Kompleksna analiza
Dragan S. ¯Dord¯evi´c
20.5.2014.
2
Sadrˇ
zaj
Predgovor
7
1 Elementarne osobine kompleksnih funkcija
1.1 Skup C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Algebarska svojstva . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Geometrijska interpretacija . . . . . . . . . .
1.1.3 Rastojanje u C i moduo kompleksnog broja
1.1.4 Trigonometrijski zapis kompleksnog broja .
1.1.5 Topoloˇska svojstva . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Redovi u C . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Proˇsirena kompleksna ravan . . . . . . . . . . . . .
1.3 Kompleksne funkcije realne promenljive . . . . . . .
1.3.1 Graniˇcna vrednost funkcija . . . . . . . . . .
1.3.2 Neprekidnost funkcija . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Diferencijabilnost funkcija . . . . . . . . . .
1.3.4 Rimanov integral . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Putanje u C . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Oblasti u C . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Kompleksne funkcije kompleksne
promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Graniˇcna vrednost funkcije . . . . . . . . . .
1.4.2 Neprekidnost i ravnomerna neprekidnost
funkcija na skupu . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Nizovi i redovi funkcija . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Stepeni redovi . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Elementarne kompleksne funkcije . . . . . . . . . .
1.5.1 Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . .
1.5.2 Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
3
4
6
9
10
13
13
14
15
16
18
20
. . . . . . 22
. . . . . . 22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
25
26
27
27
28
ˇ
SADRZAJ
4
1.5.3
1.5.4
1.5.5
Hiperboliˇcke funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Koren kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Topoloˇ
ski i metriˇ
cki prostori
2.1 Topoloˇski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Metriˇcki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Konvergencije nizova neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . .
31
31
34
38
3 Analitiˇ
cke funkcije
3.1 Diferencijabilne (holomorfne) funkcije . . . . . . . . . .
3.1.1 Izvod funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Koˇsi–Rimanovi uslovi . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Neprekidna diferencijabilnost . . . . . . . . . .
3.1.4 Koˇsi–Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama
3.1.5 Analitiˇcke (regularne) funkcije . . . . . . . . . .
3.2 Integracija po putanji . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Definicija i osobine integrala . . . . . . . . . . .
3.2.2 Indeks zatvorene putanje u odnosu na taˇcku . .
3.3 Teoreme Koˇsija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Lokalna verzija Koˇsijeve teoreme . . . . . . . .
3.3.2 Koˇsi-Gursaova teorema . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Posledice prethodnih teorema . . . . . . . . . .
3.4 Integralna formula Koˇsija i posledice . . . . . . . . . .
3.4.1 Integralna formula Koˇsija . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Svojstva analitiˇckih funkcija . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
41
45
47
48
50
53
53
60
62
62
65
69
71
71
72
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
81
81
85
88
89
89
90
96
96
98
4 Meromorfne funkcije
4.1 Loranov red i raˇcun ostatka . . . . . . . . . . .
4.1.1 Izolovani singulariteti . . . . . . . . . . .
4.1.2 Tipovi singulariteta . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Red pola . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Sluˇcaj a = ∞ . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Ostaci (rezidumi) . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 Izraˇcunavanje ostatka funkcije u polu . .
4.2 Princip argumenta i princip maksimuma modula
4.2.1 Red nule i red pola . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Geometrijska interpretacija . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ˇ
SADRZAJ
5
5 Prostori funkcija
103
5.1 Relativna kompaktnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 Prostori analitiˇckih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3 Prostor meromorfnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 Harmonijske funkcije
6.1 Osobine harmonijskih funkcija . . . .
6.2 Princip maksimuma i osobina srednje
vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Poasonova integralna formula . . . .
6.4 Osobina srednje vrednosti na malim
kruˇznicama . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Harnakov princip . . . . . . . . . . .
121
. . . . . . . . . . . . . . 121
. . . . . . . . . . . . . . 125
. . . . . . . . . . . . . . 127
. . . . . . . . . . . . . . 132
. . . . . . . . . . . . . . 135
7 Konformna preslikavanja
7.1 Otvorena preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ
7.2 Svarcova
lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Analitiˇcke funkcije i uglovi
izmed¯u putanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Analitiˇcki automorfizmi . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Izomorfizmi gornje poluravni . . . . . . . . . . . .
ˇ
7.6 Svarcov
princip refleksije . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Rimanova teorema o prosto povezanim oblastima
7.8 Neprekidnost na granici . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Analitiˇcki izomorfizmi prstena . . . . . . . . . . .
7.10 Bilinearna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Modularne funkcije i mala Pikarova teorema . . .
ˇ
7.12 Svarc-Kristofelove
formule . . . . . . . . . . . . .
8 Analitiˇ
cka produˇ
zenja
8.1 Analitiˇcka produˇzenja lanacima oblasti .
8.2 Analitiˇcka produˇzenja stepenim redovima
8.3 Analitiˇcka produˇzenja duˇz krivih . . . .
8.4 Analitiˇcka produˇzenja integralima . . . .
8.5 Izdvajanje regularnih grana . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
137
. . . . . . . 137
. . . . . . . 141
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
142
143
144
145
149
151
153
154
154
154
.
.
.
.
.
155
. 155
. 157
. 159
. 164
. 164
9 Aproksimacija racionalnim funkcijama
165
9.1 Rungeova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.2 Mitag-Leflerova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Literatura
173
Predgovor
Tekst sadrˇzi osnove elemente kompleksne analize, koji su potrebni studentima
osnovnih i master akademskih studija matematike. Neki delovi teksta su od
interesa studentima fizike ili tehnike.
Kompleksna analiza je prirodni nastavak realne analize, i nije mogu´ce
kompletno razumevanje izloˇzenog materijala ukoliko nije savladano prethodno
gradivo. Oˇcekuje se da ˇcitalac uspeˇsno vlada metodama diferencijalnog i integralnog raˇcuna funkcija jedne ili viˇse realnih promenljivih. Razumevanje
metoda kompleksne analize je kvalitetnije, ako postoji izvesno poznavanje
topologije i funkcionalne analize. Stoga je ukljuˇcena posebna glava, koja
ˇcitaocu moˇze sluˇziti kao podsetnik.
Tekst Kompleksna analiza sadrˇzi gradivo predmeta Uvod u kompleksnu
analizu i Kompleksna analiza, koje sluˇsaju studenti matematike (na osnovnim
i master akademskim studijama).
Poˇcetne glave (1,3,4) sadrˇze rezultate koji su osnova teorije kompleksnih
funkcija, i nepohodne su studentima osnovih akademskih studija. Odred¯ene
glave (5-9) su posve´cene ozbiljnijim rezultatima, i one su neophodne studentima master akademskih studija.
U ovom trenutku tekst nije kompletan, a takod¯e ima slovnih i drugih
greˇsaka. Konstantno se radi na poboljˇsanju materijala namenjenog studientima (obratiti paˇznju na datum upisan na prvoj strani). Studenti su u
obavezi da konsultuju dodatnu literaturu, koja je navedena u spisku referenci. Obavezno posetiti bilioteku Fakulteta.
7
8
ˇ
SADRZAJ
Glava 1
Elementarne osobine
kompleksnih funkcija
1.1
1.1.1
Skup C
Algebarska svojstva
Skup svih kompleksnih brojeva oznaˇcen je sa C, odnosno C = {z = x + iy :
x, y ∈ R}, pri ˇcemu je i imaginarna jedinica, odnosno i2 = −1. Ako je
z = x+iy ∈ C, onda je x = Re z realni deo kompleksnog broja z, a y = Im z je
imaginarni deo broja z. U skupu C operacije sabiranja i mnoˇzenja definisane
su na slede´ci naˇcin. Ako je z = x + iy, w = u + iv, pri ˇcemu je x, y, u, v ∈ R,
onda je
z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v),
z · w = (x + iy) · (u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu).
Teorema 1.1.1. Struktura (C, +, ·) je polje.
Dokaz. Dokaz je jednostavan. ”Nula“ pomenutog polja je broj 0 = 0 + i · 0, a
”jedinica“ je 1 = 1 + i · 0. Ako je z = x + iy, onda je inverzni elemenat od z u
odnosu na sabiranje jeste −z = −x − iy. U sluˇcaju z = x + iy ̸= 0, inverzni
x − iy
x
elemenat od z u odnosu na mnoˇzenje jeste z −1 = 2
= 2
−
2
x +y
x + y2
y
i.
x2 + y 2
Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruˇzuje se konjugovan broj
z = x − iy. Nije teˇsko proveriti da je Re z = 12 (z + z) i Im z = 2i1 (z − z). Vaˇzi
1
2 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
slede´ci rezultat, koji ostavljamo ˇcitaocu za samostalnu proveru.
Teorema 1.1.2. Konjugovanje kompleksnih brojeva ima svojstva:
z ± w = z ± w, zw = z · w,
(z)
w
=
z
(w ̸= 0),
w
za svako z, w ∈ C.
1.1.2
Geometrijska interpretacija
Svaki kompleksan broj z = x + iy je jedinstveno odred¯en svojim realnim
i imaginarnim delom. Prema tome, kompleksan broj z jeste ured¯en par,
odnosno z = (x, y). Skup C prikazan je kao ravan sa Dekartovim1 (pravouglim) koordinatnim sistemom, pri ˇcemu horizontalna osa (x-osa) jeste
realna osa, a vertikalna osa (y-osa) jeste imaginarna osa. Kompleksna ravan
se naziva i Gausova2 ravan (videti Sliku 1).
Svaka taˇcka z identifikovana je sa geometrijskim vektorom ˇciji se poˇcetak
poklapa sa koordinatnim poˇcetkom, a kraj je taˇcka z. Ovaj vektor se naziva
radijus vektor kompleksnog broja z. Sabiranje kompleksnih brojeva ekvivalentno je sabiranju odgovaraju´cih radijus vektora u ravni. Predstavljanje skupa kompleksnih brojeva jednom ravni ekvivalentno je predstavljanju
skupa R2 istom ravni.
Ono ˇsto suˇstinski odvaja polje C od vektorskog prostora R2 jeste mnoˇzenje
kompleksnih brojeva, koje po svojoj formi ne odgovara ni skalarnom ni vektorskom proizvodu vektora u ravni.
Primetimo da su kompleksni brojevi z i z simetriˇcni u odnosu na realnu
osu.
1
2
Ren´e Descartes - Renatus Cartesius - (1596-1650), francuski matematiˇcar i filozof
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nemaˇcki matematiˇcar
1.1. SKUP C
3
Slika 1.
1.1.3
Rastojanje u C i moduo kompleksnog broja
Rastojanje, ili metrika, u skupu C, definisana je na isti naˇcin kao Euklidovo3
rastojanje u√R2 . Ako je z = x+iy, w = u+iv ∈ C, onda je njihovo rastojanje
d(z, w) =
(x − u)2 + (y − v)2 (Slika 2). Specijalno, rastojanje od z do
koordinatnog poˇcetka naziva se moduo kompleksnog broja z i oznaˇcava sa
2
|z|. Moduo
√ kompleksnog broja odgovara intenzitetu vektora u R , odnosno
2
2
|z| = x + y , te je |z| intenzitet radijus vektora kompleksnog broja z.
Takod¯e vaˇzi d(z, w) = |z − w|.
Slika 2.
Nije teˇsko pokazati slede´ce tvrd¯enje.
3
Euklid iz Aleksandrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grˇcki matematiˇcar
4 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
Teorema 1.1.3. Funkcija z 7→ |z| na skupu C ima slede´ca svojstva:
| Re z| ≤ |z|, | Im z| ≤ |z|, |z + w| ≤ |z| + |w|, |z| − |w| ≤ |z − w|,
z
(
)
|z|
|0| = 0, |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 , |zw| = |z||w|, =
(w ̸= 0),
w
|w|
|z| = |z|, |z|2 = zz.
√
Dokaz. Ako je z = x + iy, tada je |z| = x2 + y 2 ≥ |x|, a sliˇcno i |z| ≥ |y|.
Time su dokazane prve dve nejednakosti. Oˇcigledno je |z| = |z| i zz = |z|2 .
Ako je w = u + iv, tada je
|z + w|2 = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + zw
= |z|2 + |w|2 + 2 Re(zw) ≤ |z|2 + |w|2 + 2|z||w|
= (|z| + |w|)2 .
Time je dokazano |z + w| ≤ |z| + |w|.
Sada je |z| = |(z − w) + w| ≤ |z − w|
sledi |z| − |w| ≤ |z − w|.
+ |w|, odakle
Analogno, |w| − |z| ≤ |w − z|, te je i |z| − |w| ≤ |z − w|.
Ostala tvrd¯enja ostavljamo ˇcitaocu za samostalan rad.
1.1.4
Trigonometrijski zapis kompleksnog broja
Taˇcke kompleksne ravni (razliˇcite od koordinatnog poˇcetka) reprezentuju se
koriˇs´cenjem polarnih koordinata (Slika 3). Neka je r = |z|, a φ neka je ugao
koji radijus vektor broja z zaklapa sa pozitivnim delom realne ose, meren
poˇcev od pozitivnog dela realne ose suprotno kretanju kazaljke na ˇcasovniku.
Ugao φ jeste argument kompleksnog broja z i oznaˇcen je sa arg z. U polarnim
koordinatama sada vaˇzi
x = r cos φ, y = r sin φ, z = x + iy = r(cos φ + i sin φ).
Ovo je trigonometrijski zapis kompleksnog broja z . Lako je proveriti da vaˇzi
√
x
y
y
, sin φ = √
.
φ = arctg , r = x2 + y 2 , cos φ = √
2
2
2
x
x +y
x + y2
Trigonometrijska reprezentacija kompleksnog broja nije jedinstvena. Promena argumenta φ za 2π ne dovodi do promene kompleksnog broja. Stoga,
1.1. SKUP C
5
precizno govore´ci, sve argumente kompleksnog broja z moˇzemo opisati kao
skup
arg z = {φ0 + 2kπ : k = 0, ±1, ±2, . . . },
pri ˇcemu je φ0 jedan (bilo koji) konkretan argument broja z.
Formalni dokaz sledi. Neka je
z = r(cos φ + i sin φ) = R(cos ψ + i sin ψ).
Kako je | cos φ + i sin φ| = | cos ψ + i sin ψ| = 1, sledi da je r = R. Preostaje
cos φ + i sin φ = cos ψ + i sin ψ, te je cos φ = cos ψ i sin φ = sin ψ (na osnovu
jedinstvenosti prikaza kompleksnog broja preko realnog i imaginarnog dela).
Odmah sledi da se uglovi φ i ψ mogu razlikovati samo za 2kπ, pri ˇcemu je
k ∈ Z.
Od interesa je sluˇcaj kada je argument broja z ugao izmed¯u 0 i 2π. Takav
argument se naziva glavna vrednost argumenta kompleksnog broja z, u oznaci
Arg z. Alternativno, moˇze se posmatrati glavna vrednost argumenta izmed¯u
−π i π.
Slika 3.
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je od nariˇcite koristi ako se
posmatra proizvod brojeva. Naime, ako je z = |z|(cos φ + i sin φ) i w =
|w|(cos ψ + i sin ψ), tada je
zw = |z|(cos φ + i sin φ)|w|(cos ψ + i sin ψ)
(
)
= |z||w| (cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + i(sin φ cos ψ + cos φ sin ψ)
= |z||w|(cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)).
Sledi da je |zw| = |z||w| (ˇsto nam je poznato od ranije), kao i arg(zw) =
arg(z)+arg(w). Poslednju jednakost treba shvatiti skupovno: svaki argument
6 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
broja zw jednak je zbir nekog argumenta broja z i nekog argumenta broja
w; obrnuto, zbir nekog argumenta broja z i nekog argumenta broja w jeste
neki argument broja zw.
Ako je n ∈ N i z = |z|(cos φ + i sin φ), tada na osnovu prethodnog
razmatranja sledi z n = |z|n (cos nφ + i sin φ). Specijalno,
(cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ,
i ova jednakost poznata je kao Moavrova4 formula.
1.1.5
Topoloˇ
ska svojstva
Neka je (zn )n niz kompleksnih brojeva i a ∈ C. Niz (zn )n konvergira ka taˇcki
a (u oznaci lim zn = a), ako i samo ako vaˇzi lim |zn − a| = 0, odnosno ako
n→∞
n→∞
i samo ako vaˇzi:
(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N) (n ≥ n0 =⇒ |zn − a| < ϵ).
Tada je a graniˇcna vrednost niza (zn )n .
Niz (zn )n je divergentan, ako nije konvergentan.
Teorema 1.1.4. Niz kompleksnih brojeva moˇze imati najviˇse jednu graniˇcnu
vrednost.
Ako je zn = xn + iyn i a = b + ic, tada je lim zn = a ako i samo ako je
n→∞
lim xn = b i lim yn = c.
n→∞
n→∞
Dokaz. Jedinstvenost graniˇcne vrednosti konvergentnog niza dokazuje se
uobiˇcajeno.
√
Na osnovu |xn −b|, |yn −c| ≤ |zn −a| = |xn − b| + |yn − c| sledi preostali
deo teoreme.
Slede´ci rezultat ostavljen je ˇcitaocu za samostalnu proveru.
Teorema 1.1.5. Neka su (zn )n i (wn )n nizovi u C, i neka je λ ∈ C. Ako je
lim zn = z i lim wn = w, tada je:
n→∞
n→∞
lim λzn = λz, lim (zn ± wn ) = z ± w, lim zn wn = zw.
n→∞
n→∞
Ako je pri tome w ̸= 0, tada je
4
n→∞
lim zn
n→∞ wn
=
z
.
w
Abraham de Moivre (francuski matematiˇcar), 1667-1754
1.1. SKUP C
7
Otvoren disk, zatvoren disk i kruˇznica sa centrom u a ∈ C polupreˇcnika
r > 0, jesu, redom slede´ci skupovi:
D(a; r) = {z : |z − a| < r}, D[a; r] = {z : |z − a| ≤ r},
T (a; r) = {z : |z − a| = r}.
Specijalno,
D = D(0; 1), T = T (0; 1).
Vaˇzi slede´ci rezultat.
Teorema 1.1.6. Neka je (zn )n niz u C i neka je a ∈ C. Tada su slede´ca
tvrd¯enja ekvivalentna:
(1) lim zn = a;
n→∞
(2) Za svako ϵ > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ∈ N sa svojstvom
n ≥ n0 , vaˇzi zn ∈ D(a; ϵ).
Skup V ⊂ C je otvoren u C, ako za svako a ∈ V postoji r > 0 tako da je
D(a; r) ⊂ V .
Skup F ⊂ C je zatvoren u C, ako je skup F c = C \ F otvoren u C.
Jednostavno sledi da su ∅ i C jedini skupovi koji su istovremeno otvoreni
i zatvoreni u C.
Teorema 1.1.7. Ako je V otvoren skup u C, onda je V najviˇse prebrojiva
unija otvorenih diskova.
Dokaz. Uvedimo oznaku VQ = {a = p + iq ∈ V : p, q ∈ Q}. VQ je skup
taˇcaka skupa V sa racionalnim koordinatama, i skup VQ je najviˇse prebrojiv.
Neka je V otvoren i neka je a = p + iq ∈ VQ . Postoji r > 0 tako da je
D(a; r) ⊂ V . Sledi da je skup Ma = {r > 0 : D(a; r) ⊂ V } neprazan. Neka
je Ra = sup Ma .
Pretpostavimo da je z ∈ D(a; Ra ). Tada postoji r sa svojstvom |z −
a| < r < Ra . Dakle, z ∈ D(a; r) ⊂ V . Na taj naˇcin je dokazano da je
D(a; Ra ) ⊂ V .
Pretpostavimo da je D[a; Ra ] ⊂ V . Tada je ϵ = d(D[a; Ra ], V c ) > 0.
Sledi da je D(a; Ra + 2ϵ ) ⊂ V , ˇsto nije mogu´ce prema izboru broja R. Prema
tome, D[a; Ra ] nije sadrˇzan u V .
Dokazali smo da je D(a; Ra ) najve´ci mogu´ci disk sa centrom u a koji je
sadrˇzan u V . Ovakve diskove nazivamo maksimalnim diskovima sa racionalnim centrima, i ovih diskova ima prebrojivo mnogo.
8 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
Sledi V ⊃
∪
D(a; Ra ).
a∈VQ
Neka je w ∈ V . Tada je δ = d(w, V c ) > 0, te postoji b ∈ VQ tako da je
|w − b| < 2δ . Tada je w ∈ D(b;
∪ Rb ).
D(a; Ra ).
Time je dokazano V =
a∈VQ
U prethodnoj teoremi diskovi nisu obavezno uzajamno disjunktni (za razliku od odgovaraju´ceg rezultata za otvorene podskupove realne prave R).
Primer 1.1.1. Neka je Q otvoreni kvadrat sa temenima u taˇckama 0, 1, 1 +
i, i. Drugim reˇcima, duˇzi koje ograniˇcavaju
ovaj kvadrat – ne pripadaju
∪
skupu Q. Pretpostavimo da je Q =
Dn , pri ˇcemu su Dn uzajamno
n∈N
disjunktni otvoreni diskovi. Neka je d dijagonala skupa Q, kojoj ne pripadaju
krajnje
taˇcke. Tada je d otvoren skup na pravoj. Med¯utim, tada vaˇzi d =
∪
(d ∩ Dn ), pri ˇcemu su d ∩ Dn uzajamno disjunktni otvoreni intervali na
n∈N
pravoj. Poslednja konstatacija nije mogu´ca, te sledi da diskovi Dn ne mogu
biti uzajamno disjunktni.
Taˇcka a je taˇcka nagomilavanja skupa E ⊂ C, ako svaki krug sa centrom
u a sadrˇzi neku taˇcku skupa E razliˇcitu od a. Ekvivalentno, a je taˇcka
nagomilavanja skupa E, ako i samo ako postoji niz razliˇcitih taˇcaka (zn )n
skupa E, tako da je lim zn = a.
n→∞
Svaka taˇcka skupa E, koja nije njegova taˇcka nagomilavanja, jeste izolovana taˇcka skupa E.
Neka je a ∈ C i 0 ≤ r < R. Tada je prsten sa centrom u taˇcki a,
unutraˇsnjeg polupreˇcnika r i spoljneg polupreˇcnika R, definisan kao
P (a; r, R) = {z ∈ C : r < |z − a| < R}.
Specijalno, ako je r = 0, onda je
P (a; 0, R) = P (a; R) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < R}.
Prsten P (a; R) se naziva i probuˇsena okolina taˇcke a u C.
Skup C je kompletan u odnosu na standardnu metriku. Drugim reˇcima,
vaˇzi Koˇsijeva5 teorema za konvergenciju nizova:
Teorema 1.1.8. Niz (zn )n u C je konvergentan, ako i samo ako:
(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀m, n ∈ N)(m, n ≥ n0 =⇒ |zm − zn | < ϵ).
5
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francuski matematiˇcar
1.1. SKUP C
1.1.6
9
Redovi u C
Neka je (zn )n niz kompleksnih brojeva. Beskonaˇcna suma
∞
∑
zn = z1 + z2 + · · · + zn + · · ·
n=1
naziva se brojni red u C.
Svakom redu pridruˇzen je niz delimiˇcnih suma Sn = z1 + · · · + zn . Red
∞
∑
zn je (obiˇcno) konvergentan, ako je niz delimiˇcnih suna (Sn )n konvern=1
gentan. U tom sluˇcaju je graniˇcna vrednost S = lim Sn suma reda
odnosno S =
∞
∑
n→∞
∞
∑
zn ,
n=1
zn .
n=1
Ako niz (Sn )n divergira, tada je red
∞
∑
zn divergentan.
n=1
Primer 1.1.2. Neka je q ∈ C i posmatrajmo qeometrijski red
∞
∑
qn =
n=0
1 + q + q 2 + · · · . n-ta delimiˇcna suma ovog reda je Sn = 1 + q + · · · + q n−1 =
1−q n
. Dakle, ako je |q| < 1, onda polazni geometrijski red konvergira i
1−q
∞
∑
1
q n = 1−q
. Ako je q ≥ 1, onda (Sn )n divergira, stoga i polazni geometrijski
n=0
red divergira.
Vaˇzi Koˇsijeva teorema za konvergenciju redova:
∑
Teorema 1.1.9. Red
zn konvergira, ako i samo ako
(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N )(∀m, n ∈ N)(m > m ≥ n0 =⇒ |zn + zn+1 + · · · + zm | < ϵ).
∑
∑
Brojni red
zn apsolutno konvergira, ako konvergira red
|zn |.
∑
∑
Teorema 1.1.10. Ako red
zn apsolutno konvergira, onda red
zn obiˇcno
konvergira.
∑
Dokaz. Pretpsotavimo da je red zn apsolutno kovnergentan. Neka je ϵ > 0
i neka je m > n. Tada je
|zn + · · · + zm | ≤ |zm | + · · · + |zn |.
10 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
∑
Na osnovu Koˇsijevog kriterijuma primenjenog na red
|zn |, sledi da postoji
n0 ∈ N tako da za m > n ≥ n0 vaˇzi |zm | + · · · + |zn | < ϵ. Na osnovu
dokazanog,
sledi da je i |zm∑+ · · · + zn | < ϵ. Primenimo Koˇsijev kriterijum na
∑
red
zn . Sledi da je red
zn obiˇcno konvergentan.
Obrnuto tvrd¯enje ne vaˇzi: postoje
koji konvergiraju obiˇcno, a di∑redovi
(−1)n
vergiraju apsolutno. Na primer, red
konvergira obiˇcno (prema Lajbn
nicovom kriterijumu), ali divergira apsolutno (prema Koˇsijevom integralnom
kriterijumu).
1.2
Proˇ
sirena kompleksna ravan
Kompleksnoj ravni pridruˇzena je jedna beskonaˇcno daleka taˇcka, oznaˇcena
sa ∞. Skup C = C ∪ {∞} je proˇsirena kompleksna ravan.
Interesantno je definisati algegarske operacije u C, naravno u sluˇcaju
kada je jedan od ˇcinilaca ili faktora upravo jednak ∞. Sabiranje u skupu C
definisano je na slede´ci naˇcin:
z + ∞ = ∞, ∞ + ∞ = ∞,
za svako z ∈ C. Za elemenat ∞ ne postoji inverzni elemenat u skupu C u
odnosu na sabiranje, odnosno veliˇcina ∞ − ∞ nije odred¯ena. Mnoˇzenje u
skupu C definisano je kao:
z · ∞ = ∞ (z ̸= 0), ∞ · ∞ = ∞.
Vrednost 0 · ∞ nije odred¯ena. Za elemenat ∞ ne postoji inverzni elemenat
u odnosu na mnoˇzenje u skupu C, odnosno ne postoji z ∈ C tako da je
1
z · ∞ = 1. Sa druge strane, vaˇzi ∞
= 0.
ˇ
1.2. PROSIRENA
KOMPLEKSNA RAVAN
11
Slika 4.
Neka je S 3 = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 = 1} jediniˇcna sfera
u R3 , neka je M N preˇcnik te sfere i neka je C ravan koja je normalna na
duˇz M N i prolazi kroz centar sfere S 3 (Slika 4). Svaka prava p kroz taˇcku
N preseca sferu S 3 u nekoj taˇzki Z, ako i samo ako p preseca ravan C u
nekoj taˇcki z. Na taj naˇcin je uspostavljena bijekcija Z 7→ z izmed¯u skupova
S 3 \ {N } i C. Preslikavanje koje realizuje ovu bijekciju, oznaˇcava se sa s.
Ako prava p sadrˇzi taˇcku N i paralelna je ravni C, onda p ne seˇce ni sferu S 3
u taˇcki razliˇcitoj of N . Prirodno je uzeti da vaˇzi s(N ) = ∞. Preslikavanje s
je stereografska projekcija sfere S 3 na proˇsirenu kompleksnu ravan, odnosno
s : S 3 → C.
Rastojanje izmed¯u taˇcaka z1 , z2 ∈ C moˇze se razmatrati kao rastojanje
izmed¯u taˇcaka Z1 , Z2 ∈ S 3 :
Ako je z1 , z2 ∈ C, tada postoje jedinstvene taˇcke Z1 , Z2 ∈ S 3 , tako da je
s(Z1 ) = z1 , s(Z2 ) = z2 . Neka je d3 (z1 , z2 ) = d(Z1 , Z2 ), pri ˇcemu je d(Z1 , Z2 )
Euklidovo rastojanje u R3 .
Rastojanje d3 u prostoru C ima zanimljive osobine.
Teorema 1.2.1. Ako je z, z1 , z2 ∈ C, tada je:
2|z1 − z2 |
d3 (z1 , z2 ) =
= d3
[(1 + |z1 |2 )(1 + |z2 |2 )]1/2
(
)
2
1
d3 (z, ∞) =
= d3
,0 .
(1 + |z|2 )1/2
z
(
1 1
,
z1 z2
)
,
12 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
Diskove u prostoru (C, d3 ) oznaˇcavamo sa D3 (a; r). Specijalno, od interesa su diskovi sa centrom u taˇcki ∞. Kako je D3 (∞; ϵ) = {z ∈ C :
d3 (z, ∞) < ϵ} za ϵ > 0, prirodno je uvesti i skup D(∞; R) = {z ∈ C : |z| >
R} za R > 0.
Metriˇcki prostor (C, d3 ) indukuje oˇcekivanu topologiju na C, ˇsto proizilazi
iz slede´ceg rezultata.
Teorema 1.2.2. (1) Ako je a ∈ C i r > 0, onda postoji R > 0, tako da je
D3 (a; R) ⊂ D(a; r).
(2) Ako je R > 0 i a ∈ C, onda postoji r > 0 tako da je D(a; r) ⊂
D3 (a; R).
(3) Ako je R > 0, onda postoji kompakt K u C tako da je C \ K ⊂
D3 (∞; R).
(4) Ako je K kompakt u C, tada postoji broj R > 0 tako da je D3 (∞; R) ⊂
C \ K.
Posledice prethodnih tvrd¯enja slede.
Posledica 1.2.1. Neka je (zn )n niz u C, i neka je a ∈ C. Tada su slede´ca
tvrd¯enja ekvivalentna:
(1) lim zn = a, odnosno lim |zn − a| = 0;
n→∞
n→∞
(2) lim d3 (zn , a) = 0.
n→∞
Posledica 1.2.2. Neka je (zn )n niz u C. Tada su slede´ca tvrd¯enja ekvivalentna:
(1) Za svako R > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ∈ N sva svojstvom
n ≥ n0 vaˇzi |zn | > R;
(2) lim d3 (zn , ∞) = 0.
n→∞
(3) lim |zn | = ∞.
n→∞
Prethodni rezultati, izmed¯u ostalog, pokazuju da metriˇcki prostori (C, d)
i (C, d3 ) indukuju jednake topologije u kompleksnoj ravni.
Osim toga, konvergencija niza taˇcaka u smislu metrike d u skupu C,
ekvivalenta je konvergenciji u smislu metrike d3 . Analogno tvrd¯enje vaˇzi i
za Koˇsijeve nizove. Kako je (C, d) kompletan metriˇcki prostor, sledi da je i
(C, d3 ) kompletan metriˇcki prostor.
1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE
1.3
13
Kompleksne funkcije realne promenljive
Neka je M ⊂ R i f : M → C. Tada je f kompleksna funkcija realnog
argumenta. Za svako x ∈ M neka je u(x) = Re f (x) i v(x) = Im f (x).
Tada su u i v realne funkcije, definisane na M . Teorija kompleksnih funkcija
realne promenljive, dakle, jeste teorija vektorskih funkcija jednog realnog
argumenta.
1.3.1
Graniˇ
cna vrednost funkcija
Neka je M ⊂ R i f : M → C neka je kompleksna funkcija na M . Neka je x0
taˇcka nagomilavanja skupa M . Broj A ∈ C je graniˇcna vrednost funkcije f
na skupu M kada x → x0 (u oznaci A = lim f (x)), ako
x→x0 ;x∈M
(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M )(0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − A| < ϵ).
Ako je x0 ∈ (a, b) ⊂ M , tada je umesto
lim
x→x0 ;x∈M
f (x) = A jednostavna
oznaka lim f (x) = A.
x→x0
Slede´ci rezultat je jednostavno dokazati, istim metodama kao u sluˇcaju
realnih funkcija jedne realne promenljive. Alternativno, ovo tvrd¯enje sledi
na osnovu osobina realnih vektorskih funkcija.
Teorema 1.3.1. Neka je M ⊂ R, f, g : M → C, λ ∈ C, i x0 neka je taˇcka
nagomilavanja skupa M . Tada:
(1) Postoji lim f (x) = A, ako i samo ako za svaki niz (xn )n u skupu
x→x0 ;x∈M
M sa svojstvom lim xn = x0 , vaˇzi lim f (xn ) = A;
n→∞
(2) Ako postoji
n→∞
lim
x→x0 ;x∈M
f (x), tada postoji i
lim
x→x0 ;x∈M
λf (x), i pri tome
vaˇzi
lim
x→x0 ;x∈M
λf (x) = λ ·
lim
x→x0 ;x∈M
f (x);
(3) Ako je f = u + iv, pri ˇcemu je u = Re f i v = Im f , tada postoji
lim f (x) ako i samo ako postoje lim u(x) i lim v(x), i pri tome
x→x0 ;x∈M
x→x0 ;x∈M
x→x0 ;x∈M
vaˇzi
lim
x→x0 ;x∈M
f (x) =
lim
x→x0 ;x∈M
u(x) + i
lim
x→x0 ;x∈M
v(x);
14 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
(4) Ako postoje
lim
x→x0 ;x∈M
f (x) i
lim
x→x0 ;x∈M
g(x), tada postoji i
lim
x→x0 ;x∈M
(f (x)+
g(x)), pri ˇcemu je
lim
x→x0 ;x∈M
(5) Ako postoje
(f (x) + g(x)) =
lim
x→x0 ;x∈M
f (x) i
lim
x→x0 ;x∈M
lim
x→x0 ;x∈M
f (x) +
lim
x→x0 ;x∈M
g(x);
g(x), tada postoji i
lim
x→x0 ;x∈M
(f (x)·
(x)), pri ˇcemu je
lim
x→x0 ;x∈M
(f (x) · g(x)) =
lim
x→x0 ;x∈M
(6) Ako postoje
lim f (x) i
x→x0 ;x∈M
(
)
f (x)
lim
, pri ˇcemu je
g(x)
f (x) ·
lim
x→x0 ;x∈M
lim
x→x0 ;x∈M
g(x).
g(x) ̸= 0, tada postoji i
x→x0 ;x∈M
(
lim
x→x0 ;x∈M
1.3.2
f (x)
g(x)
)
=
lim
f (x)
lim
g(x)
x→x0 ;x∈M
x→x0 ;x∈M
.
Neprekidnost funkcija
Neka je M ⊂ R, neka je f : M → C, i neka je x0 ∈ M . Funkcija f je
neprekidna u taˇcki x0 na skupu M , ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako da
za svako x ∈ M vaˇzi: ako je |x − x0 | < δ, onda je |f (x) − f (x0 )| < ϵ. Funkcija
f je neprekidna na skupu M , ako je f neprekidna u svakoj taˇcki skupa M .
Dakle, ako je x0 izolovana taˇcka skupa M , onda je funkcija f (koja je
definisana na M ) uvek neprekidna u taˇcki x0 .
Ako je x0 taˇcka nagomilavanja skupa M , onda je funkcija f (koja je
definisana na M ) neprekidna u taˇcki x0 na skupu M ako i samo ako je
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0 ;x0 ∈M
Formuliˇsemo oˇcekivana tvrd¯enja.
Teorema 1.3.2. Neka je M ⊂ R, neka je x0 ∈ M , i neka je f = u + iv :
M → C kompleksna funkcija, pri ˇcemu su u, v realne funkcije. Funkcija f
je neprekidna u taˇcki x0 na skupu M , ako i samo ako su obe funkcije u, v
neprekidne u taˇcki x0 na skupu M .
Teorema 1.3.3. Neka je M ⊂ R, neka su f, g : M → C funkcije, neka je
λ ∈ C, i neka je x0 ∈ M . Ako su funkcije f, g neprekidne u taˇcki x0 na
1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE
15
skupu M , tada su i funkcije λf , f + g, f g neprekidne u taˇcki x0 na skupu
ˇ
M . Staviˇ
se, ako je pri tome i g(x0 ) ̸= 0, tada je fg neprekidna u taˇcki x0 na
skupu M .
1.3.3
Diferencijabilnost funkcija
Neka je f : (a, b) → C funkcija, i neka je x0 ∈ (a, b). Prvi izvod funkcije f u
taˇcki x0 jeste slede´ca graniˇcna vrednost (ukoliko postoji):
f ′ (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Funkcija f je diferencijabilna u taˇcki x0 , ako postoji f ′ (x0 ).
Navodimo najvaˇznije rezultate o izvodu funkcije.
Teorema 1.3.4. Ako je funkcija f : (a, b) → C diferencijabilna u taˇcki
x0 ∈ (a, b), tada je funkcija f neprekidna u taˇcki x0 na (a, b).
Teorema 1.3.5. Neka je f = u + iv : (a, b) → C, pri ˇcemu su u, v realne
funckije, i neka je x0 ∈ (a, b). Ako je funkcija f diferencijabilna u taˇcki x0 ,
tada su i funkcije u, v diferencijabilne u taˇcki x0 , i pri tome vaˇzi:
f ′ (x0 ) = u′ (x0 ) + iv ′ (x0 ).
Teorema 1.3.6. Neka su date funkcije f, g : (a, b) → C i neka je λ ∈ C.
Ako su funkcije f, g diferencijabilne u taˇcki x0 , tada su i funkcije λf i f + g
diferencijabilne u x0 , i tada vaˇzi
(λf )′ (x0 ) = λf ′ (x0 ),
(f + g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′ (x0 ).
Pretpostavimo da je funkcija f diferencijabilna u svakoj taˇcki intervala
(a, b). Tada se svakom x ∈ (a, b) moˇze pridruˇciti broj f ′ (x). Ova funkcija
(pridruˇzivanje) se, naravno, oznaˇcava sa f ′ .
Ako je funkcija f ′ diferencijabilna u taˇcki x0 ∈ (a, b), tada je (f ′ )′ (x0 ) =
′′
f (x0 ) drugi izvod funkcije f u taˇcki x0 . Ako postoji f ′′ (x0 ) u svakoj taˇcki
x0 ∈ (a, b), tada je definisana funkcija f ′′ na (a, b).
Na ovaj naˇcin mogu postojati viˇsi izvodi funkcije f na segmentu (a, b).
16 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
1.3.4
Rimanov integral
Neka je f : [a, b] → C funkcija definisana na segmentu [a, b]. Pretpostavimo
da je a = x0 < x1 < · · · < xn = b, i neka je ξi ∈ [xi−1 , xi ] za svako
i = 1, . . . , n. Skup P = {x1 , . . . , xn } jeste podela segmenta [a, b]. Rimanova
suma funkcije f na segmentu [a, b] definisana je kao
S(f ; P, ξ) =
n
∑
f (ξi )(xi − xi−1 ).
i=1
Neka je dP = max |xi − xi−1 | dijametar podele P.
i
Rimanov6 integral funkcije f na segmentu [a, b] je slede´ca graniˇcna vrednost:
∫b
n
∑
f (ξi )(xi − xi−1 ),
f (x)dx = lim
dP →0
a
i=1
pod pretpostavkom da ova graniˇcna vrednost postoji i pri tome ne zavisi od
podele P, kao ni od izbora taˇcaka ξi ∈ [xi−1 , xi ].
∫b
Drugim reˇcima, kompleksan broj I = f (x)dx je Rimanov integral funkcije
a
f na segmentu [a, b], ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako da za svaku
podelu P = {x0 , . . . , xn } segmenta [a, b] sa osobinom dP < δ, i za svako
ξk ∈ [xk−1 , xk ] vaˇzi
n
∑
f (ξk )(xk − xk−1 ) < ϵ.
I −
k=1
Ako postoji Rimanov integral
∫b
f (x)dx, tada je funkcija f integrabilna
a
(u Rimanovom smislu) na segmentu [a, b].
Vaˇze slede´ca tvrd¯enja, analogna tvrd¯enjima za realne funkcije.
Teorema 1.3.7. Neka je f = u + iv : [a, b] → C kompleksna funkcija, pri
ˇcemu su u, v realne funkcije. Tada vaˇzi:
6
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), nemaˇcki matematiˇcar
1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE
17
(1) Funkcija f je integrabilna na [a, b], ako i samo ako funkcije u, v jesu
integrabilne na [a, b]; tada je ispunjeno
∫b
∫b
f (x)dx =
a
∫b
u(x)dx + i
a
v(x)dx.
a
(2) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je i funkcija |f | integrabilna na [a, b], i vaˇzi
b
∫b
∫
f (x)dx ≤ |f (x)|dx.
a
a
Teorema 1.3.8. (1) Ako je funkcija f neprekidna na [a, b], tada je f integrabilna na [a, b].
(2) Ako je f ograniˇcena na [a, b], i pri tome f je neprekidna svuda osim
u konaˇcno mnogo taˇcaka segmenta [a, b], tada je f integrabilna na [a, b].
Ako je f definisana i ograniˇcena na [a, b], i pri tome f ima konaˇcno mnogo
taˇcaka prekida na [a, b], tada je f deo po deo neprekidna funkcija.
Teorema 1.3.9. Neka su f, g : [a, b] → C funkcije, a < c < b i λ ∈ C.
(1) Funkcija f je integrabilna na [a, b], ako i samo ako je funckija f
integrabilna na oba segmentu [a, c] i [c, b]; u tom sluˇcaju je
∫c
∫b
f (x)dx =
∫b
f (x)dx +
a
a
f (x)dx;
c
(2) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je funkcija λf integrabilna
na [a, b], i vaˇzi
∫b
∫b
λf (x)dx = λ f (x)dx.
a
a
(3) Ako su funkcije f, g integrabilne na [a, b], tada je funkcija f + g integrabilna na [a, b], i takod¯e je
∫b
∫b
(f (x) + g(x))dx =
a
∫b
f (x)dx +
a
g(x)dx.
a
18 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
Na kraju, formuliˇsemo rezultat poznat pod imenom Njutn7 -Lajbnicova8
formula za kompleksne funkcije realne promenljive.
Teorema 1.3.10. Ako je f ′ kompleksna neprekidna funkcija na [a, b], tada
vaˇzi formula
∫b
f ′ (x)dx = f (b) − f (a).
a
Dokaz prethodnog tvrd¯enja analogan je odgovaraju´cem dokazu za realne
funkcije.
Primer 1.3.1.
∫2π
(cos t + i sin t)dt = 0, iako funkcija t 7→ (cos t + i sin t)
0
nema nula u segmentu [0, 2π]. Ovaj primer pokazuje da ne vaˇzi teorema o
srednjoj vrednosti integrala kompleksne funkcije realne promenljive. Naime,
ukoliko bi teorema o srednjoj vrednosti integrala vaˇzila, onda bi postojala
taˇcka ξ ∈ [0, 2π] tako da je
1
0 ̸= cos ξ + i sin ξ =
2π
∫2π
(cos t + i sin t)dt = 0,
0
ˇsto oˇcigledno nije mogu´ce.
Napomena 1.3.1. Posmatramo uvek Rimanov integral dopustivih funkcija.
Med¯utim, ovaj integral moˇze biti posmatran i kao Lebegov, posebno ukoliko
postoji potreba za koriˇs´cenjem mo´cnog aparate teorije mere i integrala.
9
1.3.5
Putanje u C
Neprekidno preslikavanje γ : [a, b] → C jeste kriva u C. Taˇcka γ(a) je poˇcetak,
a γ(b) je kraj krive γ. Kriva je orijentisana u smislu rasta parametra t,
odnosno od γ(a) ka γ(b). Dve krive se mogu ”nastaviti“, ako se kraj jedne
krive poklapa sa poˇcetkom druge krive.
7
Isaac Newton (1642-1727), engleski matematiˇcar, fiziˇcar i astronom
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), nemaˇcki matematiˇcar
9
Euklid iz Aleksandrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grˇcki matematiˇcar
8
1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE
19
Ako je γ : [a, b] → C kriva u C, onda je γ ∗ = {γ(t) : t ∈ [a, b]} grafik
krive γ. Oˇgledno, γ ∗ ⊂ C. Skup [a, b] je kompaktan u R, γ je neprekidno
preslikavanje, te je i γ ∗ kompaktan skup u C.
Kriva γ : [a, b] → C je rektificijabilna, ako i samo ako je γ funkcija
ograniˇcene varijacije na [a, b]. Drugim reˇcima, γ je rektificijabilna, ako postoji konstanta M > 0, tako da za svaku podelu P : a = x0 < x1 < · · · <
xn = b segmenta [a, b] vaˇzi:
n
∑
|γ(xk ) − γ(xk−1 )| < M.
k=1
Pri tome je
ℓ(γ) = sup
P
n
∑
|γ(xk ) − γ(xk−1 )|
k=1
duˇzina krive γ (ili, varijacija funkcije γ), pri ˇcemu je supremum uzet po svim
podelama P segmenta [a, b].
Geomterijska interpretacija pojma duˇzine krive je jednostavna. Naime,
n
∑
izraz
|γ(xk ) − γ(xk−1 )| predstavlja duˇzinu poligonalne linije ”upisane“ u
k=1
grafik krive γ, posmatrano u odnosu na podeone taˇcke x0 , x1 , . . . , xk . Supremum svih mogu´cih duˇzina ovih poligonalnih linija (ukoliko ovaj supremum
postoji kao konaˇcan realan broj) jeste duˇzina krive γ.
Na osnovu primera realne analize, poznato je da postoje funkcije koje su
neprekidne, ali ipak nisu ograniˇcene varijacije. Dakle, postoje krive koje nisu
rektificijabilne, odnosno nemaju duˇzinu. Napomenimo i da postoje funkcije
koje su ograniˇcene varijacije, ali nisu neprekidne.
U najvaˇznijim sluˇcajevima, krive koje posmatramo u kompleksnoj analizi,
imaju duˇzinu.
Kriva γ je deo po deo glatka, ako je γ ′ ograniˇcena i deo po deo neprekidna
funkcija. Deo po deo glatka kriva jeste putanja u C. Putanje u C imaju svoje
duˇzine, ˇsto pokazuje slede´ci rezultat.
Teorema 1.3.11. Ako je γ putanja u C, tada je γ = x + iy rektificijabilna i
∫b √
∫b
ℓ(γ) =
(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt = |γ ′ (t)|dt.
a
a
20 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
Dokaz. Neka je γ : [a, b] → C deo po deo neprekidno diferencijabilna, i neka
je P : a = x0 < x1 < · · · < xn = b proizvoljna podela segmenta [a, b].
Bez gubljenja opˇstosti (zaˇsto?) pretpostavimo da su taˇcke prekida funkcije
γ ′ sadrˇzane med¯u taˇckma (xj )j podele P. Prema Lagranˇzovoj teoremi o
srednjoj vrednosti, za svako j = 1, . . . , n postoji ξj ∈ (xj−1 , xj ), tako da je
γ(xj ) − γ(xj−1 ) = γ ′ (ξj ). Stoga je
n
∑
|γ(xj ) − γ(xj−1 )| =
n
∑
|γ ′ (ξj )|(xj − xj−1 ).
j=1
k=1
Poslednja suma je upravo Rimanova suma funkcije |γ ′ | na segmentu [a, b]. U
cilju dobijanja veliˇcine ℓ(γ) sa leve strane poslednje jednakosti, treba pre´ci
na supremum po svim podelama P segmenta [a, b]. Dakle,
ℓ(γ) = sup
P
n
∑
|γ ′ (ξj )|(xj − xj−1 ).
k=1
Funkcija |γ ′ | je nenegativna, ograniˇcena i deo po deo neprekidna. Stoga je
ova funkcija Riman integrabilna na [a, b] i
∫b
′
|γ (x)|dx = lim
dP →0
a
n
∑
k=1
′
|γ (ξj )|(xj − xj−1 ) = sup
P
n
∑
|γ ′ (ξj )|(xj − xj−1 ).
k=1
Prime´cujemo da prva jednakost vaˇzi na osnovu definicije integrala, a druga
jednakost se lako proverava na osnovu |γ ′ | ≥ 0.
Putanja γ je zatvorena, ako je γ(a) = γ(b), odnosno poˇcetak te putanje
poklapa se sa njenim krajem.
Taˇcka z ∈ C je taˇcka samopreseka krive γ : [a, b] → C, ako postoje taˇcke
t1 , t2 ∈ [a, b], sa svojstvima γ1 ̸= γ2 i z = γ(t1 ) = γ(t2 ). Izuzetno, ako se
poˇcetna i krajnja taˇcka krive poklapaju, onda to nije taˇcka samopreseka.
Putanja γ je prosta, ako nema taˇcaka samopreseka, osim eventualno
poˇcetne i krajnje taˇcke te putanje.
Prosta, zatvorena, deo po deo glatka kriva naziva se kontura.
1.3.6
Oblasti u C
Skup A u C nije povezan, ako je A = U ∪ V , pri ˇcemu su U, V otvoreni i uzajamno disjunktni skupovi u C. Neophodno je primetiti da su u ovom sluˇcaju
1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE
21
skupovi U i V istovremeno i otvoreni i zatvoreni u A. Dakle, A je povezan,
ako A nije jednak uniji dva otvorena i uzajamno disjunktna podskupa od C.
Skup A u C je put-povezan, ako za svake dve taˇcke z, w ∈ A postoji
neprekidno preslikavanje f : [0, 1] → A, tako da je f (0) = z i f (1) = w.
Teorema 1.3.12. Podskup A od C je povezan, ako i samo ako je A putpovezan. Analogno tvrd¯enje vaˇzi za Rn , samim tim i za Cn .
Neka je C ⊂ A ⊂ C. Ako je C povezan skup, i pri tome ne postoji
povezan skup D sa svojstvima C ⊂ D ⊂ A i C ̸= D, onda je C povezana
kompomenta skupa A.
Otvoren skup G je oblast, ako je G povezan skup u C.
Svaki otvoren skup V je najviˇse prebrojiva unija otvorenih diskova, svaki
otvoren disk je povezan skup, te sledi zakljuˇcak.
Teorema 1.3.13. Svaki otvoren skup V je najviˇse prebrojiva unija uzajamno
∞
∪
Gj , pri ˇcemu je svako Gj oblast u C, i
disjunktnih oblasti, odnosno V =
Gj ∩ Gk ̸= ∅ za svako j ̸= k.
j=1
10
ˇ
Formuliˇsemo bez dokaza Zordanovu
teoremu o zatvorenim putanjama.
ˇ
Teorema 1.3.14. (Zordanova
teorema o zatvorenoj putanji) Neka je γ :
[a, b] → C zatvorena putanja u C bez taˇcaka samopreseka. Tada
C \ γ ∗ = G0γ ∪ G∞
γ ,
pri ˇcemu je G0γ ograniˇcena oblast, a G∞
cena oblast u C.
γ neograniˇ
Pri tome je
∗
∂G0γ = ∂G∞
γ = γ .
Prethodna teorema moˇze biti dokazana, izmed¯u ostalog, metodama algebarske topologije, primenom Brauerove teoreme o fiksnim taˇckama, kao i
metodama nestandardne analize.
