7. STABILNOST SISTEMA
Stabilnost - Najvažnija osobina SAU.
7.1. POJAM RAVNOTEŽNOG STANJA I STABILNOST NELINEARNIH SISTEMA
x(t )  f  x(t ), t 
xe ravnotežno stanje:
f  x  xe , t   0 
dx(t )
0
dt x xe
Definicija 7.1. Ravnotežno stanje xe je stabilno ako
  0 ,   0 , x(0)  xe   
 , t  0
x1  xe1

x2
 x(t )  xe 



xe
x(0)
-
x1
-
Stabilno ravnotežno stanje
t
x1  xe1
x2




xe
x(0)
-
x1
-
Ravnotežno stanje nije stabilno
t
Definicija 7.2. Ravnotežno stanje xe je asimptotski stabilno ako
  0 ,
x(0)  xe    lim  x(t )  xe   0
t 
x1  xe1
x2


xe

x(0)
-
x1
-
Asimptotski stabilno ravnotežno stanje
t
Definicija 7.3. Ravnotežno stanje xe je globalno asimptotski stabilno ako
  0 ,
x(0)  xe    lim  x(t )  xe   0
t 
Za bilo koje početno stanje sistema xe konvergira ka
ravnotežnom stanju kada t   .
Sistem može imati SAMO JEDNO globalno asimptotski
stabilno ravnotežno stanje xe .
globalno
asimptotski
stabilno
nestabilno
asimptotski
stabilno
nestabilno
asimptotski
stabilno
beskonačno mnogo stabilnih
ravnotežnih stanja
Primer 7.2. Linearni sistem
x(t )  Ax(t )
Ravnotežno stanje ?
x(t )  0  A  xe  0  xe  A1  0  0, det A  0
xe  0
Jedinstveno
ravnotežno stanje !
Stabilnost ravnotežnog stanja
LINEARNOG sistema
Globalno ravnotežno
stanje !
==
Asimptotski stabilno
ravnotežno stanje !
STABILNOSTI SISTEMA
7.2. STABILNOST LINEARNIH SISTEMA
Dva koncepta stabilnosti linearnih sistema:
1. ulazno-izlazna stabilnost (BIBO stabilnost)
2. opšta (unutrašnja) stabilnost sistema (stabilnost sistema)
7.2.1.1. DEFINICIJA BIBO STABILNOSTI
Definicija 7.4. Linearni stacionarni sistem je BIBO (Boundary Input Boundary
Output) stabilan ako je za bilo koji ograničeni ulazni signal izlaz sistema je takođe
ograničen:
t u (t )     t y (t )  
u (t )  
SISTEM
y (t )  
USLOV BIBO STABILNOSTI

y (t )   g ()u (t  )d 
0



0
0
0
y (t )   g ()u (t  )d    g () u (t  ) d     g () d 
Teorema 7.1. Linearni stacionarni sistem, čiji je impulsni odziv g (t ) je BIBO stabilan
ako i samo ako važi:

 g () d   
0
Teorema 7.2. Linearni stacionarni sistem, čija je funkcija prenosa G(s), je BIBO
stabilan ako važi Re  p j   0 , za svaki pol p j funkcije prenosa G(s).
Primer 7.1. Posmatrajmo sistem, čija je funkcija prenosa
G( s) 
s 1
1

