Glava 1
Furijeov trigonometrijski red.
Furijeov integral
1.0.1
Razvijanje funkcija u Furijeov red, na intervalu (0, ℓ).
Produˇ
zenje poluintervala
U raznim problemima fizike i tehnike javlja se potreba da se u Furijeov red razvije funkcija u nekom
konaˇcnom intervalu, recimo (0, ℓ). To moˇze da se postigne tako ˇsto ´cemo izvrˇsiti translaciju koordinatnog
sistema (odnosno uvesti smenu) za ℓ/2, pa zatim, za, u opˇstem sluˇcaju neprekidnu funkciju f (x), izvrˇsiti
produˇzenje, kako je to ranije objaˇsnjeno (ℓ izabrati za period).
Drugi naˇcin, koji je praktiˇcniji, sastoji se u slede´cem. Uzeti da je period 2ℓ i proˇsiriti polaznu funkciju na
interval (−ℓ, 0). Tada, poˇsto je funkcija data samo na intervalu (0, ℓ), moˇzemo da izvrˇsimo njeno proˇsirenje
na interval (−ℓ, 0), tako da je njeno proˇsirenje parna ili neparna funkcija. Ovaj postupak demonstriran je
na slici 4.3.
Slika 1.1: Produˇzenje neperiodiˇcne funkcije
Ovakvo proˇsirenje je pogodno, jer u ovim sluˇcajevima razvijanje funkcije u Furijeov red svodi se na
1
Furijeov sinus ili kosinus red (zbog parnosti ili neparnosti proˇsirene funkcije), a zadrˇzavamo se samo u
intervalu u kome je polazna funkcija definisana.
Primer. Razviti u Furijeov red funkciju
f (x) =
Reˇ
senje. Prvo skicirajmo datu funkciju.

2k



 ℓ x,
0<x<


2k


(ℓ − x),
ℓ
ℓ
,
2
ℓ
< x < ℓ.
2
Slika 1.2:
Prema uslovima teoreme o konvergentnosti Furijeovog reda, potrebno je da je funkcija periodiˇcna. Zbog
toga ´cemo da izvrˇsimo produˇzenje polazne funkcije i to na: a) parnu i b) neparnu periodiˇcnu funkciju.
a) Prvo skicirajmo ovako proˇsirenu funkciju, prema uputstvu datom ranije.
Slika 1.3:
U ovom sluˇcaju (parna funkcija), prema (??), dobijamo:


Zℓ/2
Zℓ
a0
2k
1  2k

x dx +
(ℓ − x) dx ,
= 
2
ℓ ℓ
ℓ
0
an =

2  2k

ℓ ℓ
ℓ/2
Zℓ/2
x cos
nπ
2k
x dx +
ℓ
ℓ
0
Zℓ
ℓ/2
bn = 0.
2
(ℓ − x) cos

nπ

x dx ,
ℓ
Integracijom dobijamo za koeficijente Furijeovog reda:
k
a0
= ,
2
2
nπ
4k − cos nπ − 1 ,
an = 2 2 2 cos
n π
2
bn = 0.
Analiziraju´ci gornje izraze vidimo da su razliˇciti od nule (an 6= 0) samo ˇclanovi n = 2, 6, 10, 14, . . . ,
pa Furijeov red polazne parno proˇsirene funkcije ima oblik
k 16k 1
2π
6π
1
f (x) = − 2
cos
cos
x
+
x
+
.
.
.
.
2
π
22
ℓ
62
ℓ
b) Skicirajmo sada neparno proˇsirenje.
Slika 1.4:
U ovom sluˇcaju (neparna funkcija), prema (??), dobijamo:
an = 0,


