PRINCIPI PRAKTIČNOG
IZRAČUNAVANJA SPEKTRA
Principi praktičnog izračunavanja spektra
X( f )
x(t )e
j2 πft
dt
• Treba omoguditi (barem približno) izračunavanje Fourierove
transformacije na računaru
• To znači:
 Izračunati spektar na osnovu odbiraka ulaznog signala, i to
konačno mnogo njih
 Dobiti i interpretirati rezultate u vidu niza brojeva
 Izvršiti izračunavanje što efikasnije (brzina, memorija)
 Minimizovati uticaj konačne tačnosti zapisa brojnih vrednosti
2
Principi praktičnog izračunavanja spektra
Ograničavanje trajanja signala
prozorska
funkcija
T
X ( f ) W( f )
x(t)w(t)e
j 2 πft
dt
x(t)e
0
j 2 πft
dt X ( f )
3
Principi praktičnog izračunavanja spektra
Odabiranje signala
• Izračunavanje spektra na osnovu odbiraka ulaznog signala
svodi se na korišdenje FTD umesto klasične FT
X(f )
x (t )e
j 2 πft
dt
→ X (ξ )
x (n)e
j 2 πξ n
n
4
Principi praktičnog izračunavanja spektra
Odabiranje signala
• Izraz za FTD bio je dobijen na osnovu izraza za spektar
signala odbiraka, za koji važi:
Xˆ ( f )
x(nT )e
n
j 2 πfnT
1
Tm
X ( f mfs )
• Ako nije ispunjen uslov teoreme o odabiranju, dolazi do
aliasinga – preklapanja ponovljenih spektara
• Aliasing se obično manifestuje poremedajem VF dela spektra
• Postaje nemogude izdvojiti osnovni opseg čak i idealnim NF
filtrom
5
Principi praktičnog izračunavanja spektra
Diskretizacija spektra
• Spektar se izračunava samo u konačno mnogo tačaka
ξk = k/N, k = 0, 1,... N – 1.
N 1
X (k)
x p(n)e
n 0
k
j2π n
N
x p(n)
x (n mN )
m
6
Principi praktičnog izračunavanja spektra
7
Uticaj ograničavanja trajanja signala
• Konvolucijom se spektar originalnog signala
izobličuje
• Ovaj uticaj bide analiziran u diskretnom domenu,
što ne predstavlja suštinsku razliku
x (n) x(n)w(n)
X (ξ )
x(n)w(n)e
j 2 πξ n
n
N 1
x(n)w(n)e
j 2 πξ n
X (ξ )
n 0
1/2
X (ξ ) X (ξ ) W (ξ )
X (λ)W (ξ
λ)dλ
1/2
8
Pravougaona prozorska funkcija
w(n)
1, 0 n N 1
0,
drugde
N 1
W (z )
z
n 0
n
1 z
1 z
1 e jNω
W (ω)
1 e jω
N
1
Nω
2 e
ω
sin
2
sin
j
N 1
ω
2
Nule W(ω) nalaze se na učestanostima ω
W (ω)
W (0) ω
3π
N
sin3π 2
:N
sin3π 2 N
1
N 3π 2N
2
3π
2π
k, k
N
1, 2,...
0,21
20log(0,21)
13dB
9
Frekvencijska rezolucija
• Širina osnovne arkade prozorske funkcije definiše
frekvencijsku rezoluciju
• Minimalno rastojanje između dve komponente koje de
se u spektru i dalje registrovati kao posebne jeste:
2π
Δω
N
Δf
fs
N
1
NT
f2
f1 [Hz]
10
Frekvencijska rezolucija
• Minimalna dužina prozorske funkcije za željenu
frekvencijsku rezoluciju Δf (Δω) jeste:
N
fs
Δf
2π
Δω
• Kako poboljšati frekvencijsku rezoluciju (smanjiti Δf =fs /N)?
