DENEY-4
TOPLAMSALLIK-ÇARPIMSALLIK VE KARŞILIKLILIK
TEOREMLERİNİN İNCELENMESİ
Deneyin Amacı
Doğrusal devrelerin sağladığı çarpımsallık-toplamsallık ve karşılıklılık teoremlerinin
kavranmasını sağlamaktır.
Ön Bilgi
Bir devrede çarpımsallık-toplamsallık teoreminin geçerli olduğunu göstermek, o devrenin
doğrusal olduğunu göstermeye denktir. Bazı fiziksel sistemlerin çarpımsallık-toplamsallık
özelliğini mutlaka sağlaması istenir ve bu sistemlerin tasarımı bu özellik göz önüne alınarak
yapılır. Haberleşme sistemleri, ses kuvvetlendiricileri, çeşitli ölçü aletleri ve daha birçok sistem
doğrusal çalışması istenen sistemlere örnek olarak verilebilir.
Karşılıklılık, çeşitli fiziksel sistemlerde görülen bir özelliktir ve elektrik devreleri, mekanik,
sürekli ortamlar mekaniği (elastik ve piezoelektrik ortamlar vb.) gibi konularda üzerinde özenle
durulan bir konudur. Bir devrede bu özelliğin olduğunun bilinmesi, o devrenin analizi
bakımından önemli bir kolaylık sağlar.
Çarpımsallık Teoremi: Doğrusal direnç, gerilim ve akım kaynaklarından oluşan bir devrenin
elemanlarının akım ve gerilimlerine ilişkin çözüm y (t ) ile gösterilsin. Eğer devredeki bütün
kaynaklara ilişkin fonksiyonlar (ya da değerler) k (sabit bir sayı) katına çıkartılırsa, bu durumda
devrenin çözümü k. y(t ) olur.
Çarpımsallık teoremi kısaca şöyle de açıklanabilir: Doğrusal elemanlardan oluşan devrede
kaynaklar k katına çıkartılırsa, devredeki bütün akım ve gerilimlere ilişkin çözüm de k katına
çıkar.
Toplamsallık Teoremi: Doğrusal direnç gerilim ve akım kaynaklarından oluşan bir devrenin
elemanlarının akım ve gerilimlerine ilişkin çözüm y (t ) ile gösterilsin. İçindeki kaynak sayısı
r’ye eşit olan devredeki kaynaklardan birinin, örneğin i. kaynağın dışındaki bütün kaynakların
değeri sıfır yapılmış (gerilim kaynakları kısa devre, akım kaynakları açık devre) olsun. Bu
1
durumda içinde sadece i. kaynağın bulunduğu devrenin elemanlarının akım ve gerilimlerine
ilişkin çözüm yi (t ) oluyorsa,
r
y (t )   yi (t )
i 1
olur.
Toplamsallık teoremi kısaca şöyle de söylenebilir: Doğrusal elemanlardan oluşmuş bir devrenin
çözümü, devredeki her bir kaynaktan dolayı ortaya çıkan çözümlerin toplamı biçiminde
yazılabilir.
Karşılıklılık Teoremi: Karşılıklılık teoremine geçmeden önce, bir devrede karşılıklılık
özelliğinden ne anlaşıldığını belirtmek için şekil 4.1.a’daki devreyi ele alalım.
(a)
(b)
(c)
Şekil 4.1
Bu devrenin 2-2’ uçları, şekil 4.1.b’de gösterildiği gibi kısa devre edilip, 1-1’ uçlarına v(t)
gerilim kaynağı bağlandığında, 2-2’ kısa devresinden geçen akım i(t) olsun. Eğer 1-kapısındaki
kaynak şekil 4.1.c’deki gibi 2-kapısına alındığında, kısa devre edilen 1-kapısından geçen akım
i(t)’ye eşit oluyorsa, bu devrede karşılıklılık özelliği vardır denir.
Bu kavram çok uçlu devreler için de genelleştirilmiştir. Bunun için şekil 4.2’deki devreyi göz
önüne alalım ve devrenin kapılarına kaynaklar bağlayalım.
2
3
.. . . . . . .
n-kapılı
devre
2
3
1
2
n
1
Şekil 4.2
Bu kapılarda oluşan gerilim ve akımlar, v1 (t ) , v 2 (t ) ,..., vn (t ) ve i1 (t ) , i2 (t ) ,..., in (t ) olsun.
Daha sonra bu kaynakları çıkararak onların yerine yeni kaynaklar bağlansın ve oluşan yeni
gerilim ve akımlar v1 ' (t ) , v2 ' (t ) ,..., vn ' (t ) ve i1 ' (t ) , i2 ' (t ) ,..., in ' (t ) olsun.
 i1 ' (t ) 
 v1 ' (t ) 
 i1 (t ) 
 v1 (t ) 
 ' 
v ' (t ) 
i (t ) 
v (t ) 
i (t )
2
2
2






va 
, ia 
, vb 
, ib   2 

 : 
 : 
 : 
: 








