DİFERENSİYEL DENKLEMLER - GENEL KAVRAMLAR
Aşağıda verilen adi diferensiyel denklemlerin mertebesini, derecesini, homojenliğini ve
lineerliğini belirleyiniz. (M: mertebe, D:derece, L: lineer, NL: Lineer olmayan, H: Homojen, NH:
Homojen olmayan)
Denklem
1.  ′ = /
2.  ′′ − ( ′ )2 +  = 0
3.  ′ = √1 + ( ′′ )2
3 
2
2 

4. (  3 ) +  2 +  +  = 0
5.  ′′′ +  ′ = 0
M
D
L
NL
H
NH
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
Aşağıda verilen eğri ailelerini çözüm kabul eden diferansiyel denklemleri bulunuz.
6. ln =  + 
1.  2 +  2 = 2
7.  = ( − )2
2.  = 1   + 2  2 + 3  3
8.  = sin
3.  =  2  + 
9. En genel çember ailesi
4.  = 1  + 2  
2
2
10. ( − ! )2 +  2 = 22
5.  =  cos2θ
Aşağıdaki olayların matematiksel modellerini yazınız.
1. Başlangıçta hareketsiz olan bir kütle belirli bir yükseklikten (örneğin bir uçaktan) serbest
bırakılsın. Varsayalım ki kütle düz bir çizgi boyunca düşmektedir ve kütleye etki eden
kuvvetler aşağı doğru etki eden yer çekimi kuvveti ile yukarı doğru etki eden hava direnci
kuvveti olsun. Yine varsayalım ki hava direnci kuvveti cismin hızı ile orantılı olsun.
Kütlenin hareketinin yer ve hızını veren denklemleri bulunuz.
2. Belirli şartlar altında kimyadaki bir deneyi düşünelim.  ve  gibi iki madde
karıştırıldığında üçüncü bir  maddesine dönüşecektir öyle ki dönüşümün zamanla
değişim hızı dönüşmemiş  ve  miktarları ile orantılı olacaktır. Basitlik için, varsayalım
ki  nin bir birimi  ve  nin birer biriminin birleşmesiyle oluşmaktadır. Başlangıçta 
dan  birim,  den ise  birim madde ve  den ise hiç bulunmasın. Her hangi bir 
anındaki  miktarını () ile gösterirsek  nin zamanla değişimini gösteren matematiksel
modeli yazınız. (İpucu: Her hangi bir  anındaki dönüşmemiş  ve  miktarlarının
sırasıyla  − ()   − () olduğunu görünüz.)
Aşağıdaki fonksiyonların, yanlarında verilen diferansiyel denklemlerin çözümleri olduklarını
gösteriniz.
1.  = sin( − ) ,  = ′ + √ 2 −  2 ,  > 0
2.  2 =  +  2 , (′)2 = 2′ + 4
3.  = cos( + ), ′′ + 2  = 0
2
4.  ′ = √/,  = (√ + )
5.  3  ′′′ + 2 2  ′′ − 10 ′ − 8 = 0,  =  
1
6. (1 +  ′ ) ′′ + 4 ′ + 2 = 0,  = 1+ 2

7. | | + || + 1 = 0 denklemi reel çözümlere sahip değildir. Neden?
Aşağıdaki varlık ve teklik teoremi ile ilgili soruları çözünüz.

1.  =  3 , (0) = 1 başlangıç değer problemi için çözümün varlık ve tekliğini araştırınız.
2.  ′ = 2√ − 1, (1) = 2 başlangıç değer problemi için çözümün varlık ve tekliğini
araştırınız.
1
3.  ′ = −  2 + 3 diferansiyel denklemi için Varlık ve Teklik Teoreminin(VTT) sağlandığı
kümeyi bulunuz.
Aşağıda verilen eğim alanları ve yaklaşık çözüm eğrileri ile ilgili soruları çözünüz.
1.  ′ = 2 − 1 diferansiyel denkleminin yön alanlarını ve yaklaşık çözüm eğrilerinden
bazılarını çiziniz.
2.  ′ = 2 +  diferansiyel denkleminin [−3,3] aralığındaki yön alanlarını ve yaklaşık
çözüm eğrilerinden bazılarını çiziniz.
3.  ′ =  2 +  2 diferansiyel denkleminin [−2, 2] aralığındaki yön alanlarını ve yaklaşık
çözüm eğrilerinden bazılarını çiziniz.
Aşağıdaki sınır değer ve başlangıç değer problemlerini çözünüz.
1.  ′′ = 1, (0) = 1, (1) = 2
2.  (4) = 0, (−1) = 1, (1) = 1,  ′ (−1) = 0,  ′ (1) = 0
3.  ′ = sin  , (0) = 1
4.  ′′ =   , (1) = 1,  ′ (1) = 0
Download

Ödev 1