IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA
SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
- ZATVORENO REGULACIONO KOLO -
U uvodnom delu smo definisali osnovne konfiguracije koje se koriste u cilju upravljanja procesima i koje
se međusobno razlikuju po načinu povezivanja ulaza i izlaza iz procesnog sistema. Sigurno najčešće
korišćena konfiguracija sistema upravljanja je ona koja je šematski prikazana na slici 4.1. i koja se naziva
konfiguracija upravljanja sa negativnom povratnom spregom. Kod ove konfiguracije se upravljačko
dejstvo na proces zasniva na odstupanju izmerene veličine izlaza kojim treba upravljati od njegove
zadate vrednosti. Reč negativna u nazivu ove konfiguracije označava da se povratno dejstvo (povratna
sprega) izlaza na ulaz uvodi sa negativnim znakom, kako je prikazano na slici 4.1.
Slika 4.1. Šematski prikaz upravljačke konfiguracije sa negativnom
povratnom spregom
Upravljanje pomoću ove konfiguracije se vrlo često naziva regulacija, a sama konfiguracija upravljanja
se naziva zatvoreno regulaciono kolo. Izlaznu promenljivu kojom treba upravljati u tom slučaju zovemo
regulisana promenljiva, dok upravljačke, odnosno manipulativne ulazne promenljive nazivamo
regulacionim promenljivim.
Prema cilju koji treba da ostvari zatvoreno regulaciono kolo, razlikujemo dva osnovna tipa regulacije:
- programsku regulaciju, koja treba da ostvari da regulisani izlaz prati zadatu promenu željene
vrednosti, odnosno postavne tačke;
- stabilizacionu regulaciju, koja za cilj ima otklanjanje dejstva spoljašnjih poremećaja koji sistem
izvode iz željenog stacionarnog stanja.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
4.1. OSNOVNI ELEMENTI I BLOK DIJAGRAM ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA
Da bi se ostvarilo upravljanje nekim procesom pomoću zatvorenog regulacionog kola, neophodno je
najpre odabrati izlaze koje treba regulisati da bi se ostvario željeni rad procesa. Sledeći korak je izbor
najpogodnijih manipulativnih, odnosno regulacionih promenljivih koje se mogu jednostavno po želji
menjati i pomoću kojih se efikasno može delovati na proces. Osnovni element regulacionog kola naravno
predstavlja sam proces sa svojim ulaznim i izlaznim promenljivim i statičkim i dinamičkim
karakteristikama.
Kada su odabrane regulisane i regulacione promenljive, neophodno je ostvariti merenje izlaza koje treba
regulisati. Zbog toga je drugi neophodan element zatvorenog regulacionog kola merni elementtransmiter koji vrši prevođenje datog regulisanog izlaza u pogodan signal kojim se informacija o njegovoj
veličini može dalje prenositi i obrađivati.
Kada je izlazna veličina koju treba regulisati pomoću mernog elementa izmerena i pretvorena u signal
određene vrste, njena vrednost se poredi sa željenjom vrednošću, koja je najčešće dobijena prethodnom
projektovanjem i optimizacijom procesa na osnovu tehnoekonomske analize. Razlika željene i izmerene
vrednosti izlaza se naziva greška, a deo sistema u kome se vrši ovo poređenje naziva se detektor
greške. Signal greške se, u posebno projektovanom elementu regulacionog kola, koji se naziva
regulator, obrađuje, po nekom odabranom matematičkom zakonu, dajući na izlazu informaciju sadržanu
u upravljačkom signalu, o tome kako treba promeniti odabranu regulacionu promenljivu da bi se izlaz
doveo, odnosno vratio na željenu vrednost. Detektor greške i regulator zajedno čine regulacioni
mehanizam.
Da bi se na osnovu informacije sadržane u izlaznom signalu iz regulatora izvršilo povratno dejstvo na
proces, neophodan je i poslednji element zatvorenog regulacionog kola koji se naziva izvršni element i
pomoću koga se, na osnovu izlaznog signala iz regulatora menja odabrana regulaciona promenljiva tako
da se greška smanji, odnosno eliminiše. Kao što smo naveli u trećem delu, pri regulaciji postrojenja
procesne industrije, kao regulacione promenljive se u ogromnoj većini slučajeva koriste neki od ulaznih ili
izlaznih protoka iz sistema. Kao izvršni elementi kojima se ovi protoci podešavaju na željeni način,
najčešće se koriste regulacioni ventili ili ređe, regulacione crpke.
U okviru ove knjige ćemo se uglavnom baviti samo regulacijom najjednostavnijih sistema sa jednom
regulisanom i jednom regulacionom promenljivom (SISO sistemi).
Grubi blok dijagram zatvorenog regulacionog kola koji prikazuje osnovne elemente i njihove međusobne
veze, prikazan je na slici 4.1-1.
Slika 4.1-1. Opšti blok dijagram zatvorenog regulacionog kola
Na ovoj slici su korišćene sledeće oznake za promenljive u sistemu:
x - postavna tačka, odnosno željena vrednost regulisanog izlaza
y - regulisani izlaz
ym - izmerena vrednost regulisanog izlaza
ε=x-ym - greška
p - upravljački signal
m - manipulativna, odnosno regulaciona promenljiva
l - spoljašnji poremećaj - promenljiva opterećenja.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Proces, merni element i izvršni element ne zavise od vrste konfiguracije upravljanja, tako da sve ono što
je o ovim elementima rečeno u trećem delu knjige važi i u slučaju kada ovi elementi vrše svoju funkciju u
zatvorenom regulacionom kolu. Međutim, tip uređaja koji se koristi kao regulator direktno zavisi od
odabrane konfiguracije upravljanja, tako da ćemo u ovom delu knjige veliku pažnju pokloniti prikazu
osnovnih tipova regulatora koji se koriste u zatvorenom regulacionom kolu, a zatim i izboru i
projektovanju regulatora za ovu konfiguraciju upravljanja.
4.2. REGULATOR U ZATVORENOM REGULACIONOM KOLU
Kao što smo naveli u poglavlju 4.1., regulator je onaj element regulacionog kola koji se nalazi između
mernog instrumenta kao izvora informacija o procesu i izvršnog elemetna kojim se vrši povratno dejstvo
na proces. Ulaz u regulator predstavlja signal greške, odnosno razlika između zadate i izmerene
vrednosti izlaza:
ε(t) = x(t) - y m (t)
(4.2-1)
Izlaz iz regulatora p(t) predstavlja upravljački signal na osnovu koga izvršni element menja odabranu
manipulativnu promenljivu, čime se vrši povratno dejstvo na proces. Najvažniji deo sinteze zatvorenog
regulacionog kola sastoji se u pravilnom izboru matematičke zavisnosti izlaza i ulaza:
p(t) = F ( ε(t))
(4.2-2)
Fizička realizacija konstruktivnih karakteristika regulatora se izvodi tako da dobijeni uređaj zadovoljava tu
odabranu matematičku zavisnost, odnosno da ima tačno definisane dinamičke karakteristike. Pri tome,
regulator može biti realizovan kao mehanički, pneumatski, hidraulički, analogni ili digitalni elektronski
uređaj, ili se kao regulator može koristiti digitalni računar koji je programiran na željeni način. U procesnoj
industriji se najčešće koriste pneumatski i električni regulatori. O fizičkoj realizaciji pneumatskih i
elektronskih regulatora će biti reči nešto kasnije, a sada ćemo se zadržati na dinamičkim
karakteristikama regulatora.
4.2.1 Osnovni tipovi regularora u zatvorenom regulacionom kolu
U sistemima upravljanja sa negativnom povratnom spregom se koriste četiri osnovna tipa
konvencionalnih regulatora: proporcionalni, proporcionalno-integralni, proporcionalno-diferencijalni i
proporcionalno-integralno-diferencijalni.
4.2.1.1. Proporcionalni (P) regulator
Proporcionalni regulator vrši samo pojačavanje ulaznog signala (signala greške), dajući izlazni signal
(upravljački signal) koji je proporcionalan ulaznom:
p(t) = K c ε(t)
(4.2-3)
Konstanta proporcionalnosti Kc se naziva pojačanje regulatora. Očigledno je da su statičke i dinamičke
karakteristike proporcionalnog regulatora identične. Proporcionalni regulator jednostavno služi da pojača
signal greške, ostvarujući tako dovoljno veliki upravljački signal kojim se može proizvesti dejstvo na
proces.
Umesto pojačanja regulatora, za definisanje P regulatora se često koristi opseg proporcionalnosti koji
predstavlja grešku (izraženu procentom opsega izmerene izlazne promenljive) koja izaziva puni hod
ventila, od potpuno otvorenog do potpuno zatvorenog.
4.2.1.2. Proporcionalno-integralni (PI) regulator
Kod proporcionalno-integralnog regulatora, pored pojačavanja signala greške vrši i njegovo integrisanje
u toku vremena. Njegova dinamička karakteristika se uobičajeno prikazuje u sledećem obliku:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
p (t ) = K c ε(t ) +
Kc
ε(t )dt
τi ∫
(4.2-4)
Kao što se vidi, PI regulator je definisan sa dva parametra: pojačanjem Kc i konstantom τi koja ima
dimenzije vremena i naziva se integralno vreme. Prvi član na desnoj strani jednačine (4.2-4) se često
naziva proporcionalno dejstvo, a drugi, integralno dejstvo.
Fizičko značenje integralnog vremena PI regulatora će biti jasnije
ako razmotrimo odziv PI regulatora na stepenastu promenu
signala greške, prikazanu na slici 4.2-1. Pri stepenastoj promeni
greške na ulazu u PI regulator, kao rezultat proporcionalne akcije
dobiće se takođe stepenasta funkcija Kcε, prikazana punom
tankom linijom označenom sa P na slici 4.2-1. Istovremeno,
integralna akcija će kao rezultat dati linearnu funkciju, prikazanu
tankom punom linijom označenom sa I. Ukupno dejstvo
regulatora će biti zbir ova dva dejstva i prikazano je debljom
punom linijom označenom sa PI. Integralno vreme τi PI regulatora
je ono vreme posle koga su vrednosti proporcionalnog i
integralnog dejstva izjednačene, tako da je ukupan izlaz iz
regulatora jednak dvostrukoj vrednosti proporcionalnog dejstva.
Slika 4.2-1. Odziv PI regulatora na
stepenastu promenu greške
Osnovna karakteristika PI regulatora je da zbog svog integralnog dela daje na izlazu značajan
upravljački signal čak i za vrlo male apsolutne vrednosti greške, ukoliko se te greške dugo zadržavaju.
Na taj način PI regulator otklanja sistematske greške, odnosno greške stacionarnog stanja. S druge
strane, upravo zbog svoje karakteristike da daje značajan upravljački signal (što rezultuje značajnim
odstupanjem položaja izvršnog elementa od onog koji odgovara projektovanom stacionarnom stanju) i
pri malim vrednostima greške, PI regulator često može da smanji brzinu odziva zatvorenog regulacionog
kola.
4.2.1.3. Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator
Ovaj tip regulatora, pored pojačavanja, vrši i diferenciranje
signala greške. Dinamička karakteristika PD regulatora se
obično prikazuje u sledećem obliku:
p (t ) = K c ε(t ) + K c τ d
dε(t )
dt
(4.2-5)
PD regulator takođe ima dva parametra: pojačanje Kc i
diferencijalno vreme τd. Dejstvo PD regulatora se
najjednostavnije može ilustrovati na osnovu njegovog odziva na
linearnu promenu ulazne funkcije greške ε(t) sa koeficijentom Slika 4.2-2. Odziv PD regulatora na
pravca 1, koji je prikazan na Slici 4.2-2. Pri ovakvoj promeni jediničnu linearnu promenu greške
ulaznog signala greške, proporcionalno dejsvo daje takođe
linearan odziv sa nagibom Kc (tanka puna linija označena sa P, na slici 4.2-2.), dok diferencijalno dejstvo
rezultuje stepenastim izlazom čija je amplituda Kcτd (tanka puna linija označena sa D). Ukupan odziv PD
regulatora predstavlja zbir obih efekata i prikazan je debljom punom linijom PD. Od trenutka t=0 pa
nadalje, izlaz koji daje diferencijalna akcija je konstantan, dok se odziv proporcionalnog dela regulatora
povećava sa vremenom. Za t=τd, odzivi proporcionalnog i diferencijalnog dejstva PD regulatora na
linearnu promenu ulazne greške postaju identični.
Zbog diferencijalnog dela u dinamičkoj karakteristici, PD regulator na neki način vrši predviđanje budućih
vrednosti greške (na osnovu linearne interpolacije po tangenti), što svakako predstavlja prednost.
Međutim, ova osobina PD regulatora postaje nedostatak u slučajevima kada se javljaju brze promene
signala greške ili ako u sistemu postoje značajni šumovi, jer ih diferencijalna akcija jako pojačava.
Treba se podsetiti da nije moguća fizička realizacija elementa koji bi imao dinamičku karakteristiku
definisanu jednačinom (4.2-5). Ova jednačina daje idealnu dinamičku karakteristiku proporcionalno-
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
diferencijalnog regulatora, dok stvarni regulatori imaju dinamičke karakteristike koje teže ovoj idealnoj. O
dinamičkim karakteristikama realnih regulatora će biti reči u poglavlju 4.5.2..
Takođe treba naglasiti da je korišćenje proporcionalno-diferencijalnog regulatora vrlo retko, jer on za
razliku od PI regulatora ne otklanja statičku, odnosno grešku stacionarnog stanja. Mnogo je češće
korišćenje regulatora koji ima sva tri dejstva.
4.2.1.4. Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator
Ovo je najsloženiji tip regulatora koji se koristi u sistemima automatske regulacije. On vrši pojačavanje,
integraljenje i diferenciranje greške, odnosno ima sve tri akcije: proporcionalnu, integralnu i
diferencijalnu. Dinamička karakteristika PID regulatora se najčešće prikazuje jednačinom:
p (t ) = K c ε(t ) +
Kc
dε(t )
ε(t )dt + K c τd
τi
dt
∫
(4.2-6)
Ovaj regulator ima osobine i PI i PD regulatora i u principu omogućava najbolju regulaciju. Značenje
pojačanja Kc, integralnog vremena τi i diferencijalnog vremena τd je isto kao kod P, PI i PD regulatora.
Naravno, ne samo što je konstrukcija PID regulatora najsloženija, već njegovo korišćenje zahteva od
operatera najviše znanja i veštine, jer za dobar rad regulacionog kola treba pravilno odabrati tri
parametra: pojačanje regulatora Kc, integralno vreme τi i diferencijalno vreme τd. Očigledno je da se pri
velikim vrednostima integralnog vremena (τi64) PID regulator svodi na PD regulator, dok se za vrlo male
vrednosti diferencijalnog vremena (τd60) svodi na PI regulator.
Pored ova četiri tipa regulatora koji se koriste u sistemima automatske regulacije procesa, ponekad se
koristi i dvopoložani (engleski ON-OFF) regulator kod koga izlaz može da ima smo dve vrednosti, od
kojih jedna odgovara potpuno otvorenom a druga potpuno zatvorenom regulacionom ventilu. Ovaj
regulator je vrlo jednostavan i ne koristi se često za regulaciju u postrojenjima hemijske industrije.
Dvopoložajni regulator se može posmatrati kao proporcionalni regulator vrlo velikog pojačanja, odnosno
opsega proporcionalnosti koji je približno jednak nuli.
Sva četiri osnovna tipa regulatora (P, PI, PD i PID) su linearni elementi, dok je dvopoložajni regulator
nelinearan.
4.2.2. Prenosne funkcije regulatora u zatvorenom regulacionom kolu
Primenom Laplasove transformacije na jednačine (4.2-3) do (4.2-6) kojima su definisane dinamičke
karakteristike regulatora, i nalaženjem odnosa Laplasovih transformacija izlaznog signala iz regulatora i
ulaznog signala greške, dobijaju se sledeće prenosne funkcije:
- za proporcionalni regulator:
G c,P (s) =
P(s)
= Kc
ε(s)
(4.2-7)
- za proporcionalno-integralni regulator:
G c,PI (s) =
P(s)
1 ⎞
⎛
= K c ⎜1+
⎟
ε(s)
τi s ⎠
⎝
(4.2-8)
- za proporcionalno-diferencijalni regulator:
G c,PD (s) =
P(s)
= K c (1 + τd s)
ε(s)
- Za proporcionalno-integralno-diferencijalni regulator:
(4.2-9)
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
G c,PID (s) =
P(s)
1
⎛
⎞
= Kc ⎜1+
+ τd s ⎟
ε(s)
τi s
⎝
⎠
(4.2-10)
Za PID regulator se često koristi nešto drugačiji oblik prenosne funkcije:
1 ⎞
⎛
⎟ (1 + τd ′ s)
G c′,PID (s) = K c′ ⎜ 1 +
τi′ s ⎠
⎝
(4.2-11)
koja PID regulator prikazuje kao rednu vezu PI i PD regulatora. Zbog toga se za ovaj regulator koristi i
naziv kaskadni regulator. Prenosna funkcija prikazana jednačinom (4.2-11) se može razviti u oblik:
⎡
⎤
τd ′
τd ′
+
s⎥
G c′,PID (s) = K c′ (1 + τd ′ / τi′ ) ⎢ 1 +
τi′ (1 + τd ′ / τi′ )s 1 + τd ′ / τi′ ⎦
⎣
(4.2-12)
koji je identičan sa prenosnom funkcijom prikazanom jednačinom (4.2-11), osim što su parametri Kc, τi i
τd drugačije definisani.
4.2.3. Frekventne karakteristike regulatora u zatvorenom regulacionom kolu
Kao i prenosne funkcije, frekventne karakteristike predstavlaju vrlo pogodan oblik prikazivanja dinamičkih
karakteristika pojedinih elemenata, omogućujući jednostavno dobijanje i analizu dinamičkih karakteristika
ukupnog sistema. U cilju dobijanja frekventnih karakteristika ukupnog regulacionog sistema, neophodno
nam je poznavanje frekventnih karakteristika regulatora povratne sprege. Najjednostavniji način
dobijanja frekventnih karakteristika je zamena s sa jω u odgovarajućim prenosnim funkcijama. U
nastavku ćemo prikazati frekventne karakteristike pojedinih regulatora.
4.2.3.1. Frekventne karakteristike P regulatora
Zamenom s sa jω u prenosnoj funkciji definisanoj jednačinom (4.2-7) dobija se frekventna prenosna
funkcija P regulatora:
G c,P (jω ) = K c
(4.2-13)
Realni i imaginarni deo ove frekventne prenosne funkcije su:
Re(Gc,P (j ω)) = Kc , Im(Gc,P (j ω)) = 0
a odgovarajuća amplitudna i fazna karakteristika:
ARc,P ( ω ) = K c , φc,P ( ω ) = 0
(4.2-15)
Nikvistov dijagram P regulatora je prikazan na slici 4.2-5., a
Bodeovi dijagrami na slici 4.2-6. Može se lako zaključiti da je P
regulator zapravo proporcionalni element, tako da su ovi
rezultati identični sa onima prikazanim na slici 2.8-4. u poglavlju
2.8.4.1.
Slika 4.2-5.
regulatora
Nikvistov
dijagram
P
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Slika 4.2-6. Bodeovi dijagrami P regulatora
4.2.3.2. Frekventne karakteristike PI regulatora
Zamenom s sa jω u prenosnoj funkciji PI regulatora,
definisanoj jednačinom (4.2-8), dobija se sledeća
kompleksna funkcija fekvence:
⎛
1 ⎞
1 ⎞
⎛
j ⎟ (4.2-16)
⎟⎟ = K c ⎜ 1 G c,PI ( ω ) = K c ⎜⎜ 1 +
τi ωj ⎠
⎝ τi ω ⎠
⎝
čiji su realni i imaginarni deo:
Re(Gc,PI (j ω)) = Kc
(4.2-17)
Im(Gc,PI (j ω)) = - Kc
τi ω
Slika 4.2-7.
regulatora
i moduo (amplitudna karakteristika) i argument (fazna karakteristika):
ARc,PI ( ω ) = K c 1 +
1
( τi ω )2
⎛ 1 ⎞
φc,PI ( ω ) = - arctan ⎜
⎟
⎝ τi ω ⎠
(4.2-18)
Slika 4.2-8. Bodeovi dijagrami PI regulatora
Nikvistov
dijagram
PI
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Grafički prikaz frekventnih karakteristika PI regulatora u Nikvistovom i Bodeovim dijagramima dat je na
slikama 4.2-7. i 4.2-8. Može se uočiti da integralno dejstvo kod PI regulatora dolazi do izražaja pri niskim
frekvencijama (za spore promene greške), dok se pri visokim frekvencijama on praktično ponaša kao
proporcionalni.
4.2.3.3. Frekventne karakteristike PD regulatora
Frekventna karakteristika PD regulatora se dobija u obliku
sledeće kompleksne funkcije frekvencije:
G c,PD (jω ) = K c (1 + τd ωj)
(4.2-19)
Iz ovog izraza se direktno mogu odrediti realni i imaginarni
deo frekventne prenosne funkcije:
Re(Gc , PD ( jω) ) = K c
Im(Gc , PD ( jω) ) = K c τ d ω
(4.2-20)
na osnovu kojih se dobijaju sledeći izrazi za amplitudnu i
faznu karakteristiku PD regulatora:
Slika 4.2-9.
regulatora
2
AR c,PD ( ω ) = K c 1 + ( τd ω ) , φc,PD = arctan ( τd ω )
Nikvistov
dijagram
PD
(4.2-21)
Nikvistov dijagram PD regulatora je prikazan na slici 4.2-9, a Bodeovi dijagrami na slici 4.2-10.
Slika 4.2-10. Bodeovi dijagrami proporcionalno-diferencijalnog regulatora
Kao što se može videti sa Bodeovih i Nikvistovog dijagrama, diferencijalno dejstvo postaje značajno pri
visokom vrednostima frekvencije, dok se pri niskim frekvencijama (pri sporim promenama funkcije
greške) PD regulator ponaša kao proporcionalni.
Takođe treba primetiti da PD regulator daje pozitivnu faznu karakteristiku, što bi značilo da kod ovog
sistema izlaz prednjači ispred ulaza. Ovo su, naravno, frekventne karakteristike idealnog PD regulatora,
koji ima istu prenosnu funkciju (pa time i frekventne karakteristike) kao idealni diferencijalni element koji
smo definisali u poglavljima 2.3.6.1. i 2.8.4.6.
4.2.3.4. Frekventne karakteristike PID regulatora
PID regulator je najsloženiji od svih konvencionalnih regulatora povratne sprege, pa shodno tome, ima i
najsloženiju prenosnu funkciju i frekventnu karakteristiku, koja se dobija u sledećem obliku:
⎛
⎞
1
+ τd ωj ⎟⎟ (4.2-22)
G c,PID (jω ) = K c ⎜⎜ 1 +
τi ωj
⎝
⎠
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Realni i imaginarni deo ove kompleksne funkcije su:
Re (Gc,PID (j ω)) = Kc
1 ⎞ (4.2-23)
⎛
Im (Gc,PID (j ω)) = Kc ⎜ τd ω ⎟
τi ω ⎠
⎝
a odgovarajuća ampitudna i fazna karakteristika:
⎛
1 ⎞
⎟⎟
ARc,PID ( ω ) = K c 1 + ⎜⎜ τd ω τi ω ⎠
⎝
⎛
1 ⎞
⎟⎟
φc,PID ( ω ) = arctan⎜⎜ τd ω τi ω ⎠
⎝
2
(4.2-24)
Slika 4.2-11. Nikvistov dijagram PID
regulatora
Grafički prikaz ovih frekventnih karakteristika je dat na slici 4.2-11. u obliku Nikvistovog i na slici 4.2-12.
u obliku Bodeovih dijagrama. Bodeovi dijagrami na ovoj slici odgovaraju slučaju kada je integralno vreme
veće od diferencijalnog, što je uobičajeno (konkretne vrednosti koje odgovaraju ovom dijagramu su τi=2 i
τd=0.5).
Sa slike 4.2-12. se može videti da se PID regulator ponaša kao PI u oblasti niske frekvencije, dok se u
oblasti visoke frekvencije ponaša kao PD regulator.
Slika 4.2-12. Bodeovi dijagrami PID regulatora
4.3. DINAMIKA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA
U prethodnim poglavljima smo definisali osnovne elemente i strukturu zatvorenog regulacionog kola sa
negativnom povratnom spregom. Kao što smo naveli, zatvoreno regulaciono kolo treba da obezbedi:
1. održavanje izlaza na konstantnoj vrednosti definisanoj postavnom tačkom, pri poremećaju
nekog od ulaza koji se ne može po želji menjati, odnosno pri promeni promenljive opterećenja (slučaj
stabilizacione regulacije);
2. vremensku promenu izlaza na željeni način, definisan promenom postavne tačke (slučaj
programske regulacije).
I u jednom i u drugom slučaju, nije moguće postići cilj regulacije trenutno, već je potrebno određeno
vreme da se otkloni dejstvo poremećaja, odnosno da izlaz dostigne željenu promenu. Projektovanje
regulacionog kola se sastoji u pravilnom izboru svih elemenata regulacionog kola, a naročito u izboru
tipa i parametara regulatora, tako da zatvoreno regulaciono kolo zadovolji dva osnovna zahteva:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
stabilnost i brz odziv. Problemima stabilnosti zatvorenog regulacionog kola će se baviti sledeće poglavlje,
dok ćemo u ovom pokušati da sagledamo osnovne činjenice vezane za dinamiku i odziv sistema
zatvorenog kola.
4.3.1. Blok dijagram i prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola
Ako posmatramo jednostavan proces sa dve ulazne promenljive: jednom manipulativnom m i jednom
promenljivom opterećenja l i sa jednim regulisanim izlazom, najjednostavnije zatvoreno regulaciono kolo
se može prikazati blok dijagramom datim na slici 4.3-1.
Slika 4.3-1. Blok dijagram zatvorenog regulacionog kola sa
negativnom povratnom spregom
U ovom blok dijagramu su korišćene sledeće oznake signala:
X - Laplasova transformacija promene postavne tačke
L - Laplasova transformacija promene opterećenja (poremećaja)
Y - Laplasova transformacija promene izlazne (regulisane) promenljive
ε - Laplasova transformacija funkcije greške
M - Laplasova transformacija promene manipulativne promenljive
P - Laplasova transformacija promene upravljačkog signala
Ym- Laplasova transformacija promene izmerene veličine izaza
i prenosnih funkcija:
Gp - prenosna funkcija procesa u odnosu na regulacionu promenljivu (Y/M)
Gpl - prenosna funkcija procesa u odnosu na promenljivu opterećenja (Y/L)
Gm - prenosna funkcija mernog elementa
Gc - prenosna funkcija regulatora
Gv - prenosna funkcija izvršnog elementa
Treba primetiti da su za potpuno definisanje dinamičkih karakteristika procesa potrebne dve prenosne
funkcije, u odnosu na manipulativnu promenljivu M i u odnosu na promenljivu opterećenja L.
