URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Dairesel Katmanları Farklı Eksenli Dielektrik Silindirlerden Saçılma İçin
İyi Koşullu Algoritma
Fatih Dikmen, Emrah Sever
Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü
Elektronik Mühendisliği Bölümü
Çayırova, Kocaeli
[email protected], [email protected]
Özet: Dairesel katmanları farklı eksenli birkaç homojen dairesel silindirden monokromatik elektromanyetik
dalga saçılması problemine dair iyi bilinen analitik formülasyonun yeni regülerleştirmesi sunulmaktadır.
Yaptığımız iki taraflı regülerleştirme, anılan problemin integral formülasyonuna dayanmaktadır.
Regülerleştirilmiş ve regülerleştirilmemiş sistemlerin matris duyarlılıklarını da içeren sayısal sonuçlar
göstermektedir ki, sadece regülerleştirilmiş system, quazi-statikten oldukça yüksek frekanslara kadar geniş bir
bantta sayısal olarak kararlı çözümleri, sadece kullanılan bilgisayarın yetenkeleri ile sınırlı biçimde; istenilen
hassasiyette ve fiziksel olarak güvenilirlikleri garanti edilmiş biçimde vermektedir.
Abstract: The new regularization of the well-known analytical formulation of the monochromatic
electromagnetic wave scattering by a few eccentrically multilayered homogenous circular cylinders is presented.
The two-sided regularization that we made is based on the integral formulation of the mentioned problem.
Numerical results including the condition numbers of the regularized and non-regularized systems show that
only regularized system gives numerically stable results with any desired accuracy in wide range of frequencies
from quasi-static to rather high frequency range, limited only by the capabilities of the computer with the
guarantee of the physical reliability of the solution.
1. Giriş
Bulunduğumuz çağdaki bilgisayarların hesaplama yetenekleri birkaç on-yıl öncesine kıyasla oldukça gelişmiştir.
Bu nedenle bugünlerde, analitik olarak güçlü bir elektromanyetik saçılma formülasyonun sayısal kararlılığı,
modern yazılım ve donanıma sahip güçlü bir bilgisayar kullanıcısı tarafından ilk dikkat edilen unsur
olamayabilir. Diğer taraftan, çeşitli modern çalışma alanlarında analitik formülasyonlar yoğun olarak
kullanılmaktadır ve bu da analitik bir formülasyonun önündeki herhangi bir sayısal problemin aşılmasını önemli
kılmaktadır. Son 50 yıl içinde bu hassasiyette hazırlanmış çalışmalara örnek olarak [1-3] verilebilir. [4]
ilgilenilen probleme dair ayrıntılı bir formülasyondur. Çözümün ayrık dengi Ax=b biçiminde birinci türden bir
sonsuz lineer cebrik denklem sistemidir (LCDS1) ve kesme ile çözülmesi enerji dengesi ve sınır koşullarının
teyidini gerektirmektedir. Burada amaç, LCDS1’i l2 uzayında bir (I+K)y=g biçiminde I birim ve K kompakt
operator olmak üzere, LCDS2’ye denk biçimde dönüştürmektir. Böylece sistemin matris duyarlılığı artan kesme
sayısı ile düzgün sınırlı kalır ve çözüm y kullanılan bilgisayarın sağlayabildiği tüm hassasiyet ile yuvarlatma
hatalarına maruz kalmadan elde olunur [5]. İlgilenilen problemin özelinde bu süreç detaylandırılarak,
regülerleştirmenin aşamaları açıklanacaktır.
2. Formülasyon
Şekil 1 A-B’de, Om noktaları, kutupsal koordinatlarda (ρm,ϕm) olan dairesel sınırların (DSm) merkezleridir
m=1,2. TM kutuplanma için ele alınan incelemede, tüm manyetik alan bileşenlerinin Ez ile yazılabildiğini
biliyoruz: Eρ=Eϕ=Hz=0; Hϕ=i∂Ez/(ωµ∂ρ); Hϕ=-i∂Ez/(ωµρ∂ϕ). Her bölgedeki toplam Ez duran ve uzaklaşan
dalga bileşenlerinden ibarettir. İntegral formülasyon (IF) [2] DSm i, uzaklaşan alanları “yansıyan”, duran
dalgaları da “geçen” olarak bu alanlarla ilişkilendirecek biçimde yorumlanabilir ve bunlara ilişkin katsayılar
sırasıyla (R,T) olacak biçimde ilgili bileşenler şu biçimde yazılır:
( m)
⎡R⎤
∞ ⎡ ⎤ ⎡ (1) ⎤
Ez⎢⎣T ⎥⎦ ( ρm ,ϕm ) = ∑ ⎢⎢ R⎥⎥ ⎢⎢ H ⎥⎥ ⎛⎜⎜ k[±,m]ρm ⎞⎟⎟ einϕm , m = 0,1,2;
⎠
n=−∞ ⎣⎢T ⎦⎥ n ⎣ J ⎦ n ⎝
0 − ∞ sonsuzdaki kurgu sınır için .