 Smanjiti fs (pojačava se uticaj efekata odabiranja)
 Povedati N (ne pojačava se uticaj efekata odabiranja, ali je
potrebno obraditi više odbiraka u jedinici vremena)
• Bolja frekvencijska rezolucija znači lošiju vremensku
određenost
11
Curenje spektra (FTD)
• Izazivaju ga bočne arkade spektra prozorske funkcije
• U spektru prozoriranog signala javljaju se komponente i
na učestanostima na kojima ih nije bilo u originalnom
signalu
 Ne vide se osnovne arkade slabijih spektralnih komponenata
• Efekat se smanjuje korišdenjem boljih prozorskih funkcija
 Postoje prozorske funkcije sa potiskivanjem od blizu 100 dB
12
Curenje spektra (DFT)
• Ostaje pitanje da li de DFT odmerci FTD spektra verno
reprezentovati amplitude pikova u FTD spektru
 Konvolucija spektra prozorske funkcije sa komponentom u
spektru originalnog signala treba svojim vrhom da padne na
mesto DFT odbirka
 DFT odbirci nalaze se na učestanostima ωk = 2kπ/N, pa i
komponente u spektru originalnog signala treba da budu na
tim učestanostima
fs
k
N
f0
fs
k
N
N kN 0
N
kN 0
f0
13
Trougaona prozorska funkcija
w(n)
2n
N 1
,
0 n
N 1
2
2n
N 1
2
,
n N 1
N 1
2
0,
drugde
• Potiskivanje bočnih opsega se povedava na 26 dB
• Glavna arkada spektra otprilike je duplo šira, pa je frekvencijska
rezolucija pogoršana oko 2 puta
 To je mogude nadoknaditi uzimanjem 2 puta više odbiraka
4π
Δω
N
Δf
fs
2
N
fs
N 2
Δf
14
Još neke prozorske funkcije
Hannova prozorska funkcija
w(n)
2πn
, 0 n N 1
N 1
0,
drugde
0,5 0,5 cos
• Potiskivanje bočnih opsega: 31 dB
• Frekvencijska rezolucija kao kod trougaone
Hammingova prozorska funkcija
w(n)
0,54 0,46 cos
0,
2πn
, 0 n N 1
N 1
drugde
• Potiskivanje bočnih opsega: 43 dB
• Frekvencijska rezolucija kao kod trougaone
15
Spektri prozorskih funkcija
16
Frekvencijska rezolucija (primer 1)
• Nad signalom koji se sastoji od 4 sinusoide na 1, 1.5, 2.5 i
2.75 kHz, izvršeno je odabiranje učestanošdu fs = 10 kHz. Na
koliko se najmanje odmeraka sme ograničiti trajanje ovog
signala da bi se u FTD spektru dobila 4 odgovarajuda pika
a) ako se koristi pravougaoni prozor;
b) ako se koristi Hammingov prozor?
fs
10
a) N
40 odmeraka
Δf 0.25
fs
20
b) N 2
80 odmeraka
Δf 0.25
17
Frekvencijska rezolucija (primer 2)
• Nad delom signala u trajanju od 10 ms izvršeno je
odabiranje učestanošdu fs = 10 kHz. Poznato je da se signal
sastoji od sinusoida na f1 = 1 kHz, f2 = 2 kHz i na učestanosti
f3 koja je između f1 i f2. Koliko f3 sme da bude blizu f1,
odnosno f2, a da se još uvek jasno uočavaju odgovarajudi
pikovi u spektru, pod uslovom da se koristi pravougaoni
prozor?
N
fs Δt 10 kHz 10 ms 100 odbiraka
fs
Δf
100 Hz
N
f1 Δf 1.1 kHz
f3 1.9 kHz
f2 Δf
18
Kako dobiti diskretan spektar?
• Diskretan spektar imaju samo periodični signali
 Periodični kontinualni signali mogu imati beskonačno
mnogo harmonika u spektru
 Periodični diskretni signali ih imaju konačno mnogo
• k-toj komponenti spektra odgovara učestanost 2kπ/N
• Posle N komponenata sve se ponavlja
2π
j nk
1N 1
x p(n)
X (k)e N
Nk 0
19
Razvoj periodičnog signala u Fourierov red
2π
j nk
1N 1
x p(n)
X (k)e N
Nk 0
1N 1
x p(n)
X (k)WN nk
Nk 0
N 1
nr
N
x p(n)W
n 0
1N
Nn
N 1
k
N 1
X (k)
1N 1
Koliko iznose koeficijenti X(k)?
WN
X (k)WN (k
e
j
2π
N
r )n
0k 0
1 N 1 (k
X (k)
WN
Nn 0
0
r )n
X (r )
x p(n)WNnk
n 0
20
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
• Preslikavanje periodičnog diskretnog signala
x(n) periode N u niz kompleksnih brojeva:
N 1
X (k)
x(n)e
j
2π
nk
N
n 0
• Dobijeni niz takođe je periodičan sa periodom N
• Inverzna DFT data je izrazom:
2π
j nk
1N 1
x(n)
X (k)e N
Nk 0
21
Veza DFT i FTD
• Pomodu DFT praktično je izvršena diskretizacija FTD,
pošto važi:
X (k) X (ω) ω
k
2π
N
gde je x (n) signal koji sadrži samo početnu periodu
signala x(n)
22
Osobine DFT
Periodičnost
X (k) X (k N)
Linearnost
DFT {ax (n) by (n)} aX (k) bY (k)
Vremenski pomeraj
DFT { x(n m)} e
Modulacija
DFT {e
j
2π
nl
N
x(n)}
j
2π
km
N
X (k)
X (k l)
23
Osobine DFT
DFT realnog signala
Ako je diskretni signal x(n) realan,
X(N k) X( k) X (k) (hermitska simetrija)
Ovo se svodi na: Re{ X ( k)} Re{ X (k)}
Im{ X ( k)}
Im{ X (k)}
ili, što je ekvivalentno:
X ( k)
X (k)
arg{ X ( k)}
arg{ X (k)}
24
Osobine DFT
Transformacija konvolucije
DFT{ x(n) y(n)} X (k)Y (k)
Transformacija proizvoda
DFT { x(n)y(n)}
1
X (k) Y (k)
N
Parsevalova teorema
N 1
x(n)
n 0
2
1N 1
2
X (k)
Nk 0
25
Download

PDT 4 - Prakticno izracunavanje spektra.pdf