Uobičajeno je definisanje dva tipa prenosnih funkcija koje se odnose na zatvoreno regulaciono kolo. Prvi
tip, koji se naziva prenosna funkcija otvorenog kola i najčešće se označava sa G(s), predstavlja proizvod
prenosnih funkcija svih elemenata koji se nalaze u zatvorenoj konturi regulacionog kola:
G(s) = G c (s) G v (s) G p (s) G m (s)
(4.3-1)
Ova prenosna funkcija, koja odgovara sistemu zatvorenog kola koji bi na bilo kom mestu bio "otvoren",
se vrlo mnogo koristi pri analizi zatvorenog regulacionog kola.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Drugi tip prenosne funkcije koji se može definisati kod zatvorenog
regulacionog kola je prava prenosna funkcija zatvorenog kola, koju
ćemo označavati sa W(s). Zapravo, za sistem prikazan blok
dijagramom na slici 4.3-1. mogu se definisati dve prenosne funkcije
zatvorenog kola: jedna u odnosu na promenu postavne tačke (Y/X) i
druga u odnosu na promenu opterećenja (Y/L). Svođenjam blok
dijagrama prikazanog na slici 4.3-1., on se može transformisati u
jednostavan oblik prikazan na slici 4.3-2. Izrazi za prenosne funkcije
zatvorenog kola se dobijaju jednostavno, korišćenjem pravila o
svođenju blok dijagrama negativne povratne sprege koje smo izveli
u poglavlju 2.4.3.
lika 4.3-2. Ekvivalentni blok
dijagram zatvorenog regulacionog
kola
Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na
postavnu tačku je:
W X (s) =
Y(s)
G (s) G v (s) G p (s)
G c (s) G v (s) G p (s)
= c
=
1 + G(s)
X(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s)
(4.3-2)
a prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu opterećenja:
W L (s) =
Y(s)
G (s)
G pl (s)
= pl
=
L(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 + G(s)
(4.3-3)
Treba primetiti da su imenioci obe prenosne funkcije zatvorenog kola identični. Ukoliko prenosne funkcije
svih elemenata u zatvorenom kolu imaju oblik odnosa dva polinoma po s, imenilac prenosne funkcije
zatvorenog kola se svodi na polinom po s. Ovaj polinom predstavlja karakteristični polinom, dok
jednačina:
1 + G(s) = 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) = 0
(4.3-4)
predstavlja karakterističnu jednačinu zatvorenog regulacionog kola.
4.3.2. Vremenski odzivi zatvorenog regulacionog kola
U cilju što bojeg sagledavanja uticaja tipa i parametara regulatora na dinamiku zatvorenog regulacionog
kola, potražićemo odzive nekih jednostavnih sistema zatvorenog regulacionog kola, prikazanog blok
dijagramom na slici 4.3-1., na stepenastu promenu postavne tačke ili promenljive opterećenja.
4.3.2.1. Uticaj proporcionalnog regulatora na odziv zatvorenog kola
Najpre ćemo na nekoliko jednostavnih primera ispitati uticaj P regulatora na dinamiku zatvorenog
regulacionog kola, tražeći odzive zatvorenog kola sa P regulatorom na stepenastu promenu postavne
tačke ili opterećenja.
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na jediničnu stepenastu
promenu postavne tačke. Posmatraćemo jednostavno regulaciono kolo u kome je proces prvog reda
vezan sa proporcionalnim regulatorom, dok se dinamičke karakteristike mernog i izvršnog elementa
mogu zanemariti:
G p (s) =
Kp
, G c (s) = K c , G v (s) = 1, G m (s) = 1
τp s +1
(4.3-5)
i u kome se postavna tačka menja u obliku Hevisajdove funkcije, dok se promenljiva opterećenja ne
menja:
1
X(s) = , L(s) = 0
s
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Prenosna funkcija zatvorenog kola u odnosu na postavnu tačku je u ovom slučaju:
Kc K p
Y(s)
G c (s) G v (s) G p (s)
τp s +1
Kc K p
=
=
=
(4.3-6)
W X (s) =
X(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 + K c K p τ p s + 1 + K c K p
τp s +1
Očigledno je da i prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola odgovara sistemu prvog reda.
Deljenjem brojioca i imenioca ove prenosne funkcije sa (1+KcKp), dobija se standardni oblik prenosne
funkcije
prvog
reda:
Kc K p
1+ K c K p
= Ke
W X (s) =
τp
s + 1 τe s + 1
1+ K c K p
(4.3-7)
Na osnovu jednačine (4.3-7) može se zaključiti da proces prvog reda u zatvorenom regulacionom kolu
sa P regulatorom zadržava dinamičke karakteristike sistema prvog reda, ali sa nekim novim,
ekvivalentnim vrednostima pojačanja i vremenske konstante:
Ke =
τp
Kc K p
, τe =
1+ K c K p
1+ K c K p
(4.3-8)
Očigledno je da je ekvivalentna vrednost vremenske konstante zatvorenog kola manja od vremenske
konstante samog procesa:
τe < τ p
(4.3-9)
što znači da zatvoreno regulaciono kolo sa P regulatorom ubrzava odziv sistema.
Odziv ovog zatvorenog regulacionog kola na jediničnu
stepenastu promenu postavne tačke ima poznati oblik
koji važi za sistem prvog reda:
y(t) = K e (1 - e-t / τe )
(4.3-10)
Na slici 4.3-3. su prikazani odzivi zatvorenog
regulacionog sa procesom prvog reda i P regulatorom
za tri vrednosti pojačanja regulatora (za Kp=2 i τp=5
min). Na osnovu ove slike se mogu izvesti dva osnovna
zaključka:
1. Odziv zatvorenog regulacionog kola je brži
od odziva samog procesa i brzina odziva se povećava
sa povećanjem pojačnja regulatora Kc.
2. Kada sistem dođe u novo stacionarno stanje
(kada t64) izlaz nije jednak vrednosti postavne tačke.
Odstupanje izlaza u stacionarnom stanju od postavne
tačke je karakteristično za regulaciju sa P regulatorom i
naziva se greška stacionarnog stanja (GSS) (engleski
offset). Definiše se na sledeći način:
GSS = lim | y(t) - x(t) |
t →∞
Slika 4.3-3. Odziv regulacionog kola sa
procesom prvog reda i P regulatorom na
jediničnu stepenastu promenu postavne
tačke
(4.3-11)
i za slučaj koji posmatramo iznosi:
GSS = 1 - K e =
1
1+ K c K p
(4.3-12)
Očigledno je da se pri povećanju pojačanja regulatora greška stacionarnog stanja smanjuje, kao i
vremenska konstanta zat-vorenog kola, tako da bi granični slučaj bio:
K c → ∞ _ GSS → 0 ( K e → 1), τe → 0
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
što znači da bi pri beskonačno velikom pojačanju regulatora izlaz idealno pratio promenu postavne
tačke.
NAPOMENA: Vrednost greške stacionarnog stanja se najjednostavnije može dobiti direktno iz
Laplasovog domena primenom teoreme o krajnjoj vrednosti. U tom slučaju nije neophodno nalaženje
inverzne Laplasove transformacije.
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i P regulatorom na jediničnu stepenastu
promenu opterećenja. Posmatraćemo regulacioni problem za sistem koji je definisan u prethodnom
primeru. Uzećemo najjednostavniji slučaj kod koga je:
G pl (s) = G p (s) =
Kp
τp s + 1
(4.3-13)
Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu opterećenja je:
Kp
Y(s)
τp s + 1
G pl (s)
Kp
=
(4.3-14)
=
=
W L (s) =
L(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 + K c K p τ p s + 1 + K c K p
τp s + 1
Ovo je opet prenosna funkcija prvog reda koja se može prikazati u standardnom obliku:
Kp
1+ K c K p
= Ke
W L (s) =
τp
s + 1 τe s + 1
1+ K c K p
(4.3-15)
Treba primetiti da je vremenska konstanta zatvorenog kola identična kao u prethodnom primeru, dok je
pojačanje zatvorenog kola manje od pojačanja samog
procesa:
τe =
τp
Kp
,Ke =
1+ K c K p
1+ K c K p
(4.3-16)
Odziv na jediničnu stepenastu promenu opterećenja se
dobija u obliku:
y(t) = K e (1 - e-t / τe )
(4.3-17)
i grafički je prikazan na slici 4.3-4., za tri vrednosti
pojačanja regulatora i parametre procesa Kp=2, τp=5 min.
Greška stacionarnog stanja u ovom slučaju iznosi:
GSS = K e =
Kp
1 + Kc K p
(4.3-18)
Slika
4.3-4.
Odziv
zatvorenog
regulacionog kola sa procesom prvog
reda i P regulatorom na stepenastu
promenu opterećenja
I u slučaju stepenaste promene opterećenja, greška
stacionarnog stanja se smanjuje sa povećanjem pojačanja regulatora, dok se brzina odziva povećava
(vremenska konstanta τe se smanjuje sa povećanjem Kc). Za Kc64 regulacija bi bila idealna, što znači da
se izlazna promenljiva y ne bi uopšte promenila uprkos stepenastoj promeni opterećenja.
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom na jediničnu stepenastu
promenu postavne tačke. U ovom slučaju posmatramo zatvoreno regulaciono kolo čiji su elementi
definisani sledećim prenosnim funkcijama:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
G p (s) =
Kp
, G c (s) = K c , G v (s) = G m (s) = 1
s
+
2
τ
τp ξ s + 1
2
p
(4.3-19)
dok su ulazi u regulaciono kolo:
1
Kc K p
X(s) = , L(s) = 0
2 2
s G c (s) G v (s) G p (s)
τp s + 2 τp ξp s + 1
Kc K p
= 2 2
=
WX=
K
K
1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s) 1 +
c
p
τp s + 2 τp ξp s + 1+ K c K p
2 2
+
2
s
+
1
ξ
τp s
τp p
(4.3-20)
Očigledno je da ovo zatvoreno regulaciono kolo takođe predstavlja sistem drugog reda, koji se,
deljenjem brojioca i imenioca poslednjeg izraza u jednačini (4.3-20) sa (1+KcKp) može prikazati
standardnim oblikom prenosnom funkcije:
Kc K p
1+ K c K p
= 2 2 Ke
W X (s) =
2
2
ξ
τ
+ 2 τe ξe s + 1
p
τp
p
2
s + 1 τe s
s +
1+ K c K p
1+ K c K p
(4.3-21)
Ekvivalentni dinamički parametri zatvorenog kola Ke, τe i ξe su sledeće funkcije parametara procesa i
pojačanja regulatora:
Ke =
ξp
τp
Kc K p
, τe =
, ξe =
1+ K c K p
1+ K c K p
1+ K c K p
(4.3-22)
Treba primetiti da su vrednosti vremenske konstante i faktora prigušenja zatvorenog kola manje od
vrednosti odgovarajućih parametara samog procesa i da se njihove vrednosti smanjuju sa povećanjem
pojačanja regulatora Kc. U graničnom slučaju će biti:
K c → ∞ : K e → 1, τe → 0, ξe → 0
(4.3-23)
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom drugog reda i P regulatorom, na jediničnu stepenastu
promenu postavne tačke, će naravno zavisiti od vrednosti koeficijenta prigušenja ξe, kako smo prikazali u
poglavlju 2.7.2. koje se odnosilo na odziv sistema drugog reda:
(a) Za ξe>1 (Kc<(ξp2-1)/Kp) dobija se previše prigušen odziv:
⎡ ξ + ξ2 - 1
⎛ ( ξ + ξ2 - 1 ) ⎞⎤
⎛ ( ξ - ξ2 - 1 ) ⎞ ξ - ξ2 - 1
e
e
e
e
e
e
e
⎟
⎜
exp exp ⎜ - e
y(t) = K e ⎢ 1 t +
t ⎟⎥
2
2
⎟⎥
⎟
⎜
⎜
⎢
τe
τe
2 ξe - 1
⎠⎦
⎠ 2 ξe - 1
⎝
⎝
⎣
(b) Za ξe=1 (Kc=(ξp2-1)/Kp) dobija se ktiti;no prigušen odziv:
⎛ ⎛
t ⎞
y(t) = K e ⎜⎜ 1 - ⎜ 1 + ⎟ e-t/ τe
τe ⎠
⎝ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
(4.3-25)
(c) Za ξe<1 (Kc>(ξp2-1)/Kp) dobija se nedovoljno prigušen sistem:
⎛
⎛ 1 - ξ2
⎛ 1 - ξ2 ⎞ ⎞ ⎞⎟
1
⎜
⎜
e
e ⎟ ⎟
- ξe t/ τ e
y(t) = K e ⎜ 1 sin
t + arctan ⎜
e
2
⎜
⎜
ξe ⎟ ⎟ ⎟⎟
⎜
τe
1 - ξe
⎝
⎠⎠⎠
⎝
⎝
(4.3-26)
(4.3-24)
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
NAPOMENA: Pošto je ξe<ξp i Kc>0, slučajevi (a) i (b) su
mogući samo ako je proces koji se nalazi u zatvorenom
kolu previše prigušen (ξp>1).
Na osnovu sva tri izraza za odziv, može se zaključiti da
će se i u ovom slučaju javiti greška stacionarnog stanja
koja iznosi:
GSS = 1 - K e =
1
1+ K c K p
(4.3-27)
Na slici 4.3-5. je prikazan odziv zatvorenog
regulacionog kola sa procesom drugog reda i P
regulatorom na stepenstou promenu postavne tačke, za
pet različitih vrednosti pojačanja regulatora. Konkretni
parametri procesa za koje je dobijena slika 4.3-5. su:
Kp=1, τp=2 min, ξp=2.
Slika 4.3-5. Steprenasti odziv zatvorenog
regulacionog kola sa procesom drugog
reda i P regulatorom
ZAKLJUČAK: Na osnovu prethodnih primera odziva
jednostavnih regulacionih kola sa P regulatorom, mogu
se izvesti sledeći zaključci:
1. prisustvo P regulatora ne menja red sistema;
2. zatvoreno regulaciono kolo sa P regulatorom ima brži odziv od sistema bez regulacije; brzina
odziva se povećava sa povećanjem pojačanja regulatora;
3. pri korišćenju P regulatora javlja se greška stacionarnog stanja, koja se smanjuje sa
povećanjem pojačanja regulatora;
4. kod regulacije sistema drugog reda pomoću P regulatora, koeficijent prigušenja i period
oscilovanja se smanjuju. Ove vrednosti opadaju sa povećanjem pojačanja regulatora.
4.3.2.2. Uticaj idealnog PI regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola
Da bi došli do zaključaka o ulozi PI regulatora u zatvorenom regulacionom kolu, izvešćemo izraze za
odziv najjednostavnijeg regulacionog kola sa procesom prvog reda na stepenastu promenu postavne
tačke i opterećenja.
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu
promenu postavne tačke. Kao i u većini prethodnih primera, pretpostavićemo da se dinamičke
karakteristike mernog i izvršnog elementa mogu zanemariti, tako da su prenosne funkcije kojima su
definisani elementi regulacionog kola koje posmatramo:
1 ⎞
⎛
Kp
, G m (s) = G v (s) = 1
⎟ , G p (s) =
G c (s) = K c ⎜ 1 +
τi s ⎠
τp s + 1
⎝
(4.3-36)
Posmatraćemo najpre ponašanje ovog sistema kada se postavna tačka menja u obliku jedinične
stepenaste funkcije, dok promenljiva opterećenja ostaje nepromenjena:
1
X(s) = , L(s) = 0
s
Prenosna funkcija ovako definisanog zatvorenog regulacionog kola će biti:
1 ⎞ Kp
⎛
⎟
K c ⎜1+
Y(s)
G c (s) G v (s) G p (s)
τi s ⎠ τ p s + 1
⎝
=
=
(4.3-37)
W X (s) =
X(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s)
1 ⎞ Kp
⎛
1+ K c ⎜1+
⎟
τi s ⎠ τ p s + 1
⎝
Desna strana jednačine (4.3-37) se može transformisati u oblik:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
W X (s) =
K c K p (1 + τi s)
K c K p + K c K p τi s
=
2
( τ p s + 1) τi s + K c K p ( τi s + 1) τ p τi s + τi (1 + K c K p ) + K c K p
(4.3-38)
koji odgovara prenosnoj funkciji sistema drugog reda, koja se deljenjem brojioca i imenioca sa KcKp
može svesti na standardni oblik:
W X (s) =
1 + τi s
1 + τi s
= 2 2
⎛
1 ⎞
τe s + 2 ξe τe s + 1
τ p τi 2
⎟⎟ s + 1
s + τi ⎜⎜ 1 +
Kc K p
Kc K p ⎠
⎝
(4.3-39)
Efektivna vremenska konstanta i efektivni koeficijent prigušenja koji odgovaraju zatvorenom
regulacionom kolu koje posmatramo su definisani na sledeći način:
τe =
1 τi 1 + K c K p
τ p τi
, ξe =
2 τp K c K p
Kc K p
(4.3-40)
Analizom izraza definisanih jednačinom (4.3-40), može se zaključiti da se efektivna vremenska konstanta
povećava sa povećanjem vrednosti integralnog vremena i smanjuje sa povećanjem pojačanja PI
regulatora, dok se efektivni koeficijent prigušenja povećava sa povećanjem i integralnog vremena i
pojačanja PI regulatora.
Nalaženje inverzne Laplasove transformacije izraza za izlaz u Laplasovom domenu:
Y(s) = X(s) W X (s) =
1 + τi s
s ( τ s + 2 ξe τe s + 1)
2
e
2
(4.3-41)
se može izvršiti na analogan način kao u prethodnom primeru. I u ovom slučaju bi se dobili različiti oblici
inverzne Laplasove transformacije, zavisno od toga da li je ξe>0, =0 ili <0. Daćemo samo oblik koji se
dobija za nedovoljno prigušen odziv, jer je to slučaj koji se najčešće javlja u praksi:
y(t) =
τe
⎛ 1 - ξ2
τi
e
- ξet / τ e
sin ⎜
e
2
⎜
1 - ξe
⎝ τe
⎛ 1 - ξ2
-ξet / τ e
⎞
⎛ 1 - ξ2 ⎞
e
⎜
e
e ⎟
⎟
t +1 sin
t + arctan ⎜
2
⎜
⎟
⎟
⎜
ξ
τe
1 - ξe
e
⎠
⎠
⎝
⎝
kada t64 dobija se:
lim y(t) = 1
t →∞
(4.3-43)
tako da je greška stacionarnog stanja:
GSS = lim | y(t) - x(t) |= 0
t →∞
(4.3-44)
⎞
⎟
⎟
⎠
(4.3-42)
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Slika 4.3-8. Uticaj pojačanja regulatora na
odziv zatvorenog regulacionog kola sa
procesom prvog reda i PI regulatorom na
jediničnu stepenastu promenu postavne
tačke
Slika 4.3-9. Uticaj integralnog vremena na
odziv zatvorenog regulacionog kola sa
procesom prvog reda i PI regulatorom na
jediničnu stepenastu promenu postavne
tačke
Uticaj parametara PI regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda prikazan
je na slikama 4.3-8. (uticaj pojačanja regulatora) i 4.3-9. (uticaj integralnog vremena).Slika 4.3-8. je
dobijena za sledeće vrednosti parametara: Kp=1, τp=1 min, τi=0.2 min, dok slika 4.3-9. odgovara
parametrima Kp=1, τp=1 min, Kc=1. Sa slike 4.3-8. se može videti da se sa povećanjem pojačanja PI
regulatora povećava brzina odziva zatvorenog regulacionog kola, smanjuje period oscilovanja i sistem se
brže smiruje uz manje prekoračenje odziva (što odgovara povećanju koeficijenta prigušenja ξe do koga
dolazi pri povećanju pojačanja regulatora, u slučaju kada je KcKp>1). Rezultati prikazani na slici 4.3-9.
pokazuju da se sa povećanjem integralnog vremena PI regulatora smanjuje brzina odziva sistema,
povećava period oscilovanja i smanjuje oscilatornost sistema, uz manje prekoračanje odziva. Obe slike
pokazuju da se pomoću PI regulatora eliminiše greška stacionarnog stanja.
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu
promenu opterećenja. Sistem koji posmatramo je identičan onom iz prethodnog primera, samo u ovom
slučaju analiziramo odziv na stepenastu promenu opterećenja. Usvojićemo da je:
G pl (s) = G p (s) =
Kp
τp s + 1
(4.3-45)
Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu opterećenja je:
Kp
Y(s)
G pl (s)
τp s + 1
=
=
W L (s) =
L(s) 1 + G c (s) G v (s) G p (s) G m (s)
1 ⎞ Kp
⎛
1+ K c ⎜1+
⎟
τi s ⎠ τ p s + 1
⎝
(4.3-46)
Kada se izraz na desnoj strani jednačine (4.3-46), koji predstavlja prenosnu funkciju sistema drugog
reda, prikaže u standardnom obliku, dobija se:
τi s
τi s
Kc
= 2 2 Kc
W L (s)(s) =
⎛
1 ⎞
τe s + 2 ξe τe s + 1
τ p τi 2
⎟⎟ s + 1
s + τi ⎜⎜ 1 +
Kc K p
Kc K p ⎠
⎝
(4.3-47)
Efektivna vremenska konstanta τe i efektivni koeficijent prigušenja ξe u ovom izrazu su identični sa onim
definisanim u prethodnom primeru (jednačina 4.3-40). Odziv ovog zatvorenog regulacionog kola na
jediničnu stepenastu promenu opterećenja se dobija nalaženjem inverezne Laplasove transformacije
desne
strane
jednačine
(4.3-47):
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Y ( s ) = WL ( s ) L( s ) =
τe2 s 2
τi / K c
+ 2ξe τe s + 1
(4.3-48)
Oblik inverzne Laplasove transformacije i u ovom slučaju zavisi od vrednosti efektivnog koeficijenta
prigušenja ξe. Oblik koji se dobija za slučaj ξe<1, koji se najčešće javlja u realnim sistemima sa PI
regulatorom je:
⎛ 1 - ξ2 ⎞
τ
i / Kc
e
- ξe t / τe
y(t) =
sin ⎜
t⎟
e
2
⎜
⎟
τe 1 - ξe
⎝ τe
⎠
(4.3-49)
Očigledno je da će i u ovom slučaju greška stacionarnog stanja biti jednaka nuli:
(4.3-50)
GSS = lim | x(t) - y(t)|= 0 - 0 = 0
t →∞
Odzivi zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom na jediničnu stepenastu
promenu opterećenja, za vrednosti parametara: Kp=1, τp=1 min, τi=0.2 min i tri vrednosti pojačanja PI
regulatora, prikazani su na slici 4.3-10. Na slici 4.3-11. su prikazani odzivi za slučaj Kp=1, τp=1 min, Kc=1
i tri različite vrednosti integralnog vremena.
Slika 4.3-10. Uticaj pojačanja PI regulatora
na odziv zatvorenog kola sa procesom
prvog reda i PI regulatorom na jediničnu
stepenastu promenu opterećenja
Slika 4.3-11. Uticaj integralnog vremena
na odziv zatvorenog kola sa procesom
prvog reda i PI regulatorom na jediničnu
stepenastu promenu opterećenja
Rezultati prikazani na slikama 4.3-10. i 4.3-11. potvrđuju zaključke koje smo izveli u prethodnom primeru.
ZAKLJUČAK: Na osnovu odziva zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PI regulatorom
koje smo izveli u ovom poglavlju, mogu se izvesti sledeći generalni zaključci o najznačajnijim aspektima
uticaja idealnog PI regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola:
1. prisustvo PI regulatora povećava red sistema za jedan;
2. prisustvo PI regulatora eliminiše grešku stacionarnog stanja;
3. sa povećanjem pojačanja PI regulatora povećava se brzina odziva, i smanjuje se period
oscilovanja zatvorenog kola; za KcKp>1 koeficijent prigušenja se povećava sa povećanjem Kc, dok za
KcKp<0 ξe opada sa povećanjem Kc;
4. sa povećanjem vrednosti integralnog vremena dolazi do povećanja perioda oscilovanja odziva
i povećanja koeficijenta prigušenja.
4.3.2.3. Uticaj idealnog PD regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola
I u ovom slučaju ćemo pokušati da izvučemo zaključke o uticaju PD regulatora na dinamiku zatvorenog
regulacionog kola na jednostavnom primeru procesa prvog reda sa mernim instrumentom i izvršnim
elementom čija se dinamika može zanemariti. Posmatraćemo odziv na jediničnu stepenastu promenu
postavne tačke i opterećenja.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu
promenu postavne tačke. U ovom slučaju su prenosne funkcije elemenata kola i ulazne promenljive
definisane na sledeći način:
G c (s) = K c (1 + τd s), G p (s) =
1
Kp
, G v (s) = G m (s) = 1, X(s) = , L(s) = 0 (4.3-51)
s
τp s + 1
Prenosna funkcija zatvorenog regulacionog kola u odnosu na postavnu tačku je:
Kp
Y(s)
G c (s) G p (s)
τp s + 1
K c K p (1 + τd s)
=
=
=
(4.3-52)
W X (s) =
X(s) 1 + G c (s) G p (s) 1 + (1 + s) K p
τ
p s + 1 + K c (1 + τd s)
τd
Kc
τp s + 1
K c (1 + τd s)
Očigledno je da zatvoreno regulaciono kolo sa procesom prvog reda i PD regulatoraom takođe
predstavlja sistem prvog reda koji se može prikazati prenosnom funkcijom u standardnom obliku:
Kc K p
K c K p τd
+
s
1+ Kc K p 1+ Kc K p
+
s
= K e1 K e 2
W X (s) =
τ p + K c K p τd
τe s + 1
s +1
1+ Kc K p
(4.3-53)
Konstante Ke1 i Ke2 i efektivna vremenska konstanta τe su definisane na sledeći način:
K e1 =
τ p + K c K p τd
Kc K p
K c K p τd
, K e2 =
, τe =
1+ Kc K p
1+ Kc K p
1+ Kc K p
(4.3-54)
Odziv zatvorenog regulacionog kola za procesom prvog reda i PD regulatorom se dobija inverznom
Laplasovom transformacijom izraza za izlaz:
Y(s)= X(s) W X (s) =
K e1
Ke2
+
s ( τe s + 1) τe s + 1
(4.3-55)
Nalaženjem inverzne Laplasove transformacije izraza na desnoj strani jednačine (4.3-55), dobija se
odziv u vremenskom domenu:
(
)
y (t ) = K e1 1 − e − t / τ e +
⎛K
⎞
Ke2 −t / τe
= K e1 + ⎜⎜ e 2 − K e1 ⎟⎟e − t / τ e
e
τe
⎝ τe
⎠
(4.3-56)
Grafički prikaz odziva ovog zatvorenog regulacionog kola dat je na slici 4.3-12. za nekoliko vrednosti
pojačanja PD regulatora (za Kp=1, τp=5 min, τd=0.2 min) i na slici 4.3-13., za nekoliko vrednosti
diferencijalnog vremena (za Kp=1, τp=5 min i Kc=5).
Na osnovu slika 4.3-12. i 4.3-13. i jednačine (4.3-56) može se pokazati da se u zatvorenom
regulacionom kolu sa PD regulatorom javlja greška stacionarnog stanja:
GSS = lim x(t ) − y (t ) = 1 − K e1 = 1 −
t →∞
Kc K p
1 + Kc K p
=
1
1 + Kc K p
(4.3-57)
koja je identična sa onom koja se javlja kod regulacionog kola sa P regulatorom. S druge strane,
efektivna vremenska konstanta regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom, definisana
jednačinom (4.3-55) je veća od odgovarajuće efektivne vremenske konstante koja se dobija sa P
regulatorom, definisane jednačinom (4.3.8):
τ p + K c K p τd
τp
>
1+ K c K p
1+ K c K p
(4.3-58)
Ovo znači da dodavanje diferencijalne akcije usporava odziv. Sa slika 4.3-12. i 4.3-13. se vidi da odziv
zatvorenog regulacionog kola sa PD regulatorom na stepenastu promenu postavne tačke ne počinje od
nule, već od neke konačne vrednosti, što je direktna posledica diferencijalnog dejstva regulatora.
Odsečak na ordinati zavisi od pojačanja regulatora i diferencijalnog vremena i raste i sa povećanjem Kc i
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
sa povećanjem τd. Odziv koji zatim sledi se ubrzva sa povećanjem pojačanja regulatora i usporava sa
povećanjem diferencijalnog vremena.
Slika 4.3-12. Uticaj pojačanja regulatora
na odziv zatvorenog kola sa procesom
prvog reda i PD regulatorom na jediničnu
stepenastu promenu postavne tačke
Slika
4.3-13.