 s  1 s  1 s  1
Iako je sistem sa pozicija ulaz-izlaz BIBO stabilan, on nije stabilan u odnosu na svoju
unutrašnju dinamiku.
Kažemo da BIBO stabilnost “ne vodi računa“ o unutrašnjoj dinamici sistema.
s 1
 s  1 s  1
1
s 1
7.2.1.2. DEFINICIJA STABILNOSTI LINEARNIH SISTEMA
d n y(t)
dy(t)
d mu(t)
du(t)
an
 ...  a1
 a0 y(t)  bm
 ...  b1
 b0u(t)
n
m
dt
dt
dt
dt
y(t )  yh (t )  y p (t )
Homogeno rešenje - karakter prelaznog procesa
Partikularno - karakteristike ustaljenog stanja.
Definicija 7.5. Linearni stacionarni sistem je
(i) stabilan ako je
lim yh (t )  0
t 
(ii) nestabilan ako je
lim yh (t )  
t 
(iii) aperiodično granično stabilan ako je
lim yh (t )    ,   0
t 
(iv) oscilatorno granično stabilan ako
ne postoji lim yh (t )
t 
Definicija 7.7. Linearni stacionarni sistem je
(i) stabilan ako je
lim g (t )  0
t 
(ii) nestabilan ako je
lim g (t )  
t 
(iii) aperiodično granično stabilan ako je
lim g (t )    ,   0
t 
(iv) oscilatorno granično stabilan ako
ne postoji lim g (t )
t 
Teorema 7.3.
(i) Kontinualan linearni stacionarni sistem je stabilan ako i samo ako svi njegovi
polovi leže u levoj poluravni s-ravni.
(ii) Sistem je na granici stabilnosti ukoliko poseduje jednostruke polove na
imaginarnoj osi. Pri tome:
a) par jednostrukih konjugovano kompleksnih polova na imaginarnoj osi vodi
ka oscilatornoj granici stabilnosti,
b) jednostruki pol u koordinatnom početku vodi ka aperiodičnoj granici
stabilnosti.
(iii) Ukoliko sistem ima bar jedan pol u desnoj poluravni s-ravni, ili ima makar jedan
višestruki pol na imaginarnoj osi, za sistem kažemo da je nestabilan.
GRANIČNO STABILAN
ILI NESTABILAN
STABILAN
NESTABILAN
7.2.2. ALGEBARSKI KRITERIJUMI STABILNOSTI
Karakteristična jednačina sistema:
f ( s)  an s n  an1s n1 
 a1s  a0  0
Potreban uslov da kontinualni linearni stacionarni sistem bude stabilan jeste da svi
koeficijenti karakterističnog polinoma budu istog znaka.
Očigledno da je ovo i dovoljan uslov za sisteme prvog i drugog reda.
Potreban i dovoljan uslov da kontinualni linearni stacionarni sistem prvog ili drugog
reda bude stabilan jeste da svi koeficijenti karakterističnog polinoma budu istog
znaka.
f ( s)  a1s  a0  0 ,
f ( s)  a2 s 2  a1s  a0  0
7.2.2.1. ROUTH-OV KRITERIJUM STABILNOSTI
f ( s)  an s n  an1s n1 
 a1s  a0
Na osnovu karakterističnog polinoma formira se sledeća tablica brojeva koja se
naziva Routh-ovom tabelom:
sn
an
an2
an  4
s n1
an1
an3
an5
s n2
bn2
bn4
bn6
s n 3
cn3
cn5
2
m2
s1
m1
s0
m0
s
m0
bni 
cni
an1ani  an ani 1
,
a n1
bn2 ani  an1bni 1

,
b n2
Teorema 7.4. (Routh-ov kriterijum)
1. Potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da svi koeficijenti prve
Routh-ove kolone budu istog znaka.
2. Sistem je nestabilan ukoliko postoji promena znaka u prvoj Routh-ovoj koloni.
Broj promene znaka u prvoj Routh-ovoj koloni odgovara broju nestabilnih
polova sistema.
3. Bilo koja vrsta ili kolona Routh-ove tablice se može pomnožiti pozitivnom
konstantom i to neće uticati na rezultat stabilnosti sistema.
Primer 7.3. Proverimo stabilnost sistema čija je karakteristična jednačina
f ( s)  s5  2s 4  s3  3s 2  4s  5  0 . Formirajmo Routh-ovu tablicu:
s5
1
1 4
s4
2
3 5
s
3
1 3
s2
9
s1
32
s0
5
5
2  1  1 3
2  4  1 5
 2  1,
2 3
2
2
1 3  2  3
1 5  2  0
 9,
5
1
1
9  3  ( 1)  5
 9  32
9
32  5  9  0
5
32
U prvoj koloni Routh-ove tablice postoje dve promene znaka i to od 2 na -1 i od -1 na
9.
Karakteristična jednačina ima dva korena sa pozitivnim realnim delovima i sistem je
nestabilan.
Primer 7.4. Za karakterističnu jednačinu
dobijamo
s4
1
1 1
s3
2
2
2

