RELATIVISTIČKI EFEKTI
U ovom delu ćemo da pokažemo, da iako dobra aproksimacija da je elektron u vodonikovom atomu
nerelativistički, da ipak relativistički efekti dovode do malih ali značajnih korekcija u energetskim
nivoima. Potvrdićemo da je elektron u vodonikovom atomu aproksimativno nerelativistički preko
procene njegovog prosečnog impulsa. Pošto je neodređenost pozicije elektrona u vodonikovom atomu
reda Borovog radijusa , neodređenost u njegovom impulsu, pa dakle i u prosečnom impulsu je reda
. Koristeći jenačinu (18.19) imamo :
, gde je α bezdimenziona konstanta koju zovemo konstanta fine strukture definisana preko jednačine :
Mala numerička vrednost konstante fine strukture ima važne implikacije u atomskoj fizici. Ona implicira
da atomski elektroni, slično elektronu u atomu vodonika, imaju impuls koji je mali u poređenju sa
pa je samim tim nerelativistička aproksimacija dovoljno dobra. Možemo proceniti intezitet relativističke
korekcije za atom vodonika razmatrajući relaciju između relativističke energije ϵ i impulsa p elektrona :
Ako je
možemo iskoristiti binomnu teoremu da dobijemo aproksimativni izraz :
Prvi član je energija mase mirovanja, drugi je nerelativistička kinetička energija, a treći član je
relativistička korekcija kinetičke energije. Napomenimo da pošto je prosečan impuls elektrona u
vodonikovom atomu reda
, relativistička korekcija za njegovu kinetičku energiju je reda :
Korekcije slične veličine takođe nastaju iz interakcije spina magnetnog impulsa elektrona sa magnetnim
poljem, koja je izazvana relativnim kretanjem jezgra i elektrona. Ova interakcija se zove spin-orbita
interakcija. Intezitet spin-orbita interakcije se može proceniti posmatranjem klasičnog elektrona koji se
kreće oko jezgra na udaljenosti r. Ako elektron ima brzinu i orbitalni ugaoni impuls
, biće mu
potrebno vreme :
, da kompletira orbitu. Baš kao što nam se čini Sunce obilazi oko Zemlje, tako se i elektronu čini da se
jezgro kreće oko njega na udaljenosti periodom τ. Pošto jezgro ima naelektrisanje , električna struja
okružuje elektron praveći strujnu petlju. Koristeći standardne formule za magnetno polje u
centru kružne strujne petlje radijusa ,
i relaciju
, dobijamo da elektron
oseća magnetno polje inteziteta :
Pošto elektron ima spin magnetni impuls :
, postoji energija interakcije data sa :
Ova procena nam daje pravi red inteziteta spin-orbita interakcije. Mnogo pažljivijom kalkulacijom koja
uzima u obzir ubrzanje elektrona uvodi se faktor ½ što daje :
Kvantitativni efekti spin-orbita interakcije na energetske nivoe vodonikovog atoma mogu biti dobijeni
procenom očekivanih vrednosti
. U svakom slučaju dva važna aspekta spin-orbita interakcije su :
-
Spin-orbita interakcija je zaista relativistički efekat i ovo možemo potvrditi tako što ćemo
pokazati da ona dovodi do korekcije koja je uporediva sa relativističkom korekcijom kinetičke
energije datom sa jednačinom (18.33).
Koristeći konstantu fine strukture α datu preko jednačine (18.32) , jednačinu (18.35) možemo
napisati u obliku :
Za niže energetske nivoe vodonikovog atoma, možemo pretpostaviti da je očekivana vrednost
izraza
reda
. Ako napišemo izraz za Borov radijus preko konstante fine strukture :
, nalazimo da je energija spin-orbita interakcije za niže energetske nivoe atoma vodonika reda :
-
Spin-orbita interakcija implicira da kvantna stanja vodoniovog atoma sa određenom energijom
imaju određene vrednosti za
, gde je
, ukupan ugaoni impuls usled orbitalnog
i spin ugaonog impulsa elektrona. Ovo možemo potvrditi iz sledećih jednačina :
, što pokazuje da je spin-orbita interakcija proporcionalna sa :
Kao kvantitativnu ilustraciju kombinovanog efekta relativističke korekcije kinetičke energije i
relativističke spin-orbita interakcije u vodonikovom atomu, razmotrićemo kvantno stanje sa glavnim
kvantnim brojem
. Zbog spin-orbita interakcije, ova stanja će imati određenu energiju ako imaju
određenu magnitudu spina, ukupni i orbitalni impuls dat sa
, gde su
kvantni brojevi. Pravilo za sabiranje spinova i ugaonih impulsa implicira da, generalno j
može uzeti vrednosti :
Za atom vodonika stanja sa
, orbitalni kvantni broj može biti 0 ili 1. Stanja sa
sa
i
imaju
i označavaju se sa
,
stanja sa
i
imaju
ili
i označavaju se sa
ili
. Ako je spin-orbita interakcija odsutna, sva stanja
vodonikovog atoma sa
bi imala istu energiju :
, gde je
Ridbergova energija a α konstanta fine strukture. Kada se relativistička i spin-orbita korekcija
izračunavaju koristeći teoriju koja se zove perturbaciona teorija, za ova stanja se nalazi da imaju energije
koje zavise od kvantnih brojeva
i . Ove energije su date preko izraza :
Napomenimo da razlika u energijama
i
stanja može biti verifikovana posmatranjem malih
razlika u talasnim dužinama zračenja emitovanog tranzicijom
i
.
Download

(PDF, 311KB)