SKALAR ÇARPMA‐(NOKTA ÇARPIMI) de iki vektör , ,…,
ve , ,…,
olsun. ve nin nokta, skalar veya iç çarpımı . ile gösterilen bir skalardır ve vektörlerin karşılıklı bileşenlerinin çarpılıp toplanmasına eşittir: ,
.
dir. Eğer .
0 ise ve vektörlerine ortogonal (veya dik) vektörler denir. 1, 2,3, 4 ,
Örnek 1: .
.
1.6
1.5
6,7,1, 2 ,
5, 4,5, 7 olsun. Bu durumda 2 .7
4 .
2 .
3.1
4
3.5
2
6
4 .7
5
14
18
3
15
8
28
3 0 Böylece ve ortogonaldir. de nokta çarpımının özellikleri aşağıdadır. Teorem 1: Herhangi , ,
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
vektörleri ve .
.
.
.
.
.
skaları için . . 0 dır. Eğer .
0 ise 0 dır. BİR VEKTÖRÜN NORMU de bir vektör , ,…,
olsun. vektörünün normu (uzunluğu), . nun negatif olmayan karekökü olarak tanımlanır ve yazlır: √ .
.
0 olduğundan, karekök vardır. Yine eğer 0 ise, 0; ve 0
0 dır. Bir vektörün normunun yukarıdaki tanımı bir vektörün (Öklid) geometrisindeki boyu ile uygunluk gösterir. Özellikle, düzleminde bitim noktası Şekil 1’deki gibi , olan bir vektör (ok) olsun. O |
| |
| zaman ve uzunlukları vektörü ile dik ve yatay doğrultuların oluşturduğu dik üçgenlerin kenarlarının uzunluklarıdır. Pisagor teoremi gereğince nun uzunluğu dir. Bu değer nun yukarıda tanımlanan normu ile aynıdır. Şekil 1 Örnek 2: 3, 12,4 olsun. √ .
3
12
4
13 √169
bulunur. Eğer 1 veya, eşdeğer olarak .
herhangi bir vektör ise, o zaman 1 ise birim vektördür. Şimdi, eğer sıfırdan farklı 1
ile aynı yönde olan bir birim vektördür. ( yı bulma işlemi yi normlama olarak adlandırılır). Örneğin 1
2
,
3
,
8
5
,
√102 √102 √102 √102
2, 3,8, 5 vektörü yönünde bir birim vektördür. Teorem 2 (Cauchy‐Schwarz): Teorem 3 (Minkowski): deki herhangi , vektörleri için | . |
deki herhangi , vektörleri için bağıntısı sağlanır. dir. Uzaklık, Açılar, İzdüşümler ,
deki iki vektör ile gösterilir ve ,…,
ve ,
,…,
olsun. ve arasındaki uzaklık, ,
olarak tanımlanır. Bu tanımın , ,
göstereceğiz. de ,
düzleminde alışılmış Öklid uzaklığına eşdeğer olduğunu , olsun. , ve , noktaları arasındaki uzaklık ,
dir. Öte yandan, yukarıdaki tanım uyarınca ,
,
dir. İkiside aynı değeri verir. de sıfırdan farklı iki , vektörleri arasındaki açısını Cauchy‐Schwarz eşitsizliğini kullanarak .
İle tanımlayabiliriz. Eğer .
0 ise, ortogonallik tanımıyla bağdaşır. 1, 2,3 ve Örnek 3: ,
90 (veya 1
3
/2) olduğunu belirtelim. Bu, daha önceki 3, 5, 7 vektörlerini alalım. O zaman 3
2
5
3
bulunur. ve arasındaki açı olmak üzere .
10
21
8,
7
9
√4
100
√113 yı bulmak için, ilk önce 1
4
9
14,
9
25
49
83 değerlerini buluruz. O zaman 8
√14√83
bulunur. de iki vektör ,
0 olsun. nun üzerine (vektör) izdüşümü .
,
. vektörüdür. Bu tanımın fizikteki vektör izdüşümü kavramıyla bağdaştığını göstereceğiz. Şekil 2’deki ve vektörlerini düşünelim. nun üzerine (dik) izdüşümü .
.
büyüklüğüne sahip bir çarparız. vektörüdür. vektörünü elde etmek için onun büyüklüğünü birim vektörle .
