'aBgfu>1
nluupzr uoupeJeu n alruo{{lo auo as rq ep 'a>1qar8 alnuaurod tsu n?e>in 1[o1 eut.ts
ueie q"z $lq n? ed 't1eqa.i8 qqsrcdutiq zeq qe,zi e?oul au t31fu1 tupalt1q
'uuqftoqod apnq a8rtu4 luTrpes up rppnSouo ns
rurrlo4 urueqpaurtrd l turutlSa8ns tupslro{ uu slxlluazua)eJ es uatnftelqeT
'aloeznulldo apo]ehJ I €{I13uIa13IIr e>l?IratunN
I1$lqo nle,tulnzt r[o4 turuo tsurl^s I t ot4 erutfipn]s url{sro}Iop eu 'e1neu
?urlluapnls oua,rlsua.trd ualuaueu al 4uaqTpn fua'O
qp{?Iuqe}
"1a}ln{€g
'uurrraurgd urrulrleJlsnp uetldarllod oap u1s[rroa1 rqrpus a!1,tu13od o4arg
'eJnlsJeJli eua?qlJo{ lesrds
r oerl e,rourlod qruagqrrol s{epul I l?rp"s u31fq 'e[1.tt13od q$epe^?u perod
'qr^nrkuaurord aqr..' t[rc4unJ
llsouperl auluaJls{g '9
kualqord mlrodsutr,tr'g
iuralqord rulsng '?
lepolau s4aldurg 'g
:"po1au qQU"rC 'Z
lr,rourfod 1upo
n 'I
araflcezrurldo apolat{
leuqeupet qruleficuare;tp afur,aeqar
o{?uelunN'l
:elner8alug BIQITaIIInN'g
la[utrrauara;Ip o{?IJauInN g
leur2eupaf qlurtsautlau
pIe]$S 't
:euqtupaf qlur"euqeu aiuaeqar o{?IralunN '8
lefn>1un;
afpttutslordy'7
lmaforq 1u?{qlrd
'I
Bzrl?u€ e)lQlreurnN
lqra.rfluaruord qlulear aqlt et1a1un3 eul€ag
'I
qprgfpautord aqur a[tr>1uq4
:(eft.r,e18od
fI)
€lep
I
zI es tlolsus I
"u"rls
Z0Zvutl stdolng
ro^o8pord
68
/a
98
z8
i8
08
'
papvz
9'v
' spolalll ? QuosJeu-uln[N v'v
?^olept€z-snsc g'r
"polau
' ?poletu e^afrqo{?r
'
I3e,pvz
lV
),.t.
acJ?es epolal,^[ g't
s^orrlnlN s't
y't
a'1ue3u?1 Epoletll
tt
rrdn1sodru^lleJall Z't
eugpuupafi
.............
:
'
rr.rrrurrri".,
"''' "''
'
d'H;:f:ffi:]-Jj I
9'z
rr,rrto*r;r,'ff1lili i2
efrorlung ofrcerursqo.rdy
o6
17,
YZ
IT
iI
I
?;v
rcdn?sod rrr^rl?JalT
Brrl?Bupof q-Iureaullou Iluolsls
.
LL
'L
OL
eluaft.r.olodBpolary
' aftruralt €pola6
89
99
99
v9
v9
pepzz
to
L)
z9
Ig
68
l"c
urourlod poroelodralut,touln[61 Z'Z
ruoulod luorcelodralut ,,ro4uer8t1 l'Z
88
.
0t
rr€p"z
Z
g.I
' esarord 3o>121raunu lsoulrqels V'I
uralqord lnurqg 'afiarluny al{qar3 t'I
uralqord upplarrg 'a[tc4un; a{Far3 (,'I
' alpa;8 eforugag I'I
t7,
rrrefolq -ru?llqlrd
T?,
I
vzrTvNv vxcftIsl^lnN
TZ
8I
8I
9r
YT
8
I
Z
6'I
............,'tspluroJnnorjr",
' Bper 8apr,r. pftruaraJrp rul"loJ 8'I
epal Saqn polzr rulelrcru6 L'I
a{1a1un3eue?olspo^zl g'I
., . . : : . ., .
1tftruara;rp luploJ g'I
rpo,rzr u1e[nre4 V'I
efir>1ury lsoupqardag g I
alrc>1uny lsouperA Bu?lrreJC Z'I
;olsord pl?Ir1aru I €{Ir}aN I'I
qlnrflueuro.rd q.tupe.r eqla o[c>1unJ aulesg
T
HIAIf TNSIAIO?{d SSIA Sf ICXNNd
te7;peg
Nurneridko
5.1
diferenciranje
92
Numeridki izvodi u sludaju ekvidistantnih interpolacionih dvorova
5.2 Zadaci
Numeridka
7
integracija
93
98
100
6.1 Primitivne kvadraturne formule
6.2 Njutn-Kotesove formule zatvorenog tipa
6.3 Zad.aci
101
NrrmeriEko re5aVanje diferencijalnih jednadina
1L1
112
l'04
i07
7.1 Ojlerova metoda
7.2 Oiler-Ko5ijeYe metoda
7.3 Poboij5ana Ojler-Ko5ijeva metoda
7.4 Metode Runge-I(uta
115
115
ll7
120
1.5 Laddcr
METODE OPTIMIZACIJE
L23
1
L23
Uvodni pojmovi
1.1
1.2
Problern linearnog programiranja
Konvertovanje LP u standardnu formu
1.2.1
1.2.2
Bazidne
723
124
'
t26
i nebazidne promenl.iive
127
Dopustiva re5enja
129
1.3 Zadaci
2
Grafidka metoria
2.1, Grafidka metoda
2.2
3
.
Sirnpleks metoda
3.1 ldeja simpleks algoritma
Susedna bazidno dopustiva re5enja
3.2 Simpleks algoritam
L34
134
134
135
3.2.1 Konvertovanje LP-a u sLandardni oblik
3.2.2
3.2.3
3.2.4
130
1,32
Zadaci
3.1.1
130
Optirnalnost trenutnog bazidno dopustivog re5enja
Odredivanje vode0e promenljive
Pivot
136
\37
138
139
3.-?
B-e5 aya.'1j
3.4
3.5
3.6
e plol-r1 em 2. m i n i m i z aciie simpleks meto dom
Alternativna optimalna re5enja
743
145
Neograniden"
Degeneracija
i50
cn
J.
'
3.8
3.9
LP
.
i konvergencija simpleks algoritma
Veliki M metod
Dvofazni sint pleks meiod
Zadaci
r47
154
155
158
002
86r
68r
88r
88r
ql^lfiuauord ofiI^
efrc>lunJ
s{apuI
' l]epez
' ' rurarls{e $"ze^
t.g
z'g
rurarl$le lule)lol I'g
llsoupar^ ouruarls{ff
9
. ovpuz t.g
ruaro^lo z'g
LLI
9LI
89r
uralqord Juuodsu"rl
urelqoJd Irruodsu?J? IuaJo^??Z
I'g
urolqord F+rodsue{L g
89r
99r
99I
I I n*n.-nraord
uoursaor,
,.,
,r;tffi |i
ruelqord ru1eng
99I
V
'-"Y
I l(.")vl
-*y t'orq at o1 r o>1qer8 oulnlos
J7r,r. 1fo1 vz
-de acrue.r3 (aiuto8) uretod oulrpoln ed'l(.e;)yl Iu rleuz otua2our au fl lsou
-par^ €uQ?? u'leuzctd alru a7qa1feu oluy 'qpe.r3 errlnlosde at l(_r)yl torg
'
'^it:
- d,: (*ir)V
[o.ro orrrpn aurn zc.tn orl eflo.ro Eorrzno r.rrl rrrorrsa.rF
'forq ueqrlqlrd
alnlueurez uB rlo>1
I.r
llsoup?J^ euQpl po
ain>1r1ze.r
aa.oz as
n
o-r
nlueun2ar n
ou]?uzarr as r['o4
a{ForE
.r
Ior11
Efrf,rugoc I.I
'alqar8 r1sr,r fo,nrcl Eu r]??rpez os oule)
t1,q 'efueunpur r4qar8 r
apoleu alqar8 as nfe,re2notd rzrlurre lollrraunu 1
'elurun2er oi;ar8 lapolau e{?rJaurnu rqqe.r8 i(nlapoul
urol?rleuretr€ur
rlnrTrlqird palsn e,1qa.r8 eJeleuerutl
rlsonpara
n)
ielapour 3o12r1erne1etu alqar8 :eleqar8 qr?epels nrrqz a[ nleupaf a[e1seu eiorl e,qqar8 eudnlg .pto^zr
qrlr?rlzeJ zr n2r1od ato4 alqa"r8 nislt,rel nsc]oJd ruol n es ;ei euErl nsru €pts{ru
efueqa.r eI 'laporu fr1 rlrqar ur]lEz t? ,a.relod al iepour r{?rlerual€u rl€JrurJol
ardf'eu ourpJoru na.efod n>l?lzg n>leu ?z nreun?"J eu rrn2erord orFJ^ as rq ?O
r^arorq lu?Ilqlrd
YZI"TYNIY
Y>Icrugrunr{
Kolidnik gre5ke i pribliZne vrednosti
6('r'')
:
la(r")l
:))*
je relativna gre5ka pribliZnog broja.
Granica apsolutne relativne gre5ke (kraie granica relativne greSke) rir,
je svaki bro.i koji nije rnanji od apsolutne vrednosti relatit ne gre5ke tog broja.
zbog
rri(.r:.,,,
r"\"'
/r :
-
moZemo uzeti da je
.- A,-.
lr.. l
l,r*l
rA(,r')r
,
d"'
-
4,..
llr'
Ako pomnoZirno relativnu gre5ku sa 100 i predstavimo ri procentirna, dobi,
jamo procentualnu gre5ku.
Primer 1.1 Na6i granicu apsolutne i
ako se uzme da je ** :2.71.
Zbog
A(r') :
0.0082818...
Takode imamo da je
6*.
<
relativne gre5ke za
:r:
e:2.7T828L8...
0.009 moZerno uzeti da je A.- : 0.009.
3.321 , 10-3, pa se moZe uzeti da je
d,. : H : tH =
: 4. iA 3 : A.4%.
li brojnom pozicionom
rf
sistemu sa osnovom b pribliZan broj
predstaviti u obliku sa fiksiranom decimalnom tadkorn kao
r"
moZemo
:!)' : !.o,no.n-1 . . .o,11.e,-1e-2.' 'o,_m
,
(18)
gde su o,i ciirelog sisrema, tj. o,, e {0, 1,...,h - 1}. Ukoliko su cifre o.'i. i ) 1
jednake 0 radi se o celorn broju sa (n+ 1)-cifrorn. Ako je poslednja cifra o._,o
razlidita od nule u pitanju je decimalan broj sa 'm decimaia, Ako su pri torne
cifre an, i ) 0 u celobrojnom delu jednake nuli, broj je po apsolutnoj vrednosti
manji od 1 i za njega kaZemo da je pravi razlornak.
Broj
r"
iz (18) se uroZe pisati u obliku
r* : l(au.b'"aa,"
1.bn-1 +...+tzo.bo+a-r
.b-r+a z.b-2*...*a-,n.b-'') : + f
Za prik-azivanje broja rr ratunaru korist i se normalizo','ani
pokretnim zarezour
r:* : *:r:M.h'u,
gde
je
*y{1.
ry
*uto.
oblik broja
(19)
rnantisa (pravi razlomak), a:r:s eksponerrt (ceo broi) i vaZi 0.1
Tako za
-2'2.377: -0.22377.102. imamo
22
x:11q:Q.22377.
sa
rB:).
(
-eJd orr?trrr ouQrl{€Jd 'e,l"afoJq afiue,uft8nrloez ouVE^ ?uloal at s1e:d
:€lr^
1
E?ts1pzar ere;rc qrurrr8rs lorq rualuaco"rd al o1q o8au a;r,r.
ES r?sun??J oul1orop af eunpero.rd aptpzaJnBa]{
uroqrl luoulrpruz uroupaf
.
'alnuadals as 1[o1 lorq eur qr oIriDI
E.rEJr]
ryurn8rs o)illouo a;r,t[eu I?Jptss ]ellnzar (nfue.,touaro1 r) niueaorradals 116
'?J?JII q:urr'-.a1s rualO:q 1q1llqqr,r,1fqr-1 e.^ liorq r oy1
-oI ?rp+n qrurn8rs o{qouo a;r,r.[uu I?rp"s ]Elpzar (ntuaftap r) nluagouu rr4
'E.lBJrl r1iurn81s rualorq urrftrstuleu ts forq uuTrlqr"rd purr qr o{rio{
eJ?JI, qruJnSrs o{rlouo aqr.tfru r?JpES
nluuurrznpo r nfuerrqEs rJd
lE}lnzar
:ry,mrd B?apels ourls
-rro1 'eleqepcd qruzrlod lsou?€l ts?€uzod af o1e 'eun2trord 3oua7o1s poy
'nlsruls Lua?n
n e4p aurn8rs [, : s orrrerul c_r_6l . g'0 > s*01 Soqz t 'nlsnls uraJrq n aryi)
s oureurl ?_r_0I .I t s,gl Soqz o1 'I- : st:'r*0I.gglfZI'0 : -a;
aurnSls
t-
.g
g'0 :
a[ o>1ey 't Bql) ?urn8rs ekrpalsod a[ ep oureurl
'
!
i_gl
e_[I
s_[I
,I s_gi airal (a.r;n aurn8rs F oru?rul)
Soqz nlsrus ura?rr n '(q- :
>
,
s_01
" eurn8rs{)ulupalsod
er;n
q_OI : -?V ?s gqfgelg'g - *:L eZ
a[ nlsrrus ruerr! n
'BTBJT)
qrurnSls s euir (91)
n{[qo n uesrdez -r lorq epel
'"-g*0I 'n' > -"V
(rz)
ge,r
erJrf, aAS r aurn8rs ns €puo 'ruJn8rs
e4p
1['o1
e>Iau
ez lorq oae r2a,l['ru s at o1y
'a[u po o,ta1
al o4e ?p pals alnmgap z1
'rllqlus ureJrq n I : fi EZ P'nlsruls Iuo?n n 9 0 :
.yol;o> -'v
(oe)
r??,^ o)t?
tuttiSrs a[
*L;
m vz o1
r
elorq ttn v,tSyc '12nuy
'nlslurs
TetS n uu.rn8rs af e41c 'rlsoupaJ^ irrsaur auaiu po u;a,r. alru -'V af
o{lio>{n 'a;yn auerlumsoifTib:crupdr,fSu"Sfrrirrrmolod rleupal r1i elueru a>1qar8
aulnlosde zciuu:8 a[ o1e nlslrus uro7n n BrJ,rc eu.rn31s a[ *rr elorq ilD v4y3
'aulr2euz ns aqr) eul"rur)ap
a,rs (61) usrdez
T0000'0
poy 'lgfgZO'et'pl,t6g'tt] > a; 'ft'r_0T -
+ gruUg'ti
-
*r
*,"V a[ ep r2euz
ourQr{oA aualaur alau srdeT 'aufupeuz ar;n a,l.s nfeur
'I) a;ryn aufepeuz u{qaQ erur gffigg'6 tor5i
I0000:g I8009'UI, rtelo"rq e '(0'0'U
'ainrlq8ar €p a?our ']uautnJlsur turaru afo>1 auo ns o4r)
'e4p eule2euz aAp npauzr a1nu euo r oe>1 'nsa[ (euerls rusap)
aufu2euz rs4erd
n
n[er1 uu auo rl€
nsrrr vlorq eutJ]s e al ss alnrr Bp olr?€uz rq oJ
'aule1euz
'e4tc
oulepeuz
po
ouraloz
e]ertz€J elels aqtr aud po pnf?utrzn
'apu
(91) uto4pel tuoultsturrep urouuJrslig
n{qqo n Eouusrdez rztorq aryr a,tg
"s
Ako je prva cifra koju odbacujemo (njena brojna vrednost) manja od pet,
tada cifre koje zadrZavamo ostavljamo neiztnenjene.
Ako je prva cifra koju odbacujemo (njena brojna vrednost) veia od pet, tada
poslednju cifru koju zadrlavamo povedavamo za jedan, a ostale cifre ostavljamo
neizmenjene.
Ako je prva cifra koju odbacujemo pet, a ostale koje dolaze posle nje nisu
nule, tada poslednju cifru koje zadrlavama povedavamo za jedan.
Ako je prva cifra koju odbacujemo pet, a ostale koje dolaze posle nje su sve
nule, tada sve cifre koje zadrZavamo ostavljamo neizmenjerre ukoliko je poslednja zadrZana cifra parrra, a ukoliko je ona Ireparna, tada poslednju zadrZanu
cifru povedalno z& jedan, dok ostale ostavijamo neizmenjene,
Primer 1.2 Zaokrugliti brojeve: r : 20A2, y : L965. na dve cifre, a brojeve
z:69.545, u - 69,535 i t, : 69.54501 na ietiri cifre.
Prva cifra koju odbacujemo 0 je manja od 5, pa cifre koje zadrZavarno
ostavljamo neizmenjene, tj. r* : 2000 . Prva cifra koju odbacujemo 6 je ve6a
od 5, pa poslednju cifru 9 koju zadrZavamo poveiavamo za 1, pa je 3/- : 2000 .
Prva cifra koju odbacujerno je 5, a poslednjazadr?ana cifra 4 je parna pa
je z' :63.54 . Prva cifia koju odbacujemo je 5, a poslednja zadrlana cifra 3
je neparna, pa je u,' : 69.54 . Prva cifra koju odbacujemo je 5, a ostaie koje
dolaze posle nje nisu nule, ie posiednju cifru koju zadrZavatno poveaaYamo za
:
Ako je r
1. pa.ie o*
69.55
il
.
decirnalan razlomak Iesto se kaZe Zaokrugliti broj
:r na ft tu
decimaiuf'.
t.2
Gre5ke funkcije. Direktan problem
: y(L1,...,rn)
Zelirno da izvr5imo procenu gre5ke u
vrednosti funkcije koja nastaje zbog zamene tadnih vrednosti argumenata ri,
i, - l. ...,n, pribliZnirn vrednostirrra rf,, i : 1., ...,fr,'Dakle, uz oznake ,r' : y(t;*),
,t* - (t:i,...,x:;) razrnafrademo granicu apsolutne greSke Lo- za koju znamo
Za datr tunkci.ju
1)
da vaZi
l:;(r,)
3;{:;:.)l
!
L,n-.
Koristitemo LagranZovu teoreutu srednje vrednosti za funkcije vi5e promenljivih.
Neka je dato r* : (e;i,.,.,ni), i A,r
prekidne parcijalne izvode prvog reda
#,i:
24
)
0,
i : \,.'.,fl.
Ako y ima neL,,'.,12 nad oblasti Q : {r:
n
'1 , I .
gF0'0
, #ffi +
,
8L9'Z X Z9LL9'Z:
I*
z9L'^Z
'69 a4lcr8 au^rt"[er urruur8
ci ed
aSB'1
-t 9L'2, 09'r
al a[n1un; lsouparl ?u?qc{ud
(\(\'n , 7 r no'? -l{ Tn'n . ATAo'r
,qarn nrrraTnrrr.]-_or{to"r
l r.n
-6o
ulvou
uot4.ttw-!uw ruw
u!v/
I
v ;7--_9.52 . eg + 'r,V .rg + I,V ,rg : .rV oulrfrqop o{ts1 tspES
.,, - l'' '
'ZL\|'Z > I6 l 'Z' a( t-z'ix t) - t.x)
"n : cg
,,t:'z.cl'z.zs'L
"..t'lxettt
'
:af
ol
,/
{ta t >
e.r;
>
98
,r;e
.^ }
#;#h
6r6e t >
,?zos.l,
#=*)_ z';r
T'gl'r,
}
'
%f.a:
>
t{Fi fi,l
:'s
; l+FI iiul :,s
,+ :
ff
"};i+ - w
I 8}'I : (?"s'za'rr) :'t;} : p
ai o4uy
il'?,'Zg'l > tr
?sBIqo our"Jl€irrsod
,20.0: :"V
t0'0 : i,V '10'0 : I,V
'88'I : t*:rr'gL'Z: lll 'gE,'1 : ]a; al-ep euz as ole 'alsat8 au^rlelal nlruel3
: /l elrrlunl lsoupe.l^ nulr;qud lllperpO t.I rourrrd
',.f--i*
i'l
r
aulngosde nrruelS
'"'v > .ov
(liutur
-uV forq ilazn
agn8our e[ olC)
o'Lrre?our
a[ r[o4 ez
alqarB aulnlosde nrruur8 sz ed
t:t
.-,,v : ^"v,gl
ft,2)
>
I
_tt
_ tLl
1l
rzp^ ''LLt"' t1
: { 'l@)#lferu : Ig af ep ourarrzn o{? all"po
"
l.rn
t .
'=l
l1.r)''ut3
';'.
;
v t\-/
fip
l(..r)f
u
:1soryupa['au rpals alu
zI
-
'.,,)(.r
,E*:
(*:r)ri
*
{u,t7',ll;il}'rl
or€As tsz EpEr,
.rj
(.r'1[l
'etua.roal a.toTurr8el r^olsn arcA ep
'(rr'-
Qz)
) (u,.,.. .' tr) :
ournupodlar4
(:t:)ri
t'1',
-r,'
j}
; ti::f:::t;;
i
U op5tem sludaju kada je odredivanje vrednosti za Bi sloi,eno, razmatra
takozr,ana linearna ocena granice apsolutne greSke
I,. : turo,, ,
j:1
bi:tfra.'tt,
se
e4)
za koju je
ly-y"l=Er-,
kao i linearna ocena g?anice
T6u.
(2b)
relativne gre5ke
:
:
A
A'u"
ffi,
+
?t.
*
o.
(26)
= se ne moZe zameniti sa <). ali se
desto korist,i narodito ukoliko su granice apsolutnih greSaka Ac: rnnogo manje
Linearna ocena je nesigurna (u (25) znak
od
1.
Primer 1.4
Ako ie
y: f
j:1
,,r,,,,,n € N, o,i e
:
{-l,t!, j -
1,...,'n. tada je
*:-
ly-til sAr. -Ay-:I^,,
Tako se moZe redi da granica apsoiutne greSke zbira n. prirodnih brojeva nije
vefa od sume granica apsolutnih greSaka tih
Primer 1.5 Ako
brojeva.
il
iey: .i=1
fi,r'0,',n€NI, t'j.lt1eR\{0}, j:l,...,n,tada
je
n
rs.
: lv-lI lpil6,;.
j=7
Specijalno, uzirnajudr As. =
Xr-, i*urno
n
1) 1t -:x7'iI:2'...'r:n, t:) +a.'i :1.....n =) Ar," = ly-l I d-.,
j=1
2) y:*, t:i.t:|*0 + Ag.*l1l{a"ntd,;);
3) ::r*, r* f 0, m € N + Ac" * lt.-l*nt,6,.;
4) y: 'i/-r, rn € N (,r.. ) 0, nt,:2k) + Ag. = lYrl*t*.
,1J
.
tr
.
l
i
i
I
*
*
*
I
26
$
{
{
{
$z)
LZ
-_f
I --r
.l*4rq 3-. >_"0
a
'ft':
t,r , ^
I li,r! ' -f,1; - l'"y Ipals -'..., : 'j"g - "'
r,4eEa;3
:
,
'.,g
'
,l
'g
"[
i
^
llr'lrq
t=l
3 ^"y: '^V
'
ep rrlaetsorlla.rci
zr1
qiii^iisia.r qr4eirpei,Ji;*u6
L-9
YI
(az)
> r,rv
a'
I:.t
fr':>tT-'"
-
:
"oV rpe{s rpBJ
'*,V : i,,V : .'. -- 9rV : },V
al ep orrrr,relsorllar4
u:leqor5 qru1n1osde qr>leupaf d1cu1.r6
.t
Qz)
r
, !,lLt
._^
! ;,v
[:i.
ou>1
ipais all€po
j
rlrsrd a?orx es oli 'g > ? ousoupo 'a ;
'r : X*V",1
1,y.,1
-
ut,: -o!
I."5rig ,:i Ep ouir^plsod;a.r4
efecrln qr4eupef drcrrrr6
Il
:edr:rrud rJ? our?utr
rt v,y
.l(-r:),fil >"Y
_
:
r
!-
/
'3>
-
u nr1rl"5, ilrparpo '1{-i;)ff1
t
orrlulr.r.rrq
Ilolsn e?pl ?p oturAuJsodler4
-'f,ql .
/
:
fq at ap8
^"v
,rrornrorrJu zr o.,.a? €p€f 'a{rrorocl e.r.o4ue;Be1
'u'"''I: !' lr5z ourleunQvJz! .3 ;' -oV olepaz
al up ouanrzn o4e rftu,tulsoupaf afrtrsod ualqord .u,'...,I: ? ,irv ,[.,nqnrr1
uqarl 'g < 3 o{au vz 's S .uV af €p o}Bpez af o>1u 'f1 'n2qou2eq ruolsp es atrqop
aluarun8re a1 ez efitlun; lsoupall as Bp o{El ,(a[p4uny eleuarun8re) e^elorq
tleqa.r8 qrulnlosde aarusr8 npsu as tsp auol n lfolses as uralqorrl lnurqo
uralqo;d +nurqo 'a[rc1un; a>IForC
t.I
rj.
A,:
-i
( #,.1.,*
-
f
j=1
(30)
brl'r:,1
Primetirno da ako uzmemo da je
Primer 1.6 Odrediti gornju
menata f -- L.LZ, U* :1.45
i: L,,..,n.
I
fr- (
Ar-
s. onda je
ru e.
granicu relativnih greiaka pribliinih vrednosti arguda bi se vrednost funkcije
z: re! - cosr dobila sa
deiiri sigurne cifre.
z* : :1" (;!* - cosrr* : 1.L2. et'45 -cos 1.12 =,4.339U!!Q: 0,43390058' 10i,
Kako je broj sigurnih cifara (u uZem srnislu) :- 4 i> : I (c,.': 0'5)
rrnanto
\: i-'
' ' '
Dakle,zaokruZujemonatridgg-q&, ti.z*x4.339.
Primetimo najpre da je ff : C +.irr,r. * : *"n. odnosno fr(,tf ,U") :
*
.
et.45 + sin 1.12 = 5.163,
* : t.tZ ,L'45 4.774 (usvajarno manju vrednost).
lskorisiiiemo princip jednakih Ltlcaia. Kako je
e:
0.1 [
lo
n:2
sledi
. ,'J'
''
t
4...<
,,
2 ' 5. 163
- "l#(.r' .y' tl -,9i"-0.U09684.
A,.S
" \'\
I
1
#r:ooro47.
&,i..,:
Po principu jednakih apsolut.nih gre5aka imamo da je
A"-
:
Ae- i
0'l
e
ururvuuu
=0.01000(i
4'774IE{,*-v:)l -E(,..r):5'ras+
Po priucipu jednakih relativnih gre5aka je d'' : ,ir-, te sledi
n..<a
r:'
(tr' 5
0.1
iff1r.,v-)il.r.l + lff(r-,
kt
D.ti = / Art
v.)llv.l
5'163' 1'12+ 4'774' r'45
ry 0.007871
-l I firitr
Neka je polupreinik osnove prave kupe r x zrrt,, a njena izvodnica
s x \rn,. Ako uzmemo da je r = i1,14, odrediti kakve Sranice apsolutnih gre5aka
treba uzeti za r, s i r da bi se povriina omotada kupe izradunala sa tadno56u do
Primer 1.7
O.lm,z.
Koristidemo princip jednakih uticaja. Kako je e :0'1 i r*
.s* : 5, a znajuei da je povr5ina omotada IVI : rrs, itnarno
28
:
2.
r* :3'L4.
A#t'-,7t',s*) :
.
(rs)
'u'"''r=
[ ',rv#tio?: ioo
i alelepod alnqar8 qrulnlosd'e
rpels (Zt)
"ze^
rtiA
"1"?Fzer
lrt
- tn: [rt; :
-[i1zi* OuSOupu 'viLJ-rguil3;1;o;3 drrii'urvri.O8po iiiuil,tuls;.r;rti
'!1.-
!.11
_
j.r,V
_
,l
upUi
fiv ii"]iuru'i
etru1
eunpulord
,,r,V
'uleuarun8rt rlsoupa.rA qrrr?"1 po u fuedntrspo ntufl.lelspaJd !;r;V rfelqelrd orly
(Zg)
l:!
'ryt"'11
'-rn
-['tt;vr'-u, tfie
fecfiy
_
:(euraroal rnoroltal) upar 8o,trd eruriefmuara;Jp rrrruis?ol uleupal l?lq f[V
rfelqelr.rd e? ntue?
u'"''I: t'lfiv vz rlruaurord 'Lt'"''I: t'lfi a[n4un; r
Ird
'ut'"''I:'!'?r:V ez auaurord oultsuzau 1u'"''1 : ?'?!i)
as a?
"ptsl'ou,tt11adsa.r
rluau:n8iu
es o{y 'r[(r)"{"'(*)?'{{r)V1: @)fi nlilqo urolsroqel n orrsoupo
(r e)
u'"''L: f '(*.r'""2.r't:r)ll:
es o1"p
'Lr'"''l -- [ '{fi
lfi
IJSoupeJl euz?,1il pv
u-L'^"'I:'!,'tt:
t4elepod qruz€p afuu,rairlsard ots{ r}sJprusod otuaqourltr'"''l : [ '!fi ?]tslinzar
u atep ut'"' 'I : ?'?u alelepod ru po r?ezalod rlo4 unqurord r>l2rraurnu I{eN
Esorord 3o421;etunu ?souUqE+S V'T
'\tLtuZ,I'Z: tuZIZ1y1
tr
po elueur apnq
"[qop
as rq
"p
Bqar] ,, ez ulqar8 rdu rel '"?s]ouo aurqr,rod lsouQ€l Elepaz
"pJ r]rJaurzr ouznard
s' r
rt900'0
'ccgoo'o
'zIz00'0
:
(*s"*J**J)
ffi
'Ot
:
Buroal ouqatlod a[
8ee r _ l(-.q'.,',r)i%lu
rp
I
3
.I'0
l(^s,,y,_t)ffi\.u
: 0t,t
I
't0 _
rga"r as a?our ,al>{eq
-"v
-"v
3
:
2.9r
.t
_ l(_s' ^y, _"t)ffilu
,I'0
:9.2:
! "'v
3
r
*s*/
tpals aHtspo '82'g : VI't,Z: *L*r
: (*s';r'*J)ffi 't'Sl: 9.fl'g : *s.!
+0,i:l,...,nLiy; *0, j:1,..,,n,
Ako vaZi n;
tadaiz (32) imarno vezu
izrnedu relativnih odstupanja podataka i rezultata
_if+ay*l.,:.)14,:;
^y;
o:r:i ' ,,0
v;
?r'vi
j:1,...,n.
lvleru osetljivosti numeridkog procesa daju izvodi
l$$) l, j :
(3a1
Apsolutne vreci-
W
apsolutni uslovni brojevi za promenljivri
jn
*#1, j:1.....rr relativni uslovni brojevi za promcn;r:,.
