e ve π SAYILARI CEBİRSEL DEĞİLDİR
Mert ÇAĞLAR

VE
Zafer ERCAN
Giriş
Önceki yazımızda e ve π sayılarının kesirli olmadıklarını kanıtlamıştık []; bu yazıda yine bu
iki sayıyla ilgilenmeye devam edeceğiz ve kesirli olmamaktan çok daha kuvvetli bir özelliğin
de e ve π tarafından sağlandığını göstereceğiz. Öncekilere nazaran daha fazla çaba ve dikkât
gerektirecek olan kanıtlarımız için, temel Analiz bilgisinin yanısıra diğer bazı önbilgileri de
varsayacağız. Bu konuda okuyucudan beklentimiz, her polinomun tam derecesi adedince
karmaşık köke sahip olduğunu söyleyen Cebirin Temel Teoremi ’ni bilmesi, eiπ = −1
eşitliğinden haberdar olması, ve asal sayılar kümesinin sonlu olmaması nedeniyle verilen her
tam sayıdan daha büyük olan bir asal sayının bulunabileceğini gözlemlemesidir.

Cebirsel ve aşkın sayılar
Yazıya başlığını da veren temel tanımımız aşağıdakidir.
Tanım .. Tam sayı katsayılı bir polinomunun kökü olan bir sayıya cebirsel denir. Cebirsel
olmayan bir sayı aşkın olarak adlandırılır.
Yukarıdaki tanımda geçen “tam sayı” ifadesinin “rasyonel sayı” ifadesiyle değiştirilebileceği oldukça bârizdir. Her kesirli sayının cebirsel olduğu tanımdan hemen görülebilen bir
gerçektir; bu nedenle,
aşkın bir sayı kesirli olamaz. Diğer taraftan, x2 − 2 = 0 denkleminin
√
bir kökü olan 2 sayısı, kesirli olmayan bir gerçel cebirsel sayı örneğidir; sanal birim olan
i sayısı ise, x2 + 1 = 0 denklemini çözdüğünden, karmaşık bir cebirsel sayıdır. Bir sayının
aşkın olup olmadığını göstermek ya da aşkın sayı kurmak, genel olarak, kolay değildir. Aşkın
sayı elde etmenin temel yöntemlerinden birisi, Liouville Teoremi olarak bilinen sonucu kullanmaktır. Burada değinmeyeceğimiz bu teoremle varlığı garantilenen ve Liouville sayıları
olarak adlandırılan sayıların aşkın olduğu fazla zorlanmadan kanıtlanabilmektedir. Yine aynı
teoremin bir uygulamasıyla, bir Liouville sayısı olan
∞
X
10−k!
k=0
sayısının aşkın olduğu da doğrudan ve kolayca gösterilebilmektedir. Bu yazının sonunda
aşkınlığı kanıtlanacak olan e ve π sayılarının ikisinin de Liouville sayısı olmadıklarını not
etmekte fayda vardır.
Belirtilmeden geçilmemesi gereken bir husus da, gerçel cebirsel sayılar kümesinin sayılabilir olmasına karşın gerçel aşkın sayılar kümesinin sayılamaz olduğudur: bir başka deyişle,
gerçel sayıların içinde, cebirsel sayılardan çok daha fazla aşkın sayı mevcuttur.
Bu kısmı, ileride işimize yarayacak temel bir özelliği −cebirsel sayılar kümesinin çarpma
işlemi altında kapalı olduğunu− okuyucuya alıştırma olarak bırakarak kapatacağız. Cebirsel
ve aşkın sayılarla ilgili temel bilgiler için [], [] ve []’yı, daha fazlası için ise []’i öneriyoruz.
Alıştırma .. İki cebirsel sayının çarpımının da bir cebirsel sayı olduğunu kanıtlayın.


İstanbul Kültür Üniversitesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü, Ataköy Kampüsü, Bakırköy , İstanbul
Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gölköy Kampüsü , Bolu


İntegral kestirimi
Esas sonuçlarımızı kanıtlamak için gereksinim duyduğumuz bir eşitsizliği bu kısımda veriyoruz. Son derece elemanter yöntemlerle elde edilen bu özellik, oldukça kuvvetli sonuçlar elde
etmemizi sağlayacak.
P
Katsayıları tam sayı ve derecesi n olan bir f (x) = nk=0 ak xk polinomu için, t > 0 olmak
üzere,
Z
t
If (t) :=
et−x f (x) dx
0
olsun. Kısmî integrasyon kullanarak
??t
If (t) = (−et−x f (x))? +
0
Z
t
et−x f 0 (x) dx = et f (0) − f (t) +
0
Z
t
et−x f 0 (x) dx
0
(.)
yazabiliriz. Böylece, f 0 (x) de derecesi n − 1 olan tam sayı katsayılı bir polinom olduğundan,
(.)’deki integralde kısmî integrasyon işlemi n + 1 kez tekrarlanarak,
If (t) =
n €
X
et f (k) (0) − f (k) (t)
Š
(.)
k=0
P
olduğu görülür. Şimdi F (x) := nk=0 |ak |xk tanımlamasını yapalım. Bu durumda t > 0 ve
n > 1 için F (t) > F (0) olur ve integraller için üçgen eşitsizliği kullanılarak
Z
|If (t)| 6
t
0
|et−x | |f (x)| dx 6 et
Z
t
0
e−x F (x) dx 6 tet F (t)
(.)
kestirimi elde edilir.