Zℓ/2
Zℓ
nπ
nπ
2k
2  2k

x sin
(ℓ − x) sin
x dx +
x dx .
bn = 
ℓ ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
0
ℓ/2
Odavde, parcijalnom integracijom, dobijamo
bn =
nπ
8k
sin
.
n2 π 2
2
Konaˇcno, Furijeov red, za neparno proˇsirenje, dobija oblik
π
3π
5π
1
1
8k 1
sin
sin
sin
x
−
x
+
x
−
.
.
.
.
f (x) = 2
π
12
ℓ
32
ℓ
52
ℓ
1.0.2
Aproksimacija funkcije trigonometrijskim polinomom. Srednja kvadratna
greˇ
ska
Neka je data periodiˇcna dunkcija f (x), periode 2π, koja moˇze da se predstavi Furijeovim redom.
Aproksimirajmo posmatranu funkciju trigonometrijskim polinomom N -tog reda
N
f (x) ≈
α0 X
(αk cos kx + βk sin kx) ≡ PN (x).
+
2
k=1
3
(1.1)
Koeficijenti ovog polinoma, αk i βk , su za sada neodredeni.
Moˇzemo da ih izrazimo na viˇse naˇcina.
Medutim, jasno je da nas interesuje onaj oblik za koji imamo najbolju aproksimaciju, tj. najmanju greˇsku
aproksimacije, pri fiksiranom N .
U tom cilju, prvo definiˇsimo greˇsku aproksimacije. I greˇsku moˇzemo da definiˇsemo na viˇse naˇcina.
Najprirodnije je definisati je izrazom
|f (x) − PN (x)| = ∆N ,
za x ∈ [−ℓ, ℓ].
Medutim,
u postavljenom zadatku, pogodnije je da se greˇska definiˇse preko integrala i to u obliku
∆N
1
=
2π
Zπ
2
[f (x) − PN (x)] dx.
(1.2)
−π
Ovako definisano ∆N zove se srednja kvadratna greˇ
ska. Postavljeni zadatak se sastoji u tome da, za
fiksno N , odredimo oblik koeficijenata αk i βk , polinoma (1.1), tako da ∆N bude minimalno.
Posmatrajmo prvo podintegralnu funkciju. Kako je (f − PN )2 = f 2 − 2f PN + PN2 , to iz (1.2) dobijamo
∆N
1
=
2π
Zπ
1
[f (x) − PN (x)] dx =
2π
2
−π
Zπ
−π
2
f − 2f PN + PN2 dx.
(1.3)
Dalje,
R kako po pretpostavci, funkciju f (x) moˇzemo da predstavimo konvergentnim Furijeovim redom, to
za f PN dx dobijamo
Zπ
f PN dx =
−π
=
Zπ "
−π
# "
#
∞
N
a0 X
α0 X
+
(ak cos kx + bk sin kx) ·
+
(αk cos kx + βk sin kx) dx =
2
2
k=1
k=1
#
"
N
a0 α0 X
(ak αk + bk βk ) .
+
=π
2
(1.4)
k=1
R
R
R
Ovde smo iskoristili da je cos kxRdx = 0, sin kx dx = 0 i sin kx cos kx dx = 0.
Na sliˇcan naˇcin dobijamo i za PN2 dx
"
#
Zπ
N
2
X
α
0
PN2 dx = π
+
α2k + βk2 .
2
(1.5)
k=1
−π