(1)
Burada, k[±,m]=ω(ε[±,m]µ[±,m])1/2, DSm in ±dış normal yönündeki ortamların dalga sayıları, ve Rn(m) ve Tn(m) sınır
koşullarından – yani teğet toplam Ez ve Hϕ alanlarının DSm üzerindeki sürekliliklerinden bulunacak katsayılardır.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
y1
m=0
y1
ε0, µ0
ε0, µ0
m=1
y2
ε1, µ1
ε2, µ2
m=1
m=2
O1
O2
m=0
O1
x1
x1
ε1, µ1
x2
m=2
(A)
y2
O2
ε2, µ2
x2
(B)
Şekil 1. Problemin geometrisi: A: İçerme, B: Komşu. Kesikli daireler m=0 için sonsuzdaki kurgu sınır için konmuştur.
Rn(0)≡0 ve Tn(0) bilinen gelen alanlardır (düzlem dalga ya da çizgi kaynak ile ilgili ifadeler için bkz. [5]). O1 ve O2
noktalarının oluşturduğu vektör d12=(d12,θ12)=O2-O1 kutupsal koordinatlarda yazılır. Koaksiyel dairesel silindirik
katmaların analizinde de karşımıza çıkan şu fonksiyonlara, sınır koşullarının uygulanması sonucunda varılır:
Pn(j,l) ( ρ) = β j Hn(1) ( kl ρ) Jn′ k j ρ - βl Hn(1)′ ( kl ρ) Jn k j ρ ,
( )
( )
Qn(j,l) ( ρ) = β j Jn ( kl ρ) Jn′ ( k j ρ) - βl Jn′ ( kl ρ) Jn ( k j ρ) ,
Tn(j,l) ( ρ) = β j Hn(1) ( kl ρ) Hn(1)′ ( k j ρ) - βl Hn(1)′ ( kl ρ) Hn(1) ( k j ρ) ,
12
⎡ Fn,s
( ρ )⎤⎥
⎛ n ⎞ ⎛ 0,±1,±2,... ⎞
α
⎢
= Fs ( ρ ) Z ⎡(n-s) ⎤ ( kα d12 ) ei(s-n)θ , ⎜ ⎟ = ⎜
⎟
⎢ F 21 ( ρ ) ⎥
⎝ s ⎠ ⎝ 0,±1,±2,... ⎠
⎢⎣ s-n ⎥⎦
⎣ n,s
⎦
Burada ( ′) argümana göre türevdir ve j,l ∈ {0,1, 2}
12
(2)
Wn(j) ( ρ) =-Pn(j,j) ( ρ) = 2iβ j /πk j ρ, β j =1/η j , η j = µ j / ε j
Her iki DS konfigürasyonunun formülasyonu da gelen (öz) ve diğer sınırdan saçılan (eşleşim) alanların
indüklediği saçılmanın değerlenmesini gerektirir. (2)’de görülen F ile nitelenen iki indisli fonksiyonlar DSlerin
eşleşiminin şablonlarıdır. Bu fonksiyonlar eşleşim DS koordinatına gore yazılı alanları öz DS koordinatlarına
göre yazılan alanlara Graf toplamsallık teoremi uyarınca geçildiğinde ortaya çıkarlar [4,5]. Böylece eşeleşen iki
DS Fourier katsayılarını eşitleyebiliriz. α parametresi etkileşimin şekil 1A’daki gibi içerme (α:A) ya da şekil
1B’deki gibi komşu (α:B) oluşunu gösterir. Buna göre Zn(A)(t): Jn(t) and Zn(B)(t):Hn(1)(t) olur. Ayrıca eşleşimin
olduğu ortamlarda, kA:k1 and kB:k0 olacaktır. (2)’deki tanımlar LCDS1’i oluştururlar (solda A, sağda B):
⎡⎡P(1,0) ( a) ⎤
⎦
⎢⎣ n
⎢
0
[
]
⎢
⎢
⎢ [0]
⎢
⎢ [0]
⎣
[0]
⎡Pn(1,0) ( a) ⎤
⎣
⎦
(2,1)21
⎡Qn,s
( b)⎦⎤
⎣