- a vrednosti l$
'4, o:
ljivu ri. Relativni uslovni brojevi pokazuju koliki je uticaj relativnih odstupanja
podataka fii, i: l,...,ln, na relati.rnu gre5ku rezultata ?/i, i : 1,...,rt,.
nosti
L,...
zoverno
Ako su apsolutni i relativni brojevi mali znadi da 6e male promene u podacirna usloviti takode male prornene u rezuitatirna i tada kaZemo da je numeridki
proces stabilan ili dobro uslovljen.
Sistern
5r
-4ll
5t: -4.000000iy
ima re5enje
stema,
tj.
(t:,y):
L4
14.0000001
(2,__1). Kada neznatno izrnenimo neke koeficijente si-
dobijemo sistem
5r
L4
-4y
5r: -4.000000237 13.999948
da je njegovo reSenje (r,,y) : (.21A,259), kojc
nalazirno
prvobirnog.
veoma odstupa ocl
Ovo je primer nestabilnog ili lo5e uslovljenog procesa. U ovom sludaju rrgeneratorrrnestabilnosti je I'opasna'roperacija oduzirnanja bliskih brojeva.
Odatle
se da
zakljuliti
da su syi numeridki postupci
koji ukljuduju operaciju oduzirna-
nja bliskih brojeva potenci.ialno nestabiini.
1.5
Zadaci
1. Na6i granicu apsolutne i relativne
da ie rr:* : 3.]4
A,. :0.0016. d,. :
ui,l?lu
<
gre5ke za
a':3.1415926... ako se uzme
S.l.t0-4.
A
2. Kolikosigurnih cifara imaju brojevi 'u,* :'tr*:3.14,
:5.140
+ 0.8' l0-3?
1/'
L).0t)2
u
- 2. I0-r ( l0-2. s -
0.5'10-'(10-r, s:4
0.8'10-z ( 10-2. s:3
:r:*
:5.142*.0.5.10*3,
t,, : 0.5
2.10*r < 5. 10-n :0.5.10 z. s:3
3
0.u.16-r:,
s:4
0.8.10-' < i0-' < 5. 10-, -0.5. 10-1. s :
30
2
fi'gy1 -
'90'0: ."v'20'0: -nv'10'0: -'v | '0q'1-
:
*z'gz,'1
-a; al'o1e 'a1qal3 au^rlelal ncruelS r a19arB aulnlosde norue.r8 nfulo3
^:+r
, t,
,li-zt'
/-:rit,,,\
\
rT
fr
L-
I
/J
airclunl lsoupar^ nugr;qr.rd ltlparpo
tz
V
_,t0
tzz
g
_ [C , z _ re
,rr-An "0 7- - ,re 7111. - "0
'c-0I ,f :: po tuo?a^ au Luolpl3 es eleunlelzl
r'
,_
ltz
-
-t).t:-.. :
(.: ,fl
,
.r
yt
z
airrlunl lsoupar^ as rq ep'9gg'I: *z'Vgg'Z:
eleuar"un3re llsoupal^ qru4rlqud e4qel3 qtuinlosde e:tue.l8 afulo8
,v
86'8 > ,Y
c
-o.l
ov
q-oI 86's
,v
,:,0I 86'e
(q
,
r-o
qoI 99'r; ov
I
/0'9
,,-01 8r'6
(r
t
t
t
,V
*fi1gg2'g: -r
rlpa:p6 1
r,01.rPa;-"v
4z
c,oT.978;.6V
c-0I .12 8; .'V
-11
(e
t,i'tgl6z gv > zq 'Flglg'0 t
>
z^7 zo .
,
no , r
't.rP--i
- i6'zt-nd - fr 'T - 6'r_01.i > "'V
'g-g^ggg'g
'Zf 1996'8?
-
rq
.n
'e1ega:3 qlu^ttrela.l qrleupal' drruud (c
lelese,t3 qrulnlosde Llrleupel di:uud (q
:elerrln qrleupal dr:uud (e
rJalsr.lol 'a.ryr au.lnBrs llile? es eltqop
* r'rrl: rr. efro>1un1 lsoupa.l^ as rq ep g0g'21 - .z'Iit'T: _/i ,t6'I : *nl
eleuauun3le !lsoupar^ qruTr;qud e>1eqal8 qruln;osde a:ruel? alutoS rlparp6 '9
z/,+.ne
' 90u0'0 : -"9 'i8I0'0 ."v
V
;zo'o
."V'f000: -6V't00 -"V>
'ot8I88'o -- 561ffi{..,*
*'n.
'200
'II :
Fi
:t ?f ep euz es ole 'aIIerB aunrlela.r
'80'0
+
60't
t71#T_z: ri al-1r>1un;
lsoupa;^ nuTrlqud lllpalpg n
-
-
+
8u
z 'v}c'A + 06'0 :
ncruer8 r aulnlosde n:ruel8
V
'89z99'6
'?V8'L9:.o'000986: *rt'/.$'$: *z'89 - *t'i'92: *r
'erelro 1ad eu
86ffif8'Zg rr r e.Uo ul eu 600996:
: z 'e;jp e^p eu 09'89 : /l '09'69 : .r,- ra^alorq 1l1pnr1oe7 ',
'r-0I 'g'0
V
!?I'g:
*rr.l
-
-6y 'a-ol .9 0 .'V
--
'nlsrurs rrrozn n autn8rs atlrf, a^s nfer"ur -rz ez gp1'g:
rlsoupern auJr;qrrd ep o)el allsr8 eulnlosde n:ruer8 lllperpO .g
'e00'0
:
n
ji
-"V
9. Odrediti pribliinu vrednost funkcije
:t:'
ll3
'
Jl'r,y):
1+;,
gornju granicu apsolutne gre5ke i granicu relativne gre5ke, ako je
2.00, i
a,- :
0.01, As"
:
r. :
0.50,
g' :
0.05,
10. Odrediti gornju granicu relativnih gre5aka pribliZnih vrednosti argumenata
fi:.uz -- cosix cos y - cos z dobila sa eetiii sigurne cifre.
:r:*
:0.1.2, ?/. :0.45, z* :0.24 da bi se vrednost funkcije u,:
r:n
:
11. Odrediti gornju granicu relativnih gre5aka pribliZnih vrednosti argumenata
0.50, l)- :1.50, z* : 1.00 da bi se vrednost funkcije u,: zer! -sinrcosrTt
z2 dobila sa detiri sigurne cifre.
12. Odrediti pribliZnu vrednost funkcije
f Q',a)
- .t:".'I ll
,
gornju granicu apsolutne greSke i granicu relativne grebke, ako je er2.50. i
A,'- :
0.02,
:
Ay- :0.0S
1.50, 3/*
:
13. Odrediti pribliinu vrednost funkcije
f
(r,.v):
*,. '2
+,
x'+
y
gornju granicu apsolutne gre5ke i granicu relativne greSke, ako je
2.50, i
4,,- :0.02, Ap- :0.05.
z- :
1.50,
y. :
14. Odrediti po principu jednakih uticaja kao i po principu jednakih relativnih
gre5aka, gornje granice greSke za vrednosti argumenata
bi se vrednost funkcije
.
J \.t',11)
-
r* :
1,50 i
y- :2.5A,
da
:r !12
;,.
-,
izraiunala taino na dve decimale.
15. Odrediti po principu jednakih uticaia, granice qre5ke za vrednosti argume: 1.50 i ll. : 2.5A, da bi se vrednosi funkcije
nata :r*
fi,,ti--#,
,,,2
izradunala tadno na dve decimale.
32
e,r1s?ql I?AoJtsd
I +u n?orrlod p,lepaz'(r)/ rtrc>1un; elruzod aloelodrelur poy
Q;)"d
(,r)
t
fi
oILIEUII
'tu'"''A:
?'?:r:
:
'efrceurls>1orde auruou
11o
(:r)td af o41o46 'a[p4un; aupoSod alau nferrq
d
rci
0:1
tz as ap8 '{:t:)t5tvr3 : (rL"'lr'ottlnir)6 a{ ep purzn as agqapieg .\u < u
al epel efnfuaurrrd uou,re18n as Bpoler! .e?eJpe { qrfuetuteu (nfrcetuls
-4orde) npoloru our?urr 'gsoupara rLfueiuleu cuzn
np o1n, tu,...,1'g |eo{
'lp arlaruered ourarrq ?.{e?B? qiio,rs g ) ?, tss nlnyrnl y ntnlun;
o{V
t
"z
'0: r: v''!-L: uralnlepnisruoloO
.u!.., !l!0 _
'g>IsQBlqrlo.r.sr,,toru<Ig
,L
> I+uBS
l;)p,puz / efnlun; at o1r1o>1n 'elrcelodrelur r r]srJo{ as ou?rqo eSog urrsg .ruou
-t1od eorolia; 'rdu a[ o]q o€{ 'uoruouryod ernurslo.rde e[n>1un; as agqa-pieg
"ut"' tI'O:
?
t(w'0t"'!tp!o71t.?ip)[)
- (?r)t :'s
tltrluny npauzr utuednlspo nferleusod as nq]AS n] n ,f f t.ez lr I
'0 : , '11u:r)l'qi:) e>lg?"} eur.tored Elvpr"z / utp4un;
>'tt, ' rL'"''z'I
:{i
?:r
1
I
ap8 ,N
aio{y
!u,o' '0p al.]aru?r€d alau ez (urt'...'rn,0plx)0
'tsAolsn ql{eu zr nfnpa.rpo es
1io>1
x (:r;)l '[1 '/ rftcluny u4eupal ouTrlqrrd a[ rp rperl as 6 n[ro>1un; uz ,a11eg
'afic1un; elrcerurslorde oura,toz nuaurez qtr e,>{llqo Sairu,rulsoupaf nir,terd
od al uto>1 U <- U : 6 urofrc>1un; uro8nrp (eru11soupa.r.t urrfoas uri{au rlr atozpJzl
tuD1?r?rltsu" nlepez)
U <- U : /
nfie>1un; nxeuzod 1lrueurez ouqarSod el o1sa3
e
fic4ung o froeurrs>loJd17
(rp, f (n6)), k
:
0, 1, ....
?n{r):
n, aproksimira se polinomom
o,^:I:n
a
.'.
{
a,1:r:
} tt,s,
Q,0,or.,...,a, €
iR.
Ako se vrednost polinorna u zadatim tadkama poklapa sa vredno5du funkcije.
tj.
7tn(t:y):f{*x), k:0,1....,n,,
(1)
tada se poiinom ruaziva interpolacioni polinom.
Tadke 11, k:0, 1,...,fl su Ivorovi interpolacije. Bez gubljenja opbtosti
I(oeflcijenti o,0,...,0,n interpolacionog polinorna se odreduju iz uslova (i).
Tako se dobija sistern od (n + 1) linearnih jednadina sa n + 1 nepoznatih
o,at...,e,n. Determinanta ovog sistema je Vandermondova determinanta D :
f](ri - lj) i ona je razlidita od nule (siedi iz ri f t:i, i, + j) Eto znadi da
i>j
posrnatrani sistem ima jedinstveno reseuje, tj. postoji samo jedan interpoiacioni polinorn koji prolazi kroz zadate taike. Da bi izbegli direktno resavanje
sistema linearnih jednadina, poiinom piSemo u razliditirr oblicirna, kao sto su
Lagraniov i Njutnov interpolacioni polinorn.
2.1
LagranZov interpolacioni polinom
LagranZov interpolacicrni polinom je polinom
p,{:t:):lUnLilr,),
(2)
L=0
gde
jc lh
: f (r*), k :
0, 1, .,.,
ni
_ (, - rn)(, - r,r) ...(e -:r5-1)(o -,"*+r)...(, - r,)
L6(r;:ffiffi,A:o'1,',''
r _ t-,,
Polinomi La(r), koje zovemo LagranZovi koeficijenti su n-tog steperra,
p,.(r) polinorn najvi5e n-tog stepena. Kako je Le(rp): 1 i Ii(:rr) :0,
k,
tada ie Ttn(rr,,): f(rp), k : 0, L.....n. tj. LagranZoy internolaciori
:i +
polinom je iriterpolacioni polinom za funkciju /(z).
pa je i
Uz oznaku
rn,,-1(t:)
imarno ria je L1(.r')
- (r -
r1)(r:
- *)...(t: - rn) : [i
l'=0
: 7-+**f--
34
{r,
- ,,.)
(3)
urarue,.,.equup"f,r
no
a<r
('t)r*"u
i(T + u)
())t r+,1/
(.:r)"rJ
-
(-,r)t
a[ ep
*,,f
#..**
:-,,;:,,,,,
\.'/(t+u)J
.
t\ I I r./,
ouioiiqcp
i(i + a) :
0:
())
oueur
n+u,)!:
,
6 of
tsz
rlsouparl
.rl
) :.;r: vz
;.,,r,
- ("'/(r- u)J
(:i;)
rr!fi,i
r0
-
(,r)1r*,\;d ai o4EA
fi+.ed
ar.
pp o>let '{t1tn) ) } oupat ;uq rlo1sod up ouafnpn[14e2 >1udn1sod [e.,ro rgnlel1.t
-Bls"N '11''o| vu rlnd u req tsJrlnu? //C as sp oruuilqop ',C uz lt-u,r'z-u,:r:f'"'
,
lrt,:t;
,
t):rl
plts,tJalur po nro{s s eu qosoeuod aruaJoa} elolog urouauri"rd ruoulouod
'(u1r,,,tra1ur rlll po uro{s s n eupal od) r-u,r,t('-'u.,;1:t"''\:r:'o,:r: €Tnu +?^r JEq
I
"urr
,g elr:r1uny ep oura[n2n[14e2 'r1e,tralul rll] po DIs^s eu qosoeuod g ntorlun;
nluaroal nAoloU rgnlnfuarurrd ed '[":l 'L-u'r)t"'tlt+pt:'*:t:)'l*:t;!?x;]t"'Llr1y'01x1
"z
?ls^ralui
eur,ta['er1 eu 'e1nu elr?rlz"r (Z + 'u) r€q lq'u] eu eurr g efir>1urg
(*rr') t
+'Y
-)
(.:r)ud - (-*,){
ai rleupal I '0 I (.ir) r+uy al re I rfo1sod '(r)g ainlunJ ?lnu
tupat qo['*r a[up o{"] r ?}u€lsrro>J 'Lt'"''I'0: ?'r:r; f ;: al rp n,r1e1 [q'o]
} -r n{?€l nul1o,tzro"rd oulrruzll ff*)t - ?r)"rt a['ra[) 'rr'"'0;r olnu ns afil
'(:t:)t+"u,
-
(';r:)ud
- (,r){ : (r')l
rLlrcluny nugourod oulerluursod qezulorl 01 Iq pC
.l(.,,)i,
'l(.,')/ t*"1'(,.t
-r-(-I
'(.r)r*'rl
(s)
:')
t l_rJV
r\
(g)
ix#'?I
-,,i./l
(1r)ud
-
+ u)-
)i+u)l
:
a>1qa.r8
r- u7s ar ap8
ruato a[ ud
G),E
d
ur o u r1o
)]
it'o1sod
:
(o')!
:
! l(')?l
a[lcaulsxordu
\J
eleupal
afrrerurslorde alqar8 a[ ep oryr (g,o)
0)
a[ a; ry2r1
ru orruiod.ralu r ttoque tBe 1 z z
epet ,lq',olr*uC ) / at o>1y
(:r:)'g
n (r)"d uotuourlorl (a;)/ efic4uq elrcelodrolur rrlqorC
Kako je
r-
proizvoljno, konadno dobijamo
R,(r')
Primer 2.1
: f (t') -
74(t')
:ffi
,,-,-, {,').
Napisati Lagraniov interpolacioni polinom za funkciju y
: f (r)
datu
tabelom
k
0
I
2
x:k
-1
-.,
0
2
2
6
1l*
Kako imarno zadate
nornu drugog stepena
ltz!')
tri
tadke, radi se o LagranZovorn interpolacionom poli-
(r-zs)(e--21)
(z-r6r )(z-22
" r1)(t-t2)
: V,r1^-__-frffi
lrzffiffi
+Yrdr:'z (r'2- :'s)(:'2- r1)
:,,)(rr
uffi
-r2)'
(t-0)
(r q
1::-1 l))(z-2) a (r'-(-1))(r-o)
D
\&-r,rt4-,,
r 9 . ..E-=-\:ill-\:--=Z
_.).CI:i'IT:T:,
/
)
2)
_
| '
: -t:2 + 4:L + 2.
Pa:Dir-o
(o-(- 1)).(0-2)
tr
vrednosti za \/2 i y'5 koriste(i LagranZov interpolacioni polinorn funkcije
za taike L, 2.25 i 4, odnosno za tadke l, 2.25,
gre5ku
u svim sluiajevima.
4 i 6.25, a zatim oceniti
Prirner 2.2 lzraiunati pribliine
-v-
A : Ji
Ako vrednosti funkcije
/ u dvorovima
in-
terpoiacije preglednije prikaZerno tabelom, na
osnovu tih podataka (uzimajudi prve tri tadke)
imamo LagranZov interpolacioni polinom dru-
k
0
1
2
3
iI:1"
1
2.25
4
6.25
llx
I
1.5
2
2.5
gog stepena
/ \
?2\:r') =
{r' r'r)rf,-}2)
.r0fr;;fi,.r;;
: ,r'
\*1,
I
,, (r'-rn)(r'-r'r)
-r 92(.;;=7;i,,-.r
(r'*l)(r-a),q
(r 1)(2
r o' --Tliit t''r'i;!1-T.z.t)
tr'-2.25)(::-4),rr
(1J5).(-31-
t*-;o)(r-r'2)
l/rc;
"
3.2a)
te je
(')-)')5)(2-4)
.1,-, ,.t.1.
..-u.)\-. -t ,,.12-t)(2-4)
,n (2
,E=r.,t2\_1.\..
;lilJl
?(\
, r r..I]l]il-Tr'u*1.5.\,-,
\
/=
vJ=p2(J.,) :l
"/
11(2 -2.25\t
=1.J09a2.
?. 1 7(
n-2.2s\3 -4\-ri'"'
- - (3- l)(s-4) - (3- I)(3-2.25)
r.2B+TJr-r:' q r i5
G3)
1lft.
-
r'
/irz'o
Kako je
-Af
urax lf"'(.r\l- ,r,u*
", - r€ll
' r'€i1.41 -L
.41
8Vr'5
13(2)
:
(2- i)(2- 2.25)(2-
4)
:
0.5,
J
8
i
qQ:):
"s(3)
36
:
(r:
- l)(r -
2.25){t:
(3- 1)(3-2.25)(3-
4)
:
- 4),
-1,5,
'
-l^{o
1
D-q
,
to
ui.
'u:"':I'0:
4'tlq4
o1'
nlnztsrqo aftD"lodJa}ur r,{oroAQ uiau r [r?'r.r]
- {,1:''0 -o,t:
;nzorul nuluelslP
nltualur uo{au vu (:r)t: t'i
ulozptzr Lupi?gll"u"e Elr-psz orueJrurrs{oJde ep ouirlaT n[o4 e[n>prn; at e1etri
le2n1s
ueluelslpIA{g
tr
' 8706I'0
'I0t80'0
:
:
918't'
lc;zt'z
?Z
9r/9r' K0,"1*
r
* tt-,-) b7. > ttzl,"l*
grlgt
l(e)ta -gurl
> lQ)ta
- gnl
alqar8 arrafur1n auaf,o ns o]
'928'F :
:
(sz's
-
t) :
(sz's
dG
d\z'z * dfi - z)
tL)(SZ'z- e;)(1 - e;) :
'szt'z-
t)Gz.'z- [)(T
s)(r
'(gZ'g -
;+
t:)(V -
(t:)uu
(r,)uu
(r)ru
: l# - lln'i{,\1,'-: 11.r)1u;/lIn'rS,',1."
v1atr
af
oluy
"ISgCZ'I
IL"
(,iz a- ).i/ r't:
,=IG7z_Tlr_r)
6 1-
=
\v-).(i/'t-)-,:z't ..
r;;:;r7;=i7;:;T ' r
't9 I Ir,' r
(.b-).GL'r-).,)z T
-) .j/ I t:
-d7tz=nj - z) 6 -r GZI:ZJT;-lli-
(12
Tn n
?
x
:
I+
6 -ff;i.-l?.y
:
^..t .r
5
,
(g)t:a
(Z)t:d
e
=
g-,4,
Z/\t
a[ a:
94'Z-V.9A'9
(r-r)(qe'z-i)fl:rd '9'z +
(r-)-(9/'l-tge't
?-)rG/'tr):!t6 t ...,
-r77;;:;r7;l;i7=;\'
- GZ-:')G=,G=I
! r
r:c)( Ir- 0r)(0ro[- t:r)
tr ^,.
g,r- ll')(
{r,
.'tr,
JEr_TLIa=:rJFr:;I '''
, (t:r- Ir)(zr- Ir)(0u rr) r/,,
, (r:r x)(zr-r)(ur_el
tuadaXs 3a9ar1 urouqod
cAS lgnfururzq
ruotrtlodralur ,lo7uer8u1 oursurr afuerlrutzrr n aIQ"l rr{}a?
' 11Z1L'I
:
s2860'0
'eurs0'O
* tih I IT,7IV'I * U
nl tsp otur?eutrrd
lq'r - r
# r l(r)'"1# > i(s)6d-qAl
# t i(u)'"|# > lk)"a - qtl
: ls'ol
e4eqa"l8 qrualur2n aue)o ns
ol
oznadimo
Tada je
sa
o:
r * :I:k:
(zs
*
ah)
-
Q:s
t) - lLn
__T_.
+ kh) : (a - k)h, k :
0,
l, ...,n, pa je
(r - oo)(u or!) : h"+1 a(a - 1)...(" - n): nt+to['i+li,
"r)...(, gde je t1la+l} 6r1uLa za tzv. uopSteni stepen. Takode je
r,,*t(r):
T',*Jru) :
:
(:rs -:r:[email protected] - rt)...(rx - rn-r)(r* - rn+r)...(rt,
ktl(k - L)h...h(-hx-2h).. (-(n - k)h,)
:
hn
(7)
-:rn)
: h,k(k* il...r(-ri(z\...(-(n - kD
(*l)n-k
t*t1n
*
tclt
(8)
.
LagranZovi koeficijenti su jednaki
(e)
Sada je LagranZov interpolacioni polinom jednak
n
| ,,r_l.O[n_1)
74@): )-uo-Pt',1\",
kl(n _ k)!(o _ k).
(10)
fr,n,'"
Prirnetimo najpre da za r e tyrs,:rrl vaii a
: #
€
n: I dobijamo LagranZov interpolacioni polinon
p1(a) : -yo(a.- T) t- yp
Pri tome je r2{a) : h2a.[2) - hza(o. * L).
Za
[0,
n].
prvog stepena
.
rnax.la2(;r)l: lr2 niax lo(o
l)l
a.b.
oe fi1 t''t" -
re
-
h2 rpax.o(l
"t'
JiPtl
- a)
''t :- n'l(f
" 2\' - !l2t :-
n'
4
O'v'o n&m daje cicenu gre5ke
i/(,,) -p,(a)l
Za
n:2
s+ *:*n,
dobijamo LagranZov interpolacioni polinom dmgog stepena
.1 :
1i2ftt)
,ys(a t)(a -
2)
*
y1a(o.
-
2)
+
1
l).
|uzo(o -
Analogno sluiaju LagranZovog interpolacionog polinoma prvog stepena za ocenu
gre5ke se dobija
l/(,r)
- pz(o)l < **f
27
38
n'
l{
f!
!
: v.:t:
I
tly
t
z 1y
I
68
::
bf
lyl
lt:r: tz:t: ' Ir ' o{i]
[t'.vt'tt'zr1
It
it,t:!zt:l
l!
lv:r't't;)
l!
c /
"J
if:,:r:tzrtr:r)
I lt.,-t1,..-!^.-.1
li'"'r' 'r' "t')
,-
Ll
f! itx'trl
f/ i tr
tr
(.,,.
L t'
'oe;l
l,'
f
ir
,,
:a[I){uIU IXsoupar.\ rlruJtslaq"} po r?azelod 'wy.1zet r{rueflopod nloqe] our?l
-Ilrr.roJ tsp oula?oul (11) aurquupaf ruouaurr:d uoudolsez0 'nlorlorq n a{rlz?.i
auellapod aqo n rluaurn8J? ouaLueJAoXSr nsru I[o{ B?"ueu]n8ru nrlrlzer nloruaurr
u>trlz"J rluatlapod n{qz"J p.{utolzeJ n:orforq n outr?of1
n € 'vpar (l ")
','-ul
/,,\
(tit
3o1-u a{IIzeJ ouollapod
,
i!'.u.;r:"":r.f
op ourrz€lop {edn}sod
"utfod
?'a!:
-
o'f,:
- l{'.rr'ztl
[{ io,t'r,];l
:
ltto
i).1:l
:epaI
rgn[e[1,rr1se-1
lt:zt'r:L'a:r:11
:o?{ ouasrugap speJ 8o8nrp n{rTzrJ nueilapod
.
o.r
--
III'
f[ri-Fr7
I /.r,..rr-,1
- tr
'1 "'t'l
:{Iu?rlo{ oril?AaurnztsJpod Bpar 30ard uro>IIIzeJ ruouo[10pod
'(or)/
I{?"1 n
(r)/
:
l/
lo'r;l
6ro6
'!'t'ol
efn4unJ lsoupar^ at [/ ior] epe; 3o1pu s{.Ilzer eual1epog
'e{Ilztr aualjapod oir^IzJn{al olxlguga0 'LL'"''0: ? '3.r 'l{Q?l
oura?BlodseJ ep our,rrlsodlar4
fo-(t + u) n a[ro1un; r]souparl rrolaq€1
eurp{rlzer unuef1epod es urourlod ruo,rcelodrolur rrouln
wourlodruorrBlodralur
' ,,1# I l(tr)ea
'l/U
[1q
^ouln[N
z'c
(r,)./l
e{QeJ3 erraso
a[ e[r2 ruadals 3a9ar1 urou]lod luolrulodralur ,r,o7uur8e1 olu"lrqop
t-uvz
Primer 2.3 Naplsatitabelu
podeljenih razlika za funkciju
y:
f
(:n) zadatu tabe-
lom
,Ji
.11
1
I
0
0
1
o
J
c
i-tog
Ako sa f, ozna(into podeljenu razliku
za funkci.ju y : f (t:) izgieda:
2
4
reda, tabela podeljenih razlika
0-2-l
NajvaZnije osobine podeljenih razlika su:
l{! podeljena razlika prvog reda je simetridna fulkcija arg*menata
(redosied argumenata nije bitan). tj.
[lr.s, rr11
/] :
[r1, rs;
r11
i
:t:1.
/],
iz definicije. 'Iakode, moierno lako pokazati da je redosled
argurnenata u podeijenoj razlici n*tog reda nebitan, tj.
Sto clirektno sledi
l:rs,n1 ,..,,t)n\
f) - l*rn,t;rr,.'.,:r:y,,,i fl
je (p1,pt,...,P,,) biio koja perrnutacija celobrojnih indeksa (0,1' " 'n)'
20 Za linearnu fu*kcij* podeljene razlike prrcg reda su konstante, tj. nezavisne od argumerrata. Ta dinjenica je o[igledna jer u sludaju prave linije
gcie
podel-iena razlika orvog reda je jednaka konstatitnorn izvodu. odnosno koefir:ijentu pravca prave.
Al<o ie /(r) pclinom n*tog s+"epena, podeljena razlika n-tog reda ne zavisi
r.rd
argumenata. Odatie sledi da su sve podeljene razlike (n+ 1) reda za polinonr
stepena p., jednake mrli^
Iz osobine 20 siedi za linearnu funkciju:
n-tog
r
., :- /(:r') - /(L:0/\ :
l.t:g.;l'; ./ I
jl,'
-
jj'n
40
l.r'0..r'11/1.
8x; n)iQ?1
rs
'l{
TV
ir':r:'zt:tla!ox;1 , {z,r - n) . (rx;
- r) . (0x; -:r:) x
(:r:\zg
:alup ot;
I
t
t
r, :t:
! e:r' t7 I {)sj
x l{
:
:r:'
?,11:
!|
!
:1: D:tr)
:r;n[euirzn
nuwpop orurqnft>1n o{€ o'drrua)o.rd tp ouraTou n>1qar8 'a; ruouerloJd
,t,,>luzeJ euaftapod as ?p n{,1.€lsodla;d zg
oSouru elueut au epar 8agar1
'll lt;'Zt;tti11!\\ixl .(.2':r: - r) , 1tx; - a;) . 107 * e;) :
( t :zx:' t:t:' a:t:) * rj ::r' r I' 117,))' (,r, - r)' ( u*, - a;) :
[{izr'r1;tlx;f.(rr-r).((or,-,r)-([/lti1;!oyl,-lll:t:'oe,]) .(0,r,-r) :
l! iit'tt'ox:). (1x, r) , (os - ej) - i! irr.'a:t]. (,rr, - !r) - lt:or] * (:r)/ :
(r)26-(*,)!:
:pa1s (91)
(St)
(a;)ag
+ (t;)zrt:
(1)'a
t 6i)
zt
rrrt
:rlr?ts a? ntulnls ural;do 11 'trradals Eo8nrp urourlori
lsoupar^ sz nuorord nu2u1 alep (FI) eur2uupal
attrluq
euo a[ o{ts ourts '(ar)/
(vt) 'gr1er1:[!:zr'I7i01]'(I1*r).(or-r,;*ttir':t:'o:r:).(lt:-e;)+[/:or]
ry (r)J'
:oruaqrd ep
oule?otu
o{ef
'ex; n1?e1 toulepop
n (za;)/ aiplunJ n?Foupar^ ouragelodstr
o:1t:
It izx:'rr'at\ x l!'.:r'r:r'rtrl
eluaur au
nslu
[/ la;'r't'ot]
a[tc>1un;
as
:orurlo-r.sn gp outa7our a; utouauo.rd es ouJtsuz
?p olurl€?sodla;d o{€ epel ';r rlsoupal,t a.ts ez aleuzod
IlsoupaJl Jef 'ourtuz air n[e1n1s utalqdo n [/ir'rn'0x;] oJqod
,(t,r-a;) .(ox;-r) l[/ltr'or] .(,,r,-e;)+[/loa;] *(ar)/
'l{::r:'r:r:'0:r,l
:(Zi) n uroualus i
It ir'r:t'lt:].(tt - z)
. (03
- r) : (l!:rr,'0:r'l -lt
|a;'0rl) . (or,
:ouielrqop
(a;)
tg
- r) :
(a;)tg
od ourrqal o{V
'(t;)tg + [! trr '0r] . (o:r -:r:) * [/:oa;] : (a;)/
(St)
:(r) tgr 'ePar 3o'r
-;d euourlod Souonelodralur nlpr8 oruepop epe4 ourlrqop a[n>1un; ]soupar-\
(r)/ ufn>1un; o1y
nu?€1 r elnrurs4ord€ ouiss af (Zt) lsoluupal'eureaurl aftu
'epe"r So,rrd etuerlrlze.r urgetlapod es urourlod polcelod
-rolul rroulnfg at (e;) tal '11 'nlrorlodra]ul nuJ?aurl sz ?lntxJoJ eluuzod al o1g
(zt)
: [t irt:'o't:l
(:r)t11
' (0,
-
:r:)
+ It:tt|,l : $,)l
.fi
Tako smenom procene za R2(t:) u (15) dobijamo interpolacioni polinom tre6eg
stepena:
p{r) :
+ (r * rs) . [x;6,11; f) + @ - rn). (u - l,1) . f:]cs,:r:1,:12; i)
+(r - rs) . (n -,r,r) . (t: * *2),lnq,r:1,:r2,x:s; fl.
