Lagrange enterpolasyon
Lagrange enterpolasyon
yontemi Newton Enperpolasyon
ifadelerinin
II I ir sekilde formtile edilmesinden ibarettir. Bu sekildeki ifadede sonlu fark
rlcrinin hesaplanmasma gerek duyulmamaktadir. Lagrange enterpolasyon
1 I'i ushnda bir enterpolasyon islerninden ziyade egri uydurma islemi olarak
IIIIIIUIS!daha anlamli olabilir. Bu yontemin iyi anlasilmasi icin Lagrange
I ulusyon ifadesinin genel bicimini yazmadan once iki noktadan baslayarak
II \I durrua islemi icin ardmdan nokta sayilan artinlarak daha yuksek
11'11 polinorn uydurrna gostcril ccktir. Daha Once belirtildigi uzere once
1111111 hir dogru vcya gri uydurulur arka mdan bu esitlik tizerinden istenilen
11111111 de crlcri hcsaplnnrr. Hu
I~ntimd nokta say! ina bagh olarak
1111111 dcreccsi de isir, ()1'1l1'
ill (II) ad!
nokta i in uydurulacak bir
1111111 d '1'" 'si (n-I),
dl'1'I'\'I't!I'1I
1IIII'lIk!ll'. A~H rduki Scl il 6. 'de iki
1111 t1111'1i1nll do I'll ill' 11,,' 1l01\1IIYIIlIydlllllllllll~
, ri I'llI'll IIII 'k! '(IiI',
Enterpolasyon
164
-----------------
_
165
Numerik Analiz.
(6.17)
y
Y
g(X)
Y2
YI
YI
(6.18)
g X)
(6.19)
yo
Yo
X-Xo
L. (x) = --"Xl
Xo
X
(b)
(a)
..
. d nokta saylsma gore (a) dogru
~ekil 6.2 Lagrange enterpolasyon YO.nterrn.n e
,
uydurrna (b) egri uydurma l~lerm.
6.4.1 Iki nokta i~iIiLagrange enterpolasyon
.
e ente olasyonun uygulanmaSl durumundil
Iki nokta kullamlarak Lagrang .
rpak
r"nk"
iki noktaYI en iyi bir
. lik d gr-u denklerm olac ttr. yU u
. ,
elde edilecek e~lt
0
_
d nkl
inin katsaY11arlm be1irlemek 1<,:111
dogr-u temsil eder. Bu durumda dogru e k erm
g'dl'lebilir Dogru- denklemin
.
d hareket edere sonuca 1
.
. .
denklermn genel_y;~l~
i~~k (6.13) ~eklinde oldugu bilindiginden bu e~ltlikt k
ge~el'yaplsl a~algt(
e ~ ) a<:ag-ldaki sekilde bulunabilir.
behrslz katsaYl ar Cov
I Y
(6.1.11
y
= g(x) = CO +ctX
_
iki okta bu dogru iizerinde oiacagll1dllll
ifadede kullam1ac ak 1an 1 n
B u gene 1 .1.
_ daki
'tlikler (6.14) ve (6.15) yazllabilir.
bu iki nokta rein asagi
esi
°
(6,\1\)
(6,1 I
YI
(6.20)
Xl -Xo
X
= Co+CIX
Yukandaki
esitlikte kullarulan L. (x) ve L2(x) ifadelerine literattirde
katsayilan
veya Lagrange enterpolasyon
fonksiyonlan
denilir.
tlunan son esitlikte bilinen noktalar yerlerine konuldugunda
bir dogru
nklcrni bulunacagi aciktir. Boylece aranan (x) degeri veya bun a karsihk
I hllccek bir baska degisken verilerek fonksiyonda g(x) degeri hesaplanabilir.
II runge enterpolasyon yonteminde yukanda oldugu gibi iki nokta yerine iic
II duha fazla nokta icin aym islem yapilmak istendiginde bu defa dogru
, Ill' ikinci mertebeden bir egri uydurulmasi gerekecekti.