1
s
s1
22/
s0
1
f ( s )  f ( s )  s 4  2s 3  s 2  2s  1  0
2 1 2 1
 2  0  ,
2
2    2 1
2
2


2  2 /   1   0  1
2  2/
2  1  1 0
2 1
2
Kada   0 , član lim 2  2 /   
0
Prema tome, u karakterističnoj jednačini postoje dva korena sa pozitivnim realnim
delovima i sistem je nestabilan.
Primer 7.5.a Posmatrajmo karakteristični polinom f ( s)  s 4  2s3  3s 2  4s  2
Kad   0 dobija se 0 u redu sa članom s1 .
s4
1
3
s3
2
4
s2
1
2
1
s

s0
2
2
Tada se formira pomoćni polinom od koeficijenata počevši
od reda iznad reda gde se pojavila 0 (ovde je to red sa
članom s 2 ).
f1 ( s)  1 s 2  0  s  2  s 2  2
Koreni ovog polinoma određuju 2 pola sistema
p1,2   j 2   j
Ovi polovi doprinose oscilatornom odzivu sistema.
Količnik
f ( s) s 4  2s 3  3s 2  4s  2
2
2


s

2
s

1

(
s

1)
s2  2
s2  2
daje preostale polove p3,4  1, koji su stabilni.
Dakle, sistem se nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti.
7.2.2.2. HURWITZ-OV KRITERIJUM STABILNOSTI
Polazeći od karakterističnog polinoma
f ( s)  an s n  an1s n1 
 a1s  a0
može se formirati tzv. Hurwitz-ova kvadratna matrica dimenzije n  n na sledeći
način:
 an1 an3
a
an2
 n
 0 an1

0
an

H


0
 0


0
 0
an5
an7
0
0
an4
an6
0
0
an3
an5
0
0
an2
an4
0
0
0
0
a2
a0
a3
a1
a4
a2
0
0
0
0

0

0


0
0

a0 
U cilju ispitivanja stabilnosti sistema potrebno je odrediti sve dijagonalne minore:
1  an 1 ,
 an 1 an 3 
2  
,

 an an  2 
 an 1 an 3 an 5 
 3   an an  2 an  4  ,


 0 an 1 an 3 
Pošto su svi elementi poslednje kolone jednaki nuli, osim poslednjeg, važi:
 n  a0  n1
Teorema 7.5. (Hurwitz-ov kriterijum)
1. Potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da svi dijagonalni
minori budu pozitivni: 1  0,  2  0, ,  n  0 .
2. Sistem je nestabilan ukoliko je bar jedan dijagonalni minor negativan.
3. Ukoliko je prvih n  1 minora pozitivno ( 1  0,  2  0, ,  n1  0 ) osim
poslednjeg, koji je jednak nuli,  n  0 , sistem se nalazi na aperiodičnoj granici
stabilnosti.
4. Ukoliko je prvih n  2 minora pozitivno ( 1  0,  2  0, ,  n2  0 ), pri čemu je
n  1 minor jednak nuli,  n1  0 , sistem se nalazi na aperiodičnoj granici
stabilnosti. Tada je istovremeno  n  a0  n 1  0 .
5. Ukoliko je bilo koji drugi minor jednak nuli, sistem je nesrabilan.
7.2.3. GRAFOANALITIČKI KRITERIJUMI STABILNOSTI
7.2.3.2. NIKVISTOV KRITERIJUM STABILNOSTI SISTEMA
Y(s)
E(s)
R(s)
-
G(s)
Funkcija povratnog prenosa:
Pm  s 
Pm ( s) Pm  s 
G p ( s )  G ( s ) 1 


