URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
KAPALI ORTAMLARA GÖMÜLÜ CİSİMLERE İLİŞKİN
ELEKTROMANYETİK TERS SAÇILMA PROBLEMLERİ
Gizem Dilmaç*†, Ali Yapar*
* İstanbul Teknik Üniversitesi
Elektronik-Haberleşme Mühendisliği Bölümü
Maslak, İstanbul
Tel: +90-212-2853447, Fax: +90-212-2853679
[email protected]
†Doğuş Üniversitesi
Elektronik-Haberleşme Mühendisliği Bölümü
Acıbadem, İstanbul
Tel: 444 79 97/1738, Fax: +90-216-5445535
[email protected]
Özet: Bu çalışmada, yüzeyi mükemmel iletken, dairesel silindirik bir ortamın içinde bulunan cisimlere ilişkin
ters saçılma problemi iki klasik yöntemle analiz edilmiştir. Problemin Green fonksiyonu silindirik harmonikler
cinsinden bir seri ile analitik olarak ifade edilmiştir. Ters saçılma probleminin formülasyonundaki integral
denklem düz problemi de ifade ettiğinden, öncelikle düz problem kanonik bir yapı için Momentler Metodu ile
çözülerek formülasyonun ve düz saçılma probleminin çözümünün doğruluğu test edilmiştir. Ters saçılma
problemi ise Born Yaklaşımı ve Newton yöntemiyle çözülmüştür. Ele alınan problemin esas amacı; verilmiş bir
kaynak dağılımı için kapalı silindirik ortamın içerisinde ortaya çıkan görüntü kaynaklarının problemin
çözümündeki etkisinin ortaya konulmasıdır.
Abstract: In this study, inverse scattering problems related to objects buried in a circular cylindrical
electrically conducting enclosures. Within this scope, Green’s function of problem is analytically described as
infinite series summation in terms of cylindrical harmonics. Since integral equation in formulation of inverse
problem also express forward problem, primarily forward problem is solved for a canonical structure by use of
Methods of Moment. Thus, the accuracy of formulation and solution of forward scattering problem is tested.
Born Approximation and Newton methods are utilized. The principle purpose of problem is to present the impact
of image sources aroused from closed medium.
1. Giriş
Ters saçılma problemleri, gelen ve saçılan alanları kullanılarak cisimlerin geometri, konum ve fiziksel
özelliklerinin belirlenmesiyle ilgilenir. Ters problemlerin çok çeşitli pratik uygulama alanları vardır; bunlardan
bazıları tıbbi görüntüleme, jeofizik, uzaktan algılama ve görüntü işlemedir. Simülasyon uzayında sadece
saçıcıların olduğu, boş veya dielektrik malzemeyle doldurulmuş bir ortama ilişkin ters saçılma problemi
karşılaşılabilecek en basit durumdur. Diğer taraftan, son yıllarda ters problemlerin dielektrik veya iletken bir
yüzeyle kapatılarak çözülmesi çalışmaları, tıbbi görüntülemedeki başarıları sayesinde büyük önem kazanmıştır
[1-2].
Bu çalışmada, görüntülemeyi iyileştirmek amacıyla simülasyon uzayı yarıçapı “a” olarak seçilmiş olan dairesel
silindirik bir mükemmel iletkenle kapatılmıştır (bkz. Şekil 1). Aranan cisimlerin konum ve fiziksel özellikleri iki
farklı nümerik yöntemle belirlenmiş ve boş uzay çözümleriyle karşılaştırılmıştır. İletken yüzeyler sebebiyle
oluşan yansıyan alanların birer görüntü kaynağı gibi davranıp problemin çözümünü olumlu yönde etkileyeceği
ön görülmüştür. Ayrıca, ortamın çevrelenmesi boş uzay çözümünde karşılaşılabilecek dış ortamdan kaynaklı
bazı etkileşimleri önlemektedir. Ters problem çözüm metotları saçılan alan bilgisini gerektirir, bu sebeple 2.
bölümde kapalı ortama ilişkin Green fonksiyonu bulunarak problem integral denklem denklemi şekilde ifade
edilmiştir. Ardından düz problem Momentler Metodu kullanılarak analiz edilmiştir. Çözümün doğruluğu analitik
yollarla test edildikten sonra 3. bölümde Born Yaklaşımı ve Newton yöntemleri kısaca açıklanmıştır. Dahası bu
metotların birbirlerine sağladıkları üstünlükler ve kapalı ortamın çözüme etkisi 4. bölümde tek cisimli bir örnek
yardımıyla incelenmiştir.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Şekil 1. Problem geometrisi.