ˇ
Ako je γ kontura u C, tada se moˇze primeniti prethodna Zordanova
teo0
rema. Oblast Gγ je oblast ograniˇcena konturom γ. Kontura γ je orijentisana
pozitivno u odnosu na oblast G0γ (ili jednostavno, kontura je orijentisana pozitivno), ako pri obilasku konture γ u smeru orijentacije oblast G0γ ostaje sa
leve strane.
10
Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922), francuski matematiˇcar
22 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
Geomtrijska definicija pozitivne orijentacije konture saglasna je sa standardnom orijentacijom jediniˇcne kruˇznice sa centrom u koordinatnom poˇcetku,
odnosno sa naˇcinom merenja ugla koji predstavlja argument kompleksnog
broja. Naime, kruˇznica γ(t) = eit , t ∈ [0, 2π], je pozitivno orijentisana u
odnosu na disk D(0; 1).
1.4
Kompleksne funkcije kompleksne
promenljive
Kompleksne funkcije kompleksne promenljive predstavljaju glavnu temu istraˇzivanja.
1.4.1
Graniˇ
cna vrednost funkcije
Neka je G podskup od C i neka je f : G → C preslikavanje. Tada je f
kompleksna funkcija kompleksne promenljive. Za svako z ∈ G neka je u(z) =
Re f (z) i v(z) = Im f (z). Funkcije u, v : G → R realne funkcije kompleksne
promenljive z. Na osnovu ˇcinjenice z = x + iy vaˇzi u(z) = u(x, y) i v(z) =
v(x, y), odnosno u i v jesu realne funkcije realnih promenljivih x i y. Prema
tome,
f (z) = u(x, y) + i · v(x, y),
z = x + iy ∈ G.
Neka je a taˇcka nagomilavanja skupa G i f : G → C neka je kompleksna
funkcija. Kompleksan broj A je graniˇcna vrednost funkcije f u taˇcki a na
skupu G, ako vaˇzi:
(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀z ∈ G) (0 < |z − a| < δ =⇒ |f (z) − A| < ϵ).
U tom sluˇcaju je A =
lim f (z). Ako je skup G = P (a; r) probuˇsena
z→a;z∈G
okolina taˇcke a, onda je broj A graniˇcna vrednost funkcije f u taˇcki a, u
oznaci A = lim f (z).
z→a
Upravo uvedena definicija ekvivalentna je slede´coj karakterizaciji. Broj A
je graniˇcna vrednost funkcije f u taˇcki a na skupu G, ako i samo akoza svaki
niz (zn )n taˇcaka za koje je zn ∈ G, zn ̸= a i lim zn = a, vaˇzi lim f (zn ) = A.
n→∞
n→∞
Na isti naˇcin kao u realnoj analizi mogu´ce je dokazati slede´ci rezultat.
1.4. KOMPLEKSNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE
PROMENLJIVE
23
Teorema 1.4.1. Pretpostavimo da je G ⊂ C, neka je a = α + iβ taˇcka
nagomilavanja skupa G, i neka je f = u + iv : G → C funkcija, pri ˇcemu su
u, v realne funkcije. Tada:
Postoji lim f (z), ako i samo ako postoje
z→a;z∈G
lim
u(x, y) i
(x,y)→(α,β);(x,y)∈G
lim
v(x, y).
(x,y)→(α,β);(x,y)∈G
U tom sluˇcaju vaˇzi
lim f (z) =
z→a;z∈G
lim
u(x, y) + i
(x,y)→(α,β);(x,y)∈G
lim
v(x, y).
(x,y)→(α,β);(x,y)∈G
Neka je f definisana u skupu D(∞; r) = {z ∈ C : |z| > r} za neko r > 0.
Tada je lim f (z) = A, ako za svako ϵ > 0 postoji R > 0, tako da za svako
z→∞
z ∈ C vaˇzi implikacija
|z| > R =⇒ |f (z) − A| < ϵ.
Konaˇcno, lim f (z) = ∞, ako i samo ako je lim |f (z)| = +∞. Primetimo
z→a
z→a
da je lim f (z) = ∞ ako i samo ako je lim d3 (f (z), ∞) = 0.
z→a
z→a
Graniˇcna vrednost funkcije kompleksne promenljive ima analogna svojstva kao i graniˇcna vrednost realnih funkcija viˇse promenljivih.
1.4.2
Neprekidnost i ravnomerna neprekidnost
funkcija na skupu
Pretpostavimo da je kompleksna funkcija f definisana na skupu G ⊂ C i
neka je a ∈ G. Funkcija f je neprekidna u taˇcki a na skupu G, ako vaˇzi:
(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀z ∈ G) (|z − a| < δ =⇒ |f (z) − f (a)| < ϵ).
Formuliˇsemo nekoliko rezultata o neprekidnosti funkcije.
Teorema 1.4.2. Neka je G ⊂ C, a ∈ G, i neka je f : G → C kompleksna
funkcija.
(1) Pretpostavimo da je a taˇcka nagomilavanja skupa G. Funkcija f je
neprekidna u taˇcki a na skupu G, ako i samo ako je f (a) = lim f (z).
z→a;z∈G
(2)Ako je a izolovana taˇcka skupa G, onda je funkcija f neprekidna u
taˇcki a.
24 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
Funkcija f je (obiˇcno) neprekidna na skupu G, ako je f neprekidna u
svakoj taˇcki a ∈ G na skupu G.
Teorema 1.4.3. Neka je G ⊂ C, a = α + iβ ∈ g, i neka je f = u + iv :
G → C. Funkcija f je neprekidna u taˇcki a na skupu G, ako i samo ako su
obe funkcije u, v neprekidne u istoj taˇcki (α, β) na skupu G.
Funkcija f je ravnomerno neprekidna na skupu G, ako vaˇzi:
(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀z1 , z2 ∈ G) (|z1 − z2 | < δ =⇒ |f (z1 ) − f (z2 )| < ϵ).
U definiciji neprekidnosti funkcije u nekoj taˇcki a broj δ je izabran u
zavisnosti od taˇcke a i unapred zadanog ϵ > 0. Sa druge strane, u definiciji
ravnomerne neprekidnosti na skupu, broj δ je izabran u zavisnosti od ϵ, a
nezavisno od izbora taˇcaka skupa G. Dakle, vaˇzi slede´ci rezultat.
Teorema 1.4.4. Ako je f ravnomerno neprekidna funkcija na nekom skupu
G, onda je f neprekidna funkcija na G.
Iz obiˇcne neprekidnosti funkcije na odred¯enom skupu sledi ravnomerna
neprekidnost te funkcije, samo u odred¯enim specijalnim sluˇcajevima.
Teorema 1.4.5. (Hajne11 -Kantor12 ) Ako je G kompaktan podskup od C,
i ako je f : G → C neprekidna funkcija na G, onda je f ravnomerno
neprekidna na G.
Teorema 1.4.6. Ako je f (z) = u(x, y) + i · v(x, y), onda je ravnomerna neprekidnost funkcije f na nekom skupu G ekvivalentna ravnomernoj
neprekidnosti funkcija u i v na skupu G.
Dokaz. Rezultat sledi na osnovu slede´cih nejednakosti:
| Re w|, | Im w| ≤ |w| =
√
| Re w|2 + | Im w|2 ,
pri ˇcemu je w = f (z), z ∈ G.
11
12
Heinrich Eduard Heine (1821-1881), nemaˇcki matematiˇcar
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), nemaˇcki matematiˇcar
1.4. KOMPLEKSNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE
1.4.3
PROMENLJIVE
25
Nizovi i redovi funkcija
Neka je (fn )n niz funkcija definisan na skupu G, G ⊂ C. Ako je z ∈ G
konkretna taˇcka skupa G, tada je (fn (z))n brojni niz u C. Niz funkcija (fn )n
(obiˇcno, taˇckasto) konvergira ka funkciji f na skupu G, ako za svako z ∈ G
vaˇzi lim fn (z) = f (z).
n→∞
Niz (fn )n ravnomerno konvergira na skupu G ka funkciji f , ako:
(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀z ∈ G)(∀n ∈ N) (n ≥ n0 =⇒ |fn (z) − f (z)| < ϵ).
Iz ravnomerne konvergencije niza funkcija na nekom skupu G sledi obiˇcna
konvergencija tog niza ka istoj graniˇcnoj funkciji na skupu G. Obrnuto
tvrd¯enje ne vaˇzi u opˇstem sluˇcaju, kao ˇsto je to pokazivano u realnoj∑
analizi.
Neka je (gn )n niz funkcija definisanih na skupu G ⊂ C. Red
gn je
obiˇcno konvergentan na skupu G, ako niz delimiˇ
c
nih
suma
S
=
g
+
·
·
·
+ gn
n
1
∑
obiˇcno konvergira na skupu G. Analogno, red
gn je ravnomerno konvergentan na skupu G, ako niz delimiˇcnih suma Sn = g1 + · · · + gn ravnomerno
konvergira na skupu G.
Ako red funkcija ravnomerno konvergira na nekom skupu, onda taj red i
obiˇcno konvergira ka istoj graniˇcnoj funkciji na posmatranom skupu. Obrnuto tvrd¯enje ne vaˇzi u opˇstem sluˇcaju.
Formuliˇsemo slede´ci rezultat.
Teorema 1.4.7. (1) (Koˇ
sijev kriterijum za ravnomernu konvergenciju nizova) Niz (fn )n ravnomerno konvergira na skupu G, ako i samo ako
vaˇzi :
(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀z ∈ G)(∀n, m ∈ N)
(m > n ≥ n0 =⇒ |fn (z) − fm (z)| < ϵ).
sijev kriterijum za ravnomernu konvergenciju redova) Red
∑ (2) (Koˇ
gn ravnomerno konvergira na skupu G ako i samo ako vaˇzi:
(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀z ∈ G)(∀n, m ∈ N)
m
)
(
∑
gk (z) < ϵ .
m > n ≥ n0 =⇒ k=n
13
(3) (Vajerˇ
∑strasov kriterijum za ravnomernu konvergenciju) Ako
ˇclanovi reda gk zadovoljavaju uslov |gk (z)| ≤ ck za svako z ∈ G i svako k =
13
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), nemaˇcki matematiˇcar
26 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
∑
∑
1, 2, . . . , a brojni red
ck konvergira, onda red
gk ravnomerno konvergira
na skupu G.
(4) Neka je f (z) = lim fn (z), z ∈ G, gde su fn (n = 1, 2, . . . ) neprekidne
n→∞
funkcije na skupu G. Ako je niz (fn )n ravnomerno konvergentan na skupu
G, onda je funkcija f neprekidna na skupu G.
(5) Neka su gn (n = 1, 2, . . . ) neprekidne funkcije na skupu G. Ako red
∞
∑
∑
gk (z) = s(z),
gk konvergira ravnomerno na skupu G, njegova suma
k=0
z ∈ G, je takod¯e neprekidna funkcija na G.
1.4.4
Stepeni redovi
Najvaˇzniji specijalan sluˇcaj reda funkcija, jeste stepeni red. Neka je (cn )n niz
kompleksnih brojeva, i neka je a ∈ C. Red
∞
∑
cn (z − a)n
n=0
je stepeni red oko taˇcke a (u taˇcki a; ili sa centrom u taˇcki a).
Za kompleksne stepene redove vaˇzi rezultat analogan realnim stepenim
redovima.
Teorema 1.4.8. Neka je a ∈ C i neka je (cn )n niz kompleksnih brojeva.
Tada postoji jedinstven R ∈ [0, +∞] sa slede´cim svojstvima:
∞
∑
cn (z − a)n konvergira za svako z ∈ D(a; R).
(1) Stepeni red
n=0
(2) Ako je R > 0, onda stepeni red
∞
∑
cn (z − a)n konvergira ravnomerno
n=0
na skupu z ∈ D[a; r] za svako r ∈ (0, R).
(3) Ako je R < +∞, onda stepeni red
svojstvom |z| > R.
cn+1 1
1/n
(4) R = lim sup |cn | = lim sup cn .
∞
∑
divergira za svako z ∈ C sa
n=0
Broj R u prethodnoj teoremi naziva se polupreˇcnik konvergecije stepenog
∞
∑
reda
cn (z − a)n . Disk D(a; R) je disk (krug) konvergencije posmatranog
n=0
stepenog reda. Imaju´ci u vidu da je stepeni red ravnomerno konvergentan na
zatvorenim diskovima sadrˇzanim u D(a; R), kao i ˇcinjenicu da su sve funkcije
1.5. ELEMENTARNE KOMPLEKSNE FUNKCIJE
27
z 7→ cn (z − a)n neprekidne, jednostavno dolazimo do zakljuˇcka da suma
stepenog reda jeste neprekidna funkcija na disku na kome red konvergira.
Dokaza´cemo kasnije ozbiljnije tvrd¯enje: suma stepenog reda je beskonaˇcno
puta diferencijabilna funkcija na disku na kome polazni red konvergira.
1.5
1.5.1
Elementarne kompleksne funkcije
Eksponencijalna funkcija
Neka je z = x + iy ∈ C. Eksponencijalna funkcija z 7→ ez definisana je na
slede´ci naˇcin:
ez = ex (cos y + i sin y).
Ako je y = 0, odnosno z = x ∈ R, onda se, oˇcigledno, kompleksna eksponencijalna funkcija svodi na dobro poznatu realnu eksponencijalnu funkciju.
Funkcije y 7→ cos y i y 7→ sin y su periodiˇcne sa periodom 2π. Stoga
je funkcija z 7→ ez periodiˇcna sa periodom 2πi. Na osnovu neprekidnosti
funkcija x 7→ ex , y 7→ cos y i y 7→ sin y za svako x, y ∈ R, sledi neprekidnost
funkcije z 7→ ez za svako z ∈ C.
Vaˇzi ex > 0 za svako x. Osim toga, ni za jedno y ∈ R ne moˇze istovremeno
biti cos y = 0 i sin y = 0. Prema tome, ez ̸= 0 za svako z ∈ C.
Neka je w = u + iv i ew = eu (cos v + i sin v). Vaˇzi formula:
ez ew = ex+u [cos y cos v − sin y sin v + i(cos y sin v + sin y cos v)]
= ex+u [cos(y + v) + i sin(y + v)] = ez+w .
Jednostavno je dokazati i slede´ci rezultat
(ez )−1 = e−z ,
odakle neposredno proizilazi
ez
= ez−w .
ew
Posebno je interesantan sluˇcaj z = y, odnosno x = 0. Tada je
eiy = cos y + i sin y.
Oˇcigledno vaˇzi |eiy | = 1, odakle sledi da je eiy taˇcka kruˇznice sa centrom u
koordinatnom poˇcetku polupreˇcnika 1. Obrnuto, ako je w taˇcka jediniˇcne
28 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
kruˇznice sa centrom u koordinatnom poˇcetku i y = arg w, tada je eiy = w.
Prema tome, preslikavanje y 7→ eiy je bijekcija iz skupa {y : 0 ≤ y < 2π} na
jediniˇcnu kruˇznicu u skupu C.
z
taˇcka
Ako je z ∈ C proizvoljan kompleksan broj razliˇcit od nule, tada je |z|
jediniˇcne kruˇznice sa istim argumentom kao z. Prema prethodno reˇcenom,
ako je φ = arg z, onda je z = |z|eiφ i ovaj zapis je eksponencijalni (Ojlerov14 )
oblik kompleksnog broja z.
Sldedi da preslikavanje z 7→ ez jeste bijekcija iz skupa {z = x + iy : x ∈
R, 0 ≤ y < 2π} na skup C \ {0}.
Osim toga, vaˇzi z = |z|e−iφ i arg z = − arg z (poslednju jednakost treba
shvatiti skupovno).
Ako je n ∈ N, onda je
( )n
cos nφ + i sin nφ = eniφ = eiφ = (cos φ + i sin φ)n ,
koja je ve´c ranije navedena kao formula Moavra (videti sekciju o trigonometrijskom zapisu kompleksnog broja).
Za brojeve z = |z|eiφ i w = |w|eiψ vaˇzi
zw = |z||w|ei(φ+ψ) ,
z
|z| i(φ−ψ)
=
e
.
w
|w|
Prema tome, arg(zw) = arg z + arg w, arg(z/w) = arg z − arg w (ove jednakosti treba shvatiti skupovno).
1.5.2
Trigonometrijske funkcije
Na osnovu formula eiy = cos y + i sin y i e−iy = cos y − i sin y za realan broj y,
sledi cos y = 12 (eiy + e−iy ) i sin y = 2i1 (eiy − e−iy ). Osnovne trigonometrijske
funkcije kompleksne promenljive z definisane su analogno:
1
1
sin z
cos z
cos z = (eiz + e−iz ), sin z = (eiz − e−iz ), tg z =
, ctg z =
.
2
2i
cos z
sin z
Trigonometrijske funkcije su, oˇcigledno, neprekidne funkcije na podskupovima
od C na kojima su definisane. Na osnovu osobina eksponencijalne funkcije,
lako je proveriti da su preslikavanja z 7→ cos z i z 7→ sin z periodiˇcna sa periodom 2π, dok su preslikavanja z 7→ tg z i z 7→ ctg z periodiˇcna sa periodom
14
Leonhard Euler (1707-1783), ˇsvajcerski matematiˇcar i fiziˇcar
1.5. ELEMENTARNE KOMPLEKSNE FUNKCIJE
29
π. Vaˇze slede´ci osnovni trigonometrijski identiteti, koje ostavljamo ˇcitaocu
za samostalnu proveru:
(sin z)2 + (cos z)2 = 1,
sin(z ± w) = sin z cos w ± cos z sin w,
cos(z ± w) = cos z cos w ∓ sin z sin w.
1.5.3
Hiperboliˇ
cke funkcije
Hiperboliˇcke funkcije definisane su na slede´ci naˇcin:
ch z =
ez + e−z
ez − e−z
sh z
ch z
, sh z =
, th z =
, cth z =
.
2
2
ch z
sh z
Oˇcigledno, hiperboliˇcke funkcije predstavljaju neposredna uopˇstenja realnih
hiperboliˇckih funkcija. Hiperboliˇcke funkcije su neprekidne na podskupovima
od C na kojima su definisane. Funkcije ch z i sh z su periodiˇcne sa periodom
2πi, a funkcije th z i cth z su periodiˇcne sa periodom πi.
1.5.4
Logaritamska funkcija
Kompleksan broj z ∈ C \ {0} nema jedinstven argument. Preciznije, ako je
poznat jedan argument φ broja z, onda se svi ostali argumenti broja z od
razlikuju od broja φ za celobrojni umnoˇzak broja 2π. Stoga pridruˇzivanje
z 7→ arg z nije preslikavanje u pravom smislu reˇci. Ako je Arg z glavna
vrednost argumenta kompleksnog broja z, odnosno 0 ≤ Arg z < 2π, tada je
z 7→ Arg z preslikavanje iz skupa C\{0} na skup [0, 2π). Za svako z ∈ C\{0}
postoji jedinstvena reprezentacija z = |z|ei Arg z . Prirodni logaritam broja
z ∈ C \ {0} definiˇse se na slede´ci naˇcin:
Ln z = ln |z| + i Arg z,
gde je ln |z| uobiˇcajeni logaritam pozitivnog broja |z|. Ako je z = x > 0,
onda je Arg z = 0 i uvedena definicija logaritma kompleksnog broja poklapa
se sa ranijom definicijom logaritma pozitivnog broja. Nije teˇsko proveriti
slede´ca svojstva:
eLn z = z, z ∈ C \ {0},
kao i
Ln ez = z,
ako je z = x + iy, 0 ≤ y < 2π.
30 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA
Opˇstije, ako je z, w ∈ C i ew = z, logaritam kompleksnog broja z definisan
je kao
ln z = w.
Ako je z = |z|ei Arg z+2kπi , k ∈ Z, onda se svaki broj
wk = ln |z| + i Arg z + 2kπi
moˇze re´ci da je logaritam broja z, odnosno wk = ln z. Ovako shva´ceno
pridruˇzivanje z 7→ wk nije preslikavanje, jer jednom broju z odgovara viˇse razliˇcitih brojeva wk . Prirodnije je pisati z 7→ {wk : k ∈ Z} i ovo pridruˇzivanje
se naziva viˇseznaˇcna funkcija. Jedna (neprekidna) grana ove viˇseznaˇcne
funkcije jeste
lnk z = ln |z| + i Arg z + 2kπi,
pri ˇcemu je k konstantna vrednost. Funkcija lnk z je jednoznaˇcna, odnosno
funkcija (preslikavanje) u pravom smislu reˇci.
1.5.5
Koren kompleksnog broja
√
Kompleksan broj z je n-ti koren kompleksnog broja a (u oznaci z = n a), ako
je z n = a. Korenovanje je takod¯e viˇseznaˇcna funkcija u skupu kompleksnih
brojeva, odnosno svaki kompleksan broj a ̸= 0 ima n razliˇcitih
korena. Ako je
√
Arg a+2kπ
n
i Arg a
a = |a|e
, tada je n-ti koren od a svaki od brojeva zk = |a|e n , k =
0, ±1, ±2, . . . . Pri tome, samo su n korena med¯usobno razliˇcita. Dovoljno
je
posmatrati n uzastopnih vrednosti za k, na primer k = 1, . . . , n. Piˇse se
√
n
a = {z1 , . . . , zn }.
Glava 2
Topoloˇ
ski i metriˇ
cki prostori
2.1
Topoloˇ
ski prostori
Neka je X neprazan skup, i neka je τ familija nekih podskupova od X sa
svojstvima:
(1) ∅, X ∈ τ ;
(2) Ako je V1 , V2 ∈ τ , onda V1 ∩ V2 ∈ τ ; ∪
(3) Ako je Vi ∈ τ za svako i ∈ I, onda
Vi ∈ τ (indeksni skup I je
i∈I
proizvoljan).
Tada je τ topologija na X, i (X, τ ) je topoloˇski prostor. Elementi familije
τ jesu otvoreni skupovi.
Na jednom skupu X moˇze biti zadano viˇse razliˇcitih topologija. Ako je
to sluˇcaj, onda se svaka topologija mora posebno naglasiti.
Neka je (X, τ ) topoloˇski prostor i F ⊂ X. Skup F je zatvoren, ako i
samo ako je X \ F = F c otvoren. Familija svih zatvorenih podskupova od X
oznaˇcava se sa z, i ima slede´ca svojstva:
(1) ∅, X ∈ z;
(2) Ako je F1 , F2 ∈ z, onda F1 ∪ F2 ∈ z; ∩
(3) Ako je Fi ∈ z za svako i ∈ I, onda
Fi ∈ z (indeksni skup I je
i∈I
proizvoljan).
Neka je (X, τX ) topoloˇski prostor i Y ⊂ X. Skup Y postaje topoloˇski
prostor, ako se topologija τY definiˇse na slede´ci naˇcin:
Za V ⊂ Y vaˇzi: V ∈ τY ako i samo ako postoji U ∈ τX tako da je
V = Y ∩ U.
31
32
ˇ I METRICKI
ˇ
GLAVA 2. TOPOLOSKI
PROSTORI
U ovom sluˇcaju je topologija τY indukovana topologijom τX , i topoloˇski
prostor (Y, τY ) je potprostor topoloˇskog prostora (X, τX ).
Topoloˇski prostor X je povezan, ako X nije unija dva disjunktna neprazna
otvorena skupa. Drugim reˇcima, X je povezan, ako su X i ∅ jedini skupovi
koji su istovremeno otvoreni i zatvoreni u X.
Ako je Y ⊂ X, onda Y povezan ako i samo ako je Y povezan u indukovanoj topologiji τY .
Ako je A ⊂ X, onda je cl A zatvorenje skupa A, definisano kao
∩
cl A = {F : F ⊃ A, F ∈ z}.
Skup cl A je najmanji zatvoren skup koji sadrˇzi A. Dakle, skup A je zatvoren
ako i samo ako je A = cl A.
Unutraˇsnjost skupa A, oznaˇcena sa int A, definisana je kao
∪
int A = {V : V ⊂ A, V ∈ τ }.
Skup int A je najve´ci otvoren skup koji je sadrˇzan u A. Stoga, skup A je
otvoren ako i samo ako je A = int A.
Rub skupa A je skup ∂A = cl A ∩ cl(X \ A).
Skup V je okolina taˇcke a ∈ X, ako je a ∈ int A.
Taˇcka a je izolovana taˇcka skupa A, ako postoji okolina V taˇcke a sa
svojstvom V ∩ A = {a}. Skup izolovanih taˇcaka skupa A oznaˇcava se sa
iso A.
Skup svih taˇcaka nagomilavanja skupa A je acc A = cl A \ iso A.
Neka je (X, τ ) toploˇski prostor, A ⊂ X i B∪
cemu
i ∈ X za svako i ∈ I, pri ˇ
je I proizvoljan indeksni skup. Ako je A ⊂
Bi , onda je familija (Bi )i∈I
i∈I
pokrivanje skupa A. Ako je, pri tome, svaki skup Bi otvoren, onda je (Bi )i∈I
otvoreno pokrivanje skupa A.
Skup K ⊂ X je kompakt (ili kompaktan skup), ako se iz svakog otvorenog
pokrivanja skupa K moˇze izdvojiti konaˇ
∪ cno pokrivanje skupa K. Preciznije,
ako su (Vi )i∈I otvoreni skupovi i K ⊂
Vi , tada postoje indeksi i1 , . . . , in ∈ I
i∈I
tako da je K ⊂ Vi1 ∪ · · · ∪ Vin .
Skup K je relativno kompaktan, ako je cl K kompaktan.
Neka su (X, τX ) i (Y, τY ) topoloˇski prostori i neka je f : X → Y preslikavanje. f je neprekidno, ako za svako V ∈ τY vaˇzi f −1 (V ) ∈ τX . Ekvivalentno, f je neprekidno preslikavanje ako i samo ako za svako F ∈ zY vaˇzi
f −1 (F ) ∈ zX .
ˇ PROSTORI
2.1. TOPOLOSKI
33
Neprekidnost funkcije je lokalno svojstvo, kao ˇsto se vidi iz slede´ceg rezultata.
Teorema 2.1.1. Neka su (X, τX ), (Y, τY ) topoloˇski prostori, i neka je data
funkcija f : X → Y . Slede´ca tvrd¯enja su ekvivalentna:
(1) Funkcija f je neprekidna;
(2) Za svako x ∈ X i svaku okolinu V taˇcke f (x), postoji okolina U taˇcke
x sa svojstvom f (U ) ⊂ V .
Dokaz. (1) =⇒ (2): Pretpostavimo da je f : X → Y neprekidna funkcija.
Neka je x ∈ X i neka je V okolina taˇcke f (x) u prostoru Y . Postoji otvoren
skup V1 tako da je f (x) ∈ V1 ⊂ V . Na osnovu izbora skupa V , kao i
neprekidnosti funkcije f sledi: x ∈ U = f −1 (V1 ) ∈ τX . Dakle, U je okolina
taˇcke x sa oˇciglednim svojstvom f (U ) ⊂ V .
(2) =⇒ (1): Pretpostavimo sada da za svako x ∈ X i svaku okolinu
V taˇcke f (x), postoji okolina U taˇcke x sa svojstvom f (U ) ⊂ V . Neka je
W ∈ τY i z ∈ f −1 (W ). Tada je f (z) ∈ W . Dakle, W je okolina taˇcke
f (z). Stoga postoji okolina U taˇcke x sa svojstvom f (U ) ⊂ W . Oˇcigledno je
x ∈ U ⊂ f −1 (W ), odakle sledi f −1 (W ) ∈ τX .
Teorema 2.1.2. Neka su (X, τX ), (Y, τY ), (Z, τZ ) topoloˇski prostori, i neka
su f : X → Y i g : Y → Z neprekidne funkcije. Tada je g ◦ f : X → Z
neprekidna funkcija.
Dokaz. Neka je V ∈ τZ . Tada je g −1 (V ) ∈ τY , a takod¯e i f −1 (g −1 (V )) ∈ τX .
Sledi da je g ◦ f neprekidna funkcija.
Teorema 2.1.3. Ako su X, Y topoloˇski prostori, f : X → Y je neprekidno
preslikavanje, i ako je K kompakt u X, tada je f (K) kompakt u Y .
Dokaz. Neka je (Vi )i∈I otvoreno pokrivanje skupa f (K) u Y , odnosno
∪
f (K) ⊂
Vi .
i∈I
Tada je
K ⊂ f −1 (f (K)) ⊂ f −1
(
∪
i∈I
)
Vi
=
∪
f −1 (Vi ).
i∈I
−1
Skup K je kompaktan, a skupovi f (Vi ) su otvoreni u X. Prema tome,
postoje indeksi i1 , . . . , in ∈ I tako da je
K ⊂ f −1 (Vi1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (Vin ).
ˇ I METRICKI
ˇ
GLAVA 2. TOPOLOSKI
PROSTORI
34
Stoga je
f (K) ⊂ f (f −1 (Vi1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (Vin )) = Vi1 ∪ · · · ∪ Vin .
Dakle, proizvoljno otvoreno pokrivanje skupa f (K) svedeno je na konaˇcno
pokrivanje, odakle sledi da je f (K) kompakt u Y .
Teorema 2.1.4. Ako su X, Y topoloˇski prostori, X je povezan i f : X → Y
je neprekidno preslikavanje, onda je f (X) povezan skup u Y .
Dokaz. Ako je f : X → Y neprekidno preslikavanje, tada je i redukcija
f : X → f (X) neprekidno preslikvanje. Dakle, bez gubljenja opˇstosti pretpostavljamo da je f preslikavanje ”na“.
Neka je f (X) = Y . Pretpostavimo da Y nije povezan skup. Onda je
Y = A ∪ B, pri ˇcemu su A, B otvoreni i uzajamno disjunktni skupovi u
Y . Tada je X = f −1 (A) ∪ f −1 (B). Skupovi f −1 (A) i f −1 (B) su otvoreni i
uzajamno disjunktni, odakle sledi da X nije povezan.
Topoloˇski prostor (X, τ ) je Hausdorfov1 , ako za svake dve taˇcke x, y ∈ X
postoje otovreni skupovi U, V ∈ τ , tako da je x ∈ U , y ∈ V i U ∩ V = ∅,
2.2
Metriˇ
cki prostori
Neka je (X, d) metriˇcki prostor, ˇsto znaˇci da postoji funkcija d : X × X →
[0, +∞) koja je metrika, odnosno zadovoljava uslove (za svako x, y, z ∈ X):
(1) d(x, y) = 0 ako i samo ako x = y;
(2) d(x, y) = d(y, x);
(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (nejednakost trougla).
Veliˇcina d(x, y) je rastojanje izmed¯u taˇcka x, y ∈ X.
U metriˇckom prostoru X definiˇsu se otvorena kugla, zatvorena kugla i
sfera sa centrom u taˇcki a ∈ X polupreˇcnika r > 0, redom, na slede´ci naˇcin:
B(a; r) = {x : d(x, a) < r}, B[a; r] = {x : d(x, a) ≤ r},
S(a; r) = {x : d(x, a) = r}.
Niz taˇcaka (xn )n metriˇckog prostora X konvergira ka taˇcki a ∈ X, ako
lim d(xn , a) = 0 u R, i oznaka je lim xn = a. Drugim reˇcima, lim xn = a
n→∞
1
n→∞
Felix Hausdorff (1868-1942), nemaˇcki matematiˇcar
n→∞
ˇ
2.2. METRICKI
PROSTORI
35
ako i samo ako za svako ϵ > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 vaˇzi
d(xn , a) < ϵ. U tom sluˇcaju je a graniˇcna vrednost niza (xn )n . Ako niz ne
konvergira, onda divergira.
Ako niz konvergira, onda ima taˇcno jednu granˇcnu vrednost.
Niz taˇcka (xn )n metriˇckog prostora X je Koˇsijev, ako za svako ϵ > 0
postoji n0 ∈ N, tako da za svako n, m ≥ n0 vaˇzi d(xn , xm ) < ϵ.
Ako postoji a ∈ X i postoji R > 0, tako da za svako n ∈ N vaˇzi xn ∈
B(a; R), onda je niz (xn )n ograniˇcen.
Teorema 2.2.1. Svaki Koˇsijev niz (xn )n metriˇckog prostora X je ograniˇcen.
Jednostavno je proveriti da svaki konvergentan niz jeste Koˇsijev. Med¯utim,
obrnuto tvrd¯enje ne vaˇzi uvek.
Metriˇcki prostor (X, d) je kompletan, ako u ovom prostoru svaki Koˇsijev
niz jeste konvergentan.
Skup V ⊂ X je otvoren u metriˇckom prostoru X u odnosu na metriku
d, ako za svako a ∈ V postoji r > 0 tako da je B(a; r) ⊂ V . Familija svih
otvorenih skupova u metriˇckom prostoru (X, d) ˇcini topologiju τd . Topologija
τd je indukovana metrikom d na prostoru X.
Svaki metriˇcki prostor (X, d) je Hausdorfov topoloˇski prostor. Neka je,
recimo, x, y ∈ X i x ̸= y. Tada je d = d(x, y) > 0. Neka je U = B(x; r/3) i
V = B(y; r/3). Skupovi U, V su otvoreni i vaˇzi x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅.
Teorema 2.2.2. Neka je X metriˇcki prostor i E ⊂ X. Slede´ca tvrd¯enja su
ekvivalentna:
(1) Skup E je zatvoren;
(2) Za svaki niz (xn )n iz E vaˇzi implikacija: ako je lim xn = a, onda je
n→∞
a ∈ F.
Skup K je nizovno kompaktan u metriˇckom prostoru X, ako i samo ako
za svaki niz (xn )n iz K postoji konvergentan podniz (xnk )k koji konvergira
nekoj taˇcki a ∈ K, tj. lim xnk = a ∈ K.
k→∞
Teorema 2.2.3. (Hajne-Borel2 -Lebeg3 ) Skup K u metriˇckom prostoru X je
kompaktan, ako i samo ako je skup K nizovno kompaktan.
2
3
`
`
F`elix Edouard
Justin Emile
Borel (1871-1956), francuski matematiˇcar
Henri L`eon Lebesgue (1875-1941), francuski matematiˇcar
ˇ I METRICKI
ˇ
GLAVA 2. TOPOLOSKI
PROSTORI
36
Posledica ove teoreme jeste da svaki kompaktan skup u metriˇckom prostoru mora biti zatvoren. Vaˇzi i opˇstiji rezultat: ako je X Hausdorfov topoloˇski
prostor, i ako je K kompaktan skup u X, onda je X zatvoren.
Skup K je totalno ograniˇcen u metriˇckom prostoru X, ako za svako ϵ > 0
postoje taˇcke x1 , . . . , xn ∈ K, tako da je
K⊂
n
∪
B(xi ; ϵ).
i=1
Teorema 2.2.4. Ako je skup K relativno kompaktan u metriˇckom prostoru
X, onda je K totalno ograniˇcen.
Ako je metriˇcki prostor X kompletan, i ako je skup K totalno ograniˇcen
u X, tada je K relativno kompaktan u X.
Za kompaktne skupove vaˇzi Lebegova teorema o pokrivanju.
Teorema∪2.2.5. Neka je K kompaktan skup u metriˇckom prostoru X. Ako
Vi otvoreno pokrivanje skupa K, onda postoji δ > 0 tako da za
je K ⊂
i∈I
svako x ∈ K postoji i ∈ I sa osobinim B(x; δ) ⊂ Vi .
∪
Dokaz. Pretpostavimo suprotno: neka je K ⊂
Vi otvoreno pokrivanje
i∈I
kompakta
da za svako n ∈ N postoji taˇcka xn ∈ K sa svojstovm da
( K,1tako
)
kugla B xn ; n nije podskup ni jednog skupa Vi . Skup K je kompaktan, i
stoga postoji podniz (xnk )k sa svojstvom lim xnk = y ∈ K. Postoji i1 ∈ I
k→∞
tako da je y ∈ Vi1 . Stoga postoji ϵ > 0 tako( da )je B(y; ϵ) ⊂ Vi1 . Postoji
k1 ∈ N tako da za svako k ≥ k1 vaˇzi xnk ∈ B y; 2ϵ . Kako je lim nk = +∞
k→∞
i za svako{ k ∈ }N vaˇzi nk ≤ nk+1 , sledi da postoji ℓ ∈ N sa svojstvom
nℓ ≥ max nk1 , 2ϵ . Primetimo da je ℓ ≥ k1 . Neka je δ = n1ℓ .
Neka je z ∈ B(xnℓ ; δ). Tada je
d(y, z) ≤ d(y, xnℓ ) + d(xnℓ , z) ≤
1
ϵ
+
< ϵ.
2 nℓ
Dakle, B(xnℓ ; δ) ⊂ Vi1 . Dobijeni rezultat je kontradiktoran sa izborom niza
(xn )n .
Neka je (xn )n niz taˇcaka u metriˇckom prostoru X, i neka je (rn )n niz
pozitivnih brojeva. Ako je
K[x1 , r1 ] ⊃ K[x2 , r2 ] ⊃ · · ·
ˇ
2.2. METRICKI
PROSTORI
37
i lim rn = 0, tada je Kn = K[xn , rn ] niz monotono opadaju´cih zatvorenih
n→∞
kugli, ˇciji polupreˇcnici teˇze ka nuli.
Formuliˇsemo vaˇznu karakterizaciju kompletnih metriˇckih prostora.
Teorema 2.2.6. (Kantor) Metriˇcki prostor X je kompletan, ako i samo ako
za svaki niz (K
∩n )n monotono opadaju´cih zatvorenih kugli, ˇciji polupreˇcnici
teˇze nuli, vaˇzi Kn = {a} za neko a ∈ X.
n
Jednostavno je utvrditi da u prostoru C umesto zatvorenih kugli moˇzemo
u prethodnoj teoremi uzeti niz zatvorenih trouglova (ili pravougaonika) ˇciji
dijametri teˇze nuli.
Formuliˇsemo slede´ce tvrd¯enje, i ostavljamo dokaz ˇcitaocu za veˇzbu.
Teorema 2.2.7. Ako je (X, d) metriˇcki prostor, tada je funkcija d1 , definid(x,y)
sana kao d1 (x, y) = 1+d(x,y)
, takod¯e metrika na X.
Skup V (⊂ X) je otvoren u odnosu na metriku d, ako i samo ako je V
otvoren u odnosu na metriku d1 .
Niz (xx )n je Koˇsijev u odnosu na d, ako i samo ako je (xn )n Koˇsijev u
odnosu na d1 .
Neka je (Xn , dn ) niz metriˇckih prostora i neka je
X=
∞
∏
Xn .
n=1
Drugim reˇcima x = (xn )n ∈ X ako i samo ako za svako n ∈ N vaˇzi xn ∈ Xn .
Za x = (xn )n ∈ X i y = (yn )n ∈ X definiˇsemo
∞ ( )n
∑
dn (xn yn )
1
d(x, y) =
.
2
1
+
d
(x
,
y
)
n
n
n
n=1
Na osnovu poredbenog kriterijuma za brojne redove, sledi da je funkcija
d dobro definisana.
Teorema
2.2.8. Ako je d prethodno uvedena funkcija, tada je
(∞
)
∏
Xn , d metriˇcki prostor.
n=1
Ako je (xk )k = ((xkn )n )k niz u prostoru (X, d), tada je lim xk = a =
(an )n ∈ X ako i samo ako za svako n ∈ N vaˇzi lim xkn = an .
k→∞
k→∞
Ako su svi prostori (Xn , dn ) kompaktni, tada je (X, d) kompaktan prostor.
ˇ I METRICKI
ˇ
GLAVA 2. TOPOLOSKI
PROSTORI
38
2.3 Konvergencije nizova neprekidnih funkcija
U ovoj sekciji razmatraju se osobine neprekidnih funkcije na topoloˇskim i
metriˇckim prostorima.
Definicija 2.3.1. Neka je (X, τ ) toploˇski prostori, i neka je (Y, d) metriˇcki
prostor. Neka je (fn )n niz funkcija iz X u Y , i neka je f : X → Y .
Niz (fn )n konvergira ka f na skupu X, ako za svako x ∈ X i svako ϵ > 0
postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ≥ n0 vaˇzi d(fn (x), f (x)) < ϵ. Oznaka je
lim fn (x) = f (x) za svako x ∈ X. Ova konvergencija se naziva obiˇcna ili
n→∞
taˇckasta konvergencija niza funkcija.
Niz fukcija (fn )n ravnomerno (uniformno) konvergira ka f na skupu X,
ako svako ϵ > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako x ∈ X i za svako n ≥ n0
vaˇzi d(fn (x), f (x)) < ϵ. Oznaka je lim fn = f .
n→∞
Jednostavno je proveriti da iz ravnomerne konvergencije niza funkcija
na nekom skupu sledi obiˇcna konvergencija polaznog niza ka istoj graniˇcnoj
vrednosti. Obrnuto tvrd¯enje ne vaˇzi.
Ako je (X, τ ) topoloˇski prostor i (X, d) metriˇcki prostor, onda je C(X, Y )
skup svih neprekidnih funkcija iz X u Y .
Definicija 2.3.2. Neka su X, Y metriˇcki prostori. Funkcija f : X → Y je
ravnomerno (uniformno) neprekidna na X, ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0,
tako da za svako x, y ∈ X vaˇzi implikacija
d(x, y) < δ =⇒ d(f (x), f (y)) < ϵ.
Ako je f ravnomerno neprekidna funkcija, onda je f neprekidna funkcija.
Obrnuto tvrd¯enje ne mora biti taˇcno.
Teorema 2.3.1. Neka su X, Y metriˇcki prostori. Ako je f : X → Y
neprekidna funkcija, i ako je X kompaktan skup, tada je f ravnomerno
neprekidna na X.
Dokaz. Neka je f : X → Y neprekidna funkcija na X, x ∈ X i ϵ > 0.
Tada postoji δx,ϵ > 0 tako
da za svako y ∈ B(x; δx,ϵ ) vaˇzi d(f (x), f (y)) < 2ϵ .
∪ ( δx,ϵ )
Oˇcigledno je X =
B x; 2 otvoreno pokrivanje kompakta X, koje se
x∈X
moˇze svesti na konaˇcno pokrivanje. Sledi da postoje taˇcke x1 , . . . , xn ∈ X,
tako da je
(
)
(
)
δx1 ,ϵ
δxn ,ϵ
X = B x1 ;
∪ · · · ∪ B xn ;
.
2
2
2.3. KONVERGENCIJE NIZOVA NEPREKIDNIH FUNKCIJA
39
Neka je δ = min{δx1 ,ϵ , . . . , δxn ,ϵ }. Posmatrajmo
x, y ∈ X za koje
( proizvoljne
)
δ
vaˇzi d(x, y) < 2δ . Postoji xi , tako da je x ∈ B xi , x2i ,ϵ , odakle sledi da je
d(y, xi ) ≤ d(y, x) + d(x, xi ) ≤
δ δxi ,ϵ
+
≤ δxi ,ϵ .
2
2
Stoga je
d(f (x), f (y)) ≤ d(f (x), f (xi )) + d(f (xi ), f (y)) < ϵ.
Time dokazujemo da je f ravnomerno neprekidna na X.
Teorema 2.3.2. Neka je (X, τ ) topoloˇski prostor, i neka je (Y, d) metriˇcki
prostor. Ako je (fn )n niz funkcija u C(X, Y ) koji ravnomerno konvergira ka
funkciji f na skupu X, onda je f ∈ C(X, Y ).
Dokaz. Dokazujemo da je f neprekidna funkcija. Neka je ϵ > 0. Tada
postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ≥ n0 i svako x ∈ X vaˇzi d(f (x), fn (x)) < ϵ.
Funkcija fn je neprekidna. Skup B(fn (x); ϵ) je okolina taˇcke f (x) u Y . Stoga
postoji V (x) okolina taˇcke x u X, tako da je fn (V (x)) ⊂ B(f (x); ϵ).
Tada za y ∈ V (x) i n ≥ n0 vaˇzi:
d(f (x), f (y)) ≤ d(f (x), fn (x)) + d(fn (x), fn (y)) + d(fn (y), f (y)) < 3ϵ.
Sledi da je f neprekidna u proizvoljnoj taˇcki x ∈ X.
Teorema 2.3.3. Neka je (X, τ ) kompaktan topoloˇski prostor. Ako je f ∈
C(X, R), tada postoje x1 , x2 ∈ X tako da je f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) za svako
x ∈ X. Drugim reˇcima, neprekidna funkcija na kompaktu dostiˇze svoj minimum i svoj maksimum.
Dokaz. f je neprekidno preslikavanje, X je kompaktan prostor, te je f (X)
kompaktan skup u R. Dakle, postoje m = min f (X) i M = max f (X) ∈ R.
Samim tim, postoje taˇcke x1 , x2 ∈ X tako da je m = f (x1 ) i M = f (x2 ).
Teorema 2.3.4. Ako je (X, τ ) kompaktan topoloˇski prostor i (Y, d) metriˇcki
prostor, tada je sa
d∞ (f, g) ≡ dX
∞ (f, g) = max d(f (x), g(x)),
x∈X
f, g ∈ C(X, Y ),
data metrika u skupu C(X, Y ).
Pri tome, niz funkcija (fn )n prostora C(X, Y ) konvergira ka nekoj funkciji
f u smislu metrike d∞ , ako i samo ako (fn )n konverira ka f ravnomerno na
X.
40
ˇ I METRICKI
ˇ
GLAVA 2. TOPOLOSKI
PROSTORI
Dokaz. Za svako y ∈ X funkcija x 7→ d(x, y) je neprekidna po x ∈ X.
Funkcije f, g su neprekidne, te je maksimum neprekidne funkcije
x 7→ d(f (x), g(x))
dostignut na kompaktu X. Dakle, d∞ (f, g) ∈ [0, +∞).
Ako su f, g neprekidne funkcije i f (x0 ) ̸= g(x0 ), tada se ove dve funkcije
razlikuju u nekoj kugli sa centrom u x0 . Time se dokazuje svojstvo metrike
d(f, g) = 0 ako i samo ako je f = g na X.
Jednostavno je dokazati simetriˇcnost i nejednakost trougla za d∞ .
Takod¯e je jednostavno proveriti da je konvergencija niza funkcija (fn )n u
C(X, Y ) u smislu metrike d∞ ekvivalentna ravnomernoj konvergenciji niza
(fn )n na skupu X.
Teorema 2.3.5. Neka je (X, τ ) kompaktan topoloˇski prostor i neka je (Y, d)
kompletan metriˇcki prostor. Tada je (C(X, Y ), d∞ ) kompletan metriˇcki prostor.
Dokaz. Neka je (fn )n Koˇsijev niz u (C(X, Y ), d∞ ), i neka je ϵ > 0. Tada
postoji n0 ∈ N tako da za svako n, m ≥ n0 vaˇzi d∞ (fn , fm ) < ϵ. Neka je
x ∈ X proizvoljna taˇcka. Tada za n, m ≥ n0 vaˇzi
d(fn (x), fm (x)) ≤ d∞ (fn , fm ) < ϵ.
(2.1)
Dakle, (fn (x))n je Koˇsijev niz u kompletnom metriˇckom prostoru Y . Stoga
postoji y ∈ Y tako da je lim fn (x) = y. Definiˇsimo funkciju f kao f (x) := y.
n→∞
Taˇcka x ∈ X je izabrana proizvoljno, te sledi da je funkcija f : X → Y dobro
definisana. U nejednakosti (2.1) neka m teˇzi ka +∞. Name´ce se slede´ci
zakljuˇcak: za svako ϵ > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 i za svako
x ∈ X vaˇzi d(fn (x), f (x)) ≤ ϵ. Dakle, niz (fn )n ravnomerno konvergira ka
f . Kako je X kompaktan topoloˇski prostor, iz neprekidnosti svih funkcija fn
sledi neprekidnost funkcije f na X. Kako je konvergencija u smislu metrike
d∞ ekvivalentna ravnomernoj konvergenciji, teorema je dokazana.
Glava 3
Analitiˇ
cke funkcije
3.1
3.1.1
Diferencijabilne (holomorfne) funkcije
Izvod funkcije
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini taˇcke z0 ∈ C. Graniˇcna vrednost
(ukoliko postoji)
f (z) − f (z0 )
lim
= f ′ (z0 )
z→z0
z − z0
naziva se izvod funkcije f u taˇcki z0 . U tom sluˇcaju je funkcija f diferencijabilna u taˇcki z0 .
Funkcija f je diferencijabilna u otvorenom skupu V ⊂ C, ako je f diferencijabilna u svakoj taˇcki skupa V .
Neka je ∆z = z − z0 i ∆f (z0 ) = f (z0 + ∆z) − f (z0 ). Tada je
∆f (z0 )
.
∆z→0
∆z
f ′ (z0 ) = lim
Stoga, f ′ (z0 ) postoji ako i samo ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako da
vaˇzi implikacija:
∆f (z0 )
′
− f (z0 ) < ϵ.
0 < |∆z| < δ =⇒ ∆z
Proizilazi da vaˇzi
∆f (z0 ) = f ′ (z0 )∆z + o(∆z).
41
(3.1)
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
42
Pri tome je o(∆z) beskonaˇcno mala veliˇcina viˇseg reda od ∆z kada ∆z teˇzi
nuli, odnosno
o(∆z)
lim
= 0.
∆z→0 ∆z
Ako ∆z → 0 u (3.1), neposredno sledi lim ∆f (z0 ) = 0, odnosno funkcija
∆z→0
f je neprekidna u taˇcki z0 . Dakle, iz diferencijabilnosti funkcije f u taˇcki z0
sledi neprekidnost funkcije f u taˇcki z0 .
Sa druge strane, ako postoji neki kompleksan broj A, tako da vaˇzi
∆f (z0 ) = A∆z + o(∆z),
(3.2)
onda je funkcija f diferencijabilna u taˇcki z0 i tada je A = f ′ (z0 ). Naime,
ako (3.2) vaˇzi, onda je
∆f (z0 )
o(∆z)
=A+
,
∆z
∆z
odakle, prelaskom na graniˇcnu vrednost kada ∆z → 0, sledi da je A = f ′ (z).
Primer 3.1.1. Funkcija f (z) = z n (n ∈ N) je diferencijabilna u svakoj taˇcki
z ∈ C. Pri tome je (z n )′ = nz n−1 .
Dokaz. Na osnovu binomne formule, sledi da vaˇzi
(z + ∆z)n − z n
nz n−1 ∆z + o(∆z)
= lim
= nz n−1 .
∆z→0
∆z→0
∆z
∆z
lim
Dokazujemo slede´cu teoremu o pravilima diferenciranja.
