Planimetrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na
Beogradskom univerzitetu
Planimetrija
1. Sličnost trouglova
1. GF 2000
Dužine stranica trougla su 5cm, 7cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog trougla obima
4m je:
A)140 cm
B) 160cm
C) 1m
D) 180cm
E) 132cm
2. TMF 2002
Dužine stranica trougla su 10cm, 14cm, 16cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog trougla
obima 1,2 m je:
A) 20cm
B) 30cm
C) 42cm
D) 48cm
E) 40cm
3. MF 2005
Stranice jednog trougla imaju dužine 5, 12 i 13. Najduža stranica njemu sličnog trougla sa
površinom 120 je:
A) 24
B) 26
C) 32
D) 48
E) 52
2. Pravougli trougao
4. ETF, MF, FiF, FH 2001
Ako su a i b katete a c hipotenuza pravouglog trougla, onda je poluprečnik upisanog kruga tog
trougla jednak:
A)
2
(a + b + c)
3
B)
1
(a + b + c)
3
C)
1
(b + c − a )
2
D)
1
( a + c − b)
2
E)
1
( a + b − c)
2
5. 2009. MF
Jedna kateta pravouglog trougla je 8cm, a hipotenuza je 17cm. Poluprečnik upisanog kruga tog
trougla je:
B) 2,5cm
D) 3, 5cm
A) 2cm
C) 3cm
E) 4cm
6. FON 2005
U datom pravouglom trouglu naspram ugla od 30 o je stranica dužine 6 cm. Dužina poluprečnika
kružnice upisane u taj trougao ( u cm ) je:
A) 2
(
)
3 −1
B)
3 −1
C) 3
(
)
3 −1
D) 6
(
)
3 −1
E)
3
2
(
)
3 −1
7. MF 2003
Poluprečnik kruga opisanog oko pravouglog trougla je 2cm, a oštri uglovi trougla se odnose kao
2 : 1. Dužina visine koja odgovara hipotenuzi tog trougla je:
A) 1 cm
B)
2cm
C)
3cm
D) 2cm
E) 1,5cm
8. MF 2001
Zbir kateta pravouglog trougla, čija je hipotenuza 5cm a poluprečnik upisanog kruga 1cm je:
A) 10cm
B) 6cm
C) 12cm
D) 9cm
E) 7cm
1
Planimetrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
9. FON 2003
U pravouglom trouglu podnožije visine iz temena pravog ugla deli hipotenuzu na odsečke dužine
9cm i 16cm. Obim trougla ( u cm ) je:
A) 56
(
C) 25 1 + 2
B) 60
)
D)
25
2+ 3
2
(
)
(
E) 25 1 + 3
)
10. MF 2006
U pravouglom trouglu visina h = 2cm deli hipotenuzu na odsečke čije se dužine razlikuju za 3cm.
Površina tog trougla je ( u cm 2 )
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
11. MaF 2002
Ako su dužine kateta pravouglog trougla 6cm i 8cm, onda je dužina simetrale pravog ugla jednaka:
A)
20
2cm
7
B)
10
2cm
7
C)
24
2
7
D)
3
2
7
E) 3 2cm
12. 2004. MF
U pravouglom trouglu ABC , krug prečnika AC seče njegovu hipotenuzu AB u tački D. Ako je
BC = 4 6 i BD = 8, dužina tetive AD je:
A) 4 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 3 3
13. GF 2001
Ako je 40 : 41 odnos visine i težišne duži koje odgovaraju hipotenuzi pravouglog trougla, onda je
odnos kateta tog trougla jednak:
A) 40 : 41
B) 4 : 5
C) 1 : 2
D) 8 : 9
E) 2 : 3
14. 2008. FON
U pravougli trougao čije katete imaju dužine 2cm i 2 3cm upisan je pravougaonik maksimalne
površine ( teme pravog ugla trougla je jedno teme pravougaonika ). Površina tog pravougaonika (u
cm 2 ) je:
A)
4 3
3
3
B)
C)
3
2
D)
2 3
3
E)
3
3
15. 2008. ETF
Neka su a i b dužine kateta a t a , tb , tc dužine težišnih duži koje odgovaraju katetama a, b i