2. Düz Problem Çözümü
Düz problem, gelen alan ve bilinen cisim özelliklerinden yararlanarak saçılan alanın bulunmasını hedefler. Bu
kapsamda problem, ilgili konfigürasyona ilişkin Green fonksiyonu yardımıyla
u s (x) = k02 ∫ g(x, y)v(y)u(y)dy
D
(1)
x∈Γ
integral denklemi ile ifade edilebilir. Burada “k” dalga sayısını, “g(x,y)” problemin Green fonksiyonunu, “v”
cisim fonksiyonu, “u” toplam alanı, “ui” ise gelen dalgayı göstermektedir. Green fonksiyonu silindirik
harmonikler cinsinden bir seri ifade ile analitik olarak aşağıda tanımlanmıştır.
i
i ∞ H (1) (k a)
g( ρ ,n; ρ',φ')= H0(1) (k0 ρ - ρ' ) − ∑ n 0 J n (k0 ρ')J n (k0 ρ )ein( φ −φ')
4
4 n =−∞ J n (k0 a)
, 0≤ρ ≤a
(2)
Burada “Jn” ve “ H n(1) ”, sırasıyla birinci tür Bessel ve Hankel fonksiyonlarıdır. Bu çalışmada denklem (1)
ayrıklaştırılarak matris sistemine dönüştürülmüş ve [3]’tekine benzer bir uygulama kapalı ortama adapte edilerek
düz problem çözülmüştür.
3. Ters Problem Çözümü
Ters problemin amacı, ölçülen saçılan alanı kullanarak
u s (x) = k02 ∫ g(x, y)v(y)u i (y)dy
Ω
(3)
denkleminden cisim fonksiyonu “v” yi belirlemekten ibarettir. Ters problem çözümü yapılırken Born Yaklaşımı
ve Newton yöntemleri uygulanmıştır. Born Yaklaşımının bazı kısıtlamalar gerektirmektedir. Düşük çalışma
frekanslarında veya aranan cisim fonksiyonun yani kontrastın düşük olduğu durumlarda bu yöntem başarılı bir
performans gösterir. İstenilen koşullar sağlandığında integral denklemindeki toplam alan yerine saçılan alanlar
göz ardı edilerek sadece gelen alan ifadesi yazılır. “Ω” aranan cismi kapsadığı varsayılan karesel yüzey alanıdır.
Denklem (3), bilinen gelen alan kullanılarak ayrıklaştırılır ve integral denklem sistemden matris sistemine geçilir
ve problem çözülür. Yalnız lineer cebir teknikleri uygulanırken, ters problemler kötü konumlanmış problemler
olduklarından regülarizasyon gerektirir. Bu çalışmada Tikhonov regülarizasyon tekniği kullanılmıştır.
Diğer taraftan Newton herhangi bir kısıtlaması olmayan iteratif bir yöntemdir. Cisim fonksiyonu için bir
başlangıç değeri seçilir ve problem lineer olmayan bir integral operatörü içeren bir integral denklem sistemi
olarak ifade edilir [4]. Bu sistem cisim fonksiyonu için bir başlangıç değeri atanarak iteratif olarak çözülür.