Teorema 3.1.1. (1) Ako su funkcije f i g diferencijabilne u taˇcki z0 , onda
je njihova suma, razlika i proizvod diferencijabilna funkcija u taˇcki z0 . Ako
je g(z0 ) ̸= 0, onda je i koliˇcnik f /g diferencijabilna funkcija u taˇcki z0 . Ako
je c proizvoljan kompleksan broj, onda je i c · f diferencijabilna funkcija u
taˇcki z0 . Pri tome vaˇzi:
(f ± g)′ (z0 ) = f ′ (z0 ) ± g ′ (z0 ), (c · f )′ (z0 ) = c · f ′ (z0 ),
(f g)′ (z0 ) = f ′ (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g ′ (z0 ),
( )′
f
f ′ (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g ′ (z0 )
(z0 ) =
(g(z0 ) ̸= 0).
g
(g(z0 ))2
(2) Ako je funkcija z 7→ f (z) definisana u okolini taˇcke z0 i diferencijabilna u taˇcki z0 , a funkcija w 7→ F (w) definisana u okolini taˇcke w0 = f (z0 ) i
3.1. DIFERENCIJABILNE (HOLOMORFNE) FUNKCIJE
43
diferencijabilna u taˇcki w0 , onda je funkcija z 7→ Φ(z) = F (f (z)) definisana
u okolini taˇcke z0 i diferencijabilna u taˇcki z0 , pri ˇcemu je
Φ′ (z0 ) = F ′ (w0 )f ′ (z0 ) = F ′ (f (z0 ))f ′ (z0 ).
Dokaz. (1) Neka je z ∈ D(z0 ; r), z ̸= z0 , i neka su funkcije f, g diferencijabilne
u taˇcki z0 . Zbog ∆z = z − z0 ̸= 0 sledi
(f + g)(z) − (f + g)(z0 )
f (z) − f (z0 ) g(z) − g(z0 )
=
+
.
∆z
∆z
∆z
Prelaskom na graniˇcnu vrednost kada ∆z → 0 u poslednjoj jednakosti, sledi
da vaˇzi
(f + g)′ (z0 ) = f ′ (z0 ) + g ′ (z0 ).
Neka je
α(z) = f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 )(z − z0 ), β(z) = g(z) − g(z0 ) − g ′ (z0 )(z − z0 ),
pri ˇcemu je z ∈ D(z0 ; r). Na osnovu diferencijabilnosti funkcija f i g u taˇcki
z0 sledi da je
α(z)
β(z)
lim
= 0, lim
= 0.
z→z0 ∆z
z→z0 ∆z
Tada je
f (z) = f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0 ) + α(z),
g(z) = g(z0 ) + g ′ (z0 )(z − z0 ) + β(z).
Nije teˇsko proveriti da vaˇzi
(
′
′
)
f (z)g(z) − f (z0 )g(z0 ) = f (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g (z0 ) (z − z0 )
+f ′ (z0 )g ′ (z0 )(z − z0 )2 + f ′ (z0 )β(z)(z − z0 )
+g ′ (z0 )α(z)(z − z0 ) + f (z0 )β(z) + g(z0 )α(z) + α(z)β(z).
Prelaskom na graniˇcnu vrednost kada z → z0 (koriˇs´cenjem neprekidnosti
funkcija f i g u taˇcki z0 ), sledi da je
(f g)′ (z0 ) = f ′ (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g ′ (z0 ).
(2) Neka je
{
u(z) =
f (z)−f (z0 )
z−z0
0,
− f ′ (z0 ), z =
̸ z0 ,
z = z0 ,
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
44
i
{
v(w) =
F (w)−F (w0 )
w−w0
0,
− F ′ (w0 ), w =
̸ w0 ,
w = w0 .
Tada je lim u(z) = 0 i lim v(w) = 0. Imaju´ci u vidu w = f (z) i w0 = f (z0 ),
z→z0
za z ̸= z0 je ispunjeno:
w→w0
Φ(z) − Φ(z0 )
f (z) − f (z0 )
= (F ′ (f (z0 )) + v(f (z))
.
z − z0
z − z0
f (z)−f (z0 )
z−z0
z→z0
Vaˇzi lim
= f ′ (z0 ), a na osnovu neprekidnosti funkcije f u taˇcki z0
vaˇzi lim v(f (z)) = 0. Stoga je
z→z0
Φ′ (z0 ) = lim
z→z0
Φ(z) − Φ(z0 )
= F ′ (f (z0 ))f ′ (z0 ).
z − z0
Time je tvrd¯enje dokazano.
Primer 3.1.2. Neka je m proizvoljan ceo broj. Na osnovu Primera 3.1.1 i
pravila diferenciranja iz Teoreme 3.1.1 sledi da je funkcija f (z) = z m diferencijabilna u( svakoj
taˇcki z ̸= 0 kompleksne ravni i (z m )′ = mz m−1 . Specijalno
)
1 ′
(i vaˇzno) z = − z12 .
Primer 3.1.3. Polinom P (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 je diferencijabilna funkcija u svakoj taˇcki kompleksne ravni i pri tome je
P ′ (z) = nan z n−1 + (n − 1)an−1 z n−2 + · · · + a1 .
Primer 3.1.4. Neposredno uopˇstenje polinoma jesu racionalne funkcije, ili
koliˇcnici polinoma. Neka su Pn i Qm dva polinoma stepena n i m redom.
n (z)
definisana u svakoj taˇcki komTada je racionalna funkcija R(z) = QPm
(z)
pleksne ravni za koju je Qm (z) ̸= 0. Nije teˇsko proveriti da je z 7→ R(z)
diferencijabilna funkcija u svakoj taˇcki ravni u kojoj je definisana.
Diferencijabilne funkcije u otvorenom skupu V nazivaju se i holomorfne
funkcije. Stoga, skup svih diferencijabilnih funkcija u otvorenom skupu V
(V ⊂ C) oznaˇcen je sa H(V ).
3.1. DIFERENCIJABILNE (HOLOMORFNE) FUNKCIJE
3.1.2
45
Koˇ
si–Rimanovi uslovi
Graniˇcna vrednost kojom je definisan izvod neke funkcije ne zavisi od naˇcina
na koji ∆z teˇzi nuli. Kada bi f bila realna funkcija jedne realne promenljivih,
onda bi se u definiciji izvoda funkcije f zahtevalo da z teˇzi z0 po realnoj
osi, dakle po pravoj. Stoga diferencijabilnost funkcije realne promeljive zahteva manje uslova od diferencijabilnosti funkcije kompleksne promenljive.
Uporediti, na primer, sa jedne strane egzistenciju izvoda u pravcu realne
funkcije dve promenljive, a sa druge strane diferencijabilnost realne funkcije
dve promenljive. Podse´camo da iz diferencijabilnosti realne funkcije sledi
ezistencija izvoda ove funkcije u svim pravcima. Sa druge strane, na osnovu
postojanja izvoda realne funkcije u svakom pravcu, ne sledi diferencijabilnost
te funkcije.
Dokazujemo teoremu koja povezuje prethodna razmatranja.
Teorema 3.1.2. (Koˇsi–Rimanovi uslovi) Funkcija (x, y) = z 7→ f (z) =
u(x, y) + i · v(x, y) je diferencijabilna u taˇcki z0 = x0 + iy0 , ako i samo ako
vaˇze slede´ca dva uslova:
(1) Realne funkcije (x, y) 7→ u(x, y) i (x, y) 7→ v(x, y) su diferencijabilne
u taˇcki (x0 , y0 );
(2) U taˇcki (x0 , y0 ) su ispunjeni Koˇsi–Rimanovi uslovi:
∂u
∂v
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ),
∂x
∂y
∂u
∂v
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).
∂y
∂x
Ako je f diferencijabilna u taˇcki z0 = x0 + iy0 , onda vaˇzi formula
f ′ (z0 ) =
∂u
∂v
∂v
∂u
(x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ).
∂x
∂x
∂y
∂y
Dokaz. Pretpostavimo da je funkcija f diferencijabilna u taˇcki z0 . Tada je,
uz standardne oznake ∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 , ∆z = ∆x + i∆y = z − z0 ,
∆u = u(x, y) − u(x0 , y0 ), ∆v = v(x, y) − v(x0 , y0 ) i ∆f (z) = f (z) − f (z0 ),
ispunjeno
∆f (z) = f ′ (z)∆z + ϵ(ρ),
√
gde je ϵ(ρ) = o(ρ), pri ˇcemu je ρ = |∆z| = (∆x)2 + (∆y)2 . Funkcija ϵ(ρ) je
kompleksna funkcija realne promeljive ρ > 0 i stoga je ϵ(ρ) = ϵ1 (ρ) + iϵ2 (ρ).
Iz ϵ(ρ)
→ 0, sledi ϵ1ρ(ρ) → 0 i ϵ2ρ(ρ) → 0 kada ρ → 0. Prema tome, ϵ1 (ρ) = o(ρ)
ρ
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
46
i ϵ2 (ρ) = o(ρ). Takod¯e vaˇzi ∆f = ∆u + i∆v. Neka je f ′ (z0 ) = A + iB. Tada
je
∆u + i∆v = (A + iB)(∆x + i∆y) + ϵ1 + iϵ2 .
Izjednaˇcavanjem u poslednjoj jednakosti realnih i imaginarnih delova, sledi
da vaˇzi
∆u = A∆x − B∆y + ϵ1 ,
∆v = B∆x + A∆y + ϵ2 .
(3.3)
Ovim je pokazano da su u i v diferencijabilne funkcije u taˇcki (x0 , y0 ),
odnosno vaˇzi tvrd¯enje (1) ove teoreme.
Iz jednakosti (3.3), na osnovu veze izmed¯u diferencijala i parcijalnih
izvoda funkcije dve promenljive, sledi:
A=
∂u(x0 , y0 )
∂u(x0 , y0 )
∂v(x0 , y0 )
∂v(x0 , y0 )
, −B =
, B=
, A=
.
∂x
∂y
∂x
∂y
Ovim su pokazani uslovi Koˇsi–Rimana i traˇzena jednakost u tvrd¯enju (2) ove
teoreme.
Pretpostavimo sada da vaˇze uslovi (1) i (2) u teoremi. Pokaza´cemo da
je funkcija f diferencijabilna funkcija u taˇcki z0 = x0 + iy0 . Neka su u i v
diferencijabilne funkcije u taˇcki (x0 , y0 ), pri ˇcemu je f = u + iv, i neka je
A=
∂u(x0 , y0 )
∂v(x0 , y0 )
∂u(x0 , y0 )
∂v(x0 , y0 )
=
, B=−
=
.
∂x
∂y
∂y
∂x
Tada vaˇzi
∆u = A∆x − B∆y + ϵ1 ,
∆v = B∆x + A∆y + ϵ2 ,
gde je ϵ1 = o(ρ) i ϵ2 = o(ρ). Sledi:
∆u + i∆v = A∆x − B∆y + i(B∆x + A∆y) + ϵ1 + iϵ2 ,
odnosno
∆f = (A + iB)(∆x + i∆y) + ϵ1 + iϵ2 = (A + iB)∆z + ϵ(ρ),
gde je ϵ(ρ) = ϵ1 (ρ) + iϵ2 (ρ) = o(ρ). Odavde sledi diferencijabilnost funkcije
f u taˇcki z0 i f ′ (z0 ) = A + iB.
Primer 3.1.5. Funkcija f (z) = ez = ex cos y + iex sin y za z = x + iy je
diferencijabilna u svakoj taˇcki z kompleksne ravni, pri ˇcemu je (ez )′ = ez .
3.1. DIFERENCIJABILNE (HOLOMORFNE) FUNKCIJE
47
Dokaz. U ovom primeru je u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y. Funkcije u i
v su, oˇcigledno, diferencijabile u svakoj taˇcki (x, y) ∈ R2 . Takod¯e vaˇzi
∂u
∂v
= ex cos y =
,
∂x
∂y
∂u
∂v
= −ex sin y = − .
∂y
∂x
Prema Teoremi 3.1.2 sledi
∂u
∂v
(ez )′ =
+i
= ex cos y + iex sin y = ez .
∂x
∂x
Primer 3.1.6. Funkcije sin z, cos z, sh z, ch z su diferencijabilne u svakoj
taˇcki kompleksne ravni i njihovi izvodi se izraˇcunavaju po formulama:
(sin z)′ = cos z, (cos z)′ = − sin z, (sh z)′ = ch z, (ch z)′ = sh z.
Koriste´ci Koˇsi-Rimanove uslove, dokazujemo rezultat o diferencijabilnim
funkcijama.
Teorema 3.1.3. Neka je f kompleksna diferencijabilna funkcija u otvorenom
skupu V (V ⊂ C), sa svojstvom da je f ′ (z) = 0 za svako z ∈ V . Tada je f
konstantna funkcija na skupu V .
Dokaz. Na osnovu f ′ (z) = 0 sledi
∂u
∂u
∂v
∂v
(x, y) =
(x, y) =
(x, y) =
(x, y) = 0
∂x
∂y
∂x
∂y
za svako (x, y) ∈ V . Na osnovu odgovaraju´ceg svojstva realnih funkcija sledi
da su u i v konstante na skupu G, te je i f konstanta na skupu G.
3.1.3
Neprekidna diferencijabilnost
Funkcija f je neprekidno diferencijabilna u taˇcki z, ako je f definisana i
diferencijabilna u okolini taˇcke z, i pri tome je f ′ neprekidna funkcija u taˇcki
z.
Prema Teoremi 3.1.2, funkcija f = u + iv je neprekidno diferencijabilna u
taˇcki z = x + iy, ako i samo ako: vaˇze Koˇsi-Rimanovi uslovi za funkciju f u
nekoj okolini taˇcke z = x + iy, i funkcije u i v su neprekidno diferencijabilne
u nekoj okolini taˇcke (x, y).
Funkcija f je neprekidno diferencijabilna u otvorenom skupu V skupa C,
ako je f neprekidno diferencijabilna u svakoj taˇcki skupa V .
Jedan od najvaˇznijih rezultata kompleksne analize jeste:
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
48
Zapazanje 3.1.1. Ako je f diferencijabilna u otvorenom skupu V , onda je
ˇ
f neprekidno diferencijabilna u V . Staviˇ
se, funkcija f tada ima neprekidne
izvode proizvoljnog reda u skupu V .
Ovu teoremu ´cemo dokazati kasnije.
Prethodno tvrd¯enje ne vaˇzi za funkcije realne promenljive: realna funkcija
f , definisana na intervalu (a, b), moˇze imati izvod f ′ u svakoj taˇcki intervala
(a, b), i pri tome je mogu´ce da f ′ bude prekidna funkcija u svakoj taˇcki iz
(a, b).
3.1.4
Koˇ
si–Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama
Neka je kompleksan broj z = x + iy√dat u trigonometrijskoj formi: z =
r(cos φ + i sin φ), gde je r = |z| = x2 + y 2 , φ = Arg z = arctg xy , x =
r cos φ, y = r sin φ. Tada je f (z) = u(r, φ) + i · v(r, φ). Pretpostavimo da
je f diferencijabilna funkcija. Koriste´ci Koˇsi-Rimanove uslove za izvode po
promenljivim x i y, sledi da vaˇzi:
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
=
+
= −r sin φ
+ r cos φ
∂φ
∂x ∂φ ∂y ∂φ
∂x
∂y
(
)
(
)
∂v
∂v ∂y ∂v ∂x
∂v
= −r sin φ
+ cos φ
= −r
+
∂y
∂x
∂y ∂r ∂x ∂r
∂v
= −r .
∂r
Takod¯e je
∂v
∂v ∂x ∂v ∂y
∂v
∂v
=
+
= −r sin φ
+ r cos φ
∂φ
∂x ∂φ ∂y ∂φ
∂x
∂y
(
)
(
)
∂u ∂y ∂u ∂x
∂u
∂u
= r sin φ
+ cos φ
=r
+
∂y
∂x
∂y ∂r ∂x ∂r
∂u
=r .
∂r
Sledi da Koˇsi–Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama imaju oblik:
∂u
1 ∂v
=
,
∂r
r ∂φ
∂v
1 ∂u
=−
.
∂r
r ∂φ
(3.4)
3.1. DIFERENCIJABILNE (HOLOMORFNE) FUNKCIJE
49
Vaˇze slede´ce formule:
(
)
∂u
∂v
∂u ∂r
∂u ∂φ
∂v ∂r
∂v ∂φ
f (z) =
+i
=
+
+i
+
∂x
∂x
∂r ∂x ∂φ ∂x
∂r ∂x ∂φ ∂x
)
(
y ∂u x ∂u
y ∂v
x ∂v
=− 2
+
+i − 2
+
r ∂φ r ∂r
r ∂φ r ∂r
x − iy ∂v
x − iy ∂u
=
−i 2
2
r
∂φ
r
∂φ
(
)
1 ∂v
∂u
=
−i
z ∂φ
∂φ
′
i
′
f (z) =
=
=
=
(
)
∂v
∂u
∂v ∂φ ∂v ∂r
∂u ∂φ ∂u ∂r
−i
=
+
−i
+
∂y
∂y
∂φ ∂y
∂r ∂y
∂φ ∂y
∂r ∂y
(
)
x ∂u y ∂u
x ∂v
y ∂v
+
−
i
+
r2 ∂φ r ∂r
r2 ∂φ r ∂r
x − iy ∂u
x − iy ∂v
+i
(r ∂r
) r ∂r
r ∂u
∂v
+i
.
z ∂r
∂r
Prema tome, prvi izvod u polarnim koordinatama izraˇcunava se na slede´ci
naˇcin:
(
)
(
)
r ∂u
∂v
1 ∂v
∂u
′
f (z) =
+i
=
−i
.
z ∂r
∂r
z ∂φ
∂φ
Obrnuto, ako vaˇze uslovi (3.4), onda se moˇze dokazati da su ispunjeni
Koˇsi-Rimanovi uslovi u Dekartovim koordinatama, u smislu Teoreme 3.1.2
(2).
Desnu realnu poluosu u C oznaˇcavamo kao R+
0 = {z = x + iy ∈ C : y ̸=
0 ∨ x ≥ 0}.
√
Primer 3.1.7.√Neka je f (z) = z, pri ˇcemu uzimamo jednu neprekidnu
granu funkcije z. √
Preciznije,
ako je z = reiφ , r = |z| > 0, 0 < φ = Arg z <
√ iφ/2
2π, onda je f (z) = z = re .
U ovom sluˇcaju je u(r, φ) = r cos φ, v(r, φ) = r sin φ, r > 0, 0 < φ < 2π.
Neka je (φn )n niz pozitivnih brojeva sa svojstvima φ1 > φ2 > · · · i
lim φn = 0. Neka je (ψn )n niz pozitivnih brojeva sa svojstvom ψ1 < ψ2 <
n→∞
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
50
· · · i lim ψn = 2π. Neka je r > 0, zn = reiϕn , wn = reiψn . Tada je
n→∞
lim zn = lim wn = r.
n→∞
n→∞
Sa druge strane, vaˇzi
√
√
f (zn ) = reiφn /2 i f (wn ) = reiψn /2 ,
√
√
odakle sledi lim f (zn ) = r i lim f (wn ) = − r.
n→∞
n→∞
+
Dakle, funkcija f nije neprekidna na polupravoj
√ R0 .
Jednostavno je proveriti da funkcija f (z) = z ispunjava Koˇsi-Rimanove
uslove u polarnim koordinatama, te je funkcija f diferencijabilna na C \ R+
0.
Potpuno analogan rezultat se dobija ako se posmatra
druga neprekidna
√
i(φ/2+π)
grana kvadratnog korena, odnosno funkcija g(z) = |z|e
.
Na kraju, napominjemo da nije nuˇzno posmatrati neprekidnost funkcije
f na pozitivnom delu realne ose. Neka p poluprava
u C sa poˇcetkom u taˇcki
√
0. Tada neprekidna grana funkcije z 7→ z jeste diferencijabilna u skupu
C \ p.
Primer 3.1.8. Funkcija lnk z = ln r + iφ + 2kπi, gde je z = reiφ , r = |z| > 0,
0 < φ < 2π, k ∈ Z, jeste diferencijabilna u skupu C \ R+
sto ova
0 , stoga ˇ
funkcija ispunjava Koˇsi–Rimanove uslove u polarnim koordinatama. Osim
toga, vaˇzi
1
(lnk z)′ = .
z
Kao i u prethodnom primeru, neka je φ1 > φ2 > · · · i lim φn = 0, 0 <
n→∞
ψ1 < ψ2 < · · · i lim ψn = 2π. Neka je r > 0, zn = re−φn , wn = reiψn . Tada je
lim zn = lim wn = r, lim lnk zn = ln r+2kπi, lim lnk wn = ln r+(2k+1)πi.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Dakle, neprekidna grana funkcije z 7→ lnk nije diferencijabilna u celom C, ve´c
je diferencijabilna u skupu C \ R+
0.
Kao u prethodnom primeru, ako je p poluprava u C sa poˇcetkom u 0,
tada je funkcija z 7→ lnk z diferencijabilna u C \ p.
3.1.5
Analitiˇ
cke (regularne) funkcije
Neka je funkcija f definisana u okolini taˇcke z = a (a ̸= ∞) i neka se funkcija
f moˇze predstaviti stepenim redom
f (z) =
∞
∑
n=0
cn (z − a)n ,
(3.5)
3.1. DIFERENCIJABILNE (HOLOMORFNE) FUNKCIJE
51
koji konvergira u nekoj okolini taˇcke z = a. Drugim reˇcima, ovaj stepeni red
konvergira u disku D = D(a; R), R = lim sup1|cn |1/n > 0. Tada je funkcija f
analitiˇcka (regularna) u taˇcki a.
Funkcija f je analitiˇcka u otvorenom skupu V , ako je f analitiˇcka u svakoj
taˇcki skupa V .
Teorema 3.1.4. Ako je funkcija f analitiˇcka u taˇcki a ∈ C, tada je f
neprekidna u taˇcki a.
Dokaz. Neka je f analitiˇcka u taˇcki a, odnosno reprezentovana je stepenim redom (3.5). Oˇcigledno je f (a) = c0 . Stepeni red (3.5) konvergira ravnomerno
po z ∈ D[a; r] za svako r koje ispunjava 0 < r < R. Dakle, graniˇcna vrednost
i beskonaˇcna suma mogu zameniti mesta, odnosno:
lim f (z) = lim
z→a
z→a
∞
∑
cn (z − a)n =
n=0
∞
∑
n=0
lim cn (z − a)n = c0 = f (c0 ).
z→a
Time je dokazana neprekidnost funkcije f u taˇcki a.
Dokazujemo tvrd¯enje koje daje mnogo viˇse podataka o analitiˇckim funkcijama.
Teorema 3.1.5. Ako je funkcija f analitiˇcka u taˇcki a ∈ C, tada je f ′ takod¯e
analitiˇcka u taˇcki a.
Dokaz. Bez gubljenja opˇstosti, neka je a = 0. Funkcija f je analitiˇcka u 0,
odakle sledi
∞
∑
f (z) =
cn z n , z ∈ D(0; R), R = (lim sup |cn |1/n )−1 .
n=0
Kako je lim sup |(n + 1)cn+1 |1/n =
1
,
R
g(z) =
sledi da stepeni red
∞
∑
ncn z n−1
n=1
konvergira za z ∈ D(0; R). Neka je z, w ∈ D(a; R), z ̸= w. Postoji r tako da
je |z|, |w| < r < R. Tada je
( n
)
∞
∑
z − wn
f (z) − f (w)
n−1
− g(w) =
cn
− nw
z−w
z−w
n=1
(
)
∞
n−1
∑
∑
k−1 n−k−1
=
cn (z − w)
kw z
.
n=2
k=1
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
52
Na osnovu |z|, |w| < r < R sledi
n−1
1
∑
kwk−1 z n−k−1 ≤ rn−2 n(n − 1),
2
k=1
te je
∞
∑
f (z) − f (w)
1
≤ |z − w|
−
g(w)
n2 |cn |rn−2 .
z−w
2
n=2
(3.6)
Posmatrajmo pomo´cni stepeni red
∞
∑
n2 |cn |z n .
n=0
Radijus konvergencije poslednjeg stepenog reda odred¯en je kao
(
)−1
lim sup |n2 cn |1/n )
= R.
Na osnovu r < R sledi da brojni red (3.6) konvergira. Stoga je
f (z) − f (w)
= g(w).
z→w
z−w
lim
Dakle, f ′ (w) = g(w) za svako w ∈ D(a; R). Prema tome, f ′ je reprezentovana
stepenim redom u disku D(a; R), te je funkcija f ′ analitiˇcka.
Posledica 3.1.1. Neka je funkcija f analitiˇcka u taˇcki a ∈ C, predstavljena
redom
∞
∑
f (z) =
cn (z − a)n , z ∈ D(a; R).
n=1
Tada za svako k ∈ N funkcija f (k) je analitiˇcka u taˇcki a, i vaˇzi ck =
f (k) (a)
.
k!
Dokaz. Na osnovu Teoreme 3.1.5 sledi c0 = f (a), c1 = f ′ (a). Stepeni red
h(z) =
∞
∑
n(n − 1)cn (z − a)n−2
n=2
ima isti radijus konvergencije R, odakle sledi h(z) = f ′′ (z) i c2 = 12 f ′′ (a).
Nastavak dokaza ide analogno.
3.2. INTEGRACIJA PO PUTANJI
Primer 3.1.9. Funkcija
1
1−z
=
konvergencije reda za |z| < 1.
∞
∑
53
z n je analitiˇcka u taˇcki z = 0, ˇsto sledi iz
n=0
Sada razmotrimo funkcije analitiˇcke u taˇcki ∞. Svaka okolina taˇcke ∞
sadrˇzi skup oblika {z : |z| > R}, gde je R > 0.
Definicija 3.1.1. Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini taˇcke ∞, i
neka se f moˇze predstaviti redom
∞
∑
cn
f (z) =
,
zn
n=0
koji konvergira u okolini taˇcke ∞, odnosno konvergira u nekom skupu {z :
|z| > R}. Tada je funkcija f analitiˇcka u taˇcki ∞.
Iz prethodno navedenog sledi da je funkcija
f analitiˇcka u taˇcki z = ∞,
( )
1
ako i samo ako je funkcija ξ 7→ g(ξ) = f ξ analitiˇcka u taˇcki ξ = 0.
z
je analitiˇcka u taˇcki z = ∞, ˇsto
z−1
( )
1
f 1ξ = 1−ξ
analitiˇcka u taˇcki ξ = 0.
Primer 3.1.10. Funkcija f (z) =
iz ˇcinjenice da je funkcija g(ξ) =
3.2
3.2.1
sledi
Integracija po putanji
Definicija i osobine integrala
Neka je γ : [a, b] → C putanja u C, odnosno γ je deo po deo neprekidno diferencijabilno preslikavanje na segmentu [a, b]. Neka je f kompleksna funkcija
definisana na kompaktu γ ∗ = {γ(t) : t ∈ [a, b]}, tako da je funkcija (f ◦ γ) · γ ′
integrabilna u Rimanovom smislu na [a, b]. Tada je integral funkcije f po
putanji γ definisan na slede´ci naˇcin:
∫
∫
f≡
γ
∫b
f (z)dz =
γ
f (γ(t))γ ′ (t)dt.
(3.7)
a
Prema pretpostavkama, funkcija γ nema izvod u konaˇcno mnogo taˇcaka segmenta [a, b]. Stoga ove taˇcke zanemarimo u (3.7). Izostavljanje konaˇcno
mnogo taˇcaka u domenu integracije ne remeti vrednost integrala.
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
54
Ukoliko se zahteva (samo) integrabilnost funkcije (f ◦ γ)γ ′ u Lebegovom
smislu na [a, b], onda se poslednji integral posmatra kao Lebegov. Na ovaj
naˇcin moˇze se integraliti ˇsira klasa funkcija definisanih na γ ∗ .
Ako je funkcija f definisana na γ ∗ i ako je (f ◦ γ) · γ ′ integrabilna na
domenu [a, b] putanje γ, tada je f integrabilna na γ.
Integracija po rektificijabilnoj krivoj
Integral (3.7) je ˇcesto definisan opˇstije, u odnosu na rektificijabilnu krivu γ = γ1 + iγ2 .
Tada je
∫
∫ b
f (z)dz =
f dγ,
a
γ
i poslednji integral je Riman-Stiltjesov, ili Lebeg-Stiltjesov. Uslov rektificijabilnosti preslikavanja γ ekvivalentan je uslovu da je γ ograniˇcene varijacije na [a, b]. Odatle sledi da
ˇ
su realne funkcije γ1 i γ2 ograniˇcene varijacije na [a, b]. Prema Zordanovoj
teoremi, svaka
funkcija γj je razlika dve neopadaju´ce funkcije na [a, b], recimo γj = γj1 − γj2 . Neopadaju´ce
funkcije na segmentu imaju izvod u skoro svakoj taˇcki segmenta, i njihovi izvodi su integrabilni u smislu Lebega na [a, b] (Lebegova teorema). Stoga funkcije γjk na jednostavan naˇcin
definiˇsu pozivitne Lebeg-Stiltjesove mere dγjk = (γjk )′ dm, pri ˇcemu je sa m oznaˇcena Lebegova mera. Tada je dγ = dγ11 − dγ12 + i(dγ21 − dγ22 ) = γ ′ dm kompleksna Lebeg-Stiltjesova
mera na [a, b]. Stoga je
∫
∫b
∫b
f dz = f dγ = f γ ′ dm.
γ
a
a
Dakle, integral funkcije f u odnosu na rektificijabilnu krivu γ svodi se na (3.7), ako
se integracija u (3.7) posmatra u Lebegovom smislu. Detalji prethodnog razmatranja
pripadaju Lebegovoj teoriji integrala.
(1) Integracija po ekvivalentnim putanjama
Neka su γ1 : [a, b] → C i γ2 : [α, β] → C dve putanje u C. Pretpostavimo
da postoji obostrano neprekidno diferencijabilno i strogo rastu´ce preslikavanje (strogo rastu´ci difeomorfizam) φ : [a, b] → [α, β] tako da je φ(a) = α
i φ(b) = β. Napomenimo da inverzno preslikavanje φ−1 : [α, β] → [a, b] ima
istva svojstva kao i φ. Ako je γ1 = γ2 ◦φ, onda su γ1 i γ2 ekvivalentne putanje,
u oznaci γ1 ∼ γ2 . Nije teˇsko proverti da je ∼ zaista relacija ekvivalencije u
skupu svih putanja u kompleksnoj ravni.
Ako je γ jedna putanja u C, onda je [γ]∼ jedna klasa ekvivalencije relacije
∼. Ako je γ1 , γ2 ∈ [γ]∼ , tada se ˇcesto kaˇze da su γ1 i γ2 ekvivalentne parametrizacije putanje γ. Primetimo da iz γ1 ∼ γ2 sledi γ1∗ = γ2∗ .
Cilj ovog izlaganja je da pokaˇzemo da izbor predstavnika klase ekvivalencije relacije ∼, odnosno izbor ekvivalentne parametrizacije putanje, ne utiˇce
3.2. INTEGRACIJA PO PUTANJI
55
na vrednost integrala. Drugim reˇcima, vaˇzi implikacija:
∫
∫
γ1 ∼ γ2 =⇒
f= f
γ1
γ2
za svaku funkciju f koja je integrabilna na γ1 .
Neka su, dakle, γ1 : [a, b] → C i γ2 : [α, β] → C dve ekvivalente putanje, i
neka je φ : [a, b] → [α, β] strogo rastu´ci difeomorfizam, tako da je γ1 = γ2 ◦ φ.
Neka je f integrabilna na γ1 . Prema uvedenoj definiciji integrala po putanji,
kao i na osnovu Teoreme o smeni primenljive u integralu, vaˇzi:
∫
∫b
f =
γ1
f (γ1 (t))γ1′ (t)dt
a
∫β
=
∫b
=
a
′
∫
f (γ2 (s))γ (s)ds =
α
f (γ2 (φ(t))γ2′ (φ(t))φ′ (t)dt
f.
γ2
Iz dokaza sledi da je f integrabilna na γ2 .
Na osnovu prethodne jednakosti integrala, ako je γ1 ∼ γ2 , ˇcesto se koristi
i oznaka γ1 ≡ γ2 .
(2) Suprotna orijentacija putanje menja znak intrgala
Ranije smo napomenuli da je putanja γ je orijentisana u smeru rasta
parametra t ∈ [a, b]. Drugim reˇcima, γ(a) je poˇcetak, a γ(b) je kraj putanje
γ. U sluˇcaju razmatranja ekvivalentnih putanja, pojavljuje se strogo rastu´ci
difeomorfizam izmed¯u dva segmenta realne prave (dva domena ekvivalentnih
putanja).
Sada istraˇzujemo sluˇcaj kada se radi o strogo opadaju´cem difeomorfizmu,
odnosno o parametrizaciji putanje koja menja orijentaciju polazne putanje.
Neka su γ1 : [a, b] → C i γ2 : [α, β] → C putanje u C. Pretpostavimo da
postoji strogo opadaju´ci difeomorfizam ψ : [a, b] → [α, β]. Drugim reˇcima,
ψ je obostrano neprekidno diferencijabilno i strogo opadaju´ce preslikavanje,
tako da je ψ(a) = β i ψ(b) = α. Ako je γ1 = γ2 ◦ψ, tada putanje γ1 i γ2 imaju
suprotne orijentacije, u oznaci γ1 ◃▹ γ2 . Tada je γ1 (a) = γ2 (β), γ1 (b) = γ2 (α)
i γ1∗ = γ2∗ .
Suˇstina naˇseg izlaganja jeste da pokaˇzemo da integral funkcije po putanji
menja znak, ako putanja menja orijentaciju. Neka su date dve putanje γ1 :
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
56
[a, b] → C i γ2 : [α, β] → C putanje u C, tako da je γ1 ◃▹ γ2 , i neka je
ψ : [a, b] → [α, β] odgovaraju´ci strogo opadaju´ci difeomorfizam sa svojstvom
γ1 = γ2 ◦ ψ. Neka je f integrabilna funkcija na γ1 . Tada je
∫
∫b
f =
γ1
f (γ1 (t))γ1′ (t)dt
∫b
=
f (γ2 (ψ(t))γ2′ (ψ(t))ψ ′ (t)dt
a
a
∫α
∫β
′
f (γ2 (s))γ (s)ds = −
=
∫
′
f (γ2 (s))γ (s)ds = −
α
β
f.
γ2
Primetimo da iz dokaza sledi da je f integrabilna na γ2 . Ako je γ1 ◃▹ γ2 ,
na osnovu prethodne formule za integrale ˇcesto se koristi odgovaju´ca oznaka
za suprotno orijentisane putanje: γ2 ≡ −γ1 .
(3) Aditivnost integrala u odnosu na povezan domen
Neka su γ1 i γ2 putanje, tako da se, u smislu njihovih orijentacija, kraj
putanje γ1 poklapa sa poˇcetkom putanje γ2 . Uzimaju´ci ekvivalentne parametrizacije putanja γ1 i γ2 , bez gubljenja opˇstosti se moˇze posmatriti γ1 :
[a, b] → C i γ2 : [b, c] → C, pri ˇcemu je γ1 (b) = γ2 (b). Tada se posmatra
putanja γ : [a, c] → C, definisana na slede´ci naˇcin:
{
γ1 (t), t ∈ [a, b],
γ(t) =
γ2 (t), t ∈ [b, c].
U ovom sluˇcaju je γ ∗ = γ1∗ ∪ γ2∗ . Neka je f integrabilna funkcija na γ. Tada
vaˇzi:
∫
∫c
=
γ
′
∫b
f (γ(t))γ (t)dt =
a
∫
=
γ1
∫c
+
a
∫
f+
f (γ1 (t))γ1′ (t)dt
f (γ2 (t))γ2′ (t)dt
b
f.
γ2
Stoga je simboliˇcka oznaka γ = γ1 + γ2 i
∫
γ1 +γ2
=
∫
γ1
∫
+ . Putanja γ1 + γ je
γ2
povezan lanac.
(4) Aditivnost integrala u odnosu na proizvoljan domen
3.2. INTEGRACIJA PO PUTANJI
57
Neka su γ1 i γ2 dve putanje u C. Pretpostavimo da je komleksna funkcija
f definisana na γ1∗ ∪ γ2∗ , tako da je f integrabilna na γ1 , i da je f integrabilna
na γ2 . Iako putanje γ1 i γ2 nisu nuˇzno povezane kao u prethodnom sluˇcaju,
smatramo da je γ1 + γ2 zbir ove dve putanje, ili u opˇstem sluˇcaju lanac. Ako
lanac putanja nije povezan, onda je nepovezan.
Smatramo da vaˇzi
∫
∫
∫
f=
γ1 +γ2
f+
γ1
f
γ2
za svaku funkciju f definisanu na γ1∗ ∪ γ2∗ , tako da je f integrabilna i na γ1 i
na γ2 .
Prethodna situacija se prirodno generalizuje na lanac γ1 +· · ·+γn putanja
γ1 , . . . , γn .
Ako su γ1 , . . . , γn zatvorene putanje, onda je γ1 + · · · + γn cikl u C.
(5) Linearnost integrala u odnosu na funkciju
Neka je γ : [a, b] → C putanja, i neka su f, g kompleksne i integrabilne
funkcije na γ. Ako je α, β ∈ C, tada je i funkcija αf + βg integrabilna na γ,
i vaˇzi:
∫b
∫
(αf + βg) =
(αf (γ(t)) + βg(γ(t)))γ ′ (t)dt
a
γ
∫b
=α
′
∫b
f (γ(t))γ (t)dt + β
a
′
∫
g(γ(t))γ (t)dt = α
1
∫
f +β
γ
g.
γ
(6) Procena gornje granice integrala
Neka je γ = x + iy : [a, b] → C putanja u C, i neka je f integrabilna na γ,
i ograniˇcena funkcija na γ ∗ . Na osnovu integrabilnosti funkcije (f ◦ γ) · γ ′ na
[a, b], sledi da je i funkcija |f ◦ γ| · |γ ′ | na [a, b] integrabilna na [a, b] (videti
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
58
deo o integralima kompleksnih funkcija na realnom segmentu). Stoga je
b
∫ ∫
∫b
′
f = f (γ(t))γ (t)dt ≤ |f (γ(t))||γ ′ (t)|dt
γ
a
∫b
=
a
∫
√
′
2
′
2
|f (γ(t))| (x (t) + (y (t)) dt = |f |ds,
γ
a
i
∫
|f |ds je krivolinijski integral prvog reda realne funkcije |f | po putanji γ.
γ
Kako je f ograniˇcena na γ ∗ , sledi da je f ◦γ ograniˇcena na [a, b], te postoji
∥f ∥∞ = max{|f (z)| : z ∈ γ ∗ }. Stoga je
b
∫
∫b
′
f (γ(t))γ (t)dt ≤ ∥f ∥∞ |γ ′ (t)|dt = ∥f ∥∞ ℓ(γ),
a
i ℓ(γ) =
∫b
a
|γ ′ (t)|dt =
a
∫
ds je duˇzina putanje γ.
γ
Ako je, na primer, f neprekidna na γ ∗ , onda je f i ograniˇcena na ovom
skupu, jer je γ ∗ kompakt. Dakle, procena u delu (6) vaˇzi i kada je f
neprekidna na γ ∗ .
Na kraju dokazujemo rezultat o integraciji ravnomerno konvergentnog
reda funkcija.
Teorema 3.2.1. Neka je γ putanja u C i neka je
vergentan red neprekidnih funkcija na γ ∗ . Tada vaˇzi
∫
f (z)dz =
γ
Dokaz. Red
je red
∞
∑
n=1
∞
∑
∞ ∫
∑
∞
∑
fn ravnomerno kon-
n=1
fn (z)dz.
n=1 γ
fn (z) je ravnomerno konvergentan po z ∈ γ ∗ . Sledi da
n=1
fn (γ(t)) ravnomerno konvergentan po t ∈ [a, b]. Funkcija t 7→
γ ′ (t) je ograniˇcena i deo po deo neprekidna na [a, b]. Stoga sledi da je
3.2. INTEGRACIJA PO PUTANJI
red
∞
∑
59
fn (γ(t))γ ′ (t) ravnomerno konvergentan po t ∈ [a, b] sa izuzetkom,
n=1
eventualno, konaˇcno mnogo taˇcaka ovog segmenta. Na osnovu teoreme o
integraljenju ravnomerno konvergentih redova funkcija, sledi
∫ b (∑
∞
∫
f (z)dz =
γ
a
fn (γ(t)) γ ′ (t)dt =
n=1
∞ ∫
∑
=
)
∫b (∑
∞
′
fn (γ(t))γ (t)dt =
n=1 a
∞ ∫
∑
fn (γ(t))γ ′ (t) dt
n=1
a
b
)
fn (z)dz.
n=1 γ
Time je teorema dokazana.
Navodimo dva vaˇzna primera o integraciji nekih specifiˇcnih funkcija.
3.2.1. Neka je γ : [a, b] → C putanja i neka je n ∈ N. Tada je
∫Primer
1
z n dz = n+1
((γ(b))n+1 − (γ(a))n+1 ).
γ
∫
Ako je γ kontura i ako je P polinom, tada je P (z)dz = 0.
γ
Reˇsenje.
Posmatrajmo funkciju f : [a, b] → C definisanu kao f (t) =
1
n+1
(γ(t))
za t ∈ [a, b]. Tada je f ′ (t) = (γ(t))n γ ′ (t). Na osnovu Njutnn+1
Lajbnicove formule za kompleksne funkcije realne promenljive, sledi da vaˇzi
∫
∫b
n
z dz =
γ
n ′
∫b
(γ(t)) γ (t)dt =
1
f ′ (t)dt = f (γ(b)) − f (γ(a))
a
)
1 (
=
(γ(b))n+1 − (γ(a))n+1 .
n+1
Ako je P polinom, onda je P linearna kombinacija funkcija z 7→ z n . Ako
je γ kontura, onda je γ(a) = γ(b). Konaˇcan rezultat sledi na osnovu prvog
dela primera.
∫
Primer 3.2.2. Izraˇcunati integral In = (z − a)n dz, gde je n ceo broj, a γr
γr
je kruˇznica |z − a| = r, r > 0, ”orijentisana suprotno kretanju kazaljke na
ˇcasovniku“.
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
60
Reˇsenje.
Kruˇznica polupreˇcnika r oko taˇcke a ima viˇse parametarskih
jednaˇcina. Na primer, moˇze biti γr (t) = a + reit za t ∈ [0, 2π] (svaka taˇcka
kruˇznice je dostignuta taˇcno jednom, osim prve i poslednje taˇcke; u ovom
sluˇcaju je γr kontura), ili γr,1 (t) = a + reit za t ∈ [2kπ, 2mπ], pri ˇcemu su k
i m razliˇciti celi brojevi i k < m (ako se k i m razlikuju najmanje za 2, onda
je svaka taˇcka kruˇznice dostignuta viˇse puta, i tada γr,1 nije kontura).
Ako drugaˇcije ne naglasimo, smatra se da je traˇzena kruˇznica uvek data
jednaˇcinom γr (t) = a + reit , t ∈ [0, 2π].
Kako je γr ′ (t) = ireit , sledi da vaˇzi
∫2π
In = irn+1
ei(n+1)t dt.
0
Ako je n = −1, sledi I−1 = 2πi. Ako je n ̸= −1, onda na osnovu NjutnLajbnicove formule za kompleksne funkcije realne promenljive, vaˇzi
t=2π
rn+1 it(n+1) e
= 0.
In =
n+1
t=0
Sledi zakljuˇcak
∫
γr
3.2.2
{
0,
n ̸= −1,
(z − a)n dz =
2πi, n = −1.
Indeks zatvorene putanje u odnosu na taˇ
cku
Prethodni Primer 3.2.2 pruˇza ideju za uvod¯enje pojma indeksa zatvorene
putanje u odnosu na taˇcku. U ˇcestoj upotrebi je i obrnuta terminologija:
indeks taˇcke u odnosu na zatvorenu putanju.
Teorema 3.2.2. Neka je γ zatvorena putanja u C i neka je z ∈ C \ γ ∗ . Tada
je indeks zatvorene putanje γ u odnosu na taˇcku z slede´ca veliˇcina:
∫
1
dζ
Indγ (z) =
.
2πi
ζ −z
γ
Funkcija z 7→ Indγ (z) slika C \ γ ∗ u Z, i pri tome je Indγ konstantna na
povezanim komponentama skupa C \ γ ∗ .
3.2. INTEGRACIJA PO PUTANJI
61
Dokaz. Funkcija γ : [a, b] → C je neprekidna i deo po deo neprekidno diferencijabilna na [a, b]. Neka su x1 , . . . , xn ∈ [a, b] sve taˇcke u kojima ne postoji
izvod γ ′ , ili u kojima je ovaj izvod prekidan. Dodefiniˇsemo γ ′ (xk ) = α za
svako k = 1, . . . , n, pri ˇcemu je α ∈ C proizvoljan fiksiran broj. Neka je
z ∈ C \ γ ∗ , x ∈ [a, b], i posmatrajmo funkciju
∫x
F (x) =
a
γ ′ (t)
dt.
γ(t) − z
′
γ (t)
Primetimo da je funkcija t 7→ φ(t) = γ(t)−z
Riman-integrabilna na [a, b].
Osim toga, funkcija φ je neprekidna na svakom od intervala [a, x1 ), (x1 , x2 ),
. . . , (xn , b]. Soga je funkcija F neprekidna na [a, b] i diferencijabilna na
svakom intervalu [a, x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (xn , b]. Za x ∈ [a, b] \ {x1 , . . . , xn } vaˇzi
F ′ (x) =
γ ′ (x)
.
γ(x) − z
Neka je G(x) = e−F (x) (γ(x) − z). Funkcija G je neprekidna na [a, b]. Tada je
G′ (x) = e−F (x) (γ ′ (x) − F ′ (x)(γ(x) − z)) = 0
za svako x ∈ [a, b]\{x1 , . . . , xn }. Sledi da je funkcija G konstantna na svakom
intervalu [a, x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (xn , b]. Kako je G neprekidna funkcija na [a, b],
sledi da je G konstantna na [a, b].
Stoga postoji C ∈ C tako da za svako x ∈ [a, b] vaˇzi
γ(x) − z = CeF (x) .
Na osnovu γ(a) = γ(b) sledi
CeF (a) = γ(a) − z = γ(b) − z = CeF (b) .
Iz z ∈
/ γ ∗ sledi da je γ(a) − z ̸= 0, te je i C ̸= 0. Stoga je eF (a) = eF (b) . Na
osnovu osobina kompleksne eksponencijalne funkcije, postoji k ∈ Z tako da
je F (b) = F (a) + 2kπi. Kako je F (a) = 0, sledi da je
1
2πi
∫
γ
1
dζ
=
ζ −z
2πi
∫b
a
1
γ ′ (t)
dt =
F (b) = k.
γ(t) − z
2πi
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
62
Dokaˇzimo da je z 7→ Indγ (z) neprekidna funkcija. Funkcija w 7→ d(w, γ ∗ )
je neprekidna. Vaˇzi d(z, γ ∗ ) = r > 0. Stoga postoji δ > 0 tako da za svako
w ∈ D(z; δ) vaˇzi d(w, γ ∗ ) ≥ 2r . Kako za svako ζ ∈ γ ∗ vaˇzi
1
1
w−z
−
=
,
ζ −w ζ −z
(ζ − w)(ζ − z)
proizilazi da je
1
2|w − z|
1
.
ζ − w − ζ − z ≤
r2
Stoga je
∫ (
) 2|w − z|ℓ(γ)
1
1
−
dζ ≤
,
ζ −w ζ −z
r2
γ
i ℓ(γ) je duˇzina putanje γ. Sledi neprekidnost funkcije Indγ u taˇcki z.
Dakle, funkcija Indγ je neprekidna i moˇze imati samo celobrojne vrednosti. Sledi da je Indγ konstantna na svakoj povezanoj komponenti skupa
C \ γ ∗.
∗
Na
kraju, ako z pripada neograniˇcenoj komponenti skupa C \ γ , onda se
1 ζ−z moˇze uˇciniti proizvoljno malim za svako ζ ∈ γ ∗ . Sledi da je Indγ (z) = 0
za svako z koje pripada neograniˇcenoj kompomenti skupa C \ γ ∗ .
Indeks zatvorene putanje γ u odnosu na taˇcku z treba shvatiti kao broj
obilazaka putanje γ oko taˇcke z. Precizan dokaz se moˇze izvesti na osnovu
posledice Koˇsi-Gursaove teoreme u slede´coj sekciji, kao i na osnovu Teoreme
o priraˇstaju argumenta u sekciji 4.2.2.
3.3
3.3.1
Teoreme Koˇ
sija
Lokalna verzija Koˇ
sijeve teoreme
Integralna Koˇsijeva teorema i Koˇsijeva formula predstavljaju fundamentalne
rezultate u kompleksnoj analizi. Da bi dokazali lokalnu verziju teoreme,
iskoristi´cemo Grinovu1 teoremu u ravni.
Neka je γ putanja u R2 , γ = γ1 + iγ2 (γ1 i γ2 su realne, deo po deo
neprekidno diferencijabilne funkcije), i neka su funkcije (x, y) 7→ P (x, y) i
1
George Green (1793-1841), britanski matematiˇcar
ˇ
3.3. TEOREME KOSIJA
63
(x, y) 7→ Q(x, y) neprekidne po (x, y) ∈ γ ∗ . Tada je integral drugog reda
vektorskog polja F = (P, Q) po putanji γ definisan kao
∫
∫
F=
γ
∫b
P dx + Qdy =
γ
)
(
P x(t, y(t))γ1′ (t) + Q(x(t), y(t))γ2′ (t) dt.
a
Grinova teorema (poznata iz kurseva realne analize) glasi:
Teorema 3.3.1. Neka je γ kontura u R2 , koja ograniˇcava oblast G0γ . Neka
su funkcije P, Q neprekidno diferencijabilne u nekoj okolini skupa G0γ . Tada
je
∫
∫∫
P dx + Qdy =
G0γ
γ
(
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
)
dxdy,
pri ˇcemu je γ orijentisana pozitivno u odnosu na G0γ .
Sada dokazujemo jednu verziju Koˇsijeve teoreme.
Teorema 3.3.2. Neka je f neprekidno diferencijabilna funkcija u otvorenom
skupu V ⊂ C, i neka je γ kontura u V , sa svojstvom G0γ ⊂ V . Tada je
∫
f (z)dz = 0.
γ
Dokaz. Neka je domen putanje γ segment [a, b], γ = γ1 + iγ2 , z = x + iy
i f (z) = u(x, y) + i · v(x, y). Na osnovu Grinove teoreme i Koˇsi-Rimanovih
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
64
uslova, sledi da vaˇzi
∫
∫b
f (z)dz =
γ
f (γ(t))γ ′ (t)dt
a
∫b (
=
)(
)
u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t) γ1′ (t) + iγ2′ (t) dt
a
∫b (
=
)
u(x(t), y(t))γ1′ (t) − v(x(t), y(t))γ2′ (t) dt
(
)
+i v(x(t), y(t))γ1′ (t) + u(x(t), y(t))γ2′ (t) dt
∫
∫
= udx − vdy + i vdx + udy
a
γ
∫∫
=
Gγ
(
γ
∂(−v) ∂u
−
∂x
∂y
)
∫∫
dxdy + i
Gγ
(
∂u ∂v
−
∂x ∂y
)
dxdy = 0.
Time je teorema dokazana.
Funkcija f mora biti neprekidno diferencijabilna unutar konture γ, inaˇce
prethodna teorema ne vaˇzi.
Primer
∫ 3.3.1. Funkcija f (z) =
ali je z1 dz = 2πi ̸= 0.
1
z
je diferencijabilna u prstenu 0 < |z| < 2,
c1
Osnovni cilj je dokazati prethodnu teoremu bez pretpostavke o neprekidnosti funkcije f .