e ve π sayıları cebirsel değildir
Artık, temel sonuçlarımızı kanıtlamaya hazırız.
Teorem .. e sayısı aşkındır.
Kanıt. Bir çelişkiye ulaşmak maksadıyla, e sayısının cebirsel olduğunu varsayalım. O zaman
P
derecesi n olan, tam sayı katsayılı bir nk=0 ak xk polinomu için
a0 + a1 e + a2 e2 + · · · + an en = 0
olur. Yeterince büyük bir p asal sayısı alarak, derecesi m = (n + 1)p − 1 olan
f (x) := xp−1 (x − 1)p · · · (x − n)p
polinomunu tanımlayalım. Son olarak da,
J := a0 If (0) + a1 If (1) + · · · + an If (n)

(.)
diyelim. (.) eşitliği J’ye uygulandığında, (.) nedeniyle,
J=
n
X
ak If (k)
„
k=0
=
n
X
ak
e
X
ak ek
X
X
n
f (j) (0) −
j=0
XX
m
X
Ž
f (j) (k)
j=0
m
k=0
m
=−
f (j) (0) −
j=0
k=0
n
=
m
X
k
k=0
ak
m
X
f (j) (k)
j=0
n
ak f (j) (k)
j=0 k=0
olur. Şimdi, f (j) (k) değerlerini göz önüne alalım: Eğer j < p − 1 ise, f ’nin çarpanlarından hiçbiri türev alındığında sıfırlanmayacağından, her k için f (j) (k) = 0 olur; j = p − 1
olduğunda, f (j) (x) ifadesinin her teriminde sadece xp−1 çarpanı sıfırlanacağından, k > 0
iken f (j) (k) = 0 sağlanır; j = p − 1 ve k = 0 durumunda, alınan türeve sıfırdan farklı
f (p−1) (0) = (p − 1)!(−1)np (n!)p değerini ekleyen terim xp−1 olur; j > p olduğunda ise, f (j) (k)
ifadesinde (x − k)p çarpanının türev alma işlemi sonunda kaybolduğu terimler sıfırdan farklıdırlar, ve bu durumda ilgili terimlerin baş katsayıları p! sayısının bir katı olur.
Şimdi de, p > n olduğunu kabul edelim: O zaman f (p−1) (0) sayısı (p − 1)! sayısının bir
katıdır fakat p! sayısının bir katı değildir. Böylece, N bir tam sayı ve M de p ile bölünmeyen
bir tam sayı olmak üzere,
J = N p! + a0 M (p − 1)! = (p − 1)!(N p + a0 M )
olduğu görülür. Bir varsayım daha yaparak, p > a0 olduğunu da kabul edelim: Bu durumda
N p + a0 M sayısı sıfırdan farlı olur ve bundan dolayı
(.)
|J| > (p − 1)!
eşitsizliği sağlanır. Diğer taraftan, basit bir gözlemle F (k) 6 (2n)m olduğu görüleceğinden,
A := max16k6n |ak | ve p sayısına bağlı olmayan bir C sabiti için,
n
n
(n+1)p−1
|J| 6 |a1 |eF (1) + · · · + |an |ne F (n) 6 Ane (2n)
Šp
Anen €
(2n)n+1 6 C p
=
2n
(.)
elde edilir. Ancak, C sayısı ne olursa olsun yeterince büyük p’ler için (p − 1)! > C p olacağından, (.) ve (.) eşitsizlikleri birbiriyle çelişir.
Teorem .. π sayısı aşkındır.
Kanıt. İstenenin doğru olmadığını varsayalım: O zaman, cebirsel sayılar kümesi çarpma
işlemi altında kapalı olduğundan, iπ sayısı da cebirsel olur; bu sayının bir kökü olduğu en
küçük dereceli ve tam sayı katsayılı bir polinomun derecesini d ile, köklerini θ1 := iπ, θ2 ,. . .,
θd ile, baş katsayısını ise ` ile gösterelim. Bu durumda, eiπ = −1 olması nedeniyle,
(1 + eθ1 )(1 + eθ2 ) · · · (1 + eθd ) = 0
olur. Bu son eşitliğin sol tarafı açıldığında, εj ’ler 0 ya da 1 olmak üzere, Θ = ε1 θ1 + · · · + εd θd
için eΘ formunda 2d tane üstelin toplamı elde edilir. Bu üstellerin sıfırdan farklı olan üslerinin
sayısına n diyelim ve sıfırdan farklı bu üsleri Θ1 , . . . , Θn ile gösterelim. Böylece
eΘ1 + · · · + eΘn + 2d − n = 0