/(rq1)
(1 6)
Nastavljaju6i opisan postupak (dokaz rnatematidkom indukcijom). moZemo
da izvedemo Njrrtnov interpolacioni polinom n-tog stepena:
p,,(n)
-
/(zo) + (,
*...
*
(o
-
'lrr,rr;/l
-
+ (" - ro)'(" - "r) '[ro, a1,12;
...' (n - u,"-t)' [rr'rr,...,ru,i"f].
"n)
*o).
("-,t)'
n-tog
Gre5ka interpolacionog polinoma
R-(t:)
:(r--rs)
.
(r-11)
.
ll
(17)
stepena jednaka je:
.... (r, - rn).
l:I:s,:r1,...,r:n,*if).
(18)
Gre5ka se rnoZe proceniti, ako raspolaZemo jo5 jednom tadkom (iLn+r, f (t,"+r)),
na osnovu aproksimacije o konstantnosti podeljene razlike (n+ 1)-og reda, koja
figuri5e u jedna[ini (18):
R*(t:) x r*+r(r) , lt:g,:r1,...,;Ln,r.+t;
f\
(1e)
Dakie, procena ,t,(r) je jednaka poslednjem dlanu (dlanu najvi5eg reda) u
interpolacionorn polinornu p,*1(z) stepena (n + 1) ili, drugirn redirna, ocibadenom dlanu pri prelazu sa p,,.1(*) ra 1tn(r).
Tfeba imati u vidu da (19) daje samo (manje ili vi5e tadnu) goruju granicu gre5ke. Gornf u granicu gre5ke interpolacije moZemo da dobijemo koristedi
jetlrradinu (6) izvederru za Lagranfusv interpolacioni polinom, 5to sledi iz dinjenice da su LagranZov i Njutnov interpolaciolri polinom za isti skup tadaka
rneclusobno ekvivalentni (t1. oba se mogu slesti na jedan isli polinorn oblika:
lc.,:r'). Ako rnedutim, ne raspolaZemo analitidkim izrazom za funkciju /(:r).
t.i. ne moZemo da izraiuriamo {@+t){r). onda se, ako raspolaZemo sa bar
jo5 jednorri dodatnom tadkom u tabeli vrednosti funkcije /(r), gornja granica
gre5ke moVr (nz izvestan rizik) proceniti polazeii od (18):
l,?"(r:)l
gde
!
1r"11
(r)l . l,/,+r l.,o^,
je l/.111,,o* najveia po apsolutnoj vrednosti podeljena raziil<a
(20)
(rr.
+ 1)-og
reda u tabeli.
izjednelalanj etn iilazb" ze grelku Lagraniovog i Njutnol,og ititerpoiacionog
poiinoma (5) i (i8) ito (n- 1)-og reda" dohijamo vezr'r izrnqdrl irvoil-a i podeljene razlike n-tog reda
[rs,r1, ...t!Lm*1,t;f]:
{:P
gde € pripada intervalu u kome se nalaze svi dvorovi
ta.jka r. Ako je r : rr, sledi
Irn,11,...,x)m
t,r.; f7:4P,
42
i
I
(21)
Li,'i:0,...,fl - I
{ € [ro,?:-].
kao i
t
(22)
'qs'u,o?
:
'U
:
olo.ro
?:t:
'Q
tut"'10
-?
w
'1.!.?+o:r;
- r*11 '[] 'piuelsrpll{a
au'luelslpl^{o
Bz
-
!:t,
0usoupo
tI * 'ut"''0
rAoJoA? tuoraelodralu] ns
=
o{v
ruoullod ruolcelod*a1ur noulnip
tr
o,r.e;dez
a[ ral 'lsoupor^ €u?sl I e[ c]lE
'gl8'I- :
'(r)ed: (t
(g'O)e,i
=
(S
--'
O)/ rpals er:
'g - :r:L + e:I:?, -- t:it:
r).:r a 9.er-l- g- :
I.(g - r) '(f - r).ryZ,fil{ lt:r:'z:r:'r:r'Dr). ("r, - r) . (i,r, - a:) , (o; - e;)*
It:z;r;'tr'arf . (tar-r) .(,,*,-a;)+ [/it:t:'D:r7'P't - r) a(or)y : (r:)trl = (:r)/
-1"pop
ts
a[ 'I : lt itr'a:r't:r'0r7 uo{Ilz"r \ ? : t;t: ruo l?e] ulo'.:
'(efice1odla1ur ruqn>1) euadals 3a7ar1 turoulod Souorrulodralur z1
' 9'z- : (s'o)t,,
= (g'6)/
'g
-
:tV
*
"u:7
:2. (I -
:r).
t ag..r,
+
al a.
g- :
'Lt'.e,r'r,r'oa;l'(te,-*).(or,-r)*[/lla;ro{,(o*,-t;)+L{:0.ri:l,r:'t('rl:v(,r''r,,'
el'Z: l!'.zt:'tt: '0r] ruo>lllzeJ I t : za; urorl?ts? rxoulspa;
es '(efirz1r:dJa?ur errl"rpe.r,>1) euadais So8nrp uutougod Souoraelodralur zy
g g'0.9
(g 0)/ onrulrqop alaqtstr zr r]soupar^ uouauis pi
'Z-:
'g
-
- :t:g: 9. (0 -
=
e;)
* 9- :
t/'.t';t;'ox).
(0,r,
-
e;)
+ [/ lor] : (r)td = (r)/
at (efrmlodralur €uJeeurl) euadels 8o,ud surourlod Souooelodralur
z1
99trS
0t
rzt
9gZtZ
7,TII
o
9-00
tt.{r!!r?
'(S'O)/
rtreunte.rz,
tuotuoutlod ruruor:e;odlelur r"urnoulnlp uliez e't Ig'I'0 eurq?etr ntg-ir:L+ -:rZ
ez e>ltlze) qruallapod n1aqe1 rlesrdeN p'Z rorrrlrd
-
f..ri
- (r,)l : rt nftrlunl
"+suoi
:f{:'t;tr-u'f,''"''i*'Orj
[1
'o6eulqosolpals'euada1s8o1-utuoutlod(e;)laio>11
ui: f (ri), Njutnov interpolacioni polinom (17) moZemo jednostavnije napisati pomodu konadnih razlika:
Uz oznaku
Konadne razlike unapred &-tog reda (k
ft:0
:0,...,n)
definiSemo kao:
'i: A,...,n,
Lou,-t)t
: L,...,n L*yo: Lk*'.uo*, - L*-'tJ, 'i: 0,'..,n, - k
Konadne razlike unazad k-tog reda (k: 0,...,n) defini5emo kao:
'
k
k:0
k
:
i:O,...,n
Yol)r:yo
-vn-'!t"*, i : k,...,n,
1...,,n. vuyl, :'io-'y,
Primer 2.5 Formirati tabelu konainih
razlil<a unapred, za funkciju
(23)
(2+7
y : f (t:)
zadatu tabelom
,(
f,:
U
a
4.42
4.9
1
50
5.34
75
5.68
100
6.
l5
0
0.43-0.49:-0.06
(-0.0e)- (-0.06)
:-0.o3
0.3.1-0.43:-0.O9
50
0. 1 3- (- 0.09)
:0.2
2
O.47-0.34:0.13
too
DuZ linija (dijagonala) koje idu (gledajuii sleva na desno) od gore ka dole
leZe konadtre raziike unapred za jednu istu tadku iL;, i :0'1,',,,n' Tako npr.
za tadku r0 : 0 na liniji 4.42 : 1)0, 0.49: Ayo, -0 06 : Azyo, 0'03 : A3tlo,
0.25 : LagSn, nalaz\rno konadne razlike unapred, dok se za tadku L1 : )$ orr"
n
nalaze na liriiji 4.91 : fi,0.43 - L1/t, -0.09 : L2y1. A.22: A39i"
Ako uodirno da je
LJJ,
:
\J"*r --
l/i:
YJJn+t,
L'Y": A?/,,, - Lllo:Y!J,+z - Vr,*t :
Y'2u,+2,
matematidkom indukcijorn moZemo dokazati da je:
L'yo
:
Vul)"*0, k :
0,L, ,..
.
(25)
Ako napravimo tabelu konadnih razlika unazad za funkciju iz prethodnog
primera vide6emo da je identidna formiranoj tabeli, pri dernu, u skladu sa (25),
neki bro.j u koloni tabele u ko.lo,i IeZe konadne razlike k-tog reda predstavlja
konadnu razliku unapred za tadku.xr, a istovremero i konadnu razliku unazad
za tadku zia6. Tako je na primer -0.03: At3/o : Vtyo+, : Y3Ys.
44
(.az)
l iir
9?
ruourlod luorcelodrolul
^oulnfN IArd
-()),,).r
-!,firV
tfi"tL - -tL
)
\7r11
:?{1iz€J qru?€uoI
u;r;i ]
t-tlr+ 1o1nu i1 ui-,u,\zt iLputuzt ezd^ rPrls la,Z] !(,86) utlrul.lr zl
i
t,tl!... t0: ry at ap8
.q
(se
.,1_q.;
i{ :
t,1!'iA
'1+tfl,7A 'finV
:l[:t
rr
_.u,...,0 :
p
I
-i.r.....,r -,.r.r,r]l
:?lnurJoJ tfrqqdo r rqeX
t
tp
qru??{ro{ r qurafiopod npautzr
## - ## - [/:r.r""'tr''r'l,I:]
Qd
'u'""0 --
, a\Z
tli-v
(, v
'4
11ezt>1od
ot:
tlz
:eza,r. rlo1sod e>IIIZ.€r
a?out as ruofprlnpur ruo{?IluuaxtsIll
*
z:t:
: lt it:r 'r.u'a:t7
-!=
unV _ =#=
lrv
[/ : t.r,0.r'] - l! iz.t.,r.l.:l
' q t)fi q tfi -[/:L.i'o,r'l
lI:zt''r.r1
-|
rJ
u/iV
t/ly
.=. rr
-
I
:a[ o1.ey
'ZZ'A:9I'9'+-89'9,8 -V\'g
't + 16'r- :
vfi
+ t''fi,g- efig+
.
Lfi-:
I
I'
t
=t
" (:) ",, (l) ,, (l) .,, (:) - :r+,1i 0,-,,,-)3: rcr
raurrrJ ?u o?{ atir>prn; I}souparl ,, o.rrr,rr,O t l}€un?
-erzr (aleqrr eluacqrrol zaq) ouraToru €{rtzvJ qlu?"uol po n{?ts alo4 n2ourod
',.,0 ({),-,(r-l[ :
(gz)
?t+?ri
\a''ri,tv
:e[oe1ar t7ur1
' 8/ie^ :
t0'0-' 8FizA : 60'0*'sfi A, : Vt' 0' tfi, : 89'9 tftur1 eu azglvtr
auo gZ : sa; n12e1 ?z as {op 'pezeun a{IIzPJ au?tsuo{ oullz€lEu 'vfiv^ : 97,'O
'vfir\:7,2'A'vfiz\: tI'0 'vfiA: L?'0'?fi: gl'g r[ru11 ett 00T : ?.ri DIQE]
tz '.rdu o{?tr "u1"' 'I r0 :1t?x; n{? } n}si nupaf ez p?z?un a{Ilzl?r au??uo{ a?al
aro8 er1 alop po (ousap ?u €Aels rpniupal8) npi a[o>1 (tleuo8etrp) efturi 4n6
Uvedimo oznaku
^
lJ
-
Ako je r.
je
IL
_
-
.l'
.).'61
(interpolacioni dvor), t"ada
ttx
(30)
-----=l7
a:
i.
(celobro.ina vredrrost). Takode
:I:O
:L-:h
:t:
- 'tn
(a
-
n)h.
Iz (31) i (27) zamenom u (17) dobijamo Njutnov interpolacioni polinorn preko konadnih razlika unapred, tj, prvi Njutnov interpolacioni
polinom:
p,,(ct)
lJo
+
il
DI
dJ
2l
a. (a- 1). (a- 2)..., . (a- (n-
1))
'A"3/n
'A'go +
'..
(32)
n.l.
Iz (31) srnenom u (5). za gresku interpolacije dobijamo:
R (a) : a'(cr *
1) ' ... ' (o
hn+7 r(n*1)rer
- n) (n+lX r '\q/'
(33
)
Iz (31) i (27) zameuom u (19) sledi pribliZna ocena greSke:
R^(.a)
a rime
i procena granice
lR-(n)l
8ue Jc
llf '
-.f
l'rax
= ct. {a*1)....'
(* -_,r)
ffi
(3-1)
gie5ke:
.....("-n,)l ,
. ia' (o - (n1) 1)!
iA'+1gl,,o*,
r-
:
".?"qr,,,
(35)
l)' 'Al
Prirner 2.6
Za funkciju iz primera (2.5) napisati prvi Njutnov interpolacioni polinom stepena i proceniti vrednost funkcije u taiki r;: 85 kao i gre5ku procene.
Izabe,rimo polinom drugog stepena. Kao dvorove birarno tadke 12, !rs,iL4.
Urnesto lr0 startna tadka je :12, pa imamo:
&
r)z
a = ------:h
46
lh
'nliar8 llluato i (97 t)O ouJrlqrtd
0.."
ujolaqe] alep rlsouparn aualu r?a5rlol
'+[t
"r.a
rleun?e.rzl
{ + : (r:)6 nftryunl ez euedals
3a7al1 ousoupo 'So3nrp uourlod Iuor:elodtalurnoulnl5 rnrd tlesrdeS
,'Z raul.Ird
'euu12 3o-(1 1u) Soulepop
ourss afue.tsrrn?EJzr r?"J] utorlllod ruonelodra]nr ,roulnfN 'tuourlod uelaldruo:l
rlespaua8 qado erotu I * tu et 'u ps euroullod tuadals nlue,tuga,r.od pd as
3o4 po>i euroullod.Eouoorlodralur 8o.to7uer8"rl po n{rz"J eZ 'BuourodeSl
tr
't800"0
:92 0
,x"r.l6uV
I
l(e
VZ
t
- r'u)' k- t'd' fi - v'd' v"zl
l(r'z)8211
iv
'(z- ").(t - o) .al; > i(p)t'trl
l(e ")
:a[ e1;ar8 ?ueroJc{
I
809969=66'017,-bz) (r - r
,r/ieV.
, --1.---.
= (V.z)ta = (St)i
' O-t (I-vz)
'tz
vz -(oO
,l.Z: _53- : o rgols af ed
Ltv.O.V.7,+I6.,
a)
i8
(z-o).(r-")
t(i-v
.o + Lv
,
iz,
(1 _o).CI
+ r/iv
.l
,
,t, -- (o)ztt
,(zt) zl
u
_______i-
1r-t:
'tTtt'f,:'zr'rfi
c{?€1 oru"Jrq aAoJoA?
' utzlo'o
I
: i]
:orrr€urr ed 'eu1re1s a[ tr r42t1
oullJeqeztr
oey 'uitadals 3a?ar1 uourlod
: zz'o'#
I
l(r'r)zul
it
r,i,, ----------.(r-,:).ol
*'
'! "l(o)zUl
tvr
l(Z-")
urri
:e[
a>1gar8
?Ilaf,ord 'zfi
po 'ousap nu e,rais) apuo8eftp ?np
.
?z,gs.g: rr.0
-
as azeltsu
a1QE]
po rztiod
eiol (aloptu arof
I[lsiJo{ ous a[o1 a{ilzuJ au?euoy
. ,-4*
tr
-
+ rr'0 , v.r + vt Q: (?"r)sd e (qs)/
v'r) 'v'7
,I:#.,,-u
eSolsat ud
tzfi,w.
-(o\(d
zv (t-o).o +zfiw.l+zn
' o
,(zt) zt i
xt
a
u
0
0 1.0
0.8427
1 1.1
0.8802
2 1.2
3 1.3
0.9103
4 t.4
0.9523
5
1
.5
0.S661
6
1.6
0.9763
7 1.7
0.9838
E 1.E
0.9891
I
1.9
0.9928
10 2.O
0.9953
0.8127
1
0.8E02
2
0.9ru3
4
5
o
u.vroJ
C.9523
U.9i'61
7
8
0.9838
0.9891
I
O_992ii
u
rr.yya
a: EfiU :
je
pa
o(1"a3) = 0.9523 *
0.3,
0.3. 0.0138 + s{qr:]), (_0.036) +
ti@*r3-n3 .0.000e : 0.eb687
Za t:s
:
1.4
ie
.
0.0375
0.9340
_0.0074
0.0301
0.0010
_0.0064
o.o237
0.0183
0.0102
0.0075
0.0010
-0.0054
0.0009
-0.0045
0.0009
-0.0036
0.0000
_o.oo27
0.0075
0.0053
0.0037
0.0005
-0.0022
0.0006
-o.0016
0.0004
-0.0012
0.0025
Drugi Njutnov interpolacioni polinom
Ako se kao po-etna taika u Njutnovom interpolacionorn polinomu sa rrodeIjenim raziikarna, umesto ir., izabere ta(ka *n, tada se dobija polinoni:
p^(*l) :
?!^
* (:r -
(:t:: *
r:n) . l:rn,rn-1; fl'f
nn) .(:i: *:t:n. 1)',tttn,'rn*!,:L^ 2\
(36)
fl+ ." +
(r
'l:I:n,l:n-1'.,',r:s;
(.r:
J'l' (37)
- t:n) ' {:L - :t:n*v) ' ... ' - rr')
fl, k :0,...,fr korisieei (28') izra-
Ako podeljene razlike lt:r,tt:n-1t...tx)n-k,
zimo preko konadniir razlika unazadYkyn:
[,-n,ir:.n-y, ..., !Ln-t:\
uvode6i silIenu:
fl
:
i:t:n-
1",
:rn-k+2 r ..', J: r',
o-
:l:
*
fl- ##
##,
!I:n
n
.
kao rezultat dobiiamo Njutnov interpolacioni polinom sa kolarnim razlikama unazad i1i drugi Njutnov interpolacioni polinom:
48
6V
?luAralur
nzlq apnq ep Bqarl slo{ .r a$ts} a?n;I{odre1u1 alepez po IS{^?z
"rlua,
?p €qerl ?Aorol? qpollelod"ralul Joqzl '(u1u2e1 '., m al?p ahllun; ez) u 2 w al
Bp our"-l{q er:rou11od Souotcelodralur ru uadals sJIq as ?p?X '€uauode51
tr
' 68610'0
:
ZZ'0.
l(z+ g'o-)' (r + g o-)' (g'o-)l
:
\9
U-r'A
:a4qar8 €TrasoJd '?fi e{?81 afupalsod po rzelod uto>1 (aro8 e>l alop po'oirsap
eu e,ra1s) aleuo3elrp ?np uaq?1 n e?al r[]srrol orus afol p?zeun a{rlz?.r eu?siro)I
' vze?'s
* T + Lv'o' (s'o-) +9T'9 :
- 8I 0' 6 + 9 0-) .(9'0-)
Z
(9'0-)edt (q8)/
-+
9Z -:;:\
=p
'fr'3-:
00i-qg br-t:
.bfi-A.--LLt
(ilu)
'u
+vtin. [*,r,
<)
:at'apS
-(olzrt
'aualo.rd
nlqar8 roel qg: iu rl?81 n a[r:1un1 lsoupar^ illua]old 'euadals 3o3nrp wourlod
ruorre;odralur nouln[p rBnrp rlesrdeu (S Z) erawud zr nftr1un1 eZ g'Z raurlJd
'Vi*,Ll"r>rjtr'z - xplull*r/l5l
t( t.pu\
'ffi
(tr)
'*"'lr*,fiAl
ftv)
i(r + u)
l(u+o)".(r+o).'ol
I o)
a[ apF
; i(")?l
:a>1qar8
' (tr
nlirrrr8 ez iz
.' (t 1- u) ' o ("Y2
=
a4qar8 nuaaord u7
:ourefiqop
afpulodralui
'0 > o a[ ep ourrlauu4
(or)
.ofiuy,
(t -'u+rr)
+"'
(oe)
iu
"" . (z +tr)'
t c'-uA
(r
it
"eV'17_1_6,1
.(1
iZ
, o
(i, r r''.1
+ a-"fi"V
'l-
r- ufiv
+o)'
r,
+a).o
l, "tt :
(r)*,1
:pardeun
"{rlz€J
qru?euo{ o4ard oruaqrd
uoullod ruomelodralur ,r,ou1n[g r8n"rg
o1sa1
u kome IeZe izabrani interpolacioni dvorovi koji odreduju startnu tadku. Njutnov polinom koji koristimo se dobija pomeranjem indeksa
n'(o -r)r-.'(* -z) .r,
tt--pn(o) n, ; y, 1 3--0--l) .Yr+
,..,g (u-l) (*-2) '.
.v,
'
'n",
ii-gde
je rr :
Y# iYl : Lil:*, j
:0,...,?p,.
Napomena. U praksi se za interpolaciju
najde5de
biraju polinomi malog
stepena, ne vi5eg od treieg.
Prirner 2.9
f,l
Za funkciju a
0.50
u.55
o.47943
u.5lzo9
:
0.60
0.56464
f @) datu tabelom
u.o5
0.60519
0.70
u. /5
U.UU
o_85
o.64422
o.68104
o.7Ll36
o.75t2A
u-9u
0.78333
napisati prvi Njutnov interpolacioni polinom p(n) i izraiunati /(0.56)
0 0.50
0.17943
1 0.55
0.52269
2 0.60
0.56464
3 0.65
0.605i9
4 0.70
0.64422
5 0.75
0.68164
6 0.80
0.71736
7 0.85
0.7 5128
8 0.90
0.78333
0.04326
-0.00131
0.04195
-0.00009
-0.00 140
0.04055
-0.000012
-0.00152
0.03903
-0.00009
-0.00161
0.03742
-0.00009
-0.00 i 70
0.0:1572
-0.000010
-0.00180
0.03392
-0.000c9
-0.00 I 87
0.03205
Kako je h : 0.05, zz iI)11 :0.55 je o -'-{n : "6.B.*t :20r
11. pa je
prvi I\ijutnov interpolacioni polinr:rrr za funkciju y: Jlt:) jednak p(a): go-t
aAso + d!1)a'rn + <t#e=a O;s. : 0.12269*0.01195(202 - 11)- 0.00020(20z -
11)(20:r-12)-0.00002(20n-11)(20r-r2)(20r-13): -0.16-3+0.00812+0.9886o*
tr
/(0.56) = p(0.56) : 0.53119 .
C.00316, odakle sledi
50
n[rce;od:a1ur nuz]anur r?a]sr:ol ]soupa.r^ nuTr;gud nualu rTeu ! h'0] n;eniaiu, '
nlnu nupal oues eLur I - rrt * ,;r : it;)fi: /i efir4un; eP rlezelod II'Z rourlrd
tr
6r'0.800i90'0
-
'69lr'0
8?'0 .7,haLL'fi+ )",t'a' 08qfq'0 + 93'0'09Iqto'0r:c(0)eT +lil(g)e1 + I:L-(0) I? + 0.u(0)o?
(o)',2
'08CSt'0-:ffi
'
0e
r
*0'0
--
(.,
,,'El
Ii
]
ii'ii',r',;.'zlJ: d',ri
ti
riilu't'u''
"-
:
:
:ii"rp
(a)rt
(n)rz
=
(o)uz
rfi'79'91- L'r
tfi'C),'Z zfi'92'9:/.o'TT
'i1 'n>1pu1 ntrad i n1r.r.1a2 'n9ar1
u*rr1q a.{oro ? I?z o?F o{81 euadals 3;-ar1 ruourlod ruorcr:1odra1ur .r,o7uer8u1. rlazn outa?- n_iptlodralur nuzJalul BZ
0s'02
0q'0
87'0
6r'0
q.'7,
' 19'.TI
urolaqet app (x;)t
:
gz'9-
kSiqI
*
9r'0
LV'.0
-
-
Zq,bZ-
fi
t:
9?0
fi alpyunl hpu ez lsouper^ nuyuqud l?PN 0I'e rarulrd
l+?'o='!
(?n _ !fr) U
,i:;
* n) ll
' uL'"" I'0: {
(w)
:
(fi)r1
{tn
0:I
'(fi)\h:f:gti'"rtxt,
(er)
w
:nfepedrrd rlorol? outo{ slsAJaJul €JJuac IuIzIIq n
r4a1 fi lsoupeJl Br)?pgz
o{31 oue.Ilq t11'"''I'A: ['fli altrtlodre]ul aloJo^l
"p
ap8'u ! uz euadals urourourlod
ruruontlodralul UIIAolutsJEe1 (i)r-!: a; nlir
-{unJ nuzJelul oruierluilslorde 'n.tifluaurord nusraszou w}I fi tpnltr1tuso6
'tsuolouolu / etntun; a[ ep
ourel1,r.r1sodra.rd eftrpeg '@) ,_t : r eftr1uq lTuzrallrl rlo1sod epel .ra[ alueqa:
oua,rlsulpaf crue{rrr 'euolououi nl?AJetrrr tuou?Jletusod n (r)/ : /i tlrc4uq at
c4y '/i lsoupeJl nleppz Eftqop eno n!'o>1 ez 'e; elueurn8re lsoupara. euo 1ua'.lord
[q'o] e1"e,tra1ul zI B?Eueuln8re rlsoupar^ zrlr vz'(:r){ : d alp>iunJ l}souper^
elaq"l nlouso ?rr es
aruo? n rlo1ses as oflcelodrolur ouzJolul {ts1"p"2
"p
euzJolul
e[1ce1od.ra+w
E'Z
Funkcija na krajevima posmatranog intervala uzima vrednosti razliditog
- -1, y(L) :3), pa u njemu ima nu1u. To je i jedina nula ;er je
funkcija monotono rastu6a na IR, zbog t/fu:):3r2 +3 > 0.
Dakle, potrebno je da naderno vrednost r za koju ie A :0. Ako sa r : x:(l)')
ozriadimo inverznu funkciju za zadatu funkciju U : UU)), oncla se problem
odredivanja nule funkcije g(z) svodi na izradunalanje vrednosti e;(0), odnosno
na inverznu interpolaciju. Formirajmo LagranZov polinorn drugog stepena za
funkci.ju *(y) koristefi tabelu
znaka (y(0)
k
0
_1
Ax
fik
Za ivorove biramo prvu, drugu
te je
2
t)
-0.392
0.625
0.5
.)
0.2
0
i
,
I
tredu tadku
1
(ili npr. drugu, tredu i detvrtu).
(Y-vn)',Y- vr
\u'uo)lv-v2) t'"'
,
*rr Isvr)(c-s,, --(v lil=i,TiFii
_t) i)
(*1))(t-tt.c2i)
)
Pr(u)
rno
r.62i) 1 u'' ((-0.312)-(- ll)(( 0..192, 0.(,Ji)
0--+
(!.-r
0.625 -,(
-
-(-
I
0.608. 1.017
PribliZna wednost za nulu posrnatrane funkcije je
f
rypz(O)
:0r#l+*
*os*fiffo,7
:u.32t)7546.
D
Protrlem inverzne interpr:lacije se moZe razmatrati analogno i ponioiu Njutnovog interpolacionog poiinoma.
2.4
Fito'v'anje
Fitovanie eksperimentalnih po dataka. Eurpirij ske forrnule
Pretpostavimo da smo u ciiju izudavauja funkcionalne mectuzavisnosti dve
(fizidkc)velidineriy:
y: f(r).
(45)
izvr5ili niz rnerenja vrednosti promenljire l: i odgovarajueih vrednosti promenI.jive y i dobili sledeeu tabelu eksperimentalnih podataka:
:L
:x7
iL2
:L3
.ln
u
U-t
!)z
lJs
!Jn
52
(46)
(or)
t9
,"U+U
-t
:oeI rlrzerzr
o1o1
a7or.u
a[nl1s eur2ei
oulnrls ounelsoupal ez euolez Sonor'ug nnouso eu as epo1 'tuoutlod ruorcelod
-ratrur rlerqepo ninuro, nlslurduta oq elsrtus eulau eIelePod qrno afuenolrl e7
'(erodlo qruleurpafod qr^s eu.rns oe1 efrqop ?s nlol n todlo uednln
'[1 'rlsluas luezal rlueu]ala r^s ns auol n) niol Luou?l:Uelts n (ail1n1 aupelap)
3, erodlo i 7 ainlls au12el rlsoupar^ euleluauttedsla 31eP ns e>1aN ZT'Z rarulJd
'rllouso n{slaJoal n^{"{Iu uuau tfol
euroullod Souorrzlodratrul po TI{IIz€r ez'fi t.x BIII?IIaA qpi?izu Jsousl\tz n{slar
oupo8o.1
-oal E,t???Jpo 'onqrlqtrd req 'o1sa2 €lntrlJoJ e4sftrrrltua
"utJqqpo
'(,,11sou1t,r.erdau
1
aupr1o1,,) eluaraur arlqar3 a?rp?s afo>1 (u'"' '1
!
t(tfitty)ttr19)
oul"}uarurradsla afnlnporda; ou2rt
a{?€t
s e?qsz oBeu fi I fl nBeIrIzI aza,r. aporud
(r:)r-ur,
"p
lts1pzal n$u afo{ {t;)r-",1 utoutlod tuotoelodralur
upupard afol a1qe1 ouuler?s{e a,rrftlon ns I)IIS eN
'efuaraur e4eqarB po nlr1od
afol rlsoult,wrd
1!,'"''I - !
-au au[?{ol (eruouliod Souor:rziodra']ur po rI{IIz?J ez)
,p,r,e[u,r.eJzr,,
tlq e4r;?e\ r{rAS ((nzrle( izelord \lv '!lV n{?Et nui?luaurrradsrla
nupaf zorl 1u
rzrlold au 4gel3
llil (illlen tuoullotl
SouonelodlaluJ uadels
I aurl] u
'e;1u1
-e1 qtul€luautlradqa ['o.rq at o1u 'o1t2orzu) eprulo; u1slurdwa uiru.telsoupai 'efua"iaur a:1qer3 auqaqzpu Soqz auqul nsru
aurcs a[o>1 e{?ts1 aule}uarurrads>14 11e.to>lnporda.I p{sunQeJ ou??} €islurs tsulau :ra[' ruotnelod.ralur
tsAeqal eu egqa2teu 'urrlrrpaur 'as efue.tolrl utalqoJd 't--'u euadals '(t;)t*u,1
urourlod ruonulodralul olq lq lslprzal u 'rltre1odra1lll o ?oJ Iq
'11nu e4eupat
"llq
npnq (If) eiuednlspo €p ?,Aolsn zr rte^rparpo nlnurroJ n>1slt"ttduta iq oIV
(sr)
'g:){
.=
n
:uolnr[JoJ ruolsfr:rdura IuP,Ao+g t]""''1 : r, t(tfiltx:)rylr :lc"p
-od rulelnarurrads4a ns ep o{xe?"y 'nlsrrrs luouapaJpo n ?[EuI outlo,r.op npnq
'(r')t -
Qt)
:
?ri
?3
:(a;)/ ato4urll eu"rq"po
zr qruelrqop puarord qqsun?tsJ po'fi ez t'LLt"'tI: ? '?6 i]soupar,r r{lul"luaru
'ft
-1rads>1a elutdnlspo
nleuzodau trrrursrlordu eiol
'(qf)
lsousrlqz
efuelo]U {ts1spez
n^{?X
(e;)/
"p
ato>1uny afuusrugap at e;1e1epod qrupluetulrads4e
'Lt,'"''I : ?
t{tfi,ttx:)ttrttr e{e?€l qrullllueurrJedqa zru '[1
gde
jet
fin: Ro*r*Rr+&,+ R.p(R"ie
ukupna elektromotorna sila u kolu,
r unutralnji otpor izvora,
otpor kontakata.
otpor ampermetra,
fii.