Joˇs jedna varijanta Koˇsijeve teoreme sledi.
Teorema 3.3.3. Neka je V otvoren skup u C, neka je F ∈ H(V ) i neka je
′
F
funkcija u V . Tada za svaku zatvorenu putanju γ u V vaˇzi
∫ neprekidna
′
F (z)dz = 0.
γ
Dokaz. Putanja γ data je kao preslikavanje t 7→ γ(t), t ∈ [a, b], pri ˇcemu
je γ(a) = γ(b). Funkcija t 7→ φ(t) = F (γ(t)) je deo po deo neprekidno
diferencijablna, i φ′ (t) = F ′ (γ(t))γ ′ (t) za svako t ∈ [a, b]. Stoga, na osnovu
ˇ
3.3. TEOREME KOSIJA
65
Teoreme Njutn-Lajbnica za kompleksne funkcije realne promenljive, sledi da
vaˇzi
∫
∫b
F ′ (z)dz = F ′ (γ(t))γ ′ (t)dt = F (γ(b)) − F (γ(a)) = 0.
γ
a
Primer 3.3.2. Neka je V = P (0; 0, 2) = {z ∈ C : 0 < |z| < 2}, i neka
je γ1 : |z| = 1 pozitivno orijentisana kontura. Za svako n ∈ N neka je
fn (z) = z n , z ∈ V .
n+1
i Fn = zn+1 , tada je F ∈ H(V ) i Fn′ = f u V . Stoga je
∫ Ako je n ∫̸= −1
fn (z)dz = z n dz = 0. Videti takod¯e Primer 3.2.1.
γ1
γ1
Neka je n = −1, i neka jeF−1 (z) = lnk z jedna (bilo koja) neprekidna
grana funkcije z 7→ ln z. Ako je p bilo koja poluprava u C sa poˇcetkom u
′
0, onda je F−1
(z) = z1 = f−1 (z) za svako z ∈ V \ p. Na osnovu ranijih
′
razmatranja u Primeru 3.1.8, jasno je da ne moˇze biti F−1
= f−1 u skupu V .
Dakle, nije mogu´ce primeniti Teoremu 3.3.3.
Sa
druge
strane,
to je u saglas∫ 1
nosti sa Primerom 3.2.2, gde je dokazano z dz = 2πi. Ovim razmatranjem
γ1
dokazano je da ne postoji primitivna funkcija funkcije z 7→
3.3.2
1
z
u skupu V .
Koˇ
si-Gursaova teorema
Dokaza´cemo da, ako je kompleksna funkcija f diferencijabilna u otvorenom
skupu V , onda je integral funkcije f po svakoj konturi jednak nuli. Obrnuto, ako je f neprekidna u otvorenom skupu, i ako je integral funkcije
f po svakoj konturi jednak nuli, tada je f diferencijabilna funkcija. Pri
tome, nametnu´cemo izvesna topoloˇska svojstva skupu V i pomenutoj konturi. Na kraju, ako je f diferencijabilna funkcija u otovrenom skupu, onda
je f beskonaˇcno puta diferencijabilna u tom skupu.
Neka je ∆ = △ABC zatvoreni trougao u C (Slika 5). Rub ovog trougla
je orijentisan pozitivno u odnosu na trougao. Neka su A1 , B1 , C1 sredine
duˇzi BC, CA i AB, redom. Ove duˇzi su orijentisane saglasno orijentiaciji
ruba T = ∂∆. Na taj naˇcin dobijamo ˇcetiri trougla saglasno orijentisana:
na primer, u trouglu △A1 CB1 duˇz B1 A1 je orijentisana od B1 ka A1 , a
u trouglu A1 B1 C1 ista duˇz je orijentisana od A1 ka B1 . ”Male“ trouglove
oznaˇcimo sa ∆1 , . . . , ∆4 , dok su njihovi rubovi orijentosane konture Tj = ∂∆j ,
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
66
j = 1, . . . , 4. Neka je f neprekidna na skupu ∆. Tada je, oˇcigledno,
∫
4 ∫
∑
f dz =
f dz.
T
j=1 T
j
Slika 5.
Dokazujemo slede´ci rezultat.
Teorema
3.3.4. Neka je f diferencijabilna u otvorenom skupu V . Tada je
∫
f dz = 0 za svaki zatvoreni trougao ∆ ⊂ V , pri ˇcemu je ∂∆ = T .
T
Dokaz. Zadrˇzimo oznake trouglova i njihovih rubova, kako je objaˇsnjeno
pre
ove
formulacije
teoreme. Pretpostavimo, bez gubljenja opˇstosti, da je
∫
∫
f dz ≥ f dz za j = 2, 3, 4. Neka je ℓ(Tj ) duˇzina konture Tj . Lako je
T1
Tj
uoˇciti da je ℓ(Tj ) = 12 ℓ(T ). Takod¯e je
diam(∆j ) = diam(Tj ) =
Sledi da je
1
1
diam(T ) = diam(∆).
2
2
∫
∫
f dz ≤ 4 f dz .
T
T1
ˇ
3.3. TEOREME KOSIJA
67
Sada postupak koji smo primenili na ∆ i T primenimo na ∆1 i T1 . Dakle,
dolazimo do niza trouglova
∆1 = ∆(1) ⊃ ∆(2) ⊃ · · · ,
za koje vaˇzi
1
1
ℓ(T (n+1) ) = ℓ(T (n) ), diam ∆(n+1) = diam ∆(n) ,
2
2
∫
∫
f dz .
f dz ≤ 4 (n+1)
(n)
T1
T
Stoga je
ℓ(T
(n)
( )n
( )n
1
1
(n)
)=
ℓ(T ), diam ∆ =
diam ∆,
2
2
∫
∫
n
f dz ≤ 4 f dz .
(n)
T
T1
Niz (∆(n) )n je niz nepraznih, opadaju´cih i kompaktnih skupova, ˇciji di∞
∩
∆(n) = {z0 }.
jametri teˇze 0. Prema Kantorovoj Teoremi 2.2.6 sledi da je
n=1
Funkcija f je diferencijablina u taˇcki z0 . Neka je ϵ > 0. Postoji δ > 0
tako da je D(z0 ; δ) ⊂ V i za svako z ∈ D(z0 ; δ) \ {z0 } vaˇzi
f (z) − f (z0 )
′
< ϵ.
−
f
(z
)
0
z − z0
Dakle, ako je |z − z0 | < δ, onda je
|f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 )(z − z0 )| ≤ ϵ|z − z0 |.
( )n
Odaberimo n ∈ N tako da je diam ∆(n) = 12 diam ∆ < δ. Iz z0 ∈ ∆(n)
sledi ∆(n) ⊂ D(a; δ). Na osnovu Primera 3.2.1 vaˇzi
∫
∫
dz = 0 =
zdz.
T (n)
T (n)
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
68
Stoga je (za prethodno odabrano n) ispunjeno:
∫
∫
′
= (f (z) − f (z0 ) − f (z0 )(z − z0 ))dz f
dz
(n)
(n)
T1
T1
∫
|z − z0 |ds ≤ ϵ(diam ∆(n) )(ℓ(T (n) )
≤ ϵ
(n)
(T )n
1
=
ϵ · (diam(∆)) · (ℓ(T )).
4
∫
f dz ≤ ϵ · (diam(∆)) · (m(T )).
Sledi da vaˇzi
T
Kako je ϵ > 0 proizvoljan broj, sledi
∫
f dz = 0.
T
Time je teorema dokazana.
Definicija 3.3.1. Ako u svakoj taˇcki z oblasti G vaˇzi F ′ (z) = f (z), tada je
F primitivna funkcija funkcije f u skupu G.
Teorema 3.3.5. ∫Neka je G oblast u C i neka je f : G → C neprekidna
funkcija. Ako je f (z)dz = 0 za svaku trougaonu putanju T , sa svojstvom
T
da je T = ∂∆ i ∆ ⊂ G, tada je postoji diferencijabilna funkcija F na skupu
G, tako da je F ′ = f u G.
Drugim reˇcima, za funkciju F postoji primitivna funkcija u oblasti G.
Dokaz. Pretpostavimo da je G = D(a; R), gde je a ∈ C i R > 0. Fiksirajmo
taˇcku z0 ∈ G i definiˇsimo funkciju F : G → C na slede´ci naˇcin:
∫
F (z) =
f (w)dw,
[a,z]
ˇ
3.3. TEOREME KOSIJA
69
pri ˇcemu je [a, z] duˇz koja spaja taˇcku a i taˇcku z.∫ Neka je ∆ trougao
odred¯ena taˇckama a, z0 , z, i neka je T = ∂∆. Tada je f (w)dw = 0. Dakle,
∫
T
∫
f (w)dw +
[a,z0 ]
f (w)dw = F (z).
[z0 ,z]
Prema tome, vaˇzi
F (z) − F (z0 )
1
=
z − z0
z − z0
∫
f (w)dw.
[z0 ,z]
Dakle,
F (z) − F (z0 )
1
− f (z0 ) =
z − z0
z − z0
∫
(f (w) − f (z0 ))dw,
[z0 ,z]
odnosno
∫
sup{|f (w) − f (z0 )| : w ∈ [z0 , z]}
F (z) − F (z0 )
− f (z0 ) ≤
dw
z − z0
|z − z0 |
[z0 ,z]
= sup{|f (w) − f (z0 )| : w ∈ [z0 , z]}.
Na osnovu neprekidnosti funkcije f sledi da je F ′ (z0 ) = f (z).
Teorema 3.3.6. (Koˇsi-Gursa2 ) Neka∫ je V otvoren skup u C, i neka je f
diferencijabilna funkcija u V . Tada je f (z)dz = 0 za svaku prostu zatvorenu
γ
putanju γ u V .
′
Dokaz. Prema Teoremi 3.3.4 i Teoremi 3.3.5, sledi da je f = F
∫ za neku
diferencijabilnu funkciju F u V . Prema Teoremi 3.3.3 sledi da je f (z)dz =
γ
0.
3.3.3
Posledice prethodnih teorema
Dokazujemo nekoliko posledica Teoreme Koˇsi-Gursa.
Oblast G je prosto povezana, ako za svaku zatvorenu putanju γ u V vaˇzi
0
Gγ ⊂ V .
2´
Edouard Jean-Baptiste Goursat (1858-1936), francuski matematiˇcar
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
70
Posledica 3.3.1.∫ Ako je funkcija f diferencijabilna u prosto povezanoj oblasti
G, onda integral f (z)dz ne zavisi od izbora putanje γ u oblasti G, ve´c samo
γ
od poˇcetne i krajnje taˇcke te krive.
Dokaz. Neka su γ1 : [a, b] → C i γ2 : [a, b] → C putanje u skupu V . Jednostavnosti radi, pretpostavimo da je γ1∗ ∩ γ2∗ = ∅ (nije teˇsko dokazati tvrd¯enje i
u opˇstijem sluˇcaju). Tada je γ = γ1 − γ2 kontura, koja ograniˇcava oblast G0γ .
Oblast G je∫ prosto povezana, ∫te je G0γ ⊂
∫ G. Na
∫ osnovu Teoreme Koˇsi-Gursa,
sledi da je f = 0. Stoga je f = −
f = f.
γ
γ1
−γ2
γ2
Dokazujemo rezultat u oblastima koje nisu prosto povezane. oblasti.
Posledica 3.3.2. Neka je γ0 prosta zatvorena putanja, i neka su γ1 , . . . , γn
proste zatvorene putanje sadrˇzane unutar γ0 , tako da se pomenute konture
med¯sobno ne presecaju. Takod¯e, kontura γj ne obuhvata ni jednu konturu γi .
Oblast G neka je skup svih taˇcaka koje se nalaze unutar konture γ0 , a
van svih kontura γ1 , . . . , γn . Neka su konture γ0 , γ1 , . . . , γn orijentisane pozitivno u odnosu na skup G, odnosno pri obilasku ovih krivih u smeru rasta
parametara, oblast G ostaje sa leve strane.
Neka je funkcija f diferencijabilna u nekoj okolini oblasti G. Tada vaˇzi
∫
n ∫
∑
f (z)dz = 0.
f (z)dz +
k=1 γ
γ0
k
Dokaz. Poveˇzimo krive γ0 , γ1 , . . . , γn razrezima (duˇzima) ν1 , . . . , νn , tako da
je oblast G podeljena na uniju konaˇcno mnogo prosto povezanih oblasti Gi .
Oblasti Gi su disjunktne. Tada se skup G razlikuje od skupa ∪nk=1 Gk za neke
delove rubova oblasti Gi . Ako, recimo, duˇz ν1 pripada rubovima oblasti Gi i
Gj , onda je smer obilaska duˇzi ν1 za oblast Gi suprotan smeru obilaska duˇzi ν1
za oblast Gj . U ukupnoj sumi integrali (jedne iste funkcije) po ovim duˇzima
jesu nula. Primena Teoreme Koˇsi-Gursa na svaku oblast Gi , uz naknadno
sabiranje, dovodi do konaˇcne formule u formulaciji teoreme.
Posledica 3.3.3. Neka je kontura γ1 unutar konture γ i neka su te konture
orijentisane pozitivno u odnosu na oblasti koje su njima ograniˇcene. Neka je
G skup svih taˇcaka koje su unutar konture γ, a izvan konture γ1 . Neka je
funkcija f diferencijabilna u nekoj okolini oblasti G. Tada je
∫
∫
f (z)dz = f (z)dz.
γ
γ1
ˇ
3.4. INTEGRALNA FORMULA KOSIJA
I POSLEDICE
71
Dokaz. Rezultat neposredno sledi primenom prethodne teoreme.
Slede´ci rezultat je ve´c sadrˇzan u Teoremi Koˇsi-Gursa.
Posledica 3.3.4. Ako je funkcija f diferencijabilna u prosto povezanoj oblasti
G, onda f ima primitivnu funkciju u oblasti G.
Razdvajanjem realnog i imaginarnog dela funkcije f u oblasti G, sledi da
sve primitivne funkcije od f u oblasti G imaju oblik z 7→ F1 (z) + C, gde je
F1 neka primitivna funkcija od f u G, a C je proizvoljna konstanta. Vaˇzi
i formula Njutn–Lajbnica za kompleksne funkcije kompleksne promenljive
(uporediti sa prirodom Njutn-Lajbnicove formule za kompleksne funkcije realne promneljive, koja je trivijalna posledica teorije realnih funkcija realne
promenljive ).
Posledica 3.3.5. Ako je funkcija f diferencijabilna u prosto povezanoj oblasti
G, tada vaˇzi formula Njutn–Lajbnica
∫z1
f (ξ)dξ = F (z1 ) − F (z0 ),
z0
gde su z0 , z1 proizvoljne taˇcke oblasti G, funkcija F je proizvoljna primitivna
funkcija funkcije f u oblasti G, a integral je uzet po bilo kojoj prostoj deo po
deo glatkoj krivoj u oblasti G koja spaja taˇcke z0 i z1 .
3.4
3.4.1
Integralna formula Koˇ
sija i posledice
Integralna formula Koˇ
sija
Sada dokazujemo vaˇzan rezultat Koˇsija. Naime, ako je diferencijabilna funkcija f poznata na prostoj zatvorenoj putanji γ , onda je funkcija f na jedinstven naˇcin odred¯ena u skupu G0γ .
Teorema 3.4.1. (Integralna formula Koˇsija) Neka je funkcija f diferencijabilna u prosto povezanoj oblasti G i neka γ prosta zatvorena putanja u G,
pozitivno orijentisana u odnosu na oblast G0γ . Tada za svaku taˇcku z ∈ G0γ
vaˇzi formula
∫
1
f (ξ)
f (z) =
dξ.
2πi
ξ−z
γ
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
72
(ξ)
Dokaz. Funkcija ξ 7→ fξ−z
je diferencijabilna po ξ u oblasti G, sa izuzetkom
taˇcke z. Izaberimo ρ tako da krug |ξ − z| < ρ zajedno sa svojom granicom
γρ : |ξ − z| = ρ leˇzi unutar zatovorene putanje γ. Tada vaˇzi:
∫
∫
1
f (ξ)
1
f (ξ)
dξ =
dξ
J=
2πi
ξ−z
2πi
ξ−z
γ
γρ
∫
∫
1
f (ξ) − f (z) + f (z)
1
dξ
=
dξ = J1 + f (z)
.
2πi
ξ−z
2πi
ξ−z
γρ
gde je J1 =
1
2πi
∫
γρ
γρ
f (ξ)−f (z)
dξ.
ξ−z
Vaˇzi
1
2πi
∫
γρ
dξ
= 1.
ξ−z
Prema tome,
J = J1 + f (z).
Dovoljno je pokazati J1 = 0. Na osnovu neprekidnosti funkcije ξ 7→ f (ξ) u
taˇcki z, za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako da za |ξ−z| < δ vaˇzi |f (ξ)−f (z)| <
ϵ. Prema tome, ako je ρ < δ, onda vaˇzi
∫
∫
1
|f (ξ) − f (z)|
1 ϵ
|J1 | ≤
ds <
ds = ϵ.
2π
|ξ − z|
2π ρ
γρ
γρ
J1 ne zavisi od ϵ, te mora biti J1 = 0, odakle sledi konaˇcno J = f (z).
3.4.2
Svojstva analitiˇ
ckih funkcija
Pokazali smo ranije da je svaka analitiˇcka funkcija obavezno i diferencijabilna.
Sada pokazujemo obrnuto, fundamentalno tvrd¯enje.
Teorema 3.4.2. Ako je funkcija f diferencijabilna u oblasti G, tada je ona
analitiˇcka u G.
Dokaz. Neka je a proizvoljna taˇcka oblasti G i neka je Kρ : |z −a| < ρ (ρ > 0)
proizvoljan krug u G, tako da i kruˇznica γρ : |z − a| = ρ pripada skupu G.
ˇ
3.4. INTEGRALNA FORMULA KOSIJA
I POSLEDICE
73
Kruˇznica γρ je pozitivno orijentisana u odnosu na Kρ . Neka je z proizvoljna
taˇcka kruga Kρ . Prema Teoremi 3.4.1 vaˇzi
1
f (z) =
2πi
∫
γρ
Geometrijski red funkcije z 7→
jeste:
1
ξ−z
f (ξ)
dξ.
ξ−z
(3.8)
(z ∈ Kρ , ξ ∈ γρ ) po stepenima od ξ − a
1
1
(
=
ξ−z
(ξ − a) 1 −
∞
∑
(z − a)n
)=
.
n+1
z−a
(ξ
−
a)
n=0
ξ−a
= |z−a|
<1
Obzirom da je ξ ∈ γρ i z ∈ Kρ , sledi da je |ξ − a| = ρ, z−a
ξ−a ρ
i prethodni red ravnomerno konvergira po ξ ∈ γρ (Vajerˇstrasov kriterijum).
Sada vaˇzi
∞
∑
f (ξ)
f (ξ)
=
(z − a)n .
(3.9)
n+1
ξ−z
(ξ − a)
n=0
Na osnovu neprekidnosti i ograniˇcenosti funkcije f (ξ) na γρ , sledi ravnomerna
konvergencija reda (3.9) po ξ ∈ γρ . Integraljenjem ˇclan po ˇclan i koriste´ci
(3.8), sledi
∞
∑
f (z) =
cn (z − a)n ,
n=0
gde je
1
cn =
2πi
∫
γρ
f (ξ)
dξ.
(ξ − a)n+1
Poslednji red konvergira u krugu Kρ , ˇsto znaˇci da je funkcija f analitiˇcka
u taˇcki a. Kako je a proizvoljna taˇcka oblasti G, sledi da je f analitiˇcka u
oblasti G.
Razmatran je proizvoljan krug koji se sadrˇzi u skupu G. Prema tome,
red konvergira na maksimalnom mogu´cem krugu sadrˇzanom u G.
Posledica 3.4.1. Funkcija f je analitiˇcka u oblasti G, ako i samo ako je f
diferencijabilna u oblasti G.
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
74
Teorema 3.4.3. Ako je funkcija f diferencijabilna u oblasti G, onda je ona
beskonaˇcno puta diferencijabilna u toj oblasti. Vaˇzi formula
∫
n!
f (ξ)
(n)
f (z) =
dξ, z ∈ G,
2πi
(ξ − z)n+1
γρ
gde je γρ : |ξ − z| = ρ i ova kruˇznica, zajedno sa odgovaraju´cim krugom,
pripada oblasti G.
Dokaz. Ranije je dokazano f (z) = c0 . Diferenciranjem reda ˇclan po ˇclan,
indukcijom se lako dokazuje da je tvrd¯enje teoreme taˇcno.
Teorema 3.4.4. (Morera3 ) Neka je funkcija f neprekidna u prosto povezanoj
oblasti G i neka integral te funkcije po bilo kojoj konturi u oblasti G jeste nula.
Tada je funkcija f analitiˇcka u oblasti G.
Dokaz. Prema ranijem tvrd¯enju, za f postoji primitivna funkcija F u oblasti
G. Kako je F ′ (z) = f (z) za svako z ∈ G, onda je F diferencijabilna u
skupu G, te je i beskonaˇcno puta diferencijabilna. Prema tome, f mora biti
analitiˇcka u G.
Posledica prethodnih razmatranja jeste razvoj diferencijabilne funkcije u
Tejlorov red.
Teorema 3.4.5. Neka je funkcija f diferencijabilna u otvorenom skupu G.
Tada Tejlorov red funkcije f u okolini taˇcke z0 ∈ G, odnosno razvoj
∞
∑
f (n) (z0 )
n=0
n!
(z − z0 )n
konvergira apsolutno na svakom krugu K(z0 , r) ⊂ G i u svakoj taˇcki z ∈
K(z0 , r) ima sumu jednaku f (z).
Dokaz. Ako je f diferencijabilna u skupu G, onda je ona i analitiˇcka u G.
Prema tome, f se moˇze razviti u stepeni red oko svake taˇcke z0 ∈ G. Iz dokaza
3.13 Teoreme, ovaj stepeni red konvergira na maksimalnom mogu´cem krugu
koji je sadrˇzan u G. Takod¯e, ranije je dokazana i formula za izraˇcunavanje
koeficijenata tog reda.
3
Giacinto Morera (1856–1909), italijanski matematiˇcar i inˇzenjer
ˇ
3.4. INTEGRALNA FORMULA KOSIJA
I POSLEDICE
75
Teorema 3.4.6. Neka je (fn )n niz diferencijabilnih funkcija u prosto povezanoj
∞
∑
oblasti G i neka red
fn ravnomerno konvergira na svakom kompaktnom
n=0
skupu sadrˇznom u G. Tada je funkcija
f (z) =
∞
∑
fn (z)
(3.10)
n=0
diferencijabilna u skupu G i u svakoj taˇcki tog skupa moˇze se diferencirati
ˇclan po ˇclan proizvoljno mnogo puta.
Dokaz. Neka je z0 ∈ G proizvoljna taˇcka i neka je ρ > 0 tako da krug
K = K[z0 , ρ] pripada skupu G. Posmatrani red je ravnomerno konvergentan
na kompaktu K i sledi da je funkcija f neprekidna
na K. Posmatramo
∑
it
kruˇznicu γρ : z = z0 +ρe , t ∈ [0, 2π]. Tada je red fn (z0 +ρeit ) ravnomerno
konvergentan po t ∈ [0, 2π], te se moˇze integraliti ˇclan po ˇclan i novodobijeni
red je ravnomerno konvergetan na istom skupu. Tada je
∫
∞ ∫
∑
f (z)dz =
fn (z)dz = 0.
γρ
n=0 γ
ρ
Poslednji integral je nula, jer su sve funkcije fn analitiˇcke u prosto povezanoj
oblasti G. Prema Teoremi Morere 3.4.4, funkcija f je analitiˇcka u G.
Pomnoˇzimo sada dati funkcionalni red (3.10) analitiˇckom funkcijom z 7→
k!
u skupu G \ {z0 }. Poslednja funkcija je neprekidna (stoga i
2πi(z−z0 )k+1
ograniˇcena) na γρ∗ . Sledi da je novodobijeni funkcionalni red
∑
k!fn (z)
k!f (z)
=
k+1
2πi(z − z0 )
2πi(z − z0 )k+1
n=0
∞
ravnomerno konvergentan po z ∈ γr . Novim integraljenjem proizilazi
∫
∫
∞
∑
k!
f (z)
k!
fn (z)
(k)
f (z0 ) =
dz =
dz
k+1
2πi
(z − z0 )
2πi
(z − z0 )k+1
n=0
γρ
=
∞
∑
γρ
fn(k) (z0 ).
n=0
Razmatramo rezultate o jedinstvenosti analitiˇckih funkcija u oblasti. Dokazujemo jedno korisno tvrd¯enje o nulama analitiˇckih funkcija.
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
76
Teorema 3.4.7. Neka je funkcija f diferencijablina u nekom krugu G sa
centrom u taˇcki a, funkcija f nije identiˇcki jednaka 0 u G, i neka je f (a) = 0.
Tada postoji krug K(a, r) ⊂ G u kome funkcija f nema drugih nula osim
taˇcke a.
Dokaz. Posmatrajmo Tejlorov red funkcije f oko taˇcke a
f (z) =
∞
∑
f (n) (a)
n=0
n!
(z − a)n
koji konvergira na skupu G.
Ako su svi koeficijenti u Tejlorovom redu jednaki nuli, onda je i funkcija f
identiˇcki jednaka nuli u skupu G, ˇsto nije mogu´ce prema naˇsoj pretpostavci.
Prema tome postoji k, koji je najmanji mogu´ci indeks sa svojstvom
(k)
f (a) ̸= 0. Tada je
( (k)
)
f (a) f (k+1) (a)
k
f (z) = (z − a)
+
(z − a) + · · ·
k!
(k + 1)!
Funkcija
g(z) =
f (z)
f (k) (a) f (k+1) (a)
=
+
(z − a) + · · ·
(z − a)k
k!
(k + 1)!
je analitiˇcka u skupu G, jer je predstavljena stepenim redom. Specijalno,
(k)
g(a) = f k!(a) ̸= 0. Na osnovu neprekidnosti funkcije g sledi da je g(z) ̸= 0 u
nekom krugu K(a, r). Oˇcigledno je taˇcka a jedina nula funkcije f (z) u krugu
K(a, r).
Teorema 3.4.8. Neka je (an )n niz taˇcaka u oblasti G i lim an = a ∈ G.
n→∞
Ako su f i g analitiˇcke funkcije u oblasti G sa svojstvom da je f (an ) = g(an )
za svako n, tada je f (z) = g(z) za svako z ∈ G.
Dokaz. Posmatramo funkciju z 7→ Φ(z) = f (z) − g(z), ˇcije su nule a1 , a2 , . . . .
Na osnovu neprekidnosti funkcije Φ sledi Φ(a) = 0. Prema Teoremi 3.4.7,
funkcija Φ je identiˇcki jednaka nuli u nekom krugu sa centrom u a. Neka je
D = {z ∈ G : Φ(z) = 0} i neka je E unutraˇsnjost skupa D. Ako je E = G,
onda je Φ(z) = 0 za svako z ∈ G, odnosno f (z) = g(z) za svako z ∈ G i
teorema je dokazana. Pretpostavimo da je E ̸= G. Postoji rubna taˇcka b
skupa E sa svojstvom da b ∈ G. To znaˇci Φ(b) ̸= 0. Med¯utim, postoji i
ˇ
3.4. INTEGRALNA FORMULA KOSIJA
I POSLEDICE
77
niz taˇcaka (bn )n , bn ∈ E, sa svojstvom lim bn = b. Na osnovu neprekidnosti
n→∞
funkcije Φ, sledi Φ(b) = 0 i Φ(z) = 0 za z u nekoj okolini taˇcke b. Odavde
sledi b ∈ E, ˇsto je suprotno polaznoj pretpostvaci da je b rubna taˇcka skupa
E. Prema tome, E = G i teorema je pokazana.
Dokazujemo vaˇznu posledicu o analitiˇckim funkcijama, ˇciji je izvod jednak
nuli.
Teorema 3.4.9. Neka je f = u + iv analitiˇcka funkcija u oblasti G, sa svojstvom da je f ′ (z) = 0 za svako z ∈ G. Tada je f konstantna funkcija na
skupu G.
∂v
∂v
Dokaz. Na osnovu f ′ (z) = 0 sledi ∂u
= ∂u
= ∂x
= ∂y
= 0 za svako (x, y) ∈ G.
∂x
∂y
Odavde sledi da su u i v konstantne na skupu G, te je i f konstanta na skupu
G.
Teorema 3.4.10. (Liuvil4 ) Ako je funkcija f analitiˇcka i ograniˇcena na
skupu C, tada je f konstantna na C.
Dokaz. Prema pretpostavci, vaˇzi
M = sup |f (z)| < ∞.
z∈C
Neka je γρ kruˇznica da centrom u z ∈ C polupreˇcnika ρ. Na osnovu Koˇsijeve
formule za prvi izvod, vaˇzi
∫
∫
|f (z)|
M
1 f (ξ)
1
′
dξ ≤
ds ≤
.
|f (z)| =
2
2
2π (ξ − z) 2π
ρ
ρ
γρ
γρ
Kako je ρ > 0 proizvoljan, sledi f ′ (z) = 0. Proizilazi da je f konstantna
funkcija na C.
Navodimo rezultat koji je poznat kao osnovna teorema algebre. Tvrdimo
da polinom pozitivnog stepena sa kompleksnim keoficijentima mora imati
bar jednu kompleksnu nulu. Ako je taˇcka a ∈ C nula polinoma P stepena
(z)
polinom stepena n − 1, koji po istoj teoremi ima jednu komn, tada je Pz−a
pleksnu nulu. Nastavljaju´ci postupak, proizilazi da polinom stepena n ima
n kompleksnih nula, pri ˇcemu se raˇcunaju i njihove viˇsestrukosti. Na primer,
P (z)
taˇcka a je nula viˇsestrukosti (reda) k za polinom P , ako je (z−a)
k polinom,
dok
4
P (z)
(z−a)k+1
nije polinom.
Joseph Liouville (1809–1882), francuski matematiˇcar
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
78
Teorema 3.4.11. Neka je P polinom stepena n ≥ 1 sa kompleksnim koeficijentima. Tada postoji bar jedna taˇcka a ∈ C za koju je P (a) = 0.
Dokaz. Pretpostavimo da je P (z) ̸= 0 za svako z ∈ C. Tada je funkcija
1
f (z) = P (z)
analitiˇcka u C. Oˇcigledno je lim |P (z)| = ∞, odakle sledi da
z→∞
je funkcija f ograniˇcena na C. Prema Liuvilovoj teoremi f je konstantna
funkcija na C. Sledi da je P polinom stepena nula, ˇsto je suprotno pretpostavci. Stoga postoji taˇcka a ∈ C sa svojstvom P (a) = 0.
Primer 3.4.1. Ako je b > 0, izraˇcunati integrale
∫+∞
2
e−x cos 2bx dx i
−∞
∫+∞
2
e−x sin 2bx dx.
−∞
Reˇsenje. Posmatra se funkcija f (z) = e−z . Neka je R > 0 i date su taˇcke
A(−R, 0), B(R, 0), C(R, b), D(−R, b). Ove ˇcetiri taˇcke odred¯uju pravougaonik
u kompleksnoj ravni i orijentiˇsemo pozitivno rub ovog pravougaonika. Neka
je γ = AB + BC + CD + DA. Na osnovu Koˇsijeve teoreme vaˇzi
∫
f (z)dz = 0.
2
Neka je I1 =
∫
γ
f (z)dz, I2 =
AB
∫
f (z)dz, I3 =
BC
f (z)dz i I4 =
CD
Ako je z = x ∈ AB, tada je dz = dx i
∫+R
2
e−x dx,
I1 =
∫
∫
DA
∫+∞
√
2
e−x dx = π.
lim I1 =
R→+∞
−∞
−R
Ako je z ∈ BC, tada je z = R + iy, 0 ≤ y ≤ b. Stoga je dz = idy i
∫b
I2 =
−(R2 −y 2 +2Riy)
e
idy = ie
−R2
∫b
ey e−2Riy dy.
2
0
0
Na osnovu prethodnog sledi
b
∫
∫b
2
2
2
2
ey dy.
|I2 | = e−R ey e−2iRy dy ≤ e−R
0
0
f (z)dz.
ˇ
3.4. INTEGRALNA FORMULA KOSIJA
I POSLEDICE
79
Stoga je
lim I2 = 0.
R→+∞
Ako je z ∈ CD, tada je z = x + ib, dz = dx i
∫+R
∫+R
2
−(x2 −b2 +2bix)
b2
I3 = − e
dx = −e
e−x (cos 2bx − i sin 2bx)dx.
−R
−R
Ako je z ∈ DA, tada je z = −R + iy, dz = idy i
∫0
I4 =
e−(R
2 −y 2 −2Riy)
idy.
b
Sada je
|I4 | ≤ e
−R2
∫b
2
ey dy,
lim I4 = 0.
R→+∞
0
Iz svega navedenog sledi
√
2
π = eb
∫+∞
∫+∞
2
2
2
e−x cos 2bx dx − ieb
e−x sin 2bx dx.
−∞
−∞
Prema tome,
√
∫+∞
π
−x2
e
cos 2bx dx = b2 ,
e
−∞
∫+∞
2
e−x sin 2bx dx = 0. △
−∞
Primer 3.4.2. Izraˇcunati Frenelove5 integrale
+∞
∫
+∞
∫
0
0
cos x2 dx i
sin x2 dx.
( √
√ )
Reˇsenje. Neka je R > 0. Date su taˇce O(0, 0), A(R, 0), B R 2 2 , R 2 2 . Taˇcke
A i B spojene su kruˇznicom polupreˇcnika R sa centrom u O. OA i BO su
5
Augustin-Jean Fresnel (1788-1827), francuski inˇzenjer i fiziˇcar
ˇ
GLAVA 3. ANALITICKE
FUNKCIJE
80
duˇzi. Tada je OAB pozitivnop orijentisan ”krivolinijski“ trougao. Posmatra
2
se funkcija f (z) = eiz . Na osnovu Koˇsijeve teoreme je
∫
f (z)dz = 0.
Neka je I1 =
OAB
∫
∫
f (z)dz, I2 =
OA
f (z)dz, I3 =
AB
∫
f (z)dz. Ako je z ∈ OA,
BO
tada je z = x, dz = dx i
∫R
∫R
cos x2 dx + i
I1 =
0
sin x2 dx.
0
Ako je z = x + iy ∈ AB, tada je x = R cos φ, y = R sin φ, φ ∈ [0, π/4] i
∫π/4
2
I2 =
eiR (cos 2φ+i sin 2φ) iR(cos φ + i sin φ)dφ
0
∫π/4
2
2
= iR ei(R cos 2φ+φ) e−R sin 2φ dφ.
0
Odavde neposredno sledi procena
lim I2 = 0.
R→+∞
Ako je z ∈ BO, tada je z = re
∫0
(
−r2
e
I3 =
iπ/4
, r ∈ [0, R], z = ir , dz =
1
1
√ + i√
2
2
2
)
2
Sledi
0
√
2π
(1 + i).
lim I3 = −
R→+∞
4
√
∫+∞
∫+∞
2π
sin x2 dx =
cos x2 dx =
.
4
0
0
√1
2
+
√
∫R
2
2
dr = −
(1 + i) e−r dr.
2
R
Prema tome,
(
i √12
)
dr i
Glava 4
Meromorfne funkcije
4.1
4.1.1
Loranov red i raˇ
cun ostatka
Izolovani singulariteti
Kompleksan red oblika
+∞
∑
an ,
(4.1)
n=−∞
jeste suma redova
∞
∑
an
i
n=0
∞
∑
a−n ,
n=1
ukoliko oba reda u (4.2) konvergiraju. Red
∞
∑
(4.2)
∞
∑
a−n jeste glavni deo, a red
n=1
an jeste analitiˇcki (regularni) deo reda (4.1).
n=0
Ako je funkcija f analitiˇcka u okolini taˇcke a, tada se funkcija f moˇze
razviti u Tejlorov red oko taˇcke a. U mnogim problemima razmatraju se
funkcije koje su analitiˇcke u prstenu P (a; r) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r}, a
koje nisu obavezno analitiˇcke u taˇcki a. Opˇstije, moˇze se posmatrati i prsten
P (a; r, R) = {z ∈ C : r < |z − a| < R}. Tada se funkcija moˇze razviti u
Loranov1 red oko taˇcke a.
Teorema 4.1.1. (Loran) Neka je funkcija f analitiˇcka u skupu P = P (a; r, R) =
{z ∈ C : r < |z−a| < R}. Tada funkcija f moˇze biti predstavljena Loranovim
1
Pierre Alphonse Laurent (1813–1854) francuski matematiˇcar
81
82
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
redom
f (z) =
+∞
∑
cn (z − a)n ,
n=−∞
koji je apsolutno konvergentan za svako z ∈ P i ravnomerno konvergentan
ˇ
na svakom kompaktnom podskupu od P . Staviˇ
se, koeficijenti cn dati su formulama
∫
1
f (z)
cn =
dz, n = 0, ±1, ±2, . . . ,
2πi
(z − a)n+1
γρ
pri ˇcemu je γρ : |z − a| = ρ (r < ρ < R) pozitivno orijentisana kontura.
Dokaz. Neka je z ∈ P proizvoljna taˇcka i posmatrajmo brojeve r1 , r2 , R1 , R2
sa slede´cim svojstvom: r < r1 < r2 < |z − a| < R2 < R1 < R. Neka je
P1 = {z ∈ C : r2 < |z − a| < R2 } ⊂ P . Kruˇznice γr1 i γR1 su orijentisano
pozitivno u odnosu na skup P1 . Prema integralnoj formuli Koˇsija vaˇzi
∫
∫
∫
f (ξ)
1
1
f (ξ)
f (ξ)
1
dξ =
dξ +
dξ.
f (z) =
2πi
ξ−z
2πi
ξ−z
2πi
ξ−z
γr1 +γR1
γr1
γR1
2
Za svako ξ ∈ γR1 vaˇzi z−a
≤ R
= q < 1. Koriste´ci konvergenciju reda
ξ−a R1
∑ n
q i Vajerˇstrasov kriterijum za ravnomernu konvergenciju funkcionalnih
redova, sledi da red
1
1
(
=
ξ−z
(ξ − a) 1 −
z−a
ξ−a
)=
∞
∑
(z − a)n
(ξ − a)n+1
n=0
(4.3)
ravnomerno konvergira po ξ ∈ γR∗ 1 i ravnomerno po z ∈ P1 . Red (4.3) mno(ξ)
ˇzimo neprekidnom (stoga i ograniˇcenom) funkcijom ξ 7→ f2πi
i dobijeni red
ravnomerno konvergira po ξ ∈ γR1 . Zato se ovaj red moˇze integraliti ˇclan po
ˇclan, odnosno:
1
2πi
∫
γR1
f (ξ)
1 ∑
dξ =
(z − a)n
ξ−z
2πi n=0
∞
∫
γR1
=
∞
∑
n=0
cn (z − a)n ,
f (ξ)
dξ
(ξ − a)n+1
(4.4)
(4.5)
ˇ
4.1. LORANOV RED I RACUN
OSTATKA
gde je
∫
1
cn =
2πi
γR1
f (ξ)
dξ,
(ξ − a)n+1
83
n = 0, 1, 2, . . .
Pri tome red (4.4) konvergira ravnomerno
ξ−a po rz ∈ P1 .
druge strane, za ξ ∈ γr1 vaˇzi z−a ≤ r21 = p < 1. Geometrijski red
∑ Sa
n
p konvergira. Na osnovu Vajerˇstrasovog kriterijuma sledi da red
1
1
(
−
=
ξ−z
(z − a) 1 −
ξ−a
z−a
)=
∞
∑
(ξ − a)n−1
n=1
(z − a)n
(4.6)
ravnomerno konvergira po ξ ∈ γr1 i ravnomerno po z ∈ P1 . Mnoˇzenjem
(ξ)
reda (4.6) ograniˇcenom funkcijom ξ 7→ f2πi
, sledi da i novi red konvergira
ravnomerno po ξ ∈ γr∗1 . Integraljenjem novodobijenog reda proizilazi:
1
2πi
∫
γr1
∑
f (ξ)
1
1
dξ = −
n
ξ−z
(z − a) 2πi
n=1
∞
=
∞
∑
n=1
gde je
1
dn = −
2πi
∫
f (ξ)(ξ − a)n−1 dξ
(4.7)
γr1
dn
,
(z − a)n
(4.8)
∫
f (ξ)(ξ − a)n−1 dξ,
n = 1, 2, . . .
γr1
Pri tome red (4.7) konvergira ravnomerno po z ∈ P1 .
Neka je γρ kruˇznica sa centrom u taˇcki a polupreˇcnika ρ, r < ρ < R,
orijentisana suprotno smeru kretanja kazaljke na ˇcasovniku. Kruˇznica γr1 je,
med¯utim, orijentisana pozitivno u odnosu na skup P1 , prema tome u smeru
kretanja kazaljke na ˇcasovniku. Primenimo pravilo o jednakosti integrala po
konturama γρ i γr−1 . Sledi da vaˇzi
∫
1
f (ξ)
dn =
dξ,
n = −1, −2, . . . .
2πi
(ξ − a)n+1
γρ
Zakljuˇcak je da Loranov red konvergira ravnomerno po z ∈ P1 . Lako je
proveriti da ovaj red ravnomerno konvergira na svakom kompaktnom podskupu od P .
84
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
Oˇcigledno, forma za izraˇcunavanje koeficijenata Loranovog reda funkcije
ista je kao i forma za izraˇcunavanje koeficijenata Tejlorovog red analitiˇcke
funkcije u krugu.
Primer 4.1.1. Razviti funkciju f (z) =
u kojima je to mogu´ce.
1
(z−1)(z−2)
u Loranov red u oblastima
Reˇsenje. Funkcija f je analitiˇcka u slede´cim prstenima: P1 = {z ∈ C : |z| <
1}, P2 = {z ∈ C : 1 < |z| < 2} i P3 = {z ∈ C : 2 < |z|}. Ekvivalentan zapis
funkcije f jeste
1
1
1
=
−
.
(z − 1)(z − 2)
z−2 z−1
Razmotrimo razvoj ove funkcije u skupu P1 . Vaˇzi
∞
1
1 1
1 ∑ ( z )n
=−
=−
(4.9)
z−2
2 1 − z2
2 n=0 2
i ovaj red konvergira za |z| < 2. Takod¯e je
∑
1
−
=
zn
z − 1 n=0
∞
i red konvergira za |z| < 1. Prema tome, za z ∈ P1 vaˇzi slede´ci razvoj funkcije
f u Tejlorov red
)
∞ (
∑
1
f (z) =
1 − n+1 z n .
2
n=0
U skupu P2 red (4.9) je konvergentan. Takod¯e vaˇzi
∞
−∞
∑
1
1
1 ∑ −n
) =−
−
=− (
z =−
zn
z−1
z n=0
z 1 − z1
n=−1
(4.10)
i red konvergira za |z| > 1. Ako je z ∈ P2 , onda je Loranov red funkcije f
dat kao
−∞
∞
∑
∑
n
f (z) = −
z −
2−n−1 z n .
n=−1
n=0
Na kraju, posmatramo skup P3 u kome red (4.10) konvergira. Tada je
1 1
1
=
z−2
z1−
2
z
=
−∞
∑
n=−1
−∞
∑
zn
.
z =
2n+1
n=−1
−n−1 n
2
ˇ
4.1. LORANOV RED I RACUN
OSTATKA
85
Loranov red funkcije f u skupu P3 je
)
−∞ (
∑
1
f (z) =
− 1 zn.
n+1
2
n=−1
Lako je uopˇstiti pokazanu metodu na skup svih racionalnih funkcija.
Naime, svaka racionalna funkcija se moˇze prikazati kao suma jednog poliAi
noma i izvesnog broja funkcija oblika z 7→ z−a
. Pri tome su ai nule polinoma
i
koji je u imeniocu polazne racionalne funkcije, a brojevi Ai se odred¯uju dobro poznatom metodom ”neodred¯enih koeficijenata“ (prisetiti se integracije
racionalnih funkcija jedne realne promenljive).
4.1.2
Tipovi singulariteta
Taˇcka a ∈ C je izolovani singularitet funkcije f , ako je funkcija f diferencijabilna u skupu P (a; r) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r} za neko r > 0. Taˇcka ∞
je izolovani singularitet funkcije f , ako je funkcija f diferencijabilna u skupu
P (∞; R) = {z ∈ C : |z| > R} za neko R > 0.
Izolovani singularitet a ∈ C jeste otklonjivi singularitet funkcije f , ako
postoji konaˇcna graniˇcna vrednost lim f (z).
z→a
Izolovani singularitet a ∈ C jeste pol funkcije f , ako je lim f (z) = ∞.
z→a
Izolovani singularitet a ∈ C je suˇstinski (esencijalni) singularitet funkcije
f , ako ne postoji graniˇcna vrednost lim f (z).
z→a
Teorema 4.1.2. Neka je a ∈ C izolovani singularitet funkcije f . Tada je
a otklonjivi singularitet funkcije f , ako i samo ako je glavni deo Loranovog
reda funkcije f oko taˇcke a identiˇcki jednak nuli.
Dokaz. Pretpostavimo da je taˇcka a otklonjiv singularitet funkcije f . Tada
postoji konaˇcna graniˇcna vrednost lim f (z) = A. Sledi da je funkcija f
z→a
ograniˇcena u okolini taˇcke a, odnosno postoji broj M > 0, tako da je |f (z)| ≤
M za svako z ∈ P (a; r), gde je r > 0 neki broj. Za niz (cn )n koeficijenata
Loranovog razvoja funkcije f (z) u okolini taˇcke a vaˇzi procena:
∫
M
1
|f (ξ)|
ds
≤
, n = 0, ±1, ±2, . . .
(4.11)
|cn | ≤
2π
|(ξ − z)n+1 |
ρn
γρ
86
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
pri ˇcemu je 0 < ρ < r i γρ je pozitivno orijentisana kruˇznica. Ako je n < 0,
onda desna strana nejednakosti (4.11) teˇzi nuli kada ρ → 0. Obzirom da
cn ne zavisi od izbora polupreˇcnika ρ, sledi da mora biti cn = 0 za n < 0,
odnosno glavi deo Loranovog reda je identiˇcki jednak nuli.
Obrnuto, ako je glavni deo Loranovog reda funkcije f u okolini taˇcke
a identiˇcki jednak nuli, tada je Loranov red u stvari Tejlorov red funkcije
f u skupu P (a; r) = {z : 0 < |z − a| < r} za neko r > 0. Neka je g
suma ovog reda u domenu (krugu) u kome red konvergira. Ovom krugu
oˇcigledno pripada taˇcka a. Stoga, postoji g(a) = c0 . Na osnovu Teoreme o
jedinstvenosti analitiˇcke funkcije, vaˇzi g(z) = f (z) za svako z ∈ P (a; r), te
je lim f (z) = g(a) = c0 ∈ C. Samim tim, taˇcka a je otklonjivi singularitet
z→a
funkcije f .
Iz dokaza prethodne teoreme proizilazi slede´ci rezultat.
Posledica 4.1.1. Neka je a ∈ C izolovani singularitet funkcije f . Tada je
a otklonjivi singularitet, ako i samo ako je funkcija f ograniˇcena u okolini
taˇcke a.
Zapazanje 4.1.1. Ako je f definisana u taˇcki a i taˇcka a je otklonjivi singularitet funkcije f , tada je funkcija f analitiˇcka u taˇcki a.
Ako je a otklonjivi singularitet funkcije f i funkcija f nije definisana u
taˇcki a, tada se dodefiniˇse f (a) = lim f (z). Ovako definisana funkcija f je
z→a
analitiˇcka u taˇcki a.
Teorema 4.1.3. Neka je taˇcka a ∈ C izolovani singularitet funkcije f . Tada
je taˇcka a pol funkcije f , ako i samo ako je glavni deo Loranovog reda funkcije
f u okolini taˇcke a netrivijalan i sadrˇzi konaˇcno mnogo ˇclanova razliˇcitih od
nule. Drugim reˇcima, Loranov red funkcije f u okolini taˇcke a jeste
f (z) =
∞
∑
n=0
cn (z − a) +
n
N
∑
c−n (z − a)−n ,
n=1
pri ˇcemu je N > 0.
Dokaz. Neka je taˇcka a pol funkcije f . Iz ˇcinjenice lim f (z) = ∞ sledi
z→a
da postoji skup P = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r} u kome je funkcija f
1
analitiˇcka i razliˇcita od nule. Tada je funkcija g(z) = f (z)
analitiˇcka u skupu
D i lim g(z) = 0. Sledi da je taˇcka a otklonjivi singularitet funkcije g. Iz
z→a
ˇ
4.1. LORANOV RED I RACUN
OSTATKA
87
ˇcninjenice g(a) = 0 sledi da je bar prvi koeficijent u Tejlorovom redu funkcije
g u taˇcki a jednak nuli. Drugim reˇcima,
(
)
g(z) = (z − a)N bN + bN +1 (z − a)1 + · · · , N > 0.
Tada je
f (z) =
1
1
1
·
· h(z),
=
N
1
(z − a)
bN + bN +1 (z − a) + · · ·
(z − a)N
gde je
1
bN + bN +1 (z − a)1 + · · ·
analitiˇcka funkcija u taˇcki a. Zato je
h(z) =
h(z) = c−N + c−N +1 (z − a) + · · · ,
c−N =
1
̸= 0.
bN
Sledi da je Loranov red funkcije f u taˇcki a dat kao
∑
c−N +1
c−1
c−N
+
+
·
·
·
+
+
cn (z − a)n ,
f (z) =
(z − a)N
(z − a)N −1
(z − a) n=0
∞
(4.12)
odnosno glavni deo ovog reda je netrivijalan i ima konaˇcno mnogo ˇclanova
koji nisu jednaki nuli.
Obrnuto, neka je f predstavljena Loranovim redom oblika (4.12), gde je
N > 0 i c−N ̸= 0. Funkcija g(z) = (z − a)N f (z) je analitiˇcka u taˇcki a, jer
je u toj taˇcki predstavljena Tejlorovim redom. Takod¯e je g(a) = lim g(z) =
z→a
c−N ̸= 0. Stoga je
g(z)
lim f (z) = lim
= ∞,
z→a
z→a (z − a)N
odnosno a je pol funkcije f (z).
Posledica 4.1.2. Neka je taˇcka a izolovani singularitet funkcije f . Taˇcka a
1
je pol funkcije f , ako i samo ako je funkcija g(z) = f (z)
analitiˇcka u taˇcki a
i g(a) = 0.
Dokaz. Ako je a pol funkcije f , onda je g(z) = f (z)−1 analitiˇcka funkcija u
taˇcki a, kao i g(a) = 0.
Obrnuto, neka je g analitiˇcka u taˇcki a i neka je g(a) = 0. Postoji skup
P (a; r) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r} u kome je funkcija z 7→ f (z) = g(z)−1
analitiˇcka i razliˇcita od nule. Iz ˇcinjenice lim f (z) = ∞ sledi da je a pol
z→a
funkcije f .