(1)21
⎡Wn,s
( b)⎤⎦
⎣
[0]
⎤ (1)
⎥ ⎡ Rn ⎤ ⎡-T(0)Q(1,0) ( a) ⎤
n n
⎢ ⎥
(1,0)12
⎡Tn,s
a)⎤
0] ⎥⎥ ⎢T(1) ⎥ ⎢ (0) (0) ⎥
(
[
⎣
⎦
-T
⎢
n
n Wn ( a) ⎥;
⎥ ⎢ ( 2) ⎥ = ⎢
⎥
⎡Pn(2,1) ( b)⎤
⎢
⎥
[0] ⎥ Rn ⎢ 0 ⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎥ ( 2) ⎢
0
⎦⎥
⎡Pn(2,1) ( b)⎤⎥⎣⎢Tn ⎥⎦ ⎣
[0]
⎣
⎦⎦
(1)12
⎡Wn,s
( a)⎤⎦
⎣
⎡ ⎡Pn(1,0) ( a)⎤
[0]
⎦
⎢⎣
⎢
(1,0)
⎡P
a⎤
[0]
⎢
⎣ n ( )⎦
⎢ (2,0)21
[0]
⎢⎡⎣Qn,s ( b) ⎤⎦
⎢
(0)21
⎢ ⎡Wn,s ( b) ⎤
[0]
⎦
⎣⎣
[0]
⎤ (1)
⎥ ⎡ Rn ⎤ ⎡-Tn(0)Qn(1,0) ( a) ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥
(0)12
⎡W
a⎤
[0] ⎥⎥ ⎢Tn(1) ⎥ ⎢ -Tn(0)Wn(0) ( a) ⎥
⎣ n,s ( )⎦
⎢
⎥
=
⎢ (0) (2,0) ⎥.
⎥
⎡Pn(2,0) ( b)⎤
0] ⎥ ⎢Rn( 2) ⎥ ⎢-Tn Qn ( b) ⎥
[
⎣
⎦
⎥ ⎢ ( 2) ⎥ ⎢ (0) (0) ⎥
⎡Pn(2,0) ( b)⎤⎥⎣⎢Tn ⎥⎦ ⎣⎢ -Tn Wn ( b) ⎦⎥
[0]
⎣
⎦⎦
(1,0)12
⎡Qn,s
( a)⎤⎦
⎣
3. Regülarizasyon
(3)’deki ilk çift formül yani n→∞ olurken Bessel ve Hankel fonksiyonlarının asimptotik davranışları asimptotik
Stirling formulü uyarınca (n!∼(2πn)1/2(n/e)n [5]) ele alınırsa oradaki ikinci çift eşitsizliklere varılır:
J n (t ) ∼
n
n
Im t
n
1 ⎛ et ⎞
2 ⎛ 2n ⎞
e
⎛t⎞
(1,2 )
; J n (t ) ≤
⎜ ⎟ ; H n (t ) ∼
⎜ ⎟ ;
π n ⎜⎝ et ⎟⎠
n! ⎝ 2 ⎠
2π n ⎝ 2n ⎠
n
− Im t ⎛ 2 ⎞
1,2
H n( ) ( t ) ≤ ( n − 1)!e
⎜ ⎟ . (3)
⎝t⎠
Bu formül ile yukarıda yazılı LCDS1’in kötü koşullu doğası açığa çıkar. n,s→∞ olurken (2)’de yazılı
{P,T,Q,W}n,s(j,l)(12-21) fonksiyonlarını alalım. (3)’ü kullanarak n bağımlılığı gözlenirse; baskın asimptotik
terimlerin, Pn(j,l) ve Wn(j) için sabit, Tn(j,l) için hızlıca artan, ve Qn(j,l) ve hızlıca azalan biçimde oldukları bulunur.
Buna göre gösterilebilir ki, sonsuz matris bloklarının herhangi birinin Öklid matris normu ve kesildiklerindeki
koşul sayısı (ν) sınırsız ve hızlı artan vasıftadır. Bu yüzden söz konusu LCDS1 sayısal çözüm için kesildiği
sırada yuvarlatma hatalarına karşı korunmasızdır. [1]’de bu, iki mükemmel iletken dairesel silindir için ele
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
alındığında, LCDS1 bilinmeyenlerinin uygun ölçeklenmesinin LCDS2 elde edilmesine imkan verdiği fark
edilmiştir. Buradaki amacımız, aynı sonucu buradaki sınır koşulları ve konfigürasyonları için elde etmektir. Yine
gösterilebilir ki, A ve B problemlerinin LCDS1lerinin regülarizasyonu bu bloklardan müteşekkil çoklu sınırların
iyi koşullanmasını başarmak için kâfidir.