R, otpor
prekidaea,
fi,
otpor veza
i
Zadatak fitovanja empirijskih podataka se sastoii u:
- izboru obiika empirijske formuie (48);
- odredivanju nepoznatih parametara u formuli $8) iz
f(r)
"protle Sto bliie" skupu ekspcrimentalnih ta,(aka
uslor,'a da grafik funkcije
Ma, 'i:1,...,n.
Izbor oblika emPirijske formule
Pri izboru oblil<a empirijske forniule koristimo;
a) teori"jska znanja o vezi izmedu (fiziEkih) velidina z i
b) grafiiki prikaz eksperimentalnih tadaka;
17;
c) nurneridke kriterijunre.
a) Teorijska zrranja
Primer 2.13
Za razliku od postepenog smanjenja energije naelektrisanih destica pri prolazu kroz materijal, apsorpcija ili
rasejanje yzraka deSava se u pojedinaenim procesima
tako da oni fotoni koji produ kroz apsorber ne pretrpe x
nikakvu interakciju, ali se smanjuje njihov broj. Neka na
materijal (apsorber) pod pravim iLglom pada usmeren
snop 1-zraka (vidi sliku).
i
*
Ith
s
I
I
lntenzitet apsorpcije 1-zra-enja
I$:):
16P--tttt'
gde je g,, linearni koeficijent apsorpcije koji predsta:^l:
-^
VV Jsur-
/:-+^^-l+.+1\
.,li^
-,,1^;+^1, U;;UiiiiJi^^^.*:i^
Vij(i tC;<iiiV;;i
'^l^+;.,^i 6iji.;iLciii
\iiiLL"-.!sLo/
nici duZine pri prolasku zraka kroz apsorber i karakierisii6an je za dati materijai. Linearni koeficijent
apsorpcije Ft zavisi od energije a-zra6enja i rednog
broja elementa od kojeg je napravljen apsorber. Jedinica za linearni koeficijent apsorpcije koja se najceSee koristi je cm-r . lzizraza (50) vidi se da intenzitet yzraka eksponencijalno opada sa debljinom
apsorbera (vidi sliku)
54
(50)
'(fi'':r;)n:
CC
1 '(t'i':r;)y: y
-oJd urouaus uoupo8od 'epu4au as
(q'rr'r)!
aa1r1 (efue.rreu^e
Jzl
)
:
:qt,rtftuaru
f) t,ttr4 u1.sre1arueredo,r,11
eftcez1"reatr11
'a{rlzr?r au?PuoI
''
llBr?gursod a[ oullo,r.op ts)Irlzl]J qruaftepod oJseun au']Iltslslpl^{o'u""''l - J i
Di?'B} aul€]uaurrrads4a ns o{V '(,r)14 'nr.rd.'r1s 3o1-.1 ruoutiod as €rlq elnluJol
'u4sfurdura - elpeurrs>1o;de eu1t,u1ap? ou>I 'eulu"lsuo{ ou?{qlJd (gf) e>le?ts] qtr.i
aual1apod ns o{\-'
-leSuatulrads{a
zr a}pun?rrzr (1 - u I ry) upar 3o1-ry e{Ilztr
"''ZtI : tU tluLl;t"''Zt:'I:r:'l:)! = T!"-\;L )
1u1l
:rfou1ar iouapa,r.zr efper tu eJrz?q as r[o1 urnlue]IJ{ I{?uaIunII l?epels as
IlsrJo{ eruouriod Sagnlurrurrslordu euade]s nroqzl IrcJ 'slredeXs Seqru Soutrqupc'
oupoSod rurourlod 9an rurouriod 1uonslodrelur nftrelrd n nslu 'urozrlgu? {uoupou.
-?ard es npsHs n ouA€JtsN 'ruroullod aJSIJo)t olsa? as apurJoJ a1sl1;rduta oty
'lq'rl>
r
'3
> l(*,)/
-
('t:)rtl
:rqa.,r h
'[r7'o] n1t,,,tra1ur eu (r)/ nfo4un; rllep €Jl{rrls{olde ouurro;run i[o1 (a;)d urourlod
A€{E} r?pu as azorJr 'g < : ouerqrzr oullor,zroJd vz '[t1'u] n1e.ua1ur vu nupr4ard
nftc>1uq n,l,>Ie>I olrq ez Bp 'auraJoei aAos"JlQJaferl aluuzod po r?ozplod
'rlruzrcard ns rurnlrralrrl r{?rJaiunu lu?sllruuJoJ oupoSod 'iu.trl
-au
(:l)/
elol ruofiul
efeds
{
-?]W
orrrps ns rio4 e>1ger8 eluaparod rzaqvu eurnftraltr:1 po nr{IIZ€J ?Z
unt'ua1ro1 r{?rreurnN
-Ez Eirlqo qrgnSou roqzr rlrzns oul€uz olsa? otrle?oru
urouallqrruez u"^ ulrc>1uny qrlr?rlztsJ
(t fi,
L
t
'eJ I q'7
.i
'rlsousr.\
x;)ty6 a{??? ?utslnrr
erlue* urafuaparo.l
?zrl?u€ e{?rJeJc
ounrl>ladsal
ez arrurpel aurau.r ns 6s r
'rJ, tt :
(ts)
S 'w e'# :
ry
al
1q
apB
7
:ur?eu r?epals eu lleze>1ud oua4orrl nzal '6 eluezrqn Souo
-rrelaer? r? euiel)i autJnp po ou.les can'elueno;rrso apn1l;drue po ru 'aseu ano8
-alu po ru rslnez au oupaprpo eu1e1>1 3o>12rieualeul eftceyrso qr;eur porred 'a11e6
oA
'IJ'
uZ
-g
:al eule;1 3o12r1eualeui elueno;r:so poltad ez elnu.ro3 f
I'e raurlrd
moZe preslikati na pravu:
A:
gde je
A(a,,b),
izravnavanje.
Prirner 2.15
B:
\':
B(a,,b). Ovaj postupak se naziva linearizacija ili
Jednadina krive
llr@,Y)
gde su
pig
A:0,,8:b.
A+ B,X,
: * h' p0:, tl),
o,
bilo kakve funkcije, uzima se smena
Y
: q(t:,ti, X -,p(t:,1).
za
Smene kojima se postize izravnavanje ili linearizacija dvoparametarskih nelinearnih empirijskih formula:
kriva
smelle
Y:Logy,
Y:Iogy,
Y:1.1,
Y:Litl,
Y::rfy,
Y:l/tJ,
A:o,'t"
1)
-:
o,
'b"
'u:o,*h/t:
.,
'
:1
a*b t
,,
r
I
a+b.r.
:, -
prava
1
o+ D.J
X: ]ogr Y: 1og o,* h.X
X: n
Y:Iogo,*iogb.X
X:llr
Y : a,+b.X
x::r
Y :0.+h' X
X:x:
)' : $,+h.X
X:l/:t: Y :0,,X + b
At/ - ,f2
Y:o,+b.X
X:Llt;z Y:o,.X-rb
X:*
Y:b+o,'X
X-togr. Y :0,+b.X
.,, /,,
V
' --'t'/ lJt
,r2
a+b.t2
1l:c+b't+0,,:rZ
\j: b' log* * a,
Y:illt,
Y:kl-c)f*,
Y:!,
Za kriterijurn adekvatnosti neke prevodenja smenorn neiinearre dvopararnetarske forunrle u jednadinu prave (izravnjavanje) uzima se:
- grafidki kriterijutr, odnosno tadke (X,, Y;), i:1,...,n pribliZno su na prar,.oj;
-,rurneridki kriterijuni, odnosno podeljene raziike prvog reda f[Xi,Xi+l :
Y,*r-Yi
A)'i
i l'""'tt i su pribliZno konstanlne' ij' i+ =.
-
,ITL_F
Metod najmanjih kvadrata
I{ao i-e.a o.isiripairja utiai,r'a,e errrpirijske formuie sa (r + r) parametronr
b'\.ht,...,bt G+ 1< n):
l)
:
f (x:,hs.b1,...,by).
(52)
od eksperimentalnih tadaka se u praksi najde5ie uzima suma kr,adrata odstupanja:
,S(b6,
b1,..., bn)
: D"7 :L
i-l
i=7
56
fu,
-
iU,o,hs,b1,.,..ht ))Z
(53)
V
0
T
0
t'0
9'0
0
9Z'0
Lb'a
qfi
1r
N
.196'[
L1
' rr-0I ' Wn't: $'A'
# ' Z: y#N > llr)z(1' - (r)!l
l'"t;l]i' : r:/v € 'L5j)
'z : b),,, j
= ,\,,,1
l(r\,,,!l
(t;\ztl'9'6 : o:fu :u *= Z:u
+,:r![
t:t,
Q-
t
1.r
:
eftleuJrsloide nllar8
llrua)o r n4arur nuluelsrpr^Ia r?alsrrol [S'0'0] nlts^la]ut eu euacials 3o?nlp uuoiu
-ourlod uruorf,elodJelur LUr^o7uer8eT (r + I)ui : 0 n[rc>1un1 ltreirturslotdy '7
V
rc- z)(o-z)(rrzr ^- -t (c-o)(z-0)(r.0) t, G:;m
Oar-A'ut fp_;jfi:?l?ir?j'1,
OI
7,
qa
II-
Z
(
'z + -:i:E I='-31'9-!l!l g,l 'qr,
!. I - (E-f,)(O-.r)(t-r')
L i
"'r'9
(t r )(z-I-)(0-t
) r
/..\c.r
--ig-;nz-;1[i=J-'t\'4,,'r'
t-
{r)
{
0
I
0
ulolaqetr nlep (*:)/ : /i n|p1un1
liesrdep 1
ez uroullod ruor:elodlalut no4uer8el
|JepP-z 9'z
?soupaJl nlrrsurlsu atup
€tua?sls efuaqa.r ?ulnurrurur qrrr
atol ouo as Erlq (79)
(runrnppt tupqolE) €urnur(rrur
'
lqol aFrA alrcuelslz8a nfrqnls I 'alue.r.rqar orr^r?BJa]r nltaalqtz a'] 'aruparrrlau
nlupn1s rualqdo n ns arro r eurqeupof auleurJou os llroZ (tr,g) aurpeupal
ltto
,0 :
*:((rq'
JA'
,,4''.''O: [
(l,s)
[=?
' trq;oqt!.)))!
"-
,/r)
3*
:uroluuzodau
(t +,1) us auqeupai (t + V) po
ura:lsrs as ehqop
Z-
qs Bur?supaf qr,,r,o rucfuatiaq
lqe,..-4
T:t
-
loo
- #JU[(
0
Yq
'"'
'i,r
'ori
"
r:)
,n]32
{- u
ng"t'+-
'qg
so
:our?rur (gg) Soqz ousoupo
!tto
'o-=i
b'a
'4'""0:[
tlq'" 'rq10q
:eulnurrurur tsAolsn Eouqarlod zr nlrlrqop es
a]?uzodeN
'lsoupeJl nfururfeu
tsuri
trq
(tg) tuns a[o1 pz eua nfeurrzn (79) rlsousr,r.rz ndrl ruousJq€po n {Q '"'
qrfuerufeu utopolatrq
'0q €J€lelutiud 11souper,r, a[1oq[eu oe>l as Blerpea>1
-- 3. Aproksimirati funkciju y : i
Lagraniovim interpolacionim polinomom na
intervalu [1, 2.5] koriste6i ekvidistantnu mreZu sa korakom h : 0.5 i oceniti greSku
aproksimacije.
h,: i *
il)s
:
l,
x\: *, nz:2, t4: i
(r-r,)(z-r.,)(r-r")
,)
X:L
J/.
yk
2/3
5/2
2/5
r/2
(r-t"\(t-r")(r:
/ \
h\.r):
ilol;;;
:")
J Ur G;=;#ffi
j(r-*'
(rl+n
(r:ro)(*-rL')(l-,::)
)(" ":,i) -r
-p,r.,
, r,
- .,Y3- G]:,.o)G; ,r)t;;--;,
[r:lol[., -2.,1[f:la
i(r'- 3)(,,- 2)(t -Blr 5(.. - 1)(,'- 2)(:r - r)
-2(,.- i)(,, - 3t(,'- El r;(r.- 1)(r.- 3l(,.- z).
Ittq'
lf
--
rnax
:
11(a)1"r:)l
'
rpax
:€i1.2.51
(*)"eli.Z.St
p:(,,.)l < tho: * *:
4.
Za funkciju y
:
: 6 +
t''
' - *l
|
A
*1
f (t:) datu ta-
k
belom, napisati LagranZov interpolacioni
polinom i na osnovu njega izraiunati pri-
/(f
bliZnu vrednost za
0
t!
l{0k)
3
4
3r /2
I
2t
2
U
I
U
0
).
lta(r:): $r(r2 -3rx*2"'), f (T) =pn{T): 3t :0.7901
5, lzraiunati pribliZno sirr26"15/ koriste6i vrednosti date u logaritamskim
blicama: sin26o
iL
:
26.250
:Lq
-
0.43837, siri27"
-
260
lo
:
:
0.45399, sin28" :0.46947
A
a
0.25
rl
n(o-i) .f^,
p2lo) - ,r7o F .f yn + -f
'yn.
l:
sin 26o l5' : sin 26.25 x 1t2(C.25)
: 0.4383? + 0.25 .0.01562 + q9@
A
2t" 0.43s37
0 01562
27' 0.45399
2a"
.
ta-
,
-0.00014
0.01548
0.46947
(-0.00014) -- 0.44229 .
A
6, Koriste6i zadatu tabelu funkciie y : I izradunati y(2.7L) uzimaju6i Njutnov
interpolacioni polinom prvog stepena i proceniti greiku.
L6a
i." LAA
y(2.71):
0.3704 + 0.5 ' (-0.0028)
p
lRzl : f(z,t)
y'l(r,)l
7. Ako je funkcija
I ozq
L7n
:
0.3690,
: l$Sag.g2'?*l
y:
I
I
< 0.5' l0-5 < 0.5 , 10-4.
A
f {t:) data tabelom na6i pribliinu vrednost za /(155).
:t)
100
110
v
10
10.4881
120
10.9544
58
130
140
150
L'r.4017
tL.8322
t2.2474
0-r
:#
'0998'0
.(tstz't-)
+
+"
Ir-Eu)(02-t:r
za-tit
u -0 )l uz-z
t:r- tr)( r-to)(ur-
69
a[ a]
(g-z) (r-a).(o-z)
t-nn,
ffii+ni;-'(i6ez'o-)
ti$*j*#
sr+(+#+lffi#zri
(oooo'z-)
(t'c -orl(.?:x-"xi),(-tr-d.r)
rFf -1.
I
((x-I.)(aI-n)(
'66688 0
90
I
LELZ'I
16gz 0-
(o)aa
0000'z-
'tti
?l:r
0
4
0
Z
-
:
Ofi
(,r')eri
'I-x)
u11q{e1s 3e2a 11 lqlorrrlnd
guorrulodralrrl .toguer8el otu?rul afusllrruzs.r n qQr;x IrI?a?
0998"0
I'I
I
v
aAS t9nleuiun
' 7,,I _ rr; ez lsou
-per^ nu?rlqud nualu rleun?e.lzr
'urolaqei elepez efr:1un1 euad
+1s
Ba7a.r1
-ralur
uourlod ruor:e;od
rTalsrroy 6
^oJUer8el
* f#frffi".,, r ffiffi#'.'+ ff7-*ffffiu.
: (flr,a rpals ed '(0)zrr eleupal ou4rlqrrcl EInu eue?srl a[ tp oueutr (euadals
So8nrp uourourlod urr,toTue;8e1 us) urofleelodralur utouzra,Lut '91'6- : t-fi <=
8'0: Ia; ai up rgnletuFn '[I'g] eu nlnu nupal ouus €riII (0 ( aIxC + u:t:g: ,fi',
Souurlerus
rlsouolouou Soqz ed 'r>1euz Solr2rlzer (lsoupaJl Bur{zn
"l?AJeluI
: 0/l 6 g : 0r
-od eutpaluq eu u!1a>1uny'h'1 : zfi <= i - c*'Ilsoupel^ nuTr;qrid nualu rTeu r n;nu nupa|
'nficelodra1ur nuzralur
otl.les
eur [I'0] nlenratul n I
V
: 00cV 'L000'0- *
I/,
rY
6;jreS1
+
-
r?atrsrJol
{t: +
e:a
: (r){ : /i eltc>1un1 eP rlezelod I
's6nr'7,t:
rfiuV '9100'0
,;a + zns9
:
zn,V 'ggl0'0-
(qq1)ca=
(ssl)/ €
enrv 'Zglt'a
-
,.ufi(,V
Gplt+ O; +
s/,
z
-
1000'0-
vnv
I v (r+E)(S+D)(z+o)(r+o)"
(o)'t rJ
V G++DE + ? fiv * + s fi
:
Lvz'zl oql I
za88'1l 0?r v
lI07'11 osl I
ws6 0I 0zI
I88r'0I 0II I
0I 001 0
v
agTV'O
1910'0s0sr'0
9100'0
1000'08910'01000'0zz00'a
t,Ltn'j
9000'00610'08200'0
t997'0
8160'0-
7,
I88r'0
6,,V
fi"V
fioV
fi.V
fi,y
fi
t:
?
0r_\* qc-r o al epeS '(SSt)/ trsouperl tsl?un?qrz{
€leq"} I o"{ 'g'0: 09I-S9I
urofrcrloderls{a 'Azl es rq -urou[od luolouiodralur,toulnlg 13nrp orur1s1.ro4
pd 'acrurr8 eusap a[ nzqq "p
e'[Ogt'OOt] er"AJelul us.t a[ 99I : fi t{?"J
y4ft.2)
:
-
+ et.2757) t-irtm-f=#
{fioffiH#
sd++{,$H# 8560
(-2.0000)
+(-0 23er)
Y.#o=#=#
+0
-1.08524
A
10. Na6i taiku r* € [1,1.75] koja predstavlja nulu funkcije f (*): rt-2','3 -1
koriste6i interpolacioni polinom tre6eg stepena i ekvidistantnu podelu intervala.
.--- 11. Napisati Lagraniov interpolacioni polinom treeeg stepena funkcije
/(r,) :
./E + t:2 - l, t: € [0, l], sa deobenim taikama 0.25, A.49 i 0.81, i oceniti greSku.
12. Napisati Lagraniov polinom funkcije ll
:
f Q:), zadate tabelarno
:t)
i)
0.2
0.4
0.6
0,8
1.0
v
1.52
l.5t)
1,60
t.67
1.72
1,75
koji prolazi kroz sve zadate taike. Oceniti greSku.
13. Koriste6i Lagraniov polinom funkcije
na6i njenu nulu u intervalu [1,60,
l
y:
f (t:), zadate tabelarno
ti5J.
14 Napisati LagranZov interpolacioni polinom detvrtogstepena funkcije f (r,) sirrr*cosr.r-1, * € [0, l], sa deobenimtadkama A.2,A.4,0.6,0.8 ioceniti gre5ku,
15. Napisati Lagraniov interpolacioni polinom treaeg stepena funkcije f (*)
ln(1+ r),
r € [0, i], sa deobenim
:
tadkama 0.200, 0.400, 0.60t1, 0.800 i izracunati
hr 1.55.
MoZenio formirati tabelu
k
0
L
filr
0
n')
!)r
0.000
0.182
c
2
r)
4
5
0.40.336
0-6
0.8
0.588
0.693
a.470
1
LagranZov interpolaciorri polinom tredeg stepena zadate funkcije (dije su
vrednosti za posrnatrane dvorove date u tabeli) se moZe forrnirati od bilo koje
detiri deobene taIke. Izaberimo li Ietiri unutrabnje" on glasi
r0.8)
ffiTv.t,UU
(r'-0.:.:)(r-0.6)(rffiffi
)
60
(e
U.tr
-0.6)
Ioc)
rnSrg
- r/r3
:0g
l9
.(r:r:3)
-
('ir,3)('r:3)
J,r3u
_,,,r
- tfit.rZu
:rluaqar ns e[r;
(td
rlrlpp u>tslepod
& :
a;Ir?
+
l":;E
_l,qlIj"3,,,'3.l
L"qlL'"3 u l
zI lllpeJpo nSotu as (gf ) ts
:uur2eupaf qlultsulJou
"uIelsIS
auruautl tlualtrtlaoy
f, rlsoust.tez (aqsliur1o,rcrd)
0q
:
'U:.t'
:
rq a[a,tu.id u:r,tsrd luaingaoy
oq rso-/rl eu lts?aspo n '?
gd:r:rq + 0q /i e>g1qo a,te.rd nulqeupat t[1,r.e1spard (gg)
:
\ +: fi al nuraq
ztrzl
3 -rr?-L
'u'o1-I
(sc)
:n{l{qo n 1}usrdtu (6p) uo4ez ,r.ourg a[ afru,r.e]s
-oupaf 'urelnd uq2gur8 e{rparpo I}souperl anoqlfu as Iq B11 'uA \ J
"ur"ul?Ila.\
ulltr]u??suo{ es nloqradrq ef1,ru1spard (U)/ : ]f llsousl^?z zalrd i{?g€rO
'nuolez uro^oruo n ,,a ! 3 ez rlsoupar^ lllparpc
II'III
'lvltlllt
:urolaqel llep '/ elnlls eur2el 7 ai ap8
r e;o1 Soulrrllela [U]u rodlo ez rrepod ruleguauruedsla ns olv 6I
nlsar3 lllua3o ! z_0I 'g'0 po uolueu uolqar3 es ahc>1un1 llsoupar^ r7nlerurzn
[nO'l'qZ'O] urole^.la1ur peu '.ru1+# : (,r)l airrlunlalnu r?eu'00'T : t:r'gL'0: e.r
'09'0: rx:'gZ'0:0.r
eurel?e1 urueqoep n n[rcelodlalul nuzranur r?e]srroy
'8I
i''. i
.., ('
,l {
.g'0
:
;iil:i,,ll:i;"0;l
'11
po r.uofueuu uror.lparg es a[p1un1 rrsoupa]^ ,7ntrr rni1,
alrc4un3 euadals 3o1ln1i2'uourlod ruorrelodlalur no4uel8e1 rlesrdep '11
@)t
-i \
0
/'
t69',0
I
I
Z
€
v
ZO
t'0
9.0
gSt'0
1Ln 0
889 0
8'0
28r"0
wi
000'0
\a
0
q
0
'ele1n1s eqo n alsar8
lliuolo 1008'0 l009'0'00r'0 urtez
'009'0 100f'0'002{-j_ve>1lel urruaqoaP es 'h'0] 1t:'(:t: + I)ul : Q)l uoleqel
alep afic1un1 euadatrs So-Ffrlp awour;od auor:egodialur anozuelSel llesrdep 91
V
88qo+Ml;:13
.erc'o+ffi
o
zsr
(ss'o)ta
1"/0
)
= rl
ilg:igr I li 2i,
3a
'.^:
tl,
r
6i1
o
ZAt
/tor)
!:ari)
r-i
i
20. Ako latentna toplota kljuianja teinosi q7 kvadratno zavisi od njene temperature odrediti tu vezu ako su podaci dati tabelom:
299
303
308
320
325
329
334
337
339
341
344
347
I
4.
I 10.9306
I 17.0624
I 22.9276
| 2s.8602
I 32.2586
I SZ.OSZ+
I 41.8562
I
qt.SAA
I 53.5866
I 59.4518
I 63.4508
Koefici.ienti paraboiidne zavisnosti 1! : ito * btt, * h2:rz podataka datih sa
(46) se mogu odrediti iz sistema normalnih jednadina:
I n \:r:, Izil Ianl I Lu, I
II".,L,1 D,?IIt,
I-II..,r,ij
L I,i D,l f ,..i j Lb, I
L t..iy,
(30)
Tako za date podatke imarno (vidi siiku).
21. Ako su eksperimentalni podaci za odbroj impulsa
kroz apsorber ciebljine r, dati tabelom:
:rlcm,l
0
0.34
Nli,m,rtlm,in,l
63.44
50.01
0.68
44.77
odrediti eksponencijalnu zavisnost tih velidina.
62
1.02
36 77
ly' pri prolasku 7 zraka
1.36
26.11
t.7
23.44
io,r.erd ere,r.o8po o1g
t9
i.,1 ,
ttt) a!.
9.7.
u
/.1
\t);:.t)z D:.
f
il
!r:
'zJ
6€,'Z
8'Z
9009'0
t00/'0
-
.L
:I€1a?od rul€urpJoo{ zoDI izBiord B[oI
ruualrqoq
'I : fi ':r:. t1 : fi {rlqo "rur lsousr^ez
ti09'0
86
I
tI0r'0
I9'I
9662 0
€002 0
IZ'O
ZI'I
urI
ls lrl,r,
'(tE) elttqo tsousr^ez nulerpe^)l lllparpo '? eutBll 3o11r1etua1eur
alg) zJ l]soupeJa ez alaqel zr er"ur:epod euord 'ZZ
eurfnp r (e[uenoprso poried
i
[u',j.
!it
3
Numeridko re5avanje nelinearnih jednacina
U mnogim matematidkim problemima. kao Sto su odredivanit :-:c : -:... :ir. ekstrema i prevojnih tadaka, javlja se potreba resavanja nelinearnih _iednadina:
f (r)
:
rs,
lr
gde je [email protected] o,r *b) funkcija definisana na nekom podsk-;p'.:
=.;.-:,, :=,iiiih
brojeva. Takve jednadine se yeoma retko mogu tadno rd:i:. it jq r-- :.--i--r'.,
re5avanje praktifno koriste razne metode za nalaZenje prit,::i:,- i i-:- :--:. l.li
eemo oyde razmatrati samo realna re5enja.
e IR jednadine (1) je broj za koji je /(€) : 0 i :..iea= ..: -'.rr:r,eir{-)
zovemo (realna) nula funkcije /(r). Aka za n € N pu:a :::=:=:-,: .-.:;ilu
funkciju f (n) u nekoj okolini tadke (,vaZt
Re5enle
{
onda se broj ( naziva n-tostruka nula funkcije /(r) Z,
jednostruku (prostrr) nulu. No, kako je n-tostruka nula neke
jednostruka nula za njen izvod reda n
pribliZno odredivanje prostih nula.
-
1, dovoljno posmair.-i
Pri odredira,nju rrula funkcije razlikujemo dva koraka:
lokalizacija nula;
'* numeridko izradunavanje pribliZne wednosti tih nula.
3.1
Lokalizacija nula
Lokalizacija rrula je odredivanje skupa (obidno intervala ,;
naiazi sarno jedna (jednostruka) nula posmatrane funkcije .f i-Ako je funkcija
./(r) neprekidna nad la,,hl i vaZi
f (a,)' f (b) <0,
tj.
furikciia na kra.ievima intervala uzirna vrednosti razliditos zt^a.ra. :,
stoji bar jedna nula u intervalu (r.r.,b).
Ako je
/(r)
jo5 i na celom intervalu
(o,,
b) striktno
ja
oo-
morotona iii sra-:-, raste
ili stalno opada), nula funkcije f (t:) jejedinstvena.
Za diferencijabilne funkcije /(r), takve da je /'(r) > 0 ili .f
:r € (o,,b), sledi da u posrnatranom intervalu irnaju samo jednu
i-r' < :. za si'e
l,Ju
Prilikom lokalizacije redenja preporudljivo je odrediti Sto je rnozu:e n,atiji
iri.terval lo,,b) za koji su zadovoljeni navedeni uslovi.
$4
-uo{ Ifo{ t"' '1'r '"''e*tr:t:tDt c-zlu 8ourr,r1e"ra11 uo[04nr1suo>1 '['1 'tuo{dn1s
-od urru.rr.rlerolr ourri^r^ agqa2fuu efuaqar SouTrlqrrd aiueaennprzr o{?rJerxnN
rJdn+sod
n
ru^rlBroll U 't
'[g'O'r'O]
] .r a1 '[g'0'r'O]
nitsAralur n g>IQEI un,rasard eurpal aI ep
Illlauir:d a?o{rl ir : fd a,tuld r rr.'>-o?
: fl c[n>1un; uluet8 n>lasard n as a] 'ir;
=.
11r
Soi) RS
a[ ErrrQ"upa{.
"rrlual€Ar,r>1a
.0 : rr _ flsoc
eurleupal
*r uelol Luopol
-ou.l uro)1?rJer3 rleaozr;e1ol
Z.g Jorrrrrd
'(:r:)t1: fi r (;r)6: /i qrnuq plis?el iluqasard ssnde afue.trpa.rpo
?u IpoAS (1) aurpeupal auaro>1 qruiear alue,rrparpo as tsptl ,((t:)r1- $:)6 : (t:){
'[t) (r;q :
(:r:)6
ruorrr2eupal
al
uur2eupal
(1)
e ,r1e1rauu o>1q
"s o111o111
"uluapr\r.u1a
.Epo]onr B{?geffi
-a1 (:r:){: fi a[e1un; >1gr.rB ai
I lislro{ as tslnu
nloezrlaiol ?z 'rlroso-x; us aira>1un; a1 e;1gur8 >iasard alrr>1un; ulnu ef oluy
'g) *:r > f tsoleupetau r1e,,rel1o^opez E.rour tsuo r *.r; rrlrru ntrleal
nupai.ruq €urr uo 'euadals Sourudau r urlpe.{ rrrourlod al o4ey :
? + : ,
'g: ++T: H,g: {I ,0,0,g,g}xeur : g'g: {0,0,0,9,I}"*uur: y al
ed '1 : tt'o 'g- : rp '0 : z,o : tD * ?p t1 - 9o a[ .raurrrd lupoqlard eg
'{l"rl'"' 'irplixeru : g E'{}-"pl'"''ioal}xrur: y at ap8
k)
euadals '0
*
oo
lu"i rL€
a
''l" oi'+r:H>
V
L}D+.t:rl+..'*ut;uo
:
T
:r?€^ N
)
?r
(t:)*t.t uruoutlorl Sorrlual *.rj arraJo{ eZ
:?urqoso l?BA aruoullod ez ,ou1elnadg
'lq'O'O] nle^relul n nlnu nlnrlsoupaleurr (e;)/ etn4uny
n
?p lpais Soualar u8a,ts n-nouso e11 'ruole^Jalur urrrr€JJ?rusorl puu upntrpedo
tfrclun; al ep oueul ,(g.0,0) ) a;,0 > g * ?irg: (:r),! 21.0 > grggf.i _
0 < t : (O)/ at ntu e7 .nl" ralur urouerptusod ,nu t ru11
rtolung
: (S'O)/ I
uttulss e 'e,,ta[orq qruleal ndnls tuoyar eu elrc>iuny uupulardau af (a;)/
npu n{nrlsoupal eurr I +
x,g
*
slt
'If '0i *irnrr:]ul reJnun rzeluu as e[or1
ufolunJ Ep rX?zBIod f .g rarrrrd
: (r)/
vergira ka re5enju ( jednatine (1),
tj.
vaZi
A,J.,o
- {.
