BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER
DÜZLEM YÜZEYLER
Yatay Yüzeyler
Yatay bir düzlem yüzeye gelen
hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü
ve etkime noktasını bulmak
istiyoruz.
Sıvı yüzeyi
dF
y
A
dA
x
Kuvvetin Büyüklüğü : Şekil deki
yatay x,y düzlemindeki alana gelen
hidrostatik basınç kuvvetinin
büyüklüğü:
F=∫ dF = ∫ p.dA=p ∫ dA=PA
P=γh olduğuna göre;
F=γhA
Buradan görüldüğü gibi tabana etkiyen kuvvet, tabanın büyüklüğü,
yükseklik ve yoğunluğa bağlı olmaktadır. Buna göre tabanı eşit olan
aşağıdaki kaplarda tabana etkiyen kuvvetler, sıvıların ağırlıkları
farklı olmasına rağmen eşittirler. (Hidrostatik paradoks)
h
A
F
A
F
A
F
A
F
Şekil 2.16
1
y
Basınç Merkezi : Basınç kuvvetinin etkime noktası basınç
merkezi olarak anılır. Şekil deki A alanına üniform yayılı olarak
gelen hidrostatik kuvvet için basınç merkezinin herhangi bir x,y
eksen takımına göre yeri, bileşke kuvvetin ve basınç dağılımının
momentleri eşitlenerek bulunabilir. x ve y eksenlerine göre
momentler :
p.A.y p = ∫A p.y.dA , P.A.x p = ∫A P.x.dA
dA
Basınç merkezinin koordinatları;
x
xG
G
A
y
yp =
yG
1
1
∫ ydA = y G , x p = ∫ x dA = x G
AA
AA
x
Yani yatay düzlem yüzeylere gelen hidrostatik kuvvet alanın
ağırlık merkezine etkimektedir.
Eğik Yüzeyler
Şekil deki eğik düzleme etkiyen hidrostatik basınç kuvvetinin
şiddeti, yönü ve geçtiği nokta belirlenecektir.
x
θ
hP hG h
F
dF
y
dA
yP
yG
dy
y
P
G
xG
xP
y
2
Kuvvetin Büyüklüğü : Yüzey üzerindeki dA alanına gelen kuvvet:
dF=p.dA=γ.h.dA = γysinθdA
Tüm A alanına integre edilerek yG sinθ=hG kullanılırsa:
F = γ sin θ ∫ y dA = γ sin θ yG A
A
F = γ hG A = pG A
Bu denklem batmış bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik
kuvvetin, yüzeyin ağırlık merkezine gelen basınç ile yüzey
alanın çarpımına eşit olduğunu ifade etmektedir.
Basınç Merkezi : Basınç merkezinin yeri, bileşke kuvvetin ve
basınç dağılımının x ve y eksenlerine göre momentleri eşitlenerek
bulunabilir. yP için x eksenine göre moment :
F yP = ∫ y p dA
A
yP =
1
y p dA
F A∫
Son denklemde F=γyGAsinθ ve p=γysinθ kullanılırsa
yP =
1
∫ y γ y sin θ dA
γ yG A sin θ A
yP =
1
2
y dA
∫
yG A A
burada ∫y2dA=Ix atalet momentidir
3
Ιx
y G .A
yp =
Ix atalet momenti geçiş formülü kullanılarak alanın ağırlık
merkezinden geçen eksene göre atalet momenti cinsinden yazılabilir:
Ι x =Ι xG + A.y G 2
yp =
Ι xG
+y G
y G .A
y G = h G / sin θ ve y p = h p / sin θ
hp =
I xG
sin 2 θ + h G
hGA
Xp'nin tayini; y eksenine göre moment alınırsa
F.x p = ∫A x.p.dA
xp =
1
∫ x.p.dA
F A
F=γ.y G .A.sin θ ve p=γ.y.sin θ
xp =
1
∫ xγy sin θdA
γ.y G .A.sin θ A
4
xp =
1
∫ xyA
.y G .A. A
∫ xydA = I xG
xp =
I xy
yGA
Transfer teoreminin kullanılmasıyla;
Ι xy =Ι xyG +A.x G .y G
xp =
Ι xyG
y G .A
+x G
Eğer G'den geçen y'ye paralel eksene göre simetrik ise
olur.Bu durumda xp=yp olur.