Qn ( s) fO ( s)  s  p1  s  p2 
 s  pn 
,
Karakteristični polinom otvorenog sistema
fO ( s)  Qn ( s) ,
fO ( s)   s  p1  s  p2 
 s  pn   0
Pretpostavka: Postoji P polova u desnoj poluravni (sistem nestabilan).
Zatvoreni sistem:
Pm ( s )
Qn ( s )
Pm ( s )
P (s)
G( s)
GS ( s ) 


 m
1  G ( s ) 1  Pm ( s ) Pm ( s )  Qn ( s ) f  s 
Qn ( s )
Karakteristični polinom zatvorenog sistema
Pm ( s )
Pm ( s )  Qn ( s )
F ( s)  1  G( s)  1 

Qn ( s )
Qn ( s )
Pm ( s )  Qn ( s )

 s  p1  s  p2   s  pn 
F ( s) 
f ( s)
,
fo ( s)
F ( s)  0 
f ( s)  Pm ( s)  Qn ( s)  0
Teorema 7.6. Sistem sa povratnom spregom funkcije povratnog prenosa G(s) je
stabilan, ako i samo ako je, pri promeni učestanosti  od 0 do  , ispunjen jedan od
sledeća dva ekvivalentna uslova:
 priraštaj argumenta vektora 1  G( j) je P ,
 Nikvistova kriva G( j) obuhvata kritičnu tačku, 1  j 0 , P/2 puta u pozitivnom
matematičkom smeru.
Im G(j)
0
-1

0
Re G(j)
G(j)
1  G(j)

Određivanje broja
obuhvata kritične tačke
može biti
problematičan.
Videti Cipkinovo
pravilo prelaza
Slučaj P  0
Teorema 7.7. Neka funkcija povratnog prenosa G(s) sistema nema polova u desnoj
poluravni ( P  0 ). Sistem sa povratnom spregom je stabilan, ako i samo ako kritična
tačka  1  j 0  leži van Nikvistove krive G( j) .
Im G(j)

-1
0
Im G(j)

0
Re G(j)
-1
0
0
Re G(j)
7.2.3.3. CIPKINOVO PRAVILO PRELAZA
Razrešava problem broja obuhvata kritične tačke od strane Nikvistove krive.
1/2
+
1+
1/2
Im G(j)
-
-1
1/2+
1-
Re G(j)
1/2-
Teorema 7.8. Sistem sa povratnom spregom funkcije povratnog prenosa G(s) je
stabilan, ako i samo ako je, pri promeni učestanosti  od 0 do  , razlika pozitivnih i
negativnih prelaza, koje Nikvistova kriva čini sa negativnim delom realne ose, levo
od kritične tačke  1  j 0  jednak P/2,
    P / 2
gde je P broj polova funkcije G(s) u desnoj poluravni,
Im G(j)
1-

0
-1
0
Re G(j)
P
    0  1  1   0  Sistem nije stabilan
2


GRANIČNA STABILNOST
 Ukoliko grafik Nikvistove krive G( j) prolazi kroz karakterističnu tačku 1  j 0
onda važi f ( j)  1  G( j)  0 .
Tada se sistem nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti.
ImG(j)
ImG(j)
0
 0
-1
0
Re G(j)

-1
0
Re G(j)
 Ukoliko grafik Nikvistove krive G( j) polazi iz karakteristične tačke 1  j 0 onda
važi f ( j 0)  f (0)  1  G( j 0)  0 .
Tada se sistem nalazi na aperiodičnoj granici stabilnosti
Primer 7.6. Posmatrajmo sistem iz Primera 4.13.
1
G( s)  2
s  s 1
Ispitajmo stabilnost ovog sistema posle uvođenja jedinične povratne sprege
Nikvistovim kriterijumom.
Im G(j)
1  G(j1 )
0 
0
-1
1
3
1  G(j3 )
  1 -1 2 G(j )
2
1
Re G(j)
s1,2  1/ 2  j 3 / 2 ) sledi P  0
Teorema 7.7.
Kako Nikvistova kriva ne obuhvata kritičnu tačku 1  j 0 sledi da je sistem sa
povratnom spregom stabilan.
Teorema 7.8
Pošto Nikvistova kriva ne seče negativni deo imaginarne ose levo od tačke -1, sledi
0
   00  
2