Uticaj
diferencijalnog
vremena na odziv zatvorenog kola sa
procesom prvog reda i PD regulatorom na
jediničnu stepenastu promenu postavne
tačke
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu
promenu opterećenja. Analogno kao u prethodnim primerima, može se izvesti prenosna funkcija
zatvorenog regulacionog kola čji su elementi:
G c (s) = K c (1 + τd s), G pl (s) = G p (s) =
Kp
, G v (s) = G m (s) = 1
τp s + 1
(4.3-59)
u odnosu na promenljivu opterećenja:
y(t) = K e (1 - e-t / τe )
Y(s)
=
W L (s) =
L(s) 1 +
Kp
(4.3-55)
1+ K c K p
= Ke
(4.3-60)
=
τ p + K c K p τd
Kp
τ
e s +1
s +1
K c (1 + τd s)
1+ K c K p
τp s + 1
Kp
τp s + 1
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i PD regulatorom je prikazan na slikama
4.3-14. (za Kp=1, τp=5 min, τd=0.2 min i tri vrednosti pojačanja regualatora) i 4.3-15. (za Kp=1, τp=5 min,
Kc=5 i tri vrednosti diferencijalnog vremena). Kriva za τd=0 na slici 4.3-14. odgovara sistemu sa P
regulatorom.
Slika 4.3-14. Uticaj pojačanja regulatora
na odziv zatvorenog kola sa procesom
prvog reda i PD regulatorom na jediničnu
stepenastu promenu opterećenja
Slika
4.3-15.
Uticaj
diferencijalnog
vremena na odziv zatvorenog kola sa
procesom prvog reda i PD regulatorom na
jediničnu stepenastu promenu opterećenja
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Na osnovu ovih rezultata mogu se izvesti isti zaključci kao u prethodnom primeru: u zatvorenom
regulacionom kolu sa PD regulatorom se javlja greška stacionarnog stanja koja je identična kao kod
sistema sa P regulatorom, dok je efektivna vremenska konstanta veća nego kod sistema sa P
regulatorom i povećava se sa povećanjem diferencijalnog vremena.
ZAKLJUČAK: Na osnovu analize odziva jednostavnog zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog
reda i PD regulatorom na jediničnu stepenastu promenu postavne tačke i opterećenja, mogu se izvesti
sledeći opšti zaključci o uticaju idealnog PD regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola:
1. PD regulator ne menja red sistema;
2. u zatvorenom regulacionom kolu sa PD regulatorom se javlja greška stacionarnog stanja koja
je identična kao kod sistema sa P regulatorom (za istu vrednost pojačanja regulatora);
3. odziv zatvorenog regulacionog kola sa PD regulatorom na jedniničnu stepenastu promenu
postavne tačke ne počinje od nule već od konačne pozitivne vrednosti (Ke2/τe) koja se povećava sa
povećanjem Kc i τd;
4. efektivna vremenska konstanta zatvorenog regulacionog kola sa PD regulatorom je veća od
odgovarajuće efektivne vremenske konstante sa P regulatorom, zbog čega je odziv sistema sa PD
regulatorom sporiji od odziva odgovarajućeg sistema sa P regulatorom (za isto pojačanje regulatora).
Najveći značaj uvođenja diferencijalne akcije je u povećavanju stabilnosti zatvorenog regulacionog kola,
što će biti ilustrovano u sledećem poglavlju. Na taj način, iako direktno usporava odziv, dodavanje
diferencijalne akcije indirektno dovodi do bržih odziva zatvorenog kola, jer omogućuje korišćenje većih
pojačanja regulatora, što rezultuje bržim odzivom.
4.3.2.4. Uticaj idealnog PID regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola
Analiza uticaja PID regulatora na dinamiku zatvorenog regulacionog kola je dosta složena jer se javljaju
tri promenljiva parametra regulatora (Kc, τi i τd) koji se mogu podešavati i na taj način uticati na odziv
zatvorenog kola. Zaključci koji su izvedeni u prethodnim primerima o uticaju proporcionalne, integralne i
diferencijalne akcije na odziv zatvorenog regulacionog kola, u principu važe i u ovom slučaju. Dinamiku
zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom ćemo prikazati samo na najjednostavnijem primeru
odziva sistema sa procesom prvog reda na jediničnu stepenastu promenu opterećenja.
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom i procesom prvog reda, na jediničnu stepenastu
promenu opterećenja. U ovom slučaju su elementi regulacionog kola definisani sledećim prenosnim
funkcijama:
1
⎛
+ τd s
G c (s) = K c ⎜ 1 +
τi s
⎝
⎞
Kp
, G v (s) = G m (s) = 1 (4.3-62)
⎟ , G pl (s) = G p (s) =
τp s + 1
⎠
Prenosna funkcija ovog zatvorenog regulacionog kola u odnosu na promenljivu opterećenja će biti:
τi Ks p
/
s
Y(s)
Kτ pc s + 1
= 2 2 τi K c
=
W L (s) =
⎛L(s)
1 ⎛ 1 + K⎞ c KKp ⎞p
⎛⎞
τe s + 2 ξe τe s + 1
⎜⎜ τ p τi 1 + τKi τc d⎜ ⎟⎟1 s+2 + τi +
⎜⎜ τd s ⎟
⎟⎟ s + 1
⎝ ⎠ τi s ⎝ K c⎠Kτ p s +
⎝ Kc K p
⎠1
(4.3-64)
(4.3-63)
Efektivna vremenska konstanta i efektivni koeficijent prigušenja ovog sistema su sledeće složene
funkcije parametara procesa i regulatora:
τe =
1+ K c K p 1
1 1+ Kc K p
τ p τi
+ τi τd , ξe = τi
=
Kc K p
K c K p 2 τe 2 K c K p
τi
τp
+ τd
Kc K p
(4.3-65)
Odziv na jediničnu stepenastu promenu opterećenja se dobija inverznom Laplasovom transformacijom
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
izraza:
1
τi / K c s
2 2
s τe s + 2 ξ e τe s + 1
τ / Kc
= 2 2 i
τ e s + 2 ξ e τe s + 1
Y(s)=
(4.3-66)
U slučaju kada je ξe<1 (koji se najčešće javlja u praksi), dobija
se vremenski odziv u sledećem obliku:
y(t) =
τi
2
K c τe 1 - ξe
e
- ξe t / τ e
⎛ 1 - ξ2
e
sin ⎜
⎜ τe
⎝
⎞
t⎟
⎟
⎠
(4.3-67)
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda i
PID regulatorom je grafički prikazan na slikama 4.3-16. (za
Kp=1, τp=1 min, τi=0.2 min, τd=0.1 min i tri vrednosti pojačanja
regulatora), 4.3-17. (za Kp=1, τp=1 min, Kc=1, τd=0.1 min i tri
vrednosti integralnog vremena) i 4.3-18. (za Kp=1, τp=1 min,
Kc=1, τi=0.2 min i tri vrednosti diferencijalnog vremena).
Slika 4.3-16. Uticaj pojačanja PID
regulatora na odziv zatvorenog kola sa
procesom prvog reda na stepenastu
promenu opterećenja
Sa slika 4.3-16. do 4.3-18. se može uočiti da odziv zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom ima
karakteristike i sistema sa PI i i sistema sa PD regulatorom:
GSS = lim y(t) = 0
t →∞
(4.3-68)
- brzina odziva se povećava sa povećanjem pojačanja regulatora i smanjuje se sa povećanjem
integralnog i diferencijalnog vremena.
Slika 4.3-17. Uticaj integralnog vremena
PID regulatora na odziv zatvorenog kola
sa procesom prvog reda na stepenastu
promenu opterećenja
Slika
4.3-18.
Uticaj
diferencijalnog
vremena PID regulatora na odziv
zatvorenog kola sa procesom prvog reda
na stepenastu promenu opterećenja
Odziv zatvorenog regulacionog kola sa PID regulatorom i procesom prvog reda na jediničnu stepenastu
promenu postavne tačke nećemo izvoditi, već ćemo samo analizirati prenosnu funkciju ovog sistema:
2
+ s +1
⎛τi τd s12 + τi s + 1⎞ K p
(4.3-70)
= τ2 i τ2d s τi
+ τd s ⎟
W X (s) =
K c ⎜1+
⎛Y(s)
⎞ τi2 s ⎛ 1 +⎠ Kτ pc K
s +p ⎞1
τe s + 2 ξe τe s + 1
τ
⎝
p τi
⎟ s +1
= + τi τd ⎟ s + ⎜ τi
(4.3-69)
W X (s) = ⎜⎜
K c K p1 + ⎛ 1⎟⎠ + 1⎜⎝ + Ks c⎞ K pK p⎟⎠
⎝X(s)
τd ⎟
Kc ⎜
τi s
⎠ τp s + 1
⎝
Ova prenosna funkcija naravno opet opisuje sistem drugog reda sa efektivnom vremenskom konstantom
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
i efektivnim koeficijentom prigušenja koji su identični onima definisanim jednačinom (4.3-65). Nalaženje
inverzne Laplasove transformacije je u ovom slučaju nešto složenije nego u prethodnom primeru, pa ga
nećemo izvoditi. I bez nalaženja vremenskog odziva, korišćenjem teoreme o krajnjoj vrednosti, može se
pokazati da je greška stacionarnog stanja jednaka nuli:
2
1
τi τ d s + τi s + 1
y(t)
=
s
Y(s)
=
s
(s)
=
(s)
=
= 1 (4.3-71)
WX
lim
lim
lim
lim W X
lim 2 2
t →∞
s →0
s →0
s →0
s →0 τe s + 2 ξ τe s + 1
s
e
pa je:
OFFSET = lim | x(t) - y(t) |= 1 - 1 = 0
t →∞
(4.3-72)
ZAKLJUČAK: Na osnovu svega iznetog u ovom poglavlju, možemo izvesti sledeće generalne zaključke
o uticaju idealnog PID regulatora na odziv zatvorenog regulacionog kola:
1. prisustvo PID regulatora povećava red sistema za 1;
2. PID regulator uklanja grešku stacionarnog stanja;
3. povećanje pojačanja regulatora povećava brzinu odziva, smanjuje period oscilovanja i
doprinosi bržem smirivanju odziva;
4. povećanje integralnog vremena povećava period oscilovanja i koeficijent prigušenja;
5. povećanje diferencijalnog vremena smanjuje brzinu odziva zatvorenog kola.
4.4. ANALIZA STABILNOSTI ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA
Prilikom sinteze zatvorenog regulacionog kola i izbora tipa i parametara regulatora povratne sprege,
jedan od najvažnijih zahteva je onaj koji se odnosi na stabilnost sistema. Većina objekata upravljanja koji
se javljaju u procesnoj industriji su stabilni u otvorenom kolu, ali uz nepravilan izbor parametara
regulatora zatvoreno regulaciono kolo može da postane nestabilno. Sa druge strane, proces koji je
nestabilan se pravilnim izborom regulatora može stabilizovati. Zbog toga će analizi stabilnosti zatvorenog
regulacionog kola biti posvećeno čitavo ovo poglavlje.
4.4.1. Definicija stabilnosti i osnovni uslov stabilnosti
Za sistem kažemo da je stabilan ukoliko se za svaku ograničenu promenu ulaza dobija ograničena
promena izlaza iz sistema. S druge strane, ukoliko se za ograničenu promenu ulaza dobija neograničena
promena izlazne promenljive, za sistem kažemo da je nestabilan.
Na slici 4.4-1.(a) su šematski prikazani primeri odziva tri stabilna sistema, dok su na slici 4.4-1.(b)
prikazani primeri odziva nestabilnih sistema.
Slika 4.4-1. Odzivi stabilnih (a) i nestabilnih sistema (b)
Posmatraćemo linearni sistem n-tog reda sa nagomilanim parametrima koji se može prikazati
prenosnom funkcijom:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
G(s) =
Y(s)
(s - z1 ) (s - z 2 )...(s - z m )
=K
X(s)
(s - p1 ) (s - p2 )...(s - pn )
(4.4-1)
i potražiti njegov odziv na jediničnu stepenastu promenu ulaza, koja predstavlja ograničenu funkciju
između 0 i 1. Kao što smo naveli u poglavlju 2.2.2., vrednosti z1, z2,...,zm su nule sistema, dok su
vrednosti p1, p2,..., pn polovi sistema. Treba se podsetiti da je imenilac prenosne funkcije identičan sa
karakterističnim polinomom sistema, tako da su polovi sistema identični sa korenima karakteristične
jednačine sistema.
Da bi se nasla inverzna Laplasova transformacija izlaza:
Y(s) = X(s) G(s) =
1 K (s - z1 ) (s - z 2 )...(s - z m )
s (s - p1 ) (s - p 2 )...(s - pn )
(4.4-2)
treba izvršiti razvijanje izraza na desnoj strani ove jednačine u zbir parcijalnih razlomaka:
Y(s) =
A
B
C
W
+
+
+ ...+
s s - p1 s - p 2
s - pn
(4.4-3)
Ukoliko su svi koreni karakteristične jednačine sistema p1, p2,..., pn realni i različiti, inverzna Laplasova
transformacija će se dobiti u obliku:
y(t) = A + B e p1t + C e p 2t + ...+ W e p nt
(4.4-4)
Da bi funkcija kojom je definisan izlaz bila ograničena, neophodno je da svi članovi na desnoj strani
jednačine (4.4-4) budu ograničeni, a to će biti ispunjeno samo ako su svi polovi sistema, odnosno svi
koreni karakteristične jednačine p1, p2,..., pn negativni.
Ukoliko se u prenosnoj funkciji sistema jedan pol pi ponavlja r puta, u izrazu za izlaz će se od članova u
kojima se pojavljuje taj pol dobiti sledeći član:
y i = ( c1 + c2 t + c3 t 2 + ...+ cr t r ) e pi t
(4.4-5)
Ovaj član će takođe biti ograničen ako i samo ako je pi<0.
Ukoliko u prenosnoj funkciji sistema postoji par konjugovano kompleksnih polova:
p j, j+1 = α ± jω
u izrazu za vremenski odziv će se pojaviti član oblika:
y j, j+1 = eα t ( d 1 cos ωt + d 2 sin ωt)
(4.4-6)
Ovaj član će biti ograničen ako i samo ako je realni deo konjugovano komleksnih polova α<0.
Na osnovu svega napred iznetog, može se definisati osnovni uslov stabilanosti linearnog sistema:
Potreban i dovoljan uslov da je linearan sistem stabilan je da su svi realni koreni karakteristične
jednačine negativni, a da kompleksni koreni imaju negativan realni deo.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Pošto su koreni karakteristične jednačine u opštem slučaju
kompleksni, kao i Laplasova promenljiva s, oni se vrlo
često prikazuju u kompleksnoj s-ravni, u kojoj je apscisa
definisana kao realni deo, a ordinata kao imaginarni deo.
U tom kontekstu možemo reći da je sistem stabilan ukoliko
su svi koreni karakteristične jednačine smešteni levo od
imaginarne ose (odnosno, ako se nalaze u levoj poluravni
kompleksne s-ravni), dok je sistem nestabilan ukoliko
postoji bar jedan koren karakteristične jednačine desno od
imaginarne ose (u desnoj poluravni kompleksne s-ravni).
Ukoliko se neki koren karakteristične jednačine nalazi na
imaginarnoj osi, a svi ostali u levoj poluravni, kažemo da je
sistem na granici stabilnosti. Kompleksna s-ravan sa
definisanim oblastima stabilnosti odnosno nestabilnosti,
prikazana je na slici 4.4-2.
Fizičko značenje sistema na granici stabilnosti bi moglo da
Slika 4.4-2. Oblasti stabilanosti i
se definiše na sledeći način: ako sistem za neke konačne
nestabilanosti u kompleksnoj s-ravni
promene ulaza daje konačne promene izlaza, dok pri
drugim konačnim promenama ulaza daje neograničen
izlaz, kažemo da je to sistem na granici stabilnosti. Karakteristični primeri ovakvih sistema su kapacitivni
element (koji daje konačan izlaz za sinusnu promenu ulaza, dok za stepenastu promenu izlaza daje
beskonačan izlaz) i sistem drugog reda, kod koga je koeficijent prigušenja ξ=0 (ovaj sistem daje
ograničenu promenu izlaza za stepenastu ulaznu promenu i za sinusne ulazne promene svih frekvencija
osim sopstvene frekvencije tog sistema, dok za sinusnu promenu sa sopstvenom frekvencijom daje
beskonačnu promenu izlaza). Oba ova sistema imaju korene karakteristične jednačine na imaginarnoj
osi.
4.4.2. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Ispitivanje stabilnosti sistema se, dakle, svodi na ispitivanje korena karakteristične jednačine, odnosno
znaka njihovih realnih delova. Kao što smo pokazali u poglavlju 4.3.1., imenilac prenosne funkcije
zatvorenog regulacionog kola je 1+G(s), a karakteristična jednačina zatvorenog regulacionog kola se
dobija u obliku:
1 + G(s) = 0
(4.4-7)
G(s) je prenosna funkcija otvorenog kola, odnosno proizvod prenosnih funkcija svih elemenata koji se
nalaze u zatvorenoj konturi. Prenosna funkcija otvorenog kola u sebi sadrži i prenosnu funkciju
regulatora, koja zavisi od tipa i vrednosti parametara regulatora. Promena parametara regulatora izaziva
promenu karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola i njenih korena, pa tako utiče i na
njegovu stabilnost. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola se zato obično svodi na
definisanje opsega parametara regulatora (najčešće pojačanja regulatora) u kojem je sistem stabilan.
Zatvoreno regulaciono kolo najčešće predstavlja sistem višeg reda i nalaženje korena karakteristične
jednačine i ispitivanje njihovog znaka nije jednostavno problem. Zbog toga je razvijen niz metoda za
ispitivanje stabilanosti sistema pomoću kojih se indirektno dolazi do podataka o stabilnosti sistema. U
ovom poglavlju će biti prikazane najpoznatije i najčešće korišćene metode ispitivanja stabilnosti sistema:
Rut-Huvicov (Routh-Hurwitz) kriterijum, postupak crtanja dijagrama položaja korena karakteristične
jednačine (kriterijumi u Laplasovom domenu) i Nikvistov i Bodeov kriterijum stabilnosti (kriterijumi u
frekventnom domenu).
4.4.3. Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Ovaj kriterijum stabilnosti se može primeniti na bilo koji sistem, pa tako i na zatvoreno regulaciono kolo.
Da bi se primenio Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti, neophodno je levu stranu karakteristične jednačine
sistema prikazati u obliku polinoma po s:
n
n -1
a0 s + a1 s + ...+ a n-1 s + a n = 0
(4.4-8)
Zbog ovoga se sistemi koji sadrže mrtvo vreme u principu ne mogu ispitivati korišćenjem ovog
kriterijuma, osim ako se ne izvrši aproksimacija prenosne funkcije mrtvog vremena kako je to opisano u
poglavlju 2.3.5.2.
Ispitivanje stabilnosti sistema pomoću Rut-Hurvicovog kriterijuma se sastoji iz dva testa:
TEST 1: Ispituju se koeficijenti karakterističnog polinoma a0, a1,..., an. Ukoliko svi koeficijenti
karakterističnog polinoma nisu istog znaka, sistem je sigurno nestabilan. To znači da je potreban uslov
da bi sistem bio stabilan da svi koeficijenti karakterističnog polinoma budu istog znaka.
Dovoljan uslov se definiše na osnovu drugog testa, koji se primenjuje ukoliko je ispunjen potreban uslov
za stabilnost.
TEST 2: Formira se tzv. Rutova šema, koja ima sledeći oblik:
1
2
3
4
.
.
.
n+1
I
II
III
IV
a0
a1
b1
c1
.
.
.
w1
a2
a3
b2
c2
.
.
.
w2
a4
a5
b3
c3
a6 . . .
a7 . . .
Elementi koji se unose u prvu i drugu vrstu Rutove šeme su koeficijenti karakteristične jednačine (4.4-8).
Elementi
u
sledećim
redovima
se
računaju
po
sledećoj
šemi:
a 1 a 2 - a0 a 3
a a -a a
, b2 = 1 4 0 5 , ...
a1
a1
b1 a3 - a1 b2
b a -a b
, c2 = 1 5 1 3 , ...
c1 =
b1
b1
c1 b2 - b1 c2
, ....
d1=
c1
b1 =
(4.4-9)
Kada se na ovaj način potpuno popuni Rutova šema, analiziraju se elementi u njenoj prvoj koloni. RutHurvicov kriterijum stabilnosti glasi: Sistem je stabilan ako nema promene znaka elemenata u prvoj
koloni Rutove šeme. Ukoliko svi elementi prve kolone Rutove šeme nisu istog znaka (neki su pozitivni, a
neki negativni) sistem je nestabilan. Ukoliko je neki element prve kolone Rutove šeme jednak nuli, a
ostali su istog znaka, sistem je na granici stabilnosti.
Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti se može primeniti na bilo koji sistem za koji je poznata karakteristična
jednačina, ukoliko se ona može prikazati u obliku jednačine (4.4-8). Podaci koji se dobijaju primenom
ovog kriterijuma stabilnosti govore o apsolutnoj stabilnosti sistema: sistem je stabilan ili ne, ali ne govore
ništa o njegovoj relativnoj stabilnosti.
PRIMER 4.4-1. Ispitivanje stabilnosti sistema korišćenjem Rut-Hurvicovog ktiterijuma
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Radi ilustracije načina popunjavanja Rutove šeme najpre ćemo ispitati stabilnost sistema čija je
karakteristična jednačina:
4
3
2
s +3 s +5 s +4 s + 2=0
Koeficijenti karakterističnog polinoma:
a0 = 1, a1 = 3, a 2 = 5, a3 = 4, a5 = 2
su svi pozitivni, tako da se mora sastaviti Rutova šema da bi se došlo do zaključka o stabilnosti sistema.
a1 a 2 - a0 a3 = 3x5 - 1x4 = 11 , = a1 a4 - a0 a 5 3x2 - 1x0
=
= 2, b3 = 0
b2
3
3
3
a1
a1
11
26
11
x2 - x0
x2 - 3x2
22
c
b
b
c
b
1 a 3 - a 1 b2
1
2
1
2
3
= 2, d 2 = 0, e1 = 0
= , c2 = 0, d 1 =
= 11
= 3
c1 =
26
11
11
c1
b1
11
3
b1 =
Da bi se popunila Rutova šema, neophodno je izračunati sledeće elemente:
Rutova šema će sada biti:
1
2
3
4
5
I
II
III
IV
1
3
11/3
26/11
2
5
4
2
0
0
2
0
0
0
Analizom elemenata prve kolone Rutove šeme, vidi se da su svi pozitivni, što znači da je sistem sa ovom
karakterističnom jednačinom stabilan.
Analiza stabilnosti se najčešće koristi da bi se odredili parametri regulatora zatvorenog regulacionog kola
za koje je sistem stabilan. Ovo će biti ilustrovano u sledećem primeru.
PRIMER 4.4-2. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i P
regulatorom, korišćenjem Rut-Hurvicove metode
U ovom primeru ćemo ispitati za koje vrednosti pojačanja proporcionalnog regulatora će biti stabilno
zatvoreno regulaciono sa procesom trećeg reda:
G p (s) =
1/8
(s + 1 )3
I P regulatorom. Usvojićemo da se dinamičke karakteristike mernog i izvršnog elementa mogu
zanemariti.
REŠENJE:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Blok dijagram zatvorenog regulacionog kola
čiju stabilnost treba ispitati je prikazan na slici
P-4.4.2. Karakteristična jednačina ovog
zatvorenog kola je:
1+ K c
1/8
=0
(s + 1 )3
Ova jednačina se može prikazati u obliku:
Kc
3
2
s + 3 s + 3 s + 1+ = 0
8
Slika
P-4.4.2.
Blok
dijagram
zatvorenog
regulacionog kola sa procesom trećeg reda i P
regulatorom
koji je analogan jednačini (4.4-8), uz napomenu da su koeficijenti ove jednačine:
a0 = 1 , a1 = 3 , a 2 = 3 , a 3 = 1 +
Kc
8
Svi ovi koeficijenti su pozitivni za bilo koje pojačanje regulatora (pojačanje regulatora Kc je uvek
pozitivno), tako da prvi test Rut-Hurvicovog kriterijuma stabilnosti ne daje odgovor o stabilnosti
zatvorenog regulacionog kola.
Da bi se primenio drugi test Rut-Hurvicovog kriterijuma, izračunavamo koeficijente Rutove šeme i
formiramo samu šemu:
b1 =
1
2
3
4
a1 a 2 - a0 a3 3x3 - 1x(1 + K c /8) 8 - K c /8
=
=
, b2 = 0
3
3
a1
b1 a 3 - a1 b2
= 1 + K c , c2 = 0 , d 1 = 0
c1 =
8
b1
I
II
III
1
3
(8-Kc/8)/3
(1+Kc/8)
3
(1+Kc/8)
0
0
0
0
Analizom elemenata prve kolone Rutove šeme, očigledno je da je jedini član koji može postati negativan
član
b1,
tako
da
se
uslov
da
sistem
bude
stabilan
svodi
na:
b1 =
8 - K c /8
> 0 ⇒ K c < 64
3
Možemo reći da će posmatrano regulaciono kolo biti:
- stabilno za Kc<64
- na granici stabilnosti za Kc=64
- nestabilno za Kc>64.
Vrednost pojačanja regulatora pri kojoj je zatvoreno regulaciono kolo na granici stabilnosti, naziva se
krajnje pojačanje i najčešće se označava sa Ku. U našem primeru je krajnje pojačanje:
K u = 64
4.4.4. Metoda geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine zatvorenog kola
Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti, čije smo korišćenje prikazali, daje samo informaciju o tome da li je
sistem stabilan ili ne, odnosno da li su svi koreni karakteristične jednačine smešteni u levoj poluravni
kompleksne s-ravni ili postoje koreni i u desnoj poluravni. Međutim, položaj korena karakteristične
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
jednačine pored stabilnosti sistema određuje i druge bitne karakteristike sistema, od kojih su najvažnije:
- ako su svi koreni karakteristične jednačine realni (leže na Re-osi kompleksne s-ravni) sistem
će biti previše ili kritično prigušen;
- ako postoji par konjugovano kompleksnih korena karakteristične jednačine (koji leže van Reose) sistem će biti nedovoljno prigušen i davaće oscilatoran odziv;
- što su koreni karakteristične jednačine dalje od Im-ose (u levoj poluravni), sistem je brži, jer
ovim korenima odgovaraju male vremenske konstante;
- koreni karakteristične jednačine koji su najbliži Im-osi odgovaraju najsporijem stupnju procesa i
zbog toga određuju ukupnu brzinu odziva sistema. Ovi koreni se nazivaju dominantni koreni;
- što su kompleksni koreni karakteristične jednačine dalje od Re-ose (imaju veći imaginarni deo)
sistem je manje prigušen.
Na slici 4.4-3. su prikazani kompleksni koreni karakteristične jednačine nedovoljno prigušenog sistema
drugog reda:
G(s) =
2
1
2ξs
s +
+1
2
ωn
ωn
, s 1/2 = - ξ ωn ± j ωn 1 - ξ2
u kompleksnoj s-ravni. Lako se može uočiti da je odstojanje korena od koordinatnog početka jednako
sopstvenoj frekvenciji ωn, odnosno recipročnoj vrednosti vremenske konstante sistema τ:
( ωn 1 - ξ2 )2 + ( ξ ωn )2 = ωn =
1
τ
(4.4-10)
dok je kosinus ugla φ jednak koeficijentu prigušenja ξ:
cos φ =
ξ ωn
ωn
=ξ
(4.4-11)
Zbog toga je u kompleksnoj s-ravni moguće definisati
sistem linija mreže koji čine: poluprave koje polaze iz
koordinatnog početka, koje predstav-ljaju linije
konstantnog koeficijenta prigušenja, i krugovi sa
centrom u koordinatnom početku, koji predstav-ljaju
linije konstantne vrednosti vre-menske konstante.