ΙxyG=0
Basınç Prizması Yöntemi
Basınç prizması yöntemi eğik yüzeylere etkiyen hidrostatik bileşke
basınç kuvvetinin şiddet ve yerinin bulunması için diğer bir yoldur.
Buna göre şekilde görüldüğü gibi basınç prizmasının hacmi; kuvvetin
şiddetini, ağırlık merkezide kuvvetin geçtiği yeri verir. Prizmanın
tabanı yüzey üzerindedir ve üst yüzeyin izdüşümü basıncın derinlikle
orantılı olarak artmasından dolayı doğrusaldır
θ
hA
γhA
hB
A
b
γhB
B
(a) Eğik Yüzey
5
hA
hp
A
hB
b
γhA
F
γhB
B
(b) Düşey Yüzey
 γ h + γ hB

F=  A
AB b
2


Buradan kuvvetlerin etkime noktası
merkezinden geçer.
basınç prizmasının ağırlık
Eğri Yüzeyler:
Batık yüzeyin eğri olması halinde yüzeye dik olan basıncın yönü
noktadan noktaya değişecektir. Bu durumda yüzey elemanlarına
etkiyen kuvvet elemanlarının vektörel olarak toplanması gerekir.
→
→
→
→
dF=i d Fx + j d Fy + k d Fz
Tüm yüzeye integre edilerek bileşke kuvvet elde edilir.
→ →
→
→
F = i Fx + j Fy + k Fz
6
Fx, Fy , Fz bileşenlerinin bulunması:
dA elemanına gelen kuvvet Şekil den
dF=p dA = γ h dA
h xG
dF kuvvetinin bileşenleri:
dFx = dFcosθx = γ h dA cosθx
dFy = dFcosθy = γ h dA cosθy
dFz = dFcosθz = γ h dA cosθz
h xp
z
h
dF
θ
G
dF x
P
y xG
θz
hy p
hy G
dFx
θy
dFy
y xp
y
P
G
x
r
dA vektörünün x doğrultusundaki skaler bileşeni dA cosθx = dAx
ve diğer doğrultularda dAcosθy = dAy ve dAcosθz = dAz bu değerler
yerine konularak integre edilirse yüzey üzerindeki kuvvet bileşenleri
dFx = γ h dA x ⇒
Fx = γ ∫ h dA x = γ h xG A x = p xG A x
(2.17)
dFy = γ h dA y ⇒
Fy = γ ∫ h dA y = γ h yG A y = p yG A y
(2.18)
dF z = γ h dA z
⇒
Fx = γ
∫
h dA z = γ ∀
(2.19)
Burada Ax, Ay ve Az izdüşüm alanlarını, hxG ve hyG ağırlık
merkezlerinin su yüzeyinden olan mesafesidir. ∀ eğri yüzeyin
üzerindeki sıvı hacmidir.
(2.17) ve (2.18) ifadelerine göre eğri bir yüzeye herhangi bir yatay
doğrultuda gelen basınç kuvveti , bu yüzeyin söz konusu
doğrultuya dik düzlem üzerindeki izdüşüm alanına gelen kuvvete
eşittir. Kuvvet bileşenin izdüşüm alanı üzerindeki etkime noktası
eğik yüzeyler için uygulanan yöntemlerle bulunabilir.
7
Örneğin yukarıdaki Fx bileşeninin Ax üzerindeki etkime noktasının
yeri aşağıdaki gibi yazılabilir :
h xP =
Ι yG
h xG .A X
+ h xG
y xp =
Ι yzG
h xG .A X
+ y xG
(2.19) denklemine göre hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni, alan
üzerindeki serbest sıvı yüzeyine kadar olan hacmi dolduran sıvı
ağırlığına eşittir. Bu kuvvet söz konusu hacmin ağırlık
merkezinden geçer.
Fz
Fz
Fx
Fx
FZ =γ ∫ zdA Z =γ.V
KALDIRMA KUVVETİ
Hareketsiz bir sıvının batmış veya yüzen cisimlere uyguladığı
bileşke kuvvete kaldırma kuvveti denir. Bir cismin sıvı yüzeyi
altında kalan kısmına etkiyen yatay kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır.