Pri tome se zaizralunavanje svakog sledeieg dlana iterativno-{ niza koristi prethodni dlan (ili nekoliko prethodnih dlanova). prvi dlan;r0 se rra.zi\.a podetna
iteracija i obidno se bira proizvoljno, najdesie kao jedna oii kra.;njih tadaka
intervaia [n,b]. Kod iterativnog niza k.ti dlan r7. se naziva l:-ta iteracija.
Ako postoji broj p i neko a,l 0 takvo da je lirn
- .:. tarfa iemo
H#
p zvati stepenom konvergencije (iterativnog) niza;11 dok je
,..i - { greSka
&-te iteracije. Naravno, sto je stepen konvergencije veii. rnetc,,ia kola dale
iterativni niz je efikasnija (brZa).
Kriterijum koji nam kazuje kada treba zavrsiti iterativni pc,stup.k zo\-emo
izlazni kriterij um. N ajles6e koristimo slede ie izrazne kri r enj urrre
1. Greska aproksimacije. Razlika (po apsolutnoj vred.riosti izr:eiu raanog
resenja { i pribliznog resenja inh treba da bucie manja od unapreJ i"t,,g rrojl
t ) 0, tj. iterativrri poslupak se prekida kod prvog dlana itera:r...1"_;,t!:.za za
koji je l..r - €l < e.
2. Tolerancija funkcije. vrednost funkcije treba da bude dor.:,.jrr_ :ls-<-" rruli.
tj. po modulu rnanja od unapred zadatog broja r ) 0. Iteratir.::i p,,s:.lpak se
prekida kod prvog dlana iterativnog niza za koji je
lf(r*)i <
3. Tolerancija postupka. Potrebno je da su dve susedne itc-ra:irc d.:.,'cljno
biiske, tj. da se razlikuju za manje od unapred datog broja r; > _ i:eraiir.ni
postupak se prekida kod prvog dlana iterativnog niza za ko ji je ,..i
- -::. _-- , ( [.
4. Prisilan kraj. Postupak se pr:ekida ako je izradunato unapre.l : ireltrr broj
:
itera,ci.ia k.
Za posledlja Lri izlazna kriterijurna, obitno se naknadnc- .,.er..u'i
;:eika
dobi.jene aproksirracije.
3.3 Metoda iteracije
Metoda iteracije ili metoda uzastopnih zamena
jednadine
,t'.:
"
tn(,r\
r\--l)
l(r) :0
za reSa.,.ar,,.- :_elir,earne
se sastoji u zarneni te jednadine ekr,'iralentr,::r- ie,::,a;i,iorrr
i fnrmirqnirr
itaroiirrnn,r
nr^^66o.
!-^voPiuu-ro,
i,'t+j:p(.r.1 ). k:C.
sa podetnom iteracijom
rs.
66
1,,..
,Ji
: I+z:t;- &
/a
'e-0I
po n?9oulel es 0
'9'0
t'g .raurlrd
aurleupsl uejol ue^tle3au rleun?elzt alDelalt LuopoleN
D
(s)
'lo.r;
r
- r.rl4
\,,
lryr - )l
a>rqa;8
nrre)o orriprrrl
')
:
a*tr, ?Ittd
al ep rTnfeuz rlsoleupalau aftrpalsod zi '3: ur,'Tr[f 'fu'Brr8ra,tro{ r aurlJ
zru ouscupo 'uriluru ouilo.rzlo:d Urur?l1 oVor,u l,tt - ,l+r.r.l
ti
',r.alr;oy ai
as Ep rpeis
{tr}
'(t'0) = b Boqz 'la:r: - r:rlfirn !
.loa;
+...*
lcfi
_ rrl
-- rt:lr_a*rb +lct:
101
rx;l
-
d+,rnl
l1so{Bupafau
z1
ffirn
L:t:lr..a*,,ts t
*6'a:rl ;
lo,,- ,1,
lYl * t+ttsl +..'+le rt+rts;-r-d+\t:l*lr*a+,1.,
z-d+?rr*
l\;x - l+Tiy 1 I*{e;
z,-d.r"tt * t-rt*t:t: a t-d*ttx;
pals udllttx;
_ a+qfil : lrtX: _- a+.lx;1
- t+\rl !"''lar
-Ij/lr I
-\r:lrb
I ltr- erlblle:r:*tt:l tllx *rnlb I iter-e.;rl rlso4rzupalau zru our?urr etl?po
.
rt:xlb
> l t-rr, - u:yl . l(tt)) dl : lq.il _ t+xi.,t:l
lry;r
lr-'r tr; -
af
'(r-r,, -
{n)(ryrs)/r5
: (I
a1>1upo
_ |Ir)c\
'y.u)d
at ep o1e1 (.rtx:tr-txl) 3 e) rlolsod ep ou?txr ltrx:tr'-t:r:)
urole^ialrrr peu (r)05 : /i nf1c1unl Ez 1lsorrpar^ alupars ruraJoa] [o,to7uer8e1 o.1
'
{'t:)d : u aur,poupa[ ual o:1
rur,peC a[ ',o '!, lq'Dl ) a 'o'4 1.r1'o] ) o{ po ousmr,zau pl"r6laaw0ry
{il saco.td, oyutT
'rli) :r: '!tt ) l(':r:) dl
(r)
(q
'
t?De, Dp
nlDar??ux nu oup,qntt,:tualellp l1.r;l
naqny (1'0) ) f, oluD?suoq iloysod oqv .Ul,'a)
<* fq,ol: d nhn:yunt at ot1ey11 I.g rrruaroal
esocord 8ou,rr1ura1r alrlrra8laa
.r
i
:li,
|
.r
-uo{ Aoisn nefto,r.op ely,tulspard ?{.ueJoej B?epals
) iti /
'aur2eupal uarol
'()jd
:
(r-sr,?r,ii)a
:
)
at ed
z1u
,): O)d
h
(-xtx;)s,T,[/: ,r,?int: )
at ePBl
{'t:r:l
')
e>1
elr8rc,r.uo4
r eupulardau (er)d etrc4uny of o{y
f(t:): e* -:12 + 1, I(ako je
er -2x ) a, n e l-2.-11. tj. /(.r)
Izvr5imo lokalizaciju negativne nule funkcije
f(*2)'/(*i) : (*-' -3)r-' < 0 i /'(:r) :
jednu
:
nulu u intervaiu l-2, -l).Jednaiini f (r)
monotono raste, imamo samo
je
jednadina:r
p(:r), gde je r,r(r) -!@ + L Primetimo prvo
0 ekvivalentna
je
kao i da je funkcija /t(t:)
da
lv'b,)l monotono rastuda
lrp'(r)l
:
:
Jer Je
?y'
(r:)
:
- fu,
e'(e"+z)
;?G;=T1,
:
> o. te sledi
lp'(r,)l <
e-t
2Je-1 + t
-o*0.14(1,
Dakle, iterativni niz
.?'A,l: -\5;11.
k:0.
1....
konvergira, pa ze ilq: -1.2 imamo tabehi.
Iz rinjenice da je l( - ql 3 -a-tri11-i.r4070) (-1.2)l x 7.27. 10-8 < 0.5' 10-5, sledi da moZemo
uzeti da je traZeni koren: ( - !17 : *1.74776. n
3.4 Metoda polovljenja
Metoda polovljenja predstavlja jedan od najjednostavnijih iteratir-nih
postupaka. Ova metoria se sastoji u konstruisanju niza suZavaju(ih iittervalit
lo,,b])loq,hl)lo,z,b2) f ... f
lo,,,,ho)....
od kojih je svaki slede6i interval dobijen podelorn prethodnog ua dr-a je'Cnaka
dela, pri demu se bira onaj od dva dobijena podintervala kod koga je vreduost
funkcije /(e;) u krajnjim tadkama razliditog zrral<a, tj. svaki put se proverava
uslov /(o,p,)
,/(l,r) < 0.
Ako u nekoj od deobenih talaka vrednost funk/(r) bude jednaka nuli, onda smo doSli do
tadnog re5enja jednaline f (r) - 0, pa -.e dalje
radunanje prekida.
Det.r'uerre Laike, Lj. sr.etii.re,iui-,ijcuug uta suLav aju6ih intervala, preCstavljaju dlanove iterativnog
cije
rriza
t:
o,*b
t:-i-,.L2-
lt*bt
2 ....,!tI:
lu-tlbu-t
2
Iz posbupka formiranja intervala sledi
b-o.
.
bP-(ts = -;T-'
Z'
btJ
'[qztt'o'i'o]
:
[8r?'s',r] af
.
lqero'i'oi
:
ot 'o > I + 9u 1'1 - pgzII'0
9ZII'O
lzqtr,T1|
:
:
T'n
gu
+ crn
ai 01 ,0 >
:ltq'rD)
:
'1
:
(qztt'o)/
af
oley
C.Y'
1'0 + 921'0
a{'o} '0 >' I +
' 921'0
'fSr O,i.Ol
' 91'0
a[ e['rrr"ra1r uga41
egzT'g
:
(qe|o)/
a[ o>1ey
7,.t
al elrrrralr e8ntg
I + g.I - sgl.g: (qt.O)/
1'0 1 z'0
at
oley
1r'
//,'g:
a[ eir;erair e,lr4
u [o.rq 900'0 > rd+ir e[' tlo)i
ez u lotq rrrrpo.rrrd rlueufeu a[ ;a[ elrceralr 1ad rSrqr.rzr af ouqa.rlod
0 po
efusut apnq alneurrsrlorde elqar8 Rp o{€1 eftraft.to1od uropolelr 0 - I +.r0I - Fjrj
ousrq EC 'npu n>inllsoupaf nrrpal orues erur
- (r)/ ehl>1unJ ?p r.\?ra,{ord as o1e1
,g00
aut2'eupal aluaqa; ou4rtqrrd IIQ"U
[Z O
t O] nl?^retrr n I +
xig1
-
t:t;
'e1dn1sod nftruelalol r afio>1un1 nficuela;o1
ilua)o uiitrez e '900.0 po
eiueu apnq aftrei,urslolde elqer3 ep o1e1 eluelqnolod ruopolaiu 0 : I + fligT
- e.r
au12eupaf aluasat ouTrlqrid l]lparpo [Z'O'l'O] ele^latur po r?ezelod p.g raurrrd
. lZ - r\ .,.--l
'n-q li - 'r.l
(s)
alraeurrslordu arlqar8 nuaro afup ur?u o]H
'xt,D-1{)>l}-,tarl
ai ed '[ttg'{'p] tle,rralur
n,{B?ts1
qlfufer4 po eupal o1 al epuo's.r nftf,tsraJl nl-ry oruaJaqezr aluaqar ouTrlqud ez
aulpeupaf aluaqa; ouqral ril.telspard eio>1 .i],0: (])/ at ntol
eryet uupal orues r[o1"-od ousoupo
sp1?X '0
: @)t
ez r ?urrltsArelur Lurlo uil,rs epedrrd
'0
t
((ys)/
rlol )
.(t")l)T,iii - rrql/ ?frj
pats 0
>
(dt .fn)l
.Y
'Yq -,rrrrl
z1
-
1t,)!;;-,1': z(())/)
@)! a["n4un; rlsoupulardau BoqT
rc.-)
-- rrr urrl -. )
'li? '(glsouparA a^p a1 npauzr ns rfol
v^ozru qr?
olrq €l" Ja]u1 etual1,.o1od 8oq.z rq rat) aleupat ns a[o>1 rSsou
"^ou?[?
-par^ eu?ruer8
anoqrfu fo1sod a1 ,auerls aluop us uaprue;Bo zru r?nlsBJau ouolou
-our nlnzerqo "''rtqt"' !zq!rq EI"^Jalur r,r,aler1 Iusep {op ,auurls oluroB tss ue?ru
-gr3o zru rgnlepedoau ouolouout nlnzerqo .'- 'qDt. ,T,,D,rD el€i\ra]ur rlafer>1 rrral
Cetvrta iteraciia
.je
tL4
-
0.u25 +
Kako je /(0.10625):0.106253
Petu iteraci.iu
-
0,1
1.0625
= 0.10625
+ 1<
+ 0.1
,tr: 0.10625
---Uj_-:
0, to
.
je faa.br]
:
I0.t.0.106251.
0.103125
uzimamo za pribliZno re5enje date jednatine.
Tolerancija funkcije je l/(0.103125)J < 0.031, a tolerancija postupka je
zal <
0.0032.
Primer 3.5
\rJ
Metodom polovljenja na6i nulu
k i
z
s
4
5
-
tr
t:- e
-12:12 + 76t:-79.
0
1
lr:5
t:7"
0,t
1.7
1.8
1.7
1.8
l./i)
1.8
r.75
1.775
1.7625
1.7625
1
t.i 11=
t.)
i
I
I t.zs
I rzzr
tt
1.T6ZJ
I
1.76875
e I r.zosozs
7 | t.T6Tt8TS
8 | r.76796875
9 I r.76835937b
ro I
1L.7,1.81 funkcije
r.768sh446s8
1.765625
1.7671875
t.76796875
1.768359375
1.768359375
/
;',
:.ri -
1.76S75
1 76E;n
1.755;r
1.765;.r
1.765;5
1.765;5
T
3.5 Njutnova
metoda tangente
Njutnova metoda tangente je najdeBie i<ori5iel iteratiltii p,,stLla(
O.,a
metocla se zasniva na sukcesivnom postavljanju tangenti na krir-u ,i : i .r) i
odredivanju njihovog preseka sa jr;-osom, pri demu se svaka sledeca tarr{€rrta
postavlja u tar:ki dija apscisa irk predstavlja presek prethodne targerrte sa rosom.
70
'(c?,'))
)
")
'l(q:t,- ?)t
?),t1* ftr, -i)(r,r),/
+ (rye;)/:
(i)l:
o
olrrerrrr lprrr JoJ io,torol
[a;
od ') < Y{, a[ep ourt.,r.elsodlard ') < Q:0r a[ep ourerurardt'eg .] < cil, aa ?p
altrlnpur e{?I1"ura}erx uropoleru orurzr>lod (q.= ox; .rdu) g < (oz)/ aialag
es
ousopuy .[q,r] > x)'v2,0
< (*),,!,s
. (r,),/n'iflltt,fTi=it3'i;]':i
up raurr.rrl pu ourrl?lsodlar, .uelrta8ra,tuox 11) xednrsoci a[ eD ourzrro,l
(s)
;{-;l)-qrl
ll.'.r,ll
I
alrceurrs>1orde alqar3 nuero oruefiqop el{ep o
'l)
g
:
-
te,l ,\tL
< l(ttx:){l
a[ epuo'l(rr,),"I1
(ar)/ aurpuupaf ahraqar ou2u1
'li
)
af
lo ult.r
'irrirr
o{v .} I ry,r, npauzr ?{?E} qau l}
-,ra,l, l(,r)),/l
. ..,
,z,r,o
1;1;
_=
rii
r
z1
a,r.ou1nf51
, riix;
('t"r:) { - .r lsoupeJ^
,r+,1.r-
-.:r)(,tu),!
epolau
o1r,te-rd eilae:spard efituJoJ B^O
: ry ,(r''').,t
Q)
(sr,
n
i>1pe1
al ap8
: l(i)/ * (sil)/l
rpels rlsoupara alupars euroJoal aloTuer8e.l
'a1ua8ue1
po{ ezru 8ou,tr1e.ielr pAou"l? aftla4epu ez
elol
es a1ua3ue1 4asard ellaelspard
'
(({,r)/,ur).;
'Q:0t:
IS?13
ez ruoulordns n es
:
(?t:r)t
(e;)/:
:trjoso'3i
ouelrqop g
: fi v7
- fi
/i n.tir>1uu alua8ueS ?ui?,Brrpaf
<(ril,,!.(q)/ rt n[u2n1s urol n) O] (n),,!.(n)!
01;.,ssl1sn es Bpuo ,0
(o1,,5. Q\! i{oav ("7
"rtq,(0
1op,r
-
<
lrlsous>1e,r"uo{ auis?s
urolao srr af (a:)/ z[n>1un;
.ll ,(q,,o1] n als ez,(11] (*),,!)
O
;ns
(q,r)
i
n1e.,r.ra1ur
(r;,,y
o;
f1
.(np,.t-ia1ur
urourrleursod n alnu aua,,r.tsurpaf afuetolsod
nlnluere8 eio>1 e.rp euo parod) ?,^oisn eil1tspop
e,,tp qof euafundst npnq sp al ouqa;1orl ,nfuapar
ruou?st s?uq e^s eirq efnuralr s?apals s{e^s
Iq
3p 'h 'oeri3ra,r.uo1 Tq up tfo{ ...,lil ' ... !?q lrit)
z\u rrrlr?sJalr nfnzerqo a42e1 au?asaJd
Zbog
f"(n) > 0, sledi
f{*t)+ f'(r,t)(€-r1,) : -}{Giltt_
t:1")2
<0.
tj
€- rt^ a-{ffi, odnosno €<rx-ffi:lnh+l,Sto jei trebalo dckazati.
Iztp) {sledi da jef Q:7,) > /(6) :0, jer jelrastuia (.f'(.r, > ij , Sa,lana
osnovu togaiz formule (7) sledi x:k+t 1t:p,tj. niz {r:e}je moncrclr.,cpadajuii.
Kako je on i ograniten sa donje strane, ima i granidnu vredn'-.: : - : -:rrr .ll.
No, iz (7) zbog neprekitlnosti funkcija / i /'imamo
t, r'
/( Iiur r:1)
:
.r:- :
:r'1,-1 - jry;;r:r.
r''
,iiy;
T-.
tj. .f
(t:):0,
pa zbog jedinstvenosti
rr,*;;;biti
z. : t.
lzradunati pribliZno re5enje jednadine 13 - 10,r'- - : ,,r na intervalu
metodom
tangente, koriste6i prvu i drugu iteraciju. Oceri: tc eranciju
[0.1,0.2]
funkcije, toleranciju postupka i greSku aproksimacije.
Primer 3.6
f"Q:) :6r ) 0 za svako r € [0.1,0.2] r .i:1 > 0, tj.
>
0,
vidirio da za podetnu iteraci.ju treba uzeri :' - C.l .Iz
/(0.1)///(0.1)
*10
S obzirom da )e
vidimo du j.,.iJlii,n
f'(r):a:rz
!.
,rlf,kll:
-f,(0.2)
Prva iteracija, zaokruZena na devet decimala, .ie z1
: 0'100100301 ' Tolerancija funkcije je
:
l/(0.100100301)l
:
10.100100301
l/(r,r)l
:
-9
SS
6.1
i
il
:0.000000002.
-n1_
':
tolerancija postupka .le
l11
-
rsl
-
0.1i
:
0.00010030t///
a gre5ka aproksimacije
i.,,,
-
(l <
i/(0.100100301)l
Druga iteraci.;a je :r2
q.tn-i-
nl.
: 0.100100301
:
::
0 i00i00301
-
0.100100301 . Druga iteracija, zaokruZena tta devet decimala.
*Sffi
ima istu vrednost kao i prva iteraci.ia, Sto znadi da smo vet u prvom koraku
doSii toliko biizu tainog re5enja da se daljim radunanjem ne moZe dobiti tadnija
aproksimacija, osim ako se ne pove6a broj decimaia sa kojima raiunarno.
Vidirno da metoda tangente mnogo brZe konvergira od metode polor'ljenja,
po5to smo ovrle ve6 u prvom korakrr prema^(ili tadnost za koju larn je kod
metode polovljenja trebaio pet koraka.
tr
t
72
g)
'ou1o.rponq o"nl.ranuoE (t
.G),{z- .0
'-
_.'
O),,{
)-
-'t,.) *._v
Ittrr
t-t.1'
'"':L
:leld,l
.1
>D!r#ll$i
ti
'(])lt>
) ,lu
xuttqorey opW
0t:
a{ ottv
Z,t *r*rio"A
\:t;)J
\:L)
i1'rleru OtiiiorizrO;,i
aiplunl al tsoupar.\ at iolol n ! a12v1 ())r1 eurlolo rloSsod ,O : O),d Boqz rd
(*),d elnlun; tsoupplardarr r rpals (:r),,/ rlsoupr4ardarr zI .0: (]),d I
O)d a[ ep otueurr vd,A + (]),/ f 0 : (])/ ai (a;)/ atn>iuny ] nlnu nlso;d u7
'[g'oJ eu
0
:
. "((,r),t)
(:r),,{(t:)t
-iIe.raJrp
tr
Ed'E# -.t::
7{Q:'s,t1
-
(:r),,.{(:t;){
r((:r:),t)
(t:)d a[rpolaru Bo,touinlg
',J-0T '
1U
Z8'?,:
1OEI
!
ica;
-1:(.r),0\
pc-r1
-
ourgurr rualuelrl
efr;r4urL; tsu^tltsra,ll
-a;l
aiqar8 eua)o r?tsA I,T : I + z0.u: l(.r:),fli';l;ir'": ru af rrl ,ut'I)>1uny
ugnlepedo eu.rrlrzod (:r;),6 at e1 ,[g,I-j :: c ,6 ,
ep orurlarurr.i
'^.r Z896{18289'0- l)l!,.ai= c.?' 'lt9gf09g9'0 - ffi
=
r+l.rc
j r:{:=
r;re : z,r''e)'o- : *e : ]-i:9
r-il..z -
i.r'af ?p
B^Bun?EJzr
+
. ...,t,Z,r
:
: I + :r,q, _ y.r __ _yY
t,r
I Iq
J..Z T+ry:r+J.r' "-(r;r')f
o{ul ds ppps
_,1,11
_
Ltttx;
sarord oul?t,rtr al
(S- : (f -),,6 'l-: (f -)f at "rat) 1- :t):r: Ez uailo,topez ef 6 < (0r),,6. (}t;)O
,r,o1s11 urldnlsod 8o,rou1nltri ulnua8raruo{ rpals (v4tuz Boulegs al (t;),,6) (O,t_-)
) e;'g ) rl;g: (.:r;),,fr at ep e3o1 z1 'a[uaga; o1 alua8uul utopojatu ourp?N
'urnunurur o1 r afn1urg rrraJls{a E4srzz
/
*x: al rp rpals
'oua lsurpaf (*a; us ouapeuzo)
0-< (-t,),6V: (.:t:),,{ a[ ep ecrualurE zr
'ou.r.trefJ
alueqar o1 ai rd '6 afn>1uny ]souo]ouoru I pals <
0 ll ,:rg : (r) ,,! 1 : $:) ,6 Boqz
(r)d eur2eupat ep rpals 0 ( T : (O)O ,O > I * : (1_)i; z1
e 'aluaqer €tui 0 -
.T
* z + r:r: : (t:),tl :
$:)0 ato>iuny
elnu e[ua7er1 Bu 'h 'upo,r.zr 8o,r.rd npu qrgn8our aluaqvq uu rpo,r.s
[0,I_] > _,
IlsoupoJrr euuarls>ia afraualsrz8a afuaTerl as o1 ,7 a ry
(:r;),! at oley
o:ry
:
*
'8i{;t
r:I: I
T-:0.I
eftlelell eula2od ai ep r;nleu.rrzn alua8uel
ulopolau uonoulnlS lllpalpoalou4r;qud t
->1a
nupal oulel ewr
[O,t-]
nle^Jalut eu
*?..
lsoupal^ nuuralls
t+x:V* zrz,+ rt:: (t:)! eftr1un1 ep llezelod
Z.g rarurrd
Iz (7) imamo
rj.
[email protected])
-
: f'(*^)(*r - €)-
/(6)
ft(*p)(rp11- {).
Iz Tejlorove formule je
/(i)*
gde je
f @x): [email protected])(€-
(1 tadka izmedu
g:
1,
ril - |f"Gx)G - zr)'.
rr i {. Sabiranjem poslednje dve jednakosti
-f,(:t:1,)(l:111
- t) +;I,,Gk)(( - r.)r.
f'(O *
Nula { je jednostruka, pa je
dobijamo
0, te iz poslednje jednakosti
ilk+l -€
/"(€r)
,i^\
\
6rTP: u'an
Kako je
JIL{*
( < €n ( rr
: (, odnosno
i.
(ili
{
> (r
;r:Arr
)
-(
llli6-ay
it:y),to je
/"(uli"'
{ < *It:{r
'i\rr
S
}n
.r'1
: (, tj.
4u1 f"G)
:r7@
tr
3.6 Metoda sedice
Metoda sedice se zasniva na uzastopnom sukcesivnom postar,ljanju sedica
krive g : f Q,) i odredivanju njihovog preseka sa xi-osom, pri demu se svaka
slededa sedica postavlja kroz jednu od tadaka krive dije su apscise krajnje tadke
polaznog intervala tq : 11ili 11 : b (koju 6emo kasnije obeleZiti sa .s) i tadku
di.ia ie apscisa r.p, k 2 2, a koia predstavlja presek prethodne sedice sa ,r-osom.
Presedne tadke obrazuju iterativni niz tr2, iLJ, ... !r.t<,... koji da bi konvergirao,
(tj
da bi svaka slededa iteracija biia sve bliZa tadnom re5enju), potrebno je
pored
da
uslova koji garantuju postojanje jedirrstvene nule u posmatranom
intervalu, /"(r) bude sbalnog znaka, tj. funkcija /(r) je na celom intervalu
(o,, b) stalne konveksnosti, odnosno za sye fi € (a, b) je
f"(,r)>
0
(/'/(r) <0).
74
(11)
.
(')/ - (;)./,.,
"
o)/-)-;
D -_'
oursurr
'/
a[rc4un; rlsouprlardau Soqz
'(yi)
rlsoluupat auerls eusap r a al seurr pnleurzll '.,r,Tfrf : ) rlolsocl ete2nls uqo
n td
aluro8 es uapge;8o r r)nlssJ al {"r} z$ 'h 'ot: < r.]: I "' 1 u:t:
'auerls
./\ r; nielnls ruo8lrrp n a[1op 'auuJ1s aluop es rra;ruurSo r r-.rrfepedc
(
ttu',' < "'
(rr)
"" '?'':o
i'Z: tt
'(Yr')L llq)/ 1t,r:)/
-
Y.r.'
:
tr'Yr'
ated leq rula:4odau af ((q)/'Q) sr{?er'(O < (q)i)
(tr)
'
"' 't'2,:,t '0')t
0
-
L:,,'t{
t,I:
(,rr)/
-
st.1;
-
O
> (p)/ a[ o4e e
r!\ix
rse18 o,terduz
r [err1 rula;4odau a[ ((n){'a) €{?E? '0 < (,o)l ol o{V
"lnurroJ
'((r) I nlrclun;
oruerltursod g > (:r:),,t ntelnls n) O < (a;),,/ at up 'rdu orur,relsodlar4
po{ i o"{ al elsr apo]au a^o po{ a>iqar8 eua)O
'a1ua8ue1 apoleur a,r.ou1n[g
""
(zr)
'E'z
:'LL
apotrau po)t ?zru 8ou,l.rXera1r
f.:lt (r,)! * u:r: : rtur
'F)ti - ''
s
ou?[? aluaTeieu ez o1r.a.utd r
ecl?as g>{asaJd nsosde etl,telspard
.
:
Blol t+tr
eurl
,altqas
,uroso-:r ,us
" g
{: }souparl ouelrqop
:
fi vy
'lt: s
_ -1t.r)t _ti
\(.yt_.r:l_
/(rr)/-(s)/
((")/ ''t)s \
((tqt "ra;)J at?e1 zool
{rqop orusrq
(r)/ : /l a,r,rr4 n)r?as orua?r.r.etsod nul2eupaf nulrlere?r
'(a;)/
"C
aftr>1un1 elnu ?upJJ"ursorI rzepzu as auo{ n nlulJelurpod eu ouruf1,r.e1s
[e,r.o BI'I
s af uou.rrlord n ,0ir.:.s alepuo ,6
'rr:
-su e)I?as 4ednlsod ur2uu
>
(o xi) t
(n)
t
af o{V'e1e.r.ra1urpod €,.rp
"u
rratraporl I?Ara}ur ruzelod at exj uro{?€I
- (ri,)/ ' (or)./ at :
- tx
(0",')/
ot:
al (za es ouepeuzo) afuaqar oualrqog
z:t
.ar
:
od aurpeupai auafiqop
urafuua.uqa.r r npirrJoJ nupoqlard n g
/l llsoupeJ^ uralue,relqr,r,n eB orualnparpo
ef1,r.e1spard 'rrr,r.1srr ,{asaJd .uroso-.x es lasard ualu rlrparpo i
r
zar
nlneralr n,t.rd
(or -.r),,, l';- i.' , , :
'(o.t')/ - (rr)t
((ot)/'0r)r
(o.r:)!
- fi
:(.(tr){'1:L)g \
er{?e1 zor{ n)I?es ouragr,rulsod 's
n4pe1 el1,r.e1spa"rd eie.r.ralur Souzelod qu?,€1 qlfu['e.r1 po efol alue.r.rparpo e7
odnosno
:0
/(€)
Primer 3.8 Metodom sedice odrediti detvrtu iteraciju pribliinog reSenja jednaiine l,r;3 - 5r+ 3 : 0 na intervalu [0,1] i oceniti toleranciju funkcije, toleranciju
postupka i greSku aproksimacije.
tunkcija f(*) : :13 *5n*3 je neprekidna i va/i /(0) : 3 ) 0, /(l) : -1 < 0.
Pored toga je f/(n) : 3r2-5 < 0 za sve r € [0,l) i f"(:L) : 6x > 0 za
sve j, € (0, 1) Sto pokazuje da funkcija irna samo jednu jednostruku nulu u
posrnatranom intervalu i da se za njeno priblizno izradunavanje moze primeniti
metoda sedice.
Podetna i prva iteracija su zs
: 0 i :rr : 1. Druga iteracija je
1 0 :-3'
075'
^'
x'z-| /(o)
IO-iO
Kako je
1
- 1-B =
1Q.75): -0.328i25 ( 0, uzirnamo da je s: 0. Koriste6i formulu
;)'1.+t
:
t'1,
'''{' - 't
)
- f(t','t)/(.r,
dolazimo do trefe
i
.
;lrt
: r'A'
,,. J('lA)/[q)
L.