Na osnovu svega ovoga se može zaključiti da je
poznavanje položaja korena karakteristične jedanačine
od izuzetnog značaja ne samo za ispitivanje stabilnosti
zatvorenog regulacionog kola, već i za dobijanje
informacija
o
njegovom
dinamičkom
odzivu
(oscilatornosti, brzini odziva i slično.). Zbog toga se, kao Slika 4.4-3. Prikaz korena karakteristične
jedna od najefikasnijih metoda za analizu zatvorenog jednačine nedovoljno prigušenog sistema drugog
regulacionog kola uopšte, i stabilnosti zatvorenog reda u kompleksnoj s-ravni
regulacionog
kola
posebno,
koristi
metoda
geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine
koja se naziva i metoda dijagrama položaja korena karakteristične jednačine. Ova metoda se zasniva na
grafičkom prikazivanju svih korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola:
1 + G(s) = 0
(4.4-12)
za vrednosti pojačanja regulatora od nule do beskonačno.
Sam dijagram se dobija kao skup linija u s-ravni, od kojih svaka predstavlja po jedan koren
karakteristične jednačine, za vrednosti pojačanja regulatora od 0 do 4. Ove linije se često nazivaju grane
i njihov broj je jednak broju korena karakteristične jednačine. To, s druge strane znači da je broj grana u
dijagramu položaja korena identičan sa brojem polova sistema, odnosno sa redom sistema.
Kada se dobije kompletan dijagram kojim su definisani svi koreni karakteristične jednačine za Kc od 0 do
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
4, njegovom analizom se može utvrditi:
1. Za koje vrednosti pojačanja regulatora Kc je zatvoreno regulaciono kolo stabilno, za koje je
nestabilno, a za koje na granici stabilnosti. Pri tome, ako čitav dijagram leži u levoj poluravni kompleksne
s-ravni, zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno za svaku vrednost pojačanja regulatora; ukoliko je
jedna kompletna grana dijagrama u desnoj poluravni, sistem je nestabilan za svako pojačanje regulatora;
ukoliko neke od grana seku imaginarnu osu, sistem će biti stabilan za vrednosti pojačanja regulatora koje
odgovaraju delu dijagrama levo od imaginarne ose, a nestabilan za vrednosti Kc koje odgovaraju delu
dijagrama u desnoj poluravni, dok će Kc koje odgovara preseku sa Im-osom predstavljati krajnje
pojačanje.
2. Da li je sistem oscilatoran ili ne, odnosno za koje vrednosti pojačanja regulatora će se dobiti
oscilatorni odzivi zatvorenog regulacionog kola. Delovi dijagrama položaja korena koji pripadaju Re-osi
odgovaraju realnim korenima karakteristične jednačine, dok delovi koji leže van Re-ose predstavljaju
konjugovano-kompleksne korene karakteristične jednačine koji kao rezultat daju oscilatoran odziv. Pošto
se kompleksni koreni jednačine uvek javljaju u paru, dijagram položaja korena je simetričan u odnosu na
apscisu (svakoj grani iznad Re-ose odgovara simetrična,"konjugovana" grana ispod Re-ose).
3. Koji koreni karakteristične jednačine su dominantni. Naime koreni karakteristične jednačine
koji pripadaju granama koje su najbliže Im-osi će imati dominantan uticaj na odziv sistema. Na osnovu
dijagrama položaja korena se može dobiti i kompletan prelazni odziv zatvorenog regulacionog kola.
Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena
1. Broj grana, početak i kraj grana u dijagramu položaja korena
Ako se prenosna funkcija otvorenog kola prikaže u obliku:
G(s) = K
N(s)
(s - z1 ) (s - z 2 ) ... (s - z m )
=K
, n≥m
D(s)
(s - p1 ) (s - p2 ) ... (s - pn )
(4.4-13)
(z1, z2,..., zm su nule, a p1, p2,..., pn polovi otvorenog kola, dok je K pojačanje otvorenog kola koje u sebi
sadrži pojačanje regulatora Kc), karakteristična jednačina zatvorenog kola sa negativnom povratnom
spregom se u tom slučaju može prikazati jednačinom:
1+ K
(s - z1 ) (s - z 2 ) ... (s - z m )
=0
(s - p1 ) (s - p 2 ) ... (s - pn )
(4.4-14)
odnosno:
(s - p1 ) (s - p 2 ) ... (s - pn ) + K (s - z1 ) (s - z 2 ) ... (s - z m ) = 0
(4.4-15)
Pošto je n$m, ova jednačina je n-tog stepena, što znači da je broj korena karakteristične jednačine,
odnosno broj grana u dijagramu jednak broju polova otvorenog kola. S druge strane, kada je Kc=0 (K=0),
koreni karakteristične jednačine zatvorenog kola su identični sa polovima otvorenog kola, dok se za Kc64
(K64) koreni karakteristične jednačine poklapaju sa nulama otvorenog kola. Zbog toga kažemo da grane
polaze iz polova, a završavaju se u nulama otvorenog kola.
Ukoliko je broj polova veći od broja nula (n>m), u dijagramu postoji (n-m) grana koje se asimptotski
približavaju ka (n-m) asimptota kada Kc64.
2. Realni i konjugovano-kompleksni koreni
Za sve sisteme drugog i višeg reda, koreni karakteristične jednačine mogu biti realni i/ili konjugovano
kompleksni. Pri tome, par realnih korena pri porastu pojačanja regulatora može da predje u par
konjugovano-kompleksnih korena (tačka razdvajanja) ili obrnuto (tačka spajanja). Pošto se konjugovanokompleksni koreni uvek javljaju u paru (2 korena sa istim realnim delom i imaginarnim delovima koji su
suprotnog znaka), čitav dijagram mora da bude simetričan u odnosu na reanu osu (svakoj kompleksnoj
grani iznad Re ose odgovara simetrična kompleksna grana ispod Re ose).
3. Preseci grana sa imaginarnom osom: Preseci grana sa imaginarnom osom odgovaraju onim
rešenjima karakteristične jednačine koja leže na imaginarnoj osi, odnosno koja su čisti imaginarni brojevi.
Ako se karakteristična jednačina zatvorenog regulacionog kola, definisana jednačinom (4.4-12), odnosno
(4.4-14) prikaže u obliku:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
n
n -1
2
a0 s + a1 s + ...+ a n-2 s + a n-1 s + a n = 0
i
ako
se
u
ovoj
jednačini
s
sa
jω,
dobija
a n − a n −2 ω + a n −4 ω − L = 0
2
jednačine:
zameni
(4.4-20)
se
sistem
od
dve
realne
4
an −1ω − an −3ω3 + an −5ω5 − L = 0
(4.4-21)
Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijaju se vrednosti ω kojima su definisane tačke u kojima grane
seku imaginarnu osu i vrednosti pojačanja regulatora koje im odgovaraju. Treba primetiti da su
koeficijenti a0, a1,..., an funkcije pojačanja regulatora Kc.
Preseci grana sa imaginarnom osom odgovaraju korenima karakteristične jednačine za koje je zatvoreno
regulaciono kolo na granici stabilnosti. Pojačanje regulatora koje odgovara tom slučaju naziva se krajnje
pojačanje i označava sa Ku. Vrednost odsečaka na Im-osi ω nazivaju se krajnje ili kritične frekvencije, i
najčešće se označavaju sa ω0 ili ωu, dok odgovarajuća pojačanja regulatora predstavljaju krajnja
pojačanja sistema. Ovim tačkama je definisano zatvoreno regulaciono kolo koje je na granici stabilnosti,
koje je karakterisano neprigušenim oscilatornim odzivom sa konstantnom amplitudom. Frekvencija
oscilovanja zatvorenog regulacionog kola na granici stabilnosti je jednaka kritičnoj frekvenciji.
4.4.4.2. Primeri: Uticaj tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola,
korišćenjem metode geometrijskog mesta korena
Opšte razmatranje uticaja tipa i parametara regulatora na izgled dijagrama položaja korena bi bilo
prilično komplikovano. Zbog toga ćemo, umesto teorijske analize, zaključke o uticaju tipa i parametara
regulatora na stabilnost sistema izvesti na osnovu crtanja dijagrama položaja korena za nekoliko
konkretnih primera. U svim ovim primerima, biće analizirana zatvorena regulaciona kola čiji je objekat
upravljanja kaskada od tri identična izotermna reaktora sa idealnim mešanjem, čiji smo dinamički model
izveli u primeru 2.7-6. i koji smo koristili u primeru 4.4-2. Ovaj proces je trećeg reda. Biće skicirani
dijagrami položaja korena za regulacione sisteme sa P, PI i PID regulatorom i različitim vrednostima
integralnog i diferencijalnog vremena regulatora. Na osnovu njihove analize i poređenja, biće izvedeni
zaključci o uticaju tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola.
PRIMER 4.4-3. Dijagram položaja korena karakteristične
jedančine zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg
reda i P regulatorom
Treba skicirati dijagram položaja korena karakteristične
jednačine zatvorenog regulacionog kola sa negativnom
povratnom spregom i P regulatorom, za sistem koji smo
definisali u primeru 4.4-2. (slika P-4.4.2.).
Prenosna funkciju otvorenog kola je:
G(s) = K c
1/8
(s + 1 )3
a karakteristična jednačina:
1+ K c
1/8
=0
(s + 1 )3
odnosno:
Kc
3
2
s + 3 s + 3 s + 1+ = 0
8
Slika P-4.4.3. Dijagram položaja
korena karakteristične jednačine
zatvorenog regulacionog kola sa
procesom trećeg reda i P regulatorom
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Ovaj sistem je trećeg reda, ima tri pola p1=p2=p3=-1 i nema nula.
Dijagram položaja korena za ovaj sistem prikazan je na slici P-4.4.3. Kao što se vidi sa slike, dijagram se
sastoji od 3 grane koje polaze iz trostrukog pola -1. Jedna grana pripada realnoj osi, a druge dve su
konjugovano-kompleksne. To znači da za svako pojačanje regulatora veće od nule, karakteristična
jednačiina zatvorenog regulacionog kola ima jedan realan koren i par konjugovano-kompleksnih korena,
pri čemu su nonjugovano-komplekni koreni dominantni.
Konjugovano-kompleksne grane seku imaginarnu osu za:
K c = K u = 64, ω0 = 1.73
Na osnovu izračunatih vrednosti je skiciran približni dijagram položaja korena koji je prikazan na slici
P-4.4.3. Analizom ovog dijagrama se može videti da je zatvoreno regulaciono kolo koje se razmatra:
- stabilno za Kc<64
- nestabilno za Kc>64.
Odziv ovog zatvorenog kola će biti oscilatoran za svako Kc, jer postoje dve grane koje su za svako
pojačanje regulatora van realne ose.
PRIMER 4.4.4. Dijagram položaja korena karakteristične jedančine za zatvoreno regulaciono kolo sa
procesom trećeg reda i PI regulatorom
Skicirati dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola sa negativnom
povratnom spregom, definisanog u primerima 4.4-2. i 4.4-3., za slučaj kada se umesto P koristi PI
regulator. Vrednost integralnog vremena je: (a) τi=3.03 min; (b) τb=0.8 min.
Prenosna funkcija PI regulatora je:
1
⎛
G c (s) = K c ⎜ 1 +
τi s
⎝
s + 1/ τi
⎞
⎟= Kc
s
⎠
a prenosna funkcija otvorenog kola:
s + 1/ τi
G(s) = K c
8 s (s + 1 )3
(P-4.4.4-1)
- Karakteristična jednačina zatvorenog kola:
s + 1/ τi
⎛
⎞
1+ Kc
= 0 ⇔ s4 + 3 s3 + 3 s 2 + ⎜ 1 + K c ⎟ s + K c = 0
3
8 s (s + 1 )
8 ⎠
8 τi
⎝
(P-4.4.4-2)
Ovaj sistem je četvrtog reda, pa će dijagram imati četiri grane koje polaze iz polova: p1=0, p2=p3=p4=-1.
Sistem ima 1 nulu otvorenog kola čija vrednost zavisi od integralnog vremena.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
SLUČAJ (a) - τi=3.03 min
- Nula sistema je z1=-0.33
Skica dijagrama položaja korena ovog zatvorenog
regulacionog kola data je na slici P-4.4.4-1.
ZRK za svako pojačanje regulatora ima 2 realna i 2
konjugovano-kompleksna korena. Za mala pojačanja
regulatora dominantan je realni koren, dok su za veće
vrednosti Kc dominantni konjugovano-kompleksni koreni.
Kompleksne grane seku imaginarnu osu jednom, i ovom
preseku odgovaraju sledeće vrednosti krajnjeg pojačanja i
kritične frekvencije:
K u = 43.9, ω0 = 1.47 rad/ min
Na osnovu ovih rezultata se može zaključiti da je zatvoreno
regulaciono kolo:
- stabilno za Kc<43.9
- nestabilno za Kc>43.9.
Treba uočiti da je vrednost krajnjeg pojačanja manja u
slučaju PI regulacije nego za sistem sa P regulacijom. Na
osnovu ovog primera bi se moglo zaključiti da dodavanje
integralne akcije smanjuje stabilnost sistema.
Slika P-4.4.4-1. Dijagram položaja
korena
karakteristične
jednačine
zatvorenog
regulacionog
kola
sa
procesom trećeg reda i PI regulatorom
za τi=3.03 min
SLUČAJ (b): τi=0.8 min
- Nula sistema je z1=-1.25
Skica dijagrama položaja korena ovog zatvorenog regulacionog kola data je na slici P-4.4.4-2.
Za mala pojačanja regulatora ZRK ima 2 realna (jedan polazi iz pola 0, a drugi iz trostrukog pola -1) i 2
konjugovano-kompleksna korena (koji polaze iz trostrukog pola -1), pri čemu su dominantni realni koreni.
Izmedju polova 0 i -1 u tački s=-0.306, koja odgovara pojačanuju Kc=0.867, postoji tačka razdvajanja. Za
Kc>0.867 realni koreni postaju konjugovano kompleksni, i ovaj par korena je dominantan. Izmedju pola -1
i -4 nalazi se tačka spajanja s=-1.36, koja odgovara
vrednosti Kc=4.615, za koju 2 kompleksna korena postaju
realni. Pri tome konjugovano-kompleksni koreni bliži
realnoj osi ostaju dominantni.
Kompleksne grane seku imaginarnu osu jednom, i ovom
preseku odgovaraju sledeće vrednosti krajnjeg pojačanja i
kritične frekvencije:
K u = 11.3, ω0 = 0.897 rad/ min
Na osnovu ovih rezultata se može zaključiti da je
zatvoreno regulaciono kolo:
- stabilno za Kc<11.3
- nestabilno za Kc>11.3.
Ako se ova vrednost krajnjeg pojačanja uporedi sa
slučajem pod (a), može se uočiti da se stabilnost sistema
sa PI regulatorom smanjuje sa smanjenjem integralnog
vremena.
PRIMER 4.4-5. Dijagram položaja korena karakteristične
jednačine zatvorenog regulacionog kola sa procesom
treceg reda i PID regulatorom
Slika P-4.4.4-2. Dijagram položaja korena
karakteristične
jednačine
zatvorenog
regulacionog kola sa procesom trećeg
reda i PI regulatorom za τi=0.8 min
Skicirati dijagram položaja korena karakteristične
jednačine zatvorenog regulacionog kola definisanog u prethodnim primerima, za slučaj PID regulacije.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Vrednosti integralnog i diferencijalnog vremena su: (a) τi=3.03 min, τd=0.4 min; (b) τi=0.8 min, τd=0.4
min; (c) τi=0.8 min, τd=0.2 min.
REŠENJE:
Najpre ćemo izvesti zavisnosti koje važe za sva tri slučaja ((a), (b) i (c)):
Prenosna funkcija PID regulatora je:
1
⎞
⎛
+ τd s ⎟ = K c τd
G c (s) = K c ⎜ 1 +
τi s
⎠
⎝
2
s +
1
τd
s+
1
τi τd
s
a prenosna funkcija otvorenog kola:
G(s) = K c
8
τd
2
s +
1
s+
1
τd
τi τd
s (s + 1 )3
(P-4.4.5-1)
Ovaj sistem je četvrtog reda, pa će dijagram imati četiri grane koje polaze iz polova: p1=0, p2=p3=p4=-1.
Sistem ima 2 nule, koe se dobijaju kao rešenja jednačine:
2
s +
1
τd
s+
-
1
τi τd
= 0 : z1,2 =
1
τd
±
1
2
τd
-
2
4
τi τd
(P-4.4.5-2)
- Karakteristična jednačina zatvorenog kola je:
1 + K c τd
8
2
s +
1
s+
1
τd
τi τd = 0 ⇔ 4 + 3 3 + ⎛ 3 + K c τd ⎞ 2 + ⎛ 1 + K c ⎞ s + K c = 0
(P-4.4.5-3)
⎟
⎟s ⎜
s
s ⎜
8 ⎠
8 ⎠
8 τi
s (s + 1 )3
⎝
⎝
SLUČAJ (a): τi=3.03 min, τd=0.4 min
- Nule: z1=-2.11, z2=-0.39
- Centar gravitacije asimptota: γ=-0.25
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Približni dijagram položaja svih korena karakteristične
jednačine je dat na slici P-4.4.5-1. Dijagram ima četiri
grane, od kojih dve leže na realnoj osi, a dve su
konjugovano kompleksne za svaku vrednost pojačanja
regulatora. Za manje vrednosti pojačanja realni koren koji
pripada intervalu (-0.39,0) će biti dominantan, dok za
velika pojačanja kompleksni koreni postaju dominantni.
Ceo dijagram smešten sa leve strane imaginarne ose
(nema preseka grana sa Im osom). Kao posledicica toga,
ZRK je stabilno za svako pojačanje ovog PID regulatora.
Treba primetiti da je vrednost integralnog vremena u
ovom primeru identična sa onom u primeru 4.4-4(a), za
koji smo dobili da je sistem stabilan samo za Kc<43.9.
Očigledno je da dodavanje diferencijalnog dejstva
regulatoru povećava stabilnost sistema.
SLUČAJ (b): τi=0.8 min, τd=0.4 min
Nule otvorenog kola su u ovom slučaju kompleksne:
z1=-1.25+1.25j, z2=-1.25-1.25j;
Slika P-4.4.5-1. Dijagram položaja korena
karakteristične jednačine regulacionog
kola sa procesom trećeg reda i PID
regulatorom (τi=3.03, τd=0.4)
Približni dijagram položaja korena za ovaj slučaj
prikazan je na slici P-4.4.5-2. Za mala pojačanja
regulatora karakteristična jednačina ZRK ima 2 realna
korena koji polaze iz polova 0 i -1, i 2 konjugovanokompleksna korena koji polaze iz trostrukog pola -1, pri
čemu su dominantni realni koreni. Izmedju 0 i -1 nalazi
se tačka razdvajanja s=-0.29, kojoj odgovara Kc=0.84.
Za Kc>0.84 i dominantni koreni postaju konjugovanokompleksni. Grane koje odgovaraju dominantnim
korenima seku Im osu 2 puta i ovim presecima
odgovaraju sledeće vrednosti:
K u1 = 26.93, ω01 = 1.206
K u 2 = 95.07, ω01 = 2.05
Dijagram prikazan na slici P-4.4.5-2 pokazuje da je ZRK
sa ovim vrednostima integralnog i diferencijalnog
vremena:
- stabilan za Kc<26.93 ili Kc>95.07
- na granici stabilnosti za Kc=26.93 i Kc=95.07
- nestabilan za Kc0(26.93,95.07).
Poređenje ovih rezultata sa rezultatima dobijenim pod (a)
pokazuje da smanjenje integralnog vremena PID
regulatora utiče na smanjenje stabilnosti zatvorenog
regulacionog kola.
Slika P-4.4.5-2. Dijagram položaja korena
karakteristične jednačine regulacionog
kola sa procesom trećeg reda i PID
regulatorom (τi=0.8, τd=0.4)
Ovo zatvoreno regulaciono kolo je primer sistema sa
uslovnom stabilnošću, kod kojih se pri povećanju pojačanja regulatora više puta menja stabilnost
sistema. Ovakvo ponašanje može da se javi kod sistema koji pored polova, imaju i nule otvorenog kola.
SLUČAJ (c) - τi=0.8 min, τd=0.2 min
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Nule otvorenog kola su za ovaj slučaj: z1=z2=-2. Približni
dijagram položaja korena prikazan je na slici P-4.4.5-3. Za
mala pojačanja regulatora ZRK opet ima jedan par realnih
i jedan par kompleksnih korena, pri čemu su realni koreni
dominantni. Tačka s=-0.63, kojoj odgovara Kc=0.365, je
tačka razdvajanja, posle koje dominantni koreni postaju
takodje konjugovano-kompleksni. Dominantne grane seku
Im osu jednom, i tom preseku odgovara:
K u = 14.61, ω0 = 0.97 Na osnovu slike i ovih rezultata
možemo zaključiti da je zatvoreno regulaciono kolo:
- stabilno za Kc<14.61
- nestabilno za Kc>14.61.
Poređenjem ovih rezultata sa onim dobijenim u ovom
primeru pod (b) može se lako zaključiti da se stabilnost
zatvorenog kola sa PID regulatorom povećava sa
povećanjem diferencijalnog vremena τd.
Slika P-4.4.5-3. Dijagram položaja korena
karakteristične jednačine regulacionog
kola sa procesom trećeg reda i PID
regulatorom (τi=0.8, τd=0.2)
DISKUSIJA:
Na osnovu rezultata dobijenih u primerima 4.4-3. do 4.4-5. koji se svi odnose na zatvoreno regulaciono
kolo za regulaciju sistema trećeg reda koji je stabilan u otvorenom kolu, napravljen je pregled koji je dat u
Tabeli P-4.4.
Tabela P-4.4. Pregled uticaja tipa i parametara regulatora na stabilnost yatvorenog regulacionog kola
Tip regulatora
Oblast stabilnosti
τi i τd
Ku
ω0
P
64
1.73
Kc<64
43.9
1.47
PI
τi=3.03
Kc<43.9
11.3
0.897
Kc<11.3
τi=0.8
PID
τi=3.03, τd=0.4
œ Kc
26.93, 95.07
1.206, 2.05
τi=0.8, τd=0.4
Kc<26.96, Kc>95.07
14.61
0.97
τi=0.8, τd=0.2
Kc<14.61
Na osnovu ovog pregleda i dijagrama prikayanih u primerima 4.4-3 do 4.4-5, mogu se izvesti sledeći
zaključci:
1. Zatvoreno regulaciono kolo sa P regulatorom (primer 4.4-3.) je sistem trećeg reda i stabilno je
za pojačanja regulatora manja od vrednosti krajnjeg pojačanja (u našem slučaju 64) i nestabilno za veće
vrednosti pojačanja regulatora.
2. Dodavanjem integralne akcije (primer 4.4-3.), sistemu se dodaje jedan pol u koordinatnom
početku i jedna nula, što rezultuje povećanjem reda sistema (a time i broja grana u dijagramu položaja
korena). Sistem je opet stabilan za pojačanja manja od krajnjeg pojačanja, a nestabilan za Kc veće od
Ku. Vrednost krajnjeg pojačanja se smanjuje u odnosu na sistem sa P regulacijom, što znači da se
stabilnost zatvorenog kola smanjuje sa dodatkom integralne akcije. Poređenjem rezultata dobijenih za
dve vrednosti integralnog vremena, vidi se da se stabilnost regulacionog kola smanjuje sa smanjenjem
vrednosti integralnog vremena (smanjuje se vrednost krajnjeg pojačanja). Takođe treba primetiti da se sa
smanjenjem τi smanjuje i vrednost krajnje frekvencije.
3. Dodatak diferencijalne akcije (primer 4.4-5.) rezultuje dodavanjem još jedne nule sistemu. Pri
tome se povećava stabilnost zatvorenog kola. U primeru 4.4-5. su analizirana tri slučaja: jedan pri kome
se dobija apsolutno stabilan sistem (nema preseka sa Im-osom), drugi pri kome se javlja sistem sa
uslovnom stabilnošću (kompleksne grane seku Im-osu po dva puta, pri čemu sistem prvo prelazi iz
stabilne u nestabilu oblast, a zatim ponovo prelazi u stabilnu oblast), i treći u kome se javlja po jedan
presek kompleksnih grana sa Im-osom, pri čemu sistem iz stabilne prelazi u nestabilnu oblast. U prva
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
dva slučaja, asimptote se nalaze u stabilnoj oblasti, dok se u trećem slučaju nalaze u nestabilnoj oblasti.
Treba primetiti da se kod PID regulatora vrednost krajnjeg pojačanja povećava sa povećanjem vrednosti
integralnog vremena τi i diferencijalnog vremena τd.
Na osnovu čitave ove analize, moguće je izvesti i generalne zaključke o uticaju tipa i parametara
regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola:
GENERALNI ZAKLJUČCI:
1. Dodavanjem integralne akcije smanjuje se stabilnost zatvorenog regulacionog kola.
2. Dodavanjem diferencijalne akcije povećava se stabilnost zatvorenog regulacionog kola.
3. Smanjenjem integralnog vremena PI ili PID regulatora, smanjuje se stabilnost zatvorenog
regulacionog kola.
4. Povećanjem diferencijalnog vremena, povećava se stabilnost zatvorenog regulacionog kola.
U svim prethodnim primerima posmatrali smo sistem koji je stabilan u otvorenom kolu i analizirali smo
korene karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola za vrednosti pojačanja regulatora od 0 do
4 i uslove da zatvoreno regulaciono kolo bude stabilno. Ova analiza se najčešće koristi za pravilan izbor
pojačanja regulatora. Ovo je najčešći slučaj koji se javlja u realnim sistemima. Međutim, neki od sistema
kojima treba upravljati su sami po sebi nestabilni i analiza stabilnosti zatvorenog regulacionog kola treba
da nam da odgovor na pitanje kako odabrati regulator tako da ovaj sistem postane stabilan. Zato ćemo u
sledećem poglavlju, metodom geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine izvršiti analizu
nekoliko jednostavnih sistema koji sadrže nestabilni element u otvorenom kolu.
4.4.4.3. Analiza stabilnosti zatvorenog regulacionog kola koje sadrži nestabilni element
Stabilizacija nestabilnog procesa je jednan od najtežih i najinteresantnijih problema vezanih za
automatsko upravljanje procesima. Jedan od tipičnih potencijalno nestabilnih procesa koji se javljaju u
hemijskoj industriji je neizotermni reaktor.
Analizu sistema uglavnom vršimo na osnovu njihovih linearizovanih dinamičkih modela. Sistem će biti
nestabilan u otvorenom kolu ako ima bar jedan pol koji ima pozitivan realni deo. Analizu ovakvih sistema
ćemo ilustrovati na najjednostavnijim primerima procesa prvog, drugog i trećeg reda sa P regulatorom.
PRIMER 4.4-6. Analiza stabilnosti zatvorenog
regulacionog kola sa nestabilnim procesom
prvog reda i P regulatorom
Najjednostavniji slučaj zatvorenog regulacionog
kola sa nestabilnim procesom je prikazan na slici
P-4.4.6-1. Prenosna funkcija otvorenog kola
ovog sistema je:
G(s) = K c
Kp
τp s - 1
(P-4.4.6-1)
Slika P-4.4.6-1. Zatvoreno regulaciono kolo sa
nestabilnim procesom prvog reda i P regulatorom
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Ovo je, naravno sistem prvog reda, sa jednim pozitivnim polom:
p1 =
1
(P-4.4.6-2)
τp
i bez nula. Karakteristična jednačina zatvorenog regulacionog
kola je jednačina prvog stepena:
1+ Kc
Kp
= 0 ⇔ τp s - 1+ K c K p = 0
τp s - 1
(P-4.4.6-3)
čiji je koren funkcija pojačanja regulatora:
s=
1 - Kc K p
τp
(P-4.4.6-4)
Ovaj koren karakteristične jednačine je uvek realan i biće
negativan (što odgovara stabilnom zatvorenom regulacionom
kolu) ako je ispunjen uslov:
Kc >
1
Slika P-4.4.6-2. Dijagram položaja
korena
karakteristične
jednačine
zatvorenog regulacionog kola sa
nestabilnim procesom prvog reda i P
regulatorom
(P-4.4.6-5)
Kp
Dijagram položaja korena karakteristične jednačine ovog zatvorenog kola je vrlo jednostavan (sastoji se
samo od jedne grane) i prikazan je na slici P-4.4.6-2. U ovom slučaju imamo sistem koji je nestabilan u
otvorenom kolu, ali se izborom dovoljno velike vrednosti pojačanja regulatora (veće od krajnjeg
pojačanja Ku=1/Kp) može dobiti stabilno zatvoreno regulaciono kolo.