pa je sistem sa povratnom spregom stabilan.
NORMALIZACIJA FUNKCIJE POVRATNOG PRENOSA
P( s )
G(s)
, normalizovana Nikvistova kriva
G(s)  K
 KG ( s)  G ( s) 
Q( s )
K
 Nikvistova kriva se crta za normalizovanu funkciju i naziva se normalizovana
Nikvistova kriva, a početak vektora, čiji argument računamo, je smešten u tački
 1/ K  j 0  .
ImG(j) K

1 K
- K
1
1
apsolutno stabilni sistemi, K
uslovno stabilni sistemi, za neko K
0
0
Re G(j) K
SLUČAJ POLOVA NA IMAGINARNOJ OSI
Primer 7.7. Ispitati stabilnost sistema regulisanja, čija je funkcija povratnog prenosa
G( s) 
Im s
C
K
s  s  1
Im s
I
  0,  / 2
   ,  3 / 2
s   e j ,   0
B

H
A
F
D
G

Re s
Re s
L
R
R
E
J
K
K
G( s)
1
G( s) 


s  s  1
K
s  s  1
Luk AB : s  e j ,   0,  0,  / 2
G (e j )
1
1  j
lim
 lim j
 lim e
j
0

0
K
e  e  1 0 
 G (e j ) 
G (e j )
lim
 , limarg 
  0,   / 2

0
0
K
 K 
Luk GH : s  e j ,   0,   ,  3 / 2
 G (e j ) 
G (e j )
lim
 , limarg 
    , 3 / 2
0

0
K
 K 
Duži BC i HI : s  j,  0 ,  
(i) Tačka u beskonačnosti
G ( j)
1
1
lim
 lim
 lim


K
j  j  1   j2
G ( j)
1
lim
 lim 2  0,

 
K
 G ( j) 
lim arg 
lim arg  j  2 / 2  
  2 

 K 
(ii) Preseci sa osama
j 1  j
G ( j)
1
  j1
1
1




j
2
2
K
j 1  j j 1  j  1    1  
 1  2 
Im G(j)
P0
C’
A’
Re G(j)
1/ K
1
2

P 1
Im G(j)
1/ K
I’
G’
Re G(j)
R
R
B’
H’
    0  0  0  P / 2 , sistem sa povratnom spregom stabilan za svaku vrednost
pojačanja K (apsolutno stabilan).
SLUČAJ NEJEDINIČNE POVRATNE SPREGE
E(s)
R(s)
Y(s)
G1(s)
-
G2 (s)
Funkcija povratnog prenosa:
G( s)  G1 ( s)G2 (s)
UTICAJ STEPENA ASTATIZMA NA STABILNOST
G s
KP  s 
Ps
 r
 r
, P  0   1, Q  0   1
K
Ks Q  s  s Q  s 
Sistem u otvorenoj sprezi stabilan.
r 0
Im G(j)
Apsolutno stabilan
-1/K
Re G(j)
r 1
Im G(j)
r 1
Apsolutno stabilan
1/ K
Im G(j)
Uslovno stabilan
Re G(j)
Re G(j)
1/ K
r2
1/ K
r2
Im G(j)
Uslovno stabilan
Re G(j)
1/ K
Im G(j)
Nestabilan
Re G(j)
Im G(j)
1/ K
r 3
Uslovno stabilan
Im G(j)
1/ K
Re G(j)
Re G(j)
Im G(j)
1/ K
r 3
Nestabilan
Re G(j)
r 3
Nestabilan
Im G(j)
r4
1/ K
Nestabilan
Re G(j)
7.2.3.2. KRITERIJUM MIHAJLOVA
Karakteristični polinom sistema
f ( s)  an s n 
 a1s  a0
f ( j)  Re f ( j)  Im f ( j)  U ()  jV ()
U ()  Re f ( j)  a0  a22  a44 
V ()  Im  f ( j)    a1  a33  a55 
Za   0,
U (0)  a0 , V (0)  0,