/(sJ
detvrte iteracije. Podaci koje
k:2.3
pri tom koristirno
d.ati su u
slede6o.i tabeli:
(u)
k
iilA:
.f
0
0
3
1
1
-1
2
0.75
0.67605634
0.660364176
3
4
-0.328125
-0.07128868
-0.0138487i
TlaZeno pribliZno reSenje _ie rr:, : 0.660364176. Toleranciia postupka ie
ral < 0.017, a tolerancija funkcije l/(,ra)l < 0.014.
: rrriri, 'l3r:2 - 5l - 2, to je gre$ka aproksimacije
Kako je nt - trtirr, l/'(r')l
r'€io.ll '
rC'0.11
lrs*
1",
- {l
.lfk,il _ 0.01384871
m,
:0.00692435
,
tr
76
(
V
€
L<H
+ r ol.s;cEfr'u-or.9:r-0r i;lt-rrl
-eupai uaior ue.^r1!zod
a.r1r5
au:n;rs
r.r!1ar es
rlrparpo
'99982'I
:
rc
'g'r -q'92'1-D
,fr.il;lT"+frlJi'-rt''t
'.o 8829'I :8.8 tZg17'I: Lx't-LZg't_: sa
V
^,
: cu'gozg'I: txr '6119'I : t:e; 'Ig6g'I
- zc'gzgg'l: rr'q'I - or ei
a ,:r*)) : (l:)d) zru rulr?Bralr ruafrqog '[6'1] 1e.r,ra1u1 ouetrqop
"r:y *
+ !r0l
zxw : fi 1 ,.:n : /i qr,rirl lasa"ld ou1 q2grz"r8 ourrxsJ^ n[0uzr1e1o1
'6vz,g'r
((Ot +
I
0T
es 0 - 0I - ?;0I 1- ,:ry
-.r aurceupal *.r uaiol rgeu aftaelal ,it"%il":J"'
'g7I'g - *:I: +
V
s-0i 'q'0 > 20000'0 : ll:t * exjl € t09fl'?,: Lr'g09t,I't - ex:'}LgVI't: s:r,
'LgwTt: ?x:'gt:r?\'t: tr,'/60gl't : z:t:'zgg60't : ta;'00000't : oa
n?soulel es '0
- Z-
x:ul
*
' g : 0n nftceralr nula:od ez gnlewlzn ,p_0I ,
9.0
.I
fl; aul?eupei *:t' uaJol rTeu efrretalr uropolay1;
nepez L't
' 28U62108'0
tr
:
2T8810'0-
I'0
t826r000'0r0868000'0z6vzrv00'0-
8166r200'0
68e0t000'0
z9t0rr00'0
v:t:
el afuaqar ouTrlqrrd oua?"1l
LB7.6Lt0t'0
0
8t66r80t
0
s/960208
LLVqALZ'O
lYr
-
t+Y,z;i
I
(st:)
v
I
Z
q
517
0
IZ',0
i
rt'0
:rlaq"1 toTepals n olep ns eluaqar rlsoupaJ^ au?riqrJd
'e?r?as 3polatu
IlluaruiJd
aqour alue,teun?rJzr ouTilqrrd ouofu uz as €p I nle,tJa?ur urouerlsursod n npu
ulnrlsoupai nupal ours eur u lre4uny ep atnzelod oli ,(Tg.0,-tZ.O) > $ a^s Ez
ate3o1 perod'0>zreslg0-:(re.o)/
0<
I0<
+:(n),,!
: (tZ.O)/i -1:(:r),!
al ep r7e,r r eupu{ardau al g.1_z u1* t: : (r) { etrr1ur14
'0 < LLV71L7O
's000'0
po elueru apnq eldnlsod eftrue:a;ol ep olel
-xrul-.r
0: g.I
6.g reurrd
[tg.O,tZ.O] nle^ralur eu
au12eupalaluaSal ouJr;qud lllpeipo alllas apoleut n?ourod
4.
Postupkom polovljenja odrediti sa ta6no5eu
2fi - 3.5t: + 1,5 : 0.
l0-2 najmanji pozitivan koren
z;" jednadine
Grafidkom metodom sledi z* € [0, 0.763], pa je metodom po]ovljenja dobijen
niz A.573,0.477,0.525,0.501, 0.489, 0.495. 0.498, 0.500: r*.
A
l{*): rsinr * 1
Grafidkom metodom nalazimo da je z- e I : [0.5, 1]. r,1 : Q.g, 22 :
0.7162?22, rs : 0.7389835, z4 : 0.7407052. lrn - ,.1S L!*L < 1.81 . 10-4.
A
6. Metodom sedice na6i koren z* e [2,3] jednaiine 13 - 2rP - 1 : 0, sa
5. Metodom
sedice na6i nulu ll;* funkcije
.
taino56u 10-4.
frO
w
:
:
h : 2.lLll, a.e : 2.1639, rt = 2.7875, rr, : 2.1g78,
: 2.2049, r:e = 2.2053, an :2.2A55, o11 : 2.20bt) =+
:
,rl:0.7.
10-4
r*
2.201t5
=*
7. NaCi metodom tangente koren r:* jedna6ine rlrtr - 2 : 0 sa greikom
3.0000,
2.2A22,
zr =
at
:
2,0000,
2.2041, aa
.
manjom od 10-3
Lokalizujuci korene grafidkom metodom, kao presednu tadku funkci ja g(t:) :
hr:rih(t:): f imamo da jer* € [2,3]. Kako je/(2)./(3) < 0i /(3),],,fu) ,
za f (:r): nht:t:-2, f'(*):lna;* l> 0, ltt(n):
* > 0, pa niz aproksimacija
O
konvergira. Re5enje je
r" :
!n2
: 2.3459
8. Metodom tangente pribliZno odrediti
et*L-cosz,.
7t:
A
najve6u nulu
r*:ra
funkcije
Ib):
r. :0.6013468 .
A
9.
*
+
Metodom sedice odrediti petu iteraciju pribliZnog reienja jedna6ine :r3
0 na intervalu [0, l] i oceniti gre5ku aproksimacije.
5:
f(,r) : 13 - 7t:* 5 je neprekidna i vazi /(0) -- 5 > 0, /(1) :
0.
Pored
toga je f'(t):3:t:2 -7 <0 za sve jr € [0,1] i /,,(z) :6r > 0
-l <
za sve ;r € (0, 1) Sto pokazuje da funkcija ima samo jednu jednostruku nulu u
posmatranom intervalu i da se za njeno priblizno izraduna,vanje moze primeniti
F\rnkcija
metoda sedice,
Podetna i prva iteracija su :rs
)t:2:
Kako je /(0.833)
:
.r't.{l: r'k_
r*
:
/(1) , ;;;1
J\ri
-0.25299
(
i rr
: l. Druga iteracija je
- ?;;r :
l\w/
1+
: 0.833
+.
-r-u
0, uzimamo da .je s
r}'L-'e
'
{{.r:A)/0,k)
_
dolazimo do trece, detvrte
su u slede6oj tabeli:
0
:
0. Korisieci formulu
:Lk
/(, -.r'a-J(*r)fl,,rJ.
i pete iteracije,
78
.
k:2.3.
Podaci koje pri tom koristimo dati
'elua3ue}
wopolauJ 3_0T'q'0 po uroluelu uloxsar3 es rltpalpo ol ouzttQtrd r [69'1'94'gl nren
-.ralur eu *.r,' nlnu nupel ou:e1 euir ir,'ul
'a3rlas r.lopolaru
._01 po
uolueu
l:r :
(er)/ eftr1un1 ep ilezelod 'gI
uuolqer8 es rlrpalpo al ou^zr1qr.rd t [OO't'SZ'O]
nle^Jalur eu *,ij nlnu nupal ou1e1 eur ,rir{
an: (:r)t eftc1un3
ep rleze)iod
'IIZIZL'A:
V
gT
*:L
'1 0r nftceurslo.ide nularod rTnleurzn euauez qrudolsezn
uopolau
po tuofueu-r uolqar8 es rlrpaipo ei ou4tlqr.rd | [T'0] nlen.reiur eu
e-gT
eul (I - rr)Bt +:r : (a;)l' elr1unj ep rlezelod 'ri
*,x nlnu nupel ou:e1
lllualo
eldn1sod n4sar8
a)rlas u/opolau.r a_OT po urofueu uolqar3 es rlpeJpo al ouTrlqud r [6'1]
nlnu nupalou:e1 ewt r?,- -_a : (t:)! eirrlunl ep rlezelod tI
nle^ralur eu
*r
'efuallno;od uropoleu
po uolueul u-ro>19ar3 es rlrpa.lpo ef ou4rlqr.rd r [2,T1
z_0I
oulel ew!x:Z-;e: (r)rf efta1un1 ep rlezelod 'ZI
nle^relur eu +ir nlnu nupaf
'a-0I
Po tuofuetu ruo1ga.r8 es rllpeJPo ai ouJr;qrrd r [3'1]
nle^ralur eu *.r nlnu nupaf ouqel eul
-uet
uropotrer.u
xj
- iT,:
@:)!
efic>1un1
ep tlezelod
'II
E:t: xt
: 0a; el"lcerall eula2od a[ ep rTnleurzn alua8
*:r
I
TuonoulnlN
al ouTr;qr.rd t [O't-l nle^.latur pu *,r ]soupet^
lllparpo
I + :rV + a:[Z * ,l: - (a;)rf eftr>1un1 ep rleze)iod 0T
nuruellsla nupal ou2e1 eur
V
.
r6e8pooo'o
atrreurrs>lordu elSa.r8 el
:
:
> l) sr:l
/z116too'o -*
lf.,)ll - '' --I--
'
ot'r
:
t1r?1,','
lt -..rg1
.6Iggr.0
_
:
:
l(.,,),/l'ttr'ili,' ar a[ o1ey
sn ef aluagar ouTuqrrd oua?e4l
I
I
Z
t88'0
66292'0-
c
e8826/'0
86I/ I90'0-
,
99LV8L'0
zzsO0t0'0-
6It8/'0
l/r86r00'0-
r
g
0
c
n
t
l:t:)
I
I
5
Transportni problem
5.1
Zatvoreni transportni problem
Neka na m stoyari5ta At,, Az, . . . , A^ ima redom o,12 o,2) . . . , (t,*.iedinica
robe i neka ih treba dostaviti na n odrediSt,a 81, 82, ..., Bn, po b1, b2, ..., b*
jedinica redom, pri demu je cena prevoza od bilo kojeg stovariSta A,, do bilo kog
odredi5ta Bi, pojedinici kolidine (oznadena sa cij) poznata. Ako pretpostavirno
da je
i"':iu''
j -1
i:7
odnosno da je ponuda jednaka potraZnji, zatvoreni transportni problem
zaht,eva da se odrede sve kolidine r11, koje iz i-tog stolari5ta treba preneti na
3-to odrediSte, tako da ukupni troSkovi transporta budu minimalni, tj. LraZirno
rninimum funkcija:
-\
L""'nj'
t:7
-
Bazisnim re5enjern trarrsportrrog problema zva(erto ono re5enje, ko.ie ima
rn,n - nt, -- n, 1- | nula. i te nepoznate, koje su jednake nuli, zvademo nebazisne
pronrenljive, promenljive za raziiku od bazisnih. Do polaznog bazisnog reSenja transportnog problerna metodom najmanjih tro5kova dolazirno tako
Sto. vodeii raiuna o velidinama o,i i h1, najreiu mogudu vreCnost :r:,, raspor€dujerno na ono mesto gde je cir' najmanje.
Da bismo proverili da ii je to bazisrro re5enje optimaino,
poboij5ali, forrniramo koefici"jente
4
j:
c.i
*
ti';
tj.
da bismo ga
i' 11r,
gde u,i i r.'3 radunamo re5avajuii sistem, koji dobijamo kada c!n, za bazisne
pronenljive izjednadimo sa nulom. Zatim za nebazisne promenljve radunamo
koeficijente cl, i, ako su svi pozitivni, dobijeno re5enje je optimalnc. Ako ne,
orda promerrljivu :rii, koja se nalazi uz najrnanje cli, uvodimo u bazisno re5enje
kao trazisnu prourenl.jivu, dajudi .loj onu vrednost Q, za koju sva ogranidenja
oslaju zadovoljeria, a nijedna promenljiva nije negativna. Slede prinieri.
Prrrrer 5,1
Re5iti transportni problem zadat slede6om tabelom:
D1
A1
I
B2
B3
2
5
i
7
A2
,q
168
30
40
70
'fi:
00r
9-
0v
691
99
9Z
08
8-
i-
1
I
I
b-sz
z9*
I
eg
zrx; al
0t,
6
h
zg
b*sv
0-or
zy
ry
Lfl
:rlaq'el togapals n ouralup qr,trlJuauo;d qrusrz?q euaruortl pa18ar.1
olau r 'n,r.rlluauro;d nusrzrq ez qazn zr.r pq.aJ.] 0 > .1, at o1qo6
8:I+Q!),:877,t
9-:I -g-V:?'t,.t
'a1ua[r'lgao1 r]€unQ?Jzr a.trlpraruorrl ausrz?qau Ez oril?)
ousoupo 'a1sr.r a1-z n[er1 uu p€spo oura?€srd fri ouscupo
ulreg
t?rt,
auo1o1 a1-f
?z rlsotrpaJ1
'I: ttt I 9- : trt '?,' : rtt '7--: za
oureliqop I 0 : zrt r]?Jqpzr olrrazour ed ,uaparpoau
'0:ea +erL+l:zz,c 0: sa + tr. + g:tt,
0: ro +ZrL+t:r*,,
6: Io+ Iru+ A:1I,,
: lo + ?rL + lb !?,c
al
r.uagsie
'0
Lualsrs oura? Ei ntr JoJ
08
a,r.
r
fluatrr
ord
ausr.zv q
u
Z
sg
c
I
L
OL
ZV
9Z
s
OI,
>l
ry
6
Z
0t
tg
zgr
tf
OI
":fi irHil,t":f
ai arelso o?q ouo .n1s^ n,nrp , u,rnrS.?n,
oplsoard
o{rlol
wi1;
orxps
:
at
olqod
ai
eur2r1o4
epnlere,r.o8po 't -_ rz, ef
'gy
'efuurluruzur
uuar eTrufeu
zr
oueli,telsozr
nuolo{ nSnrp a1 ,ouafluporl
rlsoundlod n"?apels
ouo a[ etull .z€r
aqarlod a1uo1 o.mrdn ns o:lqod ,gg
"]qparpo
zrix skrs)srardo a7n3ou apo,tleu
ouiet1.r,e1s n1 r T : 6ec al rual eftreruf'eg
:,JJJJ.;ij;
-
'elltpatpo Fo1-/ op elsue^ols
3?1-? zl aur?rlol t:rurpal od epodsue.rq nuac ellaelspa.rd ,luo1o1
io1-.f 1 rlstn loy. n
elqrpalpo o1 eu r1*uatdop eqatl nl-o1 nur2r;o1 auo;o1 a1-/ nl'et1 eu iotq
'{!-J
l'org
e 'allrparpo o1-f, ene?euzo lg ,nlsrJe^ols ulol-? eu rzeleu as elol nurlrlol epa.r
lolq e ,a6ue^o1s o]-? e^ereuzo ty :etuatupottllg
3ol-? 'l't 'alsJ^ el-?
nlei>1 eu
Da bi
i
dalje ostala zadovoljena sva ogranidenja (zalihe i potrebe), mora
: 25 - Q, 5to povladi promenu i za r21 : 4b * Q i, konadno.
Q Ovim je krug zatvoren, tj. ravnoteZa koja je bila narGena
se uzeti zz, :022
iL11
:10 -
ur,ndenjem nove bazisne promenljive je ponovo uspostavljena u svim vrstama i
kolonama. I{ako sve promenljive moraju biti nenegativne, jasno je da je za e
rrajvi5e moguie weti Q: 10, pa iemo tako imati sledeie bazisne promenl.jive:
:112: lQ,
xr13
$Q, rzt
-
:
55'i r:22
:
15.
Pomodu ovih bazisnih promenljivih konstrui5e se nova tabela i ceo postupak
tim Sto se ditav radun moZe sprovesti u okviru same tabele. Tako
dobijamo slede6u tabelu:
se ponavlja, s
Bt
B2
B3
30
LO
A1
o
55
A2
2
5
I
7
40
15
r)
55
25
30
-,1
-1
-4
1
70 "0
Podaci u poslednjoj vrsti i koloni su nadeni direktriirn re5avanjem jednadina
sistema
C,j : ct j * rt,4 1 u j -: A za bazisne promenljive, pri dernu je zadrlan isti izbor
jedne od promenljivih ('r,r2: g;. Jednadine se posmatraju i re5ava.iu sledeiim
redorn:
clzr
:3 *
u,2
a
clzz:L*u,2
1r1
:
Q
111,2:Q
c\z:2*u.1 *?.r2:Q
c\s:5 + ?r1 + ?/3 : Q
3+0+?i:0
<+
l+0+u2:I
€ 2+ut*L:0
+
?/1
=+
r/l
?.1,1
: -$
-
: -l
us:-4
5-1+1.r3:S
Za nebazisne promenl.jive, takode u okviru same tabele moZemo lako na6i
1 -3 : 5 i clr : 7* 0 - 4 : 3. Kako su ove vrednosti pomoenih
koeficijenata, za nebazisne promenljive, sve pozitivne, to znadi da je re5enje do
koga smo doili optirnalno.
c\t : 9-
\l-
:-
r
,
Yl
VICUIIUSI
TIUSKUVA DICE
f:
2. 10+5' 30+3, 55+ 1. 15 :
350.
A
Primer 5.2
Re5iti transportni pr.oblem zadat slede6om tabelom:
170
_r,r,lg_
orue(iqop | 0
:
,rt
: t7l tI
:qeJqp,zr. ouro?our
Ltt,
ed ,uapa:poau al uralsrg
A- vn,+trL+p:ts,:t
0=8rl+e',1
+t:89,
A:?o+zTL+g:vtc
r --7.2^
0:1"rr+1?l+ !-t1:;
ro 1- Irt
tn t :ri
tt..
+ L^ +t l,J:
u:',,
-
.r'
,'098
:
*I:
rl,r
[t:i.)
Uralsrs oua?gJrluJoJ a^rliua{uoJd ausrz?q ?z
0T' I/+09. g+9. 9+ 92. Z+AT,. L-FOI. I
:.I
asouzr ?uodsu?Jl r,{o{qoJ} aluaqar ousrz€q o^Q n7
st
av
08
?
97,
u
OI
6
OI
tv
8
0e
9
L
Z
U
s
t1-,
Y(r
(..
0t
0l
OZ
tg
vg
It'
T
rg
r,g
01
'Q(
:
vt;x
Q - tirl ouapeJpo oundlod a[ aretrso or$ ouo n]sJA
n?aJ1
orrra?our
I
llrr"{uau'z
tlll\O '8!r nlqrJ?Ao1s eu olelsoard o{rlo? orlres al olqod '0I
: rfflj at eui2Uol
?-rnltsru^o8po e t : ts? sucf,
at afleq .utuerleurzr.r zr nuoJo{ ngarl
"[u?ur[Bu
,gg : ce11; atuataralrio
I lll?nfP{sl r eg elgrparpo aqarloO
1' gllrrrupor{ ours al
luiEruISIeuI
otlla?oul
ep^o
lllA"ls
I 'f, : rr87 a[ rzuao lsoupaJ^ elnrurfeu ,af1u61
zex; sf lofu ru alrraqaraldo agn3our oul?rxis{tsur
'rllarlulpod
-
1111-
1
zg I al eurll I 96
-
'1.
- zi';; a['euac eTruleu p?apals .rluerleurzer zr oureli,elsozl nuolo{ n,trd
'.)uarlutpod
'{'r[
a1
rlsouttdlod n ouo a[ erxlJ .I€, elqrpeJpo aqaJtod a>11o1 ns olqod
'alua2araldo oulerurs{ptu ourefl,rels rL[u ruu I I
- rrc af eriar efueuriel,l
nc
9E
OI
EZ
t
v
0t
o
0t
8
6
('
L
L
0t
s
.V
h
zy
I
OI
l;r
Y
tg
vg
zg
Ia
Sada 6emo za nebazisne promenljive izradunati koeficijente.
clzt:9-6+6:9
LA-7+4:7
cLt
cLz:9-4*4:9
cLs:7*6*r:2
c\s:5*7*L:-r
Po5to je
cir <
LO
0 treba:r13 uzeti za bazisnu promenljivu,
i
neka je
t:6:
q.
Pregled promena bazisnih promenljivih dajemo u slede0oj tabeli, pri demu
vrednosti za L/,i) odnosno 'u, pi5emo na kraju i-te vrste, odnosno 7-te kolone.
B2
D7
8,,'
10
A1
a
10
1
Az
I
A:t
i
-1
5
7
2r,)
5
2
I
8
Da bi
t14
2A-Q
h
7
30-Q
10+Q
,
4
10
25
30
35
6
4
1
0
dalje ostala zadovoljena sva ogranidenja (zalihe
i
30
-7
30
-6
40
-4
potrebe), mora
se uzeti z& rcss : 30 - Q, Sto povladi promenu i za r34: 10 * Q i, konadno,
!L1q - 20 - Q. Ovim je krug zatvoren, tj. ravnoteZa koja je bila naru5ena
uvodenjem nove bazisne promenljive je ponovo uspostavljena u svim vrstama i
kolorranra. Kako sve promenljive moraju biti nenegativne, jasno je da je za e
na.jviSe moguie uzeti Q: 20, pa iemo tako irnati sledede bazisne promenljive:
In11
: l[, :tfi :2A] fi22: )$, i[24:5,
,r3J
:
10
i rr3a :
Jg.
Pomodu ovih bazisnih promenljivih konstrui5e se nova tabela i ceo postupak
ponavlja,
se
s tim Sto se ditav ratun moZe sprovesti u okviru sarne tabele. Tako
dobijarno sledeiu tabelu:
t72
.[
e{rlz"r a[1od o,t.rd n alnsrdn
"pal
as
e{rtzvr
l:l-e
I z I I ns npeJ uo^Jd n e}uatrlala ufueurleu,B^p .rdN
'((auolo{ ts)llz"{{ "^oruftr
per ousoupo ',,epar ulrlzeJ(( nuolo{ n ll}lrizsr n^oqrfu ourlqJdn
r ruolo{ fo4r,.ts I npeJ uro)ip s rr e?uetllele efueutflsu e,rp ardluu ourpaJpo
s1
8I
d2
UU
I
lalrlTl,
I C
I
9T
1
OI
L
b6
u
OI
zls
U
n
ZT
aA.lazau
I
L
I
OZ
v
aqe.llcrl
ty
L
{r
Z
I
Z
r91
zg
Ea
7.p,
ry
rg\ly
'el:odsuetl eotrJeul elep ai oIe 'eu.ialq
-ord Boupodsuetl aluagel ouslzeq ouzelod ruopolaLil woaola?on l?eN g.g rarrrrrd
'erlrlzer qrgeafeu ruopolaru ouso{ipo ,uropoleur urolol
-aEon i r?op oure?our ruralqord Soulrodsuurt Bluaqar Sorrsrzrq Bouzelod oq
Y
'078
:. 08' f + 0i, I + 9. I +
92. Z+ A7,. I 1-01 . I
:/
alrq s^o{Q0Jl lsoupeJ^
ouleuirldo
11qop
orus
e8ol
op airraqa; al ep rEeuz o1 'aulrJrzod a.ts 'a.Lrlluaurord auslzeqarr
ez
'eleuatngac4
qrugourod rlsoupaJ^ alo rrs o>lq>I .6: V+?-6:"\r'6:
g+tr_ g:r?ic
'Z: I)-g* L:
t1;t ,g: *g6:
9
I?l?u o{"1 oure?our alaqe? arx"s
,g
rz,c,I : 0+g*Z
- ?\c : V1 g _g1 :
nlrl{o n apo{"} ,a,r.rfinauro:d ausrz€qe{r eZ
z\:t
<+ 0: in.+h+I:rt)
9:Io € 0:to+g-I
9-*Lrt + 0:1+I1rl+9 (+ 0-t0+.rrL+g:t\:t
+ 0:trr+V-t <+ 0: 8ri+8rr+g:s9,
1 :8rl
?:za e 0 :zrt I g-Z <+ 0: zrt,+z'rL+Z:.1r
+) 0:to+trL+V:r),
?-* : t"rt + 0:0ttnlt
9--: ert € 0 :0* r'rt.-19 +) 0 - vtt*7,rt.+g:v1,
:1IIOpAJ
:
tul?apels n[e,,r.egar
ro)
r
nlerlerusod
as
aur?"upa[,
(O
qrarfluaurord
IJSI uv1:rpez af nrua2 r.rd 'aa,rlluauo"rd ausrzuq ?.2
lo + ;rt a
Q
:
roqzl
eur2tupai uralnu,reqar u,.,?{eJrp ruap?u ns ruolo{ r qsr,r. lotuparrod n
po eupat
lr2 : .try
,rnfffi""
Od svih razlika reda i kolona biramo najvedu i ona ima prvenstvo. Ako ima
i istovremeno najvedih kao Sto je ovde sludaj (imamo
dva puta 2) dajemo prednost onoj razlici koja odgovara najniZem jedinidnom
tro5ku. U prvoj koloni je najniZi tro5ak 2, te biramo razliku kolone i. U toj
koloni se traZi polje sa najniZim jedinidnim tro5kom, u ovom sludaju polje (1,t)
s& c11 : 2 i tu upisujemo maksimalnu kolidinu robe koju moZerno prevesti, a
to je 12 iz Ar u 81. Skladi5te,4.1 ostaje prazno (u rezervi je 0), a prodavnici
B1 je potrebno .joS 20 - L2:8 robe.
vi5e medusobno jednakih
Bt
Bz
)
B".t
1
4
4
2
1
I
I
2
4
5
2
Bt
Rezerve
,
t2
Az
,4;l
Aa
x8
Potrebe
ttazlika
kolone
7
6
10
1r
15
1-1:0
2-1:"1.
ll-.3:0
Razlika
reda
120
2-l:l
10
D 1-1
20
2-1:L
18
4-2:2
Kako je skladi5te ,41 ispraZnjeno ne razmatramo viSe prvi red, te razlika
reda 1 ne postoji, pa stavljamo *. Sada ponovo formiramo razliku kolone tiji
su elementi sada 0,1,1,3. Ocl svih razlika sada je najveea 3, ona iz kolone 4,
i u njoj polje (3,4) sa najniZirn tro5kom cu, : 3. U tom polju upisujemo 15
jedinica robe koje idu iz A3 (u kojem sada ostaje 20 15 : 5 jedinica robe) u
Ba dije su potrebe time zadovoljene, pa na polju razlika kolone 4 stavljamo *
(vidi slededu tabelu).
Bt
2
Ar
Az
A'.t
A+
otrebe
kolone
1,
Bz
B:t
I
I
4
2
1
Ba
I
7
0
7
2
1A
4
5
8
10
4-4:0
2-1:1
2
Hazlika
reda
c
t2
4
Rezerve
6
15
150
2-1:1
6-3:3
t0
1
x05
I
18
2
Ponovo formiramo razliku reda (jer nema kolone 4) diji su elementi sada
1,2. Od svih razlika sada .ie na.ive6a 2, iz reda 4, i l njemu polje (4,3) sa
174
'* orus[i^?]s z auolo{
e{IIz€J nttod n r1aqe1 logapals n e} 'uroqor tuol ouaJlrrrpod eg ol ryp (aqo.r
errurpal g : g - nT el?rso ura['o1 tr) z1t zr aqor qslurpal g ouratnsrdn n[1od urol
'i :
p,s (7,'Z) ailod fo(u n r ,6 auolo>1 zr ,g e9a,r.[eu a[ qoes
O
66, rrolqoJl urrqrulru
pwrrz,p r rri l q nn
''-tia-'-
'1;--" r\_/
.o(n onoc rarrnrir/\in n o rfrr nrrnrnr
G u "r ** :rqv!qvtv
0
I:r-q
0
8
s{x
0
I
qI
t
0
9:1
I
r
q
Z
I
qI
9x.
auoio{
e{lIzr?t{
v
tV
i
zg
ttg
oqarlod
J
.v
('
L
,g
nV
l:v
I
Z
OI
C
a^lazau
ZI
,
o
epar
B{liz"}l
1g
'r4urpcd as Ep eqoJ errurpa[ g : 9 gl aielso sg
ts{rlz"r n[1od n r1aqe1 toqapals n atr ,ouzercl epes al
n 1op (x oue[1.r.e1s t
"pe.ig ourafnsicln nilod ruol
afo{) th, zI aqoJ errurpal
.] 1 : znr uro)itoJ] urrTruletr
vs (U't) aftod nualu n r 'g epar zr ,g u2a,l[ar a[ epus r{rlzsr ql^s pO .i,g,e
ep?s rirueuela ns r[r2 (geuo1o1 al ,,up1sau,,) ?pal n{rlz?r rl:\ou ourBJrurrog
I
0
I
(,
auolo{
0
T
0x
OI
e)t[21]tl
aqarlod
8
q1
rP(
t- t
l:I-?,
I
bV
t
Z
v
fL
T:V
I
0l
Z
L
1
7,v
0
epar
R){llzeu
aArazau
n
I
I
L
v
Z
41
It/
I
Z
rg
zg
t,g
a
'(n1aqr1 n?apals p1,r.) * orur[1,re1s g auolo{ elrlzeJ rrf1od eu ed,aual1o,topez
aqerlod ns afr? eg n (aqor ?)rurpa[ t : qT 91 atulso rpus utafo1 n\ vy zt
npt atol eqoJ ?f,rurpaf 91 ourafnsidn atlo<I o1 n .Z * wc uro{EoJl urrqruleu
Bz
Bt
I
/
Bt
2
A
d1
Ba
Rezerve
Razlika
.reda
q
0
A^
A:t
4
2
7
7
1
(
,
1
105
4
Potrebe
Hazlika
kolone
5
2
4*4:0
7
6
3
15
x0
8
0
1r.
5
Aa
2
,
0
1
0
n_,
Kako u skladi5tima .42 i Aa ima 5 odnosno 3 jedinice robe koje rasporedujemo u odredi5te 81, to u polja (2,1) i (4,1) upisujemo kolidine robe 5 i
I
o
D1
2
A1
B:t
1
Ba
4
c
1
7
4
5
7
XO
5
2
1
Potrebe
Razlika
kolone
4
,
3
/€o
0
2
1
c
0
0
Podetno bazisno re5enje je :Ltt : L2, :L21
lr3a : lt,, ?r41 : $, ?r33 : l$, dok su ostali ri,
5.2
N0
15
0
reda.