PRIMER 4.4-8. Analiza stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa nestabilnim procesom trećeg reda sa
jednim pozitivnim polom i P regulatorom
U ovom slučaju posmatramo zatvoreno regulaciono kolo sa negativnom povratnom spregom i P
regulatorom u kome je proces sistem trećeg reda koji ima jedan pozitivan pol:
G p (s) =
Kp
( τ p1 s + 1) ( τ p 2 s + 1) ( τ p 3 s - 1)
(P-4.4.8-1)
Prenosna funkcija otvorenog kola je:
G(s) =
Kc K p
( τ p1 s + 1) ( τ p 2 s + 1) ( τ p 3 s - 1)
(P-4.4.8-2)
a karakteristična jednačina zatvorenog kola:
1+
Kc K p
=0
( τ p1 s + 1) ( τ p 2 s + 1) ( τ p 3 s - 1)
(P-4.4.8-3)
Ova jednačina se može prikazati u obliku:
3
2
τ p1 τ p 2 τ p 3 s + ( τ p1 τ p 2 + τ p 2 τ p 3 - τ p1 τ p 2 ) s + ( τ p 3 - τ p 2 - τ p1 ) s - 1 + K c K p = 0 (P-4.4.8-4)
Preseci grana sa Im-osom se dobijaju rešavanjem sistema jednačina koji se dobija zamenom s sa jω u
karakterističnoj jednačini (P-4.4.8-4):
Analiza ovog problema pokazuje da će postojati 2 slučaja:
(a) kada je τp3>τp1+τp2
(b) kada je τp3<τp1+τp2
Dijagrami položaja korena za ova 2 slučaja su prikazani na slici P-4.4.8.
- Slučaj (a): Postoje 2 preseka grana sa Im osom:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
- za K u1 =
1
i
Kp
τ p1 τ p 2 τ p 3 + ( τ p 3 - τ p1 - τ p 2 ) ( τ p1 τ p 3 + τ p 2 τ p 3 - τ p1 τ p 2 )
K p τ p1 τ p 2 τ p 3
Sistem je stabilan za K u1 < K c < K u 2 , a nestabilan za K c < K u1 i
K u 2 =<
Kc > Ku2 .
- Slučaj (b): Sistem je nestabilan za svaku vrednost pojačanja regulatora. Pri tome, za Kc<1/Kp
sistem ima jedan pozitivan koren karakteristične jednačine, dok se za Kc>1/Kp dva korena karakteristične
jednačine nalaze u desnoj poluravni.
Slika P-4.4.8. Dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog
regulacionog kola sa nestabilnim procesom trećeg reda i P regulatorom
ZAKLJUČAK: U prethodna dva primera smo pokazali da se sistem koji je u otvorenom kolu nestabilan, u
slučaju sistema prvog reda i nekim slučajevima višeg reda, može prevesti u stabilan sistem sintezom
zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom i P regulatorom. Ono što je za ove
sisteme karakteristično je, da ukoliko je moguće ostvariti stabilan sistem, onda se on dobija za vrednosti
pojačanja regulatora koje su veće od nekog krajnjeg pojačanja.
Prethodni primeri su imali za svrhu da ilustruju korišćenje metode dijagrama položaja korena
karakteristične jednačine za analizu ponašanja zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom
spregom, sa posebnim naglaskom na analizi stabilnosti kola. Pored toga, dijagram položaja korena
karakteristične jednačine se može koristiti i za sintezu zatvorenog kola, odnosno za pravilan izbor
pojačanja regulatora, tako da se dobiju definisani dominantni koreni karakteristične jednačine, a time i
definisani odziv sistema (odziv sa željeni vremenskim konstantama i koeficijentom prigušenja). Iako
dosta složena, ova metoda predstavlja vrlo efikasno sredstvo za analizu i sintezu sistema upravljanja.
Jedan od značajnih nedostataka ove metode je što ne može da se primeni na sisteme koji imaju mrtvo
vreme, jer se crtanje dijagrama položaja korena zasniva na prenosnoj funkciji otvorenog kola definisanoj
preko polova i nula. Prenosna funkcija elementa sa mrtvim vremenom e-Ds je periodična funkcija i ima
beskonačno mnogo korena, tako da je nemoguće prikazati sve njene korene u s-ravni. Jedan od
postupaka koji se koriste je Padeova aproksimacija prenosne funkcije čistog kašnjenja odnosom dva
polinoma po s, koja je opisana u poglavlju 2.3.5.2.
Međutim, mnogo češće se za analizu i sintezu sistema automatskog upravljanja koji sadrže čisto
kašnjenje koriste metode koje se zasnivaju na poznavanju frekventnih karakteristika sistema. U
sledećem poglavlju će biti prikazane dve najčešće korišćene metode analize stabilnosti zatvorenog
regulacionog kola u frekventnom domenu: Bodeov i Nikvistov kriterijum stabilnosti.
4.4.5. Bodeov kriterijum stabilnosti zatvorenog regulacionog kola
Frekventne karakteristike sistema koje smo definisali u poglavlju 2.8. predstavljaju vrlo jednostavno i
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
često korišćeno sredstvo za analizu i sintezu zatvorenog regulacionog kola. Jedna od najjednostavnijih i
najčešće primenjivanih metoda za ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola je Bodeov
kriterijum stabilnosti koji se zasniva na poznavanju frekventnih karakteristika koje odgovaraju prenosnoj
funkciji otvorenog kola, koje ćemo ubuduće nazivati frekventne karakteristike otvorenog kola.
Bodeov kriterijum stabilnosti se može izvesti na osnovu jednostavnog misaonog eksperimenta: Posmatra
se regulaciono kolo sa negativnom povratnom spregom, koje je "otvoreno" na mestu ulaska signala iz
mernog elementa u detektor greške i u koje se uvodi sinusna promena postavne tačke sa jediničnom
amplitudom: x=sin(ωt). Ako su svi elementi u kolu stabilni i linearni, posle dovoljno dugog vremena se
dostiže kvazistacionarno stanje pri kome promena izmerene vrednosti na izlazu iz mernog elementa ima
oblik ym=ARsin(ωt+φ). Prema definiciji frekventnih karakteristika, AR i φ su vrednosti amplitudne i fazne
karakteristike otvorenog kola za datu frekvenciju ω. Frekvencija ulazne sinusna promene se menja dok
se pri jednoj frekvenciji ω0 ne dobije izlaz iz mernog elementa koji je u protivfazi sa ulaznim signalom:
ym=-AR0sin(ω0t) (slika 4.4-4(a)). Ova frekvencija, kojoj odgovara fazna karakteristika otvorenog kola φ0=π je naziva kritična frekvencija, koja se često naziva i krajnja ili presečna frekvencija i najčešće se
označava sa ω0 ili ωu.
U jednom trenutku se istovremeno zatvara regulaciono kolo na mestu prekida i promena postavne tačke
se svodi na nulu (slika 4.4.4(b)). Pošto se signal iz mernog elementa uvodi sa negativnim znakom,
regulaciono kolo će i dalje oscilovati kao pre ovog trenutka. Pri tome, ako je amplituda signala iz mernog
elementa koja odgovara kritičnoj frekvenciji u otvorenom kolu AR0<1, amplituda ovih oscilacija će se
smanjivati i posle nekog vremena će doći do smirivanja sistema. U ovom slučaju je zatvoreno
regulaciono kolo stabilno. Ukoliko je amplituda koja odgovara kritičnoj frekvenciji AR0>1, amplituda
oscilovanja zatvorenog kola će se povećavati sa vremenom i težiće beskonačnosti kada t64, tako da će
zatvoreno regulaciono kolo biti nestabilno. Ukoliko je amplituda izlaznog signala iz mernog elementa koja
odgovara kritičnoj frekvenciji u otvorenom kolu AR0=1, zatvoreno kolo će nastaviti da osciluje sa istom
amplitudom
i
biće
na
granici
stabilnosti.
Slika 4.4-4. (a) Otvoreno kolo sa sinusnom promenom postavne
tačke, pri kritičnoj frekvenciji; (b) Odgovarajuće zatvoreno kolo
sa produženim oscilacijama
Na osnovu ovoga se definiše Bodeov kriterijum stabilnosti koji glasi: Zatvoreno regulaciono kolo sa
negativnom povratnom spregom će biti stabilno ako je vrednost amplitudne karakteristike otvorenog kola
koja odgovara kritičnoj frekvenciji manja od jedan, biće nestabilno ako je ova vrednost veća od jedan, i
biće na granici stabilnosti ukoliko je jednaka jedan.
Značenje Bodeovog kriterijuma stabilnosti postaje jasnije kada se frekventne karakteristike otvorenog
kola prikažu u Bodeovim dijagramima. Na slici 4.4-5. su prikazani Bodeovi dijagrami za tri sistema: jedan
stabilan, jedan na granici stabilnosti i jedan nestabilan. Zbog jednostavnosti su prikazani Bodeovi
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
dijagrami za tri sistema čije su fazne karakteristike identične, a amplitudne karakteritike su
proporcionalne.
Grafički prikaz Bodeovog kriterijuma u kompleksnoj G(jω)
ravni, odnosno korišćenjem Nikvistovog dijagrama, dat je
na slici 4.4-6. U ovom dijagramu, karakteristična tačka je
presek Nikvistove krive otvorenog kola sa negativnim
delom Re-ose, jer je to tačka tačka koja odgovara kritičnoj
frekvenciji, odnosno za koju je fazna karakteristika
otvorenog kola jednaka -π. Ukoliko Nikvistova kriva
otvorenog kola seče negativni deo Re-ose desno od tačke
(-1,0) zatvoreno regulaciono kolo je stabilno, ukoliko je
seče u tački (-1,0), zatvoreno kolo je na granici stabilnosti,
a ukoliko je seče levo od tačke (-1,0) zatvoreno
regulaciono kolo je nestabilno. Vrednost amplitudne
karakteristike otvorenog kola koja odgovara kritičnoj
frekvenciji je jednaka dužini odsečka koji hodograf vektora
G(jω) otvorenog kola odseca na negativnom delu Re-ose.
Ova dužina odsečka je u prvom slučaju manja od jedan, u
drugom je jednaka jedan, a u trećem veća od jedan.
Grafički prikaz značenja Bodeovog kriteriju-ma stabilnosti
u Nikolsovom dijagramu, dat je na slici 4.4-7.
Slika
4.4-5.
Ilustracija
kriterijuma
stabilnosti
u
dijagramima
Bodeovog
Bodeovim
Primena Bodeovog kriterijuma stabilnosti je izuzetno
jednostavna. Za ispitivanje stabilnosti zatvorenog
regulacionog kola ovom metodom, potrebno je samo poznavanje amplitudne i fazne karakteristike
otvorenog kola. Ukoliko su poznate frekventne karakteristike svih elemenata zatvorenog regulacionog
kola, amplitudna karakteristika otvorenog kola se dobija jednostavno, kao proizvod amplitudnih
karakteristika pojedninih elemenata, dok se fazna karakteristika otvorenog dobija kao zbir pojedinih
faznih karakteristika:
AR( ω ) = AR c ( ω ) AR v ( ω ) AR p ( ω ) AR m ( ω )
φ( ω ) = φc ( ω ) + φv ( ω ) + φ p ( ω ) + φm ( ω )
(4.4-24)
(indeks c se odnosi na regulator, v na izvršni element, p na proces i m na mer-ni element.) Pri ovome se
mogu koristiti teorijski dobijene frekventne karakte-ristike (izvedene na osnovu poznatih prenosnih
funkcija eleme-nata kola) ili frekventne karakte-ristike dobijene eksperimentalno.
Slika 4.4-6. Ilustracija Bodeovog kriterijuma
stabilnosti u Nikvistovom dijagramu
Slika
4.4-7.
Ilustracija
kriterijuma stabilnosti u
dijagramu
Bodeovog
Nikolsovom
Na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti, moguće je vrlo jednos-tavno određivanje krajnjeg pojačanja
i kritične frekvencije sistema. Da se podsetimo, krajnje pojačanje je pojačanje regulatora pri kome je
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
zatvoreno regulaciono kolo na granici stabilnosti, dok je kritična frekvencija ona frekvencija sa kojom
takvo kolo osciluje sa konstantnom amplitudom. Korišćenjem logike Bodeovog kriterijuma stabilnosti, ove
vrednosti se mogu odrediti na osnovu frekventnih karakteristika otvorenog kola. Tako se kritična
frekvencija dobija kao frekvencija pri kojoj je fazna karakteristika otvorenog kola jednaka -π (slika 4.4-5):
φ( ω0 ) = - π
(4.4-25)
ili kao frekvencija pri kojoj je imaginarni deo frekventne prenosne funkcije jednak nuli (slika 4.4-6.):
Im (G(j ω0)) = 0
(4.4-26)
Krajnje pojačanje se dobija kao recipročna vrednost amplitudne karakteristike otvore-nog kola koje
odgovara kritičnoj frekvenciji i jediničnom pojačanju regulatora:
Ku =
1
AR( ω0 )|K c=1
=
1
| G(jω ) |arg(G(j ω))= _π, Kc=1
(4.4-27)
Ograničenja Bodeovog kriterijuma stabilnosti. Za razliku od metoda ispitivanja stabilnosti u
Laplasovom domenu, Bodeov kriterijum stabilnosti se može jednostavno primeniti na ispitivanje
stabilnosti zatvorenog regulacionog kola koje sadrži element sa mrtvim vremenom. Međutim, zbog
načina na koji se definiše, nameću se neka ograničenja korišćenja Bodeovog kriterijuma stabilnosti.
Jedna od pretpostavki koja je korišćena pri izvođenju ovog kriterijuma je da je otvoreno kolo stabilno.
Zbog toga se Bodeov kriterijum stabilnosti ne može koristiti za ispitivanje stabilnosti sistema koji sadrže
elemente koji su nestabilni u otvorenom kolu (sistema koji imaju polove otvorenog kola u desnoj
poluravni). Druga pretpostavka koja nije eksplicitno navedena, ali se podrazumeva pri definisanju
Bodeovog kriterijuma stabilnosti je da su amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola monotono
opadajuće funkcije frekvencije, odnosno da nemaju maksimume i minimume. Kod sistema koji ne
zadovoljavaju ovaj uslov može da se javi više preseka krive fazne karakteristike sa pravom φ=-π,
odnosno više kritičnih frekvencija. Bodeov kriterijum stabilnosti ne daje odgovor na pitanje u kojim
slučajevima je takav sistem stabilan, a u kojim ne, pa se ne može primeniti na ispitivanje stabilnosti
ovakvih sistema.
4.4.5.1. Analiza uticaja reda sistema i prisustva elementa sa mrtvim vremenom na stabilnost zatvorenog
regulacionog kola, na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti
U poglavlju 4.3.2.1. smo pokazali da zatvoreno regulaciono kolo koje sadrži proces prvog reda i P
regulator, predstavlja takođe sistem prvog reda, sa parametrima koji zavise od pojačanja regulatora.
Fazna karakteristika sistema prvog reda ima vrednosti od 0 (kada ω60) do -π/2 (kada ω64), i ni za jednu
vrenost frekvencije ne može da dostigne vrednost -π. Zbog toga je ovakvo zatvoreno regulaciono kolo,
na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti, stabilno za svako pojačanje P regulatora.
Na sličan način se može pokazati da je zatvoreno regulaciono kolo koje predstavlja sistem drugog reda
stabilno za svaku vrednost pojačanja regulatora, jer njegova fazna karakteristika uzima vrednosti između
nule (za ω60) i -π (za ω64), ali ni za jednu realnu vrednost frekvencije ne dostiže -π. Tako ni u ovom
slučaju nije moguće definisati kritičnu frekvenciju i sistem je stabilan za svaku vrednost Kc.
Ukoliko zatvoreno regulaciono kolo predstavlja sistem trećeg ili višeg reda, ono u principu može da
postane nestabilno pri nekim vrednostima pojačanja regulatora.
Kao što smo naveli, za razliku od metoda za ispitivanje stabilnosti sistema u Laplasovom domenu,
Bodeov kriterijum stabilnosti se može vrlo jednostavno primeniti na sisteme koji sadrže mrtvo vreme.
Takođe, mogu se vrlo jednostavno izvesti zaključci o uticaju mrtvog vremena na stabilnost zatvorenog
regulacionog kola, na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti. Element sa mrtvim vremenom ima
frekventnu karakteristiku koja je specifična: amplitudna karakteristika je jednaka jedan za sve vrednosti
frekvencije, a fazna karakteristika je negativna i uzima vrednosti od 0 (kada ω60) do -4 (kada ω64). Pri
tome se brzina opadanja fazne karakteristike u Bodeovom dijagramu povećava sa povećanjem vrednosti
čistog kašnjenja. Zbog ovakvih karakteristika, prisustvo elementa sa mrtvim vremenom u zatvorenom
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
regulacionom kolu ne utiče na promenu amplitudne karakteristike, ali bitno "obara" krivu fazne
karakteristike otvorenog kola, smanjujući na taj način vrednost kritične frekvencije i stabilnost zatvorenog
kola. Za zatvoreno regulaciono kolo koje sadrži element sa mrtvim vremenom uvek postoji oblast
pojačanja regulatora za koju je zatvoreno regulaciono kolo nestabilno.
Primenu Bodeovog kriterijuma stabilnosti ćemo najpre ilustrovati na primeru sistema sa mrtvim
vremenom.
PRIMER 4.4-9. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom prvog reda sa čistim
kašnjenjem i P regulatorom, korišćenjem Bodeovog kriterijuma stabilnosti
Primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti, odrediti za koje vrednosti pojačanja P regulatora će
zatvoreno regulaciono kolo sa negativnom povratnom spregom koje sadrži proces prvog reda sa mrtvim
vremenom:
-0.1 s
G p (s) =
e
s +1
biti stabilno. Usvojiti da se dinamičke karakteristike mernog i izvršnog elementa mogu zanemariti.
REŠENJE:
Prenosna funkcija otvorenog kola za zatvoreno regulaciono kolo sa datim procesom i P regulatorom je:
-0.1 s
G(s) = G c (s) G p (s) = K c
e
s +1
Da bi se primenio Bodeov kriterijum stabilnosti, potrebno je
definisati amlitudnu i faznu karakteristiku otvorenog kola, što
se najjednostavnije može učiniti na sledeći način:
AR
10
1
10
0
-1
10
0.0612
AR( ω ) = ARc ( ω ) AR p ( ω ) = K c
1
1 + ω2
φ( ω ) = φc ( ω ) + φ p ( ω ) = - arctan( ω ) - 0.1 ω
Bodeovi dijagrami koji predstavljaju ove frekventne
karakteristike, za Kc=1, su prikazani na slici P-4.4-9.
Vrednost kritične frekvencije i amplitudne karakteristike koja
joj odgovara se može približno odrediti na osnovu dijagrama
(slika P-4.4-9). Vrednost kritične frekvencije se može odrediti
i numeričkim rešavanjem jednačine:
φ( ω0 ) = - arctan( ω0 ) - 0.1 ω0 = - π
kojim se dobija:
-3
10
0,01
/2
π1,57
1 + ω02
1
10
100
0,1
1
1016.32 100
0,00
0
-1,57
-3,14
-π
-4,71
0,01
ω
Amplitudna karakteristika otvorenog kola koja odgovara ovoj
frekvenciji je:
1
0,1
φ(rad)
-2
-6,28
π
ω0 = 16.32 rad/ min
AR( ω0 ) = K c
-2
10
= 0.0612 K c
Slika P-4.4-9. Bodeovi dijagrami
otvorenog kola za sistem sa
procesom prvog reda sa čistim
kašnjenjem i P regulatorom, za Kc=1
Pojačanje regulatora pri kome je ova vrednost jednaka jedinici, odnosno, pri kome je sistem na granici
stabilnosti je krajnje pojačanje, i u ovom slučaju iznosi:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Ku =
1
AR( ω0 ) K
= 16.35
c =1
Zatvoreno regulaciono kolo definisano ovim zadatkom će biti:
- stabilno za Kc<16.35
- nestabilno za Kc>16.35.
4.4.5.2. Analiza uticaja tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola na
osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti
Regulator predstavlja jedan od elemenata regulacionog kola, tako da prenosna funkcija otvorenog kola,
pa time i stabilnost zatvorenog regulacionog kola zavise od parametara regulatora. Pri tome je
najjedostavnije ispitati uticaj pojačanja regulatora na stabilnost sistema. Prenosna funkcija otvorenog
kola se može prikazati kao:
G(s) = K c G′(s)
Poznato je da se pri množenju prenosne funkcije sa konstantom menja samo odgovarajuća amplitudna
karakteristika, dok fazna karakteristika ostaje nepromenjena. Na isti način možemo da zaključimo da se
pri promeni pojačanja regulatora fazna karakteristika otvorenog kola ne menja (a time ni vrednost kritične
frekvencije), dok se ampitudna karakteristika menja proporcionalno pojačanju. Pretpostavimo da najpre
definišemo sistem koji odgovara pojačanju regulatora Kc=1, i da je amplitudna karakteristika za vrednost
kritične frekvencije u ovom slučaju AR(ω0)=AR0<1. Ovaj sistem će na osnovu Bodeovog kriterijuma biti
stabilan (slučaj 1 na slici 4.4-5.). Kada povećavamo pojačanje regulatora, proporcionalno će se
povećavati i amplitudna karakteristika, što će se u Bodeovom dijagramu ogledati kao translatorno
pomeranje krive amplitudne karakteristike naviše. Za vrednost pojačanja Kc=1/AR0, amplitudna
karakteristika za kritičnu frekvenciju će biti jednaka jedan i zatvoreno regulaciono kolo će biti na granici
stabilnosti (slučaj 2 na slici 4.4-5.), da bi sa daljim povećanjem pojačanja regulatora ova vrednost postala
veća od jedan i sistem postao nestabilan (slučaj 3 na slici 4.4-5). Vrednost pojačanja regulatora pri kojoj
je zatvoreno regulaciono kolo na granici stabilnosti je krajnje pojačanje Ku. Za sisteme na koje se može
primeniti Bodeov kriterijum stabilnosti važi da je zatvoreno regulaciono kolo stabilno za Kc<Ku i nestabilno
za Kc>Ku.
Uticaj integralnog i diferencijalnog vremena regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola,
posmatrano sa aspekta frekventnih karakteristika, nije tako jednostavno ispitati, jer promena ovih
parametara utiče na promenu i amplitudne i fazne karakteristike. Ipak, jednostavnim spekulacijama se
mogu izvesti neki generalni zaključci:
Proporcionalno-integralni (PI) regulator ima faznu karakteristiku koja je uvek negativna i kreće se u
opsegu (-π/2,0). Zbog toga prisustvo PI regulatora povećava faznu karakteristiku po apsolutnoj vrednosti,
odnosno "obara" krivu fazne karakteristike, što utiče na smanjenje vrednosti kritične frekvencije. Pošto je,
u principu, kriva amplitudne karakteristike opadajuća, ovo će uticati na smanjenje stabilnosti sistema.
Istovremeno, dodavanje integralne akcije povećava amplitudnu karakteristiku, što takođe utiče na
smanjenje stabilnosti zatvorenog kola. Sa smanjenjem vrednosti integralnog vremena, krive amplitudne i
fazne karakteristike PI regulatora se pomeraju udesno, što utiče na smanjenje vrednosti kritične
frekvencije, a time i na smanjenje stabilnosti sistema.
Dodavanjem diferencijalne akcije (u okviru PD ili PID regulatora), dodaje se član koji ima pozitivnu faznu
karakteristiku (u opsegu (0,π/2)). Kao rezultat ovoga, ukupna fazna karakteristika se povećava, a njena
apsolutna vrednost smanjuje, što se u Bodeovom dijagramu očituje kao "podizanje" krive fazne
karakteristike. Zbog toga fazna karakteristika dostiže vrednost -π pri višim frekvencijama, što rezultuje
povećanjem stabilnosti zatvorenog regulacionog kola. Ovo povećanje stabilnosti je utoliko veće ukoliko je
kriva fazne karakteristike regulatora pomerena više ulevo, što odgovara većim vrednostima
diferencijalnog vremena.
Treba primetiti da su ovi zaključci identični sa onim koje smo izveli u poglavlju 4.4.4., na osnovu analize
stabilnosi zatvorenog regulacionog kola korišćenjem dijagrama položaja korena.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Ispitivanje uticaja tipa i parametara regulatora ćemo ilustrovati na istom primeru koji smo koristili za
ilustraciju metode geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine (kaskada od tri identična
izotermna reaktora sa idealnim mešanjem kao proces koji treba regulisati pomoću P, PI i PID regulatora).
PRIMER 4.4-10. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog
kola sa procesom trećeg reda i P regulatorom, korišćenjem
Bodeovog kriterijuma stabilnosti
0
AR
Primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti, odrediti za koje
vrednosti pojačanja P regulatora će zatvoreno regulaciono kolo
sa procesom trećeg redačija je prenosna funkcija:
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
0.0156
1/8
G p (s) =
(s + 1 )3
0,1
0
biti stabilno. (Uticaj dinamike mernog i izvršnog elementa se
može zanemariti.)
1
10
1 1.73
10
o
φ( )
-90
REŠENJE:
Prenosna funkcija otvorenog kola koje sadrži dati proces i P
regulator je:
G(s) = K c
10
1/8
(s + 1 )3
-180
-270
0,1
ω(rad/min)
3
⎛
1 ⎞
1/8 K c
⎟ =
AR( ω ) = ARc ( ω ) AR p ( ω ) = 1/8 K c ⎜⎜
3/2
2 ⎟
1
+
ω ⎠ (1 + ω2 )
⎝
φ( ω ) = φc ( ω ) + φ p ( ω ) = - 3 arctan( ω )
Slika
P-4.4.10.
Bodeovi
dijagrami
otvorenog kola za sistem sa procesom
trećeg reda i P regulatorom, za Kc=1
a odgovarajuća amplitudna i fazna karakteristika:
Bodeovi dijagrami na kojima su prikazane ove karakteristike, za
Kc=1 su dati na slici P-4.4.10. Približne vrednosti kritične
frekvencije i amplitudne karakteristike koja joj odgovara se mogu odrediti sa dijagrama, kako je
prikazano. Tačne vrednosti se mogu dobiti numeričkim rešavanjem sledeće nelinearne jednačine:
φ( ω ) = - 3 arctan( ω ) = - π
odakle je:
ω0 = 3 = 1.73
Vrednost amplitudne karakteristike koja odgovara ovoj frekvenciji je:
AR0 = AR( ω0 ) =
1
Kc
= 0.015625 K c
8 (1 + 1.732 )3/2
odakle se dobija vrednost krajnjeg pojačanja regulatora:
Ku =
1
= 64
0.015625
Zatvoreno regulaciono kolo definisano u ovom zadatku će, na osnovu Bodeovog kriterijuma, biti:
- stabilno za Kc<64
- nestabilno za Kc>64.
Treba primetiti da su vrednosti kritične frekvencije i krajnjeg pojačanja dobijene u ovom primeru,
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
identične sa onima dobijenim u primeru 4.4-3. u kome je isti problem rešen metodom geometrijskog
mesta korena karakteristične jednačine.
PRIMER 4.4-11. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i PI
regulatorom, korišćenjem Bodeovog kriterijuma stabilnosti
Primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti, odrediti za koje vrednosti pojačanja PI regulatora će
zatvoreno regulaciono kolo definisano u prethodnom primeru biti stabilno ako se umesto P upotrebi PI
regulator.
(a) za slučaj τi=3.03 min;
(b) za slučaj τi=0.8 min.
