UNIVERZITET U KRAGUJEVCU
TEHNIČKI FAKULTET ČAČAK
SEMINARSKI RAD
PREDMET : INŽENJERSKA MATEMATIKA
TEMA : NUMERIČKA INTEGRACIJA
Profesor:
Dr Vera Lazarević
Student:
1. UVOD
U okviru ovog seminarskog rada biće razrađen uopšteni algoritam za rešavanje
numeričkih integrala Simpsonovom metodom sa ciljem da se kompletan postupak
rešavanja ovakvih problema učini jednostavnijim . Razrada tako definisanog algoritma
polužiće kao osnova za rešavanje integrala primenom programskog paketa Mathematica ,
gde će biti prikazan postupak implementiranja datog algoritma na jednostavnom primeru
. Pored ovog , konkretnog primera rešavanja integrala , biće reči i o osnovama numeričke
integracije sa osvrtom na Njutn-Kotesove kvadraturne formule , Simpsonovu metodu ,
problem njene tačnosti i Runge-ovu metodu približne ocene greške bez zalaženja u
detalje .
1.1 Numerička integracija – osnovno
Numerička integracija funkcija sastoji se u približnom određivanju integrala na
osnovu vrednosti podintegralne funkcije u određenim tačkama . Formule za numeričko
izračunavanje jednostrukih integrala nazivaju se kvadraturne formule .
Potreba za numeričkom integracijom javlja se u velikom broju slučajeva . Naime ,
ako je funkcija f x neprekidna na odsečku a, b i ima primitivnu funkciju F x , onda
važi Njutn-Lajbnicova formula :
b
f x
F b
F a .
a
Međutim , u mnogim slučajevima primitivna funkcija se ne može naći elementarno ili je
isuviše složena pa je izračunavanje po prethodnoj formuli teško ili uopšte neizvodljivo .
Pored toga , kod integracije funkcija čije su vrednosti poznate samo na diskretnom skupu
tačaka nije moguće primeniti prethodnu formulu .
Veliki broj kvadraturnih formula ima oblik :
b
n
f x dx
a
Ai f xi ,
i 0
gde su xi i 0, n čvorovi integracije , a Ai težinski koeficijenti i oni se najčešće
određuju iz uslova „ maksimalne tačnosti “ ili „ maksimalno moguće tačnosti “ . Ako
krajnji čvorovi integracije zadovoljavaju uslov x0 a i xn b , za integracionu formulu
kažemo da je zatvorenog tipa .
Za funkciju f x
Pn x
Rn x uzimamo da je :
2
b
b
b
Pn x dx sa greškom R
f x dx
a
Rn x dx .
a
a
Ako pođemo od Lagranžovog interpolacionog polinoma :
n
n 1
Ln x
i 0
x xi
x
/
n 1
n
x
yi
pi x yi ,
i 0
onda je :
b
n
f x dx
Ai yi
R,
i 0
a
gde je :
b
Ai
b
pi x dx
a
a
x x0 x x1  x xi 1 x xi 1  x xn
xi x0 xi x1  xi xi 1 xi xi 1  xi xn
Primećuje se da koeficijenti Ai ne zavise od izbora funkcije y f x , pri datom
izboru čvorova . Zato se za dati izbor čvorova mogu izračunati koeficijenti i tako dobiti
kvadraturna formula koja se koristi za različite neprekidne funkcije f x .
1.2 Njutn – Kotesove kvadraturne formule
U narednom delu dobijaju se kvadraturne formule zatvorenog tipa u kojima su
b a
.
interpolacioni čvorovi xi x0 ih, i 0, n uzeti ekvidistantno sa korakom h
n
U slučaju kada je x0 a i xn b , a ostali čvorovi ekvidistantni , integracijom
Lagranžovog interpolacionog polinoma dobijaju se Njutn – Kotesove formule i one su
sledećeg oblika :
b xn
n
f x dx
Cin yi ,
b a
i 0
a x0
n 1
Cin
n
1
q q 1 q n
dq
n i! n i ! 0
q i
U praksi se najčešće sreću specijalni slučajevi Njutn – Kotesove formule , koja se
primenjuje na :
(1) dva čvora , tj n 1 - trapezna formula ;
3
(2) tri čvora , tj n
2 - Simpsonova formula .
1.3 Simpsonova formula
Kod Simpsonovog pravila imamo 3 ekvidistantna čvora , pa je interpolacioni
polinom drugog stepena . Za n 2 dobijamo sledeće Njutn – Kotesove koeficijente :
C
2
1 q q 1 q 2
dq
40
q
C12
2
3
2
0
Iz a
x0 i b
x2 sledi b a
b x2
f x dx
1
6
2h
a x0
1
y0
6
2
y1
3
x2
2h , pa je :
x0
1
y2
6
R1
h
y0
3
4 y1
y2
R1
Kao i kod trapezne integracione formule , i ovde , proizvoljan segment a, b podelimo
na podsegmente , pa na svakom od njih uzmemo 3 čvora na podjednakom rastojanju i
primenimo Simpsonovo pravilo . To znači da će sada segment a, b sadržati 2n
podsegmenata .
b a
dobijamo 2n 1 čvor xi x0 ih . Sada na
2n
svaki podsegment x0 , x2 , x2 , x4 ,, x2n 2 , x2n primenimo Simpsonovo pravilo . Opšta
Simpsonova formula glasi :
Dakle , uzimajući korak h
b x2 n
f x dx
a x0
h
3
y0
y2 n
4 y1
y3  y2 n
y4  y2 n
2 y2
1
R
2
1.4 Problem tačnosti Simpsonove formule
Za jedan podsegment x0 , x2 greška metode je :
R1
M3
3!
x2
x x0
x x1 x x2 dx
x0
x x0 dx hdq
,
h q 0, 2
0
4
To znači da je RM 0 , što je nemoguće u opštem slučaju , jer se funkcija i
interpolacioni polinom razlikuju . Dobijeni rezultat R1 0 znači da je formula tačna za
polinome stepena 3 , a greška će biti četvrtog reda :
R1
M4
4!
x2
2
x x0
x x1 x x2 dx
x0
M 4 h5
90
Ukupna greška metode je :
RM
Totalna greška je : RT
b a h4 M 4
.