88
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
4.1.3
Red pola
Prema ranijim rezultatima taˇcka a ∈ C pol funkcije f ako i samo ako glavni
deo Loranovog reda funkcije f u taˇcki a ima konaˇcno mnogo ˇclanova razliˇcitih
od nule, recimo N , pri ˇcemu je N ≥ 1. Tada je 0 = g(a) = g ′ (a) = · · · =
g (N ) (a), gde je g(z) = f (z)−1 . Broj N jeste red pola a funkcije f .
Teorema 4.1.4. Neka je taˇcka a izolovani singularitet funkcije f . Taˇcka
a je esencijalni singularitet funkcije f ako i samo ako glavni deo Loranovog
reda funkcije f oko taˇcke a sadrˇzi beskonaˇcno mnogo ˇclanova koji su razliˇciti
od nule.
Dokaz. Taˇcka a je otklonjiv singularitet ili pol funkcije f ako i samo ako glavni
deo Loranovog reda ima najviˇse konaˇcno mnogo ˇclanova koji su razliˇciti od
nule. Prema tome, taˇcka a je esencijalni singularitet funkcije f ako i samo ako
glavni deo Loranovog reda funkcije f oko taˇcke a sadrˇzi beskonaˇcno mnogo
ˇclanova koji su razliˇciti od nule.
Slede´ce tvrd¯enje uporediti sa Rimanovom teoremom o uslovno konvergentnim redovima.
Teorema 4.1.5. (Sohocki2 ) Ako je taˇcka a esencijanli singularitet funkcije
f , tada za svako A ∈ C postoji niz taˇcaka (zn )n u skupu C sa svojstvom
lim zn = a i lim f (zn ) = A.
n→∞
n→∞
Dokaz. Pretpostavimo da je A = ∞. Funkcija f nije ograniˇcena ni u jednom
prstenu P (a; r) = {z ∈ C : 0 < |z −a| < r}. Prema tome, postoji r1 > 0 tako
da je |f (z)| > 1 za svako z ∈ P (a; r1 ). Analogno, postoji r2 , 0 < r2 < r1 ,
tako da je |f (z)| > 2 za svako z ∈ P (a; r2 ). Na ovaj naˇcin konstruiˇsemo niz
(zn )n sa svojstvom lim zn = a i lim f (zn ) = ∞.
n→∞
n→∞
Neka je A ∈ C. Pretpostavimo da ne postoji niz taˇcaka (zn )n za koji vaˇzi
lim zn = a i lim f (zn ) = A. Tada postoji neki prsten P (a; r) tako da za
n→∞
n→∞
1
svako z ∈ P (a; r) vaˇzi f (z) ̸= A. U skupu P (a; r) funkcija g(z) = f (z)−A
jeste analitiˇcka. Taˇcka a je izolovani singularitet funkcije g(z). Vaˇzi f (z) =
1
A + g(z)
. Ako bi postojao lim g(z) kao konaˇcan broj ili beskonaˇcnost, onda
z→a
bi postojao i lim f (z) kao konaˇcan broj ili beskonaˇcnost, odakle bi sledilo
z→a
da je taˇcka a otklonjiv singularitet ili pol funkcije f . Prema tome, sledi da
lim g(z) ne postoji. Prema pokazanom prvom delu, postoji niz taˇcaka (zn )n
z→a
sa svojstvom lim zn = a i lim g(zn ) = ∞. Tada je lim f (zn ) = A.
n→∞
2
n→∞
n→∞
Julian Karol Sochocki (1842-1927), poljsko-ruski matematiˇcar
ˇ
4.1. LORANOV RED I RACUN
OSTATKA
4.1.4
89
Sluˇ
caj a = ∞
Ako je a =
(∞
) izolovani singularitet funkcije f , tada treba posmatrati funkciju
1
g(ξ) = f ξ u okolini taˇcke b = 0. Priroda izolovanog singulariteta a = ∞
funkcije f ekvivalentna je prirodi izolovanog singulariteta b = 0 funkcije g.
Definicija 4.1.1. Funkcija f je cela, ako je analitiˇcka u skupu C.
Funkcija f je meromorfna u oblasti G, ako je f analitiˇcka funkcija u G
sa izuzetkom nekog skupa taˇcka koje su polovi funkcije f .
Primer 4.1.2. Funkcije tg z i ctg z su meromorfne funkcije u C, koje imaju
beskonaˇcno mnogo polova u C.
4.1.5
Ostaci (rezidumi)
Ranije dokazana Koˇsijeva teorema tvrdi da je integral analitiˇcke funkcije po
svakoj konturi u prosto povezanoj oblasti jednak nuli. Opˇstije funkcije od
analitiˇckih jesu meromorfne.
Neka su γ1 i γ2 konture u oblasti G, tako da je γ1 unutar konture γ2 , i neka
je P skup svih taˇcaka skupa G koje su van γ1 a∫unutar γ2 . Ako
je funkcija
∫
f analitiˇcka u nekoj okolini skupa P , tada je f (z)dz = f (z)dz. Ova
γ1
γ2
ˇcinjenica je od posebnog interesa ako je, recimo, taˇcka a jedini pol funkcije
f (z) unutar konture γ1 (a samim tim i unutar γ2 ).
Definicija 4.1.2. Neka je taˇcka a izolovani singularitet funkcije f i neka je
f analitiˇcka u prstenu P (a; R) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < R}. Ako je r broj
za koji vaˇzi 0 < r < R, tada je
∫
1
Res f =
f (z)dz
a
2πi
γr
ostatak funkcije f u taˇcki a, pri ˇcemu je γr : |z −a| = r pozitivno orijentisana
kruˇznica.
Prema ranije pokazanim rezultatima, izbor broja r ∈ (0, R) ne utiˇce na
vrednost ostatka Resa f . Opˇstije, moˇze se uzeti bilo koja kontura oko taˇcke
a u disku P (a; r).
90
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
Teorema 4.1.6. (Koˇsijeva teorema o ostacima) Neka je G oblast u C i neka
je D (D ⊂ G) konaˇcan podskup od G. Ako je funkcija f analitiˇcka u skupu
G \ D, pri ˇcemu je svaka taˇcka skupa D izolovani singularitet funkcije f , i
ako je γ pozitivno orijentisana kontura u G oko skupa D, tada je
∫
∑
f (z)dz = 2πi
Res f.
a∈D
γ
a
Dokaz. Neka je D = {a1 , . . . , ak } i neka je γi kontura oko ai , tako da γi i γj
nemaju zajedniˇckih taˇcaka, niti je γj sadrˇzana u γi za i ̸= j, sa svojstvom da
je svaka kontura γi sadrˇzana u konturi γ. Pretpostavimo da su sve konture
orijentisane suprotno kretanju kazaljke na ˇcasovniku. Ranije je dokazano
∫
f (z)dz =
k ∫
∑
f (z)dz.
i=1 γ
i
γ
Sada jednostavno sledi tvrd¯enje ove teoreme.
Teorema 4.1.7. Neka je taˇcka a izolovani singularitet funkcije f i neka je
c−1 prvi koeficijenat u glavnom delu Loranovog reda funkcije f oko taˇcke a.
Tada je
c−1 = Res f.
a
Posledica 4.1.3. Ako je taˇcka a otklonjivi singularitet funkcije f (z), tada
je Res f = 0.
a
4.1.6
Izraˇ
cunavanje ostatka funkcije u polu
Neka je taˇcka a pol funkcije f prvog reda. Tada je Loranov red funkcije f u
taˇcki a:
∞
∑
c−1
f (z) =
+
cn (z − a)n ,
z − a n=0
odakle sledi
c−1 = lim (z − a)f (z).
z→a
(4.13)
g(z)
Opˇstije, neka je f (z) = h(z)
analitiˇcka u nekom prstenu oko taˇcke a, pri
ˇcemu je g(a) ̸= 0, h(a) = 0 i h′ (a) ̸= 0. Na osnovu razvoja funkcije h u
ˇ
4.1. LORANOV RED I RACUN
OSTATKA
91
Tejlorov red oko taˇcke a, sledi da postoji analitiˇcka funkcija h1 , tako da je
h(z) = (z − a)h1 (z) i h′ (a) = h1 (a) ̸= 0. Funkcija h11(z) je analitiˇcka u taˇcki a.
Razvojem funkcija g i h1 u Tejlorov red oko taˇcke a, lako je zakljuˇciti da je
g(z)
taˇcka a pol prvog reda funkcije f (z) = (z−a)h
. Prema prethodnoj formuli
1 (z)
vaˇzi
(z − a)g(z)
g(z)
g(a)
Res f = lim
= lim h(z)−h(a) = ′ .
(4.14)
a
z→a
z→a
h(z)
h (a)
z−a
Neka sada funkcija f ima pol reda n u taˇcki a. Tada je
∑
c−n
c−n+1
c−1
f (z) =
+
+
·
·
·
+
+
ck (z − a)k .
(z − a)n (z − a)n−1
z − a k=0
∞
Mnoˇzenjem prethodnog izraza sa (z −a)n , zatim diferenciranjem (n−1) puta
po z, sledi
1
lim [(z − a)n f (z)](n−1) .
(4.15)
c−1 =
(n − 1)! z→a
Definicija 4.1.3. Neka je taˇcka ∞ izolovan singularitet funkcije f , i neka je
f analitiˇcka u prstenu P (∞; R). Ako je r > R, tada je ostatak funkcije f u
taˇcki ∞ jednak
∫
1
Res f =
f (z)dz,
∞
2πi
γr −
gde je γr− kruˇznica orijentisana u smeru kretanja kazaljke na ˇcasovniku.
I u ovom sluˇcju je Res f = c−1 , gde je c−1 prvi koeficijent glavnog dela
∞
Loranovog reda funkcije f u okolini taˇcke ∞.
Teorema 4.1.8. (o potpunoj sumi ostataka) Neka je f analitiˇcka u skupu
C sa izuzetkom konaˇcnog skupa taˇcaka {a1 , . . . , ak }. Tada je
k
∑
j=1
Res f + Res f = 0.
aj
∞
Dokaz. Neka je γr kruˇznica polupreˇcnika r, sa svojstvom da je r > |aj | za
svako j = 1, . . . , k. Prema Koˇsijevoj teoremi o ostacima sledi
∫
n
∑
1
f (z)dz =
Res f.
aj
2πi
j=1
Osim toga, Res f =
∞
1
2πi
∫
γr−
γr
f (z)dz.
92
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
Primer 4.1.3. Izraˇcunati
∫
γ
dz
,
(z 6 +1)2
gde je γ kruˇznica sa centrom u koordi-
natnom poˇcetku, polupreˇcnika 2, orijentisana suprotno kretanju kazaljke na
ˇcasovniku.
Reˇsenje. Svih ˇsest polova funkcije f (z) = (z 6 + 1)−2 nalaze se unutar
pomenute kruˇznice γ. Oznaˇcimo te polove sa a1 , . . . , a6 . Tada je
∫
6
∑
1
dz = 2πi
Res f.
aj
(z 6 + 1)2
j=1
γ
Sa druge strane, prema teoremi o potpunoj sumi ostataka, vaˇzi
6
∑
j=1
Res f + Res f = 0.
aj
∞
Funkcija f je analitiˇcka u okolini taˇcke ∞, odakle sledi Res f = 0. Tada je i
∞
traˇzeni integral jednak nuli.
Primer 4.1.4. Izraˇcunati integral
∫
γ
z2
dz,
(z 2 + 1)(z − 2)
ako je γ pozitivno orijentisana kruˇznica |z| = 4.
Reˇsenje.
z2
.
(z 2 +1)(z−2)
Unutar konture γ nalaze se sva tri pola i, −i, 2 funkcije f (z) =
Sada je
1
,
i
z→i
2i(2 − i)
1
Res f = lim (z + i)f (z) = −
,
−i
z→−i
2i(2 + i)
4
Res f = lim (z − 2)f (z) = .
2
z→2
5
Res f = lim(z − i)f (z) =
Na kraju,
(
∫
f (z)dz = 2πi
γ
1
4
1
−
+
2i(2 − i) 2i(2 + i) 5
)
= 2πi. △
ˇ
4.1. LORANOV RED I RACUN
OSTATKA
93
Primer 4.1.5. Izraˇcunati nesvojstveni parametarski integral
∫+∞
I(t) =
−∞
eitx
dx (t ∈ R).
1 + x2
Reˇsenje.
Navedeni integral postoji, jer je modul podintegralne funkci1
je odozgo ograniˇcen integrabilnom funkcijom 1+x
2 na intervalu (−∞, +∞).
Prema tome,
∫+R itx
e
I(t) = lim
dx.
R→+∞
1 + x2
−R
Ako je t = 0, onda je oˇcigledno
∫+∞
I(0) =
−∞
dx
= π.
1 + x2
Pretpostavimo da vaˇzi t > 0. Neka je γR : |z| = R, Im z > 0, gornja
polukruˇznica polupreˇcnika R sa centrom u koordinatnom poˇcetku, orijentisana suprotno kretanju kazaljke na ˇcasovniku. Neka je γ segment [−R, R]
realne ose u C, orijentisan s leva na desno i R > 1. Tada je unutar konture
γR + γ sadrˇzan jedan pol z = i reda 1 funkcije
f (z) =
eitz
.
1 + z2
Proizilazi da je
e−t
.
i
2i
Na osnovu Koˇsijeve teoreme o ostacima sledi
Res f =
∫R
∫
f (x)dx +
−R
f (z)dz = πe−t .
γR
Neka je z = x + iy. Ako je z ∈ γR , tada je y ≥ 0 i |eitz | = |e−ty | ≤ 1.
Takod¯e je |z 2 + 1| ≥ R2 − 1. Sledi
∫
itz
e
≤ πR → 0 (R → +∞).
dz
1 + z 2 R2 − 1
γR
94
Tada je
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
∫
f (z)dz = 0, jer vrednost ovog integrala ne zavisi od izbora broja
γR
R > 1. Sledi da je
I(t) = πe−t .
Ako je t < 0, situacija se neznatno menja. Naime, sada je za procenu
|e−ty | ≤ 1 potreban donji polukrug polupreˇcnika R, koji je orijentisan u
smeru kretanja kazaljke na ˇcasovniku. U ovom sluˇcaju, posle jednostavnog
raˇcuna sledi
I(t) = πet .
Konaˇcan rezultat je
∫+∞
−∞
eitx
dx = πe−|t| .
2
1+x
ˇ
Na kraju, dokazujemo Zordanovu
lemu, koja je korisna u izraˇcunavanjima
sliˇcnim prethodnom primeru.
ˇ
Teorema 4.1.9. (Zordanova
lema) Neka je funkcija f analitiˇcka u skupu
+
H = {z ∈ C : Im z ≥ 0}, osim evenutualno u nekom konaˇcnom skupu izolovanih singulariteta iz H + . Neka je γR : |z| = R, Im z ≥ 0} polukruˇznica
orijentisana suprotno kretanju kazaljke na ˇcasovniku, i neka je M (R) =
|f (z)|. Ako je
max
∗
z∈γR
lim M (R) = 0,
R→+∞
tada za t > 0 vaˇzi
∫
f (z)eitz dz = 0.
lim
R→+∞
γR
Dokaz. Neka je γR1 : z = Reiφ , 0 ≤ φ ≤ π/2}, kao i γR2 : z = Reiφ , π/2 ≤ φ ≤
π}. Funkcija φ 7→ sin φ je konkavna za φ ∈ [0, π/2], odakle sledi sin φ ≥ π2 φ.
Prema tome, za z ∈ (γR1 )∗ vaˇzi
itz e = e−tR sin φ ≤ e− 2tRφ
π ,
ˇ
4.1. LORANOV RED I RACUN
OSTATKA
95
odakle sledi
∫
∫
itz
f (z)e dz ≤ M (R) |eitz |ds
γ 1
γ1
R
R
∫π/2
2tRφ
π
≤ M (R) e− π Rdφ = M (R) (1 − e−tR ).
2t
Oˇcigledno, lim
R→+∞
∫
0
f (z)eitz dz = 0. Ocena integrala po krivoj γR2 sledi analogno.
1
γR
Primer 4.1.6. Izraˇcunati integrale
∫+∞
x sin x
dx,
x2 + a2
0
∫+∞
x cos x
dx, .
x2 + a2
0
Reˇsenje. Kod prvog integrala podintegralna funkcija je parna, stoga je
1
I=
2
∫+∞
−∞
x sin x
dx.
x2 + a2
z
.
z 2 +a2
Neka je R > 0 i f (z) =
Sa γ1 oznaˇcimo duˇz koja spaja taˇcke (−R, 0)
i (R, 0), a γ2 neka je polukruˇznica u gornjoj poluravni sa centrom u koordinatnom poˇcetku polupreˇcnika R. Ako je R > a, onda se unutar konture
γ = γ1 + γ2 nalazi jedan pol funkcije g(z) = f (z)eiz , i to z0 = ai. Stoga je
∫
zeiz
πi
f (z)eiz dz = 2πi Res f = 2πi lim
= a.
ai
z→ai z + ai
e
γ1 +γ2
Vaˇzi nejednakost |z 2 + a2 | ≥ |z 2 | − a2 . Prema tome, ako je z ∈ γ2 , onda
je
R
= M (R).
− a2
ˇ
Oˇcigledno je lim M (R) = 0. Prema Zordanovoj
lemi, vaˇzi
R→+∞
∫
f (z)eiaz dz = 0.
lim
|f (z)| ≤
R→+∞
γ2
R2
96
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
Sada sledi da je
∫
lim
R→+∞
zeiz
πi
= a.
2
2
z +a
e
γ1
Konaˇcno, razdvajaju´ci realan i imaginaran deo, sledi rezultat
∫+∞
x sin x
π
dx = a ,
2
2
x +a
2e
0
4.2
4.2.1
∫+∞
x cos x
dx = 0.
x2 + a2
0
Princip argumenta i princip maksimuma
modula
Red nule i red pola
Neka je f analitiˇcka funkcija u okolini taˇcke a ∈ C. Ako je taˇcka a nula
reda n funkcije f , onda na osnovu Tejlorovog reda funkcije f u okolini taˇcke
a, postoji analitiˇcka funkcija g u okolini taˇcke a, sa svojstvom f (z) = (z −
a)n g(z) u okolini taˇcke a, i g(a) ̸= 0. Tada je
f ′ (z)
1
=
h(z),
f (z)
z−a
gde je
h(z) =
ng(z) + (z − a)g ′ (z)
.
g(z)
Funkcija h je analitiˇcka u okolini taˇcke a i h(a) = n. Tejlorov razvoj funkcije
h u okolini taˇcke a jeste
h(z) = n + c1 (z − a) + c2 (z − a)2 + · · ·
i
f ′ (z)
n
=
+ c1 + c2 (z − a) + · · ·
f (z)
z−a
Oˇcigledno je
Res
a
f′
= n.
f
4.2. PRINCIP ARGUMENTA I PRINCIP MAKSIMUMA MODULA
97
Ako je taˇcka a pol reda p funkcije f , tada je taˇcka a nula reda p funkcije
1
g(z) = f (z)
. Primenimo prethodno razmatranje na funkciju g. Tada je
Res
a
Oˇcigledno je
g′
g
g′
= p.
g
′
= − ff i
Res
a
f′
= −p.
f
Teorema 4.2.1. Neka je funkcija f meromorfna u oblasti G. Neka je γ
kontura u G, ˇcija je unutraˇsnjost oblast D sa svojstvom D ⊂ G. Neka je N
broj nula funkcije f (z) u D, a P broj polova funkcije f u D. Podrazumevamo
da je svaka nula (pol) uzeta u obzir onoliko puta koliki je njen (njegov) red.
Tada je
∫ ′
f (z)
1
N −P =
dz,
2πi
f (z)
γ
pri ˇcemu je γ pozitivno orijentisana u odnosu na D i γ ne sadrˇzi nule niti
polove funkcije f .
Dokaz. Na osnovu teoreme o jedinstvenosti, funkcije f i f1 mogu imati samo
konaˇcno mnogo nula u kompaktu D. Sledi da su brojevi N i P konaˇcni. Neka
su a1 , . . . , al sve nule funkcije f u D, a b1 , . . . , bk svi polovi funkcije f u D.
′
Iz ˇcinjenice da γ ne sadrˇzi nule i polove funkcije f , sledi da je ff analitiˇcka
funkcija u nekoj okolini skupa γ. Prema Koˇsijevoj teoremi o ostacima i prema
prethodnom razmatranju, sledi da vaˇzi
1
2πi
∫
γ
∑
f ′ (z)
f′ ∑
f′
dz =
Res +
Res = N − P.
aj f
bj f
f (z)
j=1
j=1
l
k
Neka je γ = γ(t) (t ∈ [a, b]) putanja u C. Posmatramo funkciju z 7→
arg z, dok se z kre´ce po konturi γ od taˇcke γ(a) do taˇcke γ(b). Uoˇcavamo
jednu (proizvoljnu i neprekidnu) granu ove funkcije. Tada se veliˇcina ∆γ z
naziva priraˇstaj funkcije z 7→ arg z dok se z kre´ce od taˇcke γ(a) do taˇcke
γ(b). Oˇcigledno, nije bitno koja neprekidna grana ove viˇseznaˇcne funkcije se
posmatra.
Prethodna teorema moˇze biti formulisana i na slede´ci naˇcin.
98
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
Teorema 4.2.2. (Princip argumenta) Neka je f meromorfna funkcija u
oblasti G i neka je γ kontura u G sa svojstvom da je unutraˇsnja oblast D konture γ sadrˇzana u G. Prtpostavimo da γ ne sadrˇzi nule niti polove funkcije f
i da je γ pozitivno orijentisana u odnosu na D. Ako je N ukupan broj nula,
a P ukupan broj polova funkcije f u oblasti D, uzimaju´ci u obzir i njihove
viˇsestrukosti, tada je
1
N −P =
∆γ arg f (z),
2π
pri ˇcemu je ∆γ arg f (z) priraˇstaj argumenta funkcije f duˇz konture γ.
Dokaz. Neka je Φ(z) = lnk (f (z)) = ln |f (z)| + i Arg f (z) + 2kπi. Tada je
′ (z)
Φ(z) primitivna funkcija funkcije ff (z)
, pri ˇcemu biramo neprekidnu promenu
′
(z)
argumenta funkcije z 7→ f (z) duˇz konture γ. Funkcija ff (z)
je analitiˇcka u
okolini krive γ: z = z(t), t ∈ [a, b]. Primitivna funkcija je neprekidna duˇz
konture γ i prema Njutn-Lajbnicovoj formuli vaˇzi
∫ ′
f (z)
dz = Φ(z(b)) − Φ(z(a)) = i [arg f (z(b)) − arg f (z(a))] ,
f (z)
γ
pri ˇcemu uzimamo neprekidnu promenu argumenta duˇz konture γ. Prema
prethodnoj teoremi sledi
N −P =
4.2.2
1
∆γ arg f (z).
2π
Geometrijska interpretacija
Posmatramo neprekidne promene argumenta taˇcke z koja se kre´ce po nekoj
konturi γ. Interesuje nas priraˇstaj argumenta arg z pilikom jednog obilaska
konture γ. Oˇcigledno, priraˇstaj je 2π ako i samo ako se unutar konture γ
1
∆γ arg z upravo
nalazi taˇcka 0. Ukoliko z viˇse puta obid¯e konturu γ, tada je 2π
broj obilazaka konture γ oko taˇcke 0. Ovaj broj nazivamo indeksom konture
γ u odnosu na taˇcku 0, oznaci Ind0 γ. Videtio sekciju ??.
Neka je w = f (z) i neka je Γ slika konture γ presilkavanjem z 7→ f (z).
Tada je Γ zatvorena kriva, koja eventualno ima taˇcke samopreseka. Sada je
1
1
∆γ arg f (z) =
∆Γ arg w
2π
2π
4.2. PRINCIP ARGUMENTA I PRINCIP MAKSIMUMA MODULA
99
i ovaj broj je jednak broju obilazaka w = f (z) oko taˇcke 0.
Prema prethodnim razmatranjima, princip argumenta moˇze biti formulisan
i na slede´ci naˇcin.
Teorema 4.2.3. Ako su ispunjeni uslovi prethodne teoreme, tada je
N −P =
1
Ind0 Γ.
2π
Sva prethodna razmatranja mogu biti primenjena na broj reˇsenja jednaˇcine
f (z) = a u oblasti D. Dovoljno je razmatrati pomo´cnu funkciju F (z) =
f (z) − a.
Jedna posledica principa arumenta je rezultat Ruˇsea.
Teorema 4.2.4. (Ruˇse3 ) Neka je γ kontura, koja ograniˇcava oblast G, i neka
su f i g analitiˇcke funkcije u nekoj okolini oblasti G. Ako je
|f (z)| > |g(z)|
za svako z ∈ γ ∗ ,
tada f i f + g imaju jednak broj nula u G.
Dokaz. Oˇcigledno, f i f + g (nemaju nula
) na γ (|f + g| ≥ |f | − |g| > 0 na γ).
g(z)
Tada je f (z) + g(z) = f (z) 1 + f (z) . Na osnovu osobine argumenta, koji
biramo tako da je njegova promena duˇz konture γ neprekidna, sledi da vaˇzi
(
)
g(z)
∆γ arg(f (z) + g(z)) = ∆γ arg f (z) + ∆γ arg 1 +
.
f (z)
< 1 na skupu γ. Stoga taˇcka 1 + fg(z)
nikada ne obid¯e taˇcku 0 i
Vaˇzi fg(z)
(z) (z)
(
)
∆γ arg 1 + fg(z)
= 0. Prema tome, vaˇzi
(z)
∆γ arg(f (z) + g(z)) = ∆γ f (z)
i prema Principu argumenta sledi tvrd¯enje ove teoreme.
Teorema Ruˇsea moˇze biti formulisana i na slede´ci naˇcin.
Teorema 4.2.5. (Ruˇse) Pretpostavimo da su funkcije f, g meromorfne u
okolini diska D[a, R], tako da funkcije f, g nemaju nula ni polova na skupu
3
Eug`ene Rouch´e (1832-1910), francuski matematiˇcar
100
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
γ ∗ = {z : |z − a| = R}. Neka su Zf i Pf , redom, broj nula i broj polova
funkcije f u otvorenom disku γ ∗ raˇcunaju´ci i njihove viˇsestrukosti.
Ako je
|f (z) + g(z)| < |f (z)| + |g(z)|, z ∈ γ ∗ ,
tada je
Zf − Pf = Zg − Pg .
Poznato je da neprekidne funkcije na zatvorenom i ograniˇcenom skupu
dostiˇzu svoj maksimum i minimum. Ako je f analitiˇcka funkcija u oblasti G,
tada je |f | neprekidna funkcija na G. Interesantno je da tada |f | ne moˇze
dosti´ci maksimum u skupu G, ve´c eventualno samo na rubu oblasti G.
Teorema 4.2.6. (Princip maksimuma modula) Neka je f analitiˇcka u skupu
G. Tada, ili je f konstantna u G, ili |f | nema lokalnih maksimuma u G.
Dokaz. Pretpostavimo da |f | dostiˇze lokalni maksimum A u taˇcki z0 ∈ G,
odnosno |f (z0 )| = A. Posmatramo skup D = {z ∈ G : |f (z)| = A}, koji je
neprazan. Funkcija
lnk f (z) = ln |f (z)| + i arg z + 2kπi = ln A + i arg z + 2kπi
je analitiˇcka. Realni deo ove funkcije je konstanta na skupu D. Na osnovu
Koˇsi-Rimanovih uslova sledi da je i z 7→ lnk f (z) konstantna funkcija na D.
Sada su mogu´ca dva sluˇcaja. Ako skup D ima taˇcku nagomilavanja u
G, prema principu jednistvenosti za analitiˇcke funkcije sledi da je lnk f (z)
konstantna funkcija u G, odakle proizilazi da je f konstantna funkcija u G.
Pretpostavimo da D nema taˇcku nagomilavanja u G. Tada postoji kruˇznica
γr u G, sa centrom u z0 nekog polupreˇcnika r, sa svojstvom da je |f (z)| ≤
N < M za svako z ∈ γr . Prema Koˇsijevoj integralnoj formuli sledi da vaˇzi
∫
1
f (z)
f (z0 ) =
dz.
2πi
z − z0
γr
Takod¯e je |z − z0 | = r za svako z ∈ γr . Ako je γr : z = z0 + reit , t ∈ [0, 2π],
tada je
∫
|f (z)|
1
ds ≤ N < M,
M = |f (z0 )| ≤
2π
r
γr
ˇsto je nemogu´ce. Sledi da ako f nije konstantna funkcija u G, onda |f | nema
lokalni maksimum u G.
4.2. PRINCIP ARGUMENTA I PRINCIP MAKSIMUMA MODULA 101
Posledica 4.2.1. Neka je G ograniˇcena oblast, neka je f analitiˇcka nekonstantna funkcija u G, tako da je f neprekidna na G. Tada |f | dostiˇze svoj
maksimum na rubu skupa G.
Dokaz. Skup G je kompaktan. Stoga neprekidna funkcija |f | dostiˇze svoj
maksimum na G. Na osnovu Principa maksimuma modula sledi da ovaj
maksimum ne moˇze biti u G, stoga mora biti na rubu skupa G.
Primer 4.2.1. Dokazati da jednaˇcina z 4 + az + b = 0, a, b > 0, u prvom
kvadrantu kompleksne ravni ima taˇcno jedno reˇsenje.
Reˇsenje. Pretpostavimo da je R > 0. Neka je γ1 duˇz koja spaja taˇcku
O(0, 0) sa taˇckom A(R, 0), γ2 je kruˇzni luk polupreˇcnika R sa centrom u
koordinatnom poˇcetku, koji spaja taˇcku A sa taˇckom B(0, Ri), neka je γ3
duˇz koja spaja taˇcku B i taˇcku O. Funkcija f nema polova, stoga prema
ranijoj teoremi vaˇzi
1
N=
∆γ arg f (z),
2π
gde je γ = γ1 + γ2 + γ3 . Pri tome, naravno, treba pokazati da na konturama
γi funkcija f nema nula. Oˇcigledno je
∆γ arg f (z) = ∆γ1 arg f (z) + ∆γ2 arg f (z) + ∆γ2 arg f (z).
Ako je z ∈ γ1 , tada je z ≥ 0, odakle sledi f (z) > 0. Prema tome,
∆γ1 arg f (z) = 0. Odavde specijalno sledi da f nema nula na γ1 .
Za dovoljno veliko R funkcija f nema nula na γ2 . Ako je z ∈ γ2 , onda
za dovoljno veliko R vaˇzi f (z) = z 4 + o(z 4 ). Ako je z = |z|eiφ , tada je
z 4 = |z|4 e4iφ , φ ∈ [0, π/2]. Prema tome, ∆γ2 arg f (z) → 2π kada R → +∞.
Ako je z = iy na krivoj γ3 , tada je f (z) = y 4 + b + iay. Oˇcigledno,
f (z) ̸= 0 za svako z = iy, y ≥ 0, odnosno f nema nula na γ3 . Takod¯e je
∆γ3 arg f (z) → 0 kada R → +∞.
Na kraju sledi da f ima taˇcno jednu nulu u prvom kvadrantu.△
2
Primer 4.2.2. Funkcija P definisana je{ sa P (z) = z 5 −
} 12z + 14. Dokazati
5
da sve nule funkcije P leˇze u prstenu z : 1 ≤ |z| < 2 . Odrediti koliko se
nula funkcije P nalazi u prstenu {z : 1 ≤ |z| < 2}.
Reˇsenje. Neka je f (z) = z 5 i g(z) = −12z 2 + 14. Ako je |z| = 52 , onda vaˇzi
|g(z)| = | − 12z 2 + 14| ≤ 12|z|2 + 14 = 89 i |f (z)| = |z|5 =
3225
.
32
102
GLAVA 4. MEROMORFNE FUNKCIJE
Prema tome, vaˇzi |g(z)| < |f (z)| na kruˇznici γ : |z| = 25 . Neka je D1 krug sa
centrom u koordinatnom poˇcetku polupreˇcnika 52 . Na osnovu teoreme Ruˇsea
sledi da funkcije f i f + g imaju jednak broj nula u krugu D1 . Svih pet nula
funkcije f nalazi se u krugu G, odakle sledi da se i svih pet nula funkcije
P = f + g nalazi u krugu D1 .
Neka je sada F (z) = 14, G(z) = z 5 − 12z 2 . Neka je |z| = 1. Tada vaˇzi
|G(z)| = |z 5 − 12z 2 | ≤ 13 i |F (z)| = 14,
odnosno |G(z)| < |F (z)|. Neka je D2 krug sa centrom u koordinatnom
poˇcetku polupreˇcnika 1. Prema Ruˇseovoj teoremi, sledi da funkcije F i P =
F + G u krugu D2 imaju isti broj nula, odnosno P nema ni jednu nulu u
krugu D2 .
Prema tome, sve nule funkcije P nalaze se u prstenu
{
}
5
z : 1 ≤ |z| <
.
2
Neka je a(z) = z 5 + 14, b(z) = −12z 2 . Ako je |z| = 2, onda je
|a(z)| = |z 5 + 14| ≤ 46 i |b(z)| = | − 12z 2 | = 48,
odnosno |a(z)| < |b(z)|. Prema tome, funkcije b i P = a + b imaju jednak
broj nula u krugu polupreˇcnika 2. To znaˇci da imaju po dve nule u tom
krugu.
Zakljuˇcak je da funkcija P u prstenu {z : 1 ≤ |z| < 2} ima dve nule.
Glava 5
Prostori funkcija
5.1
Relativna kompaktnost u prostoru
neprekidnih funkcija
Neka je (X, d) metriˇcki prostor, pri ˇcemu je X ̸= ∅. Ako je V otvoren skup
C, onda je C(V, X) skup svih neprekidnih funkcija iz V u X. Skup C(V, X)
je neprazan, jer sadrˇzi konstantne funkcije.
Dokazujemo slede´ci rezultat o umetanju kompaktnih skupova u otvorene
podskupove kompleksne ravni.
Teorema 5.1.1. Ako je V otvoren skup u C, tada postoji niz (Kn )n kompaktnih skupova u C, tako da vaˇzi:
∞
∪
Kn ;
(1) V =
n=1
(2) Kn ⊂ int Kn+1 ;
(3) Ako je K kompaktan podskup u C i K ⊂ V , tada je K ⊂ Kn za neko
n ∈ N;
(4) Svaka komponenta skupa C \ Kn sadrˇzi neku komponentu skupa C \ V .
Dokaz. Skup V je otvoren, te je C \ V zatvoren u C. Dakle, za svako z ∈ C,
z ∈ C{ \ V ako i samo ako
} je d(z, C \ V ) = 0. Ako je n ∈ N, neka je
Fn = z : d(z, C \ V ) ≥ n1 . Funkcija z 7→ d(z, C \ V ) je neprekidna, odakle
sledi da je skup Fn zatvoren. Neka je
Kn = D[0; n] ∩ Fn ,
103
n ∈ N.
104
GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA
Skup Kn je zatvoren i ograniˇcen, te je kompaktan. Takod¯e je Kn ∩ (C \
∞
∪
V ) = ∅, i stoga je Kn ⊂ V za svako n ∈ N. Inkluzija
Kn ⊂ V je
n=1
oˇcigledna. Sa druge strane, ako je z ∈ V , onda postoji n1 ∈ N tako da je
|z| ≤ n1 . Na osnovu d(z, C \ V ) > 0, sledi da postoji n2 ∈ N tako da je
d(z, C \ V ) ≥ n12 . Ako je n3 = max{n1 , n2 }, onda je oˇcigledno z ∈ Kn3 .
∞
∪
Dokazali smo V =
Kn , odnosno vaˇzi tvrd¯enje (1).
n=1
Posmatrajmo sada (oˇcigledno otvoren) skup
{
Vn = {z ∈ C : |z| < n + 1} ∩ z ∈ C : d(z, C \ V ) >
1
n+1
}
.
Vaˇzi Kn ⊂ Vn ⊂ Kn+1 . Kako je Vn otvoren, vaˇzi i Vn ⊂ int Kn+1 , te je
Kn ⊂ int Kn+1 . Ovim smo dokazali tvrd¯enje (2).
∞
∪
int Kn . Neka je
Na osnovu Kn ⊂ int Kn+1 jednostavno sledi i V =
K kompaktan skup u C i K ⊂ V =
∞
∪
n=1
int Kn . Na osnovu osobina kom-
n=1
paktnih skupova, prethodno pokrivanje skupa K se moˇze svesti na konaˇcno
pokrivanje. Sledi da postoje n1 . . . , nl ∈ N, tako da je n1 < · · · < nl i
K⊂
l
∪
int Knj = int Knl ⊂ Knl .
j=1
Na taj naˇcin smo dokazali (3).
Iz Kn ⊂ V sledi C \ V ⊂ C \ Kn . Dakle, ako je G komponenta skupa
C \ V , tada je G sadrˇzana u nekoj komponenti skupa C \ Kn .
Obrnuto, neka je G komponenta skupa C \ Kn . Pretpostavimo prvo
∞ ∈ G. Tada postoji komponenta H skupa C \ V koja sadrˇzi ∞, jer ∞ ∈
/ V.
Oˇcigledno, mora biti G ⊃ H.
Neka je sada B komponenta skupa C \ Kn koja ne sadrˇzi taˇcku ∞. Tada
postoji taˇcka z ∈ B sa svojstom d(z, C \ V ) < n1 . Po definiciji rastojanja
taˇcke od skupa, sledi da postoji w ∈ C \ V tako da je |w − z| < n1 . Tada je
(
)
z ∈ D w; n1 ⊂ C \ Kn . Svaki disk je povezan skup. Na osnovu z ∈ B sledi
(
)
D w; n1 ⊂ B. Ako je B1 komponenta od C \ V koja sadrˇzi w, onda sledi da
je B1 ⊂ B. Time je dokazano tvrd¯enje (4).
5.1. RELATIVNA KOMPAKTNOST
105
Nadalje, ako je V otvoren skup, posmatramo neko pokrivanje
V =
∞
∪
Kn
(5.1)
n=1
skupa V , koje zadovoljava osobine Teoreme 5.1.1. Postoji viˇse takvih pokrivanja, ali za naˇse potrebe pokaza´ce se da je dovoljno razmatrati samo jedno
pokrivanje.
Ako je f, g ∈ C(V, X), onda definiˇsemo funkcije
n
ρn (f, g) = sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ Kn } = dK
∞ ,
n ∈ N.
Takod¯e definiˇsemo
ρ(f, g) =
∞ ( )n
∑
1
n=1
2
ρn (f, g)
.
1 + ρn (f, g)
Jednostavno je proveriti, na osnovu poredbenog kriterijuma, da poslednji
red konvergira. Sledi da je ρ dobro definisana funkcija na C(V, X). Takod¯e,
funkcija ρ zavisi od izbora niza komapktnih skupova (Kn )n u (5.1).
Dokazujemo da je ρ metrika na C(V, X).
Teorema 5.1.2. Neka je V otvoren podskup od C, i neka je (X, d) metriˇcki
prostor. Tada je (C(V, X), ρ) metriˇcki prostor.
Dokaz. Jednostavno sledi ρ(f, g) = ρ(g, f ) za svako f, g ∈ C(V, X). Nejednakost trougla vaˇzi za svaku funkciju ρn , te sledi da nejednakost trougla sledi
∞
∪
Kn sledi da ako je ρ(f, g) = 0, onda je f = g.
i za ρ. Na kraju, iz V =
n=1
Nadalje smatramo da je ρ standardna metrika na prostoru C(V, X).
Teorema 5.1.3. Posmatrajmo metriˇcki prostor (C(V, X), ρ).
(a) Za svako ϵ > 0 postoji δ > 0 i postoji kompakt K ⊂ V , tako da za
svako f, g ∈ C(V, X) vaˇzi implikacija
dK
∞ (f, g) = sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} < δ =⇒ ρ(f, g) < ϵ.
(b) Za svako δ > 0 i svaki kompakt K ⊂ V , postoji ϵ > 0, tako da za
svako f, g ∈ C(V, X) vaˇzi implikacija
ρ(f, g) < ϵ =⇒ dK
∞ (f, g) = sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} < δ.
106
GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA
Dokaz. (a) Neka je ϵ > 0 proizvoljno. Postoji p ∈ N tako da je
∞ ( )
∑
1 n
n=p+1
1
ϵ.
2
2
<
t
Neka je K = Kp . Na osnovu lim 1+t
= 0, sledi da postoji δ > 0, tako
t→0
da za svako t koje ispunjava uslov 0 < t < δ, vaˇzi
f, g ∈ C(V, X) funkcije, koje zadovoljavaju uslov
t
1+t
<
1
ϵ.
2
Neka su
dK
∞ (f, g) = sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} < δ.
Kako je Kn ⊂ Kp = K za 1 ≤ n ≤ p, sledi da je ρn (f, g) < δ za 1 ≤ n ≤ p.
Sledi da je
ρn (f, g)
1
< ϵ
1 + ρn (f, g)
2
za svako 1 ≤ n ≤ p. Prema tome, sledi
)
p ( )n (
∞ ( )n
∑
∑
1
1
1
ρ(f, g) <
ϵ +
< ϵ.
2
2
2
n=1
n=p+1
(b) Pretpostavimo sada da je dat kompakt K i δ > 0. Tada postoji p ∈ N
tako da je K ⊂ Kp . Sledi da za svako f, g ∈ C(V, X) vaˇzi
ρp (f, g) ≥ sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} = dK
∞ (f, g).
s
t
Neka je ϵ > 0 odabrano tako da 0 ≤ s < 2p ϵ implicira 1−s
< δ. Tada 1+t
<
ρ
(f,g)
2p ϵ implicira t < δ. Prema tome, ako je ρ(f, g) < ϵ, onda je 1+ρp p (f,g) < 2p ϵ,
odakle sledi ρp (f, g) < δ.
Teorema 5.1.4. (a) Skup U ⊂ C(V, X) je otvoren u odnosu na metriku ρ,
ako i samo ako za svako f ∈ U postoji kompakt K ⊂ V , i postoji δ > 0, tako
da
U ⊃ {g ∈ C(V, X) : d(f (z), g(z)) < δ za svako z ∈ K}.
(b) Niz (fn )n u metriˇckom prostoru (C(V, X), ρ) konvergira ka funkciji
f ∈ C(V, X) u odnosu na metriku ρ, ako i samo ako niz (fn )n konvergira ka
funkciji f ravnomerno kompaktnim podskupovima od V .
Drugim reˇcima, niz (fn )n je konvergentan u metriˇckom prostoru (C(V, X), ρ),
ako i samo ako za svaki kompakt K ⊂ V niz (fn )n je konvergentan u prostoru
(C(K, X), dK
∞ ).
(c) Niz (fn )n je Koˇsijev u metriˇckom prostoru (C(V, X), ρ), ako i samo
ako za svaki kompakt K ⊂ V je niz (fn )n Koˇsijev u prostoru (C(K, X), d∞ ).
5.1. RELATIVNA KOMPAKTNOST
107
Dokaz. (a) Pretpostavimo da je U ⊂ C(V, X) otvoren i neka je f ∈ U .
Postoji ϵ > 0 tako da U ⊃ {g : ρ(f, g) < ϵ}. Prema prethodnom Tvrd¯enju
5.1.3 (a) sledi da postoji δ > 0 i kompakt K sa traˇzenim osobinama.
Obrnuto, pretpostavimo da U ima navedene osobine. Neka je f ∈ U . Na
osnovu Tvrd¯enja 5.1.3 (b) sledi da postoji ϵ > 0 tako da U ⊃ {g : ρ(f, g) < ϵ}.
Odavde sledi da je U otvoren skup.
(b), (c) Ovaj deo dokaza je jednostavan.
Posledica 5.1.1. Familija otvorenih skupova u C(V, K) ne zavisi od reprezentaci∞
∪
jue V =
Kn .
n=1
Dakle, skup C(V, X) moˇze biti snabdeven bilo kojom metrikom ρ u odnosu
∞
∪
na neko pokrivanje V =
Kn , i time ne´ce biti naruˇsena topologija ovog
prostora.
n=1
Primer 5.1.1. Ako prostor (X, d) nije kompletan, onda nije kompletan ni
prostor (C(V, X), ρ) u odnosu na bilo koju metriku ρ.
Neka je, recimo, (xn )n Koˇsijev niz u X, koji nije konvergentan. Definiˇsemo
konstantna preslikavanja fn : V → X na slede´ci naˇzin: fn (z) = xn . Lako je
dokazati da niz (fn )n jeste Koˇsijev u odnosu na ρ, ali nije konvergentan u
odnosu na ρ.
Teorema 5.1.5. Ako je (X, d) kompletan metriˇcki prostor, onda je (C(V, X), ρ)
kompletan prostor.
Dokaz. Neka je (fn )n Koˇsijev niz u C(V, X). Tada za svaki kompaktan skup
K ⊂ V restrikcije funkcija fn na K daju Koˇsijev niz u C(K, X). Dakle, za
svako δ > 0 postoji n1 ∈ N, tako da vaˇzi
dK
∞ (fn , fm ) = sup{d(fn (z), fm (z)) : z ∈ K} < δ,
(5.2)
ako je n, m ≥ n1 . Specijalno, (fn (z))n je Koˇsijev niz u X. Stoga postoji taˇcka
w ∈ X, tako da je w = f (z) = lim fn (z). Na ovaj naˇcin je definisana funkcija
n→∞
f : V → X. Treba dokazati da je f neprekidna funkcija i ρ(fn , f ) → 0.
Neka je K kompaktan skup i neka je δ > 0. Odaberimo n2 ∈ N tako da
(5.2) vaˇzi za svako n, m ≥ n2 . Za proizvoljno z ∈ K postoji m ≥ n2 tako da
je d(f (z), fm (z)) < δ. Tada sledi da je d(f (z), fn (z)) < 2δ za svako n ≥ n2 .
Kako n2 ne zavisi od izbora z ∈ K, sledi da vaˇzi
dK
∞ (f, fn ) = sup{d(f (z), fn (z)) : z ∈ K} → 0,
n → ∞.
108
GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA
Prema tome, (fn )n konvergira ravnomerno na svakom kompaktu u V . Specijalno, konvergencija je ravnomerna na svakoj zatvorenoj kugli u V , te sledi
da je funkcija f neprekidna.
Podse´camo da je skup A ⊂ X relativno kompaktan, ako i samo ako je
cl A kompaktan.
Skup A ⊂ X je totalno ograniˇcen, ako za svako ϵ > 0 postoji skup
n
∪
K(xk , ϵ).
x1 , . . . , xn ∈ X, tako da je A ⊂
k=1
Ako je A relativno kompaktan, tada je A totalno ograniˇcen. Ako je
X komletan metriˇcki prostor i ako je A totalno ograniˇcen skup, tada je A
relativno kompaktan.
Sada dokazujemo rezultat o relativnoj kompaktnosti u metriˇckom prostoru neprekidnih funkcija.
Teorema 5.1.6. Neka je F ⊂ C(V, X). Tada su slede´ca tvrd¯enja ekvivalentna:
(a) Skup F je relativno kompaktan;
(b) Za svaki kompakt K ⊂ V i svako δ > 0, postoje funkcije f1 , . . . , fn ∈
F, tako da za svako f ∈ F postoji bar jedno k ∈ {1, . . . , n} sa svojstvom
dK
∞ (f, fk ) = sup{d(f (z), fk (z)) : z ∈ K} < δ.
Dokaz. (a) =⇒ (b): Pretpostavimo da je F relativno kompaktan skup. Neka
je K kompaktan podskup od V i neka je δ > 0. Postoji ϵ > 0 tako da vaˇzi
ρ(f, g) < ϵ ⇐⇒ sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} < δ.
Iz ˇcinjenice da je cl F kompaktan skup, sledi da postoji konaˇcna ϵ-mreˇza
{f1 , . . . , fn } skupa F. Dakle,
F⊂
n
∪
{f : ρ(f, fk ) < ϵ}.
k=1
Na osnovu izbora broja ϵ, sledi da vaˇzi
F⊂
n
∪
{f : d(f (z), fk (z)) < δ za svako z ∈ K}.
k=1
Sledi da vaˇzi (b).
5.1. RELATIVNA KOMPAKTNOST
109
(b) =⇒ (a): Ako za skup F vaˇzi (b), onda isti uslov vaˇzi i za skup
cl F. Stoga bez gubljenja opˇstosti moˇzemo pretpostaviti da je cl F zatvoren.
Odmah sledi da je F kompletan, a zatim i da je totalno ograniˇcen. Poˇsto je
(C(V, X), ρ) kompletan metriˇcki prostor, sledi da je F relativno kompaktan.
Uvodimo pojam ekvineprekidnosti skupa funkcija.
Definicija 5.1.1. Skup F ⊂ C(V, X) je ekvineprekidan u taˇcki z0 ∈ V , ako
i samo ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0 tako da svako f ∈ F i svako z ∈ V
vaˇzi implikacija
|z − z0 | < δ =⇒ d(f (z), f (z0 )) < ϵ.
Skup F je ravnomerno ekvineprekidan na skupu A ⊂ V , ako za svako
ϵ > 0 postoji δ > 0, tako da za svako f ∈ F i svako z1 , z2 ∈ A vaˇzi implikacija
|z1 − z2 | < δ =⇒ |f (z1 ) − f (z2 )| < ϵ.
Primer 5.1.2. Neka je F = {f }. Tada je F ekvineprekidan u z0 ako i samo
ako je f neprekidna funkcija u z0 . Takod¯e, F je ravnomerno ekvineprekidan
na skupu A ⊂ V ako i samo ako je f ravnomerno neprekidna na skupu A.
Teorema 5.1.7. Ako je skup F ⊂ C(V, X) ekvineprekidan u svakoj taˇcki
skupa V , tada je F ravnomerno ekvineprekidan na svakom kompaktu iz V .
Dokaz. Pretpostavimo da je F ekvineprekidan u svakoj taˇcki skupa G. Neka
je K kompaktant podskup od V , i neka je ϵ > 0. Ako je w ∈ K, tada postoji
δw > 0 tako da za svako w′ ∈ V i svako f ∈ F vaˇzi implikacija
1
|w′ − w| < δw =⇒ d(f (w′ ), f (w)) < ϵ.
2
Skup {D(w; δw ) : w ∈ K} jeste otvoren pokrivaˇc kompakta K.
Prema Lebegovoj teoremi o pokrivanju, postoji δ > 0, tako da za svako
z ∈ K, D(z; δ) jeste sadrˇzan u nekom od navedenih pokrivaˇca.
Neka su, dakle, z1 , z2 ∈ K tako da je |z1 − z2 | < δ. Tada postoji w ∈ K
tako da je z2 ∈ D(z1 ; δ) ⊂ D(w, δw ). Dakle, |z1 − w| < δw i |z2 − w| < δw .
Sledi da je d(f (z1 ), f (w)) < 21 ϵ i d(f (z2 ), f (w)) < 21 ϵ, te je d(f (z1 ), f (z2 )) < ϵ.
Dakle, F je ekvineprekdian na K.
Osnovni rezultat ove sekcije jeste teorema Arcela1 -Askolija2 .
1
2
Cesare Arzel`a (1847-1912), italijanski matematiˇcar
Giulio Ascoli (1843-1896), italijanski matematiˇcar
110
GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA
Teorema 5.1.8. Skup F ⊂ C(V, X) je relativno kompaktan ako i samo ako
su slede´ca dva uslova ispunjena:
(a) Za svako z ∈ V , cl{f (z) : f ∈ F} je kompaktan u X;
(b) F je ekvinaprekidan u svakoj taˇcki iz V .