REŠENJE:
Prenosna funkcija otvorenog kola sa PI regulatorom:
1 ⎞ 1/8
⎛
G(s) = G c (s) G p (s) = K c ⎜ 1 +
⎟
3
τi s ⎠ (s + 1 )
⎝
Amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola:
1
1/8
2 3/2
τ ω (1 + ω )
AR( ω ) = K c 1 +
2
i
2
⎛ 1 ⎞
φ( ω ) = - 3 arctan( ω ) - arctan ⎜
⎟
⎝ τi ω ⎠
Za konkretne vrednosti integralnog vremena dobijaju se sledeći izrazi:
Za slučaj (a) - τi=3.03 min:
AR( ω ) = K c 1 +
0.109
ω
2
1/8
(1 + ω2 )3/2
⎛ 0.33 ⎞
φ( ω ) = - 3 arctan( ω ) - arctan ⎜
⎟
⎝ ω ⎠
Za slučaj (b) - τi=0.8 min:
AR( ω ) = K c 1 +
1.5625
ω
2
1/8
(1 + ω2 )3/2
⎛ 1.25 ⎞
φ( ω ) = - 3 arctan( ω ) - arctan ⎜
⎟
⎝ ω ⎠
Bodeovi dijagrami na kojima su prikazne ove frekventne karakteristike, za Kc=1, dati su na slici P4.4.11. Na slici su isprekidanim linijama prikazane amplitudna i fazna karakteristika samog procesa
(označene sa P). Približne vrednosti kritičnih frekvencija i amplitudnih karakteristika koje im odgovaraju
se mogu dobiti grafički sa dijagrama, kako je pokazano. Tačne vrednosti kritičnih frekvencija se mogu
odrediti
rešavanjem
jednačine:
φ( ) = - π
ω0
koja se može rešiti samo numerički. Ovo rešenje će biti:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Za slučaj (a): τi=3.03 min:
ω0 = 1.47
Vrednost amplitudne karakteristike koja odgovara ovoj
frekvenciji se dobija zamenom ove vrednosti u izraz za
amplitudnu karakteristiku:
AR 10
1
10
0
-1
10
-2
10
-3
10
Odakle se dobija vrednost krajnjeg pojačanja:
Na osnovu ovoga možemo izvući sledeći zaključak: posmatrano
zatvoreno regulaciono kolo sa PI regulatorom će za slučaj
τi=3.03 min biti:
- stabilno za Kc<43.48
- nestabilno za Kc>43.48.
Za slučaj (b) -τi=0.8 min:
ω0 = 0.897
Odgovarajuća vrednost amplitudne karakteristike je:
AR 0 = AR( ω0 ) = 0.088 K c
a vrednost krajnjeg pojačanja:
Ku =
(b)
0.0228
AR0 = AR( ω0 ) = 0.0228 K c
1
= 43.9
Ku =
0.0228
(a)
P
0.088
-4
10
0,1
0
o
φ( )
-90
1
10
P
(a)
(b)
-180
-270
0,1
0.879
1 1.47
10
ω(rad/min)
Slika P-4.4.11. Bodeovi dijagrami
otvorenog kola za sistem sa
procesom
trećeg
reda
i
PI
regulatorom, za Kc=1
1
= 11.3
0.088
Zatvoreno regulaciono kolo sa posmatranim procesom prvog reda i PI regulatorom će, za τi=0.8 min, biti:
- stabilno za Kc<11.3
- nestabilno za Kc>11.3.
Ako se ovi rezultai uporede sa rezultatima dobijenim u primeru 4.4-10., u kome je ispitivana stabilnost
istog sistema sa P regulatorom, vidi se da dodavanje integralne akcije izaziva smanjenje kritične
frekvencije i krajnjeg pojačanja, a time i stabilnosti sistema. Poređenjem slučajeva (a) i (b) u ovom
primeru, može se zaključiti da se stabilnost smanjuje sa smanjenjem integralnog vremena. Ovi zaključci
su u skladu sa zaključcima koje smo izveli na osnovu kvalitativne analize.
Takođe treba primetiti da su rezultati dobijeni u ovom primeru identični sa onim iz primera 4.4-4. u kome
je stabilnost istog sistema ispitivana metodom geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine.
PRIMER 4.4-12. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i PID
regulatorom, korišćenjem Bodeovog kriterijuma stabilnosti
Primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti treba ispitati za koje vrednosti pojačanja regulatora će biti
stabilno zatvoreno regulaciono kolo koje je posmatrano u prethodnim primerima, za slučaj PID regulacije
i tri kombinacije vrednosti integralnog i diferencijalnog vremena:
(a) τi=3.03 min, τd=0.4 min; (b) τi=0.8 min, τd=0.4 min; (c) τi=0.8 min, τd=0.2 min.
REŠENJE:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Prenosna funkcija otvorenog kola koja odgovara zatvorenom regulacionom kolu sa PID regulatorom je:
1
⎛
⎞ 1/8
G(s) = K c ⎜ 1 +
+ τd s ⎟
3
τi s
⎝
⎠ (s + 1 )
a odgovarajuća amplitudna i fazna karakteristika:
2
AR( ω ) = ARc ( ω ) AR p ( ω ) = K c
⎛
1 ⎞
1/8
1 + ⎜⎜ τd ω ⎟⎟
3/2
τi ω ⎠ (1 + ω2 )
⎝
⎛
1 ⎞
φ( ω ) = φc ( ω ) + φ p ( ω ) = arctan ⎜⎜ τd ω ⎟⎟ - 3 arctan ( ω )
τi ω ⎠
⎝
AR
1
10
0
10
-1
Za slučaj (a) - τi=3.03 min, τd=0.4 min:
10
-3
10
-4
0.33 ⎞
⎛
φ( ω ) = arctan ⎜ 0.4 ω ⎟ - 3 arctan ( ω )
ω ⎠
⎝
Za slučaj (b) - τi=0.8 min, τd=0.4 min:
(c)
0,1
0
2
AR( ω ) = K c
(b)
10 0.0684
0.037
-2 0.0105
10
Za konkretne slučajeve ovi izrazi postaju:
0.33 ⎞
0.125
⎛
1 + ⎜ 0.4 ω ⎟
ω ⎠ (1 + ω2 )3/2
⎝
(a)
P
1
10
P
o
φ( )
-90
-180
(a)
(b)
(c)
2
1.25 ⎞
0.125
⎛
AR( ω ) = K c 1 + ⎜ 0.4 ω ⎟
ω ⎠ (1 + ω2 )3/2
⎝
1.25 ⎞
⎛
φ( ω ) = arctan ⎜ 0.4 ω ⎟ - 3 arctan ( ω )
ω ⎠
⎝
Za slučaj (c) - τi=0.8 min, τd=0.2 min:
-270
0,1
2.07
0.97
11.206
10
ω(rad/min)
Slika P-4.4.12. Bodeovi dijagrami
otvorenog kola za sistem sa
procesom trećeg reda i PID
regulatorom, za Kc=1
2
AR( ω ) = K c
1.25 ⎞
0.125
⎛
1 + ⎜ 0.2 ω ⎟
ω ⎠ (1 + ω2 )3/2
⎝
1.25 ⎞
⎛
φ( ω ) = arctan ⎜ 0.2 ω ⎟ - 3 arctan ( ω )
ω ⎠
⎝
Bodeovi dijagrami na kojima su prikazane
amplitudne i fazne karakteristike za sva tri
slučaja, za Kc=1, prikazani su na slici P-4.4.12.
Na ovoj slici su takođe prikazane frekventne
karakteristike samog procesa, isprekidanim
linijama. Sa slike P-4.4.12. se može zaključiti
sledeće:
- Za slučaj (a): Fazna karakteristika otvorenog kola koja odgovara parametrima PID regulatora
τi=3.03 min i τd=0.4 min je za svaku frekvenciju veća od -π, odnosno kriva kojom je definisana ova fazna
karakteristika nigde ne seče liniju φ=-π. Kao rezultat toga, sistem je stabilan za svaku vrednost pojačanja
regulatora.
- Za slučaj (b): Fazna karakteristika otvorenog kola seče liniju φ=-π dva puta i to za frekvencije:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
ω01 = 1.206 rad/min i ω02 = 2.07 rad/min
(Ove vrednosti se mogu dobiti grafički, sa date slike ili numeričkim rešavanjem jednačine φ(ω)=−π. Ovim
vrednostima frekvenciji odgovaraju vrednosti amplitudne karakteristike otvorenog kola:
AR( ω01 ) = 0.037 K c , AR( ω02 ) = 0.0105 K c
U ovom slučaju, kada postoje dva rešenja za kritičnu frekvenciju, ne mogu se izvesti zaključci o
stabilnosti zatvorenog regulacionog kola primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti. Ovaj sistem ne
zadovoljava uslov da je fazna karakteristika monotono opadajuća funkcija frekvencije. Za njegovu
analizu treba primeniti neku drugu metodu ispitivanja stabilnosti.
- Za slučaj (c): Fazna karakteristika otvorenog kola seče liniju φ(ω)=−π jednom, za frekvenciju:
ω0 = 0.97 rad/min
Ovoj kritičnoj frekvenciji odgovara amplitudna karakteristika otvorenog kola:
AR0 = AR( ω0 ) = 0.0684 K c
tako da je vrednost krajnjeg pojačanja:
Ku =
1
= 14.61
0.0684
Ovo zatvoreno regulaciono kolo će, na osnovu Bodeovog kriterijuma stabilnosti biti:
- stabilno za Kc<14.61
- nestabilno za Kc>14.61.
Rezultati dobijeni u ovom primeru za slučajeve (a) i (c) su identični kao oni dobijeni u primeru 4.4-5. u
kome je stabilnost istog sistema ispitivana metodom geometrijskog mesta položaja korena
karakteristične jednačine.
Kao što smo naveli, Bodeov kriterijum se može primeniti samo na ispitivanje stabilnosti zatvorenog
regulacionog kola koje ne sadrži nestabilne elemente u otvorenom kolu, i to takvog da su amplitudna i
fazna karakteristika otvorenog kola monotono opadajuće funkcije frekvencije, odnosno da nemaju
minimume i maksimume. Ukoliko ovi uslovi nisu ispunjeni, neophodno je primeniti neki drugi način za
ispitivanje stabilnosti zatvorenog kola. Ukoliko sistem ne sadrži mrtvo vreme, može se primeniti metoda
geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine koju smo opisali u poglavlju 4.4.4. U frekventnom
domenu se za analizu ovakvih sistema najčešće koristi Nikvistov kriterijum stabilnosti kojme je
posvećeno sledeće poglavlje.
4.4.6. Nikvistov kriterijum stabilnosti zatvorenog regulacionog kola
Kao što je navedeno u prethodnom poglavlju, jednostavni Bodeov kriterijum stabilnosti se može primeniti
samo na zatvoreno regulaciono kolo koje nema nestabilnih elemenata u otvorenom kolu, i čije su
amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola monotono opadajuće funkcije frekvencije. Nikvistov
kriterijum stabilnosti se, naravno, može primeniti i na sisteme koji zadovoljavaju ove uslove, ali takođe i
na sisteme koji sadrže nestabilne elemente i kod kojih se javljaju lokalni minimumi i maksimumi
amplitudne i/ili fazne karakteristike otvorenog kola. Konkretna primena Nikvistovog kriterijuma je prilično
jednostavna i praktično se zasniva na crtanju Nikvistovog dijagrama otvorenog kola, ali se, za razliku od
Bodeovog, Nikvistov kriterijum stabilnosti izvodi strogim matematičkim postupkom zasnovanim na
Košijevoj teoremi vezanoj za kompleksnu funkciju kompleksne promenljive, koja se često naziva Z-P=N
teorema. Zbog toga ćemo najpre definisati ovu teoremu.
Teorema Z-P=N glasi: Ako kompleksna funkcija F(s) ima Z nula i P polova unutar određene oblasti u
ravni nezavisne promenljive s, obihvaćene zatvorenom konturom C, slika zatvorene konture C u F-ravni
će obići oko koordinatnog početka (tačke (0,0)) N=Z-P puta. Pri tome se obilaženje u smeru kazaljke na
satu uzima sa pozitivnim znakom, a obilaženje u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu sa
negativnim znakom.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Primena Z-P=N teoreme na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola. Ova teorema se može
vrlo korisno primeniti na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom
spregom, ukoliko je primenimo na funkciju:
(4.4-28)
F(s) = 1 + G(s)
gde je G(s) prenosna funkcija otvorenog kola, i zatvorenu konturu C u kompleksnoj s-ravni koja potpuno
obuhvata desnu poluravan, odnosno deo s-ravni desno od Im-ose. Broj obilazaka koju slika ove konture
vrši oko koordinatnog početka u ravni 1+G je jednak razlici broja nula i polova funkcije 1+G koji se nalaze
u desnoj poluravni kompleksne s-ravni. Za stabilnost zatvorenog regulacionog kola su od značaja koreni
karakteristične jednačine zatvorenog kola:
(4.4-29)
1 + G(s) = 0
koji su identični sa nulama funkcije 1+G(s). Da bi zatvoreno regulaciono kolo bilo stabilno, sistem ne sme
da sadrži nule funkcije 1+G(s) u desnoj poluravni, odnosno mora da bude zadovoljen uslov Z=0. Polovi
funkcije 1+G(s) su identični sa polovima prenosne funkcije otvorenog kola G(s). Ukoliko imamo sistem
koji je stabilan u otvorenom kolu, prenosna funkcija otvorenog kola G(s), pa prema tome, ni funkcija
F(s)=1+G(s), nema ni jedan pol u desnoj poluravni (P=0). U tom slučaju je broj obilazaka slike konture C
oko koordinatnog početka u 1+G ravni jednak broju nula funkcije 1+G(s) u desnoj poluravni kompleksne
s-ravni, tako da je uslov da sistem bude stabilan:
(4.4-30)
N =0
Ukoliko posmatrani sistem sadrži P nestabilnih
elemenata u otvorenom kolu, odnosno ima P polova
prenosne funkcije otvorenog kola G(s) u desnoj
poluravni, i funkcija F(s)=1+G(s) ima P polova koji se
nalaze u desnoj poluravni. Da bi zatvoreno regulaciono
kolo bilo stabilno u ovom slučaju (odnosno da bi bio
zadovoljen uslov Z=0), broj obilazaka slike konture C oko
koordinatnog početka u 1+G ravni mora da bude:
N =- P
(4.4-31)
Zbog jednostavnosti se, umesto funkcije F(s)=1+G(s) i
njenih nula, obično ispituje funkcija G(s) kojom je
definisana prenosna funkcija otvorenog kola i posmatra
broj obilazaka slike konture C oko tačke (-1,0) u G-ravni.
Pri tome se zaključci izvode na isti način, samo je
postupak nešto jednostavniji.
Najpogodniji način da se definiše zatvorena kontura u sravni koja obuhvata desnu poluravan je onaj prikazan na
slici 4.4-8. Ova kontura je sastavljena iz tri dela:
1. poluprave s=jω (ω>0) - linija C+
2. polukruga sa vrlo velikim poluprečnikom R64
u prvom i četvrtom kvadrantu - linija CR
3. poluprave s=-jω (ω>0) - linija C-.
Slika 4.4-8. Definisanje zatvorene konture u
s-ravni za primenu teoreme N=Z-P na
ispitivanje
stabilnosti
zatvorenog
regulacionog kola
Kao ilustracija, na slici 4.4-9. je prikazano dobijanje slike ove konture u G-ravni, za sistem trećeg reda
čija je prenosna funkcija otvorenog kola:
G(s) =
K
( τ1 s + 1) ( τ2 s + 1) ( τ3 s + 1)
Kao rezultat ovog preslikavanja se dobija:
1. kriva G(jω) u G-ravni, kao slika poluprave s=jω, koja, na osnovu teoreme o zameni s sa jω u
prenosnoj funkciji, predstavlja Nikvistov dijagram ili hodograf vektora G(jω) otvorenog kola:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
K
( τ1 ω j + 1) ( τ2 ω j + 1) ( τ3 ω j + 1)
(4.4-33)
K [1 - ( τ1 τ2 + τ1 τ3 + τ2 τ3 ) ω2 ] + K [ τ1 τ2 τ3 ω3 - ( τ1 + τ2 + τ3 ) ω ] j
=
[1 - ( τ1 τ2 + τ1 τ3 + τ2 τ3 ) ω2 ] 2 + [( τ1 + τ2 + τ3 ) ω - τ1 τ2 τ3 ω3 ] 2
G(s = jω ) =
2. tačka u koordinatnom početku G-ravni, kao slika polukruga beskonačno velikog poluprečnika:
jθ
lim G(s = R e ) = lim
R →∞
R →∞
= lim
R →∞
K
jθ
( τ1 R e + 1) ( τ2 R e jθ + 1) ( τ3 R e jθ + 1)
K
τ1 τ2 τ3 R e
3
3jθ
(4.4-34)
=0
3. kriva G(-jω) u G-ravni, kao slika poluprave s=-jω, koja je simetrična Nikvistovom dijagramu u
odnosu na Re-osu:
K
(- τ1 ω j + 1) (- τ2 ω j + 1) (- τ3 ω j + 1)
K [1 - ( τ1 τ2 + τ1 τ3 + τ2 τ3 ) ω2 ] - K [ τ1 τ2 τ3 ω3 - ( τ1 + τ2 + τ3 ) ω ] j
=
[1 - ( τ1 τ2 + τ1 τ3 + τ2 τ3 ) ω2 ] 2 + [( τ1 + τ2 + τ3 ) ω - τ1 τ2 τ3 ω3 ] 2
G(s = − jω ) =
(4.4-35)
Slika 4.4-9. Šematski prikaz preslikavanja konture C koja obuhvata desnu poluravan sravni u G-ravan (za sistem trećeg reda)
U najvećem broju slučajeva nije neophodno crtati čitavu sliku konture C u G-ravni, već je dovoljno
nacrtati Nikvistov dijagram otvorenog kola i na osnovu njega izvesti zaključke o stabilnosti zatvorenog
regulacionog kola.
Na osnovu prethodno iznetih činjenica se definiše Nikvistov kriterijum stabilnosti. Najčešća formulacija
ovog kriterijuma je sledeća:
1. Ukoliko sistem ne sadrži ni jedan nestabilan element u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono
kolo će biti stabilno ako i samo ako Nikvistov dijagram otvorenog kola (hodograf vektora G(jω)) ne obilazi
oko tačke (-1,0). Ako Nikvistov dijagram obilazi oko tačke (-1,0) zatvoreno regulaciono kolo je nestabilno,
a ako prolazi kroz nju, zatvoreno regulaciono kolo je na granici stabilnosti.
2. Ukoliko sistem sadrži P elemenata koji su nestabilni u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
kolo će biti stabilno ako i samo ako hodograf vektora G(jω) obilazi oko tačke (-1,0) tačno P puta, u
smeru suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu.
Alternativna definicija Nikvistovog kriterijuma stabilnosti je sledeća: Zatvoreno regulaciono kolo je
stabilno ako se tačka (-1,0) uvek nalazi za leve strane posmatrača koji putuje duž hodografa vektora
G(jω) u smeru porasta frekvencije.
Kao što se vidi, praktična primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti se svodi na nalaženje frekventnih
karakteristika otvorenog kola.
Primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti ćemo prikazati za nekoliko karakterističnih slučajeva koji se
unekoliko razlikuju.
4.4.6.1. Primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na jednostavne sisteme bez polova prenosne funkcije
otvorenog kola u desnoj poluravni i na imaginarnoj osi i sa monotono opadajućom amplitudnom i faznom
karakteristikom otvorenog kola
Kod jednostavnih sistema, kao što je onaj prikazan prenosnom funkcijom otvorenog kola datom
jednačinom (4.4-32) i slikom 4.4-9., može se primeniti i Bodeov kriterijum stabilnosti. U tom slučaju,
Bodeov i Nikvistov kriterijum su praktično identični: Ako je sistem stabilan, kriva Nikvistovog dijagrama ne
obuhvata tačku (-1,0) i seče negativni deo Re-ose desno od te tačke, tako da je amplitudna karakteristika
koja odgovara kritičnoj frekvenciji manja od 1. S druge strane, ako je sistem nestabilan, Nikvistov
dijagram obilazi oko tačke (-1,0), što znači da seče negativni deo Re-ose levo od nje, tako da je
amplitudna karakteristika koja odgovara kritičnoj frekvenciji veća od 1. Pri tome treba podsetiti da u
Nikvistovom dijagramu kritična frekvencija odgovara preseku hodografa vektora G(jω) sa negativnim
delom Re-ose. Vrednost krajnjeg pojačanja se određuje na identičan način kao pri primeni Bodeovog
kriterijuma stabilnosti. Grafički prikaz jednog stabilnog, jednog sistema na granici stabilnosti i jednog
nestabilnog sistema koji odgovara ovakvom slučaju je dat na slici 4.4-10. Isprekidanim linijama su
prikazane krive koje odgovaraju negativnim frekvencijama.
Slika 4.4-10. Primena Nikvistovog kriterijuma na
jednostavne sisteme
4.4.6.2. Primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na sisteme koji imaju polove prenosne funkcije
otvorenog kola na imaginarnoj osi
Ukoliko prenosna funkcija otvorenog kola ima polove koji leže na imaginarnoj osi, zatvorena kontura C
kojom se okružuje desna poluravan kompleksne s-ravni mora da se modifikuje u odnosu na onu
prikazanu na slici 4.4-8., tako da ne obuhvata ove tačke, jer u njima prenosna funkcija otvorenog kola
postaje beskonačna. Tipičan primer ovakvog sistema je sistem sa integratorom. Zatvorena kontura u sravni koja se koristi u ovom slu-čaju ne sme da obuhvati koordinatni početak. Takva kontura je prikazana
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
na slici 4.4-11(a).
Razlika u odnosu na konturu definisanu na slici 4.4-8. je u tome što je iz oblasti koju obuhvata kontura C
izuzet mali polukrug oko koordinatnog početka, takav da njegov poluprečnik r teži nuli. Ovako definisana
zatvorena kontura se sastoji iz četiri dela:
1. poluprave s=jω, za r<ω<R (r60, R64) - C+;
2. polukruga vrlo velikog prečnika R64, u prvom i četvrtom kvadrantu - CR;
3. poluprave s=-jω, za r<ω<R - C-;
4. polukruga vrlo malog prečnika r60, u prvom i četvrtom kvadrantu - C0.
Na slici 4.4-11(b) je prikazana slika ove konture u G-ravni, za sistem trećeg reda sa integratorom, čija je
prenosna funkcija otvorenog kola:
G(s) =
K
s ( τ1 s + 1) ( τ2 s + 1)
(4.4-36)
Slika 4.4-11. (a) Definisanje zatvorene konture koja obuhvata desnu
poluravan s-ravni; (b) preslikavanje ove konture u G-ravan za sistem
trećeg reda sa integratorom
Ova slika se sastoji iz četiri dela koji se dobijaju preslikavanjem odgovarajućih delova konture C u sravni, na sledeći način:
1. Poluprava C+ se preslikava u krivu G(jω), koja i u ovom slučaju predstavlja Nikvistov dijagram
otvorenog kola:
G(s = jω ) =
K
[-K ω ( τ1 + τ2 )] + [-K (1 - τ1 τ2 ω2 )] j
=
2
3
2 2
jω ( τ1 ω j + 1) ( τ2 ω j + 1)
ω ( τ1 + τ2 ) + ω(1 - τ1 τ2 ω )
(4.4-37)
Ova kriva je specifična po tome što ne polazi sa Re-ose, već za ω60 ima asimptotu:
lim Re(G(j ω)) = - K (τ1 + τ2) , lim Im(G(jω)) = - ∞
ω→ 0
ω→ 0
(4.4.38)
2. Polukrug beskonačno velikog poluprečnika CR se preslikava u tačku u koordinatnom početku
G-ravni:
jθ
lim G ( s = R e ) = lim
R →∞
R →∞
K
K
= lim
=0
jθ
R e ( τ1 R e + 1) ( τ2 R e + 1) R →∞ τ1 τ2 R 3 e 3jθ
jθ
jθ
(4.4-39)
3. Poluprava C- se preslikava u krivu G(-jω) koja je je simetrična Nikvistovom dijagramu
otvoreanog kola, u odnosu na Re-osu:
G(s = - jω ) =
K
[-K ω ( τ1 + τ2 )] + [K (1 - τ1 τ2 ω2 )] j
(4.4-40)
=
2
3
2 2
- jω (- τ1 ω j + 1) (- τ2 ω j + 1)
ω ( τ1 + τ2 ) + ω(1 - τ1 τ2 ω )
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
4. Polukrug jako malog poluprečnika C0 (r60) se preslikava u polukrug beskonačno velikog
poluprečnika u G-ravni, sa faznim uglom između +π/2 i -π/2:
jθ
lim G(s = r e ) = lim
r →0
r →0
K
K
= lim e- jθ
jθ
r e ( τ1 r e + 1) ( τ2 r e + 1) r →0 r
jθ
jθ
(4.4-41)
4.4.6.3. Primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na sisteme sa uslovnom stabilnošću, bez pozitivnih
polova otvorenog kola
U poglavlju 4.4.4. smo, na osnovu dijagrama položaja korena, pokazali da kod nekih sistema zatvorenog
regulacionog kola stabilnost menja više puta pri promeni pojačanja regulatora, odnosno da se javlja više
preseka grana sa Im-osom. Ovakve sisteme smo nazvali sistemi sa uslovnom stabilnošću. U primeru
4.4-12. smo pokazali da kod takvih sistema nije zadovoljen uslov o monotonosti funkcija amplitudne i
fazne karakteristike i da se za njihovu analizu ne može primeniti Bodeov kriterijum stabilnosti. Uslovna
stabilnost se može javiti kod sistema koji, pored polova, imaju i nule otvorenog kola.
Na slici 4.4-12(a) je šematski prikazan izgled Nikvistovog dijagrama, a na slici 4.4-12(b) odgovarajući
dijagram položaja korena, za sistem sa uslovnom stabilnošću četvrtog reda koji bi se mogao prikazti
prenosnom funkcijom otvorenog kola:
G(s) =
K ( τ z 1s + 1)
( τ p1 s + 1) ( τ p 2 s + 1) ( τ p 3 s + 1) ( τ p 4 s + 1)
(4.4-42)
Za neke kombinacije vrednosti vremenskih konstanti dobiće se dijagram položaja korena u kome
kompleksne grane seku imaginarnu osu po tri puta (slika 4.4-12(b)), odnosno Nikvistov dijagram koji
seče negativni deo realne ose tri puta. Ovaj sistem ima tri kritične frekvencije ω01, ω02 i ω03. Na osnovu
prethodnog izlaganja je jasno da za primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti nije neophodno
nacrtati sliku čitave konture C u G-ravni, već je dovoljna samo kriva koja odgovara delu konture C+
(Nikvistov dijagram). Sa slike 4.4-12(a) je očigledno da ova kriva neće obilaziti oko tačke (-1,0) ukoliko se
ta tačka nalazi levo od presečne tačke koja odgovara prvoj kritičnoj frekvenciji ω01 ili između presečnih
tačaka koje odgovaraju frekvencijama ω02 i ω03, i u tim slučajevima će zatvoreno regulaciono kolo koje
odgovara toj prenosnoj funkciji otvorenog kola biti stabilno. Ukoliko se tačka (-1,0) nalazi između
presečnih tačaka koje odgovaraju frekvencijama ω01 i ω02 ili između presečne tačke koja odgovara
frekvenciji ω03 i koordinatnog početka, Nikvistov dijagram će obilaziti oko ove tačke i sistem će biti
nestabilan. Ukoliko se bilo koja od presečnih tačaka koje odgovaraju frekvencijama ω01, ω02 i ω03 nalazi u
tački (-1,0), zatvoreno regulaciono kolo će biti na granici stabilnosti.