hipotenuzi c redom, pravouglog trougla. Tada je
A)
2
3
B)
3
2
C)
5
4
ta 2 + tb 2 + tc 2
jednako:
a2 + b2
D)
9
4
E)
4
3
3. Jednakokraki trougao
16. SF 2005
Jednakokraki trougao ABC ima osnovicu AB = 24cm i krake AC = BC = 13cm. U trouglu ABC dužina
visine koja odgovara osnovici je:
A) 6 cm
B) 4 cm
C) 3 cm
D) 5 cm
E) 7 cm
2
Planimetrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
17. EF2000
Dužina osnovice jednakokrakog trougla je 30cm, a visine koje odgovaraju osnovici 20cm. Dužina
visine koja odgovara kraku je:
A) 20cm
B) 25cm
C) 26cm
D) 24cm
E)15cm
18. 2004. MF
Osnovica jednakokrakog trougla je 30km, a njena odgovarajuća visina 20km. Visina koja odgovara
kraku tog trougla je:
B) 25km
A) 24km
C) 13km
D) 15 3km
E) 18km
19. FON 2006
Neka je M tačka osnovice AB i N tačka kraka BC jednakokrakog trougla ABC, pri čemu je AM=MC
i MB=BN. Ako je C = 100o , tada je mera ugla CMN (u stepenima) jednaka:
A) 40
B) 20
C) 30
D) 5
E) 10
20. ETF, FiF 2006
Osnovica jednakokrakrog trougla je 6cm a krak 12cm. Poluprečnik opisanog kruga ovog trougla
iznosi ( u cm 2 )
A)
7
15
15
B) 4 13
C) 3 15
D) 6 13
E)
8
15
5
21. ETF, MF, FiF, FH 2002
Ako centar S upisanog kruga u jednakokraki trougao ABC ( AC = BC ) deli visinu CD, D ∈ AB , na dva
dela tako da je CS = 5cm i SD = 3cm onda je obim tog trougla jednak ( u cm ):
A) 30
B) 31
C) 32
D) 33
E) 20 + 8 2
22. ETF, FiF, FH 2003
U jednakokraki trougao ABC ( AB = AC = 3cm, BC = 2cm) upisan je krug koji dodiruje krake AB i
AC redom u tačkama D i E. Dužina duži DE jednaka je ( u cm )
A)
4
3
B)
6
5
C)
135
100
D)
7
5
E)
13
10
23. TMF 2000
U jednakokraki trouga čija je visina jednaka osnovici upisan je pravougaonik tako da mu jedna
stranica leži na osnovici, a dijagonala mu je normalna na krak trougla. Odnos površina trougla i
pravougaonika je:
A) 5 : 2
B) 2 : 1
C) 9 : 4
D) 4 : 1
E) 9 : 2
24. 2009. ETF
Osnovica jednakokrakog trougla iznosi 2cm. Težišne duži koje su povučene na krake seku se pod
pravim uglom. Površina tog trougla ( u cm 2 ) iznosi:
A) 1,5
B) 2,5
C) 2
D) 3,5
E) 4
4. Trougao – razno
25. TMF 2002
Odnos dužina poluprečnika opisanog i upisanog kruga trougla čije su dužine stranica 5cm, 8cm i
11cm je:
A)
55
14
B)
27
8
C)
35
9
D)
3
17
4
E) 4
Planimetrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
26. SF 2006
Ako je u krug upisan jednakostranični trougao površine
A)
2
3cm
3
B)
3
cm
3
C)
4
6cm
3
3 2
cm , onda je poluprečnik tog kruga:
4
D)
3cm
E) 4cm
27. FON 2001
Neka je CD težišna duž trougla ABC i neka je BC = 12cm, AC = 20cm i CD = 2 19cm. Površina
trougla ABC je:
A) 60 2cm2
B) 65 3cm2
C) 225cm 2
D) 180cm 2
E) 60 3cm 2
28. MaF 2002
Osnovica trougla jednaka je a. Dužina duži koja je paralelna osnovici i deli trougao na dva dela
jednakih površina je:
A) a
5
2
B) a
2
3
C) a
3
2
D) a
2
2
E) a
6
4
5. Četvorougao
29. TMF 2003
Ako su AB = a i BC = b dužine stranica pravougaonika ABCD, tada je rastojanje temena D od
dijagonale AC jednako:
A)
a 2 − b2
B) ab
C)
ab
2
a +b
2
D) b − a
E)
a −b
a +b
30. ETF, MF, FiF, FH 2001
