Grupe predispitnih zadataka tipa B iz
Numeriˇ
cke matematike za ˇ
skolsku 2012/13
(odseci: OG, OT, OE, OS, OF)
UPUTSTVO ZA ODABIR I IZRADU SEMESTRALNOG RADA:
Ovo je jedan od naˇcina ispunjavanja predispitnih obaveza. Ispit nosi 70 poena, a predispitne obaveze 30 poena (uzima se u obzir ukoliko je poloˇzen ispit).
U prvom delu dokumenta su date tri grupe zadataka. Iza spiska zadataka data je tabela
kombinacija zadataka npr. B1(–,3,20) ˇsto znaˇci da student koji odabere kombinaciju
B1 radi 3. zadatak iz druge grupe Numeriˇcka integracija i 20. zadatak iz tre´ce grupe
Sistemi linearnih jednaˇcina, nelinearne jednaˇcine i obiˇcne diferencijalne jednaˇcine. U
ovoj kombinaciji se ne radi zadatak iz prve grupe Numeriˇcka interpolacija i diferenciranje. Studenti koji odaberu da rade zadatke koji se odnose na numeriˇcko reˇsavanje
obiˇcnih diferencijalnih jednaˇcina rade samo jedan zadatak (kombinacije 60-64).
Studenti prijavljuju semestralni rad na mejl [email protected] sa podacima ime,
prezime, broj indeksa, odsek i ˇzeljena kombinacija. Semestralni rad je prijavljen kada
dobijete povratnu informaciju na mail da je prijava prihva´cena. Jednu kombinaciju
moˇze da prijavi najviˇse 4 studenta. Zadaci se rade samostalno.
Semestralni radovi treba da sadrˇze naslovnu stranu sa podacima: ime, prezime, broj
indeksa, odsek, ˇskolska godina, broj kombinacije koja je rad-ena. Obavezno je navesti
tekst zadatka koji se reˇsava. Zadatke treba uraditi u nekom tekstualnom editoru ili
u nekom od matematiˇckih programskih paketa (npr. MuPAD, Maple, Mathematika,
MatLab, Derive, MS Excel, OO Calc . . . ). Semestralni radovi se u elektronskoh formi
ˇsalju na mejl [email protected] i obavezna je predaja ˇ
stampane verzije rada
(u suprotnom rad ne´ce biti pregledan niti ocenjen), a najkasnije do termina ispita u
prvom ispitnom roku (junski). Termini za predaju radova ´ce biti zakazani naknadno.
Po potrebi se zakazuju termini za odbranu radova. Semestralni radovi koji nisu
rad-eni samostalno bi´
ce bodovani sa 0 poena, bez mogu´
cnosti popravke.
Studenti koji ˇzele da rade drugaˇciji tip semestranih radova, u timu po dvoje, mogu
da se jave Nataˇsi Babaˇcev putem mejla [email protected] ili u pauzi ˇcasova.
Sva pitanja u vezi izrade zadataka moˇzete postaviti putem mejla [email protected]
I. Numeriˇ
cka interpolacija i diferenciranje
x
e
1. Funkciju f (x) = cos
tabelirati na intervalu [2, 5; 3, 5] sa korakom h = 0, 1 na
x
5 decimala. Zatim, formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg
stepena, reˇsiti jednaˇcinu
f (x) = −18
i proceniti greˇsku interpolacije.
1
2. Odrediti optimalan korak h numeriˇckog diferenciranja po formuli:
f ′ (x0 +
f2 − f0
2h
)=
,
3
2h
za fi = f (xi ).
3. Tabelom je zadana funkcija f (x)
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
f (x) 0.901951 0.978432 1.052661 1.124724 1.194703 1.262688 1.328751
Formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena, reˇsiti jednaˇcinu
f (x) = 1.
4. Funkciju f (x) = ln x · cos 2x tabelirati na [4, 6.7] sa korakom h = 0.3 sa 5