Slika 4.4-12. Sistem sa uslovnom stabilnošću četvrtog reda
(a) Nikvistov dijagram; (b) dijagram položaja korena
Za posmatrani sistem sa
uslovnom stabilnošću za
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
koji se mogu definisati tri kritične frekvencije mogu se definisati i tri vrednosti krajnjeg pojačanja. U
frekventnom domenu smo krajnje pojačanje definisali kao pojačanje regulatora za koje amplitudna
karakteristika otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji ima vrednost 1, odnosno kao pojačanje
regulatora pri kome hodograf vektora G(jω) otvorenog kola prolazi kroz tačku (-1,0). U slučaju kada
sistem ima tri kritične frekvencije ω01, ω02 i ω03 odgovarajuće vrednosti krajnjeg pojačanja će biti:
K u1 =
K u2 =
K u3 =
1
| G(j ω01 )|K c=1
1
| G(j ω02 )|K c=1
1
| G(j ω03 )|K c=1
=
=
=
1
AR( ω01 ) / K c
1
AR( ω02 ) / K c
(4.4-43)
1
AR( ω03 ) / K c
Zatvoreno regulaciono kolo će biti:
STABILNO ZA K c < K u1 ili K u 2 < K c < K u 3
NESTABILNO ZA K u1 < K c < K u 2 ili K c > K u 3
NA GRANICI STABILNOSTI ZA K c = K u1 ili K c = K u 2 ili K c = K u 3
Na slici 4.4-13. je šematski prikazano nekoliko slučajeva koji se javljaju pri promeni pojačanja regulatora,
pri čemu zatvoreno regulaciono kolo menja stabilnost.
Slika 4.4-13. Promena stabilnosti sistema četvrtog reda sa uslovnom
stabilnošću, pri povećanju pojačanja regulatora: (a) i (c) stabilan sistem;
(b) i (d) nestabilan sistem
4.4.6.4. Primena Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na sisteme koji sadrže nestabilne elemente u
otvorenom kolu
Kao što smo naveli u prethodnom izlaganju, broj obilazaka slike zatvorene konture koja obuhvata desnu
poluravan s-ravni, oko tačke (-1,0) u G-ravni, je jednak razlici između broja nula i broja polova funkcije
F(s)=1+G(s) koji se nalaze u desnoj poluravni. Pošto je uslov da zatvoreno regulaciono kolo bude
stabilno da ova funkcija nema ni jednu nulu desno od imaginarne ose, zatvoreno regulaciono kolo koje
ima P nestabilnih elemenata u otvorenom kolu (P polova prenosne funkcije otvorenog kola leži u desnoj
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
poluravni) će biti stabilno ako ova slika obilazi oko tačke (-1,0) P puta u negativnom smeru (u smeru
suprotnom kretanju kazaljke na satu). Ukoliko je ovaj uslov ispunjen, biće:
Z = P + N = P + (-P) = 0
(4.4-44)
Primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti na sisteme sa nestabilnim elementima prikazaćemo na
najjednostavnijem primeru nestabilnog sistema prvog reda sa P regulatorom, čija je prenosna funkcija
otvorenog kola:
G(s) =
Kc K p
τp s - 1
(4.4-45)
Na slici 4.4-14. je prikazana zatvorena kontura C koja obuhvata desnu poluravan kompleksne s-ravni i
njena slika u G-ravni definisana prenosnom funkcijom otvorenog kola datom jednačinom (4.4-45), za dva
slučaja: KcKp<1 i KcKp>1.
Slika 4.4-14. Primena Nikvistvog kriterijuma stabilnosti na sistem sa
nestabilnim elementom prvog reda u otvorenom kolu
Svaka od ovih slika se sastoji iz tri dela koji odgovaraju delovima konture C u s-ravni:
1. Deo konture C+ (poluprava s=jω) se preslikava u krivu:
G(s = jω ) =
- 1 - τp ω j
Kc K p
= Kc K p
1 + τ2p ω2
τp ω j - 1
(4.4-46)
koja predstavlja polukrug u trećem kvadrantu koji počinje na negativnom delu Re-ose (za ω=0:
Re(G(jω))=-KcKp, Im(G(jω))=0) i završava se u koordinatnom početku. Moduo i argument kompleksne
funkcije G(jω) su:
Kc K p
1 + τ2p ω2
arg G(j ω) = arctan (τp ω) - π
| G(jω ) |=
(4.4-47)
Treba naglasiti da ove funkcije ne predstavljaju amplitudnu i faznu karakteristiku, odnosno da
kompleksna funkcija G(jω) nije frekventna prenosna funkcija sistema definisanog prenosnom funkcijom
(4.4-45). Frekventni odziv se može definisati samo za stabilne sisteme, i samo u slučaju stabilnih sistema
važi teorema o dobijanju frekventnih karakteristika zamenom s sa jω u prenosnoj funkciji sistema.
2. Polukrug beskonačno velikog poluprečnika CR se preslikava u tačku u koordinatnom početku.
3. Deo konture C- (poluprava s=-jω) se preslikava u polukrug u drugom kvadrantu koji je
simetričan funkciji G(jω) u odnosu na Re-osu.
Kao što se vidi sa slike 4.4-14., slika konture C u G-ravni dobijena za KcKp<1 ne obilazi oko tačke (-1,0),
dok ona za koju je KcKp>1 obilazi oko tačke (-1,0) jednom, u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu.
Na osnovu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti primenjenog na slučaj sistema sa nestabilnim elementom u
otvorenom kolu, zaključujemo da je zatvoreno regulaciono kolo čija je prenosna funkcija otvorenog kola
definisana jednačinom (4.4-45):
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
NESTABILNO ZA K c < 1/ K p
NA GRANICI STABILNOSTI ZA K c = K p
STABILNO ZA K c > 1/ K p
Treba primetiti da je ovaj rezultat identičan onom dobijenom u poglavlju 4.4.4.3. (primer 4.4-6.), na
osnovu analize u kompleksnom domenu.
Za slučajeve koji su obrađeni u primerima 4.4-10., odnosno 4.4-3., i 4.4-11., odnosno, 4.4-4., primena
Nikvistovog kriterijuma stabilnosti se praktično svodi na Bodeov kriterijum stabilnosti. Zbog toga ćemo
primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti ilustrovati samo na primeru zatvorenog regulacionog kola za
regulaciju izlazne koncentracije iz kaskade od tri izotermna reaktora sa idealnim mešanjem sa PID
regulatorom, odnosno na sistemu koji je bio obrađen u primerima 4.4-12. i 4.4-5.
PRIMER 4.4-13. Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom trećeg reda i PID
regulatorom, primenom Nikvistovog kriterijuma
Za zatvoreno regulaciono kolo sa PID regulatorom, definisano u primerima 4.4-5. i 4.4-12.:
G p (s) =
1/8
, G v (s) = G m (s) = 1
(s + 1 )3
nacrtati Nikvistove dijagrame otvorenog kola za Kc=1, za slučajeve:
(a): τi=3.03 min, τd=0.4 min; (b) τi=0.8 min, τd=0.4 min; (c): τi=0.8 min, τd=0.2 min
i ispitati njegovu stabilnost primenom Nikvistovog kriterijuma stabilnosti.
REŠENJE:
Za crtanje Nikvistovog dijagrama i primenu Nikvistovog kriterijuma stabilnosti je pogodno frekventnu
prenosnu funkciju otvorenog kola prikazati u algebarskom obliku G(jω)=Re+jIm. Zamenom s sa jω u
prenosnoj funkciji otvorenog kola:
(ττi -i s3)+ 1
⎛ K1 - τ τ ω⎞4 + (1
1/8+ 3 τ τd -c3 ττi)i τωd2s+2 +
Re (G(j
G(s)
= Kωc))⎜⎜ 1=+ c +i τdd s ⎟⎟ 6 3 =i4 K
24
3
1 3) ω 8+ τ3iωs ++13 s + 3 s 2 + s
⎝ 8ττii s
⎠ (sω+ +
4
2
K (τ - 3 τi τd ) ω + (3 + τi τd - 3 τi) ω - 1
Im (G(j ω)) = c i
7
5
3
8 τi
ω + 3ω + 3ω + ω
(P-4.4.13-1)
(P-4.4.13-2)
Zbog prisustva integralne akcije, ovaj sistem ima jedan pol na imaginarnoj osi (s=0). Kao rezultat toga,
kada ω60, Nikvistov dijagram teži ka asimptoti paralelnoj sa Im-osom:
ω → 0 : Im (G(j ω)) → - ∞ , Re (G(j ω)) →
0.375
τi - 3
= 0.125 8 τi
τi
Za konkretne vrednosti parametara regulatora se dobijaju sledeći rezultati:
(P-4.4.13-3)
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
(a) τi =3.03 min, τd =0.4 min, za Kc=1:
Re (G(j ω))) =
- 0.05 ω4 - 0.284 ω2 + 1.24 x 10-3
6
4
2
ω + 3ω + 3ω + 1
Im (G(j ω))) =
- 0.025 ω4 - 0.201 ω2 - 0.041
7
5
3
ω + 3ω + 3ω + ω
Nikvistov dijagram koji odgovara ovim frekventnim
karakteristikama je dat na prikazan P-4.4.13-1. Sa slike se
vidi da hodograf vektora G(jω) ne seče negativni deo Re-ose,
tako da ne obuhvata tačku (-1,0) ni za jednu vrednost
pojačanja regulatora (analiza izraza za Im(G(jω)) pokazuje
da je on negativan za svaku frekvenciju). Zaključak je da je
zatvoreno regulaciono kolo sa ovim vrednostima τi i τd
apsolutno stabilno.
Kao što se vidi sa slike, Nikvistov dijagram ima asimptotu:
Slika P-4.4.13-1. Nikvistov dijagram
sistema trećeg reda reda sa PID
regulatorom: τi=3.03, τd=0.4, Kc=1
ω → 0 : Im (G(j ω)) → - ∞ , Re (G(j ω)) → 0.00124
(b) τi =0.8 min, τd =0.4 min, za Kc=1:
Re (G(j ω)) =
- 0.05 ω4 - 0.55 ω2 - 0.34375
6
4
2
ω + 3ω + 3ω + 1
Im (G(j ω)) =
- 0.025 ω4 + 0.14375 ω2 - 0.15625
7
5
3
ω + 3ω + 3ω + ω
Rešavanjem jednačine:
Im (G(j ω0)) = 0 ⇔ - 0.025 ω04 + 0.14375 ω02 - 0.15625 = 0
dobijaju se dve vrednosti kritične frekvencije:
ω01 = 1.206 rad/min i ω02 = 2.07 rad/min
Kojima odgovaraju vrednosti amplitudnih karakteristika (za Kc=1):
AR01 = AR( ω01 ) = | Re(G(j ω01)) | = 0.037
AR02 = AR( ω02 ) = | Re(G(j ω02 )) | = 0.0105
i vrednosti krajnjeg pojačanja:
1
= 26.93
0.037
1
= 95.07
K u2 =
0.0105
K u1 =
Nikvistov dijagram koji odgovara ovim frekventnim karakteristikama, kao i njegov uvećani deo oko
koordinatnog početka, prikazan je na slikama P-4.4.13-2. (a) i (b).
Asimptota kada ω64, dobijena na osnovu jednačine (P-4.4.13-3) je:
ω → 0 : Im (G(j ω)) → - ∞ , Re (G(j ω)) → - 0.34375
U ovom slučaju imamo sistem sa uslovnom stabilnošću koji će biti:
- stabilan za Kc<26.93 ili Kc>95.07
- nestabilan za 26.93<Kc<95.07.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
(a)
(b)
Slika P-4.4.13-2. (a) Nikvistov dijagram otvorenog kola za sistem sa PID
regulatorom za τi =0.8, τd =0.4 i Kc=1; (b) uvećani deo dijagrama oko koordinatnog
početka
(c) τi=0.8 min, τd=0.2 min, za Kc=1:
- 0.025 ω4 - 1.55 ω2 - 0.34375
6
4
2
ω + 3ω + 3ω +1
0.05 ω4 + 0.11875 ω2 - 0.15625
Im (G(j ω)) =
7
5
3
ω + 3ω + 3ω + ω
Re (G(j ω)) =
Jednačina:
Im (G(j ω0)) = 0 _ 0.05 ω04 + 0.11875 ω02 - 0.15625 = 0
ima jedno realno pozitivno rešenje, kojim je definisana kritična frekvencija:
ω0 = 0.97 rad/min
Ovoj vrednosti odgovara vrednost amplitudne karakteristike (za Kc=1):
AR0 = AR( ω0 ) = | Re(G(j ω0)) | = 0.0684
i vrednost krajnjeg pojačanja:
Ku=
1
= 14.61
0.0684
Nikvistov dijagram otvorenog kola koji se dobija za ovaj slučaj, i njegov uvećani deo oko koordinatnog
početka, prikazan je na slici P-4.4.13-3.
Hodograf vektora G(jω) neće obuhvatati tačku (-1,0) za Kc<14.61, dok će za Kc>14.61 obilaziti oko nje.
Tako će, na osnovu Nikvistovog ktiterijuma stabilnosti, ovo zatvoreno regulaciono kolo biti:
- stabilno za Kc<14.61
- nestabino za Kc>14.61.
Asimptota Nikvistovog dijagrama, kada ω60 je ista kao u slučaju (b).
Rezultati dobijeni u ovom primeru su, naravno, identični kao oni koje smo dobili analizom dijagrama
položaja korena (primer 4.4-5.) i primenom Bodeovog kriterijuma stabilnosti (primer 4.4-12.) za isti
sistem.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Slika P-4.4.13-3. (a) Nikvistov dijagram otvorenog kola za sistem sa PID regulatorom za
τi=0.8, τd =0.2 i Kc=1; (b) uvećani deo dijagrama oko koordinatnog početka
4.4.7. Ispitivanje relativne stabilnosti zatvorenog regulacionog kola korišćenjem frekventnih
karakteristika otvorenog kola
U prethodna dva poglavlja smo definisali dva najčešće korišćena kriterijuma stabilnosti (Bodeov i
Nikvistov kriterijum) čijom primenom se, na osnovu frekventnih karakteristika otvorenog kola, mogu
izvesti zaključci o stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa negativnom povratnom spregom. Pri tome
su se ovi zaključci odnosili na tzv. apsolutnu stabilnost sistema, tj. dobijeni rezultati su govorili da je
zatvoreno regulaciono kolo stabilno, nestabilno ili na granici stabilnosti, za zadate parametre regulatora.
Međutim, pri sintezi zatvorenog regulacionog kola i izboru parametara regulatora, treba voditi računa o
činjenici da dinamički modeli elemenata kola i parametri tih modela nikada nisu potpuno tačni i da se
mogu menjati u toku vremena, tako da se ovaj izbor mora izvršiti tako da zatvoreno regulaciono kolo ne
bude jako blizu granice stabilnosti, već da ima neku "rezervu stabilnosti". Koncept Bodeovog i
Nikvistovog kriterijuma stabilnosti i korišćenje frekventnih karakteristika otvorenog kola omogućavaju
definisanje veličina koje predstavljaju meru udaljenosti zatvorenog kola od granice stabilnosti, odnosno
meru relativne stabilnosti zatvorenog regulacionog kola. Kritična tačka kojom je definisana granica
stabilnosti zatvorenog regulacionog kola u frekventnom domenu je ona pri kojoj je AR(ω)=1, φ(ω)=-π,
odnosno Re(G)=-1, Im(G)=0, tako da se relativna stabilnost definiše kao udaljenost od ove tačke. Obično
se definišu dve veličine koje predstavljaju pokazatelje relativne stabilnosti zatvorenog regulacionog kola:
pretek pojačanja i pretek faze.
4.4.7.1. Pretek pojačanja
Pretek pojačanja definiše koliko je stvarno stanje sistema udaljeno od kritične tačke granice stabilnosti,
mereno jedinicama amplitudne karakteristike otvorenog kola. Ova veličina govori koliko puta bi se mogla
povećati amplitudna karakteristika otvorenog kola (pri nepromenjenoj faznoj karakteristici), pa da sistem
dođe na granicu stabilnosti. Matematički se ova definicija može izraziti na sledeći način:
m=
1
1
=
AR( ω0 )|φ( ω0 )= − π | G(j ω0 )|arg (G(jω0 )) = - π
(4.4-48)
Ukoliko su dinamičke karakteristike sistema tačno poznate i ukoliko se ne menjaju u toku vremena,
pretek pojačanja pokazuje koliko puta se sme povećati pojačanje regulatora, pa da zatvoreno kolo ne
postane nestabilno (da dođe na granicu stabilnosti).
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Za pretek pojačanja se često koriste i sledeći nazivi: granica
pojačanja, rezerva pojačanja i rezerva stabilnosti po modulu.
Može se primetiti da je definicija preteka pojačanja vrlo slična
definiciji krajnjeg pojačanja regulatora Ku. Osnovna razlika je u
tome što se krajnje pojačanje definiše preko frekventnih
karakteristika otvorenog kola koje odgovaraju pojačanju
regulatora Kc=1, dok se pretek pojačanja definiše za realno
pojačanje regulatora. Kada je pojačanje regulatora jednako
jedan, ove dve veličine su jednake. U opštem slučaju važi
jednostavna relacija:
m= Ku
Kc
(4.4-49)
koja kaže da se pretek pojačanja može dobiti jednostavno kao
odnos krajnjeg i stvarnog pojačanja regulatora datog
zatvorenog regulacionog kola.
Pretek pojačanja m>1 odgovara stabilnom sistemu, m<1 znači
da je sistem nestabilan, dok m=1 znači da je sistem na granici
stabilnosti. Pretek pojačanja služi kao jedan od kriterijuma
kvaliteta regulacije, kao što će biti opisano u poglavlju 4.5.1.
Slika 4.4-15. Prikaz preteka pojačanja i
preteka faze u Bodeovim dijagramima
Pri sintezi zatvorenog regulacionog kola (pri izboru
parametara regulatora) preporučuje se da ova
vrednost bude veća od 1.7 (najčešće 2). Pri tome,
što je pouzdanost poznavanja parametara
dinamičkog modela na osnovu kojeg se vrši izbor
parametara regulatora manja, treba obezbediti veću
vrednost preteka pojačanja m, jer ona predstavlja
neku vrstu stepena sigurnosti.
4.4.7.2. Pretek faze
Pretek faze takođe definiše udaljenost stvarnog
stanja zatvorenog regulacionog kola od kritične tačke
koja predstavlja granicu stabilnosti, ali u jedinicama
fazne karakteristike otvorenog kola. On predstavlja
ugao za koji bi, po apsolutnoj vrednosti, smela da se Slika 4.4-16. Prikaz preteka pojačanja i preteka
poveća fazna karakteristika otvorenog kola (pri faze u Nikvistovom dijagramu
nepromenjenoj amlitudnoj karakteristici), pa da
zatvoreno regulaciono kolo ne postane nestabilno
(da dođe na granicu stabilnosti). Matematička interpretacija ove definicije je data sledećom jednačinom:
γ = π + φ( ω1 )|AR( ω1 ) = 1 = π + arg (G(j ω1)) ||G(jω1)| = 1 (4.4-50)
Vrednosti preteka faze γ>0 odgovaraju stabilnim sistemima, γ =0 odgovara sistemu na granici
stabilnosti, a γ <0 nestabilnom sistemu. Kao i pretek pojačanja, i pretek faze predstavlja jedan od
kriterijuma kvaliteta regulacije. Pri sintezi zatvorenog regulacionog kola se preporučuje izbor parametara
regulatora koji će obezbediti pretek faze oko 30o. Naravno, preporuke za m i γ su orijentacione, jer
najčešće nije moguće obezbediti da i jedna i druga karakteristika relativne stabilnosti imaju tačno
definisane vrednosti.
Pretek faze se često naziva i granica faze, rezerva stabilnosti po fazi ili rezerva faze.
Grafička interpretacija preteka pojačanja i preteka faze, u Bodeovim i Nikvistovom dijagramu, prikazana
je na slikama 4.4-15. i 4.4-16.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Značenje preteka pojačanja i preteka faze, kao pokazatelja relativne stabilnosti zatvorenog regulacionog
kola, ćemo ilustrovati na jednom primeru.
PRIMER 4.4-14. Pretek pojačanja i pretek faze zatvorenog regulacionog kola
Prenosna funkcija objekta upravljanja u širem smislu (procesa, mernog instrumenta i izvršnog elementa)
je određena na osnovu eksperimentalno dobijene reakcione krive procesa, u sledećem obliku:
-0.1 s
G p (s) =
e
s +1
(a) Odrediti pojačanje P regulatora, tako da se u zatvorenom regulacionom kolu sa ovim procesom
ostvari pretek pojačanja 2. Koliki je pretek faze u tom slučaju?
(b) Odrediti pojačanje P regulatora, koje daje pretek faze 30o. Koliki je pretek pojačanja u tom slučaju?
(c) Naknadnom analizom je utvrđeno da je prilikom identifikacije procesa učinjena greška u određivanju
čistog kašnjenja, i da je prava vrednost za 40% veća od prvobitno utvrđene, odnosno da iznosi 0.14 min.
Ispitati relativnu stabilnost zatvorenog regulacionog kola sa pojačanjem regulatora određenim pod (a) i
pod (b).
(d) Ponoviti zadatak pod (c), ali za slučaj da je pri identifikaciji procesa učinjena greška u određivanju
vremenske konstante za 100%, odnosno da je stvarna vrednost vremenske konstante 0.5 min.
REŠENJE:
(a)
U primeru 4.4-9. smo odredili vrednosti kritične frekvencije i krajnjeg pojačanja za dati sistem sa P
regulatorom:
ω0 = 16.32 rad/min
K u = 16.35
Pošto je poznata vrednost krajnjeg pojačanja, pojačanje regulatora pri kome se dobija pretek pojačanja
m=2 se može dobiti na osnovu jednačine (4.4-49):
K c,a =
K u = 16.35 = 8.175
m
2
Da bi odredili pretek faze koji se dobija pri ovom pojačanju, određujemo prvo frekvenciju pri kojoj je
amplitudna karakteristika jednaka jedan:
AR( ω1 ) =
8.175
1 + ω12
= 1 _ ω1 = 8.11 rad/min
Fazna karakteristika otvorenog kola koja odgovara ovoj frekvenciji je:
φ( ω1 ) = - arctan( ω1 ) - 0.1 ω1
180
= - 129.44o
π
odakle se dobija vrednost preteka faze:
γ = 180 - 129.44 = 50. 56 o
(b)
Uslov da sistem ima pretek faze od 30o je da je zadovoljen sledeći sistem jednačina:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
K cb = 1
1 + ω22
180
φ( ω2 ) = arctan( ω2 ) - 0.1 ω2
= - 180 + 30 = - 150o
π
AR( ω2 ) =
Numeričkim rešavanjem druge jednačine se dobija vrednost frekvencije pri kojoj je fazna karakteristika
jednaka -150o:
ω2 = 11.35 rad/min
a iz prve jednačine se dobija vrednost pojačanja regulatora za koju je amplitudna karakteristika pri toj
frekvenciji jednaka 1 (Kc koje daje pretek faze 30o):
2
K c,b = 1 + ω2 = 11.39
Pretek pojačanja koji se dobija pri ovom pojačanju je:
16.35
m= Ku =
= 1.43
K c,b 11.39
Poređenjem vrednosti m i γ za slučajeve (a) i (b), može se videti da je sistem definisan pod (a) stabilniji.
(c)
Tačna prenosna funkcija objekta upravljanja u širem smislu je, u ovom slučaju:
-0.14 s
T
Gp=
e
s +1
a tačni izrazi za amplitudnu i faznu karakteristiku otvorenog kola sa P regulatorom:
T
AR ( ω ) =
Kc
1 + ω2
T
φ ( ω ) = - arctan( ω ) - 0.14 ω
180
π
Tačna vrednost kritične frekvencije se dobija numeričkim rešavanjem jednačine:
T
φ ( ω0 ) = - arctan ( ω0 ) - 0.14 ω0
180
= - 180
π
i iznosi:
ω0 = 11.823 rad/min
Treba odrediti vrednosti preteka pojačanja i preteka faze koji se dobijaju pri pojačanjima regulatora
određenim pod (a) i (b).
Slučaj 1: Kc=Kc,a=8.175
Amplitudna karakteristika otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji je, za ovaj slučaj:
1
8.175
T
m
= 0.689
AR= ( ω0 ) == 1.451
0.689 1 + 11. 8232
Da bi smo odredili pretek faze, treba odrediti frekvenciju pri kojoj je amplitudna karakteristika otvorenog
kola jednaka jedan. Međutim, pošto promena mrtvog vremena ne utiče na amplitudnu, već samo na
faznu karakteristiku, ova vrednost je identična kao u primeru pod (a):
T
AR ( ω1 ) = 1 _ ω1 = 8.11 rad/min
Stvarni pretek faze je:
γ = 180 + φT ( ω1 ) = 180 + arctan(8.11) - 0.14 × 8.11 ×
180
= 180 - 148.02 = 31. 98o
π
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
Na osnovu ovih vrednosti preteka pojačanja i preteka faze, vidi se da sistem ima zadovoljavajuće
karakteristike i da je dovoljno stabilan, iako je pojačanje regulatora određeno na osnovu pogrešne
vrednosti mrtvog vremena.
Slučaj 2: Kc=Kc,b=11.39
U ovom slučaju je amplitudna karakteristika koja odgovara kritičnoj frekvenciji:
T
AR ( ω0 ) =
11.39
1 + 11. 8232
= 0.960
Odavde se dobija pretek pojačanja:
m=
1
= 1.04
0.960
Pretek faze se dobija na sledeći način:
T
o
T
AR ( ω2 ) = 1 ⇒ ω2 = 11.35 rad/min ⇒ γ = 180 + φ (11.35) = 180 - 176.01 = 3. 99
Kao što se vidi, i u ovom slučaju se dobija stabilan sistem, ali je njegova relativna stabilnost vrlo mala,
tako da je dobijeni sistem praktično na granici stabilnosti.
(d)
Ovaj slučaj je sličan prethodnom, ali je greška učinjena prilikom određivanja drugog parametra modela.
U ovom slučaju je tačna prenosna funkcija objekta:
-0.1 s
T
Gp=
e
0.5 s + 1
a amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola:
T
AR ( ω ) =
Kc
1 + 0.52 ω2
T
φ ( ω ) = - arctan(0.5 ω ) - 0.1 ω
180
π
Kritična frekvencija koja odgovara ovom slučaju se dobija numeričkim rešavanjem jednačine:
T
φ ( ω0 ) = - arctan(0.5 ω0 ) - 0.1 ω
180
= - 180
π
i iznosi:
ω0 = 16.89 rad/min
I u ovom slučaju ćemo odrediti pretek pojačanja i pretek faze koji se dobijaju sa pojačanjem regulatora
odabranim pod (a) i (b).
Slučaj 1: Kc=Kc,a=8.175
- pretek pojačanja:
T
AR ( ω0 ) =
8.175
1 + 0.52 ω2
= 0.961 ⇒ m = 1.04
-pretek faze:
T
AR ( ω1 ) =
8.175
1 + 0.5
2
2
ω1
= 1 ⇒ ω1 = 16.227 rad/min ⇒ φT ( ω1) = - 175. 95o _ γ = 4. 05o
Kao što se vidi, ovo zatvoreno regulaciono kolo je stabilno, ali je jako blizu granice stabilnosti, što se
ogleda u vrednosti preteka pojačanja koja je vrlo blizu jedinice i u vrlo maloj vrednosti preteka faze.
Slučaj 2: Kc=Kc,b=11.39
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
- pretek pojačanja:
T
AR ( ω0 ) =
11.39
1 + 0.52 x16.89 2
= 1.339 (> 1) → m = 0.75
- pretek faze:
T
o
o
T
AR ( ω2 ) = 1 ⇒ ω2 = 22.692 rad/min ⇒ φ ( ω2 ) = - 214. 28 ⇒ γ = - 34. 98
Vrednosti preteka pojačanja i preteka faze pokazuju da je zatvoreno regulaciono kolo je pri ovom
pojačanju regulatora nestabilno. To znači da pretek faze od 30o, u ovom slučaju ne predstavlja dovoljan
stepen sigurnosti koji bi mogao da "pokrije" grešku u određivanju vremenske konstante sistema od
100%.