\I range
lkiden fazla nokta icln Lagrange enterpolasyon
Ik ide'n fazla nokta kullarularak Lagrange enterpolasyonun uygulanmasi
1IIIIIIIIIdaelde edilecek esitlik uygulanan nokta sayisma bagh olarak yuksek
xlcn polinom olacaktir. Bu durumda polinomun belirsiz katsayilanrn
1,1-111 'k icin denklernin genel yapisindan hareket ederek dogru denklerninde
I II lbi sonuca gidilebilir. Baslangicta polinomun 2. Dereceden oldugu yani
III IIYISIl1Ii.i~ oldugu durum icin dogru denklernindeki esitlikleri biraz
1111'1' 'I konuya acikhk kazandmlabilir, ikinci dereceden polinomun genel
I I lI~ll~Jdakj esitlik (6.21) seklinde oldugu bilindiginden bu esitlikteki
I II klltsuYllar(co' ci ve c2) asagidaki sekilde bulunabilir.
1
l
Burada Cove c1 ~ozii1iirse
roziim sonunda belirsiz katsayllar a~agldaki ~cklldl
~
'0
(6.21)
+ CIX + C2x2
bulunurlar.
('lll'l
ifud xlc kull.uulu 'uk ulun Ill,; nokta hu c ri Liz rind
IIdt'll
hu llc noktu i
'jllll.,11
I
1111 Iii 111111111111 11"1'11111 I ulr III) III Iii
I
1111111(\11 II
\' II
I
t'l
Ii
I '"
II
1(1II
I (', rllklcr (, ..•.•u)·
6,
olmasi
,) YIII',IIHbilir.
•
I
Enierpolasyon
164
-----------------------------y
_
(6.17)
Y
g(x)
165
Numerik Anali:
Y2
y,
y,
(6.18)
g x)
Yo
Yo
(6.19)
L] (x)
x
x
Xo
Xl
(a)
Sekil 6.2 Lagrange enterpolasyon yonteminde
uydurma (b) egri uydurma islemi.
X-Xo
= ----'''--
nokta sayisma gore (a) dogru
Yukandaki
esitlikte
kullarulan
(6.20)
-xo
L, (x) ve L2(x)
ifadelerine
literatiirde
III runge
katsayilan
veya Lagrange enterpolasyon
fonksiyonlan
denilir.
son esitlikte bilinen noktalar yerlerine konuldugunda
bir dogru
I nklcmi bulunacagi aciktir. Boylece aranan (x) degeri veya bun a karsihk
I hilecek bir baska degisken verilerek fonksiyonda g(x) degeri hesaplanabilir.
1\ I'11l1geenterpolasyon yonteminde yukanda oldugu gibi iki nokta yerine ii~
II daha fazla nokta icin aym islem yapilmak istendiginde bu defa dogru
1111 ik.inci mertebeden bir egri uydurulmasi gerekecekti.
ulunan
6.4.1 iki nokta icln Lagrange enterpolasyon
iki nokta kullamlarak Lagrange enterpolasyonun uygulanmasi durumundu
elde edilecek esitlik dogru denklemi olacaktir. Cunku iki noktay~ en iyi. ~il'
dogru temsil eder. Bu durumda dogru denkleminin katsayilanru belirlemek '9~"
denklemin genel yapismdan hareket ederek sonuca gidilebilir. Dogru de~emJll
genel yapisi a~agldaki esitlik (6.13) seklinde oldugu bilindiginden bu esitlikt kl
belirsiz katsayilartc., ve c.) asagidaki sekilde bulunabilir.
Y = g(x) = Co
(6.1, )
+C1X
Bu genel ifadede kullamlacak olan iki nokta bu dogru ii.z~rinde olacagmduu
bu iki nokta icin asagidaki esitlikler (6.14) ve (6.15) yazilabilir.
(6.1 \)
(6.1 )
Burada
Co
ve c, ~oziili.irsel coznm sonunda belirsiz katsayilar
asagidaki ~ekildl
I
Ikiden fazla nokta i~in Lagrange enterpolasyon
lkiden fazla nokta kullanilarak Lagrange enterpolasyonun
uygulanmasi
esitlik uygulanan nokta sayisina bagli olarak yiiksek
, "d 'II polinom olacaktir. Bu durumda polinomun belirsiz katsayilanm
1111 '1I1'k icin denklemin genel yapismdan hareket ederek dogru denkleminde
I "gibi sonuca gidilebilir. Baslangicta polinomun 2. Dereceden oldugu yani
III uyrsiru ii~ oldugu durum icin dogru denklemindeki
esitlikleri biraz
I II IlII' 'k konuya acikhk kazandinlabilir. Ikinci dereceden polinomun genel
I lI~n~,daki esitlik (6.21) seklinde oldugu bilindiginden bu esitlikteki
II II klllsayrJar(co' ci ve c2) asagidaki sekilde bulunabilir.
uruuunda elde edilecek
(6.21)
"0
bulunurlar.
