PELL DENKLEMİ ve GENEL ÇÖZÜMLERİ
x  1, y  0 olmak üzere,
x 2  dy 2  1 tarzındaki denklemler Pell denklemleri
olarak isimlendirilir.
Eğer tamkare olursa denklem iki kare farkından çarpanlara
ayrılarak;
( x  d y )( x  d y )  1
xn  yn d  ( x1  y1 d )n n=1,2,3,… için bu
Önce çözümler bir örnekle başlayıp sonra genel çözümü
verelim.
2
Örnek: x  2 y  1 denkleminin pozitif tamsayılardaki
çözümlerini bulunuz.
Öncelikle biraz deneme yanılmayla temel çözüm
dediğimiz 1. Çözümü bulalım. ( d sayısı arttıkça temel
çözümü bulmak zorlaşıyor.)
Bu denklemin temel çözümü; (3,2) ikilisidir.
Şimdi bu temel çözümü ve çarpanlara ayırma kullanarak
başka çözümler olduğunu da görelim.
x 2  2 y 2  1  ( x  2 y ).( x  2 y )
12  ( x  2 y ).( x  2 y ) 
2
2
2
2
2
 x2
2
 x2
2
2

1  2 y
1  2 y
   2 xy 2 
  2  2 xy 
  A,  2 xy 
2
2
2
denklemin tüm çözümlerini verir.
Bu eşitliği ve denklemim temel çözümü olan
( x1 , y1 )  (3,2)
(2,3) ikilisini kullanarak 2. Çözümü bulalım.(
n=2)
x2  y2 2  (3  2 2)2
x2  y2 2  17  12 2
( x2 , y2 )  (17,12)
Şimdide n=3 alarak 3. çözümü bulalım.
x3  y3 2  (3  2 2)3
x3  y3 2  (17  12 2)(3  2 2)
x3  y3 2  51  34 2  36 2  48)
x3  y3 2  99  70 2
2
2
1  (2 y  x  2 xy 2).(2 y  x  2 xy 2)
1 2y  x
Gelelim genel çözüme.
( x1 , y1 ) olsun.
çözümü elde edilir.
1  ( x  2 y ) .( x  2 y )
Bu yöntem tüm çözümleri vermese de çözümlerin sonsuz
sayıda olduğunun bir kanıtıdır.
x 2  dy 2  1 denkleminin temel çözümü (1. Çözümü)
 x  d y  1
 x  1, y  0

 x  d y  1
2
(2 y 2  x 2 , 2 xy ) ifadesinde yazılarak yeni bir çözüm
üretir.
d sayısı tam kare olmayan bir sayıdır.
2
O halde (2,3)
(3,2)çözümü ifadede yazılırsa (17,12) çözümü
elde edilir. Benzer yöntemle (17,12) son bulduğumuz
eşitlikte yazılırsa (577,408) çözümüne ulaşılır. Her çözüm
2
( x3 , y3 )  (99, 70)
2
2
Uygulama: Sizde x  3 y  1 denklemimin temel
n
çözümünü ( ( x1 , y1 ) ) , xn  yn d  ( x1  y1 d )
genel çözüm formülüyle 2. ve 3. çözümlerini bulunuz.
2
2
 B dersek
1  A2  2 B 2
O halde (A,B) ikilisi de bu denklemin bir çözümüdür.
Denklemin (x,y) çözümünden
(2 y 2  x 2 , 2 xy ) gibi yeni bir çözüm bulduk.
[email protected]
Emirdağ M.Z.S Anadolu Lisesi
Matematik Öğrt.
Download

PELL DENKLEMİ ve GENEL ÇÖZÜMLERİ