Neka je tačka E središte stranice BC kvadrata ABCD stranice a i CF ⊥ DE , F ∈ DE. Površina
trougla DCF je:
1
A) a 2
3
1
B) a 2
4
C)
1 2
a
5
D)
1 2
a
6
E)
1 2
a
7
31. 2008. MF
Kružnica čiji se centar poklapa sa centrom kvadrata deli svaku od stranica tog kvadrata na tri
jednaka dela. Odnos površina odgovarajućeg kruga i kvadrata je:
A) 5π :18
B) 13π : 36
C) π : 6
D) π : 4
E) 2π : 9
32. RGF 2000
Oko kruga poluprečnika r = 6cm opisan je jednakokraki trapez čija je dužina kraka c = 15cm.
Površina trapeza je:
A) 360cm 2
B) 240cm2
C) 180cm 2
D) 150cm 2
33. SF, FON 2002
U pravouglom trapezu ABCD ( AB || CD, CD ⊥ AD) dijagonala AC je normalna na krak BC. Ako je
dužina kraka AD jednaka 8cm, a manja osnovica CD jednaka 6cm, onda je dužina veće osnovice:
A) 17cm
B)
40
cm
3
C) 15cm
4
D) 16cm
E)
50
cm
3
Planimetrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
34. GF 2002
Dužina dijagonale jednakokrakog trapeza je 12cm a ugao između dijagonale i osnovice tog
trapeza je 30o . Površina tog trapeza ( u cm 2 ) je:
B) 48
A) 24 3
C) 72
D) 36 3
E) 72 3
35. 2004. ETF FiF FH
Stranica romba čija je površina 80cm 2 , a odnos dijagonala 4:5, iznosi ( u cm ):
A)
84
B)
81
C)
D) 80
72
E) 82
36. FON 2005
Dijagonala AC i krak BC jednakokrakog trapeza ABCD su uzajamno normalni. Ako su 2a i
a (a > 0) dužine osnovica tog trapeza, njegova površina je:
A)
3 2
2
B)
3a 2
C) 3 2a 2
D)
3 3 2
a
4
E)
3 3 2
a
2
37. 2004. FON
Ako srednja linija deli trapez na dva dela čije su površine u odnosu 3:2, tada su dužine osnovica
datog trapeza u odnosu:
A) 3:2
B) 5:3
C) 2:1
D) 9:4
E) 7:3
38. ETF, FiF, FH 2005
Razlika veće i manje osnovice jednakokrakog trapeza čiji je obim 32cm a poluprečnik upisanog
kruga 2 cm, iznosi ( u cm )
A)
3
B) 8 3
C)
6
D) 3 2
E) 6 6
39. 2008. ETF
Oko kruga je opisan trapez čija srednja linija iznosi 8cm. Obim trapeza je ( u cm ):
A) 16
B) 24
C) 32
D) 36
E) 30
40. 2009. FON
Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne. Ako su dužine osnovica tog trapeza
jednake 4cm i 2cm, površina trapeza je:
A) 7.5cm2
B) 9cm 2
C) 4.5cm 2
D) 6cm 2
E) 12cm 2
41. 2008. FON
Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela čije se površine odnose kao 2:1. Odnos dužina veće i
manje osnovice tog trapeza je:
A) 3:1
B) 4:1
C) 2:1
D) 5:1
E) 6:1
42. 2007. FON
Dat je trougao ABC i tačke D i E na stranicama AC i BC , takve da je duž DE paralelna stranici
AB. Ako težište datog trougla pripada duži DE , tada je odnos površina trougla CDE i trapeza
ABED jednak:
A) 3:2
B) 5:4
C) 1:1
D) 2:3
E) 4:5
43. MF 2003
Dijagonale tetivnog četvorougla ABCD se seku u tački S . Ako je BC = CD, SC = 4 i CD = 6, Tada je
AC jednako:
A) 6 2
B) 8
D) 9
C) 6 3
5
E) 10
Planimetrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
6. Mnogougao
44. 2009. MF
Unutrašnji uglovi konveksnog petougla odnose se kao 3:4:5:7:8. Razlika najvećeg i najmanjeg od
tih uglova je:
A) 40o
B) 60o
C) 80o
D) 100o
E) 120o
45. 2007. MF
Koliko je unutrašnji ugao pravilnog mnogougla koji ima 6 puta više dijagonala nego stranica?