(.)
olur ve en az bir üs sıfır olduğundan 2d − n sayısının pozitif bir tam sayı olduğu görülür.
Şimdi, yeterince büyük bir p asal sayısı alarak,
f (x) := `np xp−1 (x − α1 )p · · · (x − αn )p
olmak üzere,
J := If (α1 ) + · · · + If (αn )
diyelim. Bu durumda, (.) ve (.)’den,
X
(n+1)p−1
J = (n − 2d )
X
X
k=0
j=1
(n+1)p−1 n
f (j) (0) −
k=0
f (k) (αj )
eşitliğini elde ederiz. Şimdi de f polinomunun türevlerinin αj ’lerdeki değerlerini göz önüne
alarak, yukarıdaki son eşitlikte j üzerinden alınan toplamın `α1 , . . . , `αn sayılarının yerleri
değiştirildiğinde aynı kaldığını ve bundan dolayı da bu toplamın bir tam sayı olması gerektiğini gözlemleyelim. Diğer taraftan da, j < p için f (k) (αj ) = 0 olması nedeniyle f (k) (αj ) tam
sayısının p! ile bölündüğünü; j 6= p − 1 için f (k) (0) sayısının p! ile bölünebilen bir tam sayı
olduğunu; ve
f (p−1) (0) = (p − 1)!(−`)np (α1 · · · αn )p
sayısının da, yeterince büyük p sayıları için, (p − 1)! ile bölünebilen fakat p! ile bölünemeyen
bir tam sayı olduğunu görelim. Böylece, p > 2d − n için
|J| > (p − 1)!
(.)
olduğu görülür. Öte yandan, (.) nedeniyle, p sayısından bağımsız bir C sabiti için
|J| 6 et |t|F (t) 6 C p
(.)
olur. Ancak, C sayısı ne olursa olsun yeterince büyük p’ler için (p − 1)! > C p olacağından,
(.) ve (.) eşitsizlikleri birbiriyle çelişir.

Kısa tarihçe
Bugün kullandığımız biçimiyle aşkın sayıları ilk tanımlayan matematikçinin Leonhard Euler
olduğu tahmin edilmektedir. Aşkın sayıların var oldukları ise ilk kez Joseph Liouville tarafından  yılında ispatlanmıştır. İkinci kısımda bahsedip bir örneğini verdiğimiz ve bugün
kendi adıyla anılan Liouville sayılarının aşkın olduklarını ’de kanıtlayan da yine Liouville’dir. Johann Heinrich Lambert, ’de, π sayısının kesirli olmadığının kanıtını verdiği
makalesinde, e ve π sayılarının aşkın olduklarını iddia etmiştir. Lambert’in iddiası ancak bir
yüzyılı aşkın bir süre geçtikten sonra, ’de Charles Hermite’in e sayısının, ’de ise Ferdinand von Lindemann’ın π sayısının aşkın olduğunu kanıtlamalarıyla doğrulanabilecektir.
Lindemann’ın kanıtladığı teorem, π sayısının aşkınlığının bir sonuç olarak elde edildiği genel
bir yaklaşım içermektedir. Bu yaklaşım daha sonra Karl Weierstrass tarafından, bugün Lindemann-Weierstrass Teoremi olarak bilinen sonuçla genelleştirilmiştir. π sayısının aşkın
olduğunun kanıtlanmasıyla birlikte, Antik Çağ’dan bu yana “çemberi kareleştirme” problemi
olarak bilinen ve alanı verilen bir dairenin alanına eşit olan bir karenin sadece cetvel ve
pergelle çizilip çizilemeyeceğini soran problemin çözümsüz olduğu da kanıtlanmıştır. Teorem . ve Teorem .’nin burada verilen kanıtları için, temel olarak, [] takip edilmiştir:

David Hilbert’in ’te Hermite’in kanıtı için yaptığı bir sadeleştirme temel alınarak e
sayısının aşkın olduğunun gösterildiği değişik kanıtlar [] ve []’da vardır. Sözünü etmeden
bitirmememiz gereken, aşkın sayılarla ilgili en temel sonuç ise  yılında kanıtlanan Gelfond-Schneider Teoremi ’dir. Bu teoremin, Hilbert’in konuya olan ilgisi nedeniyle elde
edildiğini söylemekle yetinelim.
Kaynaklar
[] A. Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, Cambridge,
.
[] M. Çağlar & Z. Ercan, “e ve π sayıları kesirli değildir,” Matematik Dünyası, -I,
-.
[] A. Erdil, “Aşkın sayılar üzerine,” Matematik Dünyası, -II, -.
[] I. Niven, Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar, Çev. A. Kıral, Türk Matematik Derneği Yayınları, Sayı: , İstanbul, .
[] M. Spivak, Calculus. Türevsel ve İntegral Hesap, Çev. Y. Avcı, D. Dönmez, M.S. Eroğlu,
H.İ. Karakaş, Z. Nurlu, Matematik Vakfı, Yayın No: , Ankara, .
[] T. Terzioğlu, Bir Analizcinin Defterinden Seçtikleri, Nesin Matematik Köyü Kitaplığı,
Nesin Yayıncılık, İstanbul, .

Download

 Giriş  Cebirsel ve aşkın sayılar