0
15
2
0
Razlika
0
Ir
Aa
Rezerve
12
Az
A:t
Bz
Otvoreni transportni problem
Ukoiiko jc ponucia ve ca od potraznJe:
i) io,rfu,,
r=7
J=1
odnosno rnairja od potraZnje:
i,i)
i*o.fo,,
i=1
i:l
176
* 5,
-0.
t:zz
- 5,
:Llz
-5,
A
8
]I
II
e^razax
,
I
6
I
L
Z
i
I
I
6
s
s
7
6
6
L
vg
t,g
Zn
a
'llod
tv
zy
ry
L
rg tq\tv
liltag ',
'elJodsuerl eltJleui elep ef oIe Lualqold rul.rodsuell jlapals
l'lggy
-
Eazux:
''1gg1
:
zaaax; '1009 --
'stue;
.6991 :
/ unu
: zatu.:r:
'7ggg
aiulelururul npnq ezona.rd l^ol9oll ep zo^eld lle^oztue8ro eqarl o)ey
9
tg
rg
eg
6
n
L
s
Ztt
at
Ltr
a
\
]od
.,rd
urolaqel iuo?epals eulestuipal rutuef,nou n alep ns enopel3
I zA ! rA elrupnr po elp8n euol aupal ezo^ald aual .?00F rg pefi e '?OOL zg
perS'lggg ou^eup lgorl rg perS '?000i ag
lrupnr e'?00g !trels euep Bo>1ens a^zou:
IU >l:upnu 'cg
'eg'tg
epelS u1 uiaft8n nlenapqeus
tA I LA elrupnr e^C .I
ITEPeZ t'g
':t'\r*u.L ?srnser eurQr,o{
,
aut?rloli ez olnu8rlsop at
n;,.yoorXX}?Tl"jKtTl:]:;Yr'i,I?::i':'}
aiol
,a[uaqe; olsi nlerur
uralqord IuaJoAJEz eu rpols as uralqorri
I=f
:
po r ,f61 Z :,,0
[
,;,.1*
at rat'
t+u
l+u
ruaJollo urpeu [e1 tsN .u,.:'l
- [r:a,
e,t,,t?
: l'r+u, '[1 'r1nu qurrpat e8alu op ?]qrpeJpo
- tr1
T
rlo{qo.rl ruguipal
qiAS po
u
r+uD srnsar a[ I[l?
I*-tr
o]qpoqsr ou^rl]ig es rpoln (zz ntuqnls
'?trlrlqtpoqsr n nlelso a[o1
in
1
ur,..,,I:
!
'r'-L
esJnsal auI?IIo{ r nlnlrorlsurrl as a[o>1 ,L['...,I
- [ ,tu,'...1 : 1 .tr,p
aur?rlol ez olnu8rlsop at aio4 ,afuaqar olsr nluurr
fui] r,fg'd : r,['ai rat
{x .ru,:,,1 : ,
riralqorrl irrarol]?z Eu rpols as rualqord uaroAlo orpn, rnf
'0
:
I..u
i, 'h
1:r
- ', 3 :
'gpu r>leupaf e8alu op p?qipoqsr
r'uq aqarlod ns a[tE
r{r,r.s
r=I
po rlo{qo4 yrqrurpai e ,lq
fu
r+u€r e]Fparpo ou^r]{g as rpo1n (z nlu2nls
i1
'tualqord gul"rodsue"r+ ruarollo al nhrelrd n
b)
c)
d)
Al\B;
B1
A1
2
A2
A3
1
2
3
4
Potr.
40
A,\B;
B2
4
B3
13a
Rezerve
5
1
60
I
4
70
2
5
20
30
30
50
D
D7
B2
B3
13a
Rezerve
A1
4
3
2
5
Az
A3
1
1
6
4
3
5
9
4
46
34
40
Potr.
40
,tr
30
i5
Ar\Bt
B1
B2
Bs
A1
A2
4
2
5
60
6
1
3
40
Potr.
30
50
IU
Rezerve
a) riirr,f : 83, rr;13 : $, :n14: l, 2zt:5, ir:22: g, :)t)tz - 3. fig4:5,
:Lij : 0'
b) rnirr/ * 271, fi13 : lQ, rI14 : gQ, t)21 : \Q, iD22:3A, ;r33 : !. st6u1i
rrj : A|
c) mirl/ : 327. :t)12 : lg, .r:13 : ll0, iL21 : lg, nzz : 19, x41 : 25,
:ti14 : l$, ostali zi3 : s;
d) rrrirr/ : 260, jIrtl : 301 rlr12 : gg, :r)22 : )Q, !r:2s: lS, ostali ri, :0.A
3. Reiiti zatvoreni transportni
problem
l'1
Pz
s1
2
9
Sz
5
8
4
2
d
5
7
5
6
9
2o
P"lP.l
Pr
2
6
o
2
8
tr
5
S2
Sz
8
6
!
S2
Sr
P:t
t)
I
5
2
o
8
4
,
5
o
i78
5
7
t)
20
\
--L
-
a[ ?p our€urr eiltsg '! : €,r,
: t.i 'Z- : zit,ol 3p lpals r0 - Iru l?nfletuizn el{gpo
'0:T* iL{t71 +Z<+ 0: I,z*erl+tt'2:t\.t
'0 e,l + z'rL +- f; (.) g : to + zrt 1- r:ex : t\\2
'0 - Io + zIL +g <+ 0 : ra, + zrt :, te's : t\"t
tr,i
'0 : 8r, + IrL +g (+ 0 : t,rt + Lrt + tb :
: zo+ Ir, + Z ++ 0 : za + tn -P z't2 : z\:t
'0
.,t,'rorrraf
,ruix.iuYvr
^,rr-t-^^-
I
C
t
t.rm,{rrrcrr{
'^lli'f'
^6"^
-
t)
o
C
8
t
7,a
s
eSi
Z
V
q
6
Z
,)
tg
o
g
Ld
z11
'Z : O nualuoJd n?a\[?u otueur]zrt Pd 'Z > O > 0
<,, S'0 < O+Z'0? O'O<b-Z :Ptqe^troulaul?Io{"2
:- -rrrrliio{ aloq) :(1't) I (f 'Z) '(.t'Z) ettod i E?aJor^Br
"lrlnr€u
l1 trorrr2rlol es 0 > 8,1a ai ral (g'1) eftod e[rc4aro1 orxa?rqr^zl
'l
\l/t.--
IC{
't - I + Z * 9 : lrt + tn, 1 t't'2 -: 8\c
azr,l:z\e
t -.,2 +tn,+zty:c\2 '01 :l+g-8:zttlc't
- 6 g : eo+ \1att2: el,a ourerui e,rrflrraruo"rd auQ:|zq-qau v,Z
'6- :
:
:
o
0
0
0
0
ln
usoupar,r ntettqop as o{el 'A
0+8/1.+z
e.]+(q-)+F
0+ea+9 e
e,r+(6_) +Z
0+1r,+6
'Z- : trt, 'l : 8rl 'g- - Zrt
-- tri a[ ep '.rdu t9nleulrzg
t0,
tn -l- It)
+
1- z'p, l tzx
0
',;)
82,
t1v
0
ra+zrL ltz'J
0
211
0
7sy
0
L,
l,r1
.!.. t1y
a
a
ril-,
,\,
,\,
212
II'S
uelsrs our€JrurJoJ a,r.rfparuord eu1tzp.,
n,
c\t:9+0+(-7) :2)0,
c:lrr:3+2+(*2):8)0,
cLz:3-F5+(*2):6)0,
cls:5+5+(-6) :4)0,
pa je re5enje optimalno
i dostignuto je za promenljive
it)23:3,lr31 :$iiznOsi
:r:i 2
:
6, r13
:
2, rzt
rnin/:2.6+6'2+ 5.4+ 4.3+ 2.5:66.
:
4.
a
4. Re5iti transportni problem ako je data matrica transporta:
Aa\B;
B1
B2
Bj
Ht
At
2
3
4
1
50
A2
1
3
2
5
40
20
rrirr/:22A, rp:$,
20, ostali rii -: g.
A3
5
2
J
+
Potr.
30
25
35
20
Rezerve
fi13:)g, fr1q:20, [zt:30,
rr23:lQ, it\2:
A
5. Re5iti otvoreni transportni problem ako je data matrica transporta:
IIIirr/'
:
215, :tp
Ar\Bt
B1
B2
B3
A.
7
3
6
75
Az
4
R
2
A3
1
tr
I
40
3s
Potr.
20
45
30
: 45, fizs : 30, :Ln :
Rezerve
2A,
i
u ,4r, Az, As osta.ju vi$kovi
6. za prevoz odredene koliiine istovrsnog tereta unajmljeni su kamioni jednake
nosivosti od tri razliEita kamionska prevoznika i smeSteni na terminalima Ti,72 i
ft, odakle se svakodnevno rasporeduju na 4 utovarna mesta [l ,[Jz,(Jt i ua. Broj
raspolozivih kamiona na pojedinom terminalu iznosi 30, 30 i 40 kamiona dnevno, a
l---:
l-, --f ,. , .- -r_ I .t
'
uruJ
puLtculllll ltd puJeulll(Jlll
uLovartl0m mJeS[U LVt lCt JU I Jl KamlOna
^drrrlulld
dnevno. vreme voinje kamiona od pojedinog ierminala do pojedinog utovarnog
mjesta izraieno je u minutama u tablici:
Terminal
\
Mesto.
U1
Uz
Us
Ua
11
2CI
15
17
t2
19
L2
17
16
T
i8
19
13
t4
't'1
41
-. ll
180
.
l
,
'02
:
sr;I
'gZ :7?'1"0e
+
0i
0I : r8.r:'0i : ll;;; '61 - 0e - 08 -- ee't ai ai '02 iliq
$ trl aunrltBauau IJIq nl?Joul e,{'lftuauroJd 'fi+91 : vt'r,
a?our a?n3our aqr^f?u
'b -
07,
:
?tlt
'(1*
08
: ttr
:a[ ?p otueurlzn ??a]ouABJ ?liQnJeu Iq arl as
i
t)
ut'
CC
L.
0t
9-
OL
{/
?t
gI
97,
o,
t:.L
O-os
L1
6i
71
30
o
OI
8I
61
A+or
9I
?,r
9
II
tt
0z
SI
()
O-o?,
tn
D,
til
.n
1:ll
V
0t
'fi : ttxl af mlau t s.,'rfuaruord quslzsq a[ ?p orueullzll tt:t: '0 > E], at o1qo.1
'Z- I*gt - Ll :EZ,c'6 :V +m - At :z\t'01 = 9+rI - 91 : r!:;
'1- : I + LI *gt : tla'L:b+ LI-AZ:z\c'6:
9.+ gl - at : rz,c
:af a.l'tluautord ausrzeqau vZ 'V- - srt''9* - ztt'L- : trt'I
: Ett,'u -- zo,'g : r,t :ourellqop I 0 : to ouIBrlQ ud 'uaparpoau a[ rualstg
"0-vr,, t sri+ Vl:?8,c rg:8o+frri+ tl,:t\;, '0: rn +zn+91 :tl:t
'O: z,r+zrL+Zt :""," {6 : ?4. + rrL-+ 71 : b\:s'0 - ta'i- iTi,i- TT : rlJ
a !:r'2: f;r oueunler a,ufuaruor<I ausrzuq u7
'i1
'/1 + 0I . II : /
'.rri
+
ty1
09t11
:
0I' rI +0t' tI + g' 9I + 9Z' ZI + 0Z
tsouzr auIaJA ou^allp oui€urlulru alueqar ousiz?q aLo 2Z
(7
0t
1t,
[]J
0t
OT
8t
6I
srl
OI
tJ
08
Ell
TT
91
0g
6i
a
qI
LI
0s
lrr
l,.l
AZ
ZT
tu
I
I,L
OI
OZ
vn
vqruleu
an
E{1
t'l
r
"'Iuopal o{"} I gU - 627 3s1a['su oUIIA??s n] i ZT '- 7'e2 2[ pvsJ
urll?z'0I : ttx;3q1nfpu oull1sls n1 I TT - II, ef auIaJA alueuitg
'oul?rururur apnq ,p[u7o,t auzu.td,. 'AzJ auIaJA oulaup
oudn>in rp ruaftrc ug 'nleu1urrel uroupafo<I €u tsuoru")l qt,lr4olodsur lorq r
€uotru€)i
€lseur qruJ".torn aqarlod J.rzqo n rqlazn tslsaru €uJts oln eurpafod
parodse: ousoupo 'euo1ue4 efuelar4 ueld uepurldo tlparpo at "u
1e1ept7
Ut
Tt
u
Ua
U:t
Uz
2A
10
t1
t7
15
20
i)
Tz
t7
LZ
19
30
10
Tt
18
U
Uzirnajudi
16
13
19
14
10
o<
30
.1:)
5
4
1
0
'u4
:
Q
clzt: 16 * u,2* D+ :
cLq: Lq+?r3+ uq :
30
-6
30
-6
40
-4
iz koeficijenata za bazisne promenljiYe imarnor
0 4 u,2- -16,
0 ) u,3: -14,
cLz:12]_tr,2 lu2-0 -) D2:!,
cil-13+u3 1173:Q + i'c:1.
cis:15+u,l +'"-s:0 -+ u,r:-L6,
cir : 11t- lll I ur = 0 =+ ul :5.
Koeficijenti za nebazisne promjenljive su:
c\z:20- 16*4:8, c\s:17- 16*0: 1, cLt: L9- 16 1-5:
- 16*l:2, cir:18* 14*5:9, ciz:L9 - 14+ 4:9.
8,
clzt:17
Sve vrednosti su pozitivne, pa je postupak zavr5en.
Minimalno dnevno vre[]e iznosi:
/:
rnirr
300 + 80
+
10 . 11
130
+
+ l5
. 20
+
12 . 25
420:1340.
+
16 . 5 l_ 13 , 10 -1 14 ' 30
182
:
110
+
300
+
a
:,
-.:
/-
(r,r,V
*u:r;'...,urv
*
zi1;.ri1:y
+tr)t: /y:,rr.y
atrclun; trlqerlrd
':- -.- 'a:rV zxi'rx:V
,(0'...r0.0)
t,t)
+
f (rV,...,aa;V,rrV)
-- . -. ?z Pp o)iel g +< 9Ifolsodt{'U""t7'1}
:1 } oI13 s Ezol.e rrraJ]s{e
: ' i'II?pl n eurr (ur'".'r:t)t: ?? €tc{unJ Bp olequz rq oJ
:r
v+6'rw+rj\
(n'r)!
:
z
'rurarlst'e FIeIoI r8o"rls
,< I > rlso{"upalau
:'.. :.-l,ritd
n
rtso{eupeiau
a8or1s
aiols
epeq
B
nleurrzn
Bou1e1o1 ilrlrugap n as ap8ag
urupal auinurru(rr r eunurrs{sur errle{orl
<I>
:is:1unpafarr qrSorls oJsaun ?{-uaJ?s{e
Inlarrsla Iu1elol
:. -,ts:C -,)i€
'iF-).f
'.r"
oureAoz tuouaurl
'@)t < (x)/) $)l > G){
n{?Bt n{€^s €z
Iqp^ e > iy) \ (g,y)Z )
o>l"} r0 < g
X
"p
n (wnurglur rupr1o1) urnurrs>leur
1ulp.{ol
ryupai
f
H?tsx
..I.r:) :
p-.;i:
C
X,&){:
L-'-I,':r=riuqerlnun I (Z i u),N
a e[ro1unJ Bp oura?"N .("Cr > y) 6, rdn4s
<-- O i
etolunl elep ale1a1q
f
/
O,U
rurar+s{a
IulE{oT I.g
ql^
-Ifluaruo.rd agn efic4ung r]souporl auuroJ]s{fl
u tadki A je iti pozitivan ili negativan i to za Au > 0 funkcija u, : J(r:1,...,x:n)
ima u -4 lokaini minimum, a za Lu, ( 0 ima lokalni maksimum.
Funkcija z: f (r,t)), (r,g) e D c R2 6e imati ekstrem u tadki Q:,7) € D",
ako je A/(r,y) istog znaka za sve dovoljno male vrednosti Ar i A.y, za koje je
(r * Lt:,A + LU) €. D, i to maksimum ako je A/ ( 0, a minimum za Lf > 0
(vidi sliku).
z : L - 12 -- y2, Eiji je grafik obrtni paraboroid nastao
:
rotacijom parabole z l-U2 oko z-ose, ima lokalni maksimum Zmar : I u taeki
o(0,0) Funkcija,:
l.-,,'-r', [;;;] 1[3;3] , ima rokarni minimum
{
zmln :0 u taEki O(0,0).
n
Primer 6.1
Funkcija
lborerna 6.L Neka f,"tnkcija f : D * IR., D C R',, 2 2 u taiki Aia4. a2....,o,n)
e D" 'ima sue parc,ijalne ,izuod,e pruog reda i neka u toj taiki,'irta ekstrern. Tad,a
uaii
Ako je
lrot
O):1
f
-
{at
0:11.2
di,ferencijabilnu funkcija u
d,f
(A)
!!-ro,
O:t:t,
'
-,
taiki A, tada je
:0,
Dokaz ove Leorerne dajemo za funkcije dve promenljive,
tj.
dokazaCemo da
vaizi
fl{no,yo)
: f'r(ro,yo) :
0,
z: f (t:,y).
Ako funkcija f (rt,y) ima ekstrem u A(ns.ys), onda i krii,e z : i(to,t),
't: : :Lo i z : f (:r,yo),lJ :370 imaju ekstrem u tadki A. potreban uslov da
za tadkrr ekstrema A(:rs,ye) € Do diferencijabilne funkcije
diferencijabilna funkcija jedne promenljive ima ekstrem u nekoj tatki jeste da
je ri toj talki prvi izvod jednak nuli, tj.
:
z',(ro,yo) :
z'r(ro,uo)
:
: f!,(t:q,uo) :
f!o{*o,t))la:an: fiQ:o,yo)
0,
fi{:r,,uo)i,=,n
o.
tr
lviedutim, eks[rem moZe da postcji iako parcijalni izvodi ne postoje. Tako funkcij a z : lt:l+lyl
(vidi siiku) ima minirnum u tadki (0,0). dok parcijalni izvodi u toj tadki ne posto.ie.
184
98
-r,
'(o>+) 0>J? 0<.s-1'r
Diulfiullt')lDturtuL (l
(/l'rr)rf nh,cqunt V
?EpD?
n npof
'e:
(ttt'i.'ax:)n,! '0 : (ori'o:r)il 'tl '(t'i'r:)t .= z atl,c:ymt nqpv? oulquoryD\s at, q pdnqs
(ofi'ox:)V oqpny o[upo"r?nun r. (U'C)e, )./';&i ) e e{ DqeN tg rruraroal
n
ou[1o,top ai
';['uap.l,r1 rpais eC
'nltlgerrrd {?uz pu a?rilr au pp risui
n{??? tsz 'epleg 'trr
z((V.'X)p)&)o zetzt'y a{?e] nzrlq ouilo,top X
, X Ez'g<*
'
r(""'o--*)+ "*r(rr,-tr,)t: (V'X)p lO: (X)o'ini apS
'x)D(x), + (il t ,nf : (r)/ - (x)/ : /v
"(v
;rinurJoJ ar.orolla; zr
ud'g : @)lt,
a[ upuo 'p{?s1 r?uJEUorJ?]s
y
IpAIS
af
uiry
"u.terJsqe LulDryoI Dueu V ?Wry n (ur,''"''r,r){ : z otroqunt
'(0'"''0'a)l(rp""'!zn'{)'rt:[s)??souparaouzDrrzuryuzrt!,u'aru(v)i"polv't
nhaty.tn{
r(0'"''0'a)
ltunutstlmu
l,ulDUo!
V
I ?tp""tzn'p'rtyt)
?tt?D?
n atur, (11,r,'"''r:r:){
otlorts Dz
:
z
0 > ff){"p of o:ly
.6
:utntu'tur,ut, xu4oqol V ?!t?rl n n'Lur, (u:r:'"''r;r)t : z
ottt:1un!'(0'"''0'0 * ?rp'"'tz$7)'rrp) o:l,orts az 11 1(V)!"p )[ o,4v 'L
'(o'"''o'o)
I {"t,p""'zrp't:t:p) oz o: (v)lp 'h '(u:r:"" t : z ahaqun{ Dqrnl Du,.tDLLol,)
-rls qO ) lur,'"''tn)V ? (U'6,).;) ) I 'zZ rz",n')
',y ) q at, vryg u'9 euraroo;,
'a{?el
auJeuorcels ouraloz 'r1nu rxeupal epar
(ur,'"''Lr)!:
8o,r.rd tpo.tzr
iuirloled
r,r.s
ns eurrfo1 rr
zalnlutr;aupqelnuarayrprlsou?siugaprlseiqoa>1pe1 atuqerlnug
(O'O) iryer n ualls{e Iulel{ol
uueu (/i' :r) I : z t[rc>1ur.; I?p rpals g f fi' (fi' g)
tsttrs{?Bl n 0 > /V t O * t'(A':r) eure:12t1
n 0 < ly Soqz - ,:t: : (O'O)l - (ft'r)!
: (O'O)/V I 'C"fi: (O'O)l af o4e4 ,u1slg
'olpos g (l{?ql lou[o^r.ard uoSoleue)
e>I?BI Elselpes al (O'O) qlel" 'tuertrs{a rutt:{
-ol erxeu tsuo D{?ts1 lot n ite '(O'0)O r{?el n rlnu
r>luupat ns rlol {iV'(n{lp rpr,r.) qraod
>1ger8 rirp 'rfi
,:t:
-
: # 'nZ: }$ epo,tzr trur
',r21
ntselpos
-
ull,telspard
z elnrlung Z'g rarulJd
'etrulun; qp[qtsf
-IruaJaJ{p
uralls{e Iuir{ol
"z ^olsn
urqa"rlod ouus afep €tueJoal eupoq}ard
2) ima rninirnum za rt3) nema
l)
ekstrema
s2
za rt-
> 0 ir >
s2
0
(, > 0),
<0,
potrebna su dalja isp,itiuanja
za rt -
s2
:0,
gde je
r:
Primer 6.3
s: fln(t:o,Ua), t: l[,|:o,yo).
f!,(r:1y,yo),
Naei ekstremne vrednosti funkcije
z:
itr3
+,1,3
(1)
2t:y
-:rz -
-
112.
Koordinate stacionarnih tadaka nalazimo re5avaju6i sistem
#
# :
B,t:z
-
2t:
- 2y:
o
- 2t'- 2Y:0,
tj 3@ * y) : t:2 : !/2, odakle je :r : ty ili t: : -y,
je3lt2 - 4t::0 e r::0Vr:
.Za.n - y
f , pa imamo stacionarne tadke
A(1, { i O(0,0), Za r : -y je Jt:z: 0, rj op"i se dobija tadka O.
Kako je {rl - a* -2 d;
- 6y _ 2, #fr: -2. to je
022. .. ^
022. .
02;
,' :
6, t:
6, .5 :
2
-
ffit.tl -
3Y2
ffitol --
ffital:
=+ rt
s2:
J2 >
r).
pa u tadki,4 funkcija z : z(r,g) ima ekstrem, zmin: z(0,0) : 0 i to je
rninimum jer je r > 0 (f > 0).
u radki o ,ie rt *.r, fi1olffito) - (#fr(a))' 0, pa posmatramo
priraStaj u okolini taike O:
:
L.z : z(Ar. Ay) -
:
:
:
Kako je L,z
:
:
z (C,
0)
- (A"), - 2A,rAy - (Ail,
* Ay)((Ar), - L:tAy + (As)r) * (Ar + As)2
(Ar + Ae)((Ao)'? - LaAy + (Ay), - Ac - Ae).
(Au)n + (Ac)3
(Ac
0 za tadke (A;r,
nije ekstrern.
-Ar)
iz bilo koje okoline tadke O, to O(0,0)
n
iD-i*-^i iiiiui
a,/.
r t ..
e
^l--r-^--^.-.--,r.--,'
u,=A l\t^A:
rroLr EA5L|s|,ils
vrtruilu5Lt trlilKLUe a -_ J' !J-\tl _- X _ y).
Stacionarne talke funkcije naeiiemo re5avajudi sistem jednadina:
r2y2(t2-4t:*3y) : 0
'*3y(8-2:r-3y) : 0'
Reseuje ovog sistema
je
R:
{(0,s)ly e R}[J{(*,0)lr:
e.
R}Ui(2,3)}.
stacionarne ta[ke su ta[ke koordinatnih osa i tadka P(2,1).
186
Znadi
L8t
* fi* t: -y)7-r zv, #
.
O : (r-) (z
o : (t-) . (z - fi -'t: - y)71- fi1
H
O:(r-).(z-fi-:r:-y)7+:rZ W
euqeupal ?ualsrs zI
'
r@
- n -';r; - V) t
",
+ r[i+
-:r;
:
n
efir>1un; !lsoupar^ auurarlsla l?eN
-
'IiiaJls{a e-urau
ru ruflrc>pny
y H?"] n ed'(y)rr.
g"g rorir,rrd
po l?soupar^ alu,:u r a?al r srrrr rl
efrrlun; y a{?s} Iulo}io n ep orurpi,r'r(.r:p) : (0'0 ",r:p-)'n, 'r(;rp) : (g'g"tlSt)rt
c: {0'6'g)n - {V)"al o{ey'0: (y)ru"p a! (o'o'o) I (o'6'rp) - (z1t'r".p'r,yt)
(V)"rp 1efnriala;rp r8nrp ourpi,n otrF oBX
rB.rurd ez i1u 'uelrle8au alru
"pq1u
'zzP1,
:
+
"fi'PZ
'ouo{o)'i;"if,
;r;;:y'".},IxT.')i),*^,,ffi:(v),"p
t7: zl,rt 'g -
zf,'n
t
z7
-: +
"fi
'Z: ulft '0 -'f;n 'g:
-
:
rir:g
o1
:
al
Haqr n efrc4uny 0
''
-fir.t
- t
( r\9-!1.
uo -\drW-+
-
('7o-
,"e -'
-:l--L:
Ipals
nf,n ':r:g: *f'n
zl '(0'0'0)F' e{Qet ?urBuoI?"JS eupaf a[
*,TL
fl1t t
',rL 'fiy
(;'Z)d
tofirt
rg
:
t r.z: (z'ft'r)rt aho>1un1 llsoupet^ auLuatlsla
rrnrrrrs{prrr Burl
c
'-:-
<
zl''
--!-
.rt,-_
:
oley
l?eN g.g rarnrrd
z^('
'(o>+)o>'r
-i.l et' oley
'
r,\zr!-,,
o qT'
-
z-A
a\'
at. (f;,2)d p{?tsT o
olsl 'uraJls{e
'aso-r Eurts{?sl n ru uaJtrs{a eurau e[rc>pn; 'o1e1
-.. .::,'r-[ €urm{?r?l n efn4uny '>leuzperd eluaru fiy- o!ur^?Js r;V o]saun o{B
I -' -.rV -V)"(ftg+t'i)r(a;g) - (fi'g)z-(fig+{i':t:g+0)z elrrzer oluy
utfio -lio -ro
0: ;+ - :+- tsso lltuluutproo{ PIu€)l)Pl rut.rs n a[ ed
=zQ'zQ
'eQ
- -;i-
rz)fi,x
=':!! ,(rs-, -fl,,,4:49 .Ui-rz-b').fi,,s-tr:O
ns rpolzr ulelrtred
r8ug
dobijamo x: :'!j : z :
stacionarna tadka 7(1,1,
4-
n
-
A
- z,odakle sledi r :
?/
l). Drugi parcijalni izvodi su
02u 02u 02u *' 02u 02u
- t)F - 67 - a"aa - ara, -
dA
02rt
daa"
: z : l,
pa je
- "'
Drugi totalni diferencijal u tadki 7 je
d2u(T)
:
:
:
4dr2
*
4dy2
*
4d,22
*
4dadz
*
4dndy
*
4d,ydz
*2dad,y+daz)+2(dr2 +2drd.z* dz2) +2(dy2 *2dydz+
2((da + dy)2 + (dn * dz)2 + (dy + a)2) > o.
2(da2
dz2)
Ileba pokazati da je d2u(T) > 0, tj. da ne moZe biti dzu\T): 0. Pretpostavimo suprotno. Tada imamo
d2u(T) =
g <+ dr'i- dg :A
* dz =0Ady* d.z :
^.dr -da A -dr - dt :0
s dy : -d, A d.z:
+ dr = d,y = dz:0
+ dx,2 + dg2 * dz2 :0
Sto .ie u kontradikciji sa
u,*,n(T') :4.
d,t:z
+
d,y2
+
rl,z2
I
A
0. Prema tome, r),?u,(T) ) 0, pa je
D
Napomena.
Sve Sto smo dosad rekli odnosilo se na tzy. unutra5nje lokalne
ekstreme. No pri odredivanju apsolutnih ekstrema (najveiih i najmanjih vrednosti funkcije) sern unutrainjih stacionarnih tadaka ispitivati i tadke sa ruba
domena date funkcije. Te funkcije 6e na rubu morati zadovoljavati odredene
uslove, a sa tim je usko povezan i postupak tralenja uslovnog ekstrema. Zgodno
je napomenuti da ako je domen funkcije zatvoren i ograniden skup, neprekidna
funkcija nad njim ima maksimum i minimum (bilo u unutra5njosti, bilo na rubu
domena).
Primer 6.7 Nae i ekstremne vrednosti funkcije z : n2y(2 -- t: - g) na skupu
7 : {(:r.y)10 <.r,.0 S 3/ < 6 - r:}
Posmatrajrno unutra5nje tadke trougia
oz
-dr -
4"U
-
3r'A
-
2rA'
7
(dakle x,,y
: cA$- 3o -
f
2A)
0). lz
:
A,
i)z
: 2" -'3 - 2"a t 2Y) = g'
"2(2 - sistem 4 - 3r - 2a : 0, 2 - n - 2U : 0 Iije je re$enje stacionarna
4,\
A(1 i \ c ?- Ioa
dobijamo
t.tV.
l(",
,\..:,,r., _
-
! r, rz
: 022. - -r,3 t - 022 - l, s: 022
*\A)
6,16r@) -2.