Im f(j)
Im f(j)
n2
n 1 n  5
a0
n3
Re f(j)
n4
Re f(j)
Teorema 7.9. Sistem je stabilan ako i samo ako se vektor Mihajlova f ( j) , ne
poprimajući vrednost nula pri promeni učestanosti  od 0 do  , obrne oko
koordinatnog početka za ugao n / 2 u pozitivnom smeru, gde je sa n označen red
karakterističnog polinoma.
Im f(j)
Im f(j)
n2
n 1 n  5
a0
n3
Re f(j)
n4
Re f(j)
f ( jk )  0 sistem se nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti.
f ( jk )  0  U (k )  0, V (k )  0
Im f(j)
k
 0
Re f(j)
f ( j 0)  0  a0 , sistem se nalazi na aperiodičnoj granici stabilnosti.
Im f(j)
 0
Re f(j)
7.2.3.5. RELATIVNA STABILNOST ZATVORENIH SISTEMA
Pretek (rezerva) faze
Im G( j)
 pf    arg G( j1 ), G( j1 )  1
1 - presečna učestanost pojačanja.
1
 pf  0 sistem stabilan
 pf  0 , sistem nestabilan
 pf  0 sistem je granično stab.
-1+j0
 pf
  1 
Što je pretek faze veći, sistem će imati veću rezervu (pretek) stabilnosti.
ReG( j)
G( j1 )  1
Pretek pojačanja
1
, arg G( j )  
d
G ( j )
 - presečna učestanost faze
d  1 sistem stabilan
d  1 sistem nestabilan
G( j ) 
d  1 sistem je granično stabilan
  

-1+j0
  1

1
d
Im G(j)
1
Re G(j)
Pretek faze i pretek pojačanja na Bode-ovim dijagramima funkcije povratnog
prenosa G( j) .
L    20log G(j)
1
0
1
d
 20logd
L( )  20log
    argG(j)
1
0

  log

pf

  log
7.2.3.6. ISPITIVANJE STABILNOSTI POMOĆU BODEOVIH DIJAGRAMA
1   
Im G(j)
G(j)  1
ω1 = ω π 
Re G(j)

 
-1
1
0
1
Stabilan
Granično stabilan
Nestabilan
L  
L  
d 1
1   log
0
20logd
  
L  
d 1
  log
0
  log
1  
  
20logd
 1
0
  log
  
0
0
0



pf  0
pf  0
d1
  log
  log
pf  0
Teorema 7.10.
1. Ako je funkcija povratnog prenosa G(s) nama polova u desnoj poluravni i ima
samo jednu presečnu učestanost faze  , sistem sa zatvorenom povratnom
spregom će biti stabilan ako i samo ako je presečna učestanost pojačanja
povratnog prenosa 1 manja od presečne učestanosti faze, tj. 1   .
2. Ako je 1   sistem sa povratno spregom je na granici stabilnosti.
3. Ako je 1   sistem sa povratno spregom je nestabilan.
Teorema 7.11.
1. Ako je funkcija povratnog prenosa G(s) nama polova u desnoj poluravni i ima
samo jednu presečnu učestanost faze  , sistem sa zatvorenom povratnom
spregom će biti stabilan ako i samo ako je pretek faze pozitivan, tj.  pf  0 .
2. Ako je  pf  0 sistem sa povratno spregom je na granici stabilnosti.
3. Ako je  pf  0 sistem sa povratno spregom je nestabilan.
Teorema 7.12.
1. Ako je funkcija povratnog prenosa G(s) nama polova u desnoj poluravni i ima
samo jednu presečnu učestanost faze  , sistem sa zatvorenom povratnom
spregom će biti stabilan ako i samo ako je pretek pojačanja veći od jedan, d  1
2. Ako je d  1 sistem sa povratno spregom je na granici stabilnosti.
3. Ako je d  1 sistem sa povratno spregom je nestabilan.
Download

Стабилност система