decimala. Zatim, formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg
stepena, odrediti taˇcku maksimuma funkcije f (x), vrednost maksimuma f (x) i
oceniti greˇsku interpolacije. Uporediti sa analitiˇckim reˇsenjem.
5. Odrediti optimalan korak h za numeriˇcko diferenciranje po formuli
1
1
[∆f (x0 ) − ∆2 f (x0 )],
h
2
pri ˇcemu su vrednosti funkcije odred-ene u ekvidistantnim ˇcvorovima.
f ′ (x0 ) ≈
6. Funkcija f (x) je zadata tabelom:
x
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5
1.7
1.9
f (x) -0.00375 0.00471 0.011729 0.017627 0.022641 0.026946 0.030673
Formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena odrediti nulu
funkcije f (x).
7. Polinom tre´ceg stepena P3 (x) dat je svojim vrednostima u ˇcvorovima prikazanim
u tabeli.
x
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
P3 (x) 0.995124 0.996863 0.998230 0.999207 0.999800
x
1.00
1.01
1.02
1.03
P3 (x) 0.999999 0.999798 0.999191 0.998172
Ako se zna da je jedna vrednost polinoma pogreˇsno zapisana, ispraviti greˇsku i
napisati eksplicitni izraz za polazni polinom.
8. Funkcija je zadana tabelom
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
f (x) 1.71828 1.79417 1.88012 1.97930 2.09520 2.23169
Koriste´ci konaˇcne razlike, zakljuˇcno sa ˇcetvrtim redom, izraˇcunati f (2.87) i proceniti greˇsku interpolacije.
9. Formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena reˇsiti jednaˇcinu
7f (x) = 22 za funkciju f (x), koja je zadata tabelom
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
f (x) 2.62188 2.79665 2.95358 3.09518 3.22383 3.34138 3.44926 3.54864
i proceniti greˇsku.
2
10. Odrediti optimalan korak h numeriˇckog diferenciranja po formuli
f ′′′ (x) =
f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x − h) − f (x − 2h)
.
2h3
11. Odrediti optimalan korak h za numeriˇcko difirenciranje po formuli
f ′ (x) =
−3f (x) + 4f (x + h) − f (x + 2h)
.
2h
x)
12. Funkciju f (x) = sin(ln
tabelirati na intervalu [5.2, 6.1] na 4 decimale sa korakom
4−x
h = 0.1. Koriste´ci konaˇcne razlike zakljuˇcno sa ˇcetvrtim redom, izraˇcunati f (5.35)
i proceniti greˇsku.
13. Funkcija f (x) je data tabelom:
x
f (x)
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.2431 1.1486 1.2095 1.4606 1.9391 2.6846
Formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena odrediti taˇcku
ekstremuma funkcije f (x), vrednost funkcije f (x) u toj taˇcki i oceniti greˇsku interpolacije.
sin x
14. Funkciju f (x) = 1+x
Za2 tabelirati na [0, 2] sa korakom 0.2 sa 5 decimala.
tim, formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena, reˇsiti
jednaˇcinu
f ′ (x) = 1.
II. Numeriˇ
cka integracija
1. Oderediti A, B, C i D tako da formula za numeriˇcku integraciju
∫
1
−1
f (x)dx = Af (−1) + Bf (1) + Cf ′ (−1) + Df ′ (1) + R(f ),
bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce viˇseg stepena, a zatim proceniti
greˇsku
∫ π2
R(f ). Na osnovu dobijene formule odrediti vrednost integrala I = 0 sin tdt.
2. Odrediti brojeve A, B i C tako da formula za numeriˇcku integraciju
∫
+∞
e−x f (x)dx = Af (0) + Bf (1) + Cf (2) + R(f )
0
bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce viˇseg stepena i odrediti stepen taˇcnosti
dobijene formule.
3. Izvesti kvadraturnu formulu oblika
∫
1
 √ 
√ 
3
3
+ Bf (0) + Cf 
+ R(f ),
f (x)dx = Af −
5
5
−1
tako da ona bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce viˇseg stepena, a zatim proceniti
red greˇske R(f ) tako dobijene formule.
3
4. Simpsonovom kvadraturnom formulom, sa taˇcnoˇs´cu ϵ = 0.5 ∗ 10−4 izraˇcunati
vrednost integrala
π
∫
√
2
I=4
1 − (1 − a2 ) sin2 xdx.
0
za vrednost parametra a = 0.5 i a = 1.5.
5. Numeriˇckom metodom po izboru odrediti vrednost integrala
∫
log(1 + x2 )
√
dx,
3
1 + x + x2
1
−1
sa taˇcnoˇs´cu 10−5 .
6. Sa taˇcnoˇs´cu ε = 0.5 · 10−5 , izraˇcunati vrednost integrala
∫
sin x1
dx.
1 + x3
+∞
5
7. Izraˇcunati integral
1 ∫ 5 − x2
√
e 2 dx,
2π −∞
Njutn-Kotesovom kvadraturnom formulom po izboru, sa taˇcnoˇs´cu 10−5 .
8. Sa taˇcnoˇs´cu ε = 0.5 · 10−5 , izraˇcunati vrednost integrala
∫
π/2
√
0
dx
1 − sin2
π
8
sin2 x
.
9. Izvesti kvadraturnu formulu oblika
∫
1
−1
f (x)dx = A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ) + A3 f (x3 ) + R(f ),
gde su x1 i x2 i x3 nule Leˇzandrovog polinoma tre´ceg stepena, tako da ona bude
taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce ve´ceg stepena
i proceniti greˇsku. Primenjuju´ci
∫1
dobijeni rezultat odrediti vrednost integrala −1
chx cos xdx.
Napomena: Leˇzandrov polinom stepena n je polinom Ln =
1 dn
((x2
2n n! dxn
− 1)n ).
10. Odrediti brojeve A, B i C tako da formula za numeriˇcku integraciju
∫
1
f (x)dx = Af (1/4) + Bf (1/2) + Cf (3/4) + R(f )
0
bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce ve´ceg stepena i odrediti stepen taˇcnosti do∫ π/2
bijene formule. Primenjuju´ci dobijeni rezultat odrediti vrednost integrala π/4 sinx x .
11. Izraˇcunati trapeznom i Simpsonovom metodom, sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , integral
∫
5
√
1+
0
4
√
xdx.
12. Odrediti brojeve A, B, C, D i a tako da formula za numeriˇcku integraciju
∫
1
−1
f (x)dx = Af (a) + Bf (−a) + Cf (0) + Df ′′ (0) + R(f ),
bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce ve´ceg stepena i odrediti stepen taˇcnosti
do∫ 2 x sin x
bijene formule. Primenjuju´ci dobijeni rezultat odrediti vrednost integrala 1 x
dx.
13. Numeriˇckom metodom po izboru izraˇcunati, sa taˇcnoˇs´cu 10−5
∫
0
1
sin x
√ dx.
x
III. Sistemi linearnih jednaˇ
cina, nelinearne jednaˇ
cine i
obiˇ
cne diferencijalne jednaˇ
cine
1. Reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina na dva naˇcina, metodom LU dekompozicije i
jednom iterativnom metodom,
100x1 − 24x2 + 48x3 − 23x4
5x1 + 100x2 − 44x3 − 31x4
10x1 − 3x2 + 100x3 + 55x4
−12x1 + 7x2 − 11x3 + 100x4
=
=
=
=
39
72
56
47
rade´ci sa 5 decimala.
2. Reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina na dva naˇcina, metodom LU dekompozicije i
jednom iterativnom metodom,
1.00x1 + 0.42x2 + 0.54x3 + 0.66x4
0.42x1 + 1.00x2 + 0.32x3 + 0.44x4
0.54x1 + 0.32x2 + 1.00x3 + 0.22x4
0.66x1 + 0.44x2 + 0.22x3 + 1.00x4
=
=
=
=
0.3
0.5
0.7
0.9
rade´ci sa 5 decimala.
3. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, na´ci inverznu matricu matrice:


1.58 0.46 0.64


A =  0.44 1.66 0.58 
0.82 0.42 1.82
rade´ci sa pet decimala.
4. Reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina na dva naˇcina,
8.467x1 + 5.137x2 + 3.141x3 + 2.063x4
5.137x1 + 6.421x2 + 2.617x3 + 2.003x4
3.141x1 + 2.617x2 + 4.128x3 + 1.628x4
2.063x1 + 2.003x2 + 1.628x3 + 3.446x4
rade´ci sa pet decimala.
5
=
=
=
=
29.912
25.058
16.557
12.690
5. Sa taˇcnoˇs´cu 10−6 Gaus-Zajdelovom i Jakobijevom metodom reˇsiti sistem
x1 +6x2 +x3
3x1
+10x3
x2
8x1 −x2
+x4
2x4
+12x4
x3
−13x5 +2x6
+x6
+x5 −7x6
−3x5
= 5
= 6
= −3
= 4
= 2
= 1
6. Reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina Ax = b na dva naˇcina, a zatim izraˇcunati detA,
ako je




A=
2 4 −2 8
1 4 3 −2
3 10 3 −12
1 9 14 −14






b=



−4
14
34
53





rade´ci sa pet decimala.
7. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, na´ci inverznu matricu matrice:




A=

1 4 1 3
0 −1 2 −1 


3 14 4 1 
1 2 2 9
raˇcunaju´ci sa 5 decimala.
8. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina sa
taˇcnoˇs´cu 10−4 .
5x1 −x2 +x3 +3x4 = 2
5x2 +2x3 −x4 = 0
x1 −2x2 +3x3 +x4 = 4
x1 −x2 +3x3 +4x4 = 10
9. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina
2.4x1 + 0.2x2 − 0.3x3 − 1.1x4 + 5.8x5
0.3x1 + 0.1x2 + 1.1x3 + 10.2x4 + x5
0.5x1 − 6.2x2 + 0.1x3 + 1.5x4 − 1.2x5
0.1x1 + 2.1x2 + 5.1x3 + 0.2x4 − 0.3x5
2.5x1 + 0.1x2 + 0.2x3 + 0.3x4 + 0.4x5
=
=
=
=
=
23.84
38.85
17.23
6.56
6.63
rade´ci sa ˇcetiri decimale.
10. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, na´ci inverznu matricu matrice:




A=

3
1 −1 2
−5 1
3 −4 


2
0
1 −1 
1 −5 3 −3
rade´ci sa 4 decimale.
6
11. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, izraˇcunati vrednost determinante,
rade´ci sa 5 decimala:
D=
1.46
1.21
0.29
1.19
1.41
2.40
1.19
1.61
1.29
2.18
2.14
2.70
1.43
2.48
2.33
5.46
12. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina
2x1 − 4x2 − 3.25x3 + x4
3x1 − 3x2 − 4.3x3 + 8x4
x1 − 5x2 + 3.3x3 − 20x4
2.5x1 − 4x2 + 2x3 − 3x4
=
=
=
=
4.84
8.89
−14.01
−20.29
rade´ci sa 5 decimala.
13. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4
x1 + 4x2 + 9x3 + 16x4
x1 + 8x2 + 27x3 + 64x4
x1 + 16x2 + 81x3 + 256x4
=
=
=
=
2
10
44
190
rade´ci sa 5 decimala.
14. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 − 2x5
8x1 + 8x2 + 5x3 + 2x4 − 3x5
4x1 + 7x2 + 7x3 + 3x4 + x5
8x1 + 8x2 + 11x3 + 10x4
12x1 + 13x2 + 11x3 + 9x4 − x5
=
=
=
=
=
−2
2
16
12
12
rade´ci sa 5 decimala.
15. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , odrediti sva
realna reˇsenja jednaˇcine:
x3 − x − 4 = 0.
16. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu 10−5 na´ci sva reˇsenja
jednaˇcine
sin x − 5x + 0.5 = 0.
17. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu ε = 0.5 · 10−4 , odrediti
sva realna reˇsenja jednaˇcine
x5 − 5x4 − 4x3 + 20x2 − 5x + 25 = 0.
18. Rade´ci sa pet decimala izraˇcunati tri reˇsenja jednaˇcine
x(1 + cos x) = 1.
7
19. Sa taˇcnoˇs´cu ε = 0.5 · 10−4 , odrediti sva reˇsenja jednaˇcine
xthx − x2 = −1
primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode.
20. Sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti jednaˇcinu:
sin x
= (x − 2)3 .
x
21. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , odrediti sva
pozitivna reˇsenja jednaˇcine:
sin x = x3 + 0.1.
22. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , odrediti sva
reˇsenja jednaˇcine
x2 − 1 + ln (x + 1) = 0.
23. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu 10−5 , na´ci sva reˇsenja
jednaˇcine:
e−x sin (3x + 2) + x = 0.5.
24. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu 10−5 , na´ci sva reˇsenja
jednaˇcine:
e−x − 0.5(x − 1)2 = −1.
25. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y ′ = x2 + xy + y 2 + 1,
y(0) = 0,
na intervalu [0, 0.5] sa taˇcnoˇs´cu 5 · 10−2 .
26. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y ′ = xy(y 2 − 1),
1
y(0) = ,
2
na intervalu [0, 1] sa taˇcnoˇs´cu 10−1 .
27. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y ′ = x2 + cos y,
y(1) = 0,
na intervalu [1, 1.4] sa taˇcnoˇs´cu 5 · 10−2 .
28. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y ′ = ex − y 2 ,
y(0) = 0,
na intervalu [0, 0.4] sa taˇcnoˇs´cu 5 · 10−2 .
29. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y′ =
1
− xy,
y2
na intervalu [1, 1.5] sa taˇcnoˇs´cu 10−1 .
8
y(1) = 1,
SPISAK KOMBINACIJA ZA IZBOR:
Kombinacija
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
B12
B13
B14
B15
B16
B17
B18
B19
B20
B21
B22
B23
B24
B25
B26
B27
B28
B29
B30
B31
B32
I
−
3
5
−
9
11
−
2
4
−
8
10
−
14
1
−
3
4
−
6
−
8
−
10
11
−
13
14
−
3
5
−
II III
13 1
− 2
11 −
10 4
− 5
8 −
7
7
− 8
5 −
4 10
− 11
2 −
1 13
− 14
12 −
11 16
10 −
− 18
8 19
− 20
6 21
5 −
4 23
− 24
2 −
1
2
− 3
12 −
11 5
10 −
− 7
8
8
Kombinacija
B33
B34
B35
B36
B37
B38
B39
B40
B41
B42
B43
B44
B45
B46
B47
B48
B49
B50
B51
B52
B53
B54
B55
B56
B57
B58
B59
B60
B61
B62
B63
B64
9
I
9
11
−
2
4
−
8
10
−
14
1
2
−
4
5
−
7
8
−
10
11
−
13
14
1
−
7
−
−
−
−
−
II III
− 9
6 −
5 11
− 12
3 −
2 14
− 15
13 −
12 17
− 18
10 −
− 20
8 21
− 22
6 −
5 24
− 1
3 −
2
3
− 4
13 −
12 6
− 7
10 −
− 9
8 10
− 11
− 25
− 26
− 27
− 28
− 29
Download

odseci: OG, OT, OE, OS, OF