W\A)
odakle je rt - sz : 2) 0, pa zbog r ( 0 u,4 funkcija z ima lokaini maksimurn
r
_
am,o):
_1 a,
-
188
{ut'"''r:
68r
'u1?z?Jdarr
?'0: (ur,'"'tex:!tx:)t$lq ) (urt"''ar'r:t:): Xi :
g,dn4s
a1 ep
ourt,telsodla;4 torq u€Jrs{U u > lu af ap8 'ru t"' IZLI: ? 'Ui <- g : ',ch elrlluny
6. ndnls su Bupsrrrgap A <- O: / efio4un; elep a[r,qag
I oe,>{'Z
i u',,}f )
'PIIII.^,OISN uIIU
-?€pop rxr{au au?zal auo ns ga,t 'almyunl rlsorJtsruqep rls,elqo n nfsfuaru as ep
oupoqols nSour au a,r.rfluaurord ausiAezau BLL{eJ}sIa nluuerparpo rrd ep eftrunlrs
a?our es ?ur?u '!oNJ r{r.trliuaurord qruleeJ aqr.,r ufp1uny r{rulgal r]sou
1
illteiod
-parl qrrrruarls:1a eflue,r.tpalpo urouralqo-rd es rlars
as ours
nlap uroupoqlard
i1
rurarls{a ruEza^ z'g
'Z-
'--*1t11u?
t: z
lw
'r(Z+t'i)
-
"(l
- t:)
gZ,L
*g: z
et AW \ ?'8:
nl,rlrluny
nfnlun;
ez
touZ al IJN n
(7,._'z_,t)7,N
ez (g'Z-'t)tq
:aIQsl
aur"Ilorct?Js a,\p r ourr?rrrr ud 'r(Z+ fi,) ,tt -:r),_SL[ + I - z atrc4ury a,r.p
auapaJpo(6)esnsa1gZ:.([email protected]]uaI?AI]u1a(3)afo1ey
'Z-:fi+-0-12 '1:.t e0: l:
,t-7-
?,+fi
'olt-z
tg
-
zpg
-
'
fia ,t
*
z
I-;r
t-z
ftp(z
f,'py
+
x:pz
fi) +:r'p(1
-
zpz1,
-{z
-
:r:)
-:
z'[)
a[
-t ftpftT +
a1>1epo
:(pit:?,
ouet'rqop errrpeiipat alep ua[ueri]uaJaJrg
@
:
0
TI
*
zg
fiy 1 .,r:7 -z
-
a
,,fi -S -:r:
es ouy:r1dur alepez z afitluny llsoupa.l^ auuiatlsla l?eN
g.g rourrrd
O '(Z'tr) l4Eqf n z aftr1un; urnurlulul r alol e'BZT-- - [email protected] urnurlulu oulelllr
(O < gf : lV),,6at-rat) folo>1 n'f : ir e>l?"1 tsursuoltqls a[zp ouruur [ ( rBoqz
(.rg - '&ZI)t - : (ri) ,6 zr 'a,trflluaruord aulear aupal 6 nlrcluny v,z erJ ,
e '6
:
,,:r:p7
* {rV : (e;)d : (:r - g' :t) t : z eluupel al e[n4un; fi I t:' (tr:
-g,r) a42e1 auqnr
EZ '0 e>{Errpat a[ airaryrn; lsoupar^ 0 - /X III 0 : e; af ap8 eura12e1 n nqnr BN
Kalemo dafunkcija
z:
f(t:1,!12,...,!Ln) utadkinagomilavanjaA(a,1,0,2,...,e.n)
€ B skupa B ima vezani (uslovui) lokalni maksimum (vezani (uslovni)
lokalni minimum) pri uslovima
9t(r1,n2"",:Ln):
ako postoji ri
0,
"', I*(:tt,1;2, '.',frn)
> 0 tako da za svako X e B n (L(A,
d)
:0,
\ {,4})
vazi
f(x)<f(A) (/(x) > f(AD.
Vezane (uslovne) lokalne mii maksimurne jednirn imeIiom zovemo vezani (uslovni) lokalni ekstremi. Kao i kod lokalnih
ekstrema neki autori umesto strogih
nejednakosti ( i ) uzimaju nejednakosti < i >, a kada stoje stroge
nejednakosti te vezane eksLreme na-
nimume
zivaju strogi yezal.ri lokaini ekstremi.
t x
,gl.t-ti=i]
Posmatrajmo sada funkciju dve prornenljive z - i\i,y) definisanu nad
oirlasti D C IR2, kao i funkciju rp definisanu nad isiim skupom. Neka funkci.ja ./
ima neprekidne parcijalne izvode drugog reda nad D i neka je cp diferenciiabilna
funkcija nad D.
ThaZi se ekstremna vrednost, funkcije z : l@,y) uz uslov g(r,11) :0,
tj. vezani ekstrem. Jednadina p(y,u) : 0 u IR3 predstavlja cilindridnu povrs
sa generatrisama paralelnim z-osi. Presek ove povr5i sa povrsi z : f(,t,,y)
predstavlja u opStem sludaju neku krivu u prostom. Problem se svodi na
odrediranje onih tadaka na krivoj u kojima z ima lokalni maksimum iii iokalni
minimum. Na siici, u tadki l, irnarno usiovni lokalni minimum.
Jedan od nadina da se odredi stacionarna tadka vezanog ekstrema je da se
po moguinosti izrazi jedna od promenljivih iz jednadine gU:,ll): 0 (problem
implicitne funkcije) i zarneni u jednadilu 2: f (t:,9). Tada z postaje funkcija
jedne promenijive
i ekstrem se odreduje poznatorn
metodom.
Dnigi metod za odredivanje s'racioilarre tatke je da se diferenciraju i funkcija diji se vezani ekstrem traZi
6,
Diferencijali
d:r.
i
i
uslov. Tako se dobija
- ?!a*
- a.
ox: r !aa,
oy ' !ar,+
o:tt *at,
da
d,y duZ
krive su zavisni (povezani
190
su.
gornjorn jednakosti), pa
(t,)
.0
tf) t
(,rr,.....11uj;u!',,..,2.,t:,ll)*d
:
,0
,(-) :
(rr,t...
t11w,y
tul!... ta{tL$')zc\
(u:t,',., tl+w/r,ut1, t... t?,r t,.,r)l"d)
: u{I1qo eulpeupaf (u
>
uL) l.r;
(1tT!.., !l+uT:u1.1 ,..,'Z:t,1l)t :
(r)
1
qr,trfluaruord u po
Z
e[rr>1un; elup at
r
'urnurluut ulu>lol trur eln4uny (lOOl'fOOt)
0
<
,
Z00B
:
r.(*'P)V
r'(fi'P)7
*
r?lP)7'
:
z
:
ftp
t'i -y
:r: 'g:
{.ft
r:r v,':t'p(fi - t;)7 1 :r'St 'flpfiT i
-
:
ulog
n
"p
:t: aluaqar
rpels
al
airp
:r:)Z
el'4'xrp- : lip al agtpo
z'p
xipx:(
p{??1
r'1t
zI '100T : fi
'0
:erirlenpaf zr ninpa;po es t'i
:
tg
:
z[)
ourelrqop
,r.o1sn
r nfrixirn; r;nfrrrcuara;rg 'ruaJ]$la !;eqv.L! u1?uu iSnrp €u Ep?s ourrp"N
',r.o1sn nle,,r.tfto.r.opez
au a[o1 II€ '200tr003 po I]soiIpaJA qlfuttu
I ?:i: -r; r -:r - z eflr>grng (tOOf 'fOOt) a{?B} IUIIo{o n
o} r a[ ousel
"p
Z0gZ Il 1 a; uo.roisii pod Z00f0Ce uLluz '{rnurlTrlul uutt + -.t' : z
i.r:.i',rr..I rI00I'I00I) H?ts1 n 'al{eg 'runururru ?ulr pl?s} [o1 n'0"fi1v:
,F
'I00I : u el tsp o111lzgleu 0: f zr 01 'VA1? *:r:h --,2 al o>1ey
!
.
'rz ,:,rrs'.r'.rpo
- :
'700800, +
trl'i--\un1 ourelrqop
'!.,;:u1.1
.:
L^.;c^olSn
,.t'i
+
,.:r:
,rtrCg,
: z rr e^olsn zI xi -
: (fi't:)! :
*
pod ,fi
: (t: 71.1n7':t:) t
: /i rgnitrirraureT
,:t:7
Z00Z
'0:
z00z
z aftrluni urarlsla l?eN 6'9 raurrrd
":r:
nraurrrd n o?{ rrrQtsu err ouaqlln[lro; 7 io.tu4 ?u sural?s{e
--i:ri-t:za-r elue4rpu rualqord ? a^rrl uurqeupal 0: (fi'r)d at oqy
rLe
'0
i (n,r')i '0: iofrp,e
ja - h
:
-.r.a.r. .,:.r:'l-:,':rs
',2) aleurp;oo{
i/1
el '0 :
au rpe upa('
nle,te flo.r.opez
el nrueJls{a urorrezal n I
z7t
fip
frp re.
,H
*"
--l- - -.: I - -n
- Ji ttpt:=*.
Io'- -'
# in
'n / --
"
elrqop aur2errpat a8nrp zr fi'yt 'tduurouaurez
as
TlaZimo ekstremnu vrednost funkcije (3) uz uslove (4), odnosno vezani ekstrem.
Ved smo naveli dva metoda za za odredivanje stacionarnih tadaka kod funkcija dve promenljive. Ponovimo ih za sludaj funkcija vi5e realnih promenljivih.
Akoseiz sistema jednadina (4) moguizraziti:r:ttll.2
iI:1 :
:x2 :
j,...r-
preko !1a1r1.....lnnl
gt{n*+t, ..',frn),
gz(r^+t,...,fin),
(5)
9*{r^*r- ..',rn),
.bm
onda zamenom promenljivih:t1 ,xiz,...,t:* iz (5) u (3) imamo
...,r,r),gz(D,n+t,.,.,r n)t...,grn(arnyr,.,.rfrrr),fra11 ,.,.,:D71). (6)
": f kr(.Drn+t,
Sada se pitanje vezanog ekstrerna funkcije (3) uz uslove (4) svodi na odredivanje lokalnog ekstrema funkcije (6) od n - rTL promenljivih.
Ovako se moZe raditi kada je moguie i lako odrediti funkcije gr,gz,...,gm.
Drugi nadin je da iskoristimo dinjenicu da u stacionarnoj tadki mora biti
df
:6,
,!
f.i.
u,r,1
O.I:1
la*rr
Ot:2
...
+
ll
dL:*
u.,'^
a.f
| OLtnrT
^ -rl:t'**r *
...
ol
:0
* ;L4:r"
OJ:ru
(7\
za svako (d.q.d,t:2,...,d:rn). Kako su th:1, dt2, ..,, dr:n povezani relacijama:
dvt
ffrtt:*
+ ... + ffid,r,n:
g,
(5)
(l,e* :
koje slede iz uslova, nisu svi nezavisni. Ovo je sistem linearnih jednadina po
C,:11, rllr:2, ..., d:rn. Ako je determinanta formirana od koeficijen ata tz d;q, dtt:2, ...,
d;r^ razli(ita od nule, onda je sistem 8) odretlen, tj. dt:1,t1,:r2,...,dr^ se mogu
izraziti preko rJ:r.rr11 , ...,d,r., pa vraianjem u (7), dobijamo
a1d,:I:-y1
*
a2tl,t:*42
+... + an-*d,nn: Q.
(9)
Kako su d:tn +1,...,d,rn. rtezavisne velidine. to (9) rnora hiti za,dovohenn z,^.
svako dz:m 1,...,t1:[n, te je a1 : 0, o2 : 0, ..., (tn-m:0.$to zajedno sa
sistemom (4) odreduje n jednadina sa ?? nepoznatih iz kojih moZemo odrediti
koordinate stacionarnih tadaka. Na ovaj nadin smo odredili samo potrebne
ttslove za el<strem.
Za odrediranje yezanih ekstrema najde5de se koristi takozvana
grarrZovih dinioca.
t92
metoda La-
(tt)
(gf
)
'lu'"'
'1
f6r
/v
u'dy*y+ "' + t65rty +,fV
(u;!,.-.'rA)1 _ 1ux;t... trx;)r1
- [
'0
.IV
pals uoiuy + "'+ r'$ry i;" :7 ninlunJ
- ('4" "''r'1:\!d, '- (ur""''r:r)ld - fCV
al
'rt.t'"''1
- ( '0: (rl'"''rt)I6
t0:
ez
e.,r.o1sn
"p"I
qr1 z1
\ux)'"''71:)!6
alolsn 1le,ttfto.topez nlttrour ('",!'"' 'rer) r
(ur'"''Iir)
a{?tsI
'(u'{'"''tq)t - (ur,'"''te;)t : tY
(zi)
po {"uz I1ts1rd$ a[ ouqa.rloC BAolsn rlrrrl1o.top altte,r.tparpo ?Z 'rrraJSs>la
Rz aloisn auqarlod orues nlep h '(f) e^olsn zn (g) es auapalpo / aho4uri.J
tutfo;qeu IJ} B^S
E{s?sl qrrrJeuor;}s'}s afue,rrparpo ez our?s a?nls
"po}eur o",ll ("4
'Epolaur
€^p
n.2ourod
''"''I,ri) a{?e}
I
"upoqla.rd
rlezr,>lod as aqoyJ
auruuorc?ls alsr niulrqop uropo]errr urg.toquer8el as
t
o?.ri
rlsl
rt;'"''1:
.f '0
: (u,r'"''rr)ld,
.(.*y,...,ry,r1.. ...,rQ)
'*y'
(ff)
'ey
'ly
t
t
'u'{ " ' zT'
Ir
:
"p
''lu'"''I:
.f '0: ff ,rr1=,*
uIa?sIS al ep or,;t1arurr4
tur2tupaf
(",y t... try itL/(,'..,rr)
E{"?81 qluJeuolo€ls afue,r.rparpo uz '[1
qlleuzodeu :u+,u alue,lrpa;po ez utrr2uupal 1,&+u po
(u,r'"''rt:)lctt'3: (ur'"''t.t\Y
{ru'"''1} > l'{'u'"''T} ) I'0:
7Q
uralsrs alup o1.s '0:,Ip a[ 7 a[ic4un; uroils{e qz holsn uuqa.rlod
'rrlaurued uy j"'Ii:y'ty ns apB
(0I) ,(".r,...rrr) urflil,y1 "{(r.L. '..'.r.x)Ta1y*(..r'..',rr'){:
:eVuv.
(uryr."'rytz,,...,rr",,
t?ul nfnlun;',t21'nira>pny mrqourod
oureJrrrrJod
'r.u 8ue; grur
I.rC 'l
r ".cP
| =rva
T.?
l':l
IL -i7A
"*o
e
r.r'o
I
i
17-1i J
€rlrJtsru rurlo{o io1 rr ai tsp oue?r^s1sod1ar4 'urar}s{e ruloisn rupfroualod a[
eiol ('t'"''rt)V a{?"} ru11o{o t'o4au n rpa.r So8nrp r 8o,rrd epolzr aupr>ia.rdau
nfeur ('a;'"''t:r:)o\ a[o>1un; r ou>1 ("r""'t:tt)! e[n1un; ep ouri,,re1sod1ar4
ie funkcija f (rr,...,r,) imati vezani ekstrem, uz uslove (4), u
tadki ,{(r1, ...,frn) ako u okolini te tadke A,L ima stalan znak i to minimum za
A, > 0, a maksimum za L,L < 0.
Kako je d,L(A): 0, to je iz Tejloroye formule
Lz Qa) sledi da
4^r: f;a;r(-4)+
gde
je
Znaju6i da je
.R3 beskonaino mala velidina.
d,2L(A)
:
(fi,1,r,,
Fa,
+ firt,r2+
...
+ firtr:,")ZL(A)
f i ,,,'* (A\rrr,rr,t:,.
fr 7='orior) \
J
imatro
ar: *ii
' z=l i=t
#*tovrart:ri*R3.
v't'Lv*J
(1b)
Uledufim, d:r1,dr2,...,d,1:*,...,d,l:n nisu nezavisni ved zadovoljavaju (8) odakle
dr1,dr2,...,d:r:* pomodu dt:*11,...,d1:.. Vratimo li tako dobijene vrednosti u (15), L,L te biti funkcija od tl,r^41,...,th:,. Od znaka Atr
6e zavisiti da li ie funkcija tr, odnosno /, imati u -4 ekstrem ili ne.
se mogu izvaz\ti
Kada pomoiu drugog diferencijala LagranZove funkcije l, proveravamo da li
stacionarna tadka -4 ekstrem ili ne, kao i koja je vrsta ekstrema, nije potrebno
traZiti druge parcijalne izvode po LagranZovirn diniocima.
Tako, ako traZimo ekstrerne funkcije u,: f (r,y,z) pod usiovom g(t,,y,z) :
0, tada.ie
,je
d2
L(A) :
Li"@)(dr)2 + L;a@)@y)2 + L'i,(A)(dz)2
+2 L': y (A) da da + 2 Ll, (A) dr d z + 2 Ltj,(A) dr d z.
zaLagranlovu funkciju L(:t,y,2,,\)
Kako je
L: f *
)rp. tada je
: l(*,lJ,z) + ),gQ:,y,2).
L": f: + tp',, L'o : f', + \pL, L'" : f', * \?',, L'x: g,
L'i, = f!,* * )v'1,, L'Jo = l'Jo + lp'|, L'!, = f',!. * \,p'!,, L'J, : f'jo * )g']n,
L'1": fl, * \9'1", L,l, : il, ! ip,i,, L,lx: p,*, Lil : 9,0, L'!s: p,,,l,i.r : 0,
pa je za stacionarnu tadku ,4(16,1)o,zo):
d2 L{A) = L':,(A)(.(1*)2 + L',;s(A)(dfi2
qrlt t A\)^)-tntlt
/ a\r
/r\J-J-,nrll
;Ltz\tt)aiaaT.ugz\^)ulaz-T4Da\\^)u:LtLA-f
+r'i.1A162)2
+t
'i^{A)(d^)2 +2L',Ju(A)d:rd,y*
t\.natt
/ t\,
r\ inrll
ZLy^\,A)U',ga^+zl,zA\
/.\',\
)uzal:
Lr,\4)
(dr)2 + L'lr(A)(dy)2 +t'!,(A)(d,z)2 +a+zLiv(A)drd.y+2L'|,(A)drdz+2L'j"(A)rlsd.z*
2(L';/A) dz + Li x(a)du +
L':
^(A)dz)d^.
No, kako je L'i{A)dr+ L':^(A)dz+ L'J^@)a,
[email protected] :0, sledi tvrderje.
:
9',{A)dt*v'o(A)d,y+p',(A)dz
Primer 6.10 Na6i ekstremnu vrednost funkcije z: *3 *y3 -t:2 -zxy--1J2
uslov 13 + y3 + 16 : 0.
t94
:
uz
^o!sn
zn t'h
"Z
\;
u -.
s6r
|7
.'
''"*.
r - rha
YQ
7u
0 : tn:ya(.fi+r)7 #
0 : z$Y +r +27, #
0 : zfiy+fi.+zf, #
':uralsrs t?n[EAEQar otutsflqop a]i?€1 aur?uol?I?ls )iop
zt'ir)Y
* fh a z(fi + x:)Z: (Y'z't'i"r:)7
al e[n1un; eAoqul]J3rl-{
'g
1 z(ft )- r)7
:
<:'li',r' 'i -
zfi.r:
r, afolunj llsouPat^ auuallsla lieN TI'9 raurlrd
tr 'T,t- : u|*z \ evrlrurrultrr ts){?p} try al ud'0 < lW)I r:tt '\'lvuz '0 : fitp 1
: fi.:yt -- xrp v,pp\ al rat atro>lrper1rlo{ op {po^op A : OV)'l z:i, i?p otulleul.Id
:t:'p
/.\-
(tt)l ,r
'1"nru+
zx'PZ+ ,(frc - "r))z: ,fiP9+nt)n:Pt - z,Pg =
I?P,^ (3- : y) ,tr n{?Pt ?Z
,.r0
,fi.e
erQ
xC :
'z- : --j:---il'nyg-Z:
fig
-:-::-'r'Yg+Z*
'l
"
I{
-'l z.Q :apo.rzr
?Q
arrlr:lruud a8nrp ouap"u €p tqarl '/{ ptQel lt 'l ?,p 1et}z iilpJrpo olustcl ?(I
'Q 'Z)lN otx?s s)i?ts1 tuJeuols?ls af up o>1e1 'n[rr4rpe.t1tro-"1 ourefi<io1r
iado ed 'fi- - r lpals (91) erualsrs arrrleupal alrd zi aporiEl I- : Y BZ
?xt"
or'o
'r
g -r
(nar);-t' - ?f ep oruefrqop '(91) turalqs nuiptupaf n'ttd it aluaqar
rQArls.Ltrfl '(Z-iZ-) : (fi,':t) afuaqal outftqop 91* - ,fi.+rtt: zr li : :t: u7 'ntD}Ilp
z1
-E.I1uo{ otu?url 91-: ,fi+ ,:t: n urouauls [i-:.tt u'7'liT :.{ Ipals ,,{i ":r;
gl__nfi-lo,u
gl_:,,fi+*,,
,
: ri: ^" O: (V+ t)(rrii- :
fr
y t,, rfi
"")r:
rpals euIQ?upa[ a,tp a.r.rd tualuerulznPo e8a2 zt
'o
9l * ,'f + ,,:'
o = @1t:)7-(v+t).6e
0 : $+t)z-(y+t).,,9
(rt)
ourelrt1op I uralsls IlEp oruaqlurJoJsti?{
'0
9l*.6+r'c
0 *
"fiYt:+fi7-t7-rfig
0 : aoyg+fr.X-17-rtg
(gf)
#
H
#
eurqeupal rua?sls r;n[t.te;ar oureftqop a{?"} auruuol)€1S
"(St
+.n*.;r)v + zft-fl;r:7- r,:t:
rt'i+
r:t;: {y'fi':r:}1
nftr{unJ mrTorrrod orufe;rurog
Ako izrazimo ) iz prve tri jednadine, izjednalavanjem dobijamo :r : y j,J: :22,
a odatle zamenom u poslednju jednalinu sistema dobijamo stacionarnu tadku
A(L,l,l) za >,: -4. Kako su drugi parcijalni izvodi:
o2L a2L azL
a"'- W - $P -"'
a2L _1,\_
azL _o,,
a2L
}-aa: 7 * Az' ar}r= 2* AY' Aaa":2* Ar'
to je drugi totalni diferencijal u ta[ki A (^: -4) dat sa
(18)
- 4tt,yd'2.
Diferenciranjem uslova dobijamo yzd,r*:r:zd4y * ryd,z : 0 Sto za u tadku ,4 daje
|rl,t:+ lrlu * d.z:0, odnosno 4,2: -|(dx+ dy). Zamenom u (18), imamo
& L(A) : -2dt:dy * 2d,r(d,:r + d,y) + 2dy(d,r + rtay)
d'zLU): -2d,ray -
2d,u2
Adrd,z
+2d:rd,y*2d4f
+idtf
za (d,r, dry) * {0,0), tako da je u*i*(A) : 3.
2(rt,r+*ad,
Primer 6.12
z
-:L: l. p
>0,
tr
Odrediti ekstremne vrednosti funkcije u,
.;t:z --
: * y * z2 pod uslovima
:r:
1.
Pomoina funkci.ja.ie
* ),(z - 1x - L) + p,(A * rz * L).
tadku ^9(*1, 1,0) i ,\ : l, p : -l dobi.iamo re5ava,iuii
L(t:,'y, z, \)
Stacionarnu
jednaEina:
:
ft + y + z
L-A-p,z
*
aL :
oa
o
l ttt
Ltt'
:
0
: 2z*A-P,:r :
$,
AL1
o
Ef
#
L-&-L
0
y-t:z-l
0.
Drugi parcijalni izvodi su
02L 02L A2L
a,' - af - 5ro, Dmgi totalni diferencijal u tadki
d2
Diferenciramo uslov z
* tr :
,S
02[
je
LG) :2rl,z2
1
i
Azf
"' 57 - o' a*a, - -t'"
*
2d,xd,z'
dobijamo
d,z-d,t,:A,
196
sistem
ai ollapod Souleurproo4 op afue folset ouafu orisoupo 'Brumururur u1qe1
'o <
"(z?)z
+ z(f"p)zt + ,(:rp,\zt
: (I
zoftrs
zoxo
fioto
0: 'i i': -l-:'tzu - --:---:'tze
'1
6
7U
'0't)t"
:
U:P
y af
a1
(y)r
"'tt
n{??J nrrr?uorf,€}s ?z el uprg
-?o
-fio
- -----:
'tz{/ (6 -r 6 =
'1.u \6 -r 6: ------r
-.t:o
'12.u
-
:?poA
-zr a?apals rguu a[ oul1o,top Buru>{?e1 urrrrJtuorJ?ls I rI?,{) ofue,twnpe;zr z7
'elir>ir1.rer1uo{
'0
:
:
af
o?F'A
irf
rfi+ r:t:'1- : z'0 - rl al r,- - y ey
Z
l+
'(/9 '6S- '6 '0 't)
: (rl'y'z'fi,':t) a[1€po r, lg: rl -y-g] 'g -=ri7+yg+ t'6: z el ,t:::i:eZ
'(t
-- 'g
'I 'c 'I )
- (rl 'y'z'fi':r:) altr"po ? ,0 : rl
Z,'0: rlT,]-y * T ,I : z al 1: t: vy
-y
.g : :r
A1 - a; <+0 - t + r:?.- zx a[ aplepo
-rl -y - zZ LA : rlz1r(y -1't)'t- irl - /, 7:r: - z oureurr 16 : /i af oly
.J: y III0 - fl a[ aurpeupal a8nrp zi
s1
'0
0 :
dp
t-z-l:v
'IA
z-r,fi+r:t
YE
.IQ
zo
.J
,,
r,-\-(6
^
r,
-
0
0 -
tl1.+
7Q
ne
ftyT a ti6
+ .r7.
,t:y7
=v
eur?3i{
-pai uralsrs orrrehqop 'urolnu es aio>1uny a.\o opc;\zr arrlelnred rTniatalerrpatzl
'(Z-, -r:p)rl +(z - r,fi1"t:)y-l-
",
+
"fi+ ":r::
(y'z,fi,:r:)1
a[ uralqo;c{ [e,ro ez e[n>1un; e,toqrrer8el
c- I z ..tv
eulrlolsn pod'rz -f
|0: za zii: : {z't'i'r)! a[n>1mr; purarls
zir.'
"fi+ ?u
-1a aluu.ltparpo
rpo^s rrralqord as o1 '"2
"fi + ,{i* ,:r:1\ - ((0'0,Ai),(z'fi,:ti1),St
Jl (:'fi',r) r}l:)p} op (0 0 0) qlrroa 8ouleuffio1 aftrufo]ser cl o>1ey
tu.{r2i
e>lla?od Bouleurproo>1 po eual;epn alueiuler.r ousoupo
'asrnfeuaf el'o1
0:g-
z :r?'rfi.y".t.:zil
a^t:)i nl?ell?eN
'0:
0
: :t\trytZ i
1
"t:'PY
:
gl'gJourrJd
(S)"!*rt' oulsull
,:rlSt7: (S)l
I
tpuo a[ ed
"P
'l:',p
zr)
pals
eBap zr
Za stacionarnu tadku B(3,0, 9) je
(P
L(B)
:
-76ktn)z
* z - 3:
-
76Ql,y)z
*
2(d,z)2.
- dz: 0, pa je
L@) : -76(dn)2 - 76(d,y)2 + 2. L6(dn\2 : *44(d,t:)2 - z6(&i2 < o.
Jasno je d,a L(B): 0 ne moZe biti, jer je u tom sludaju dn : d,y : d,z :
Iz drugog uslova 4r
0 diferenciranjem sledi 4d,r
d,2
d,2
Tadka
B je
tadka maksimuma
rt: }r,Ef.,
6.3
i
0.
njeno rastojanje do koordinatnog podetka je
tr
Zad,aci
1. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije
a) ,:*2+(y-l)';
b) ,:(r-s+l)2;
m) z: auln(r2 +y2);
a) z*m:0 u talki (0,1);
n) z: lx -za+
c)
e) ":r2att(6-t-g);
z:14+an -r' -2ry-112:
d)
f) ":rtt+yr-Bry
z:2a4*yn -r' -2y';
r:ry+T+?,
(n,y>0):
h)
z:sinr*cosy*cos(o -a),n,ye [0,f];
c)
i) z: c2t+xu(B:12 -Oay *Zy2); j) ,: 12 + ny * y2 * 4lnr - 10lny;
k) z: I l) z : sinzsinysin(r * y), r,y e l0,rl:
^pW:
b) ,^nn:0 (nijestrogi
*h(c2
minimum) u tadkamaprave
-q- a2)
+larctg.{-.
r-y*l:A;
c) z*o*: 108 u tadki (2, 3) i minimum zmin :0 koji nije strogi u tadkama
(2,y),0 <y < 6, kao i nestrogi maksimum zmar:0 u tadkama (Q,li,y e
(-*,0)
U (6, oc);
,*rn: -1 u tadki (1,1);
e) z*m: -2 u tadkama (-1, -1), (1, l), a nema ga za r :0
d)
ili
3y
:
0 (nije
funkcija definisana);
[) z*o,:0
tadkama (0. +1)
8) z*rn:30
z*an: -B u tadkama (++.*l),
i sedlo z: * I u tadkama (*i,0);
u tatki (0,0),
sed]o
z: -l
u
u taEki (5,2);
f.,/3 -.
Yr-! /tr r\
ll .t,a(;nl
\3r 6./i
- -T,*nn:0 u tadki (0,0), sedlo
L\
tr) .fnar
i)
,: #
u tatki
(*1,-i);
i) ,^a: 7 - 10In20 u tadki (1,2);
k)
"*o*: :*1 u tadki (0,0).
1) ,*rn:
u talki (5, 5);
m) z^rn : -;; u tadkama (*h,*h),zmas : -$ u tadkamu (*h,+h),
nema ekstrema u stacionarnirn tadkama (0,
198
t1) i (t1,0);
661
.(+,*,+)
l(I'i't)
V
HQ"t n
I{?"1 n
.91 ,gy' t .,9t
'\,/91
r
I
z ) \ I '+ '+ -) '(+ 'T - 'T -) "uI"{?B}
,91 ,91 t,,9/ ,L^
\19/
T I Z ') \ t (, - 'Y)'(Y-'Y'T) e,,'li?€? n
:(g';'g)
t(?.'?.- '?) qrnr
Tt
g:
aDwTL (:-'B't-)
I
i{?e}
9" :
""*rt
Z:,"*rt
(1
(a
L! - 'o*,
- u?u,L (P
1Y
-!- :
n
o(*)
g- :
ptpnt n
:(f 'f ) p{?€t n l
rDu'TL (o
u.,u'n (q
:'"*n
(e
'0 1z'fi'r'f;
-z +fi+e;^olsn zn'zrrrsliursfi{rr>-:ru (l
1(0
r'fi':r:)7: z fi'7:
nolsn zn'zfiafit::rt
(a
<
*
*
re;
lg : z f fi -y:t:'1: zz"fi+
zn 'zfi:t:: rt (p
+ ,,:r:
^olsn
"fi
:(+N 'D 'O z'ft'r) n : zt+ fiz+.rj
zn'rz-fit::rt (o
)
<
^olsn
lL7
*
- :r; : rt (q
zn'fit: : rt (e
:I -
V
cz
*
,ft +
6e,'
(.
1
u:rL"'
zn '27
fi,+ r
:I:^olsn
Aolsn
a[rr1un1 rlsoLrPer^ auu.re]lsla l]lPalPo ',
rou,ll
z (e,1*.r)
c
7Tf;:7'
.(21 u_-zu ;...tL-u]z,u t?,'u_lzu
'A
L
t\'LtZ1''tr '(u't:u
l IIf,B,i n
Tt:Z
airr>1un1
- rr -
t):J*"'3*21:rit:
:
rL
llsoupar^ euuarlsla JllparpO
t
.QL,l,u) (0,0,0)
T
V
:(f 'f 'f ) p{?"? n V -: u?*n (q
l(8'Z-'l*)
t-{?et n
t1- -
u?u1"rl (P
[r'o] 1 z'fi'u'(z a fi 1 z)urs - ztrrs 1/iurs f irrrrr^:'n (:
'.g< z,fi,:r:,; *
* +fr +;r: -n (q
- fw -y :r:7, I zz * zfi-l- ,!L : rL (e
:zg
afrolunl tlsoupar^ auwallsla lilpa.lpg
,(t
V
't)
trper n
+ +- Zull + t- :
'Z
z olpag (u
Download

IZŽS - casovi novi sad