180
r gde je r
RM
r
b a greška računa .
1.6 Runge – ova metoda približne ocene greške numeričke integracije
Procenu greške ne moramo računati majorizacijom n - tog reda izvoda , već
upoređivanjem dva rezultata dobijena istom metodom , ali sa različitim koracima .
Najčešće se koriste koraci h1
h
i h2
2
h , pa ako se ne postigne zadovoljavajuća
h
,
4
Specijalno , za Simpsonovo pravilo greška Rungea ima sledeći oblik :
tačnost , prelazi se na korak h3
R t
I h1
h2
h1
I h2
I h1
4
1
I h2
24 1
,
Pri čemu su I h1 , I h2 izračunate vrednosti integrala sa korakom h1 , odnosno h 2 pri čemu
je h1
h2 .
2 IZRADA ALGORITMA
Na sledećoj slici biće prikazan uopšteni algoritam za rešavanje numeričkih
integrala Simpsonovom metodom :
5
Početak
a,b,f(x),
R,k,n
n1=2*n
r=½ (b-a)*10ˆ-k
Rm =R-r
h=(b-a)/2*n
h1=h/2
P=f(x[2])+f(x[4])+...+f(x[2*n])
NP=f(x[3])+f(x[5])+...+f(x[2*n-1])
PP=f(x[1])+f(x[2*n+1])
h´=h/2
P1=f(x[2])+f(x[3])+...+f(x[2*n])
NP1=f(x[2])+f(x[4])+...+f(x[2*n1])
J=⅓h*(PP+2*NP+4*P)
J1=⅓h1*(PP+4*NP1+2*P1)
RF=abs(J1-J)/(2ˆk-1)
Tačno
RF<Rm
Netačno
r,Rm,J1,J,RF
6
U bloku ulaznih podataka nalaze se granice integrala ,zadata podintegralna funkcija ,
zadata greška i broj decimala kao i broj čvorova .
Na osnovu ovog algoritma zadatak se može rešiti i primenom programskog
paketa Mathematica uz korišćenje određenih komandi koje taj program zahteva . Ovde
1
će biti prikazan postupak rešavanja integrala
cos x 2 dx primenom metode numeričke
0
integracije . Po potrebi se mogu menjati ulazni podaci ( granice integrala , podintegralna
funkcija … ) , tako da program nije ograničen za rešavanje samo ovog konkretnog
primera . Na kraju je izvršeno poređenje rezultata dobijenog numeričkom metodom i
rezultata dobijenog klasičnim integraljenjem korišćenjem funkcije NIntegrate tako da se
na taj način proverava tačnost numeričke metode .
7
k  5.0;
n  5.0;
n1  2  n;
ba
r
 10k;
2
Print"Vrednost greske r  ", r
Rm  R  r;
Print"Vrednost greske Rm ", Rm
ba
h
;
2n
Print"Korak iznosi h", h
h
h1  ;
2
y  Tablef, x, a, b, h;
Print"Niz y vrednosti ", y
z  Tablef, x, a, b, h1;
Print"Niz z vrednosti ", z
Parni  Sumyx, x, 2, 2  n, 2;
Neparni  Sumyx, x, 3, 2  n  1, 2;
PP  Sumyx, x, 1, 2  n  1, 2  n;
Parni1  Sumyx, x, 2, 2  n, 1;
Neparni1  Sumzx, x, 2, 2  n1, 2;
 PP  2  Neparni  4  Parni;
3
Print"Vrednost integrala za korak h je ", J
h1
J1 
 PP  4  Neparni1  2  Parni1;
3
Print"Vrednost integrala za korak h1 je ", J1
AbsJ1  J
RF 
;
2k  1
J
h
J2  NIntegratef, x, 0, 1;
Print"Vrednost integrala bez izvodjenja metode numericke integracije i
Print"Rungeova ocena greske je ", RF
IfRF  Rm, J, Uzeti_manji_korak_h;
Print"Konacna vrednost integrala iznosi ", J
8
Vrednost greske r  5.  106
Vrednost greske Rm = 0.000045
Korak iznosi h= 0.1
Niz y vrednosti
{1,0.99995,0.9992,0.995953,0.987227,0.968912,0.935897,0.882
333,0.802096,0.689498,0.540302}
Niz z vrednosti
{1,0.999997,0.99995,0.999747,0.9992,0.998048,0.995953,0.992
506,0.987227,0.979567,0.968912,0.954595,0.935897,0.912067,0
.882333,0.845924,0.802096,0.750155,0.689498,0.61965,0.54030
2}
Vrednost integrala za korak h je
Vrednost integrala za korak h1 je
0.904524
0.904524
Vrednost integrala bez izvodjenja metode numericke
integracije iznosi 0.904524
Rungeova ocena greske je 7.42308  1010
Konacna vrednost integrala iznosi
0.904524
9
Literatura:
[1] ……………..
10
Download

Primer jednog seminarskog rada