[1]’deki IF’e göre, Rn(m)/Tn(m) katsayılarının yapıları Jn(t)/Hn(1)(t) ve türevlerinin bileşimi olan hızlı azalan/artan
davranıştadır. Bu fonksiyon davranışlarının çarpmaya göre terslerinin LCDS1’i regülarize ettiğini fark etmek
önemlidir. Buna göre yapılan ölçekleme üzerlerinde tilda olan katsayılı yeni bilinmeyenler ile tanımlanacak
olursa x=Ry biçimindeki ve A-B durumlarının bilinmeyenleri için geçerli ayrıştırma yazılabilir:
−1
⎡ ⎡ (2)
⎤
[0 ]
[0 ]
[0 ] ⎤⎥ ⎡ R(1) ⎤
⎡ R (1) ⎤ ⎢ ⎣ H n ( kα a ) ⎦
⎢ n ⎥ ⎢
⎥⎢ n ⎥
⎡ H (2) k a ⎤
[0 ]
[0 ]
[0 ] ⎥ ⎢ Tn(1) ⎥
(4)
⎢ Tn( 1) ⎥ ⎢
⎣ n ( 1 )⎦
⎢
⎥=⎢
⎥
⎥⎢
−
1
2
2
(
)
(
)
⎢ Rn ⎥ ⎢
⎡ H n(2) ( kα b ) ⎤
[0 ]
[0 ]
[0 ] ⎥⎥ ⎢⎢ Rn ⎥⎥
⎣
⎦
⎢
⎥ ⎢
2)
(
⎢⎣Tn ⎥⎦ ⎢
⎢ (2) ⎥
⎡ H n(2) ( k2 b ) ⎤ ⎥⎥ ⎣Tn ⎦
[0 ]
[0 ]
[0 ]
⎢⎣
⎣
⎦⎦
−1
−1 ⎤
−1
−1
−1
−1
−1
−
1
⎡ (1,0)
⎡ (1,0)
(1,0)
(2,1)
(2,1)
(2,0)
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ (1,0) ⎤
⎡ (2,0) ⎤ ⎤
⎢⎡ Pn ( a) ⎤ ⎣Pn ( a) ⎦ ⎡ Pn ( b) ⎤ ⎣Pn ( b)⎦ ⎥
⎢⎡ Pn ( a) ⎤ ⎣Pn ( a)⎦ ⎡ Pn ( b) ⎤ ⎣Pn ( b) ⎦ ⎥
LA = diag ⎢⎢ (2)
;LB = diag ⎢⎢ (2)
.
⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
Hn(2) ( k2b) ⎥⎥
Hn(2) ( k1a) ⎣⎢ Hn(2) ( k1b) ⎦⎥
Hn(2) ( k2b) ⎥⎥
Hn(2) ( k1a) ⎣⎢ Hn(2) ( k0b) ⎦⎥
⎣⎢ Hn ( k0 a) ⎦⎥
⎢⎣⎣⎢ Hn ( k0 a) ⎦⎥
⎢
⎦
⎣
⎦
Yukarıda anılan katsayıların asimptotik davranışlarını korur biçimde, argümanlarında reel/karmaşık-üst yarı
düzlem sıfırlarına rastlamamak için, [Hn(2)(t)]-1/Hn(2)(t) fonksiyonları [1]’den farklı olarak kullanılmıştır.