Dokaz. =⇒ : Pretpostavimo da je F relativno kompaktan skup u C(V, X).
Za fiksirano z ∈ V , funkcija f 7→ f (z) je neprekidna, i ova funkcija preslikava
C(V, X) u X. Kako je cl F kompaktan skup, sledi da je njegova neprekidna
slika takod¯e kompaktan skup u X, odakle sledi (a).
Neka je z0 ∈ V i ϵ > 0. Postoji R > 0 tako da je K = D[z0 ; R] ⊂ V i K
je komapktan skup. Postoje funkcije f1 , . . . , fn ∈ F tako da za svako f ∈ F
postoji neko fk tako da je
ϵ
dK
∞ (f, fk ) = sup{d(f (z), fk (z)) : z ∈ K} < .
3
(5.3)
Svaka funkcija fk je neprekidna, te sledi da postoji δk > 0, tako da je δk < R
i za svako z ∈ V vaˇzi implikacija
ϵ
|z − z0 | < δk =⇒ d(fk (z), fk (z0 )) < 3.
/
Neka je δ = min{δ1 , . . . , δn }. Tada vaˇzi
ϵ
|z − z0 | < δ =⇒ d(fk (z), fk (z0 )) < 3.
/
za svako 1 ≤ k ≤ n. Prema tome, ako je |z − z0 | < δ, f ∈ F i k je odbarano
tako da vaˇzi (5.3), onda vaˇzi
d(f (z), f (z0 )) ≤ d(f (z), fk (z)) + d(fk (z), fk (z0 )) + d(fk (z0 ), f (z0 )) < ϵ.
Sledi da je F ekvineprekidna u z0 .
⇐= : Sada pretpostavimo da za familiju F vaˇze svojstva (a) i (b). Treba
dokazati da je F relativno kompaktan skup.
Neka je (zn )n niz svih taˇcaka u V koji ima racionaln realan i imaginaran
deo. Dakle, za svako z ∈ V i svako ϵ > 0 postoji zn , tako da je |z − zn | < ϵ.
Za svako n ∈ N definiˇsemo skup
Xn = cl{f (zn ) : f ∈ F} ⊂ X.
5.1. RELATIVNA KOMPAKTNOST
111
Na osnovu pretpostavke (a), svaki skup Xn je kompaktan u X. Sledi da je
∞
∏
Y =
Xk kompaktan metriˇcki prostor. Za f ∈ F definiˇsemo fˆ ∈ Y na
k=1
slede´ci naˇcin:
fˆ = (f (z1 ), f (z2 ), . . . ).
Neka je sada (fk )k niz u F. Tada je (fˆk )k niz u kompaktnom prostoru Y . Postoji ξ ∈ Y i postoji podniz od (fˆk )k koji konvergira ka ξ u Y . Bez gubljenja
opˇstosti, eventualnim izbacivanjem ˇclanova polaznog niza, pretpostavimo da
je lim fˆk = ξ. To znaˇci
k→∞
lim fk (zn ) = wn ,
k→∞
ξ = (wn )n .
(5.4)
Dokaza´cemo da (fk )k konvergira ka nekoj funkciji f ∈ C(V, X). Prema
(5.4), funkcija f mora zadovoljavati f (zn ) = wn . Dakle, (5.4) daje nam
vrednosti funkcije f na prebrojivom i gustom skupu u V . Koriste´ci ˇcinjenicu
da je familija F ekvineprekdina u svakoj taˇcki, odredi´cemo funkciju f na
celom V .
Dokaza´cemo da je (fk )k Koˇsijev niz. Neka je K kompaktan skup u V i
neka je ϵ > 0. Dovoljno je na´ci m1 ∈ N, tako da za k, j ≥ m1 vaˇzi
dK
∞ (fk , fj ) = sup{d(fk (z), fj (z)) : z ∈ K} < ϵ.
(5.5)
Skup K je kompaktan, odakle sledi R = d(K, ∂V ) > 0. Neka je K1 =
{z ∈ V : d(z, K) ≤ 21 R}. Tada je K1 kompaktan, K ⊂ int K1 ⊂ K1 ⊂ V .
Kako je F ekvineprekidan u svakoj taˇcki iz V , sledi da je F ekvineprekidan
na K1 . Postoji δ, 0 < δ < 12 R, tako da je
d(f (z1 ), f (z2 )) <
ϵ
3
(5.6)
kad god je f ∈ F i z1 , z2 ∈ K1 , |z1 − z2 | < δ. Neka je B skup svih taˇcaka
niza (zn )n koje pripadaju K1 . Ako je z ∈ K, tada postoji zn tako da je
|z − zn | < δ. Med¯utim, δ < 21 R implicira d(zn , K) < 21 R, odnosno zn ∈ K1 .
Dakle, {D(zn ; δ) : u ∈ B} je otvoren pokrivaˇc kompakta K. Sledi da postoje
taˇcke z1 , . . . , zn ∈ B, tako da je
K⊂
n
∪
l=1
D(zl ; δ).
112
GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA
Kako lim fk (zl ) postoji za 1 ≤ l ≤ n na osnovu (5.4), sledi da postoji m1 ∈ N
k→∞
tako da za j, k ≥ m1 vaˇzi
d(fk (wl ), fj (wl )) <
ϵ
3
(5.7)
za l = 1, . . . , n.
Neka je z ∈ K proizvoljna taˇcka i neka je zl sa svojstvom |zl − z| < δ.
Ako je k, j ≥ m1 , onda iz (5.6) i (5.7) sledi
d(fk (z), fj (z)) ≤ d(fk (z), fk (zl )) + d(fk (zl ), fj (zl )) + d(fj (zl ), fj (z)) < ϵ.
Kako je z ∈ K proizvoljna taˇcka, dokazano je (5.5).
5.2
Prostori analitiˇ
ckih funkcija
U ovoj lekciji razmatraju se funkcije f : V → C, pri ˇcemu je V otvoren
podskup od C. Slede´ce oznake su standardne:
H(V ) = {f |f : V → C, f je analitiˇcka u V },
A(V ) = {f |f : cl V → C, f je analitiˇcka u V, f je neprekidna na cl V }.
U skladu sa oznaka u prethodnoj lekciji, oˇcigledno vaˇzi A(V ) ⊂ H(V ) ⊂
C(V, C).
Teorema 5.2.1. Neka je V otvoren podksup of C, neka je f ∈ C(V, C) i
neka je (fn )n niz u H(G).
Ako je lim fn = f u smislu metrike ρ (tj. ravnomerno na kompaktnim
n→∞
podskupovima od V ), tada je f ∈ H(V ).
(k)
Za svako k ∈ N vaˇzi lim fn = f (k) (misli se na izvode reda k) u smislu
n→∞
metrike ρ.
Dokaz. Neka je γ proizvoljna prosta zatvorena putanja u V . Kako je γ ∗
kompakt i lim fn = f , sledi da (fn )n teˇzi ka f ravnomerno na Γ. Koriste´ci
n→∞
osobinu zamene graniˇcne vrednosti i integrala kada je u pitanju ravnomerna
ˇ
5.2. PROSTORI ANALITICKIH
FUNKCIJA
113
konvergencija niza funkcija, kao i osobinu integrala analitiˇcke funkcije na
konturi, sledi da vaˇzi
∫
∫
∫
f (z)dz =
lim fn (z)dz = lim
fn (z)dz = 0.
n→∞
γ
n→∞
γ
γ
Kako je γ proizvoljna prosta zatvorena putanja u V , na osnovu Teoreme
Morere ??, sledi da je f analitiˇcka funkcija u V .
(k)
Neka je sada k ∈ N i posmatrajmo izvode fn i f (k) za fiksirano k ∈ N.
Neka je K proizvoljan kompaktan skup u V . Tada postoji r > 0 tako da je
d(K, C \ V ) > r > 0. Vaˇzi oˇcigledna inkluzija
∪
K⊂
D(a; r) ⊂ V.
a∈K
Na osnovu kompaktnosti skupa K, prethodno otvoreno pokrivanje postaje
konaˇcno pokrivanje, odnosno
K ⊂ D(a1 ; r) ∪ · · · ∪ D(am ; r) ⊂ V.
(k)
Dokaˇzimo da fn konvergira ka f (k) ravnomerno na kompaktnim podskupovima
od D(aj ; r). Kako je D[aj , r] ⊂ V , postoji R > r, tako da je D[aj ; R] ⊂ V .
Sada za svako n ∈ N primenimo Koˇsijevu integralnu formulu za funkciju
(k)
fn − f (k) :
∫
k!
fn (w) − f (w)
(k)
(k)
fn (z) − f (z) =
dw, z ∈ D(aj ; r),
2πi
(w − z)k+1
γj
pri ˇcemu je γj (t) = aj + Reit , t ∈ [0, 2π]. Na osnovu Koˇsijeve teoreme o
proceni izvoda, sledi
|fn(k) (z) − f (k) (z)| ≤
k!Mn R
,
(R − r)k+1
|z − a| ≤ r,
pri ˇcemu je Mn = sup{|fn (w)−f (w)| : |w−aj | = R}. Na osnovu lim fn = f ,
n→∞
(k)
sledi da je lim Mn = 0. Prema tome, fn → f (k) ravnomerno na D[aj ; r].
n→∞
(k)
Kako je j ∈ {1, . . . , m} proizvoljno, sledi da fn → f (k) ravnomerno na
D(a1 , ; r)∪· · ·∪D(am ; r). Samim tim, dokazana je ravnomerna konvergencija
na K.
114
GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA
Posledica 5.2.1. Ako je V otvoren podskup od C, tada je (H(V ), ρ) zatvoren
potprostor od (C(V, C), ρ). Dakle, (H(V ), ρ) je kompletan metriˇcki prostor.
Posledica 5.2.2. Neka je V otvoren podskup od C i neka su fn analitiˇcke
∞
∑
funkcije na V . Ako red
fn konvergira ravnomerno na kompaktnim podn=1
skupovima od V ka funkciji f , tada
f (k) (z) =
∞
∑
fn(k) (z),
k ∈ N, z ∈ V,
n=1
pri ˇcemu poslednji red konvergira ravnomerno na kompaktnim podskupovima
od V .
Prethodna teorema nema analogon med¯u realnim funkcijama realne promenljive. Na primer, svaka neprekidna funkcija na segmentu (pa i neprekidna
funkcija koja nema izvod ni u jednoj taˇcki) jeste ravnomerna graniˇcna vrednost niza polinoma (Vajerˇstrasova teorema). Osim toga, neka je fn (x) = n1 xn
za svako x ∈ [0, 1] i svako n ∈ N. Tada fn → 0 ravnomerno, med¯utim,
fn′ (x) = xn−1 ne teˇzi 0 ravnomerno.
Teorema 5.2.2. (Hurvic) Neka je G oblast u C, i neka je (fn )n niz koji
u prostoru (H(G), ρ) konvergira ka f . Pretpostavimo da f nije identiˇcki
jednaka nuli, D[a; R] ⊂ G za neko a ∈ G i neko R > 0, i neka je f (z) ̸= 0
za svako z sa svojstvom |z − a| = R. Tada postoji n0 ∈ N tako da za svako
n ≥ n0 funkcije f i fn imaju jednak broj nula u disku D(a; R).
Dokaz. Neka je γ ∗ = {z : |z − a| = R}. Ako je z ∈ γ ∗ , onda je f (z) ̸= 0.
Stoga je
δ = inf{|f (z)| : z ∈ γ ∗ } > 0.
Niz (fn )n konvergira ka f ravnomerno na γ ∗ . Stoga postoji prirodan broj
n1 ∈ N tako da za svako n ≥ n1 i svako z ∈ γ ∗ vaˇzi fn (z) ̸= 0. Takod¯e
postoji n0 ∈ N tako da je n0 ≥ n1 , i tako da za svako n ≥ n0 i svako z ∈ γ ∗
vaˇzi
1
|f (z) − fn (z)| < δ < |f (z)| ≤ |f (z)| + |fn (z)|.
2
Prema teoremi Ruˇsea ??, sledi da f i fn imaju jednak broj nula u D(a, R).
ˇ
5.2. PROSTORI ANALITICKIH
FUNKCIJA
115
Posledica 5.2.3. Neka je G oblast u C i neka je (fn )n niz koji u H(G)
konvergira ka funkciji f . Ako ni jedna funkcija fn nema nula u oblasti G,
tada su mogu´ca dva sluˇcaja:
(a) Funkicija f je identiˇcki jednaka nuli u V ;
(b) Funkcija f nema ni jednu nulu u V .
Definicija 5.2.1. Neka je V otvoren skup u C. Skup F ⊂ H(V ) je lokalno
ograniˇcen, ako za svako a ∈ V postoji konstanta M i postoji r > 0, tako da
za svako f ∈ F is svako z sa svojstvom |z − a| < r vaˇzi:
|f (z)| ≤ M.
Drugim reˇcima, F je lokalno ograniˇcen, ako za svako a ∈ V postoji disk
D = D(a; r) ⊂ V tako da je F ravnomerno ograniˇcen na D.
Teorema 5.2.3. Neka je V otvoren skup u C. Skup F ⊂ H(V ) je lokalno
ograniˇcen ako i samo ako za svaki komapkt K ⊂ V postoji konstanta M tako
da za svako f ∈ F i svako z ∈ K vaˇzi |f (z)| ≤ M .
Drugim reˇcima, F je lokalno ograniˇcen ako i samo ako je F ravnomerno
ograniˇcen na svakom kompaktu K ⊂ V .
Sada dokazujemo rezultat o relativnoj kompaktnosti skupova u prostoru
H(G).
Teorema 5.2.4. (Montel3 ) Neka je V otvoren skup i F ⊂ H(V ). Skup F je
relativno kompaktan u H(V ) ako i samo ako je F lokalno ograniˇcen.
Dokaz. =⇒ : Pretpostavimo da je F relativno kompaktan u H(V ), ali da
nile lokalno ograniˇcen. Tada postoji kompakt K tako da je
sup{|f (z)| : z ∈ K, f ∈ F} = +∞.
Sledi da postoji niz (fn )n u F tako da za svako n ∈ N vaˇzi
sup{|fn (z)| : z ∈ K} ≥ n.
Skup F je relativno kompaktan, te postoji konvergentan podniz niza (fn )n .
Dakle, postoji f ∈ H(V ) i postoji podniz (fnk )k tako da lim fnk = f u
k→∞
3
Paul Antoine Aristide Montel (1876-1975), francuski matematiˇcar
116
GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA
prostoru H(V ). Konvergencija u prostoru H(V ) ekvivalentna je ravnomernoj
konvergenciji po kompaktnim podskupovima od V . Stoga
lim sup{|fnk (z) − f (z)| : z ∈ K} = 0.
k→∞
Postoji konstanta M tako da je |f (z)| ≤ M za svako z ∈ K. Sledi da za
svako k ∈ N vaˇzi:
nk ≤ sup{|fnk (z)| : z ∈ K} ≤ sup{|fnk (z) − f (z)| + |f (z)| : z ∈ K}
≤ sup{|fnk (z) − f (z)| : z ∈ K} + sup{|f (z)| : z ∈ K}
≤ sup{|fnk (z) − f (z)| : z ∈ K} + M.
Desna strana teˇzi broju M kada k → ∞, ˇsto je nemogu´ce zbog oˇciglednog
lim nk = +∞.
k→∞
⇐= : Sada pretpostavimo da je F lokalno ograniˇcen. Koristi´cemo
Teoremu Arcela-Askolija. Uslov (a) Teoreme 5.1.8 je trivijalno zadovoljen. Potrebno je dokazati joˇs ulsov (b) Teoreme 5.1.8, odnosno potrebno
je dokazati da je familija F ekvineprekidna u svakoj taˇcki skupa V . Neka je,
dakle, a ∈ V i ϵ > 0. Postoje r > 0 i M > 0 tako da vaˇzi D[a; r] ⊂ V
i za svako z ∈ D[a; r] i svako f ∈ F vaˇzi |f (z)| ≤ M . Neka je sada
|z − a| < 21 r i neka je f ∈ F. Iskoristimo Koˇsijevu integralnu formulu po
krivoj γ(t) = a + reit , t ∈ [0, 2π], uzimaju´ci u obzir da su taˇcke z, a unutar
ove krive, kao i Indγ (a) = 1:
) ∫ (
1
f (a)
f (w)
|f (a) − f (z)| = −
dw
w−a w−z
2πi
γ
∫
∫
∫
1 f (w)(a − z)
f (w)
f (a)
.
dw
−
dw
+
dw
=
2π (w − a)(w − z)
w−a
w − a γ
γ
Vaˇzi
∫
γ
Sledi
f (w)
dw =
w−a
∫
γ
f (a)
dw = f (a).
w−a
∫
f (w)(a − z)
1 .
|f (a) − f (z)| =
dw
2π (w − a)(w − z) γ
γ
5.3. PROSTOR MEROMORFNIH FUNKCIJA
Sada vaˇzi |w − a| = r,
1
|w−z|
117
≤ 2r , |f (w)| ≤ M , |γ ′ (t)| = r, te je
|f (a) − f (z)| ≤
2M
|a − z|.
r
{
}
r
Neka je sada δ < min 12 r, 4M
ϵ . Ako je |a − z| < δ, onda je |f (a) − f (z)| < ϵ
za svako f ∈ F. Time je dokazana ekvineprekidnost familije F u proizvoljnoj
taˇcki a ∈ V . Prema Teoremi Arcela-Askolija, F je relativno kompaktan.
5.3
Prostor meromorfnih funkcija
Definicija 5.3.1. Funkcija f je meromorfna u otvorenom skupu V u C, ako
postoji skup A ⊂ V sa slede´cim svojstvima:
(a) Skup A nema taˇcaka nagomilavanja u V ;
(b) f je analitiˇcka u skupu V \ A;
(c) f ima polove u svakoj taˇcki skupa A.
Teorema 5.3.1. Neka je f meromorfna funkcija u otvorenom skupu G, tako
da f nije identiˇcki jednaka nuli ni na jednoj povezanoj komponenti od G.
Tada je f1 meromorfna funkcija.
Neka je G oblast u C i neka je f meromorfna u G. Ako je z ∈ G taˇcka koja
je pol funkcije f , onda neka je f (z) = ∞. Na taj naˇcin funkcija f : G → C
je neprekidna.
Sa M (G) se oznaˇcava skup svih meromorfnih funkcija na G, sa vrednostima u C. Sve funkcije u M (G) su neprekidne. Stoga se M (G) moˇze smatrati
podskupom od C(G, C).
Skup M (G) nije zatvoren podskup kompletnog metriˇckog prostora C(G, C):
Primer 5.3.1. Neka je G proizvoljna obalst u C i neka je za svako n ∈ N i
svako z ∈ G: fn (z) = n. Oˇcigledno, fn ∈ M (G) za svako n ∈ N, i lim fn =
n→∞
f , pri ˇcemu je za svako z ∈ G f (z) = ∞. Dakle, f ∈ C(G, C) \ M (G).
Teorema 5.3.2. Neka je G oblast u C, neka je (fn )n niz u M (G), i neka je
lim fn = f ∈ C(G, C). Tada je f ∈ M (G), ili je f (z) = ∞ za svako z ∈ G.
n→∞
Ako su sve funkcije fn analitiˇcke, tada je f analitiˇcka ili je f (z) = ∞ za
svako z ∈ G.
118
GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA
Dokaz. Neka je a ∈ G tako da je f (a) ̸= ∞, i neka je M = |f (a)| + 1.
Postoji R > 0 tako da je D3 (f (a); R) ⊂ D(f (a); M ). Kako je lim fn =
n→∞
f , postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 ispunjeno d3 (fn (a), f (a)) <
1
R. Skup {f, f1 , f2 , . . . } je kompaktan u C(G, C), te sledi da je ovaj skup
2
ekvineprekidan u taˇcki a. Stoga postoji r > 0 tako da za svako z ∈ G, ako je
|z − a| < r onda je d3 (fn (z), fn (a)) < 21 R. Sledi da ako je n ≥ n0 i |z − a| ≤ r,
onda je d3 (fn (z), f (a)) < R. Prema izboru broja R, sledi da vaˇzi
|fn (z)| ≤ |fn (z) − f (a)| + |f (a)| ≤ 2M.
Koriste´ci formulu za metriku d3 , sledi da vaˇzi
2
|fn (z) − f (z)| ≤ d3 (fn (z), f (z)),
1 + 4M 2
z ∈ D[a; r], n ≥ n0 .
Kako je d3 (fn (z), f (z)) → 0 ravnomerno po z ∈ D[a; r], sledi da je |fn (z) −
f (z)| → 0 ravnomerno po z ∈ D[a; r]. Niz (fn )n je ograniˇcen na D(a; r),
funkcija fn nema polove i mora biti analitiˇcka blizu taˇcke a za n ≥ n0 . Sledi
da f mora biti analitiˇcka u nekom disku sa centrom u a.
Sada pretpostavimo da je a ∈ G sa osobinom f (a) = ∞. Ako je g ∈
C(G, C), definiˇsemo funkciju g1 uobiˇcajeno. Kako je fn → f u C(G, C), sledi
da je f1n → f1 u C(G, C). Svaka funkcija f1n je meromorfna u G. Prema
prethodnom delu dokaza, postoji r > 0 i postoji n0 ∈ N tako da su f1 i
1
analitiˇcke u D(a; r) za n ≥ n0 , kao i f1n → f1 ravnomerno na D[a; r].
fn
Na osnovu Teoreme Hurvica 5.2.2 sledi da je ili f1 ≡ 0 ili f1 ima izolovani
singularitet u D(a; r). Dakle, ako f nije identiˇcki jednako ∞, onda f1 nije
identiˇcki jednako 0, te funkcija f mora biti meromorfna u D(a; r). Lako
se zakljuˇcuje da ako f nije identiˇcki jednaka ∞ na skupu G, onda je f
meromorfna.
Sada pretpostavimo da su sve funkcije fn analitiˇcke. Pram Teoremi Hurvica 5.2.2 sledi da ili je f1 identiˇcki jednako nuli, ili f1 nema nula. Kako
je f (a) = ∞, sledi da f1 ima bar jednu nulu. Stoga je f ≡ ∞ u D(a; r).
Analogno se zakljuˇcuje da mora biti f ≡ ∞ ili je f analitiˇcka u G.
Posledica 5.3.1. Ako je G oblast, onda su H(G) ∪ {∞} i M (G) ∪ {∞]
zatvoreni u C(G, C). Pri tome, ∞ oznaˇcava funkciju koja je identiˇcki jednaka
∞ na G.
Takod¯e, M (G) ∪ {∞} je kompletan metriˇcki prostor.
5.3. PROSTOR MEROMORFNIH FUNKCIJA
119
Teorema 5.3.3. Neka je G oblast u C i neka je f ∈ M (G). Tada za svako
2|f ′ (z)|
a ∈ G postoji lim 1+|f
.
(z)|2
z→a
Dokaz. Ako je funkijca f analitiˇcka u taˇcki a, tada je teorema oˇcigledno
taˇcni.
Pretpostavimo da je a pol funkcije f reda m ≥ 1. Na osnovu Loranovog
◦
razvoja funkcije f u probuˇsenom disku D(a; r), sledi da postoji funkcija
g ∈ H(D(a; r)) tako da je
f (z) = g(z) +
Dakle,
A1
A2
Am
+
+ ··· +
,
2
z − a (z − a)
(z − a)m
]
mAm
A1
f (z) = g (z) −
+ ··· +
,
(z − a)2
(z − a)m+1
0 < |z − a| < r.
[
′
′
0 < |z − a| < r,
i stoga za iste vrednosti z vaˇzi
[
]
′
A1
mAm
2
g
(z)
−
+
·
·
·
+
′
(z−a)2
(z−a)m+1 2|f (z)|
=
2
1 + |f (z)|2
A2
A1
Am + (z−a)
+
·
·
·
+
1 + g(z) + z−a
2
(z−a)m =
2|z − a|m−1 |g ′ (z)(z − a)m+1 − [A1 (z − a)m−1 + · · · + mAm ]|
.
|z − a|2m + |g(z)(z − a)m + A1 (z − a)m−1 + · · · + Am |2
Oˇcigledno je
2|f ′ (z)|
lim
=
z→a 1 + |f (z)|2
{
0,
2
,
|A1 |
m ≥ 2,
m = 1.
Time je tvrd¯enje dokazano.
Prethodno tvrd¯enje nam omogu´cava uvovd¯enje funkcije µ : M (G) →
C(G, C), na slede´ci naˇcin:
2|f ′ (z)|
,
z→a 1 + |f (z)|2
µ(f )(a) = lim
f ∈ M (G), z ∈ G.
Sada dokazujemo rezultat o relativnoj kompaktnosti u skupu M (G).
Teorema 5.3.4. Neka je G oblast u C i neka je F ⊂ M (G). Skup F je
relativno kompaktan u C(G, C) ako i samo ako je skup µ(F) = {µ(f ) : f ∈ F}
lokalno ograniˇcen u C(G, C).
120
GLAVA 5. PROSTORI FUNKCIJA
Primer 5.3.2. Relativna kompaktnost u C(G, C) nije isto ˇsto i relativna
kompaktnost u M (G). Naime, neka je fn (z) = nz za svako n ∈ N i svako
z ∈ G. Tada je µ(fn )(z) = 1+n2n2 |z|2 . Stoga je familija F = {fn : n ∈ N}
relativno kompaktan skup u C(G, C), a µ(F) je lokalno ograniˇcen skup u
M (G). Med¯utim, F nije lokalno kompaktan u M (G) jer niz (fn )n konverigra
funkciji f za koju je f (z) = ∞ za svako z ∈ G. Dakle, f ∈
/ M (G).
Ovaj primer je u sagalasnosti sa Primerom 5.3.1.
Glava 6
Harmonijske funkcije
6.1
Osobine harmonijskih funkcija
Neka je G otvoren skup u C i neka je f = u + iv ∈ H(G), pri ˇcemu su u, v
realan i imaginaran deo funkcije f . Tada su funkcije u, v diferencijabilne i
vaˇze Koˇsi-Rimanovi uslovi:
∂u
∂v
=
,
∂x
∂y
∂u
∂v
=− .
∂y
∂x
Takod¯e je ispunjeno
f′ =
∂u
∂v
∂v
∂u
+i
=
−i .
∂x
∂x
∂y
∂y
Funkcija f ′ je takod¯e diferencijabilna na G, te stoga vaˇze Koˇsi-Rimanovi
uslovi za funkciju f ′ , odnosno:
∂ 2u
∂ 2v
∂2u
∂ 2v ∂ 2v
∂ 2u ∂ 2v
∂ 2u
=
,
=
−
,
=
−
,
=
,
∂x2
∂y∂x ∂y∂x
∂x2 ∂x∂y
∂y 2 ∂y 2
∂x∂y
kao i
f ′′ =
∂ 2u
∂2v
∂2u
∂ 2v
+
i
=
−
−
i
.
∂x2
∂x2
∂y 2
∂y 2
Kako su sve funkcije f, f ′ , f ′′ , f ′′′ , · · · neprekidno diferencijabilne u G,
zakljuˇcujemo da su realne funkcije u, v beskonaˇcno puta neprekidno diferencijabilne u G.
121
122
GLAVA 6. HARMONIJSKE FUNKCIJE
Neka je, simboliˇcno,
∆=
∂2
∂2
+
∂x2 ∂y 2
Laplasov operator, koji ima slede´ci smisao: ako je g realna funkcija koja je
dva puta neprekidno diferencijabilna u oblasti G ⊂ R2 , onda je
∆g =
∂ 2g
∂g
+
.
∂x2 ∂y 2
Dakle, ∆ je preslikavanje iz skupa C 2 (G) u C(G).
Na osnovu svega prethodno izloˇzenog, sledi rezultat.
Teorema 6.1.1. Neka je G otvoren skup u C, f ∈ H(G) i f = u + iv, gde
su u i v realan i imaginaran deo od f . Tada je
∆u = 0
i
∆v = 0
na G.
Prethodna teorema daje ideju za uvod¯enjem nove klase realnih funkcija.
Definicija 6.1.1. Neka je G otvorem skup u R2 i neka je u : G → R funkcija
sa osobinbom u ∈ C 2 (G). Funkcija u je harminijska na skupu G, ako je
ispunjeno
∆u = 0 na G.
Ako je f kompleksna funkcija na G, tako da je f = u + iv, onda je f
harmonijska funkcija na G ako i samo ako su funkcije f i g harmonijske na
G.
Dakle, ako je f ∈ H(G), onda je f harmonijska na G.
Uvodimo operatore koji deluju na odred¯ene funkcije.
Ako je f = u + iv : G → C funkcija, tako da su u i v neprekidno
diferencijabilne, onda se definiˇsu slede´ci operatori:
(
)
(
)
(
)
∂
1 ∂
∂
1 ∂u ∂v
i ∂v ∂u
f≡
−i
+
−
f=
+
,
∂z
2 ∂x
∂y
2 ∂x ∂y
2 ∂x ∂y
(
)
(
)
(
)
1 ∂
∂
1 ∂u ∂v
i ∂v ∂u
∂
f≡
+i
−
+
f=
+
,
∂z
2 ∂x
∂y
2 ∂x ∂y
2 ∂x ∂y
6.1. OSOBINE HARMONIJSKIH FUNKCIJA
123
Nije teˇsko proveriti slede´ce formule za funkcije f, g koje imaju neprekidno
diferencijabilan realan i imaginaran deo, kao i za svako a, b ∈ C:
∂f
∂z
∂
∂f
∂g
(af + bg) = a
+b ,
∂z
∂z
∂z
∂
∂f
∂g
(af + bg) = a
+b ,
∂z
∂z
∂z
∂
∂f
∂g
(f g) = g
+f ,
∂z
∂z
∂z
∂
∂f
∂g
(f g) = g
+f .
∂z
∂z
∂z
Koˇsi-Rimanovi uslovi za funkciju f izraˇzavaju se jednostavnom formulom
= 0, a tada je ∂f
= ∂f
= −i ∂f
.
∂z
∂x
∂y
2
∂ f
Takod¯e je ∆f = 4 ∂z∂z
.
Dokazujemo da je svaka harmonijska funkcija uvek lokalno jednaka realnom delu neke analitiˇcke funkcije.
Teorema 6.1.2. Neka je D otvoren disk u R2 , i neka je u realna harmonijska
funkcija na D. Tada postoji f ∈ H(D) tako da je Re f = u na D.
Dokaz. Neka je (x0 , y0 ), (x, y) ∈ D. Definiˇsemo funkciju v na disku D na
slede´ci naˇcin:
∫y
∂u(x, y)
v(x, y) =
dy + C(x),
∂x
y0
gde je x 7→ C(x) neka neprekidno diferencijabilna funkcija. Na osnovu definicije funkcije v, sledi da je ispunjeno
∂v
∂u
=
∂y
∂x
Kako je x 7→
∂u(x,y)
∂x
na D.
neprekidno diferencijabilna funkcija, sledi da je
∂v(x, y)
=
∂x
∫y
∂ 2 u(x, y)
dy + C ′ (x).
2
∂x
y0
U cilju ispunjenja uslova
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
na D,
124
GLAVA 6. HARMONIJSKE FUNKCIJE
odred¯ujemo funkciju x 7→ C(x) na osnovu
∂v(x, y)
=
∂x
∫y
∂ 2 u(x, y)
∂u(x, y)
dy + C ′ (x) = −
,
2
∂x
∂y
y0
odakle je
∫x
C(x) =
x0

− ∂u(x, y) −
∂y
∫y

2
∂ u(x, y) 
dy dx + K,
∂x2
y0
pri ˇcemu je K proizvoljna konstanta. Dakle, naˇsli smo realnu funkciju v na
D, tako da su za funkciju f = u + iv ispunjeni Koˇsi-Rimanovi uslovi
∂u
∂v ∂u
∂v
=
,
=−
na D.
∂x
∂y ∂y
∂x
Prema tome, f = u + iv ∈ H(D).
Prethodna teorema u sebi implicitno sadrˇzi uslove (x0 , y0 ), (x0 , y), (x, y0 ),
(x, y) ∈ D, odakle jednostavno sledi da D moˇze biti proizvoljan konveksan
skup.
Posledica 6.1.1. Neka je G otovren skup u R2 i neka je u : G → R harmonijska funkcija na G. Tada je u ∈ C ∞ (G).
Dodatno poopˇstenje se dobija u prosto povezanim oblastima.
Teorema 6.1.3. Neka je G prosto povezana oblast u R2 i neka je h : G → R
harmonijska funkcija na G. Tada postoji f ∈ H(G) tako da je Re f = u.
∂ u
∂ u
Dokaz. Definiˇsemo funkciju h = ∂u
−i ∂u
. Vaˇzi u ∈ C ∞ (G), te je ∂x∂y
= ∂y∂x
.
∂x
∂y
Kako je u harmonijska, ispunjeno je ∆u = 0 na G. Dakle, ispunjeni su KoˇsiRimanovi uslovi za funkciju h, te je h ∈ H(G). Kako je G prosto povezana
oblast u C, sledi da postoji primitivna funkcija f ∈ H(G) funkcije h, odnosno
f ′ = h na G. Neka je f = u˜ + i˜
v . Tada je
2
f′ =
2
∂ u˜
∂˜
v
∂ u˜
∂ u˜
∂u
∂u
+i
=
−i
=h=
−i .
∂x
∂x
∂x
∂y
∂x
∂y
i ∂∂yu˜ = ∂u
. Stoga se funkcije u˜ i u razlikuju za
Odmah sledi da je ∂∂xu˜ = ∂u
∂x
∂y
neku konstantu c. Sledi da je f1 = f − c = u + i˜
v analitiˇcka funkcija u G sa
svojstvom Re(f1 ) = u.
6.2. PRINCIP MAKSIMUMA I OSOBINA SREDNJE VREDNOSTI 125
Posledica 6.1.2. Neka je G prosto povezana oblast u C, i neka je u : G → R
harmonijska funkcija. Ako su f, f1 ∈ H(G) sa svojstvom u = Re f = Re(f1 ),
onda se f i f1 razlikuju za konstantu koja je ˇcisto imaginaran broj.
Dokaz. Direktna provera na osnovu Koˇsi-Rimanovih uslova za f i f1 .
Alternativno, f −f1 = i(v −v1 ) je analitiˇcka funkcija na G, koja mora biti
otvoreno preslikavanje na G. Kako je (f − f1 )(G) podskup imaginarne ose,
ovaj skup ne moˇze biti otvoren. Prema Teoremi o otvorenom preslikavanju,
f − f1 je konstanta.
Definicija 6.1.2. Ako je G otvoren skup u C, i ako je f = u + iv ∈ H(C),
onda su u, v med¯usobno harmonijski konjugovane funkcije na G.
6.2
Princip maksimuma i osobina srednje
vrednosti
U prethodnoj sekciji dokazali smo da su harmonijske funkcije u uskoj vezi sa
analitiˇckim funkcijama. Dokazujemo analogan rezultat za maksimum ondnosno miminum harmonijske funkcije.
Teorema 6.2.1. (Princip maksimuma za harmonijske funkcije) Neka je G
oblast u R2 , i neka je u : G → R harmonijska funkcija na G. Ako postoji
taˇcka z0 ∈ G sa svojstvom
u(z0 ) = sup u(z),
z∈G
tada je funkcija u konstantna na G.
Dokaz. Neka je
{
}
M = w ∈ G : u(w) = sup u(z) .
z∈G
Prema pretpostavci, z0 ∈ M , te je M ̸= ∅. Dokaza´cemo da je M lokalno
otvoren i lokalno zatvoren u G.
Na osnovu neprekidnosti funkcije u i skupovne jednakosti
(
)
−1
M =u
sup u(z) ,
z∈G
sledi da je M zatvoren u G.
126
GLAVA 6. HARMONIJSKE FUNKCIJE
Sa druge strane, neka je a ∈ M proizvoljna taˇcka. Skup G je otvoren,
te postoji disk D = D(a; r) ⊂ G. Neka je f = u + iv ∈ H(D) (tako da je
Re f = u na D). Neka je g(z) = ef (z) za svako z ∈ D. Tada je g ∈ H(D) i
|g(z)| = |ef (z) | = |eu(z) ||eiv(z) | = eu(z)
za svako z ∈ D. Specijalno,
sup |g(z)| = sup eu(z) = eu(z0 ) .
z∈D
z∈D
Prema Principu maksimuma modula za analitiˇcke funkcije, sledi da je g konstantna funkcija na D. Takod¯e sledi da je u = ln |g| konstantna funkcija na
D. Dakle, D ⊂ M . Time smo dokazali da je M otvoren skup u G.
Na kraju, G je oblast, pri ˇcemu je M neprazan skup koji je istovremeno
otvoren i zatvoren u M . To je mogu´ce samo ako je M = G. Odavde sledi da
je u konstantna funkcija na G.
Navodimo interesantne posledice prethodne teoreme.
Posledica 6.2.1. (Princip minimuma za harmonijske funkcije) Neka je G
oblast u R2 , i neka je u : G → R harmonijska funkcija na G. Ako postoji
taˇcka z0 ∈ G sa svojstvom
u(z0 ) = inf u(z),
z∈G
tada je funkcija u konstantna na G.
Dokaz. Primenimo prethodnu teoremu na harmonijsku funkciju −u.
Posledica 6.2.2. Neka je G ograniˇcena oblast u R2 , i neka je u : G → R
neprekidna funkcija, tako da je u harmonijska u G. Tada je
max u(z) = max u(z),
z∈G
z∈∂G
min u(z) = min u(z).
z∈G
z∈∂G
Dokaz. Skup G je kompaktan u R2 . Neprekidna funkcija u dostiˇzu svoj
maksimum i minimum na kompaktu G. Za kraj dokaza primenimo Princip
maksimuma i Princip minimuma za harmonijske funkcije.
Na kraju ove sekcije dokazujemo osobinu srednje vrednosti za harmonijske
funkcije.
6.3. POASONOVA INTEGRALNA FORMULA
127
Teorema 6.2.2. (Osobina srednje vrednosti) Neka je G otvoren skup u R2 ,
neka je u : G → R harmonijska funkcija na G, i neka je D[z0 , r] ⊂ G, pri
ˇcemu je r > 0. Tada je
1
u(z0 ) =
2π
∫2π
u(z0 + reit )dt.
0
Dokaz. Postoji s > r tako da je D(z0 ; s) ⊂ G. Postoji f ∈ H(D(z0 ; s)) tako
da je f = u + iv. Neka je γ(t) = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]. Primenimo Koˇsijevu
integralnu formulu na funkciju f . Tada je
∫
1
f (z)
u(z0 ) + iv(z0 ) = f (z0 ) =
dz
2πi
z − z0
γ
=
=
1
2πi
1
2π
∫2π
0
2π
∫
f (z0 + reit )
ireit dt
z0 + reit − z
(
)
u(z0 + reit ) + iv(z0 + reit ) dt.
0
Upored¯ivanjem realnog i imaginarnog dela sledi tvrd¯enje.
6.3
Poasonova integralna formula
Neka je a ∈ C i |a| < 1. Na osnovu Teoreme 7.4.1 sledi da funkcija z 7→
z−a
φa (z) = 1−az
, z ∈ D = D(0; 1) ima slede´ca svojstva:
(1) φa je analitiˇcka funkcija u nekoj okolini diska D[0; 1];
(2) φa : D(0; 1) → D(0; 1) je bijekcija;
(3) (φa )−1 = φ−a ;
(4) φa (a) = 0.
Slede´ci rezultat je interesantan, a dokaz je tehniˇckog karatera.
Teorema 6.3.1. Neka su V, G otvoreni skupovi u C, neka je funkcija u :
V → R harmonijska, a f : G → V neka je analitiˇcka funkcija. Tada je
u ◦ f : G → R harmonijska funkcija.
Dokazujemo Poasonovu integralnu formulu.
128
GLAVA 6. HARMONIJSKE FUNKCIJE
Teorema 6.3.2. (Poasonova integralna formula) Neka je G otvorena okolina
diska D[0; 1], i neka je funkcija u : G → C harmonijska na G. Tada za svako
a ∈ D(0; 1) vaˇzi
∫2π
1
1 − |a|2
dt.
u(a) =
u(eit )
2π
|a − eit |2
0
Dokaz. Neka je T jediniˇcna kruˇznica. Prema prethodnoj teoremi, u ◦ φ−a je
harmonijska funkcija. Primenimo osobinu srednje vrednosti na ovu funkciju:
1
u(a) = (u ◦ φ−a )(0) =
2π
∫2π
u(φ−a (eit ))dt
0
1
2πi
=
1
2πi
=
∫2π
∫0
u(φ−a (eit )) it
ie dt
eit
u(φ−a (ζ))
dζ.
ζ
T
Posmatrajmo sada transformaciju ζ = φa (ξ), koja je bijekcija i neprekidno
diferencijabilna u okolini diska D[0; 1]. Takod¯e je φa (T ) = T i φ′a (ξ) =
1−|a|
. Na osnovu ξ = φ−1 (ζ), vaˇzi:
(1−aξ)2
1
u(a) =
2πi
∫
u(ξ) ′
φ (ξ)dξ
φa (ξ) a
T
=
1
2πi
∫2π
0
=
1
2π
u(eit )
1 − |a|2
ieit dt
[(eit − a)/(1 − aeit )] (1 − aeit )2
∫2π
u(eit )
0
1 − |a|2
dt.
|eit − a|2
Time je teorema dokazana.
Ako je data neprekidna funkcija na jediniˇcnoj kruˇznici, onda je Poasonovom integralnom formulom mogu´ce rekonstruisati neprekidnu funkciju
6.3. POASONOVA INTEGRALNA FORMULA
129
na D[0; 1] koja je harmonijska u D(0; 1). Ovaj problem se naziva joˇs i Dirihleov problem za disk, i deo je jednog opˇstijeg problema u teoriji parcijalnih
diferencijalnih jednaˇcina.
Ako je a ∈ D(0; 1) i ψ ∈ [0, 2π], onda je
P (a, ψ) =
1 1 − |a|2
2π |a − eiψ |
Puasonovo jezgro. Koriste´ci a = r|eiθ i r = |a|, Puasonovo jezgro se moˇze
predstaviti i kao
Pr (θ − ψ) =
1
1 − r2
.
2π 1 − 2r cos(θ − ψ) + r2
Prema tome, Poasonova integralna formula ima oblik
∫2π
u(eiψ )Pr (θ − ψ)dψ.
u(reiθ ) =
0
Teorema 6.3.3.∫Neka je f : T → C neprekidna funkcija. Tada je funkcija
f (ξ)
1
z 7→ F (z) = 2πi
dξ analitiˇcka u D(0; 1), dok je funkcija z 7→ G(z) =
ξ−z
T
∫ f (ξ)
1
dξ harmonijska na D(0; 1).
2πi
ξ−z
T
Dokaz. Funkcija z 7→
∂ f (ξ)
∂z ξ−z
f (ξ)
ξ−z
je diferencijabilna po z za svako ξ ∈ T . Stoga je
= 0. Tada je
∂F
1
=
∂z
2πi
∫
T
∂
∂z
(
f (ξ)
ξ−z
)
dξ = 0.
Sledi da je F analitiˇcka funkcija.
U sluˇcaju funkcije G, prime´cujemo da je podintegralna funkcija jednaka
konjugovanoj funkciji analitiˇcke funkcije. Preslikavanje z 7→ z nije analitiˇc∂
”prolazi“ kroz ovu funkciju. Stoga je
ka funkcija, ali joˇs uvek operator ∂z
sliˇcno kao u prethodnom sluˇcaju proveravamo ∆G = 0, te je G harmonijska
funkcija.
130
GLAVA 6. HARMONIJSKE FUNKCIJE
Teorema 6.3.4. (Reˇsenje Dirihleovog problema za disk) Neka je f : T → R
neprekidna funkcija. Definiˇsemo funkciju u : D[0; 1] → R na slede´ci naˇcin:
 2π
 1 ∫ f (eit ) 1−|z| dt, z ∈ D(0; 1),
|z−eit |2
u(z) = 2π 0

f (z),
z ∈ T.
Tada je funkcija u neprekidna na D[0; 1], i funkcija u je harmonijska na
D(0; 1).
Dokaz. Dokazujemo da je u harmonijska funkcija na D(0; 1). Ako je z ∈
D(0; 1) i t ∈ [0, 2π], onda je
eit
e−it
1 − |z|2
=
+
− 1,
|z − eit |
eit − z e−it − z
te je
1
u(z) =
2π
∫2π
eit
1
f (e ) it
dt +
e −z
2π
∫2π
it
0
e−it
1
f (e ) −it
dt −
e −z
2π
∫2π
it
0
f (eit )dt.
0
Prema prethodnoj teoremi, prvi integral daje analitiˇcku funkciju po z, a
drugi integral daje harmonijsku funkciju po z. Kako je tre´ci integral jednak
konstanti, sledi da je funkcija u harmonijska na D(0; 1).
Dokazujemo da je u neprekidna funkcija na D = D[0; 1]. Posmatrajmo
harmonijsku funckiju v(z) ≡ 1 u okolini od D. Tada za svako z ∈ D vaˇzi
1
1 = v(z) =
2π
∫2π
0
1 − |z|2
dt.
|z − eit |
Fiksiramo taˇcku eit0 ∈ T , i neka je z = reit ∈ D blizu taˇcke eit0 . Tada je
∫2π
2
1
1−r
it0
is
it0
f (e )
ds
|u(e ) − u(z)| u(e ) −
i(t−s) |2
2π
|1
−
re
0
∫2π
2
1
[ it0
]
1−r
is
=
f (e ) − f (e )
ds
i(t−s) |2
2π
|1
−
re
0
6.3. POASONOVA INTEGRALNA FORMULA
131
Neka je M = max |f (z)| i neka je ϵ > 0. Funkcija f je ravnomerno
z∈T
neprekidna na T , te stoga postoji δ > 0 tako da vaˇzi implikacija
ϵ
|s − t| < δ =⇒ |f (eis ) − f (eit )| < .
2
Neka je zato z = reit blizu taˇcke eit0 , tako da je ispunjeno |t − t0 | < 3δ , r ≥
δ2 ϵ
. Tada je
i |1 − r| < 100M
|u(eit0 ) − u(z)| ≤ I1 + I2 ,
pri ˇcemu je
1
I1 =
2π
∫
|f (eit0 ) − f (eis )|
1 − r2
ds
1 − rei(t−s) |2
|f (eit0 ) − f (eis )|
1 − r2
ds
1 − rei(t−s) |2
{s:|s−t0 |<δ}
i
1
I2 =
2π
∫
{s:|s−t0 |≥δ}
Vrednost I1 procenjujemo na slede´ci naˇcin:
∫
ϵ
1
1 − r2
I1 ≤
ds
2π
2 |1 − rei(t−s) |2
{s:|s−t0 |<δ}
ϵ 1
≤
2 2π
∫2π
0
1 − r2
ϵ
ds = .
i(t−s)
2
|1 − re
|
2
U cilju procene vrednosti I2 , izbor brojeva δ i r implicira
|1 − rei(t−s) |2 = (1 − r)2 + 2r(1 − cos(t − s)) ≥ 2r(1 − cos(t − s))
(
[
])
(t − s)2 (t − s)4
(t − s)2
(t − s)2
≥ 2r 1 − 1 −
+
4
≥r
≥
.
2
2
2
4
Stoga je
1
I2 ≤
2π
∫
8M
{s:|s−t0 |≥δ}
1 − r2
ds.
(t − s)2
1
2
132
GLAVA 6. HARMONIJSKE FUNKCIJE
Ako je |t − t0 | <
δ
3
i |s − t0 | ≥ δ, tada je |t − s| ≥
1 72M
I2 ≤
2π 4δ 2
2δ
.
3
Stoga sledi
∫2π
δ2ϵ
ϵ
1 144M
(1 + r)(1 − r)ds ≤
2π
< .
2
2π 4δ
100M
2
0
Iz procena za I1 i I2 , sledi da je |(u(eit0 ) − u(z)| < ϵ, te je funkcija u
neprekidna na D.
Primer 6.3.1. Neka je T jediniˇcna kruˇznica u C, i neka je f (ξ) = ξ = 1ξ za
svako ξ ∈ T . Neka je z ∈ D(0; 1). Definiˇsemo funkciju F : D(0; 1) → C na
slede´ci naˇcin:
∫
1
f (ξ)
F (z) =
dξ.
2πi
ξ−z
T
Tada je F ∈ H(D(0; 1).
Ako je z = 0, onda je, na osnovu direktnog raˇcuna, F (0) =
Ako je z ̸= 0, onda je
g(ξ) =
1
2πi
∫
T
dξ
ξ2
= 0.
1
1
1
=− +
,
ξ(ξ − z)
zξ z(ξ − z)
te je Res g = − z1 , Res g = z1 . Na osnovu Teoreme o potpunoj sumi ostataka,
ξ=0
vaˇzi
ξ=z
1
F (z) =
2πi
∫
g(ξ)dξ = Res g + Res g = 0.
ξ=0
ξ=z
T
Dakle, F je identiˇcki jedanko 0 na D(0; 1), iako je |f | = 1 na T . Dakle, f
nije neprekidna ekstenzija funkcije F na T . Prema tome, reˇsenje Dirihleovog
problema za jediniˇcni disk je specifiˇcnost realnih harmonijskih funkcija, i ne
moˇze se proˇsiriti na kompleksne analitiˇcke funkcije.
6.4
Osobina srednje vrednosti na malim
kruˇ
znicama
U ovoj sekciji dokazujemo da funkcije koje imaju svojstvo srednje vrednosti
(u smislu Teoreme 6.2.2) jesu harmonijske.
ˇ
6.4. OSOBINA SREDNJE VREDNOSTI NA MALIM KRUZNICAMA
133
Definicija 6.4.1. Neka je G otvoren skup u R2 , i neka je h : G → R
neprekidna funkcija. Funkcija h ima svojstvo srednje vrednosti na malim
kruˇznicama ako za svako z0 ∈ G postoji ϵ0 > 0, tako da je D[z0 , ϵ0 ] ⊂ G, i
da za svako ϵ ∈ (0, ϵ0 ) vaˇzi formula
1
h(z0 ) =
2π
∫2π
h(z0 + ϵeit )dt.
0
Dokazujemo rezultat o maksimumu funkcija koje imaju svojstvo srednje
vrednosti na malim kruˇznicama.
Teorema 6.4.1. Neka je G oblast u R2 , i neka je h : G → R neprekidna
funkcija koja ima svojstvo srednje vrednosti na malim kruˇznicama. Ako postoji z0 ∈ G tako da je h(z0 ) = sup h(z), tada je h konstanta na G.
z∈G
Dokaz. Neka je M = {w ∈ G : h(w) = sup h(z)}. Skup M je neprazan, jer
je z0 ∈ M . Kako je
z∈G
(
)
M = h−1 sup h(z)} ,
z∈G
sledi da je M zatvoren u G.