II
), I
,
BUl"lldl\
iki
dl,"kl('II1'lklllll
hilinm
Y uli iki
~'(I/,I"H
(\ snklcn
1111'1111
hliIUIl1l1I1kllldll',
1(\ \'(1'1.111 \111111',
1\11 d\\lIkl
Il1f' I' h\lI'11111l~1
hlr
do
ifudcd
kullarulu 'uk olun ll~ noktu bu cgri Liz rinclc olmasi
'HkllbllLI'noklaivinil~il
Idlll<i 'l,illikl'l'
). a)-C),
j ynzrlabilir,
111\1,1
11
IIIMIII
I
II
II 1 ('
I
II
/I'/l.terpolasyon
166
-------------'Numerik
_ 167
Anali:
(6.22b)
(6.22c)
i)rnek 6.6
A~agld~ verilen noktalara Lagrange enterpolasyon
yontemiyle
ego
lIydurarak.p~lillomu~ kats.a~llan11l belirleyiniz. Bulunan egriyi kullanarak (x=7)
\Ill (x=-2) icm (y) degerlenm hesaplaynuz.
Bu ti~ esitlikten katsayilar belirlendikten soma esitlik (6.21)'de yerlerine
konularak
elde edilmek istenen yeni fonksiyon
g(x) asagidaki
sekilde
bulunabilir.
'\~Um :
(6.23)
Esitlik (6.23) Lagrange katsayilan
cinsinden
kisalnlarak
asagidaki
sekilde de
.verilen
nokta sayisi dort(4) adet oldugu icin uydurulacak
yazilabilir.
(6.24)
1.
Bilinen veya verilen noktalar (n) adet olursa ve bulunacak polinom
genellestirilecek olursa, (n) adet Lagrange katsayisi elde edilecektir. 0 halde (n)
adet nokta icin, Lagrange enterpolasyon ifadesi veya bir baska deyisle Lagrang
egri uydurma yontemindeki genel esitlik a~agldaki sekilde yazilabilir.
n-I
g(x)
= 2: L; (x).
(6.25
y;
,
x) =
ifade seklinde
(x-xt)(x-x2)(X-X3)
11
(x, -xl)(XO
=
(x-xO)(X-XI)(X-X2)",(X-Xi-I)(X-Xi+I)",(X-XII-I)
(Xi -XO)(Xi
-XI)(Xi
-X2)",(Xi
-X;_I)(Xi
(6.26)
-Xi+I)···(X;
-x2)(XO
-x3)
(0-1)(0-3)(0-5)
-15
=
(x-xO)(x-x2)(X-X3)
(xl-XO)(XI
=
x(x-3)(x-5)
=
-X2)(XI-X3)
1(1-3)(1-5)
'8
~)()=
Li(x)
= (x-1)(x-3)(x-5)
+23x-15
X3 -9X2
=
;=0
Bu e~itlikteki Lagrange katsayr degerleri Lj(x) daha acik vegenel
asagidaki esitlik (6.26)' da gosterildigi gibi dtizenlenebilir:
polinomun
I I' 'C~I 3.dereceden ola~aktlr.. Bulunacak Lagrange katsayilanrun sayisi ise
I II olacaktir. Bulunacak ifadenin genel sekli asagidaki gibi yazilabilir.
=
(x-xO)(x-x2)(X-X3)
(Xl
-XII_I)
=
-
X'
+ 6X2
-x3)
-XI)(X2
-XO)(X2
-
5x
I
i
I )(
)
I
1)(
, )
I
(x-O)(x-1)(x-5)
(3-0)(3-1)(3-5)
Knrerpolasyon
_
169
Numerik Analiz
168 _---------------
=
40
= -H6Lo
g(x)
Lagrange enterpolasyon yonteminin temel ozelligi verilen butun noktalan
uglamasidir. Lagrange katsayilanna dikkat edilirse bu katsayilann her biri ayn
hlrcr esitlik gibi dusunulup grafiklerle gosterilecek olursa bir noktadan kesin
• .cn diger noktalarda ise sifir noktasmdan gecen bir ozellige sahiptir. Ornegin
ukandaki Ornek 6.3' deki cozulmus Lagrange enterpolasyon ifadesinin acik
Ikli gorulmektedir. Bu esitlikteki her bir terirnin grafigini aym grafik uzerinde
stcrecek olursak asagidaki Sekil 6.4 seklinde bulunur. Bu seklin yukandaki
1I,'lklamaYl dogruladrgi gorulur.