4. Sayısal Uygulamalar
Bu bölümde mükemmel iletken ile çevrelenmiş kapalı ortamlar için ters problem çözümü ortamda tek bir cisim
varken Born ve Newton yöntemleriyle gerçekleştirilmiştir (Şekil 2a-c). Daha sonra iletken sınırlar kaldırılmış ve
boş uzay çözümleri Şekil 2b-d’de gösterilmiştir. Ayrıca ortama yerleştirilen yüksek kontrastlı cisim Born
yönteminin iyi bir sonuç veremeyeceği kadar büyük olduğundan bu kapsamda Newton metodunun üstünlüğü
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
gözlenecektir. Newton yönteminin dezavantajı ise uygun bir başlangıç değeri seçilmediği takdirde simülasyon
süresinin fazlasıyla uzamasıdır.
1 GHz’de kayıpsız ve bağıl dielektrik sabiti (εr) 3 olan, 6 cm yarıçaplı bir dairesel silindirin çevresi mükemmel
iletken ile kapatılarak simülasyon uzayının merkezine yerleştirilir. İletken çevrelemenin yarıçapı 45 cm’dir. 40
tane alıcı 36 cm’lik yarıçapa sahip bir çember üzerinde eşit uzaklıklarla dizilir. Ortam 24 cm’lik uzaklıkta
bulunan 5 tane çizgisel kaynak tarafından aydınlatılır. Ters problem çözümü için belirlenmesi gereken karesel
yüzey alanı Ω’nın bir kenarı 24 cm’dir. Şekil 2’den de görüldüğü üzere, Born metodu kapalı ortam çözümü
cismin geometrini yakalamış olsa da konumunu doğru şekilde bulamamıştır. Boş uzay çözümü ise kapalı ortam
çözümüne göre oldukça kötüdür. Diğer taraftan Newton yönteminde cisim fonksiyonu için uygun bir başlangıç
değeri seçildiğinde iki yöntem de iyi sonuç vermektedir.
(a)
(b)
(c)
(d)
Şekil 2. Cisim fonksiyonun reel kısmı (a) kapalı ortam, (b) boş uzay Born Yaklaşımı çözümü;
(c) kapalı ortam, (d) boş uzay Newton yöntemi çözümü.
7. Sonuç
Bu çalışmada, mükemmel iletken yüzeylerle çevrelenmiş bir ortamın içinde bulunan cisimlerin konum, geometri
ve fiziksel özellikleri incelenmiştir. Düz problem çözümünün doğruluğu analitik yöntemler yardımıyla kontrol
edilmiştir. Ters problem için ise kapalı ortam çözümleri cisimlerin yerlerinin ve fiziksel özelliklerinin
belirlenmesinde iyi sonuçlar vermesine karşın çok büyük iyileşmeler gözlenememiştir. Yalnız burada iletken
yarıçapının seçimi çok önemlidir. Gözlem noktaları ve iletken çevrelemenin arasındaki ideal uzaklık λ/4 olarak
[5]’de verilmektedir. Bunun dışında, kullanılan Born yaklaşımı ve Newton yöntemlerinin birbirlerine karşı
üstünlükleri de ayrıca gözlemlenmiştir.
Kaynaklar
[1]. Kress, R., Yaman, F., Yapar, A., ve Akduman, I., “Inverse scattering for an impedance cylinder buried in a
dielectric cylinder”, Inverse Problems In Science And Engineering, s.473-488, Haziran 2009.
[2]. Gilmore, C., ve LoVetri, J., “Enhancement of microwave tomography through the use of electrically
conducting enclosures”, IOPscience, Inverse Problems, no. 3, Haziran 2008.
[3]. Richmond, J. H., “Scattering by a dielectric cylinder of arbitrary cross section shape”, IEEE Transactions on
Antennas and Propagation, no.3, Mayıs 1965.
[4]. Adiyan, U., “Yeraltında Gömülü Olan Dielektrik Cisimlere İlişkin Ters Problemlerin Analizi”, Yüksek
Lisans Tezi, Istanbul Teknik Üniversitesi, Haziran 2010.
[5]. Crocco, L., ve Litman, A., “On embedded microwave imaging systems: retrievable information and design
guidelines”, IOPscience, Inverse Problems, no. 6, Haziran 2009.
Download