Iz poslednje dve relacije (1.4) i (1.5), dobijamo
(
)
Zπ
N
i
2
(α0 − a0 )2 X h
2
2
PN − 2f PN dx = π
−
(αk − ak ) + (βk − bk )
+
2
k=1
−π
#
"
N
a20 X 2
2
+
ak + b k ,
−π
2
k=1
pri ˇcemu smo iskoristili slede´ce veze:
(αk − ak )2 = α2k − 2αk ak + a2k ,
α2k − 2ak αk = (αk − ak )2 − a2k
2
(βk − bk ) = βk2 − 2βk bk + b2k ,
βk2 − 2bk βk = (βk − bk )2 − b2k .
4
(1.6)
Ako sada zamenimo (1.6) u (1.3), dobijamo
#
"
Zπ
N
a20 X 2
1
2
2
+
f dx −
ak + b k +
2∆N =
π
2
k=1
−π
(
)
N
i
(α0 − a0 )2 X h
2
2
+
.
+
(αk − ak ) + (βk − bk )
2
(1.7)
k=1
Kako je zadatak da se odrede koeficijenti αk i βk , tako da ∆N bude minimalno, to iz (1.7) zakljuˇcujemo
da treba da vaˇzi
N
i
(α0 − a0 )2 X h
2
2
+
(αk − ak ) + (βk − bk ) = 0.
(1.8)
2
k=1
Jasno je da bi se ovaj ˇclan stalno pove´cavao (zbir kvadrata), sa porastom N , pa bi na taj naˇcin i sama
greˇska rasla. Iz tog razloga smo uzeli da je jednak nuli.
Iz relacija (1.8) dobijamo za traˇzene koeficijente:
α0 = a0 ,
αk = ak ,
βk = bk .
(1.9)
Odavde zakljuˇcujemo da je najbolja srednjekvadratna aproksimacija, za integrabilnu, periodiˇcnu funkciju
f (x), za x ∈ [−π, π], data trigonometrijskim polinomom PN (x) ˇciji su koeficijent Furijeovi koeficijenti
funkcije f (x).
Neke posledice
Zapazimo da je greˇska
∆N
1
=
2π
Zπ
[f (x) − PN (x)]2 dx
−π
nenegativna, jer je podintegralna funkcija kvadrat realne funkcije. Odatle sledi, prema (1.7) i (1.8), da je
2∆N
1
=
π
Zπ
−π
odnosno
1
π
Zπ
#
N
a20 X 2
2
+
ak + bk ≥ 0,
f (x) dx −
2
"
2
k=1
N
f 2 (x) dx ≥
−π
a20 X 2
+
ak + b2k ,
2
za N = 0, 1, . . . ,
(1.10)
k=1
Ovaj izraz (1.10) poznat je u literaturi kao Beselova nejednakost. Dalje, zapazimo da leva strana
nejednakosti ne zavisi od N . Odatle sledi da pri N → ∞ desna strana ostaje ograniˇcena, a to znaˇci da je
red kvadrata Furijeovih koeficijenata
∞
a20 X 2
ak + b2k
+
2
k=1
konvergentan.
Kao posledica ove konvergencije je
lim ak = 0,
lim bk = 0,
k→∞
k→∞
5
tj.
lim ak = 0
⇒
lim bk = 0
⇒
k→∞
k→∞
lim
Zπ
k→∞
−π
Zπ
lim
k→∞
−π
f (x) cos kx dx = 0,
(1.11)
f (x) sin kx dx = 0.
(1.12)
Dakle, Furijeovi koeficijenti ograniˇcene i integrabilne funkcije teˇze nuli, kad k → ∞.