- 3LI.-17
L2
+ 41L3
= Lo(x)·yo + L; (X)'Yl + L2 (X)'Y2 + L3 (X)'Y3
( v) = Lo (x).( -16) + L; (x).( -3) + L2 (x).( -17) + L3 (x).( 41)
(6.27a)
(x)
III
= x3 -
g(x)
x3-9x2+23x-15
.
15
L (x)
x ) = --------
20x+ 16
3
2
x -8x
L (x)
3
I (r)=-----
12
+ 15x
(6.27c)
+3x
(6.27d)
8
I
_x3 +6x2 -5x
~
.
istenen diger iki noktamn degederi
Ornekte verilen tabla degerlen ve
~ daki tabloda gosterilen degeder
bulunan bu e~itlikten hesap~.~acak~?lu.r~~ .~ta~erilen butiin noktalar saglamru~
bulunabilir. Bu tablodan gorulecegl gIll
=
(6.27b)
=
3
2
x -4x
40
( \ ) = x3 - 20x + 16
(6.27e)
durumdadlf.
'l'ablo 6.1 Lagrange enterpolasyonda
degerleri.
Bulunan
yeni fonksiyonun
grafigi mevcut noktalar
icin ~izildiginde
de
grafigi a~agldaki gibi bulunur.
r
80
60
I\.
40
E
-
20
o
-,
-. -, .r-.~/
o
-2
/
/
-lL~
J..o_~
•.w~ ••.•.I1.t\.1
-1
Llx)
0
I
0
0
0
1
Llx)
0
0
0
0
0
1
Llx)
0
0
0
1
g(x)
16
-3
-17
41
cnterpolasyon yonterninde elde edilen polinomun katsayilanm elde
aynca bir calisma gerekmektedir.
Yukandaki
hesaplamalardan
II noktarun erterpolasyon
degerinin bulunmasi icin (x) yerine aramlan
hllllll upsis d geri konularak
dogrudan sonuc elde edilir. Aneak uretilen
""11111111 kutsayilanru elde etmek baslangicta verilen ve belirsiz katsayilar icin
11111 tli'llld m lakllTIJIlIJ1 cozurru; ile mi.imklindi.ir. Verilen nokta sayrsmam+ 1)
II 1I1111'1~ I XI (i=O, I,2, ... n) I v I Yi (i=O, 1,2, ... n)] degerleri bilindigine gore
1IIIIIdI" hili I 'I' yazrlahilir.
II I III ' ;
I
II I
2
x
i
4
6
\in
)
Vii
,(1,(,'(\11
Lo(x)
ve bulunan polinomun
)
-40
I'\H'I
x
0
3
5
-20
-4
katsayilann
Vi'I'llIln
I\okllllll'
I '"I I ,II} 1'\lIPil
11llll'polllH {)II111
I uluunu
~_~_
~OI·IOI··
o
I .. , I
II
\'1\
II
o..•Hu)
170
Numerik Anali;
Enterpo[asyon
_
171
Fori - 1 To n
xii) = InputBox("x degerini gir ")
y(i) = InputBox("y degerini gir ")
Next i
(6.28b)
(6.28c)
T=O
=
(6.28n)
Buradaki esitliklerde (c) degerleri bilinmeyenler katsa~l.lar (x) :e (y)
degerleri ise karsihkh bilinen biiyiikliiklerdir. BoY~ec:e(n+ 1) bilinmeyenli .(~+1)
tane esitlik soz konusu oldugundan rahathkla belirsiz ~~tsaydar bulunabilirler.
Ancak sayi artikca sonuclardaki sapmalar asm olabilir. ~u. denkle~erden
verilen noktalar saglanmasina karsin enterpolasyon degerleri istenen duzeyde
hassas elde edilmeyebilir. Dogrudan ara deger verilerek ist~nilen kar~lbgl
hesaplanmak istenildiginde asagidaki taslak programda venlen alg~ntm~
kullamlarak sonuc ahnabilir. Aynca bu taslak prograrmn program deyimleri
yazilarak asagidaki program 6.1' de verilmistir. Bu programda ve taslak
programda bilinen (n) adet karsihkh (x) ve (y) degeri girilerek aramlan ani
deger esitlik (6.25) - (6.26) kullamlarak elde edilmistir.