(4) ile y tanımlanması, LCDS1i iyi koşullamak ve sağ yan regülerleştiricisi R, birim operatör I ve l2 de kompakt
operatör K ile (I+K)y=g, y,g∈l2 biçimindeki LCDS2yi elde etmektir. Sadece R LCDS1in LCDS2ye
dönüşmesine (bazen yetse de) genelde yetmeyebilir. Bu nedenle (4)’te de yer aldığı gibi, uygun bir sol
regülerleştirici L de tanımlanarak, (I+K)=LAR, g=Lb olmasına yol açılır. İlgili K matrislerinin sıfırdan farklı
girdilerinin genliklerine dair üst sınır tahminleri şöyledir (Λ1,…,8 bazı sabitler olmak üzere):
⎡[0]
⎢
⎢0
⎢[ ]
KA = ⎢
⎢[0]
⎢
⎢[0]
⎣
[0 ]
(W)12 ⎤
⎡kn,s
⎣
⎦
(T)12
⎡kn,s ⎤
⎣
⎦
[0 ]
(Q)21 ⎤
⎡kn,s
⎣
⎦
(W)21 ⎤
⎡kn,s
⎣
⎦
⎡ [0 ]
⎢
⎢ 0
⎢ [ ]
KB = ⎢
(Q)21
⎢ ⎡⎣ kn,s ⎤⎦
⎢
(W)21 ⎤
⎢ ⎡ kn,s
⎦
⎣⎣
[0 ]
[0]
[0]
[0 ]
(Q)12 ⎤
⎡ kn,s
⎣
⎦
(W)12 ⎤
⎡ kn,s
⎣
⎦
[0 ]
[0 ]
[0 ]
[0 ]
[0]⎤⎥
⎡ ( n !+ s !) ⎤ ⎛ b ⎞ n ⎛ d ⎞ s
⎡ ( n+1 !+ s !) ⎤ ⎛ b ⎞ n ⎛ d ⎞ s
(W)12
(T)12
kn,s
< Λ1 ⎢
⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ; kn,s < Λ 2 ⎢
⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ;
⎥
[ 0 ]⎥ ,
n ! s ! ⎥⎦ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
⎢⎣ n ! s ! ⎥⎦ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
⎢⎣
⎥
[0]⎥ k (Q)21 < Λ ⎡⎢ ( n !+ s - 1 !) ⎤⎥ ⎛ b ⎞ n ⎛ d ⎞ s ; k (W)21 < Λ ⎡⎢ ( n !+ s !) ⎤⎥ ⎛ b ⎞ n ⎛ d ⎞ s ;
3
4
n,s
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎥ n,s
n ! s ! ⎥⎦ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
⎢⎣
⎢⎣ n ! s ! ⎥⎦ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
[0]⎥⎦
[0 ]⎤⎥
⎡ ( n !+ s − 1 !) ⎤ ⎛ a ⎞ n ⎛ b ⎞ s
⎡ ( n !+ s !) ⎤
(Q)12
(W)12
< Λ5 ⎢
< Λ6 ⎢
kn,s
⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ; kn,s
⎥
⎥
n ! s ! ⎥⎦ ⎝ d ⎠ ⎝ d ⎠
⎢⎣
⎢⎣ n ! s ! ⎥⎦
[0 ]⎥ ,
⎥
n
s
[0 ]⎥ k (Q)21 < Λ ⎡⎢ ( n !+ s - 1 !) ⎤⎥ ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ ; k (W)21 < Λ ⎡⎢ ( n !+ s !) ⎤⎥
7
8
n,s
n,s
⎜
⎟
⎜
⎟
⎥
n ! s ! ⎦⎥ ⎝ d ⎠ ⎝ d ⎠
⎢⎣
⎢⎣ n ! s ! ⎦⎥
[0 ]⎥⎦
n
s
n
s
⎛a⎞ ⎛b⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ;
⎝d ⎠ ⎝d⎠
⎛a⎞ ⎛b⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .
⎝d⎠ ⎝d⎠
(5)
Burada içerme (şekil 1A) hali için d+b<a ve komşu (şekil.1-B) hali için a+b<d eşitsizlikleri geçerlidir. Bundan
dolayı (5)’te yer alan tüm üst sınır ifadeleri n,s→∞ olurken yeterli hızda yok olur ve ilgili matrisler l2 uzayında
kompakt kalır. Ayrıntılı ispatı ise [1]’de verilene benzer yapılabilir.
4. Kaynaklar
[1]. Ivanov E. A. (1968), Diffraction of Waves from Two Bodies, Nauka i Tekhnika, Minsk, (Rusça ve İngilizce
çevirisi NASA TT F-597 olmak üzere).
[2]. Bates R. H. T., Analytic Constraints on Electromagnetic Field Computations. IEEE Trans. Microwave Theo.
Tech. 23, 605-623, 1975.
[3]. Poyedinchuk A. Ye., Tuchkin Yu. A., Shestopalov V.P., New Numerical-Analytical Methods in Diffraction
Theory, Math. & Comp. Modeling, 32, 1029-1046, 2000.
[4]. Ioannidou M. P., Kapsalas K. D., Chrissouludis D. P., Electromagnetic-wave scattering by an eccentrically
stratified, dielectric cylinder with multiple, eccentrically stratified, cylindrical, dielectric inclusions, J.
Electromagn. Waves Appl. 18, 495–516, 2004.
[5] Sever E., F. Dikmen, O.A. Suvorova, ve Yu.A. Tuchkin (2014), ‘An analytical formulation with illconditioned numerical scheme and its remedy: Scattering by two circular impedance cylinders’, Turk. J. Elec.
Eng. & Comp. Sci., available online; DOI: 10.3906/elk-1312-262.
Download