Diğer taraftan cismin yüzeylerine alttan ve üstten etkiyen kuvvetlerin
düşey bileşenlerinin farkı kaldırma kuvvetini oluşturur. Yani,
Archimedes prensibi olarak da tanımlanan kaldırma kuvveti cismin
batmış kısmını dolduran sıvının ağırlığına eşittir. Kaldırma kuvveti
düşey olarak aşağıdan yukarıya doğru etkir ve batmış kısmın
taşırdığı hacmin ağırlık merkezinden geçer. Bu noktaya kaldırma
merkezi denir.
8
o
x
P1dA
Z1
Fk
Fx1
x
Fx2
dA
z
Z2
Fk
P2dA
Şekildeki dA elemanına etkiyen kuvvetlerin bileşkesi;
dFk = (p 2 − p1 ) dA z = γ ( h 2 − h 1 ) dA z = γ d∀
Cismin tüm yüzeyi üzerinde integre edilirse ;
Fk = γ ∫ d∀ = γV
Etkime noktası için O dan geçen eksene göre kuvvetlerin momenti
alınırsa;
xG =
1
∀
∫
x d∀
BATMIŞ VE YÜZEN CİSİMLERİN DENGESİ
Yüzen veya batmış olan statik halde dengede bulunan cisimlere iki
kuvvet etkir. Bunlar yukarı doğru olan kaldırma kuvveti ve aşağı
doğru olan ağırlık kuvvetidir. Eğer cisim hareketsiz ise bu iki
kuvvet eşittir ve kaldırma merkezi cismin ağırlık merkezinden
geçen düşeyin üzerinde bulunur.
Bu kuvvetler altında dengede bulunan cismin rahatsız edildiğinde
tekrar eski haline dönmeye çalışırsa kararlı denge , eski halinden
uzaklaşırsa kararsız denge, yeni denge durumunda kalırsa nötr
denge durumundadır denir.
9
Batmış Cisimlerin Dengesi
Batmış cisimlerde denizaltı gibi, kaldırma merkezinin ağırlık
merkezinin üzerinde olması daima kararlı denge durumunda
olduğunu gösterir. Eğer kaldırma merkezi ağırlık merkezinin
altında olursa cisim kararsız dengededir. Ağırlık merkezi ile
kaldırma merkezi çakışırsa cisim nötr denge durumundadır.
Fk
Fk
G
Fk
G
N ö tr
K a ra rs ız
K a ra r lı
G
Fk
G
Fk
Fk
G
G
Şekil Batmış cismin dengesi
Yüzen Cisimlerin dengesi
Gemi gibi yüzen cisimlerde ağırlık merkezi kaldırma merkezinin
üzerindedir.
Rüzgar , dalga gibi bir kuvvet bu cisme etki ettiğinde cismin θ kadar
dönmesi ile ağırlık merkezinin yeri değişmeyecek ancak kaldırma
kuvvetinin etkime noktası K dan K1 e kayacaktır. K nın simetri
eksenini kestiği M noktasına METASANTR denir. M G nin üzerinde
ise ortaya çıkan kuvvet çifti cismi tekrar eski durumuna döndürür
(kararlı denge). Aksi halde cisim devrilir (kararsız denge). M ile G
çakışırsa cisim nötr denge durumundadır
MG mesafesine Metasantrik yükseklik denir. Küçük dönme açıları
için metasantrik yükseklik aşağıdaki gibi hesaplanır.
10
Kaldırma kuvvetini K dan K1 e kaydıran moment ∆Fk kuvvet
çiftidir. Bu kuvvet:
∆Fk . s = Fk . r
y
x
dA
x
M
G
W
θ
s
∆Fk
G
∆Fk
θ
K
K1
Fk
K
θ
r=MKsinθ
∆Fk s = ∫ γ x tan θ dA x = γ tan θ ∫ x 2 dA , Fk r = γ ∀ MB sin θ
A
Bu değerler (2.22) nolu eşitlikte yerine konularak
γ tan θ ∫ x 2 dA = γ ∀ M B sin θ
küçük açılar için θ yerine sinθ≈tanθ, ve
Iy
MB =
∀
2
∫ x dA = I y
metasantrik yükseklik;
MG =
Iy
+ KG
∀
Eğer G kaldırma merkezinin (K) altında ise;
MG =
Iy
− KG
∀
olur ve devamlı kararlı denge durumu vardır.
11
Download

Bolum_2-C