Neka je z1 ∈ M proizvoljna taˇcka, i neka je e1 > 0 iz definicije srednje
vrednosti na malim kruˇznicama. Tada za svako ϵ ∈ (0, ϵ1 ) vaˇzi
1
h(z1 ) =
2π
∫2π
1
h(z1 + ϵe )dt ≤
2π
it
0
∫2π (
)
sup h(z)} dt = h(z1 ).
z∈G
0
Dakle, prethodna nejednakost u stvari jeste jednakost. Stoga je h(z1 +ϵeit ) =
sup h(z)} za svako t ∈ [0, 2π]. Kako je prethodna jednakost ispunjena za
z∈G
svako ϵ ∈ (0, ϵ1 ), sledi da je D(z1 ; ϵ1 ) ⊂ M , odnosno M je otvoren.
Kako je skup G povezan, mora biti G = M , odnosno funkcija h je konstantna na G.
Najvaˇzniji rezultat ove sekcije sledi.
Teorema 6.4.2. Neka je G otvoren skup u R2 , i neka je h : G → R
neprekidna funkcija koja ima svojstvo srednje vrednosti na malim kruˇznicama.
Tada je h harmonijska funkcija na G.
134
GLAVA 6. HARMONIJSKE FUNKCIJE
Dokaz. Neka je D otvoren disk, tako da je D ⊂ G. Prema Teoremi 6.3.4
sledi da postoji harmonijska funkcija u : D → R, tako da je funkcija
{
u(z), z ∈ D,
uˆ(z) =
h(z), z ∈ ∂D,
neprekidna na D.
Posmatrajmo funkciju v = h − uˆ na D. Oˇcigledno je v = 0 na ∂D. Sa
druge strane, funkcije h i uˆ ispunjavaju svojstvo srednje vrednosti na malim
kruˇznicama, odakle sledi da i funkcija v ispunjava svojstvo srednje vrednosti
na malim kruˇznicama.
Na osnovu osobine maksimuma za funkcije koje ispunjavaju svojstvo srednje vrednosti na malim kruˇznicama, sledi da mora biti v(z) ≤ 0 za svako
z ∈ D. Primenjuju´ci isto svojstvo na funkciju −v, sledi da je −v(z) ≤ 0 za
svako z ∈ D. Oˇcigledno mora biti v(z) = 0 za svako z ∈ D. Sledi da je h = uˆ
na D. Specijalno, h je harmonijska funkcija na D.
Disk D je proizvoljan sa svojstvom D ⊂ G. Sledi da je h harmonijska
funkcija na G.
Posledica ove teoreme je rezultat o ravnomernoj konvergenciji niza harmonijskih funkcija na kompaktnim podskupovima.
Teorema 6.4.3. Neka je G otvoren podskup od R2 , i neka je (un )n niz harmonijskih funkcija na G, tako da je un → u ravnomerno na kompaktnim
podskupovima od G. Tada je funkcija u harmonijska na G.
Dokaz. Neka je D[z; r] ⊂ G proizvoljan disk. Tada za svako n ∈ N vaˇzi
1
un (z) =
2π
∫2π
un (z + reit )dt.
0
Prelaskom na graniˇcnu vrednost kada n → ∞, uzimaju´ci u obzir da je γ ∗
kompakt za γ(t) = z + reit , t ∈ [0, 2π], sledi da je
1
u(z) =
2π
∫2π
u(z + reit )dt.
0
Kako je r > 0 proizvoljno (sa svojstvom D[z; r] ⊂ G), sledi da u ispunjava
svojstvo srednje vrednosti na malim kruˇznicama.
Na osnovu prethodnih razmatranja, u je harmonijska funkcija na G.
6.5. HARNAKOV PRINCIP
6.5
135
Harnakov princip
U ovoj sekciji detaljnije izuˇcavamo konvergenciju niza harmonijskih funkcija
po kompaktnim skupovima.
Teorema 6.5.1. (Harnakova nejednakost) Neka je R > 0 i neka je funkcija u
nenegativna i harmonijska u okolino diska d[0; R]. Tada za svako z ∈ D(0; R)
vaˇzi
R − |z|
R + |z|
u(0) ≤ u(z) ≤
u(0).
R + |z|
R − |z|
Dokaz. Neka je D = D(0; R). Primenimo Poasonovu integralnu formulu na
D. Tada je
∫2π
1
R2 − |z|2
u(z) =
u(Reit ) it
dt.
2π
Re − z|
0
Sada je
R2 − |z|2
R2 − |z|2
R + |z|
≤
=
.
it
2
2
|Re − z|
(R − |z|)
R − |z|
Proizilazi
R + |z| 1
u(z) ≤
R − |z| 2π
∫2π
u(eit )dt =
0
R + |z|
u(0).
R − |z|
Na ovaj naˇcin je dokazana jedna nejednakost. Druga nejednakost dokazuje
se analogno.
Harnakovu nejednakost formuliˇsemo bez dokaza za proizvoljan disk.
Posledica 6.5.1. Neka je z0 ∈ C, R > 0 i neka je funkcija u nenegativna i
harmonijska u okolini diska D[z0 ; R]. Tada za svako z ∈ D(z0 ; R) vaˇzi
R − |z − z0 |
R + |z − z0 |
u(z0 ) ≤ u(z) ≤
u(z0 ).
R + |z − z0 |
R − |z − z0 |
Teorema 6.5.2. (Harnakov princip) Neka je G oblast u C i neka je (un )n
niz harmonijskih funkcija na G, koji ispunjava uslov u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ · · ·
na G. Tada: ili un → ∞ ravnomerno na kompaktnim podskupovima od G,
ili postoji harmonijska funkcija u na G tako da je un → u radnomerno na
kompaktnim podskupovima od G.
136
GLAVA 6. HARMONIJSKE FUNKCIJE
Dokaz. Pretpostavimo da je z0 ∈ G sa svojstvom uj (z0 ) → +∞. Postoji
neko j0 tako da je uj0 (z0 ) > 0. Stoga postoji r > 0 tako da je D[z0 ; r] ⊂ G, i
da za svako z ∈ D[z0 ; r] vaˇzi uj0 (z) > 0. Na osnovu Harnakove nejednakosti
sledi da za svako z ∈ D[z0 ; r/2] vaˇzi
uj (z) ≥
1
r − r/2
uj (z0 ) = uj (z0 ).
r + r/2
3
Dakle, uj → +∞ ravnomerno na D(z0 , r/2). Na osnovu ovog dokaza sledi
da je skup {z0 ∈ G : uj (z) → +∞} otvoren u G.
Sa druge strane, neka je z1 ∈ G taˇcka u kojoj uj (z1 ) teˇci konaˇcnoj granici
l. Neka je D[z1 ; s] ⊂ G. Tada za svako z ∈ D(z1 ; s/2), na osnovu Harnakove
nejednakosti sledi
uj+k z) − uj (z) ≤
s + s/2
(uj+k (z1 ) − uj (z1 )) = 3(uj+k (z1 ) − uj (z1 )) → 0.
s − s/2
Dakle, uj konvergira ravnomerno na D(z1 ; s/2) ka nekoj funkciji u. Na osnovu ranijeg rezultata sledi da je u harmonijska funkcija. Na osnovu ovog
dokaza sledi da je skup {z1 ∈ G : uj (z) → u(z1 ) < +∞} otvoren u G.
Skup G je povezan, pa stoga mora vaˇziti taˇcno jedan od prethodna dva
sluˇcaja. Na osnovu ˇcinjenice da se svaki kompaktan podskup od G moˇze
pokriti konaˇcnom unijom otvorenih diskova (polupreˇcnika r/2 ili s/2), sledi
da je konvergencija u oba sluˇcaja ravnomerna na kompaktnim podskupovima
od G.
Glava 7
Konformna preslikavanja
7.1
Otvorena preslikavanja
Neka je V otvoren skup u C i neka je f : V → C preslikavanje. Funkcija f je
otvoreno preslikavanje, ako za svaki otvoren skup W od V vaˇzi da je f (W )
otvoren skup u C.
Teorema 7.1.1. Neka je G oblast u C, f ∈ H(G) i neka je funkcija g :
G × G → C definisana na slede´ci naˇcin:
{
g(z, w) =
f (z)−f (w)
,
z−w
′
f (z),
z ̸= w,
w = z.
Tada je funkcija g neprekidna na skupu G × G.
Dokaz. Eventualno, neprekidnost funkcije g nije oˇcigledna samo na ”dijagonali“ skupa G × G, odnosno samo u taˇckama (z, z). Neka je a ∈ G i
ϵ > 0. Postoji r > 0 tako da je D(a; r) ⊂ G, i za svako u ∈ D(a; r) vaˇzi
|f ′ (u) − f ′ (a)| < ϵ. Neka je z, w ∈ D(a; r) i z ̸= w. Posmatrajmo duˇz koja
spaja taˇcke z i w. Dakle, definiˇsemo putanju t 7→ γ(t) = (1 − t)z + tw, za
t ∈ [0, 1]. Oˇcigledno je γ ∗ ⊂ D(a; r). Primetimo da je γ ′ (t) = w−z. Funkcija
ξ 7→ f ′ (ξ) je analitiˇcka po ξ ∈ D(a; r). Stoga integral
∫ ove funkcije po putanji
γ zavisi samo od poˇcetne i krajnje taˇcke, odnosno f ′ (ξ)dξ = f (w) − f (z).
γ
137
138
GLAVA 7. KONFORMNA PRESLIKAVANJA
Stoga je
f (z) − f (w)
− f ′ (a)
z−w
∫
∫1
1
=
f ′ (ξ)dξ − f ′ (a)dt
w−z
g(z, w) − g(a, a) =
γ
1
=
w−z
∫1
=
∫1
0
′
′
∫1
f (γ(t))γ (t)dt −
0
f ′ (a)dt
0
(f ′ (γ(t)) − f ′ (a)) dt.
0
Kako je |f ′ (γ(t)) − f ′ (a)| < ϵ, sledi da je |g(z, w) − g(a, a)| < ϵ. Dakle g je
neprekidna u (a, a).
Teorema 7.1.2. Neka je G oblast u C, z0 ∈ G, f ∈ H(G) i f ′ (z0 ) ̸= 0.
Tada oblast G sadrˇzi neku okolinu V taˇcke z0 , tako da vaˇzi:
(a) f je ”1-1“ u V ;
(b) W = f (V ) je otvoren skup u C;
(c) Funkcija g : W → V definisana kao g(f (z)) = z je analitiˇcka u W .
Dokaz. (a) Iskoristimo prethodnu Teoremu 7.1.1. Ako je taˇcka (z1 , z2 ) ”blizu“
(z2 )
taˇcke (z0 , z0 ) onda je f (zz11)−f
”blizu“ broja f ′ (z0 ). Kako je f ′ (z0 ) ̸= 0, sledi
−z2
da postoji okolina V taˇcke z0 tako da za svako z1 , z2 ∈ V vaˇzi
1
|f (z1 ) − f (z2 )| ≥ |f ′ (z0 )||z1 − z2 |.
2
(7.1)
Na osnovu prethodne nejednakosti sledi da je f preslikavanje ”1–1“ u skupu
V.
Prelaskom u (7.1) na graniˇcnu vrednost kada z1 → z2 , proizilazi da je
′
f (z) ̸= 0 za svako z ∈ V . Ako je W = f (V ), tada je f : V → W preslikavanje
”1-1“ i ”na“.
(b) Neka je a ∈ V i odaberimo r > 0 tako da D[a; r] ⊂ V . Prema
prethodnoj nejednakosti, postoji c > 0 tako da je
|f (a + reit ) − f (a)| > 2c,
0 ≤ t ≤ 2π.
7.1. OTVORENA PRESLIKAVANJA
139
Ako je λ ∈ D(f (a); c), onda je |λ − f (a)| < c. Sledi da je
min |λ − f (a + reit )| > c.
t∈[0,2π]
Tvrdimo da postoji z3 ∈ D[a; r] tako da je λ = f (z3 ). Time bi dokazali
D(f (a); c) ⊂ f (D[a; r]) ⊂ W . Kako je a ∈ V proizvoljna taˇcka, odnosno
f (a) ∈ W je proizvoljna taˇcka, sledilo bi da je W otvoren skup, odnosno
dokazali bi tvrd¯enje (b).
Dakle, pretpostavimo da je λ − f (z) ̸= 0 za svako z ∈ D[a; r]. Tada
je z 7→ λ−f1 (z) analitiˇcka funkcija u okolini skupa D[a; r]. Prema principu
maksimuma modula,
1
1
1
λ − f (a) ≤ λ − f (a + reit ) < c , t ∈ [0, 2π],
odakle sledi |λ − f (a)| > c. Poslednja nejednakost nije mogu´ca zbog λ ∈
D(f (a); c). Dakle, postoji z3 ∈ D[a; r] tako da je f (z3 ) = λ.
(c) Na osnovu (a) i (b) sledi da je f : V → W preslikavanje ”1–1“ i ”na“.
Dakle, postoji preslikavanje g : W → V tako da je g inverzno preslikavanje
od f . Treba dokazati da je g diferencijabilno preslikavanje. Posmatramo
taˇcke w4 , w5 ∈ W , w4 ̸= w5 , za koje postoje jedinstvene taˇcke z4 , z5 ∈ V sa
svojstvom f (z4 ) = w4 i f (z5 ) = w5 . Ako w5 → w4 , na osnovu (7.1) sledi da
z5 → z4 . Tada je
g(w5 ) − g(w4 )
z5 − z4
=
.
w5 − w4
f (z5 ) − f (z4 )
Koriste´ci ˇcinjenicu da f ′ nema nula na skupu V , i prelaskom na graniˇcnu
vrednost kada w5 → w4 , sledi da je g ′ (w4 ) = f ′ (z1 4 ) . Na taj naˇcin je dokazano
tvrd¯enje (c).
Neka je f analitiˇcka funkcija u okolini taˇcke a. Tada je u nekoj okolini
taˇcke a ispunjeno
∞
∑
f (z) =
cn (z − a)n .
n=0
Pretpostavimo da f nije identiˇcki jednako 0 u okolini taˇcke a. Ako je f (a) =
0, onda postoji najmanji indeks m ∈ N tako da je 0 = c0 = c1 = · · · = cm ̸=
cm+1 . Broj m je
f (z) = (z − a)m g(z),
140
GLAVA 7. KONFORMNA PRESLIKAVANJA
pri ˇcemu je g analitiˇcka funkcija u okolini taˇcke a i g nema nula u nekoj
okolini taˇcke a.
Teorema 7.1.3. Neka je G oblast u C, neka je f ∈ H(G), f nije konstantna
funkcija na G, z0 ∈ G i w0 = f (z0 ). Neka je m ∈ N red nule z0 funkcije
z 7→ f (z) − w0 .
Tada postoji okolina V taˇcke z0 , tako da je V ⊂ G, i postoji funkcija
g ∈ H(V ), tako da vaˇzi:
(a) Za svako z ∈ V je ispunjeno f (z) = w0 + [g(z)]m ;
(b) g ′ nema nula u skupu V , i g je invertibilno preslikavanje iz V na
g(V ) = W , i W je otvoren skup.
Dokaz. (a) Funkcija f nije konstanta. Prema Teoremi o jedinstvenosti analitiˇcke funkcije, bez gubljenja opˇstosti moˇzemo pretpostaviti da je G dovoljno
mala okolina taˇcke z0 , tako da za svako z ∈ G, z ̸= z0 , vaˇzi f (z) ̸= w0 . Tada
postoji diferencijabilna funkcija h u G, sa svojstvom
f (z) − w0 = (z − z0 )m h(z),
z ∈ G,
′
i pri tome h nema nula u G. Sledi da je hh ∈ H(G), te postoji primitivna
′
′
funkcija od hh u G. Dakle, postoji funkcija F ∈ H(G), tako da je F ′ = hh′
( −F )′
u G. Proveravamo da je he
= 0 u G. Sledi da je he−F konstantna
funkcija u G. Po potrebi, moˇze se funkciji F dodati neka konstanta, tako da
je h = eF na G. Definiˇsemo funkciju g na skupu G na slede´ci naˇcin:
g(z) = (z − z0 )eF (z)/m ,
z ∈ G.
Jednostavno je proveriti da vaˇzi (a).
(b) Vaˇzi g(z0 ) = 0 i g ′ (z0 ) ̸= 0. Stoga postojanje otvorenog skupa V sledi
na osnovu prethodne teoreme.
Posledica 7.1.1. Neka je G oblast u C, neka je f diferencijabilna u G, i
neka je f ”1–1“ u G. Tada je f ′ (z) ̸= 0 za svako z ∈ G, i inverzna funkcija
od f je takod¯e diferencijabilna.
Dokaz. Ako bi eventualno bilo f ′ (z0 ) = 0 za neko z0 ∈ G, prema prethodnoj
teoremi f ne bi bila ”1–1“ funkcija u nekoj okolini D(a; r).
Posledica 7.1.2. Neka je G oblast u C, neka je f ∈ H(G), i neka f nije
konstanta u G. Tada je f otvoreno preslikavanje u G. Drugim reˇcima, ako
je V otvoren skup u G, tada je f (V ) otvoren skup u C.
ˇ
7.2. SVARCOVA
LEMA
7.2
141
ˇ
Svarcova
lema
ˇ
U ovoj lekciji dokazujemo rezultate koji su u vezi sa Svarcovom
lemom.
Neka je D = D(0; 1).
ˇ
Teorema 7.2.1. (Svarcova
lema1 ) Neka je f ∈ H(D), pri ˇcemu je |f (z)| ≤ 1
za svako z ∈ D, kao i f (0) = 0. Tada:
(a) Za svako z ∈ D vaˇzi |f (z)| ≤ |z|;
(b) Ako je za neko z0 ̸= 0 ispunjeno |f (z0 )| = |z0 |, tada postoji konstanta
α ∈ C, tako da je |α| = 1 i f (z) = αz za svako z ∈ D.
Dokaz. (a) Posmatramo funkciju z 7→ g(z) = f (z)
. Na osnovu Tejlorovog reda
z
funkcije f u okolini taˇcke 0, iz f (0) = 0 sledi da je g analitiˇcka u D(0; 1).
Posmatrajmo kruˇznicu γr (t) = reit , t ∈ [0, 2π], gde je 0 < r < 1. Neka je G0r
unutraˇsnjost kruˇznice γr . Prema Principu maksimuma modula, sledi da za
svako z ∈ G0r vaˇzi
1
|g(z)| ≤ max∗ |g(ξ)| ≤ .
ξ∈γr
r
0
Neka je z ∈ Gr fiksirana taˇcka i neka r → 1. Sledi da je |g(z)| ≤ 1, odnosno
|f (z)| ≤ |z|. Obzirom da za svako z ∈ D postoji r ∈ (0, 1) tako da je z ∈ G0r ,
sledi da je |f (z)| ≤ |z| za svako z ∈ D.
(b) Ako bi postojalo neko z0 ∈ D tako da je |f (z0 )| = |z0 |, onda bi
funkcija g dostizala svoj maksimum u D. Prema Principu maksimuma modula, funkcija g mora biti konstanta, i to |g(z)| = 1 na D. Stoga postoji
α ∈ C, |α| = 1, tako da za svako z ∈ D vaˇzi f (z) = αz.
Sliˇcno prethodnoj teoremi, dokazujemo joˇs jedan rezultat.
Teorema 7.2.2. Neka je f : D → D analitiˇcka funkcija za koju je ispunjeno
f (0) = 0. Neka je
∞
∑
f (z) =
cn z n , z ∈ D.
n=1
ˇ
Tada je |f ′ (0)| = |c1 | ≤ 1. Staviˇ
se, ako je |c1 | = 1, onda je f (z) = c1 z za
svako z ∈ D.
Dokaz. Sliˇcno prethodnom dokazu,
∞
∑
f (z)
= c1 +
cn z n−1 ,
z
n=2
1
z ∈ D.
Hermann Schwarz (1843-1921), nemaˇcki matematiˇcar
142
GLAVA 7. KONFORMNA PRESLIKAVANJA
Neka z → 0. Tada graniˇcna vrednost i beskonaˇcna suma mogu zameniti
mesta, jer stepeni red ravnomerno konvergira na svakom disku D[0; r]. Na
ˇ
osnovu prethodne Svarcove
leme, sledi da je |c1 | ≤ 1.
Sada pretpostavimo da je |c1 | = 1. Postoji m ≥ 2, tako da je 0 = c2 =
· · · = cm−1 ̸= cm . Tada je
f (z)
= c1 + cm z m−1 + · · · ,
z
z ∈ D.
Postoji z ∈ C tako da je cm z m−1 = c1 . Odabrana taˇcka z ne mora biti u
disku D. Med¯utim, ako je t dovoljno mali pozitivan broj, onda tz ∈ D.
Na osnovu procene ostatka Tejlorovog polinoma, postoji C > 0 tako da za
dovoljno male vrednosti t > 0 vaˇzi
f (tz)
= c1 + cm tm−1 z m−1 + h,
tz
pri ˇcemu je |h| ≤ Ctm . Koriste´ci ˇcinjenicu |c1 | = 1, sledi da vaˇzi
f (tz) m−1
) + h| ≥ |c1 |(1 + tm−1 ) − | − h| ≥ 1 + tm−1 − C|tm | > 1
tz = |c1 (1 + t
za dovoljno malo t > 0. Poslednji zakljuˇcak je u suprotnosti sa pretpostavkom
teoreme. Dakle, mora biti cm = 0 za svako m ≥ 1.
7.3
Analitiˇ
cke funkcije i uglovi
izmed
¯u putanja
Neka je γ : [a, b] → C putanja, koja je neprekidno diferencijabilna. Putanja
γ je glatka, ako je pri tome i |γ ′ (t)| ̸= 0 za svako t ∈ [a, b]. Ako je γ(t) =
x(t) + iy(t), tada je γ ′ (t) = x′ (t) + iy ′ (t) tangentni vektor krive γ ∗ u taˇcki
γ(t), t ∈ [a, b].
Ako je f analitiˇcka u onolini od γ ∗ , tada je f ◦ γ takod¯e neka putanja u
C. Pri tome je tangentni vektor krive (f ◦ γ)∗ jednak f ′ (γ(t))γ ′ (t), t ∈ [a, b].
Neka je µ : [c, d] → C druga glatka putanja, µ(t) = u(t) + iv(t), tako da
je γ(t1 ) = µ(t2 ) = z0 njihova preseˇcna taˇcka. Ugao izmed¯u krivih γ ∗ i µ∗ u
taˇcki z0 neka je jednak φ, a ugao izmed¯u krivih (f ◦ γ)∗ i (f ◦ µ)∗ u taˇcki
f (z0 ) neka je jednak ψ.
ˇ
7.4. ANALITICKI
AUTOMORFIZMI
143
Teorema 7.3.1. U skladu sa prethodnim pretpostavkama, ako je f ′ (z0 ) ̸= 0,
onda je φ = ψ. Drugim reˇcima, analitiˇcke funkcije ˇciji izvod nije jednak noli,
ˇcuvaju uglove izmed¯u krivih.
Dokaz. Primetimo da je (f ◦ γ)′ (t1 ) = f ′ (γ(t1 ))γ ′ (t1 ) = f ′ (z0 )γ ′ (t1 ). Takod¯e
je (f ◦ µ)′ (t2 ) = f ′ (z0 )µ′ (t2 ). Kako je f ′ (z0 ) ̸= 0, sledi da je ugao φ izmed¯u
γ ′ (t1 ) i µ′ (t2 ) jednak uglu ψ izmed¯u (f ◦ γ)(t1 ) i (f ◦ µ)(t2 ).
Definicija 7.3.1. Neka je V otvoren skup u C i neka je f : V → C preslikavanje. f je konformno preslikavanje, ako f ˇcuva uglove izmed¯u krivih.
Dakle, analitiˇcka funkcija koja ima izvod razliˇcit od nule, jeste konformno
preslikavanje.
U daljem uvek razmatramo konformna preslikavanja koja su analitiˇcke
funkcije i kod kojih je prvi izvod u svakoj taˇcki neke oblasti razliˇcit od nule.
Imaju´ci u vidu da je analitiˇcka funkcija uvek otvoreno preslikavanje, onda
komformno preslikavanje uvek slika oblast u domenu na oblast u kodomenu,
dok rub oblasti u domenu uvek slika u rub odgovaraju´ce oblasti u kodomenu.
7.4
Analitiˇ
cki automorfizmi
Neka su U, V oblasti u C. Ako je f : U → V bijekcija, tako da su funkcije f i
f −1 analitiˇcke na U i V redom, tada je f analitiˇcki izomorfizam. Specijalno,
ako je f analitiˇcki izomorfizam iz U na U , tada je f analitiˇcki automorfizam.
Skup svih analitiˇckih autormorfizama na oblasti U oznaˇcava se sa Aut(U ).
Razmatramo samo analitiˇcke izomorfizme i analitiˇcke automorfizme, tako da
nadalje ne koristimo ”analitiˇcki“.
Koristimo oznake: D = D(0; 1), T = γ ∗ pri ˇcemu je γ(t) = eit , t ∈ [0, 2π],
Tθ = T \ {eiθ } za θ ∈ [0, 2π].
Teorema 7.4.1. Neka je α ∈ C, |α| < 1. Tada za funkciju fα , definisanu sa
fα (z) =
α−z
,
1 − αz
z ∈ D,
vaˇzi f ∈ Aut(D), fα−1 = fα , f (T ) = T .
(
{ })
Dokaz. Oˇcigledno, f ∈ H C \ α1 ( . Lako
{ 1 })je proveriti da za svako z ̸=
vaˇzi f (f (z)) = z. Stoga je f ∈ Aut C \ α .
1
α
144
GLAVA 7. KONFORMNA PRESLIKAVANJA
Kako je |α| < 1, sledi da je f ∈ H(D). Pretpostavimo da je z ∈ T . Tada
je z = eit za neko t ∈ [0, 2π], i stoga vaˇzi
α − eit α − eit 1
=
= 1.
|fα (z)| = 1 − αeit |eit | α − eit Dakle, f (T ) ⊂ T . Prema Principu maksimuma modula, sledi da za svako
z ∈ D vaˇzi f (z) ∈ D. Prema Teoremi o otvorenom preslikavanju, sledi da je
f (D) otvoren podskup od D. Med¯utim, f ◦ f = Id, te je f (D) = D.
Sledi i f (T ) = T i f ∈ Aut(D).
Oˇcigledno je fα (α) = 0. Dokazujemo da su funkcije navedenog oblika
fundamentalni automorfizmi jediniˇcnog diska D.
Teorema 7.4.2. Neka je f ∈ Aut(D), α ∈ D i f (α) = 0. Tada postoji
θ ∈ [0, 2π] tako da za svako z ∈ D vaˇzi:
f (z) = eiθ
α−z
.
1 − αz
α−z
, z ∈ D. Tada je f ◦ fα ∈ Aut(D), tako da
Dokaz. Neka je fα (z) = 1−αz
ˇ
je (f ◦ fα )(0) = (f ◦ fα−1 )(0) = 0. Neka je h = f ◦ fα . Prema Svarcovoj
−1
lemi, sledi da je |h(z)| ≤ |z| za svako z ∈ D. Kako je h = fα ◦ f −1 ,
ˇ
oˇcigledno je h−1 (0) = 0. Primena Svarcove
leme na funkciju h−1 vodi do
−1
zakljuˇcka |h (z)| ≤ |z| za svako z ∈ D. Na osnovu z = h(w) za w ∈ D,
sledi |w| ≤ |h(w)| za svako w ∈ D. Dakle, |h(z)| = |z| za svako z ∈ D.
ˇ
Primenjuju´ci joˇs jednom Svarcovu
lemu, zakljuˇcujemo da postoji θ ∈ [0, 2π]
iθ
tako da je f (z) = e z, z ∈ D.
Ako je α = 0 u prethodnoj teoremi, onda sledi jednostavan i zanimljiv
rezultat.
Posledica 7.4.1. Ako je f ∈ Aut(D) i f (0) = 0, onda je f rotacija. Drugim
reˇcima, postoji θ ∈ [0, 2π] tako da je f (z) = eiθ z za svako z ∈ D.
7.5
Izomorfizmi gornje poluravni
Standardna oznaka za gornju poluravan je H + = {z ∈ C : Im z > 0}.
Teorema 7.5.1. Preslikavanje z 7→ f (z) =
z−i
z+i
je izomorfizam iz H + na D.
ˇ
7.6. SVARCOV
PRINCIP REFLEKSIJE
Dokaz. Oˇcigledno je f ∈ H(H + ). Neka je z = x + iy i w = f (z) =
Na osnovu z ∈ H + sledi y > 0, te je (y − 1)2 < (y + 1)2 . Stoga je
145
x+(y−1)i
.
x+(y+1)i
|z − i|2 = x2 + (y − 1)2 < x2 + (y + 1)2 = |z + i|2 ,
odakle sledi |z − i| < |z + i|. Prema tome, f slika H + u D.
Treba dokazati da za svako w ∈ D postoji z ∈ H + tako da je w = f (z).
z−i
To se postiˇze reˇsavanjem jednaˇcine w = z+i
po z. Dakle, sledi da je z =
w+1
−1
f (w) = −i w−1 . Sada treba proveriti da ako je w ∈ D, onda je z ∈ H + .
Neka je stoga w = u + iv ∈ D i u2 + v 2 < 1. Tada je lako proveriti
(
)
w+1
1 − (u2 + v 2 )
Im z = Im −i
=
> 0.
w−1
(u − 1)2 + v 2
Sledi da je inverzno preslikavanje f −1 analitiˇcki izomorfizam iz D u H + .
Prvi kvadrant je skup Q1 = {z = reiφ : r > 0, φ ∈ (0, π2 )}.
Teorema 7.5.2. (a) Preslikavanje z 7→ z 2 je izomorfizam iz prvog kvadranta
Q1 na gornju poluravan H + .
2
(b) Preslikavanje z 7→ zz+−ii je izomorfizam iz prvog kvadranta Q1 na jediniˇcni disk D.
Dokaz. (a) Oˇcigledno, ako je z ∈ Q1 , onda je z 2 ∈ H + . Preslikavanje z 7→ z 2
je analitiˇcki izomorfizam iz Q1 na H + .
(b) Sledi iz (a) i prethodne teoreme.
7.6
ˇ
Svarcov
princip refleksije
ˇ
Dokaz Svarcovog
principa refleksije podrazumeva poznavanje nekih osobina
harmonijskih funkcija. Preciznije, harmonijske funkcije zadovoljavaju svojstvo srednje vrednosti na malim kruˇznicama. Videti odgovaraju´cu glavu radi
provere navedenih detalja.
Neka je U + otvoren podskup gornje poluravni, tako da je deo ruba ∂(U + )
na relanoj osi jednak intervalu I = (a, b). Neka je U − skup simetriˇcan sa U +
u odnosu na realnu osu. Drugim reˇcima, z ∈ U − ako i samo ako z ∈ U + . Na
kraju, neka je
U = U + ∪ I ∪ U −.
Pretpostavljamo da je U uvek otvoren podskup od C.
146
GLAVA 7. KONFORMNA PRESLIKAVANJA
ˇ
Teorema 7.6.1. (Svarcov
princip refleksije) Pod prethodno opisanim uslovima,
neka je f = u + iv analitiˇcka u skupu U + , i neka je
lim v(zn ) = 0
n→∞
za svaki niz (zn )n iz skupa U + sa svojstvom lim zn = z ∈ I.
n→∞
Tada postoji funkcija F ∈ H(U + ∪ I ∪ U − ), tako da je F (z) = f (z) za
ˇ
svako z ∈ U + . Staviˇ
se, F (z) = F (z) za svako z ∈ U + ∪ U − .
Dokaz. Prvi naˇcin: primena svojstva srednje vrednosti na malim kruˇznicama
za harmonijske funkcije
Funkciju v jednostavno proˇsirimo na U − : ako je z ∈ U − , neka je v(z) =
−v(z). Jednostavno je proveriti da je v neprekidna funkcija. Takod¯e je
Jednostavno je uoˇciti da v ispunjava svojstvo srednje vrednosti na malim
kruˇznicama. Na osnovu rezultata o harmonijskim funkcijama, sledi da je v
harmonijska funkcija na U . Dakle, v je lokalno jednaka imaginarnom delu
neke analitiˇcke funkcije.
Za svaki disk Dt = D(t; r) ⊂ U , t ∈ I, sledi da postoji funkcija ft ∈
H(Dt ) sa svojstvom da je v = Im ft na Dt . Svaka funkcija ft je odred¯ena
funkcijom v do na aditivnu konstantu. Ako ovu konstantu odaberemo tako
da je ft (z) = f (z) za svako z ∈ Dt+ ∩ U + , onda ista jednakost vaˇzi na svakom
skupu Dt ∩ U + . Pretpostavljamo da smo tako i uredili ovu realnu konstantu.
Kako je v = 0 na I, sledi da su za svako t ∈ I svi izvodi funkcije ft
realni u taˇcki t. Stoga su koeficijenti stepenog reda, koji predstavlja razvoj
funkcije ft po stepenima z − t, realni. Dakle, za svako z ∈ Dt je ispunjeno
ft (z) = ft (z).
Ako je Ds ∩ Dt ̸= ∅, onda je fs = f = ft na Ds ∩ Dt ∩ U + . Sledi da je
fs = ft na Ds ∩ Dt . Stoga je mogu´ce definisati funkciju

+

f (z), z ∈ U ,
F (z) = ft (z), z ∈ Dt ,


f (z), z ∈ U − .
Preostaje da dokaˇzemo analitiˇcnost funkcije f u U − .
Ako je D(a; r) ⊂ U − , onda je D(a; r) ⊂ U + . Stoga za svako z ∈ D(a; r)
vaˇzi
∞
∑
f (z) =
an (z − a)n .
n=0
ˇ
7.6. SVARCOV
PRINCIP REFLEKSIJE
Sledi da je
F (z) =
∞
∑
an (z − a)n ,
147
z ∈ D(a; r).
n=0
Dakle, F je analitiˇcka funkcija u U − .
Drugi naˇcin: primena Morerine teoreme. Definiˇsimo joˇs jednom funkciju
F : U + ∪ I ∪ U − kao

+

f (z), z ∈ U ,
F (z) = ft (z), z ∈ Dt ,


f (z), z ∈ U − .
Kao i u prethodnom sluˇcaju, trivijalno sledi da je F ∈ H(U + ) i F ∈ H(U − ).
Takod¯e, F je neprekidna na U + ∪ I ∪ U − . Dokazujemo da je F analitiˇcka u
okolini intervala I. Neka je x0 ∈ I i D(x0 ; r) ⊂ U + ∪ I ∪ U − . Neka je ∆0
proizvoljan trougao sa temenina
∫ a, x, y u disku D(x0 ; r), i neka je T rub ovog
trougla. Potrebno je dokazati F (z)dz = 0. Opet, jedini netrivijalan sluˇcaj
T
je kada realna osa seˇce ∆0 (bez gubljenja opˇstosti, kao na Slici 6)
a
b
beta
gama
c
y
Slika 6.
x
Neka realna osa seˇce duˇz [a, x] u taˇcki b, i seˇce duˇz [a, z] u taˇcki c. Posmatramo trougao ∆ odred¯en temenima a, b, c. Na skupu ∆ funkcija F se
poklapa sa funkcijom f . Funkcija f je neprekidna na U + ∪ I, te sledi da je f
ravnomerno neprekidna na kompaktu ∆. Neka je ϵ > 0. Tada postoji δ > 0,
tako da vaˇzi implikacija:
|z1 − z2 | < δ =⇒ |f (z1 ) − f (z2 )| < ϵ.
Neka taˇcka β pripada segmentu [a, b], i neka γ pripada segmentu [a, c], tako
da je |β − b| < δ i |γ − c| < δ. Neka je ∆1 trougao odred¯en temenima a, β, γ,
i T1 = ∂∆
∫ 1 . Neka
∫ je ∆
∫ 2 ˇcetvorougao odred¯en temenima b, c, γ, β i T2 = ∂∆2 .
Tada je f = f + f . Funkcija f je analitiˇcka u okolini trougla ∆1 , te je
T
T1
T2
∫
F = 0.
T1
148
GLAVA 7. KONFORMNA PRESLIKAVANJA
Lako je primetiti da za t ∈ [0, 1] vaˇzi
|[tβ + (1 − t)γ] − [tb + (1 − t)c]| < δ,
odakle sledi
|f (tβ + (1 − t)γ) − f (tb + (1 − t)c)| < ϵ.
Neka je M = max |f (z)| i neka je d = diam(∆). Tada je
z∈∆
∫
∫ f
f+
[c,d]
[γ,β] ∫1
∫1
= (b − a) f (tb + (1 − t)c)dt − (γ − α) f (tβ + (1 − t)γ)dt
0
01
∫
≤ |c − b| (f (tb + (1 − t)c) − f (tβ + (1 − t)γ)dt
0
1
∫
+ |(c − b) − (γ − α)| f (tβ + (1 − t)γ0dt
0
≤ ϵ|c − b| + M |(c − γ) + (β − b)| ≤ ϵd + 2M δ.
Takod¯e je
Na kraju
∫
[β,b]
f ≤ M |b − β| ≤ M δ,
∫
[c,γ]
f ≤ M δ.
∫ f ≤ ϵd + 4M δ.
T
Uvek je mogu´ce odabrati δ < ϵ, te stoga mora biti
∫
f = 0.
T
Na osnovu definicije funkcije F , moˇze se analogno zakljuˇciti
∫
F = 0, pri
T3
ˇcemu je ∆3 ˇcetvorougao odred¯en temenima x, y, c, b, dok je T3 = ∂∆3 . Time
dokazujemo da je F analitiˇcka funkcija na U + ∪ I ∪ U − .
7.7. RIMANOVA TEOREMA O PROSTO POVEZANIM OBLASTIMA149
7.7
Rimanova teorema o prosto povezanim
oblastima
Dokazujemo da su prosto povezane oblasti med¯usobno analitiˇcki izomorfne.
Teorema 7.7.1. (Rimanova teorema o prosto povezanim oblastima)
Neka je G prosto povezana oblast u C, tako da je G ̸= C. Tada je G analitiˇcki
izomorfno sa D.
Dokaz. Postoji w0 ∈ C \ G. Neka je
S = {f ∈ H(G) : f (G) ⊂ D, f je ”1 − 1“ na G}.
Dokaza´cemo da je S neprazan skup, kao i da postoji f ∈ S tako da je
f (G) = D.
Kako je G prosto povezan, sledi da postoji φ ∈ H(G) tako da je φ2 (z) =
z − w0 . Pretpostavimo da postoje taˇcke z1 , z2 ∈ G tako da je φ(z1 ) = φ(z2 ).
Tada je i φ2 (z1 ) = φ2 (z2 ), te je i z1 = z2 . Dakle, funkcija φ je ”1–1“. Takod¯e,
ako je φ(z1 ) = −φ(z2 ), onda sledi z1 = z2 . φ je otvoreno preslikavanje, odakle
sledi da postoji a ∈ C i r > 0 tako da je 0 < r < |a| i D(a; r) ⊂ φ(G). Na
osnovu prethodnog razmatranja, sledi da D(−a; r) ne seˇcke φ(G). Neka je
r
ψ(z) = φ(z)+a
. Tada je, oˇcigledno, ψ ∈ S. Dakle, S je neprazan skup.
z−α
Posmatramo funkciju z 7→ φα (z) = 1−αz
, koja je analitiˇcki automorfizam
na D, pri ˇcemu je α ∈ D. Podsetimo da je φ−1
α = φ−α . Pretpostavimo da
je ψ ∈ S α ∈ D \ ψ(G). Tada je φα ◦ ψ ∈ S, i funkcija φα ◦ ψ nema nula u
G. Stoga postoji funkcija g ∈ H(G) tako da je g 2 (z) = (φα ◦ ψ)(z) za svako
z ∈ G. Lako je proveriti, kao u prethodnom delu, da je g ”1–1“.
Neka je β = g(z0 ) i neka je ψ1 = φβ ◦ g. Tada je ψ1 ∈ S. Iskoristimo
oznaku s(w) = w2 za svako w ∈ C. Tada je
ψ = φ−α ◦ s ◦ g = φ−α ◦ s ◦ φ−β ◦ ψ1 .
Neka je F = φ−α ◦ s ◦ φ−β . Na osnovu ψ1 (z0 ) = 0 sledi
ψ ′ (z0 ) = F ′ (0)ψ1′ (z0 ).
ˇ
Sledi da je F (D) ⊂ D i F nije ”1–1“ na D. Prema Svarcovoj
lemei proizilazi
′
′
′
da je |F (0)| < 1, te je |ψ (z0 )| < |ψ1 (z0 )|. Primetimo da je ψ ”1–1“ na G,
odakle sledi ψ ′ (z0 ) ̸= 0.
150
GLAVA 7. KONFORMNA PRESLIKAVANJA
Neka je z∈ G, i neka je
η = sup{|ψ ′ (z0 )| : ψ ∈ S}.
Prethodna razmatranja pokazuju da ako postoji neko h ∈ S sa svojstvom
|h′ (z0 )| = η, da je onda h(D) = D. Dakle, zavrˇsetak dokaza upravo jeste
utvrd¯ivanje da takvo h ∈ S zaista postoji.
Za svako ψ ∈ S i svako z ∈ G je ispunjeno |ψ(z)| < 1. Prema tome, skup
S je relativno kompaktan. Definicija broja η pokazuje da postoji niz (ψn )n u
S tako da je |ψn′ (z0 )| → η kada n → ∞. Na osnovu relativne kompaktnosti
skupa S postoji podniz niza (ψn )n (koji ´cemo oznaˇciti ponovo sa (ψn )n ),
tako da ψn konvergira ka nekom h ∈ H(G) ravnomerno na kompaktnim
podskupovima od G. Tada je |h′ (z0 )| = η. Skup S nije prazan, odakle sledi
η > 0, te funkcija h nije konstantna na G. Kako je ψn (G) ⊂ D za svako
n ∈ N, sledi da je h(G) ⊂ cl D. Prema Teoremi o otvorenom preslikavanju
sledi da je H(G) otvoren skup, te je H(G) ⊂ D.
Dovoljno je joˇs dokazati da je h preslikavanje ”1–1“. Neka je z1 , z2 ∈ G,
z1 ̸= z2 . Neka je α = h(z1 ) i αn = ψn (z1 ), za svako n ∈ N. Neka je cl E
zatvoren disk u G, tako da je z2 centar diska cl E, a sa druge strane z1 ∈
/ cl E,
kao i da funkcija z 7→ h(z) − α nema nula na rubu ∂(cl E). Ovo je mogu´ce
posti´ci, jer skup nula funkcije h − α nema taˇcku nagomilavanja u G. Vaˇzi
ψn − α → h − α ravnomerno na cl E. Funkcije z 7→ ψn − α su ”1–1“ i imaju
nulu u taˇcki z1 , odakle sledi da funkcije ψn −α nemaju nula u cl E. Na osnovu
Ruˇseove teoreme sledi da h − α nema nula u E. Specijalno, h(z1 ) ̸= h(z1 ).
Dakle, h je ”1–‘1 funkcija i f ∈ S. Time je dokaz zavrˇsen.
Posledica 7.7.1. Pod uslovima i oznakama prethodne teoreme, sledi da je
h(z0 ) = 0.
Dokaz. Ako bi eventualno vaˇzilo h(z0 ) = β ̸= 0,, tada φβ ◦ h ∈ S
|(φβ ◦ h)′ (z0 )| = |φ′β (β)h′ (z0 )| =
|h′ (z0 )|
> |h′ (z0 )| = η,
1 − |β|2
ˇsto je nemogu´ce prema izboru broja η.
Posledica 7.7.2. Ako vaˇze uslovi i oznake prethodne teoreme, i ako je f ∈
H(G), f (G) ⊂ D, z0 ∈ G i f (z0 ) = 0, onda je |f ′ (z0 )| ≤ h′ (z0 )|. Jednakost
vaˇzi ako i samo ako je za svako z ∈ G ispunjeno f (z) = λ · h(z), pri ˇcemu je
λ ∈ C konstanta sa osobinom |λ| = 1.
7.8. NEPREKIDNOST NA GRANICI
151
Dokaz. Neka je f ∈ H(G), f (G) ⊂ D i f (z0 ) = 0. Tada je g = f ◦ h−1 :
ˇ
D → D, odakle (prema Svarcovoj
lemi) sledi |g ′ (0)| < 1. Jednakost vaˇzi ako
i samo ako je g rotacija.
7.8
Neprekidnost na granici
U prethodnoj sekciji dokazano je da su sve prosto povezane oblasti u C, koje
su razliˇcite od C, med¯usobno analitiˇcki izomorfne. Pod odred¯enim uslovima
pomenuti analitiˇcki izomorizmi mogu biti produˇzeni do neprekidnosti na
zatvorenju oblasti.
Definicija 7.8.1. Neka je G prosto povezana oblast u C, tako da je G ̸= C.
Taˇcka z ∈ ∂G je prosta graniˇcna taˇcka oblasti G, ako za svaki niz taˇcaka
(zn )n u skupu G sa osobinom lim zn = z, sledi da postoji putanja u G koja
n→∞
prolazi kroz sve taˇcke zn i koja zavrˇsava u taˇcki z.
Drugim reˇcima z ∈ ∂G je prosta taˇcka oblasti G, ako za svaki niz taˇcaka
(zn )n u skupu G sa osobinom lim zn = z, sledi da postoji putanja γ : [0, 1] →
n→∞
C i postoje taˇcke 0 < t1 < t2 < · · · < 1 sa osobinama: γ(tn ) = zn za svako
n ∈ N, i γ(t) ∈ G za svako t ∈ [0, 1).
Oblasti ”sa zasecima“ imaju rubne taˇcke koje nisu proste.
Sada dokazujemo vaˇzan rezultat o oblastima ˇcije su rubne taˇcke proste.
Teorema 7.8.1. Neka je G ograniˇcena prosto povezana oblast, i neka je
f : G → D analitiˇcki izomorfizam.
(a) Ako je z prosta rubna taˇcka od G, tada postoji neprekidna ekstenzija
funkcije f na G ∪ {z}. Tada je |f (z)| = 1.
(b) Ako su z1 , z2 razliˇcite proste rubne taˇcke oblasti G, i ako je f neprekidno
proˇsirena na G ∪ {z1 , z2 }, tada je f (z1 ) ̸= f (z2 ).
Dokaz. Neka je g = f 1− . Tada je g(D) = G, g je ”1–1“ i (na osnovu
ograniˇcenosti skupa G), je g ∈ H ∞ .
Pretpostavimo sada da je (a) netaˇcno tvrd¯enje, odnosto f nema neprekidnu
ekstenziju u taˇcki z. Tada postoji niz (zn )n u G sa svojstvima: zn → z,
f (z2n ) → w1 , f (z2n+1 ) → w2 i w1 ̸= w2 . Neka je γ putanja iz definicije
proste rubne taˇcke z oblasti G. Neka je ν = f ◦ γ. Neka je 0 < r < 1 i
Kr = g(D[0; r]). Tada je Kr kompakt u G. Kako γ(t) → z kada t → 1−,
postoji t∗ = t∗ (r) < 1 tako da je γ(t) ∈
/ Kr ako je t∗ < t < 1. Stoga
152
GLAVA 7. KONFORMNA PRESLIKAVANJA
je |ν(t)| > r za t∗ < t < 1. Dakle, |nu(t)| → 1 kada t → 1−. Kako je
ν(t2n ) → w1 i ν(t2n+1 ) → w2 , sledi da je |w1 | = |w2 | = 1.
Neka je T = {w ∈ C : |w| = 1} jediniˇcna kruˇznica u C. Tada se skup
T \ {w1 , w2 } sastoji od dva luka. Tada jedan od ovih lukova ima slede´cu
osobinu: svaki radijus vektor od 0 do J seˇce ν ∗ u skupu taˇcaka koji ima
taˇcku nagomilavanja u T . Primetimo da je g(ν(t)) = γ(t) ako je 0 ≤ t < 1, i
g ima radijalni limes skoro svuda na T , jer je g ∈ H ∞ . Dakle,
lim g(reit ) = z
r→1−
m−s.s. na J,
jer je lim g(ν(t)) = z. Prema dobro poznatom rezultatu, sledi da je g
t→1−
konstanta. Poslednje tvrd¯enje je nemogu´ce, jer je g preslikavanje ”1–1“.
Sledi da je w1 = w2 . Na taj naˇcin je dokazano (a).
Pretpostavimo da (b) nije taˇcno, odnosno z1 ̸= z2 i f (z1 ) = f (z2 ). Ako
f pomnoˇzimo pogodnom konstantom, sledi da moˇzemo pretpostaviti bez
gubljenja opˇstosti f (z1 ) = f (z2 ) = 1. Neka su sada γ1 i γ2 putanje koje
odgovaraju taˇckama z1 i z2 u definiciji proste rubne taˇcke oblasti. Tada je
γ1 ([0, 1)) ⊂ G, γ2 ([0, 1)) ⊂ G, γ1 (1) = z1 i γ2 (1) = z2 . Neka je η1 = f ◦ γ1 i
η2 = f ◦ γ2 . Na osnovu g ◦ ηj = γj za j = 1, 2, sledi
lim g(ηj (t)) = zj ,
t→1−
j = 1, 2.
Dakle, radijalni limes od g u taˇcki 1 je istovremeno z1 i z2 , ˇsto je nemogu´ce.
Dakle, mora biti z1 = z2 . Na taj naˇcin smo dokazali (b).
Teorema 7.8.2. Neka je G ograniˇcena i prosto povezana oblast u C. Ako je
svaka rubna taˇcka od G prosta, tada se svaki analitiˇcki izomorfizam f : G →
D moˇze proˇsiriti do homeomorfizma (obostrano neprekidnog preslikavanja)
f : cl G → cl D.
Dokaz. Neka je f : G → D preslikavanje koje je ”1–1“ i ”na“. Jednostavno
je proveriti da se f moˇze proˇsiriti do neprekidnog preslikavanja f : cl G →
cl D. Sledi da je D ⊂ f (cl G) ⊂ cl f (G) ⊂ cl D. Skup cl G je kompaktan,
odakle sledi da je f (cl G) kompaktan. Prema tome, f (cl G) = cl f (G) =
ˇ
cl D. Staviˇ
se, preslikavanje f je ”1–1“ na cl G. Poznato je da svako ”1–1“
neprekidno preslikavanje kompakta ima neprekidan inverz. Time je dokaz
zavrˇsen.
ˇ
Zatvorena putanja γ u C je Zordanova
putanja, ako je γ ∗ homeomorfna
sa T .
ˇ
7.9. ANALITICKI
IZOMORFIZMI PRSTENA
153
Posledica 7.8.1. Ako je svaka rubna taˇcka neke ograniˇcene i prosto povezane
ˇ
oblasti G prosta, onda je ∂G Zordanova
putanja, i cl G je homeomorfno sa
cl D.
Obrnuto, ako je G ograniˇcena i prosto povezana oblast u C tako da je ∂G
ˇ
Zordanova putanja, tada je svaka taˇcka iz ∂G prosta.
Posledica 7.8.2. Neka su ispunjeni uslovi poslednje teoreme, neka su a, b, c ∈
∂G razliˇcite taˇcke, i neka su A, B, C ∈ T razliˇcite taˇcke. Tada postoji bilinearna transformacija φ koja taˇcke f (a), f (b), f (c) redom prevodi u A, B, C.