Relacije (1.11) i (1.12) poznate su u literaturi kao Rimanova teorema.
Ako ∆N → 0, kada N → ∞, tada nejednakost (1.10) postaje
1
π
Zπ
∞
f 2 (x) dx =
a20 X 2
+
ak + b2k .
2
(1.13)
k=1
−π
Pokaˇzimo sada kako se prethodne relacije mogu proˇsiriti na proizvoljan (ali konaˇcan) period (−ℓ, ℓ).
Posmatrajmo neku periodiˇcnu funkciju ϕ(t), sa periodom (−π, π), tj. ϕ(t) = ϕ(t+2π), i neku periodiˇcnu
ℓ
funkciju f (x), sa periodom (−ℓ, ℓ), tj. f (x) = f (x + 2ℓ). Uvedimo sada smenu x = t, pri ˇcemu je
π
ℓ
f (x) = f
t = ϕ(t).
π
Prema prethodnim smenama imamo
ℓ
ℓ
ϕ(t + 2π) = f
(t + 2π) = f
t + 2ℓ = f (x + 2ℓ) = f (x) = ϕ(t).
π
π
Dalje, za trigonometrijske redove je
∞
a0 X
(ak cos kt + bk sin kt)
+
2
k=1
∞ kπ
kπ
a0 X
+
ak cos
x + bk sin
x ,
f (x) =
2
ℓ
ℓ
ϕ(t) =
k=1
gde su odgovaraju´ci koeficijenti, recimo ak
1
ak =
π
Zπ
1
ϕ(t) cos kt dt =
ℓ
−π
Zℓ
f (x) cos
kπ
x dx.
ℓ
−ℓ
Ovde smo izvrˇsili smenu granica integracije, jer je:
ℓ
(−π) = −ℓ
π
ℓ
a za t2 = π x2 = (π) = ℓ,
π
π
1
1
a diferencijal dt = dx, odnosno
dt = dx.
ℓ
π
ℓ
za t1 = −π
x1 =
Dakle, pokazali smo za koeficijente ak kako se izraˇcunavaju za proizvoljan period. Na sliˇcan naˇcin dobijamo
i izraz za bk .
6
Lako moˇze da se pokaˇze da relacija (1.13) vaˇzi i za proizvoljan period 2ℓ, tj.
1
ℓ
Zℓ
∞
f 2 (x) dx =
a20 X 2
+
ak + b2k .
2
(1.14)
k=1
−ℓ
Ova relacija (1.14) poznata je kao Parsevalova 1 identiˇcnost Furijeovog reda.
Napomenimo, da u sluˇcaju da je funkcija periodiˇcna na intervalu (a, b), tada, kao i u prethodnom
sluˇcaju, dobijamo (za period b − a)
∞
f (x) =
a0 X
2πk
2πk
+
ak cos
(x − a) + bk sin
(x − a),
2
b−a
b−a
k=1
2
ak =
b−a
Zb
f (x) cos
2πk
(x − a) dx,
b−a
2
b−a
Zb
f (x) sin
2πk
(x − a) dx.
b−a
bk =
1.0.3
a
a
Kompleksan oblik Furijeovog reda
Ako iskoristimo Ojlerove formule za kompleksne brojeve:
cos
e
kπx
=
ℓ
kπx
ℓ i
+ e−
2
kπx
ℓ i
,
sin
kπx
e
=
ℓ
kπx
ℓ i
− e−
2i
kπx
ℓ i
Furijeov red funkcije f (x) moˇzemo da napiˇsemo u obliku
f (x) =
=
=
∞
∞
k=1
−1
X
k=1
∞
X
a0 X ak − bk i kπx i X ak + bk i − kπx i
+
e ℓ +
e ℓ =
2
2
2
ak + bk i kπx i
a0
+
e ℓ +
2
2
−∞
∞
X
ck e
kπx
ℓ i
1
ak − bk i kπx i
e ℓ =
2
.
−∞
Ovde je

