˇen
4. Osmistˇen - ( jehlanov´
y“)
”
5. Dvan´actistˇen
6. Dvacetistˇen
7. Dvacetistˇen - ( dr´atˇen´
y“)
”
8. Dvacetistˇen - ( jehlanov´
y“)
”
9. Kubooktaedr
10. Hvˇezdicov´
y dvan´actistˇen
11. Kochova vloˇcka (2 ˇc´asti)
Dalˇ
s´ı skl´
adanky
1. Jeˇr´ab (orizuru)
2. Pajarita
ˇ aba
3. Z´
4. Vodn´ı bomba
ˇ ´ILOHY
PR
Origami
ˇ rstˇ
Ctyˇ
en
Poˇcet d´ıl˚
u: 2
Krychle
Poˇcet d´ıl˚
u: 6
ˇ ´ILOHY
PR
Origami
Osmistˇ
en
Poˇcet d´ıl˚
u: 4
Osmistˇ
en - jehlanov´
y“
”
Poˇcet d´ıl˚
u: 12
ˇ ´ILOHY
PR
Origami
Dvan´
actistˇ
en
Poˇcet d´ıl˚
u: 60
Dvacetistˇ
en
Poˇcet d´ıl˚
u: 10
ˇ ´ILOHY
PR
Origami
Dvacetistˇ
en - dr´
atˇ
en´
y“
”
Poˇcet d´ıl˚
u: 30
Dvacetistˇ
en - jehlanov´
y“
”
Poˇcet d´ıl˚
u: 30
ˇ ´ILOHY
PR
Origami
Kubooktaedr
Poˇcet d´ıl˚
u: 12
Hvˇ
ezdicov´
y dvan´
actistˇ
en
Poˇcet d´ıl˚
u: 30
ˇ ´ILOHY
PR
Origami
Komol´
y dvacetistˇ
en
Poˇcet d´ıl˚
u: 32 (20+12)
Kochova vloˇ
cka
Poˇcet d´ıl˚
u (prvn´ı krok): 12
Poˇcet d´ıl˚
u (druh´
y krok): 72
ˇ ´ILOHY
PR
Origami
Jeˇ
rab (orizuru)
Pajarita
ˇ ´ILOHY
PR
Origami
ˇ aba
Z´
Vodn´ı bomba
ˇ ´ILOHY
PR
Download

Seminárn´ı práce z Historie matematiky Origami