Ako je pri tome oˇcuvana orijentacija jediniˇcne kruˇznice, onda je φ(D) = D,
a funkcija g = φ ◦ f je homeomorfizam iz cl G na cl D, koji prevodi a, b, c
redom u A, B, C. Funkcija g je jedninstveno odred¯ena ovim uslovom.
7.9
Analitiˇ
cki izomorfizmi prstena
Neka je 0 < r < R. Tada je P (a; r, R) = {z ∈ C : r < |z − a| < R} prsten sa
centrom u a ∈ C, unutraˇsnjim polupreˇcnikom r, i spoljaˇsnjim polupreˇcnikom
R. Ako je a = 0, onda je jednostavno P (0; r, R) = P (r, R).
Dokazujemo slede´ci rezultat o analitiˇckim izomorfizmima izmed¯u dva razliˇcita prstena.
Teorema 7.9.1. Dva prstena P (r1 , R1 ) i P (r2 , R2 ) su analitiˇcki izomorfna
ako i samo ako je Rr11 = Rr22 .
Dokaz. Ako je Rr11 = Rr22 , onda je analitiˇzki izomorfizam iz P (r1 , R1 ) na
P (r2 , R2 ) dat sa f (z) = rr21 z za svako z ∈ P (r1 , R1 ).
Obrnuta implikacija je netrivijalna. Bez gubljenja opˇstosti moˇzemo pretpostaviti da je r1 = r2 = 1. Dakle, neka je f : P (1, R1 ) → P (1, R2 ) √
analitiˇcki izomorfizam. Neka je Kr kruˇznica sa centrom u 0 polupreˇcnika R2 .
Funkcija f −1 je takod¯e holomorfna, te je skup f −1 (Kr ) kompakt. Prema
tome, postoji ϵ > 0 tako da je
P (1, 1 + ϵ) ∩ f −1 (Kr ) = ∅.
Tada je V = f (P (1, 1 + ϵ) povezan podskup od P (1, R2 ) koji ne seˇce Kr .
Stoga je V ⊂ P (1, r) ili V ⊂ P (r, R2 ). Ako vaˇzi drugi sluˇcaj, onda zamenimo
f sa rf2 i svedemo situaciju na prvi sluˇcaj. Dakle, pretpostavimo da je V ⊂
P (1, r). Ako je 1 < |zn | < 1 + ϵ i |zn | → 1, tada je f (zn ) ∈ V i niz (f (zn ))n
154
GLAVA 7. KONFORMNA PRESLIKAVANJA
nema taˇcku nagomilavanja u P (1, R2 ), jer je funkcija f −1 neprekidna. Stoga
je |f (zn )| → 1. Sliˇcno, ako |zn | → R1 , onda f (zn )n | → R2 .
log R1
, u(z) = 2 log |f (z)| − 2α log |z| za z ∈ P (1, R1 ).
Neka je α = log
R1
Neka je ∂ Kˇsi-Rimanov operator. Kako je ∂f = 0 i ∂f′ = f ′ , onda je
′
(z)
∂(2 log |f |) = ∂(log(f f )) = ff , odakle sledi (∂u)(z) = ff (z)
− αz za svako
z ∈ P (1, R1 ). Sledi da je u harmonijska funkcija na P (1, R1 ), koja se proˇsiruje
na neprekidnu funkciju na cl P (1, R1 ), i koja je jednaka 0 na ∂P (1, R1 ).
Nekonstantne harmonijske funkcije
nemaju lokalne maksimume i minimume,
′ (z)
te mora biti u = 0. Dakle, ff (z)
= αz za svako z ∈ P (1, R1 ).
√
Neka je γ(t) = R1 eit za −π ≤ t ≤ π, i neka je ν = f ◦ γ. Tada je
∫ ′
1
f (z)
α=
dz = Indν (0).
2πi
f (z)
γ
Stoga je α ∈ Z. Takod¯e je α > 0, a izvod od z −1α f (z) je jednak nuli u
P (1, R1 ). Sledi da je f (z)cz α . Kako je f funkcija ”1–1“ na P (1, R1 ), mora
biti α = 1. Dakle, R1 = R2 .
7.10
Bilinearna preslikavanja
7.11
Modularne funkcije i mala Pikarova teorema
7.12
ˇ
Svarc-Kristofelove
formule
Glava 8
Analitiˇ
cka produˇ
zenja
8.1
Analitiˇ
cka produˇ
zenja lanacima oblasti
Neka je G0 oblast u C i neka je f0 ∈ H(G0 ). Neka je G1 takod¯e oblast u C,
tako da je G0 ∩G1 ̸= ∅. Ako postoji f1 ∈ H(G1 ) tako da za svako z ∈ G0 ∩G1
vaˇzi f0 (z) = f1 (z), onda je f1 analitiˇcko produˇzenje funkcije f0 sa oblasti G0
na oblast G1 . Naravno, interesantan sluˇcaj je G1 \ G0 ̸= ∅.
Nije uvek mogu´ce analitiˇcki produˇziti f0 sa G0 na G1 . Med¯utim, ako je
analitiˇcko produˇzenje funkcije f0 sa oblasti G0 na oblast G1 mogu´ce, onda
je (prema rezultatu o jedinstvenosti analitiˇcke funkcije) to produˇzenje jedinstveno. Stoga je mogu´ce definisati funkciju f na G0 ∪ G1 , tako da je
{
f0 (z), z ∈ G0 ,
f (z) =
f1 (z), z ∈ G1 ,
i f ∈ H(G0 ∪ G1 ).
Pretpostavimo sada da postoji niz oblasti u C, i to G0 , G1 , . . . , Gn , pri
ˇcemu je Gj ∩ Gj+1 ̸= ∅ za svako j ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Ako postoje funkcije
fj ∈ H(Gj ), j = 0, 1, . . . , n, tako da je fj (z) = fj+1 (z) za svako z ∈ Gj ∩Gj+1 ,
tada je niz funkcija f1 , . . . , fn analitiˇcko produˇzenje funkcije f0 po oblastima
G1 , . . . , Gn . Svaki prelaz sa funkcije fj i oblasti Gj na funkciju fj+1 i oblast
Gj+1 je jedinstven. Stoga je analitiˇcko produˇzenje (ako postoji) jedinstveno
odred¯eno funkcijom f0 i nizom G0 , G1 , . . . , Gn (Slika 7). Svaki ured¯en par
Fj = (Gj , fj ), j = 0, . . . , n, je analitiˇcki elemenat, a niz F = (F1 , . . . , Fn ) je
analitiˇcki lanac oblasti.
155
ˇ
ˇ
GLAVA 8. ANALITICKA
PRODUZENJA
156
G2
Gn
G1
Slika 7.
G0
Modu´ce je G0 ∩ Gn ̸= ∅. Iako je f0 ∈ H(G0 ) i fn ∈ H(Gn ), nije obavezno
f0 (z) = fn (z) za svako z ∈ G0 ∩ Gn . Stoga funkcija f u opˇstem sluˇcaju jeste
viˇseznaˇcna analitiˇcka funkcija.
√
Primer 8.1.1. Pozmatrajmo funkciju f0 (z) = z = r1/2 eiφ/2 , pri ˇcemu je
z = reiφ ∈ G0 = H + . Funkcija f0 je kvadratni koren, odnosno jedna grana
dvoznaˇcnog kvadratnog korena kompleksnog broja z. Neka je G1 = {z =
reiφ : r > 0, π2 < φ < 2π}, G2 = {z = reiφ : r > 0, π < φ < 5π
}. Neka
2
iφ
1/2 iφ/2
iφ
je fj (re ) = r e , z = re ∈ Gj , j = 1, 2. Tada je, oˇcigledno, fj
analitiˇcko produˇzenje funkcije fj−1 sa oblati Gj−1 na oblast Gj . Neka je f
analitiˇcko produˇzenje funkcije f0 preko lanca oblasti G0 , G1 , G2 . Primetimo
da je Q1 = G0 ∩ G2 prvi kvadrant. Ako je, z = reiφ = reiψ ∈ Q1 , za
, tada je f0 (z) = r1/2 eiφ/2 ̸= r1/2 eiψ/2 = f2 (z).
0 < φ < π2 i 2π < ψ < 5π
2
Dakle, ako je z ∈ Q1 , tada je f (z) = f0 (z) i f (z) = f2 (z), odnosno funkcija
f je dvoznaˇcna u Q1 .
Dvoznaˇcnost analitiˇ
ako se uzme
√ckog produˇzenja ne+moˇze biti izmenjena
iφ
druga grana funkcije z u oblasti G0 = H . Neka je g0 (re ) = r1/2 ei(φ/2+π)
za z = reiφ ∈ G0 . Za svako j = 1, 2 neka je gj (reiφ ) = r1/2 ei(φ/2+π) za
z = reiφ ∈ Gj , j = 1, 2. Neka je g analitiˇcko produˇzenje funkcije g0 u odnosu
na lanac oblasti G0 , G1 , G2 . Ako je z = reiφ = eiψ ∈ Q1 za 0 < φ < π2 i
2π < ψ < 5π
. Tada je g0 (reiφ ) = r1/2 ei(φ/2+π) ̸= r1/2 ei(ψ/2+π) . Prema tome,
2
ako je z ∈ Q1 , tada je g(z) = g0 (z) i g(z) = g2 (z), odnosno funkcija g je
dvoznaˇcna u Q1 .
Primer 8.1.2. Funkcija z 7→ ln z je viˇseznaˇcna analitiˇcka analitiˇcka funkcija.
Ako je φk = arg z ∈ [2kπ, 2(k + 1)π), tada je lnk (z) = ln r + iφk .
Neka je G0 = H + , i neka je f0 (reiφ ) = ln r + iφ za z ∈ G0 . Neka je
< φ < 5π
}, i
G1 = {z = reiφ : r > 0, π2 < φ < 2π}, G2 = {z = reiφ : 3π
2
2
iφ
iφ
neka je fj (re ) = ln r + iφ za z = re ∈ Gj , j = 1, 2. Tada je fj analitiˇcko
produˇzenje od fj−1 u odnosnu na oblasti Gj−1 i Gj , za j = 1, 2. Neka je
ˇ
ˇ
8.2. ANALITICKA
PRODUZENJA
STEPENIM REDOVIMA
157
f analitiˇcko produˇzenje od f0 u odnosu na lanac oblasti G0 , G1 , G2 . Kao i
u prethodnom primeru, Q1 = G0 ∩ G2 . Ako je z = reiφ = reiψ ∈ Q1 za
< ψ < 5π
, tada je f0 (z) = ln r + iφ ̸= ln r + iψ. Sledi da je f
0 < φ < π2 i 3π
2
2
dvoznaˇcna funkcija u oblasti Q1 .
Kao i u prethodnom primeru, viˇseznaˇcnost funkcije f se ne moˇze promeniti,
ako se kao funkcija f0 uzme neka druga grana funkcije z 7→ ln z.
8.2
Analitiˇ
cka produˇ
zenja stepenim redovima
Pretpostavimo da je polupreˇcnik konvergencije stepenog reda
f0 (z) =
∞
∑
c0n (z − a0 )n
n=0
jednak r0 ∈ (0, +∞). Tada je f0 analitiˇcka funkcija u disku D(a0 ; r0 ). Neka
je a1 ∈ D(a0 ; r0 ), i posmatrajmo odgovaraju´ci razvoj funkcije f0 u okolini
taˇcke a1 :
∞
∑
1 (n)
f0 (z) =
c1n (z − a1 )n , c1n = f0 (a1 ).
n!
n=0
Polupreˇcnik konvergencije novodobijenog reda je r1 i vaˇzi r1 ≥ r0 − |a1 − a0 |.
Funkcija
∞
∑
f1 (z) =
c1n (z − a1 )n , |z − a1 | < r1 ,
n=0
je analitiˇcka u disku D(a1 ; r1 ). Pri tome je f0 (z) = f1 (z) za z ∈ D(a0 ; r0 ) ∩
D(a1 ; r1 ). Ukoliko je r1 > r0 − |a1 − a0 |, onda je D(a1 ; r1 ) * D(a0 ; r0 ), i tada
je f1 analitiˇcko produˇzenje funkcije f0 , u odnosu na posmatran lanac diskova
D(a0 ; r0 ) i D(a1 ; r1 ) (Slika 8).
r2
a0
a1
r1
r0
Slika 8.
a2
ˇ
ˇ
GLAVA 8. ANALITICKA
PRODUZENJA
158
Kako je
(n)
f0 (z)
sledi da je
c1n
=
∞
∑
m!
c0m (z − a0 )m−n ,
(m
−
n)!
m=n
∞ ( )
∑
m
=
c0m (a1 − a0 )m−n .
n
m=n
Pretpostavimo sada da je a2 ∈ D(a1 ; r1 ) i a2 ̸= a1 . Tada je
f1 (z) =
∞
∑
c2n (z − a2 )n ,
c2n =
n=0
1 (n)
f (a2 ),
n! 1
pri ˇcemu je r2 polupreˇcnik konvergencije ovog stepenog reda, i r2 ≥ r1 − |a2 −
a1 |. Neka je
∞
∑
f2 (z) =
c2n (z − a2 )n , |z − a2 | < r2 .
n=0
Ako je r2 > r1 −|a2 −a1 |, onda je D(a2 ; r2 ) * D(a1 ; r1 ). Kako je f2 (z) = f1 (z)
za svako z ∈ D(a1 ; r1 )∩D(a2 ; r2 ), sledi da je f2 analitiˇcko produˇzenje funkcije
f1 , u odnosu na posmatrane diskove.
Joˇs jednom,
∞ ( )
∑
m
c2n =
c1m (a2 − a1 )m−n .
n
m=n
Postupak se u nekim sluˇcajevima moˇze nastaviti. Med¯utim, postoje
primeri analitiˇckih funkcija, kod kojih nije mogu´ce izvesti ni jedan korak
analitiˇckog produˇzenja.
Primer 8.2.1. Neka je
f0 (z) =
∞
∑
z m! = 1 + z + z 2 + z 6 + z 24 + · · · ,
|z| < 1.
m=0
Ako je |z| < 1, tada je
∞
∑
m=0
|z|m! ≤
∞
∑
m=0
|z|m < +∞. Ako je |z| > 1,
onda |z|m! → +∞, te je polazni red divergentan. Dakle, posmatrani red je
konvergentan za z ∈ D(0; 1), {i divergentan za z ∈
/ D[0;}1].
:
k,
n
∈
N,
Posmatrajmo skup M = θ = 2kπ
n
{ niθ̸= 0 . Skup
} M je gust u
R. Neka je T jediniˇcna kruˇznica. Tada je skup e : θ ∈ M gust u T .
ˇ
ˇ
ˇ KRIVIH
8.3. ANALITICKA
PRODUZENJA
DUZ
159
Neka je θ = 2kπ
∈ M i m ≥ n. Tada je (eiθ )m! = 1. Ako je 0 < r < 1,
n
onda je z = reiθ ∈ D(0; 1). Tada je
f0 (reiθ ) =
n−1
∑
(reiθ )m! +
m=0
∞
∑
rm! .
m=n
Sledi da je
lim |f0 (reiθ )| = +∞.
r→1−
Pretpostavimo sada da postoji a1 ∈ D(0; 1) tako da je funkcija
f1 (z) =
∞
∑
bm (z − a1 )m ,
|z − a1 | < r1 ,
m=0
analitiˇcko produˇzenje od f0 , odnosno r1 > 1 − |a1 |. Postoji θ =
tako da je eiθ ∈ D(a1 ; r1 ). Za takvo θ vaˇzi
2kπ
n
∈ M
lim f0 (reiθ ) = lim f1 (reiθ ) = f1 (eiθ )
r→1−
r→1−
zbog neprekidnosti funkcije f1 . Sledi da mora biti |f1 (eiθ )| = +∞, ˇsto je
nemogu´ce.
Dakle, nije mogu´ce analitiˇcki produˇziti funkciju f0 van jediniˇcnog diska.
Definicija 8.2.1. Ako je G oblast u C, i ako je f ∈ H(G) tako da f
nije mogu´ce analitiˇcki produˇziti van oblasti G, tada je ∂G prirodna granica
funkcije f .
8.3
Analitiˇ
cka produˇ
zenja duˇ
z krivih
Primenimo prethodno opisan metod analitiˇckog produˇzenja stepenim redovima, pod dodatnom pretpostavkom da centri diskova pripadaju unapred
zadanoj krivoj u C.
Neka je γ : [a, b] → C kriva. Za svako t ∈ [a, b] neka je, jednostavnosti
radi, γt = γ(t). Neka je fa analitiˇcka funkcija u okolini taˇcke γa . Tada je
fa (z) =
∞
∑
k=0
pri ˇcemu je ra > 0.
ck,a (z − γa )k ,
|z − γa | < ra ,
ˇ
ˇ
GLAVA 8. ANALITICKA
PRODUZENJA
160
Definicija 8.3.1. Pretpostavimo da vaˇze slede´ci uslovi:
(1) Za svako t ∈ [a, b] postoji analitiˇcka funkcija
z 7→ f (z; t) =
∞
∑
cn,t (z − γt )n ,
|z − γt | < rt , rt > 0;
n=0
(2) f (z; a) = fa (z) za |z − γa | < ra ;
(3) Za svako s ∈ [a, b] postoji ϵs > 0, tako da za svako t ∈ [s, b] sa
svojstvom |t − s| < ϵs , funkcija z 7→ f (z; t) je direktno analitiˇcko produˇzenje
funkcije z 7→ f (z; s).
Tada je funkcija fa analitiˇcki produˇziva duˇz krive γ, a pri tome familija
stepenih redova
F = {z 7→ f (z; t) : t ∈ [a, b]}
jeste analitiˇcko produˇzenje od fa duˇz γ.
Stepeni red funkcije z 7→ fb (z) ≡ f (z; b) u okolini taˇcke γb jeste rezultat
analitiˇckog produˇcenja funkcije fa duˇz krive γ.
Neka je Dt = D(γt ; rt ). Ako su s, t, ϵs dati u uslovu (3) prethodne definicije, tada je Dt ∩ Ds ̸= ∅ i
f (z; t) = f (z; s),
z ∈ Dt ∩ Ds .
Teorema 8.3.1. Neka je γ : [a, b] → C kriva u C, i neka je funkcija fa
prikazana stepenim redom u okolini taˇcke γa . Ako je funkcija fa analitiˇcki
produˇziva duˇz krive γ, tada je familija
F = {z 7→ f (z; t) : t ∈ [a, b]}
jedinstveno odred¯ena.
Dokaz. Pretpostavimo da su F = {z 7→ f (z; t) : t ∈ [a, b]} i G = {z 7→
g(z; t) : t ∈ [a, b]} dva analitiˇcka produˇzenja funkcije fa duˇz krive γ. Za
svako t ∈ [a, b] neka je r1,t radijus konvergencije stepenog reda funkcije z 7→
f (z; t) oko taˇcke γt , i neka je r2,t radijusi konvergencije stepenog reda funkcije
z 7→ g(z; t) oko taˇcke γt . Neka je rt manji od ova dva radijusa. Dakle, funkcije
z 7→ f (z; t) i z 7→ g(z; t) su analitiˇcke za z ∈ Dt ≡ D(γt ; rt ). Imaju´ci u vidu
da je zajedniˇcka polazna funkcija fa , postoji ϵ > 0, tako da za svako t ∈ [a+ϵ]
i svako z ∈ Da ∩ Dt vaˇzi fa (z) = f (z; t) i fa (z) = g(z; t). Prema Teoremi o
ˇ
ˇ
ˇ KRIVIH
8.3. ANALITICKA
PRODUZENJA
DUZ
161
jedinstvenosti analitiˇcke funkcije, sledi da je f (z; t) = g(z; t) za svako z ∈ Dt .
Neka je
c = sup{ξ > a : (∀t ∈ [a, ξ])(∀z ∈ Dt )(f (z, t) = g(z, t)}
Dovoljno je pokazati c = b.
Pretpostavimo da je c < b. Funkcija fa je analitiˇcki produˇziva duˇz krive
γ, te postoji broj ϵ > 0, tako da za svako t ∈ (c − ϵ, c + ϵ) i svako z ∈
Dt ∩ Dc vaˇzi f (z; t) = f (z; c) = g(z; t). Joˇs jednom, na osnovu Teoreme o
jedinstvenosti analitiˇcke funkcije, sledi da je f (z; t) = g(z; t) za svako z ∈
Dt . Ovaj zakljuˇcak je u suprotnosti sa izborom broja c. Dakle, mora biti
c = b.
Posledica 8.3.1. Neka je γ : [a, b] → C kriva u oblasti G, i neka je f ∈
H(G). Ako je funkcija fa prikazana stepenim redom funkcije f u okolini
taˇcke γa , onda postoji F = {z 7→ f (z; t) : t ∈ [a, b]} analitiˇcko produˇzenje
funkcije fa duˇz krive γ. Razvoj funkcije z 7→ f (z; t) u stepeni red u okolini
taˇcke γt jednak je odgovaraju´cem razvoju funkcije f u stepeni red oko taˇcke
γt .
Dokaz. Tvrd¯enje sledi na osnovu jedinstvenosti analitiˇckog produˇzenja duˇz
krive.
Pretpostavimo da je fa analitiˇcki produˇziva duˇz krive γ : [a, b] → C. To
znaˇci, izmed¯u ostalog, rt > 0 za svako t ∈ [a, b]. Ako bi bilo rt = +∞ za
neko t, onda bi funkcija z 7→ f (z; t) bila cela, te je ova situacija trivijalna.
Stoga je od interesa rt < +∞ za svako t ∈ [a, b].
Teorema 8.3.2. Pretpostavimo da je funkcija fa analitiˇcki produˇziva duˇz
krive γ : [a, b] → C, i da za svako t ∈ [a, b] radijus konvergencije stepenog
reda rt ispunjava uslov 0 < rt < +∞. Tada je funkcija t 7→ rt neprekidna.
Dokaz. Joˇs jednom, neka je Dt = D(γt ; rt ) disk konvergencije stepenog reda
funkcije z 7→ f (z; t), pri ˇcemu je t ∈ [a, b]. Funkcija γ je neprekidna, te za
svako s ∈ [a, b] postoji δ > 0, tako da vaˇzi implikacija
(t ∈ [a, b] ∧ |t − s|) < δ =⇒ γt ∈ Ds .
Uzmimo t < s i |t − s| < δ. Funkcija z 7→ f (z; t) ima razvoj u stepeni red
oko taˇcke γt ∈ Ds . Med¯utim, funkcija z 7→ f (z; s) je analitiˇcka u Ds . Prema
prethodnoj Posledici 8.3.1, stepeni red funkcije z 7→ f (z; t) oko taˇcke γt je u
162
ˇ
ˇ
GLAVA 8. ANALITICKA
PRODUZENJA
stvari stepeni red funkcije z 7→ f (z; s) oko taˇcke γt . Prema tome (potpuno
analogno analitiˇckom produˇzenju preko lanca diskova u prethodnoj lekciji),
vaˇzi
rs ≥ rt − |γt − γs |.
Ako, uz |t − s| < δ razmotrimo i mogu´cnost t > s, onda analogno vaˇzi
rt ≥ rs − |γt − γs |.
Na kraju, |rs − rt | ≤ |γt − γs |. Funkcija t 7→ γt je neprekidna, te je i funkcija
t 7→ rt neprekidna po t ∈ [a, b].
Teorema 8.3.3. Pod uslovima Teoreme 8.3.2, postoji ρ > 0 tako da je rt ≥ ρ
za svako t ∈ [a, b].
Dokaz. Neprekidna funkcija t 7→ rt dostiˇze svoj minimum ρ = rt0 na kompaktu [a, b]. Na osnovu prethodne teoreme, taj minimu ρ mora biti strogo
pozitivan.
Sada dokazujemo vezu izmed¯u analitiˇckog produˇzenja po lancu oblasti, i
analitiˇckog produˇzenja duˇz krive.
Teorema 8.3.4. Neka su G0 , G1 , · · · , Gn oblasti u C, tako da je Gj−1 ∩
Gj ̸= ∅ za svako j = 1, . . . , n. Neka je (G0 , g0 ), (G1 , g1 ), . . . , (Gn , gn ) analitiˇcki lanac, kojim je izvedeno analitiˇcko produˇzenje funkcije g0 ∈ H(G0 ) do
funkcije gn ∈ H(Gn ) preko pomenutog lanca oblasti.
Neka je γ : [a, b] → C kriva sa slede´cim osobinama: postoje taˇcke a =
t0 < t1 < · · · < tn+1 = b, tako da je γ(t) ∈ Gj za svako t ∈ [tj , tj+1 ]. Neka je
funkcija fa definisana stepenim redom funkcije g0 oko taˇcke γa , i neka je fb
funkcija definisana stepenim redom funkcije gn oko taˇcke γb .
Tada je fb rezultat analitiˇckog produˇzenja funkcije fa duˇz krive γ.
Dokaz. Oˇcigledno je γ(a) = γ(t0 ) ∈ G0 i γ(b) = γ(tn+1 ) ∈ Gn . Vaˇzi cj =
γ(tj ) ∈ Gj ∩ Gj+1 za svako j = 0, . . . , n. Neka je γk = γ : [tj , tj+1 ] → C.
Tada je γk deo krive γ koji spaja taˇcke cj i cj+1 . Za svako k = 0, 1, . . . , n
vaˇzi gk ∈ H(Gk ). Stoga, za svako t ∈ [a, b] neka je z 7→ f (z; t) stepeni red
funkcije gk oko taˇcke γ(t). Ako je z ∈ Gk−1 ∩ Gk , onda je, po pretpostavci,
gk−1 (z) = gk (z). Stoga, ako je γ(s), γ(t) ∈ Gk−1 ∩ Gk , tako da je Ds ∩ Dt ̸= ∅,
onda vaˇzi i f (z; t) = f (z; s) za z ∈ Ds ∩ Dt . Analognim rezonovanjem,
dolazimo do zakljuˇcka da je fb analitiˇcko produˇzenje funkcije fa duˇz krive γ.
Izmed¯u ostalog, dokazali smo da je funkcija fa analitiˇcki produˇziva duˇz krive
γ.
ˇ
ˇ
ˇ KRIVIH
8.3. ANALITICKA
PRODUZENJA
DUZ
163
Definicija 8.3.2. Neka je G oblast u C, i neka je
f0 (z) =
∞
∑
cn (z − a0 )n
n=0
stepeni red funkcije f0 oko taˇcke a0 ∈ G. Ako je funkcija f analitiˇcki
produˇziva duˇz svih krivih u oblasti G koje poˇcinju u taˇcki a0 , tada je funkcija
f0 kompletno analitiˇcki produˇziva u G sa poˇcetkom u a0 .
Definicija 8.3.3. Neka su γ0 : [a, b] → C i γ1 : [a, b] → C dve krive u
oblasti G sa svojstvom γ0 (a) = γ1 (a) = c0 i γ0 (b) = γ1 (b) = c1 . Neka je
K = {(t, s) : a ≤ t ≤ b, 0 ≤ s ≤ 1}. Pretpostavimo da postoji neprekidna
funkcija Γ : K → C, koja zadovoljava uslove:
(1) Za svako t ∈ [a, b] i svako s ∈ [0, 1] je Γ(t, s) ∈ G;
(2) Za svako t ∈ [a, b] je Γ(t, 0) = γ0 (t) i Γ(t, 1) = γ1 (t);
(3) Za svako s ∈ [0, 1] je Γ(a, s) = c0 i Γ(b, s) = c1 .
Tada su krive γ0 i γ1 homotopne u oblasti G u odnosu na par (c0 , c1 ).
Oznaka je γ0
G,c0 ,c1
≃
γ1 .
Jednostavno je dokazati slede´ci rezultat.
G,c0 ,c1
Teorema 8.3.5. Ako je G oblast u C i c0 , c1 ∈ G, tada je ≃
ekvivalencije na skupu svih krivih u G koje spajaju taˇcke c0 i c1 .
relacija
Na kraju, dokazujemo joˇs jedan vaˇzan rezultat o jedinstvenosti analitiˇckog
produˇzenja.
Teorema 8.3.6. (Teorema o monodromiji) Neka je G oblast u C, i neka
je c0 , c1 ∈ G. Pretpostavimo da je funkcija f0 predstavljena stepenim redom
u okolini taˇcke c0 , i neka je funkcija f0 kompletno analitiˇcki produˇziva u G
sa poˇcetkom u c0 . Ako su γ1 i γ2 dve krive u G, koje ispunjavaju uslov
G,c0 ,c1
γ1 ≃ γ2 , onda je rezultat f1 analitiˇckog produˇzenja funkcije f0 po krivoj
γ1 , jednak rezultatu f2 analitiˇckog produˇzenja funkcije f0 po krivoj γ2 .
Dokaz. Neka su skup K i preslikavanje Γ opisani prethodnom definicijom.
Za svako s ∈ [0, 1] je t 7→ Γ(t, s) = γs (t) jedna kriva u G koja spaja taˇcke c0
i c1 . Funkcija f0 je analitiˇcki produˇziva duˇz krive γs . Neka je to analitiˇcko
produˇzenje oznaˇceno sa Fs = {fs (z; t) : t ∈ [a, b]}, i neka je z 7→ fs = fs (z; b)
rezultat tog analitiˇckog produˇzenja. Dovoljno je dokazati da fs ne zavisi od
s.
164
ˇ
ˇ
GLAVA 8. ANALITICKA
PRODUZENJA
Neka je s ∈ [0, 1] i neka je rt radijus konvergencije stepenog reda funkcije
z 7→ fs (z; t). Centar diska je u taˇcki γs (t), a ovaj disk je Dt = D(γs (t), rt ).
Na osnovu Teoreme 8.3.3, postoji ρ > 0 tako da je rt ≥ ρ > 0. Kako je
preslikavanja t 7→ γs (t) neprekidno, sledi da postoji δ > 0, tako da vaˇzi
implikacija za t′ ∈ [a, b]:
|t′ − t| < δ =⇒ |γs (t′ ) − γs (t)| < ρ.
Ako je uz to i t′ > t (bez gubljenja opˇstosti), tada je z 7→ fs (z; t′ ) analitiˇcko produˇzenje od z 7→ fs (z; t) duˇz krive γs . Funkcija Γ je ravnomerno
neprekidna na kompaktu K, te postoji ϵ > 0 (opet, bez gubljenja opˇstosti,
0 < ϵ < δ), tako da vaˇzi implikacija za t′ ∈ [a, b] i u ∈ [0, 1]:
(|t′ − t| < ϵ ∧ |u − s| < ϵ) =⇒ |Γ(t′ , u) − Γ(t, s)| < ρ.
Neka je a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b, tako da je |tk+1 − tk | < ϵ za svako k.
Vaˇzi fs (z; t0 ) = f0 (z). Uvedimo oznake fk (z) = fs (z; tk ) za svako k. Tada je
f1 , f2 , . . . , fn analitiˇcko produˇzenje od f0 duˇz lanca oblasti Dt1 , Dt2 , . . . , Dtn .
Takod¯e je z 7→ fs (z; b) stepeni red sa centrom u c1 = γs (b) funkcije fn . Kako
u ve´c zadovoljava uslov |u − s| < ϵ, neka je t 7→ γu (t) = Γ(t, u) kriva koja
spaja c0 i c1 . Ako je t ∈ [tk , tk+1 ], tada je |t−tk | < ϵ, te je |γu (t)−γs (tk )| < ρ.
Kako je Dtk disk sa centrom u γs (tk ) radijusa rtk ≥ ρ, tada je γu (t) ∈ Dtk
za t ∈ [tk , tk+1 ]. Na osnovu ranijeg rezultata o analitiˇckom produˇzenju po
krivoj i po lancu oblasti, sledi da je fu (z; b) = fs (z; b).
8.4
Analitiˇ
cka produˇ
zenja integralima
8.5
Izdvajanje regularnih grana
Glava 9
Aproksimacija racionalnim
funkcijama
9.1
Rungeova teorema
Ako je f ∈ H(D) i D je jediniˇcni disk u kompleksnoj ravni, onda se funkcija
f moˇze predstaviti u D stepenim redom, koji ravnomerno konvergira ka f
na svakom kompaktnom podskupu od D. Delimiˇcne sume ovog stepenog
reda jesu polinomi. Dakle, svaka analitiˇcka funkcija f na disku D moˇze biti
aproksimirana nizom polinoma, koji ka f konvergira ravnomerno na svakom
kompaktnom podskupu od D.
Tvrd¯enje nije taˇcno ako domen funkcije f nije prosto povezan, ˇsto sledi, na
primer, iz Loranove teoreme. Loranova teorema tvrdi da analitiˇcka funkcija
f u nekom u prstenu R moˇze biti aproksimirana nizom racionalnih funkcija,
koji konvergira ka f ravnomerno na kompaktnim podskupovima od R.
Niz racionalnih funkcija u Loranovoj teoremi ne moˇze biti zamenjen nizom
polinoma, i ovu ˇcinjenicu ilustrujemo slede´cim primerom.
Primer 9.1.1. Neka je f (z) = z1 za z ∈ G = {w ∈ C : 0 < |w| < 2}. Pretpostavimo da postoji niz polinoma (pn )n , tako da je lim pn = f ravnomerno
na kompaktnim podskupovima od G. Neka je γ(t) = eit , t ∈ [0, 2π]. Tada je
γ ∗ kompakt u G i lim pn = f na γ ∗ . Na osnovu dobro poznatog rezultata o
n→∞
zameni mesta integrala i graniˇcne vrednosti, sledi
∫
∫
∫
dz
pn (z)dz = 0,
=
lim pn (z)dz = lim
2πi =
n→∞
n→∞
z
γ
γ
γ
165
166
GLAVA 9. APROKSIMACIJA RACIONALNIM FUNKCIJAMA
ˇsto je oˇcigledno nemogu´ce.
Dalje izlaganje bi´ce posve´ceno aproksimaciji analitiˇckih funkcija racionalnim funkcijama na viˇsestruko povezanim domenima.
Dokazujemo interesantan topoloˇski rezultat.
Teorema 9.1.1. Neka su U, V otvoreni podskupovi od C, tako da je V ⊂ U
i (∂V ) ∩ U = ∅.
Ako je W povezana komponenta od U sa svojstvom W ∩ V ̸= ∅, onda je
W ⊂ V . Drugim reˇcima, skup V se sastoji od nekih povezanih komponenti
skupa U .
Dokaz. Neka je z ∈ W ∩ V , i neka je C povezana komponenta skupa V
tako da je z ∈ C. Tada je skup W ∪ C povezan i sadrˇzan u U . Kako je
W komponenta skupa U (tj. maksimalan povezan podskup od U ), sledi da
mora biti W ∪ C = W , odnosno C ⊂ W . Na osnovu ∂C ⊂ ∂V sledi da mora
biti (∂C) ∩ W = ∅. Stoga je
W \ C = W ∩ [(C \ cl C) ∪ (∂C)] = W ∩ (C \ cl C).
Skupovi W i C \ cl C su otvoreni, te je i skup W \ C otvoren. Kako je i C
otvoren, na osnovu W \ C = W ∩ (C \ C) zatvoren u W . Skup W je povezan
i C ̸= ∅, te sledi W \ C = ∅, odnosno W = C ⊂ V .
Svaki polinom moˇze biti posmatran kao racionalna funkcija koja ima pol
u taˇcki ∞. Obrnuto, ako je g racionalna funkcija ˇciji je jedini pol taˇcka ∞,
tada je g polinom.
Definicija 9.1.1. Neka je K kompaktan skup u C, i neka je E skup tako da
je E ⊂ C \ K i E seˇce svaku komponentu skupa C \ K.
Tada je B(E) skup svih funkcija iz C(K, C), tako da postoji niz racionalnih funkcija (gn )n , tako da svaka funkcija gn ima polove u skupu E, i lim gn =
n→∞
f ravnomerno na K.
Podse´camo da je prostor C(K, C) snabdeven metrikom dK
∞ , i konvergencija u smislu ove metrike ekvivalentna je ravnomernoj konvergenciji na K.
Formuliˇsemo jednostavan rezultat koji karakteriˇse skup B(E).
Teorema 9.1.2. U skladu sa oznakama Definicije 9.1.1, B(E) je zatvorena
podalgebra od C(K, C), koja sadrˇzi sve racionalne funkcije sa polovima u
skupu E.
9.1. RUNGEOVA TEOREMA
167
Drugim reˇcima, ako je λ ∈ C i f, g ∈ B(E), tada je λf, f + g, f g ∈ B(E).
Takod¯e, ako je (fn )n niz u (E) koji konvergira ka f ravnomerno na K, tada
je f ∈ B(E).
Teorema 9.1.3. Ako vaˇze oznake Definicije 9.1.1, a ∈ C \ K i ako je f (z) =
1
za svako z ̸= a, tada je f ∈ B(E).
z−a
Dokaz. U dokazu je bitan poloˇzaj taˇcke ∞ u odnosu na skup E. Stoga
razlikujemo dva sluˇcaja.
Sluˇcaj I: Pretpostavimo da vaˇzi ∞ ∈
/ E. Neka je U = C \ K i
V = {a ∈ C : z 7→ (z − a)−1 ∈ B(E)}.
Tada je E ⊂ V ⊂ U .
Dokaˇzimo pomo´cni rezultat: ako je a ∈ V i |b − a| < d(a, K), tada mora
biti b ∈ V .
Ako je, dakle, b ∈ C sa svojstvom |b − a| < d(a, K), onda postoji r za
koje je 0 < r < 1, tako da za svako z ∈ K vaˇzi |b − a| < r|z − a|. Primetimo
da je ispunjeno
−1
(z − b)
−1
= (z − a)
(
)−1
b−a
1−
.
z−a
b−a ≤ r < 1 za svako z ∈ K, sledi da je
Kako je z−a
(
)−1 ∑
)n
∞ (
b−a
b−a
1−
=
,
z−a
z
−
a
n=0
pri ˇcemu poslednji stepeni red konvergira ravnomerno.
n (
)
∑
b−a k
Neka je n ∈ N i Qn (z) =
za svako z ∈ K. Prostor B(E) je
z−a
k=0
algebra, te sledi da je Qn ∈ B(E), kao i z 7→ (z −a)−1 Qn (z) ∈ B(E). Kako je
B(E) zatvoren skup (u odnosu na ravnomernu konvergenciju niza funkcija),
sledi da mora biti z 7→ (z −b)−1 ∈ B(E). Dakle, b ∈ V , odnosno V je otvoren
skup.
Neka je sada b ∈ ∂V , odakle je b ∈
/ V . Postoji niz (an )n iz V tako da
je an → b. Mora biti |b − an | ≥ d(an , K) za svako n ∈ N. Uzimaju´ci da
n → ∞, sledi da je d(b, K) = 0, te je b ∈ K. Dakle, (∂V ) ∩ U = ∅. Ako je
W komponenta od U = C \ K, tada je W ∩ E ̸= ∅. Stoga je W ∩ V ̸= ∅, i
168
GLAVA 9. APROKSIMACIJA RACIONALNIM FUNKCIJAMA
prema Lemi ?? sledi da je W ⊂ V . Med¯utim, W je proizvoljna komponenta
od U , te je U ⊂ V , odnosno U = V . Time je dokazano tvrd¯enje teoreme.
Sluˇcaj II: Pretpostavimo da je ∞ ∈ E. Neka je d3 standardna metrika
u prostoru C. Neka je a0 taˇcka neograniˇcene komponente skupa C \ K,
tako da je d3 (a0 , ∞) ≤ 21 d3 (∞, K) i |a0 | > 2 · max{|z| : z ∈ K}. Neka je
E0 = (E \ {∞}) ∪ {a0 }. Tada E0 preseca svaku komponentu skupa C \ K.
−1
Ako je a ∈ C\K, tada
prema Sluˇcaju I sledi da je z 7→ (z −a) ∈ B(E0 ).
Za svako z ∈ K vaˇzi az0 ≤ 12 , te je
1
1
=− (
z − a0
a0 1 −
z
a0
)n
∞ (
1 ∑ z
) =−
,
a0 n=0 a0
pri ˇcemu poslednji red konvergira ravnomerno na K. Stoga je Qn (z) =
n
∑
−a−1
(z/a0 )k polinom i Qn konvergira ka z 7→ (z − a−1
0
0 ravnomerno na K.
k=0
Jedini pol polinoma Qn je taˇcka ∞, te sledi Qn ∈ B(E) za svako n ∈ N.
Time je dokazano B(E0 ) ⊂ B(E), te je i funkcija z 7→ (z − a)−1 elemenat
prostora B(E) za svako a ∈ C \ K.
Dokazujemo rezultat koji nas pribliˇzava glavnoj teoremi ove sekcije.
Teorema 9.1.4. Neka je γ putanja u C i neka je K kompaktan skup u C,
tako da je γ ∗ ∩ K = ∅. Ako je f neprekidna funkcija na γ ∗ i ako je ϵ > 0,
tada postoji racionalna funkcija z 7→ R(z) koja ima sve polove na γ ∗ , i tako
da za svako z ∈ K vaˇzi:
∫
f (w)
w − z dw − R(z) < ϵ.
γ
Teorema 9.1.5. Neka je G oblast u C i neka je K kompaktan podskup od
G. Postoji poligonalna linija γ = γ1 + · · · + γn u G \ K, tako da za svaku
funkciju f ∈ H(G) i svako z ∈ K vaˇzi
∫
n
∑
f (w)
1
dw.
f (z) =
2πi
w
−
z
k=1
γk
Sada dokazujemo najvaˇzniji rezultat ove sekcije.
9.1. RUNGEOVA TEOREMA
169
Teorema 9.1.6. (Rungeova1 teorema) Neka je K kompaktan skup u C i
neka je E ⊂ C \ K, tako da E preseca svaku povezanu komponentu skupa
C \ K.
Ako je f analitiˇcka funkcija u nekoj otvorenoj okolini skupa K, i ako je
ϵ > 0, tada postoji racionalna funkcija R ˇciji svi polovi pripadaju skupu E,
tako da za svako z ∈ K vaˇzi
|f (z) − R(z)| < ϵ.
Dokaz. Neka je G otvorena okolina skupa K, neka je f ∈ H(G) i neka je
ϵ > 0. Prema Tvrd¯enju 9.1.5 i Tvrd¯enju 9.1.4, sledi da postoji racionalna
funkcija R koja ima sve polove u C \ K, i tako da za svako z ∈ K vaˇzi
f (z) − R(z)| < ϵ. Prema Tvrd¯enju 9.1.3, kao i prema osobini da je B(E)
algebra, sledi da je R ∈ B(E).
Prethodna vaˇzna teorema ima nekoliko zanimljivih posledica.
Posledica 9.1.1. Neka je G otvoren podskup ravni, neka je E podskup od
C \ G tako da E preseca svaku povezanu komponentu skupa C \ G. Neka je
R(G, E) skup svih racionalnih funkcija sa polovima u E. Tada je R(G, E)
metriˇcki potprostor prostora H(G). Osim toga, ako je f ∈ H(G), tada postoji
niz (Rn )n u R(G, E), tako da je f = lim Rn (ravnomerno na kompaktnim
n→∞
podskupovima od G).
Drugim reˇcima, R(G, E) je gust u H(G).
Dokaz. Neka je K kompaktan podskup od G i neka je ϵ > 0. Postoji kompakt
H tako da je K ⊂ H ⊂ G, tako da svaka komponenta skupa C \ H sadrˇzi
neku komponentu skupa C \ G. Dakle, skup E preseca svaku komponentu
skupa C \ H. Rezultat sledi na osnovu teoreme Rungea za kompakt H.
Posledica 9.1.2. Neka je G otvoren skup u C, tako da je C \ G povezan
skup. Tada postoji niz polinoma (pn )n tako da je lim pn = f ravnomerno na
n→∞
kompaktnim podskupovima od C.
Dokaz. Postoji kompakt H tako da je H ⊂ G, i tako da C \ H ima samo
jednu komponentu (neograniˇcenu, naravno). Sada se uvek moˇze odabrati
E = {∞}.
Prethodna posledica ne vaˇzi ako C \ G nije povezan skup u C, kao ˇsto
pokazuje slede´ci primer.
1
Carl David Tolm´e Runge (1856-1927), nemaˇcki matematiˇcar i fiziˇcar
170
GLAVA 9. APROKSIMACIJA RACIONALNIM FUNKCIJAMA
Primer 9.1.2. Neka je f (z) = z1 za svako z ̸= 0, i neka je G = C \ {0}. Pretpostavimo da postoji niz polinoma (pn )n tako da je lim pn = f ravnomerno
n→∞
na kompaktnim podskupovima od G.
Tada za svako n ∈ N postoji neki polinom pn sa svojstom
1
− pn (z) < 1 , ako je 1 ≤ |z| ≤ n.
z
n
n
Za iste vrednosti promenljive z sledi da je ispunjeno
|1 − zpn (z)| ≤
|z|
≤ 1.
n
Ako je |z| = n, onda je
|pn (z)| =
1
1
2
1
|zpn (z)| ≤ |zpn (z) − 1| + ≤ .
n
n
n
n
Prema Principu maksimuma modula, sledi da je |pn (z)| ≤ n1 za svako z
sa osobinom |z| ≤ n. Specijalno, sledi da je pn (z) → 0 ravnomerno na
zatvorenom jediniˇcnom disku cl D. Poslednje tvrd¯enje oˇcigledno nije mogu´ce.
Posledica 9.1.3. Neka je K kompaktan podskup od C i neka je E = {αn :
n ∈ N} najviˇse prebrojiv skup razliˇcitih taˇcaka, tako a svakoj povezanoj komponenti skupa C \ K pripada taˇcno jedna taˇcka skupa E. Tada za svaku
funkciju f koja je analitiˇcka u nekoj otvorenoj okolini kompakta K, i za
svako ϵ > 0, postoji racionalna funkcija R ˇciji su svi polovi u skupu E, tako
da za svako z ∈ K vaˇzi |f (z) − R(z)| < ϵ.
9.2
Mitag-Leflerova teorema
Kao prirodna posledica Rungeove teoreme o aproksimaciji analitiˇcke funkcije
racionalnim funkcijama, name´ce se Mitag-Leflerova teorema.
Teorema 9.2.1. (Mitag-Leflerova teorema 2 ) Neka je G otvoren podskup
od C, neka je A = {α} skup razliˇcitih taˇcaka skupa G, tako da A nema
2
Magnus Gustaf (G¨osta) Mitag-Leffler (1846-1927), ˇsvedski matematiˇcar
9.2. MITAG-LEFLEROVA TEOREMA
171
taˇcaka nagomilavanja u G, i neka je svakom α ∈ A dodeljena neka racionalna
funkcija oblika
N (α)
∑ ck,α
Sα (z) =
, z ̸= α.
(z − α)k
k=1
Tada postoji meromorfna funkcija f na G, tako da su polovi funkcije f
samo taˇcke skupa A, i pri tome glavni deo Loranovog razvoja funkcije f u
taˇcki α ∈ A upravo jeste funkcija Sα .
Dokaz. Neka je (Kn )n niz kompaktnih podskupova od G, prema Tvrd¯enju
5.1.1. Neka je A1 = A ∩ K1 i neka je An = A ∩ (Kn \ Kn−1 ) za n ≥ 2. Skup
A nema taˇcaka nagomilavanja u G, stoga nema taˇcaka nagomilavanja ni u
jednom skupu Kn . Prema konstrukciji, An ⊂ Kn i Kn je kompaktan. Dakle,
An je konaˇcan skup za svako n ∈ N. Neka je
∑
Qn (z) =
Sα (z), z ∈ G.
α∈An
Skup An je, dakle, konaˇcan, te je Qn racionalna funkcija. Oˇcigledno, polovi
funkcije Qn leˇze u skupu Kn \ Kn−1 za n ≥ 2. Stoga je Qn analitiˇcka u nekoj
otvorenoj okolini kompakta Kn−1 .
Prema Rungeovoj teoremi, za svako n ∈ N postoji racionalna funkcija Rn
sa svojstvom da svi polovi funkcije Rn leˇze u skupu C \ G, kao i da za svako
z ∈ Kn−1 vaˇzi
1
|Rn (z) − qn (z)| < n .
2
Neka je
∞
∑
f (z) = q1 (z) +
(Qn (z) − Rn (z)),
n=2
za one z ∈ G za koje poslednji integral konvergira.
Neka je M ∈ N proizvoljan broj. Tada na skupu KM vaˇzi:
f = Q1 +
M
∑
n=2
(Qn − Rn ) +
∞
∑
(Qn − Rn ).
n=M +1
Svaki sabirak u drugoj sumi je po modulu manji od 21n na skupu KM . Dakle,
∞
∑
(Qn − Rn ) je ravnomerno konvergentan na KM ka analitiˇckoj funkciji.
n=M +1
172
GLAVA 9. APROKSIMACIJA RACIONALNIM FUNKCIJAMA
Sa druge strane, svaka racionalna funkcija Rn ima polove van G. Dakle,
f − (Q1 + · · · + QM ) = (R1 + · · · + RM ) +
∞
∑
(Qn − Rn )
n=M +1
∫
∫
je analitiˇcka funkcija u KM . Sledi da je funkrija f meromorfna u KM ,
i pri tome je glavni deo Loranovog razvoja u svakoj taˇcki α ∈ AM = A ∩
(KM \ KM −1 ) upravo jednak poˇcetnoj funkciji Sα .
Na osnovu osobina niza (Kn )n , dokazano je traˇzeno tvrd¯enje.
Literatura
[1] J. Bak, D. J. Newman, Complex analysis, Springer-Verlag, New
York, 1997.
[2] J. B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag,
New York, 1986.
[3] J. B. Conway, Functions of one complex variable II, SpringerVerlag, New York, 1995.
[4] T. W. Gamelin, Complex analysis, Springer-Verlag, New York,
2001.
[5] R. E. Greene, S. G. Krantz, Function theory of one complex variable, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997.
[6] K. Kodaira, Complex analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 2008.
[7] S. Lang, Complex analysis, Springer-Verlag, New York, 1999.
[8] M. Mateljevi´c,
Beograd, 2006.
Kompleksne funkcije,
Matematiˇcki fakultet,
[9] B. Mirkovi´c, Teorija mera i integrala, Nauˇcna knjiga, Beograd 1990.
[10] M. Niki´c, Osnovi kompleksne analize, Nauˇcna knjiga, Begorad,
1992.
[11] D. Periˇsi´c, S. Pilipovi´c, M. Stojanovi´c, Funkcije viˇse promenljivih:
diferencijalni i integralni raˇcun, Prirodno-matematiˇcki fakultet,
Novi Sad, 1997.
173
174
LITERATURA
[12] V. Rakoˇcevi´c, Funkcionalna analiza, Nauˇcna knjiga, Beograd, 1994.
[13] W. Rudin, Real and complex analysis, McGrow-Hill, New York,
1987.
[14] B. V. Shabat, Vvedenie v kompleksnyi analiz I,II, Nauka, Moskva,
1985.
[15] E. M. Stein, R. Shakarchi, Complex analysis, Princeton University
Press, Princeton and Oxford, 2003.
[16] R. Shakarchi, Problems and solutions for complex analysis,
Springer-Verlag, New York, 1999.
Index
analitiˇcki, 139
funkcija, 138
neprekidna, 14
putanja, 19
stereografska projekcija, 11
175
Download

Predavanja