,
Bu yukarıdaki ,
ile bağdaşır. ,
A O C Şekil 2 B . ,
de Konumlanmış Vektörler, Hiperdüzlemler ve Doğrular Bu kısımda , ,…,
de ve ile orjin noktasından de bir nokta olan bir ‐li , ,…,
noktasına giden bir vektör olan , ,…,
‐lisi arasındaki farkı inceleyeceğiz. ve nokta çiftleri den ya, bağlı vektör veya yönlü doğru parçası tanımlar ile gösterilir. yu ,
ile gösteririz. Çünkü ,…,
ile Şekil 3’de görüldüğü gibi aynı yön ve aynı büyüklüğe sahiptir. de bir hiperdüzlemi bozulmamış lineer denklemini sağlayan , , … ,
noktalarının kümesidir. Özel olarak, de bir hiperdüzlemi bir doğrudur ve de bir düzlemdir. , ,…,
0 vektörü nın bir normali olarak adlandırılır. Bu termonolojiyi bize veren gerçek, Şekil 3 ,
olmak üzere herhangi doğru parçasının normal vektörüne ortogonal olması gerçeğidir. Bu gerçek Şekil 4’de gösterilmiştir. Şekil 4 de bir , ,…,
olan bir doğrusu ,
noktasından geçen ve sıfırdan farklı ,…,
vektörü yönünde veya … … … … … … … ,
ifadesini sağlayan tarar. Şekil 5’e bakınız. ,…,
noktalarından oluşur, burada parametresi bütün reel sayıları Şekil 5 Örnek 4: (a) de bir 1,3, 4,2 noktasından geçen ve hiperdüzlemini düşünelim. Bunun denklemi 4
2
4, 2,5,6 vektörüne normal (dik) olan 5
6
biçiminde olmalıdır. Bunun denkleminde nin koordinatları , , yerlerine yazılır ve 4
2
5
6
elde edilir. Böylece nın denklemi, 4
veya 4
2
5
6
6
20
12
veya 10 10 dir. (b) de bir 1,2,3, 4 noktasından geçen ve 5,6, 7,8 yönünde olan doğrusunu düşünelim. nin bir parametrik gösterimi aşağıdaki şekildedir: 1 5
2 6
veya 1
3 7
4 8
5 ,2
6 ,3
7 , 4
8 0 bize noktasının üzerinde olması gerektiğini belirtir. de Eğriler reel ekseninde bir aralık olsun. :
sürekli fonksiyonu ye de aşağıda belirtilen nokta karşılık gelir: de bir eğridir. Böylece her ,
Üstelik, ,…,
nin türevi (eğer varsa) /
/
Vektörünü verir ki bu vektör eğriye teğettir. ,
/
,…,
/
yi normlayarak elde edilir, bu vektör eğriye teğet olan birim vektördür. [Birim vektörler geometrik anlamları gereğince kalın harflerle gösterilir.] Örnek 5: de bir eğrisini düşünelim: ,
nin [veya , . nin her bileşeninin] türevini alarak ,
bulunur. Bu vektör eğriye teğettir. ,1 yi normlarız. İlk önce 1
1
1
2 elde ederiz. O zaman √2
,
√2
,
1
√2
olur. Bu vektör, eğriye teğet olan birim vektördür. Uzay Vektörleri, ijk Gösterimi deki vektörler, uzay vektörleri olarak adlandırılır. Pek çok uygulamada, özellikle fizikte görülürler. Gerçekten, bu şekildeki vektörler için aşağıdaki gibi özel bir notasyon sık sık kullanılır: 1,0,0 , yönündeki birim vektörü gösterir. 0,1,0 , yönündeki birim vektörü gösterir. 0,0,1 , yönündeki birim vektörü gösterir. O zaman de herhangi , ,
vektörü , ,
formunda tek olarak ifade edilir. , , birim vektörler ve hepsi de ortogonal olduğundan, .
sağlanır. 1, .
1,
.
1 ve .
0, .
0, .
0 Daha önce tartışılan vektör işlemleri yukarıdaki gösterimle aşağıdaki gibi açıklanabilir. ve olsun. O zaman .
√ .
elde edilir, burada bir skalardır. Örnek 6: 3
5
2 ve 4
3
7 olsun. (a)
yi bulmak için karşılıklı bileşenler toplanır. 7
2
5 bulunur. (b) 3
2
9
15
6
8
6
14
21
20 (c) . yi bulmak için, karşılıklı bileşenler çarpılır ve sonra toplanır: .
12 15 14
(d)
yi bulmak için her bileşenin karesi alınır ve toplanarak elde edilir. Yani 25
4
38 ve buradan 17 9
√38. Çapraz Çarpım deki . vektörleri için çapraz çarpım adı verilen ve Özellikle, ile gösterilen bir özel işlem vardır. ve olsun. O zaman, , ve nin vektör çarpımı veya dış nin vektör olduğuna dikkat edelim. Bu nedenle çarpım adını da alır. Determinant gösterimini kullanarak gibi, çapraz çarpım şeklinde de ifade edilebilir. Eşdeğer olarak, dir. Çapraz çarpımın iki önemli özelliği aşağıdadır. Teorem 4: (i)
(ii)
deki vektörler , , olsun. vektörü hem hem de ye ortogonaldir. .