ak − b k i





2




a0
ck =
2







a + bk i

 k
2
pri ˇcemu ck moˇze da se odredi relacijom
1
ck =
2ℓ
Zℓ
f (x)e
k > 0,
k = 0,
k < 0,
−kπx
i
ℓ
−ℓ
1 Marie
Antoine Parseval (1755-1836), poznati francuski matematiˇ
car.
7
dx.
,
1.0.4
Furijeov integral
Predstavljanje funkcije Furijeovim redom se veoma koristi u mnogim problemima matematiˇcke fizike,
ali vaˇzi samo za periodiˇcne funkcije. Pokazali smo kako neka funkcija, definisana u konaˇcnom intervalu
(a, b) moˇze da se proˇsiri tako da dobijemo periodiˇcnu parnu ili neparnu funkciju. Medutim,
ˇcesti su
problemi u kojima se javljaju funkcije definisane u intervalu (−∞, ∞), a nisu periodiˇcne. Tu klasu funkcija
ne moˇzemo da proˇsirimo na periodiˇcne funkcije, na opisani naˇcin. Postavlja se pitanje: da li je mogu´ce
proˇsiriti Furijeovu ideju i na takve funkcije?
Posmatrajmo neku funkciju f (x), koja je delimiˇcno glatka funkcija u intervalu [−ℓ, ℓ]. Njen Furijeov
red (??) je oblika
∞ kπ
kπ
a0 X
+
ak cos
x + bk sin
x ,
(1.15)
f (x) =
2
ℓ
ℓ
k=1
pri ˇcemu su koeficijenti ak i bk odredeni
relacijama (??)
1
ak =
ℓ
Zℓ
kπ
t dt,
f (t) cos
ℓ
1
bk =
ℓ
−ℓ
Zℓ
f (t) sin
kπ
t dt, k = 0, 1, 2, . . .
ℓ
(1.16)
−ℓ
Zamenom (1.16) u (1.15), a s obzirom da je
cos
kπ
kπ
kπ
kπ
kπ
x cos
t + sin
x sin
t = cos
(x − t),
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
dobijamo
1
f (x) =
2ℓ
Zℓ
ℓ
f (t) dt +
Z
∞
X
1
ℓ
k=1
−ℓ
f (t) cos
kπ
(t − x) dt.
ℓ
(1.17)
−ℓ
Prethodno postavljeno pitanje svodi se na pitanje: ˇcemu teˇze ovi integrali kada ℓ → ∞ ?
Pretpostavimo da je funkcija f (x) apsolutno integrabilna u intervalu (−ℓ, ℓ), tj.
Zℓ
|f (t)| dt < M,
gde je M konaˇcan broj.
−ℓ
Koriste´ci ovaj uslov, dobijamo
Zℓ
Zℓ
1
1
1
M = 0.
f (t) dt ≤ lim
|f (t)| dt < lim
lim
ℓ→∞
ℓ→∞
ℓ→∞ 2ℓ
2ℓ
2ℓ
−ℓ
(1.18)
−ℓ
Iskoristivˇsi (1.18), relacija (1.17) postaje
ℓ
f (x) = lim
ℓ→∞
Z
∞
X
1
k=1
Uvedimo smenu
αk =
f (t) cos
ℓ
kπ
,
ℓ
kπ
(t − x) dt.
ℓ
(1.19)
−ℓ
k = 0, 1, 2, . . .
pri ˇcemu je
∆αk = αk+1 − αk =
8
π
(k + 1)π kπ
−
=
ℓ
ℓ
ℓ
(1.20)
i
∆αk
1
=
.
ℓ
π
Iz smene se vidi da se novo uvedena promenljiva αk menja u intervalu (0, +∞).
Koriste´ci ove smene, relacija (1.19) dobija oblik
∞
X
1
f (x) =
∆αk
lim
π ℓ→∞
k=1
Zℓ
f (t) cos αk (t − x) dt,
(1.21)
(1.22)
−ℓ
odnosno, kada predemo
na graniˇcnu vrednost
1
f (x) =
π
Z∞
dα
0
Z∞
f (t) cos α(t − x) dt.
(1.23)
−∞
Relacija (1.23) poznata je u literaturi kao Furijeova formula, a odgovaraju´ci integral kao Furijeov
integral.
Teorema 1 Neka je funkcija f (x):
- deo po deo (delimiˇcno) glatka u svakom konaˇcnom intervalu i
- apsolutno integrabilna u intervalu (−∞, ∞).
Tada funkcija f (x)moˇze da se zameni Furijeovim integralom (1.23) za svako x, sem u taˇckama prekida
prve vrste xo , u kojima vrednost funkcije f (xo ) treba zameniti sa
f (xo − 0) + f (xo + 0)
.
2
Furijeovu formulu moˇzemo da predstavimo i relacijom
Z ∞
f (x) =
[A(λ) cos λx + B(λ) sin λx] dλ,
0
gde je:
A(λ) =
B(λ) =
1
π
1
π
Z∞
−∞
Z∞
f (x) cos λx dx,
f (x) sin λx dx.
−∞
9
(1.24)
Download

Furijeov trigonometrijski red. Furijeov integral