'
in (t )
v n ' (t )
in (t )
v n (t )
(13)
olmak üzere,
vaT ib  vbT ia
(14)
eşitliği sağlanıyorsa bu çok kapılı devrede karşılıklılık özelliği vardır denir.
Karşılıklılık için verilen ikinci tanım, 2-kapılı için verilen tanımı da içermektedir.
Şekil 4.1b’deki durumu ele alırsak,
v1 (t )  v(t ) ,
v2 (t )  0 ;
i1 (t )  i1 (t ) ,
i2 (t )  i(t )
Şekil 4.1c’deki durumu ele alırsak,
v1 ' (t )  0 ,
v2 ' (t )  v(t ) ;
i1 ' (t )  i(t ) ,
i2 ' (t )  i2 ' (t ) elde edilir. Dolayısıyla,
 i (t ) 
i (t )
 0 
v(t )
va  
, i a   1 , vb  
, ib   '  olur ve (14) denkleminin sağlandığı


 i (t ) 
v(t )
 0 
i2 (t )
kolayca görülebilir.
2-kapılı devre için karşılıklılığın tanımı, fiziksel olarak, birinci kapının ikinci kapıya etkisiyle
ikinci kapının birinci kapıya etkisinin aynı oluşudur.
3
Toplamsallık teoremine ilişkin bir uygulama:
Şekil 4.3
Şekil 4.3’teki devrede iki tane gerilim kaynağı bulunmaktadır. Öncelikle gerilim
kaynaklarından biri kısa devre edilerek devre dışı bırakılır (bkz. Şekil 4.4).
Şekil 4.4
E1 kısa devre edildikten sonra eşdeğer direnç REŞ 
değerden toplam akım I T 
12 * 6
 6  10 olarak bulunur. Bu
12  6
E2
30

 3 A olarak bulunur.
REŞ 10
Toplam akım değeri ve akım bölme kuralı kullanılarak dirençler üzerinden geçen akım
değerleri bulunabilir.
6
6
I T  * 3  1A
12  6
18
12
12

IT  * 3  2 A
12  6
18
I 12 
I 6
Şekil 4.5
E1 devredeyken E2 kaynağı kısa devre edilerek aynı işlemler tekrar edilir.
4
6*6
 12  15
66
E
30
IT  1 
 2A
REŞ 15
REŞ 
Şekil 4.6
Her iki direnç de eşit olduğu için;
I 6 
6
6
IT 
* 2  1A
66
12
Şekil 4.7
Kaynakları teker teker devreden çıkararak elemanlar üzerindeki akımlar bulunmuştu.
Elemanlar üzerindeki gerçek akım değeri her iki durumda bulunan akımların toplamıyla
bulunur (zıt yönler çıkarılır). Bu durumda elde edilecek akım değerleri Şekil 4.8’de görüldüğü
gibidir.
Şekil 4.8
Çarpımsallık-Toplamsallık ve Karşılıklılık Teoremlerinin Sınanması:
Deneyin Yapılışı:
Şekil 4.9
5
Çarpımsallığın sınanması:
A-1) Şekil 4.9’daki devrede 5V’luk gerilim kaynağını devre dışı bırakınız ve A-B arasında 10V
var iken C-D arasındaki gerilimi ölçünüz.
A-2) A-B arasına 5V’luk bir gerilim kaynağı bağlayınız. C-D arasındaki gerilimi tekrar ölçüp
kaydediniz, değerleri tablo haline getirip devrenin çarpımsallık özelliğini sağlayıp
sağlamadığını gösteriniz.
Toplamsallığın sınanması:
B-1) Şekil 4.9’daki devrede 5V’luk gerilim kaynağını devre dışı bırakınız ve C-D arasındaki
gerilimi ölçünüz.
B-2) Devrede 5V var iken 10V’luk gerilim kaynağını devre dışı bırakınız ve C-D arasındaki
gerilimi ölçünüz.
B-3) Her iki kaynak da devrede iken C-D arasındaki gerilimi ölçünüz, değerleri tablo haline
getirip devrenin toplamsallık özelliğini sağlayıp sağlamadığını gösteriniz.
Şekil 4.10
Karşılıklılığın sınanması:
C-1) Şekil 4.10’daki devreyi kurunuz E1=10V, E2=5V iken I1 ve I2 akımlarını ölçüp
kaydediniz.
C-2) Gerilim kaynaklarının yerini değiştiriniz. E1=5V ve E2=10V iken I1 ve I2 akımlarını
ölçüp kaydediniz.
C-3) C-1 ve C-2’de yaptığınız ölçümlere dayanarak, devrenin karşılıklılık özelliğini sağlayıp
sağlamadığını gösteriniz.
6
Malzeme ve Cihaz Listesi
1 adet 220Ω direnç
Breadboard
2 adet 330 Ω direnç
Güç kaynağı
1 adet 470 Ω direnç
Multimetre
4 adet 1k Ω direnç
KAYNAKÇA
[1] Sena Esen Bayer ve Metin Aydın, “Ölçme ve Devre Laboratuvarı Deney Kitapçığı”, Kocaeli
Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Mekatronik Mühendisliği Bölümü.
[2] İstanbul Teknik Üniversitesi, Elektrik-Elektronik Fakültesi, Elektronik ve Haberleşme
Mühendisliği Bölümü Elektrik Devre Temelleri Laboratuvarı Deney Kitapçığı, 2010,
(http://web.itu.edu.tr/rahmielibol/edtlab/edt_deney_kitap.pdf; 24.2.2014).
7
Download

GENEL BİLGİ - Cumhuriyet Üniversitesi