Na osnovu prethodnog primera se vidi da pokazatelji relativne stabilnosti sistema, pretek pojačanja i
pretek faze, na izvestan način definišu sposobnost sistema da ostane stabilan i u slučajevima nedovoljno
tačnog modela na osnovu koga se vrši sinteza regulatora, ili u slučajevima kada u toku eksploatacije
dolazi do promene dinamičkih karakteristika procesa (npr. prljanje površine razmenjivača toplote, prljanje
površine punjenja kod kolona sa pakovanim slojem, deaktivacija katalizatora kod katalitičkog reaktora, i
sl.). Ovo je najgrublja definicija robustnosti sistema. Kod jednostavnih sistema sa jednim ulazom i jednim
izlazom, robustnost se definiše upravo preko preteka pojačanja i preteka faze.
NAPOMENA: Prilikom definisanja preteka pojačanja i preteka faze, iako nije naglašeno, usvojena je
pretpostavka da se radi o jednostavnom sistemu kod koga se može primeniti Bodeov kriterijum
stabilnosti i kod koga je sistem stabilan za vrednosti pojačanja regulatora manje od krajnjeg pojačanja Ku
i nestabilan za Kc>Ku. Treba se podsetiti da ovo ne važi za sisteme koji u otvorenom kolu sadrže
nestabilne elemente, tako da se navedene definicije preteka pojačanja i preteka faze ne mogu primeniti
na takve sisteme. Kod sistema sa uslovnom stabilnošću koji ne sadrže nestabilne elemente u otvorenom
kolu, pretek pojačanja i pretek faze se mogu definisati, pri čemu oni predstavljaju udaljenost stanja
stabilnog sistema od granice stabilnosti koja odgovara najnižoj kritičnoj frekvenciji (prvom preseku
Nikvistovog dijagrama sa negativnim delom Re-ose).
4.5. IZBOR I PROJEKTOVANJE REGULATORA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA
U prethodnim poglavljima smo dali analizu ponašanja zatvorenog regulacionog kola, i to u vremenskom,
Laplasovom i frekventnom domenu, sa posebnim naglaskom na analizi stabilnosti. Na osnovu ove
analize je jasno da dinamika zatvorenog kola, njegov odziv i stabilnost, zavise od dinamike svih
elemenata koji ga sačinjavaju: procesa, mernog elementa, izvršnog elementa i regulatora. Takođe je
jasno da se na ukupnu dinamiku najjednostavnije može uticati izborom dinamičke karakteristike
regulatora. Izbor tipa i parametara regulatora se najčešće podrazumeva pod pojmom sinteza
regulacionog sistema.
Dva osnovna zahteva koje mora da osigura izbor regulatora i njegovih parametara su stabilnost sistema i
njegov dovoljno brzi odziv. Ova dva zahteva su najčešće u kontradikciji, jer u većini slučajeva promena
parametara koja obezbeđuje povećanje brzine odziva zatvorenog regulacionog kola istovremeno
smanjuje njegovu stabilnost. Zbog toga, prilikom sinteze regulatora treba naći optimum između ova dva
zahteva.
Osnovna pitanja koja se postavljaju pri projektovanju regulatora su sledeća:
1. Koji tip regulatora treba upotrebiti za regulaciju datog procesa? Tip regulatora definiše
upravljačku akciju. Konvencionalne tipove regulatora koji se koriste u sistemima upravljanja sa
povratnom spregom (P, PI PD, PID) smo definisali u poglavlju 4.2. Pri tome treba naglasiti da su
najčešće korišćeni P, PI i PID regulatori, dok se PD regulator dosta retko koristi.
2. Kako odabrati najbolje vrednosti parametara regulatora? Izbor vrednosti parametara
regulatora se obično naziva podešavanja regulatora.
3. Koji kriterijum za ocenu kvaliteta ponašanja sistema treba koristiti za izbor tipa regulatora i
podešavanje njegovih parametara? Odgovor na ovo pitanje kvantifikuje prethodna dva.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
4.5.1. Kriterijumi za ocenu kvaliteta regulacije
Postoji više različitih kriterijuma za ocenu kvaliteta ponašanja zatvorenog regulacionog kola. Osnovna
podela ovih kriterijuma je prema domenu u kome se definišu: na kriterijume u vremenskom, Laplasovom
i frekventnom domenu.
4.5.1.1. Kriterijumi u vremenskom domenu
Kriterijume ponašanja sistema koji se definišu u vremenskom domenu možemo podeliti na kriterijume
stacionarnog stanja i kriterijume dinamičkog odziva.
Kriterijumi stacionarnog stanja. Osnovni kriterijum stacionarnog stanja je greška stacionarnog stanja,
koja predstavlja odstupanje regulisane veličine od njene željene vrednosti kada sistem dođe u novo
stacionarno stanje. Greške stacionarnog stanja koje se dobijaju pri jediničnoj stepenastoj promeni
postavne tačke i opterećenja, prikazane su šematski na slikama 4.5-1(a) i 4.5-1(b). Greška stacionarnog
stanja predstavlja izrazito negativnu karakteristiku odziva, tako da se pri projektovanju regulatora teži da
se ona smanji na najmanju moguću meru, ukoliko je nije moguće potpuno eliminisati.
Slika 4.5-1. Greška stacionarnog stanja (offset) pri jediničnoj
stepenastoj promeni (a) postavne tačke; (b) opterećenja
Kriterijumi dinamičkog odziva. Definisanje kriterijuma dinamičkog odziva zatvorenog regulacionog kola
se bazira na dva osnovna pristupa:
1. definisanje jednostavnih kriterijuma koji koriste nekoliko tačaka odziva;
2. definisanje kriterijuma koji koriste ukupnu krivu odziva zatvorenog regulacionog kola. Ovi
kriterijumi se najčešće definišu u obliku integrala. Njihova primena je znatno komplikovanija nego
primena kriterijuma koji koriste samo pojedine tačke odziva.
Jednostavni kriterijumi u vremenskom domenu. Na slici 4.5-2. je prikazan tipičan odziv zatvorenog
regulacionog kola na stepenastu promenu postavne tačke. Ovakvom odzivu odgovara prenosna funkcija
zatvorenog kola sa dominantnim parom konjugovano kompleksnih korena:
W(s) =
P(s)
,ξ < 1
Q(s) ( τ s 2 + 2ξτs + 1)
2
(4.5-1)
Neke karakteristične veličine koje se kod njega javljaju, predstavljaju kriterijume za ocenu kvaliteta
regulacije. Ovi kriterijumi su potpuno analogni kriterijumima kvaliteta odziva sistema drugog reda koje
smo definisali u poglavlju 2.7.2. Najčešće se koriste sledeći kriterijumi:
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
1. Prekoračenje: definiše se kao odnos B/D, na
slici 4.5-2. Ukoliko je par dominantnih
konjugovano kompleksnih korena karakteristične
jednačine zatvore-nog kola mnogo bliži Im-osi
nego svi ostali koreni, mogu se koristiti zavisnosti
koje važe za sistem drugog reda. Tako se
približna
vrednost
prekoračenja
odziva
zatvorenog regulacionog kola može odrediti na
osnovu zavisnosti između prekoračenja i
koeficijenta prigušenja izvedene za sistem
drugog reda:
⎛ - πξ ⎞
⎟
PR = exp ⎜
⎜ 1 - ξ2 ⎟
⎝
⎠
(4.5-2)
Prekoračenje se smanjuje sa po-većanjem
koeficijenta prigušenja ξ (za ξ$1, prekoračenje je
jednako nuli).
Slika 4.5-2. Tipičan odziv zatvorenog regulacionog
kola na stepenastu promenu postavne tačke
2. Odnos slabljenja: definiše se kao odnos
amplituda dve susedne oscilacije (C/B na slici 4.5-2.). Veza sa koeficijentom prigušenja, za sistem
drugog reda, je:
⎛ - 2πξ
O.S.= exp ⎜
⎜ 1 - ξ2
⎝
⎞
⎟ = PR 2
⎟
⎠
(4.5-3)
Odnos slabljenja se takođe smanjuje sa povećanjem koeficijenta prigušenja ξ.
3. Frekvencija oscilovanja i period oscilovanja:
Za sistem drugog reda važe sledeće zavisnosti:
- ugaona frekvencija oscilovanja:
ω=
1 - ξ2
τ
(4.5-4)
-frekvencija oscilovanja:
f=
1 - ξ2
ω
=
2π
2πτ
(4.5-5)
- period oscilovanja:
P=
1
2 πτ
=
f
1 - ξ2
(4.5-6)
4. Vreme uspona: najčešće se definiše kao vreme vreme potrebno da odziv prvi put dostigne krajnju
ravnotežnu vrednost (vrednost tu,100% na slici 4.5-2.) ili kao vreme potrebno da se izlaz promeni od 10%
do 90% svoje ukupne promene. Vreme uspona opada sa smanjenjem koeficijenta prigušenja ξ.
5. Vreme smirenja: definiše se kao vreme potrebno da odstupanje izlaza od njegove konačne vrednosti
postane manje od nekog procenta, najčešće "2% ili "5% (ts na slici 4.5-2.). Vreme smirenja se smanjuje
sa povećanjem koeficijenta prigušenja ξ.
Dinamički parametri τ i ξ u prenosnoj funkciji zatvorenog kola (jednačina (3.5-1)) zavise od parametara
regulatora. Cilj projektovanja regulatora je da se izaberu takvi parametri regulatora koji će obezbediti
dobar kvalitet regulacije u pogledu svih ovih kriterijuma (malo prekoračenje, kratko vreme uspona, kratko
vreme odziva, mali odnos slabljenja). Ovi zahtevi su delom kontradiktorni: povećanjem koeficijenta
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
prigušenja ξ smanjuju se prekoračenje i odnos slabljenja, kao i vreme smirenja, ali se povećava vreme
uspona. Zbog toga pri izboru parametara regulatora treba naći kompromis između svih zahteva.
Eksperimentalno je ustanovljeno da je dobar kompromis usvojiti da odnos slabljenja bude 1/4 (što
odgovara ξ .0.225)
4.5.1.2. Kriterijumi u Laplasovom domenu
Najbolji način za prikazivanje ponašanja zatvorenog regulacionog
kola u Laplasovom domenu je crtanje dijagrama položaja korena
karakteristične jednačine zatvorenog kola, pri promeni pojačanja
regulatora od 0 do 4. Kao što smo naveli u poglavlju 4.4.4., na osnovu
dijagrama položaja korena se mogu dobiti mnogi značajni podaci o
ponašanju zatvorenog regulacionog kola:
1. Ako svi koreni za dato Kc leže u levoj poluravni
kompleksne s-ravni, sistem je stabilan.
2. Ako svi koreni leže na realnoj osi, sistem je previše ili
kritično prigušen (neoscilatoran).
3. Što se koreni karakteristične jednačine nalaze dalje od
koordinatnog početka (ulevo), sistem će biti brži (ima manje
vremenske konstante).
4. Koreni koji leže najbliže imaginarnoj osi imaju dominantan
Slika 4.5-4. Oblast u s-ravni
uticaj na dinamički odziv sistema i nazivaju se dominantni koreni.
koja obezbeđuje zadato vreme
Dominantan realni koren je po apsolutnoj vrednosti jednak recipročnoj
smirenja
vrednosti najveće vremenske konstante u sistemu.
5. Što je par konjugovano kompleksnih korena dalje od realne ose (ima veći imaginarni deo),
sistem je manje prigušen.
Jednostavni kriterijumi definisani u vremenskom domenu
(prekoračenje, odnos slabljenja i td.) se mogu koristiti ako postoji
dominantan par konjugovano kompleksnih korena. U tom slučaju se
koeficijent prigušenja sistema može direktno odrediti sa dijagrama,
kao kosinus ugla koji vektor definisan korenom zaklapa sa negativnim
delom realne ose. Podsetimo se da su linije konstantnog koeficijenta
prigušenja radijalne linije u s-ravni, dok su linije konstantne
vremenske konstante krugovi sa centrom u koordinatnom početku.
Jednostavni kriterijumi u vremenskom domenu su u korelaciji sa
dominantnim korenima karakteristične jednačine zatvorenog kola.
Kao kriterijum kvaliteta regulacije u kompleksnom domenu se mogu
definisati željeni dominantni koreni karakteristične jednačine ili željeni
koeficijent prigušenja. Pri tome se često izdvaja oblast s-ravni u kojij
treba da leže svi koreni karakteristične jednačine, tako da se
obezbedi da vreme smirenja ne bude duže od neke zadate vrednosti
(slika 4.5-4.) ili da koeficijent prigušenja ne bude manji od neke
zadate vrednosti (slika 4.5-5.)
Slika 4.5-5. Oblast u s-ravni
koja
obezbeđuje
zadati
koeficijent prigušenja
4.5.1.3. Kriterijumi u frekventnom domenu
Za analizu kvaliteta regulacije u jako često se koriste kriterijumi definisani u frekventnom domenu. Oni se
mogu definisati na osnovu frekventnih karakteristika otvorenog ili na osnovu frekventnih karakteristika
zatvorenog kola.
Kriterijume kvaliteta regulacije definisane na osnovu frekventnih karakteristika otvorenog kola koji se
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
najčešće koriste smo opisali u poglavlju 4.4.7. To su, da se podsetimo:
Pretek pojačanja m:
m=
1
AR( ω )|φ( ω )= _π
(4.5-12)
Pretek faze γ:
γ = π + φ( ω )|AR( ω )=1
(4.5-13)
Kao što smo naveli u poglavlju 4.4.7., najčešće se smatra da je zatvoreno regulaciono kolo dobro
podešeno kada pretek pojačanja ima vrednost oko 2 (1.7- 3), a pretek faze oko 30o.
Pretek pojačanja i pretek faze su u korelaciji sa koeficijentom prigušenja i jednostavnim kriterijumima u
vremenskom domenu.
Na osnovu odabranog kriterijuma kvaliteta regulacije, ili, što je češće, kombinacije više njih, vrši se izbor
tipa regulatora i njegovih parametara, tako da se dobije zatvoreno regulaciono kolo koje što bolje
ispunjava tražene kriterijume. Pri tome se, zbog kompleksnosti problema, ovaj izbor jako mnogo zasniva
na iskustvu i različitim poluempirijskim pravilima.
4.5.2. Izbor tipa regulatora zatvorenog regulacionog kola
Pri izboru tipa regulatora, najčešće korišćeni upravljački zakoni su P, PI i PID. U principu bi, u cilju izbora
najboljeg regulatora trebalo istovremeno izvršiti izbor i tipa i parametara regulatora, na osnovu sledeće
procedure:
1. Definiše se odgovarajući kriterijum kvaliteta regulacije (npr. IKG, IAG, IVAG).
2. Za svaki tip regulatora (P, PI, PID), na osnovu odabranog kriterijuma se odrede optimalne
vrednosti parametara regulatora i izračunaju se vrednosti kriterijuma koje odgovaraju P, PI ili PID
regulatoru, sa najboljim vrednostima parametara (Kc, τi, τd).
3. Odabere se regulator koji daje najbolji kvalitet regulacije, prema datom kriterijumu.
Ova procedura, iako matematički rigorozna, ima nekoliko praktičnih nedostataka:
- zahteva puno vremena i angažovanja;
- zasniva se na modelima procesa, mernog elementa i izvršnog elementa, koji često nisu
egzaktno poznati;
- uključuje izvesne nedoumice oko izbora najpogodnijeg kriterijuma i, kod integralnih kriterijuma,
ulazne promene za koju ga treba odrediti.
U praksi se najpogodniji tip regulatora najčešće bira na osnovu opštih kvalitativnih saznanja o uticaju
proporcionalnog, integralnog i diferencijalnog dejstva na odziv sistema. Sumarni zaključci koje smo izveli
u poglavlju 4.3.2. su bili sledeći:
1. Proporcionalno dejstvo:
(a) Ubrzava odziv procesa koji se reguliše (brzina odziva raste kad Kc raste).
(b) Proizvodi grešku stacionarnog stanja za sve procese osim onih koji sadrže čist kapacitivni element
(član 1/s u prenosnoj funkciji). Greška stacionarnog stanja se smanjuje sa povećanjem Kc.
(c) Kod sistema drugog i višeg reda može da izazove ili da poveća oscilatornost (koeficijent prigušenja ξ
opada kada Kc raste).
(d) Kod sistema trećeg i višeg reda ili sistema sa čistim kašnjenjem, može da dovede do nestabilnosti
sistema. Povećanjem Kc se, kod većine sistema smanjuje stabilnost.
2. Integralno dejstvo:
(a) Eliminiše grešku stacionarnog stanja.
(b) Izaziva povećanje maksimalnih odstupanja od željene vrednosti.
(c) Smanjuje stabilnost sistema; stabilnost se manjuje sa smanjenjem integralnog vremena.
(c) Proizvodi spore odzive koji dugo osciluju.
(d) Sa povećanjem Kc, dobilja se brži odziv, ali sistem postaje oscilatorniji i može postati nestabilan.
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
3. Diferencijalno dejstvo:
(a) Predskazuje buduće greške i uvodi odgovarajuću akciju.
(b) Povećava stabilnost zatvorenog regulacionog kola i
smanjuje njegovu oscilatornost (ξ raste sa porastom Kc i τd).
(c) Smanjuje brzinu odziva.
Na slici 4.5-6. je kvalitativno prikazan izgled odziva jednog
sistema bez regulacije i odgovarajućeg zatvorenog
regulacionog kola sa P, PI i PID regulacijom (za promenu
opterećenja), koji ilustruje prethodne navode.
Na osnovu napred iznetog se može zaključiti da je PID Slika 4.5-6. Kvalitativni prikaz uticaja
regulator nabolji, jer omogućuje najveću fleksibilnost da se različitih tipova regulatora na odziv
dođe do željenog odziva, izborom tri parametra. Međutim, zatvorenog regulacionog kola
korišćenje PID regulatora podrazumeva podešavanje tri
parametra, što predstavlja vrlo kompleksan problem. Balans između kvaliteta regulacije i teškoća
podešavanja se može naći kroz sledeća praktična pravila:
1. Ako je moguće, treba koristiti P regulator koji je najjednostavniji. P regulacija se koristi kada se
sa umerenim vrednostima pojačanja regulatora može ostvariti prihvatljivo mala greška stacionarnog
stanja ili kada sam proces sadrži integrator (član 1/s u prenosnoj funkciji) otvorenog kola. P regulator se
najčešće koristi za regulaciju nivoa i pritiska, u slučajevima kada nije neophodno održavanje regulisane
veličine (nivoa, pritiska) na tačno određenoj vrednosti, već u datom opsegu. Ovo je najčešće slučaj kada
se regulacija pritiska ili nivoa vrši u cilju regulacije materijalnog bilansa jednog dela ili celog postrojenja.
2. Ako P regulator ne zadovoljava, koristiti PI regulator. Za regulaciju protoka se koristi gotovo
isključivo PI regulacija. Otklanja grešku stacionarnog stanja, a sa druge strane, zbog vrlo brzog procesa,
odziv ostaje dovoljno brz uprkos uvođenju integralnog dejstva koje izaziva smanjenje brzine odziva
zatvorenog regulacionog kola.
3. PID regulator treba koristiti kada treba povećati brzinu odziva i zadržati robustnost zatvorenog
regulacionog kola. Preporučuje se za regulaciona kola temperature i sastava, kod kojih se javljaju spori
procesi višeg reda. Ne preporučuje se za sisteme u kojima ima značajnih šumova (npr. za regulaciju
protoka), jer diferencijalna akcija pojačava šumove.
4.5.3. Podešavanje parametara regulatora
4.5.3.1. Podešavanje parametara regulatora za objekat upravljanja čiji je dinamički model poznat
Podešavanje parametara regulatora se najčešće vrši u frekventnom ili u Laplasovom domenu. U
frekventnom domenu, izbor vrednosti parametara regulatora se vrši na osnovu frekventnih karakteristika
otvorenog kola, tako da se dobije određeni pretek pojačanja, pretek faze ili maksimum logaritma modula
frekventne karakteristike zatvorenog kola. U Laplasovom domenu se izbor vrednosti parametara
regulatora najčešće vrši na osnovu dijagrama položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog kola
pri promeni pojačanja regulatora od 0 do 4, izborom dominantnih korena ili koeficijenta prigušenja. I u
jednom i u drugom slučaju, podešavanje P regulatora, ili složenijih regulatora kada su vrednosti
integralnog vremena i diferencijalnog vremena poznate je prilično jednostavno. Međutim, podešavanje
sva tri parametra regulatora može da predstavlja vrlo složen problem.
U praksi se izbor vrednosti parametara regulatora najčešće vrši na osnovu poluempirijskih pravila koja su
razvijena tako da predstavljaju kompromis između više kriterijuma za kvalitet regulacije i da, istovremeno
omogućavaju brzo i jednostavno određivanje svih parametara regulatora, čak i za slučaj složene PID
regulacije.
4.5.3.2. Podešavanje parametara regulatora korišćenjem poluempirijskih pravila
Poluempirijska pravila koja se koriste za podešavanje parametara regulatora se generalno mogu podeliti
u dve osnovne grupe koje se najčešće koriste. Prva grupa se zasniva na poznavanju reakcione krive
procesa, odnosno vremenskog odziva objekta upravljanja na stepenastu promenu manipulativne
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
promenljive. Druga grupa poluempirijskih parvila se zasniva na poznavanju krajnjeg pojačanja i kritične
frekvencije sistema.
Treba naglasiti da se ova pravila mogu koristiti za podešavanje parametara regulatora i u slučaju kada
nije poznat egzaktni dinamički model objekta. U daljem tekstu će biti prikazana najčešće korišćena
metode za podešavanje parametara regulatora: metoda krajnjeg perioda Cigler-Nikolsa (ZieglerNichols).
Metoda Ciglera i Nikolsa na osnovu krajnjeg pojačanja i krajnjeg perioda (Z-N metoda)
Ova metoda za definisanje parametara regulatora koristi vrednosti krajnjeg pojačanja i krajnjeg perioda,
odnosno kritične frekvencije, zatvorenog regulacionog kola sa P regulacijom.
Da podsetimo, krajnje pojačanje predstavlja pojačanje regulatora pri kome je zatvoreno regulaciono kolo
na granici stabilnosti. Krajnji period predstavlja period oscilovanja, sa konstantnom amplitudom,
zatvorenog regulacionog kola koje je na granici stabilnosti. Ova veličina je usko povezana sa kritičnom
frekvencijom sistema:
Pu =
2π
(4.5-15)
ω0
Ukoliko su poznati dinamički modeli svih elemenata u zatvorenom kolu (procesa, mernog i izvršnog
elementa), vrednost krajnjeg pojačanja i kritične frekvencije se mogu odrediti nekom od metoda za
ispitivanje stabilnosti sistema (npr. Rutov kriterijum, dijagram položaja korena, Bodeov ili Nikvistov
kriterijum stabilnosti). Ukoliko dinamički model procesa nije poznat, vrednosti krajnjeg pojačanja i
krajnjeg perioda se mogu odrediti i eksperimentalno, i to na dva načina: na osnovu eksperimentalnog
ispitivanja u otvorenom i u zatvorenom kolu.
1. Krajnje pojačanje i krajnji period se mogu odrediti na osnovu eksperimentalno određenih
frekventnih karakteristika otvorenog kola. Najpogodnije je ove eksperimente vršiti za pojačanje
regulatora Kc=1. Frekvencija za koju se dobija fazna karakteristika otvorenog kola φ=-π je kritična
frekvencija, i na osnovu nje se može izračunati krajnji period korišćenjem jednačine (4.5-15). Krajnje
pojačanje se dobija kao recipročna vrednost ampitudne karakteristike otvorenog kola koja odgovara
kritičnoj frekvenciji.
2. Eksperimentalno ispitivanje u zatvorenom kolu se svodi na sledeći postupak: Regulator se
podesi tako da integralno vreme bude maksimalno, a diferencijalno minimalno (odnosno, da se regulator
ponaša kao proporcionalni) i povećava se pojačanje regulatora dok se ne pojave neprigušene oscilacije.
Pojačanje regulatora pri kome se one javljaju je krajnje pojačanje Ku, a period oscilacija krajnji period Pu.
Izrazi za određivanje vrednosti parametara regulatora metodom Ciglera i Nikolsa su dati u Tabeli 4.5-3.
Tabela 4.5-3. Izrazi za određivanje parametara regulatora metodom Cigler-Nikolsa
Tip regulatora
Kc
τi
τd
P
PI
K u /2
K u /2.2
PID
K u /1.7
Pu /1.2
Pu /2
Pu /8
Ovi parametri približno odgovaraju kriterijumu da je odnos slabljenja jednak 1/4.
Na osnovu izraza za izračunavanje vrednosti integralnog i diferencijalnog vremena PID regulatora
IV KONFIGURACIJA UPRAVLJANJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
metodom Cigler-Nikolsa, prikazanih u tabeli 4.5-3., može se primetiti da je odnos ove dve vrednosti
konstantan i jednak 4. Ovaj princip se koristi pri konstrukciji nekih PID regulatora, tako da postoje
industrijski PID regulatori koji imaju samo dva parametra koje treba podesiti, Kc i τi, dok se vrednost τd
podešava automatski tako da je odnos τi/τd konstantan.
Treba naglasiti da se poluempirijske metode za izbor parametara regulatora koje smo prikazali mogu
koristiti samo za jednostavne sisteme koji ne sadrže nestabilne elemente u otvorenom kolu, nisu
oscilatorni u otvorenom kolu i imaju monotono opadajuće amplitudne i fazne karakteristike (sisteme za
koje se može koristiti Bodeov kriterijum stabilnosti). Ukoliko imamo sistem koji sadrži nestabilne
elemente u otvorenom kolu ili sistem sa uslovnom stabilnošću, izbor parametara regulatora se mora vršiti
na osnovu posebne analize.
4.5.3.3. Eksperimentalno on-line podešavanje parametara regulatora
Parametri regulatora se mogu podešavati i eksperimentalno, metodom probanja. Postupak on-line
podešavanja regulatora se sastoji iz sledećih koraka:
1. Isključi se integralna i diferencijalna akcija regulatora, postavljanjem τi na maksimalnu, a τd na
minimalnu vrednost.
2. Podesi se pojačanje regulatora na neku malu vrednost.
3. Regulator se prebaci na automatski rad.
4. Uvodi se mala promena postavne tačke i posmatra odziv. Zbog malog pojačanja odziv će biti
vrlo spor.
5. Udvostruči se pojačanje regulatora i ponovo uvodi mali poremećaj ulaza.
6. Ponavlja se korak 5, sve dok sistem ne postane jako neprigušen i oscilatoran. Pojačanje pri
kome se to dešava je krajnje pojačanje.
7. Smanji se pojačanje regulatora na polovinu od krajnjeg.
8. Smanjuje se vrednost integralnog vremena sa faktorom 2 i posmatra se odziv zatvorenog kola
na malu promenu postavne tačke.
9. Nađe se vrednost τi pri kojoj je sistem jako oscilatoran i usvoji se dvostruko veća vrednost.
10. Povećava se diferencijalno vreme u koracima, sa faktorom 2, dok šum ne počne značajno
da se primećuje u odzivu.
11. Postavi se τd na vrednost dvostruko manju od one određene u prethodnoj tački.
12. Menja se pojačanje regulatora ponovo u koracima po 10%, dok se ne dobije odziv sa
željenim prekoračenjem i odnosom slabljenja.
Ova procedura se ne može koristiti za podešavanje parametara regulatora u sistemima sa uslovnom
stabilnošću, jer se kod njih oblasti nestabilnosti javljaju i pri niskim i pri visokim pojačanjima, ali između
njih postoji oblast kada je sistem stabilan. Naravno, ova metoda se ne može koristiti ni ako je objekat
upravljanja nestabilan sistem.
Download

zatvoreno regulaciono kolo