INPUTn, xa, [xii), y(i), i= l.n]
/J() i
I OJ
/ (x(i) - xU))
\llIf(I"/lIlf/1(),\("IIIIIII('f1
n
1(/,.1) xii) 1\ (j -1)
,'N/)f)O
N/)f)O
, /.1. Elemetn, a, y, x)
NO
Private Sub Form_Load()
Dim x(20), y(20), a(20) As Sing]
. (/ = VO/(IIIP(I(/)(lx("ArfIl1C11I
= 1, n
= 1,
=
IInJUT [x(i),
Program 6.1 Lagrange enterpolasyon yonteminde ara deger bulma bilgisayru
prograrru(Visual Basic)
Noktayi
Nokt«
:/1'1111,"))
SIIY/,I'I ;"'))
- x(j))
Lagrange enterpolasyon yonterninde uydurulan polinomun katsayrlan
hulunarak oncelikle polinom bulunur soma arkasindan ararulan nokta girilerek
III polinomdaki kar~lhgl elde edilebilir. Bu durumda daha once gosterildigi gibi
nokta sayismca yazilan ve belirsiz katsaytlarl iceren denklem takirru
ulusturularak bu denklem takmu uygun bir dogrusal denklem takrmi cozum
Intemi ile coztilerek katsayilar bulunabilir. Bunun icin yazilan taslak program
IIII \gi asagidaki kutuda verilmistir,
a(i) = 1
DO} = 1, n
IF i <>} THEN a(i)
ENDDO
t t + (y(i) * a(i))
ENDDO
OUTPUT xa, t
* (xa - x(j))
* (xa - x(j)) / (x(i)
Print" Aranan noktanin Degeri : ", T
End Sub
DO i = 1, n
=
/I
If i <> } Then a(i) = a(i)
Next}
T = T + (y(i) * a(i))
Next i
IN/'UT n, [xti), y(i), i=I,n]
I' 0
T=O
= a(i)
=
Fori
1To n
a(i) 1
For} = 1 To n
i=l,n]
Sub Eleme(n, a, b, x)
DO k=1, n-1
DOi=k+1,n
j=a(i,k)la(k,k)
DOj=k+1, n
a(i,j) = a(i,j)-j*a(k,j)
ENDDO
b(i)=b(i)-j*b(k)
ENDDO
ENDDO
x(n) =b(n)1a(n,n)
DO i=n-1,1,-1
t=O
DO j=i+l, n
t= t+a(i,j)*x(j)
ENDDO
.1'( i)=(b( i)-1)Ia( i,i)
!IN! O()
!',Nn WI'II/I'
172
Numerik Anali:
Program 6.2 Lagrange enterpolasyon yonteminde polinom katsayilanni bulmak
icin bilgisayar prograrru(VisuaI Basic)
Private Sub Form_Load()
Dim x(10), y(10), a( 10, 10) As Sing Ie
n = Val(InputBox("Nokta Saytsi ?"))
Show
Fori = I To n
x(i) = InputBox( "x degerini gir ")
y(i) = InputBox("y degerini gir ")
Next i
T=O
For i = 1 To n
For j
1 To n
aii, j) = x(i) 1\ (j - 1)
Print a(i, j); n ";
Nextj:
Print
Next i
Call elemein, a, y, x)
End Sub
=
Public Sub elemein, a, b, x)
Rem --- Eleme Islemleri
For k = 1 To n - 1
For i = k + 1 To n
F = aii, k) / ark, k)
For j = k + 1 To n
aii, j) = aii, j) - F * ark, j)
Nextj
bii) = b(i) - F * b(k)
Next i: Next k
Rem - Bilinmeyenleri Hesaplama
x(n) = b(n) / a(n, n)
For i = n - 1 To 1Step -1
--
T=O
For j = i + 1 To n
T = T + aii, j) * x(j)
Nextj
x(i) = (b(i) - T)/ aii, i)
Next i
Rem -- Sonuclarin Yardinlmasi
For i = 1To n
Print "x( "; i; ':)= "; x(i)
Next i
End Sub
--
Download

Lagrange enterpolasyon