“üçlü çarpımının mutlak değeri , ve vektörlerinin üzerinde kurulabilen paralelyüzün hacmini gösterir. Şekil 5 Örnek 7: 5
3 olsun. O zaman 6
4 6
4 3
39
24
14 3
2
3
2 5
1
1 5
2 5 2
(b) 2, 1,5
3,7,6
,
,
41,3,17 (Burada çapraz çarpım 7 6
3 6 3 7
ijk notasyonunu kullanmadan buluruz) (c) i,j,k vektörlerinin çapraz (dış) çarpımları aşağıdaki gibidir: ,
,
veya ,
,
Başka bir ifadeyle, eğer , , üçlüsüne bir dairesel permütasyon olarak bakarsak, yani Şekil 6 daki gibi bir çemberin etrafında saat hareketlerinin tersi yönünde düşünülürse, o zaman ikisinin verilen yöndeki çarpımı üçüncüdür fakat ikisinin ters yönde çarpımı üçüncünün negatif işaretlisine eşittir. (a) 4
3
6 ve 2
3
5
i J k Şekil 6 Kompleks Sayılar Kompleks (karmaşık) sayılar kümesi ile gösterilir. Formal olarak, bir kompleks sayı reel sayıların bir sıralı , ikilisidir. Eşitlik, toplama ve çarpma aşağıdaki gibi tanımlanır: ,
,
,
,
ve ,
.
,
,
,
, 0 kompleks sayısıyla Bir reel sayısını ,0 biçiminde eşleriz. Reel sayılarda toplama ve çarpma reel sayıları koruduğundan ,0
,0
,0 ,
,0 .
,0
,0 bulunur. Böylece ve nin bir alt kümesine izomorf olarak bakılabilir ve uygun (mümkün) olduğunda ile , 0 yer değiştirir. 0,1 kompleks sayısı ile gösterilir. 0,1 0,1
1,0
1 veya √ 1 önemli özelliğine sahiptir. Üstelik, ,
,0
0,
ve 0,
, 0 0,1 kullanılarak ,
,0
, 0 0,1
olur. gösterimi , den daha kullanışlıdır. Burada ve kompleks sayısının reel ve sanal kısmı olarak adlandırılır. Örneğin, kompleks sayılarının toplamı ve çarpımı değişme ve dağılma özellikleriyle birlikte elde edilebilir: , sırasıyla, ve 1 kullanarak .
.
,
kompleks sayısının eşleniği şeklinde tanımlanır. O zaman tersi ve nun ile bölümü, sırasıyla, 0 ise o zaman nin ve ile verilir, burada dir. –
1 ve dir. Eğer, ek olarak, yi de tanımlarız. Reel sayılar bir doğru üzerindeki noktalarla temsil edilebildiği gibi kompleks sayılar da düzlemdeki noktalarla temsil edilebilir. Özellikle, , noktasını düzlemde kompleks sayısını gösteren nokta olarak kabul edebiliriz. Bu sayının reel kısmı ve sanal kısmı dir. nin mutlak değeri, den orjine olan uzaklık olarak tanımlanır ve | | yazılır: | |
Belirtelim ki | |,
,
vektörünün normuna eşittir. Ayrıca | |
√
dir. 2
Örnek 8: 3 ve 5
2 kabul edelim. O zaman 2
2
3
5
2
3
5
2
2
3
| |
√4
3
2
5
10
2
2
15
4
3 ve 5
2
5
2
3
2
2
√13 ve | |
9
7
16
6
2
5
3
3
4
√25
4
11 2 19
13
√29 de Vektörler Kompleks sayıların lilerinin kümesi ile gösterilir ve kompleks uzay (
boyutlu karmaşık uzay) adını alır. Reel halde olduğu gibi nin elemanlarına noktalar veya vektörler, nin elemanlarına skalarlar adı verilir ve de vektörler toplama ve skalarla çarpma ,
,…,
,
,
ile verilir, burada ,
,
,…,
,
,…,
,
,…,
,…,
dir. Örnek 9: (a) 2 3 , 4
,3
(b) 2 2 3 , 4
,3
Şimdi 3
2 ,5 ,4 6
5
6 4 ,2 8 ,6 ,4
4 ,7
6 de gelişigüzel vektörler ve olsun: ,
,
,…,
,
, ,
,…,
,
. ve nin nokta çarpımı, veya iç çarpımı aşağıdaki şekilde tanımlanır: .
olduğundan, önceki reel halde olan iç çarpım tanımına Bu tanımın, reel iken indirgenebileceğine işaret edelim. nun normu | |
√ .
ile tanımlanır. . ve dolayısıyla 2
Örnek 10: 3 ,4
2
3
3
2
2
4
.
3
3
5
2
| | reeldir. , 2 ve .
| |
3
3
2 , 5,4
2
2
2
4
4
3
6
6 olsun. O zaman 5
13
4
4
2
4
6 20
5
12
2
2 8
8
16 2
3
2
3
4
4
2
√ .
2
13
17
4
34 √34 uzayı yukarıdaki vektörel toplama, skalarla çarpma ve nokta çarpımı işlemleri ile birlikte kompleks Öklidyen (
boyutlu Öklid uzayı) olarak adlandırılır. Uyarı: Eğer . çarpımı, .
örneğin, eğer 1, , 0 olsa bile .
ile tanımlanmış olsaydı, o zaman 0 olurdu. Gerçekten . reel bile olmayabilirdi. 0; 
Download

09_Vektoerler_II