A) 140o
B) 144o
C) 156o
D) 160o
E) 168o
46. TMF2000
Ukoliko se kod konveksnog mnogougla broj stranica poveća za dva, broj dijagonala će se povećati
za 65. Tada broj stranica mnogougla pripada intervalu
A) ( 35, 40]
B) [10, 20 )
C) [ 20, 25]
D) ( 25, 30]
E) ( 30, 35]
47. RGF2000
Ako se broj strana konveksnog n-tougla poveća za 7, broj dijagonala mu se poveća za 119. Broj n
iznosi:
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
48. MaF 2002
Koliko stranica ima pravilan mnogougao koji ima 44 dijagonale:
A) 11
B) 10
C) 13
D) 9
E) 8
7. Krug
49. MF2000
Tetive AB i CD kruga k seku se u tački S. Ako je AS = 2 + 1 , SB = 2 − 1 i CS = 3 + 1, dužina
duži SD je:
A) 2 − 3
B)
3 −1
1
2
C)
D)
3 1
−
2 2
E)
3− 2
50. GF 2001
U ravni je dat krug poluprečnika r i tačka T van njega. Krug se iz tačke T vidi pod pravim ulom.
Izračunati površinu ograničenog dela ravni sadržanog unutar toga ugla i izvan datog kruga.
A)
1
π r2
12
1
B) r 2 ( 4 − π )
4
C)
1 2
r (4 +π )
4
D) 2r 2 (π − 3)
E)
1 2
r π− 2
6
(
)
51. MF 2006
Dati su koncentrični krugovi k1 i k2 . Tetiva t = 10cm većeg kruga dodiruje manji krug. Površina
prstena između krugova k1 i k2 je ( u cm 2 )
A) 10π
B) 20π
C) 25π
D) 50π
E) 100π
52. 2008. ETF
U krugu poluprečnika 2cm dužina tetive kojoj odgovara periferijski ugao od 15o , iznosi ( u cm ):
A)
6+ 2
B)
6− 2
C)
1
2
(
6− 2
6
)
D)
1
3
E) 2
Planimetrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
53. 2007. MF
Data su dva kruga poluprečnika 4cm koji se dodiruju. Koliko je poluprečnik kruga koji spolja
dodiruje dva data kruga i njihovu zajedničku spoljašnju tangentu ?
A) 0, 5cm
B) 1cm
C)
2cm
D) 2cm
E) 2 2cm
54. EF 2000
U sektor (isečak) kruga poluprečnika R čija je tetiva dužine 2a, upisan je krug poluprečnika r. Tada
je:
A)
1 1 2
= +
r R a
B)
1 1 1
= −
r R a
C)
1 1 1
= +
r R a
D)
1 1 1
= +
a r R
E)
2 1 1
= +
R r a
55. GF 2003
Krug k , upisan u pravougli trougao ABC , dodiruje katete AC i BC u tačkama P i Q .Ako je i AC = 30cm
BC = 40cm, onda je površina figure ograničene dužima PC , QC i manjim od lukova PQ kruga
k jednaka ( u cm 2 )
A) 10π
B) 8 + 6π
C) 100 − 25π
7
D) 60π − 160
E) 8π
Download

Prijemni – Planimetrija